EXERCICIOS DE REVISAO FINAL

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CÁLCULO NUMÉRICO
	
	Profº. Msc. DIONISIO SÁ
	EXERCÍCIO DE REVISÃO
	TURMA 
Aritmética de ponto flutuante
Imagine uma calculadora ou um computador que trabalha no sistema de ponto flutuante normalizado, na base β com t dígitos significativos e com limites do expoente m e M , usaremos então a notação representado pela função ), e seu armazenamento seja de 16 bits. Como será representado o número 0,11 (base decimal) sabendo que a calculadora ou o computador trabalha na base binária e que os sinais tanto da mantissa quanto do expoente serão representados por 0 se for positivo e por 1 se for negativo?
supondo-se que as operações abaixo sejam processadas em uma máquina com 4 dígitos significativos e fazendo-se x=0,3491 . 104 e y=0,2345 . 100 .
A=(y+x)-x    e  B=y+(x-x), ao final das operações obtemos nessa máquina quais resultados?
Erros	
Valores de medidas de experimentos em laboratórios e valores obtidos em campo são sempre tratados estatisticamente para que sejam aceitos como corretos. Para isso ainda existe uma tolerância que todo cientista conhece e aplica. A frase seguinte é repetida em laboratórios por técnicos e cientistas experimentais:
“O valor encontrado no experimento ou simulação deve ser subtraído do valor exato, essa diferença deve ser analisada para que se tenha noção da sua validade”.
Nessa sentença o cientista está se referindo ao
a) erro absoluto
b) erro fundamental
c) erro conceitual
d) erro derivado
e) erro relativo
É comum, em alguns experimentos, termos que construir uma função que exprima uma propriedade ou dimensão de um elemento estudado. “Num laboratório estimou-se que o volume V (em ml) de um corpo líquido é dado em função da temperatura T(°C) através da função: V = 50e0,08T, onde 50 é o volume inicial. Um funcionário do laboratório mediu uma temperatura de 105 °C ao invés da medida correta a 125 °C”.  Determine o erro absoluto e o erro relativo dessa situação e em seguida marque a alternativa que contem esses valores.
Resposta: 878969,952 e 395,3 %
Valores de medidas de experimentos em laboratórios e valores obtidos em campo são sempre tratados estatisticamente para que sejam aceitos como corretos. Para isso ainda existe uma tolerância que todo cientista conhece e aplica. A frase seguinte é repetida em laboratórios por técnicos e cientistas experimentais: “O valor encontrado deve ser subtraído do valor exato, essa diferença deve ser dividida pelo número exato. Esse resultado não deve ser maior que 5 %”. Nessa sentença o cientista está se referindo ao
a) erro absoluto
b) erro fundamental
c) erro conceitual
d) erro derivado
e) erro relativo
Em cálculo numérico e em simulações numéricas é necessário determinar os valores dos erros absoluto e relativo para ter uma compreensão e validação do método. A figura abaixo contém os gráficos do resultado analítico e da simulação feita pelos pesquisadores abaixo referenciados.
Felipe E. L. PereiraI; Ricardo B. PradaI; Albert C. G. de MeloII; Anselmo Barbosa RodriguesIII; Maria da Guia da SilvaIII. Determinação do intervalo de manutenção programada da proteção de linhas de transmissão considerando-se penalidades associadas à indisponibilidade. Sba Controle & Automação vol.22 no.5 Campinas Sept./Oct. 2011.
Considere o valor exato extraído do gráfico 1,126 e o valor aproximado 1,100. Marque a opção que contém respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
a) 0.013 e 0,013
b) 0,023 e 0,023
c) 0,026 e 0,026
d) 0,023 e 0,026
e) 0,026 e 0,023
Precisão
Um parâmetro muito utilizado para se avaliar a precisão de determinado sistema de representação é o número de casas decimais exatas da mantissa e este valor é dado pelo valor decimal do último bit da mantissa, ou seja, o bit de maior significância. Logo: , sendo β a base e t o número de dígitos da mantissa. Numa máquina com β=2 e t=10, a precisão da mantissa possui o número de dígitos significativos igual a?
Resposta: 3
Teoremas de Bolzano e do valor médio
Uma habilidade que todo aluno de métodos numéricos deve ter é a de calcular numericamente raízes de equações, mas antes disso é necessário encontrar o intervalo onde a raiz se encontra. Esse processo é importante, pois pontos de inflexão de curvas nos mais variados cursos de engenharia são calculados por esses métodos. No entanto é necessário “dar um chute” inicial e uma boa maneira é encontrar o intervalo onde a raiz de uma equação se encontra. Suponha que a equação abaixo represente o comportamento de uma curva que você deseja encontrar uma raiz. Indique a opção de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função 
Marque abaixo essa indicação
a) 0 e 0,5
b) 0,5 e 1
c) 1 e 1,5
d) 1,5 e 2
e) 2 e 2,5
Tão necessário quanto encontrar a raiz de uma função é determinar o intervalo onde ela se encontra no menor tempo possível. Isso porque em métodos numéricos a economia de tempo é primordial porque existem rotinas que rodam durante um mês. Uma das maneiras de encontrar o intervalo onde a raiz se encontra é usar o teorema de Bolzano que indica que a raiz se encontra entre os pontos onde a função muda de sinal. Considere a função f(x) = x3 – 8x – 1 que representa o comportamento do momento fletor em um pórtico em um determinado trecho dele. Utilizando o teorema de Bolzano determine o intervalo de extremos naturais que contém uma raiz positiva da função acima.
Resposta: 2 e 3
Em engenharia, física, química ou até em matemática as soluções de problemas que nos levam a equações diferenciais são resolvidos por métodos diretos ou métodos iterativos, onde os valores são reutilizados. Exemplo é o movimento harmônico, que pode ser amortecido, subamortecido ou criticamente amortecido, dependendo de F(x) na equação diferencial abaixo. Aplicado ao movimento de instrumentos hidráulicos, como macacos hidráulicos e amortecedores, onde o fluido exerce o papel de amortecedor do movimento.
Você deve discernir qual o melhor método para sua aplicação, seja na construção das bases de um aeroporto para minimização de oscilações ou em arquibancadas, onde é necessário prever as vibrações ou flambagem.
Avalie os métodos, diretos e iterativos, em seguida marque uma alternativa abaixo
a) o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
b) não há diferença em relação às respostas encontradas.
c) os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema.
d) no método direto o número de iterações é um fator limitante.
e) o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
Método da Bisseção
Para análise da alteração da temperatura no interior de uma tubulação que transporta óleo por baixo de um canal que está em função da profundidade dessa tubulação (x) e é modelada pela função , onde T é dado em graus Celsius e x em metros. Usando o método do meio intervalo (método da bisseção) determine o valor de x com erro menor do que ou igual a 0,01 sabendo que esse valor está entre 0,5 e 1,0.
Resposta: 0,648438
O cálculo de raízes aparece nas mais diversas situações em problemas de engenharia. Muitas vezes para calcular um ponto específico onde uma grandeza tem seu valor anulado. Um método para se encontrar esses pontos é o Método do Meio Intervalo (MMI).Suponha a equação 3x3 – 5x2 1 = 0 Pelo teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método MMI com duas iterações para estimar a raiz desta equação nesse intervalo dado. Marque a alternativa com essa raiz
Resposta: 0,687
Método das Cordas 
 
Uma partícula em movimento obedece a função v(t)=2x^(2)+sen(x)-10, onde v é a velocidade em m/s e t o tempo em s. Determine pelo método das cordas o instante em que v(t)=0 considerando que t pertence ao intervalo [pi/2 , pi] e o erro deve ser menor do que ou igual a 0,1
,
Método das secantes
Em Engenharia Civil, um gráfico indispensável para o dimensionamento de vigas é o do momento fletor. Muito
importante também é encontrar o ponto onde esse gráfico se anula. A figura abaixo representa um trecho de um gráfico do momento fletor de uma viga. Para efeitos de aproximações um estudante aproximou esse gráfico por um polinômio interpolador do terceiro grau e obteve a função f(x) = x3 - 8x, empregou o Método das Secantes, considerando como pontos iniciais x0 = 4 e x1= 2,4 e calculou próxima iteração (x2) como um primeiro passo para encontrar a raiz da função. 
 Marque a opção que contém o valor encontrado, pelo aluno, para (x2)
Resposta: 2,63
Na busca de um modelo matemático que representasse a solução de um experimento, os cientista chegaram à função f(x)=e^(x) - sen(x)-2. Sabendo que a função tem raiz que pertence ao intervalo [1,0; 1,2], usando o método das secantes determine sua raiz com erro menor do que ou igual a 0,01’’
O cálculo de raízes aparece nas mais diversas situações em problemas de engenharia. Muitas vezes para calcular um ponto específico onde uma grandeza tem seu valor anulado. Um método para se encontrar esses pontos é o Método do Meio Intervalo (MMI). Suponha a equação 3x3 – 5x2 +1 = 0 Pelo teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método MMI com duas iterações para estimar a raiz desta equação nesse intervalo dado. Marque a alternativa com essa raiz
a) 0,750
X b) 0,687
c) 0,500
d) 0,625
e) 0,812
Em Engenharia Civil, um gráfico indispensável para o dimensionamento de vigas é o do momento fletor. Muito importante também é encontrar o ponto onde esse gráfico se anula. A figura abaixo representa um trecho de um gráfico do momento fletor de uma viga. Para efeitos de aproximações um estudante aproximou esse gráfico por um polinômio interpolador do terceiro grau e obteve a função f(x) = x3 - 8x, empregou o Método das Secantes, considerando como pontos iniciais x0 = 4 e x1= 2,4 e calculou próxima iteração (x2) como um primeiro passo para encontrar a raiz da função. 
Marque a opção que contém o valor encontrado, pelo aluno, para (x2)
a) 2,03
b) 2,43
X c) 2,63
d) 2,23
e) 1,83
Método de Newton
O trecho do gráfico do momento fletor para uma viga é apresentado abaixo. Um aluno deseja calcular o ponto onde a função desse gráfico se anula para poder encontrar os esforços na viga.
Analisada e feita as considerações encontrou uma função representativa dada por f(x) = 1 + x + ex. Deseja agora encontrar o ponto onde ela se anula e para tanto empregou o método de Newton. Assim, considerando-se o ponto inicial x0 = – 1, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor:
a) – 1,0000
X b) – 1,2689
c) – 1,2785
d) 1,2689
e) 1,2785
Cientistas ao desenvolverem um modelo de motor de combustão perceberam que a viscosidade do óleo (x) variava e obedecia a equação  4cos(x)-e^(x)=0. ao determinar a menor raiz positiva desta equação usando o Método de Newton com erro inferior a   0,01 era de
Interpolação
Os métodos numéricos computacionais são usados pela maioria dos profissionais pesquisadores, tais como radioterapeutas em simulações no tratamento de tumores, físicos de partículas simulando as interações intermoleculares, físicos relativistas estudando o movimento de partículas em torno de um buraco negro e engenheiros em simulações de estruturas nas construções. Essas simulações são submetidas a cálculos computacionais que podem durar vários dias. Dependendo da escolha um polinômio submetido a simulação pode ter um grau muito elevado que acarreta sobrecarga de trabalho e tempo computacional maior. Uma boa escolha de método e tratamento de dados podem reduzir o tempo de processamento. Imagine que você precise trabalhar um polinômio interpolador com (n + 1) pares de dados, qual deve ser o grau desse polinômio interpolador?
a) menor ou igual a (n – 1)
b) menor ou igual a (n + 1)
c) n
d) (n – 1)
e) (n + 1)
Resposta n
Interpolação do 1º grau
Os gráficos das funções trigonométricas são muito importantes para diversos conteúdos que englobam os assuntos de cálculo. Dentre elas podemos citar o movimento das marés, as oscilações de onda e muitos outros movimentos. Sabendo que uma partícula se movimenta de acordo com a função: y=sen x, sabendo que esta função passa pelos pontos coordenados (1,00; 0,84)  e (2,00; 0,91), determine a  função representativa obtida por interpolação do 1º grau:
Utilizando o movimento de uma partícula que se desenvolve através de uma função trigonométrica do tipo y = sen x e  sabendo que esta função passa pelos pontos coordenados (1,00; 0,84)  e (2,00; 0,91), e poderá ser interpolada por uma função do 1º grau determine o valor aproximado para f(π/2)
Interpolação do 2º grau
Inúmeros dados podem ser interpolados e a partir daí se achar uma função compatível. Vários métodos são utilizados dentre eles a função do 2º grau  do tipo y  = ax² + bx + c. Considere a tabela de dados a seguir:
x           0,5           0,3          0,1
f(x)        0,25         0,49         0,81
Determinando o polinômio interpolador do 2º grau obtemos:
Em obras de engenharia é primordial saber dimensionar os materiais como aço, tubos e cabos. Um simples cabo com dimensão acima da recomendada pode gerar um gasto desnecessário se pensarmos a quantidade utilizada em uma obra de grande porte. Por isso se faz necessária a sua dimensão. Considere que em uma obra é preciso dimensionar um fio de metal e estimar a sua resistência sabendo que o seu diâmetro é igual a 1,75 mm. Para isso foram medidas as resistências de 5 fios de diversos diâmetros. O resultado foi tabela e se encontra na tabela abaixo. Faça uma interpolação com os 3 primeiros pontos e encontre a resistência para esse fio de diâmetro 1,75 mm.
Resposta: 3,948214
Atletas olímpicos utilizam os mais modernos aparelhos de tecnologia para sua preparação. Procura-se calcular quase todas as variáveis que influenciam no seu desempenho. Para um saltador olímpico procura-se saber qual a deflexão da prancha de salto em função do tempo de permanência de preparação para o salto. Dados captados pelo computador são confrontados com valores calculados "a mão" para que tenhamos uma boa calibração. A tabela abaixo representa a deflexão em cm duma prancha de saltos, em vários instantes de tempo de preparação para o salto. Encontre a deflexão da prancha, a partir dos dados da tabela, construindo um polinômio interpolador de grau dois para um tempo igual a 3,5 segundos e em seguida indique a alternativa que contem esse valor. Use os três últimos pontos.
t (s) deflexão (cm)
0 ------------ 4
0,5 ---------- 1,75
1,5 ---------- (- 1,25)
2 ------------ (- 2)
4 ------------ 0
6 ------------ 10
a) – 2,05 cm
b) 2,05 cm
c) – 1,25 cm
d) – 2,00 cm
e) 2,55 cm
Alguns aparelhos elétricos, em laboratórios ou clínicas, não podem ser colocados em determinados locais por causa da influência do campo elétrico, magnético e/ou eletromagnético correndo o risco de serem danificados. Numericamente, podemos simular sua influência superficial dependente da distância. A figura abaixo é um exemplo de simulação da influência do campo gerado por um cilindro carregado.
Em um hospital existe um aparelho que gera um campo elétrico E que varia, em função da distância d, conforme a tabela abaixo. Existe também um computador que fica instável quando submetido a um campo elétrico com valor acima de E = 8,5 V/m. Esse computador é colocado a uma distância de 8,5 m desse aparelho.
Use a interpolação quadrática e os dados da tabela acima e avalie as alternativas seguintes:
a) O computador foi colocado em a posição correta, pois o campo será de 5,72 V/m e não sofrerá interferência desse campo.
b) A essa distância o campo elétrico será de 6,71V/m e o computador não funcionará.
c) 7,77 V/m será o campo elétrico nessa posição e o computador irá funcionar normalmente.
d) A essa distância o campo elétrico será aproximadamente igual a 8,41 V/m e funcionará normalmente.
e) Sempre será 9,99 N/m a essa distância e não funcionará.
Resposta: 3,948214
O número
de bactérias, por unidade de volume, existente em uma cultura após x horas é apresentada na tabela:
Com um polinômio interpolador de grau 2 encontre o número de bactérias para um tempo t = 3:42 h, ou seja, P2(t).
a) 100
b) 110,421
c) 118,635
d) 120
e) 120,432
Polinômio de Lagrange
A economia de um carro (km/litro) varia com sua velocidade. Em um experimento, são feitas as cinco medições a seguir.
Use um polinômio interpolador para calcular a economia de combustível a 105 km/h e indique qual a afirmativa que contem esse valor.
a) 9,93 km/h
b) 9,00 km/h
c) 8,00 km/h
d) 8,37 km/h
e) 7,13 km/h
Um braço de um robô deve passar nos instantes t0, t1, t2, t3, t4 e t5 por posições pré-definidas p(t0), p(t1), p(t2), p(t3), p(t4) e p(t5), onde p(t) é o ângulo (em radianos) que o braço do robô faz com o plano XOY. A partir dos dados abaixo da posição do braço do robô em função do tempo indique a posição do braço do robô no instante 1,5 s.
ti p(ti)
1 -------- 1,00
2 -------- 1,25
3 -------- 1,75
4 -------- 2,25
5 -------- 3,00
6 -------- 3,15
a) 1,015
b) 1,001
c) 0,990
d) 1,342
e) 1,701
Integração Numérica
Regra dos Trapézios
 
Regra do Trapézio – Fórmula Composta
Muitos alunos acreditam que algumas disciplinas são desconexas com o dia a dia como, por exemplo, calculo numérico que é ministrada em todos os cursos de engenharia. A despeito disso cálculos dos mais variados são aplicados. Como o cálculo de estoque, revestimento de paredes e até velocidades de um foguete são feitos apenas numericamente. Para podermos verificar essa aplicabilidade podemos, a partir dos dados abaixo, que representa a velocidade de um foguete em função do tempo de lançamento, calcular a velocidade desse foguete após 20 s. O cálculo dessa distância é calculada pela integral de "v.dt". Use o método dos trapézios para fazer esse cálculo e marque a alternativa que contem o valor da altura após 20 s.
	t (s)
	v (pés/s)
	0
	0
	5
	60,6
	10
	180,1
	15
	341,6
	20
	528,4
Resposta: 4232,75
Um estudo em engenharia de transporte exige que você determine o número de carros que passa por uma intersecção durante o horário de rush da manhã. Você fica em um lado da estrada e conta o número de carros que passa a cada 4 minutos em diferentes instantes, como tabulado a seguir. Use o método de integração dos trapézios para determinar o número total de carros que passa entre 7:30 e 9:15.
	Horário (h)
	Taxa (carros 4 min)
	7:30
	18
	7:45
	24
	8:00
	14
	8:15
	24
	8:45
	21
	9:00
	11
	9:15
	10
Resposta: 1620
Na indústria de automóveis fabrica-se alarmes para carros. Os alarmes são ativados quando uma onda mecânica incide e penetra no seu interior ativando um transdutor, dispositivo que transforma onda mecânica em eletromagnética, e dispara o alarme. No entanto, cálculos são feitos para se obter a melhor resposta porque não são todas as frequências que podem ativar o alarme sob o risco de dispará-lo a qualquer momento. Para melhorar o sinal usa-se a função f(x) = ex/x integrando "f(x)dx" nos limites de 1 a 2. Avalie o sinal integrando a função dividindo o intervalo de 1 a 2 em 4 partes iguais. Utilize o método dos trapézios. Marque a alternativa que contém o resultado do sinal, ou seja, da integral.
Resposta: 3,068704
Muitos alunos acreditam que algumas disciplinas são desconexas com o dia a dia como, por exemplo, calculo numérico que é ministrada em todos os cursos de engenharia. A despeito disso cálculos dos mais variados são aplicados. Como o cálculo de estoque, revestimento de paredes e até velocidades de um foguete são feitos apenas numericamente. Para podermos verificar essa aplicabilidade podemos, a partir dos dados abaixo, que representa a velocidade de um foguete em função do tempo de lançamento, calcular a velocidade desse foguete após 20 s. O cálculo dessa distância é calculada pela integral de "v.dt". Use o método dos trapézios para fazer esse cálculo e marque a alternativa que contem o valor da altura após 20 s.
	t (s)
	v (pés/s)
	0
	0
	5
	60,6
	10
	180,1
	15
	341,6
	20
	528,4
X a) 4232,75
b) 4000,18
c) 5032,88
d) 6072,00
e) 4432,20
Um estudo em engenharia de transporte exige que você determine o número de carros que passa por uma intersecção durante o horário de rush da manhã. Você fica em um lado da estrada e conta o número de carros que passa a cada 4 minutos em diferentes instantes, como tabulado a seguir. Use o método de integração dos trapézios para determinar o número total de carros que passa entre 7:30 e 9:15.
	Horário (h)
	Taxa (carros 4 min)
	7:30
	18
	7:45
	24
	8:00
	14
	8:15
	24
	8:45
	21
	9:00
	11
	9:15
	10
a) 122
X b) 1620
c) 244
d) 810
e) 405
Na indústria de automóveis fabrica-se alarmes para carros. Os alarmes são ativados quando uma onda mecânica incide e penetra no seu interior ativando um transdutor, dispositivo que transforma onda mecânica em eletromagnética, e dispara o alarme. No entanto, cálculos são feitos para se obter a melhor resposta porque não são todas as frequências que podem ativar o alarme sob o risco de dispará-lo a qualquer momento. Para melhorar o sinal usa-se a função f(x) = ex/x integrando "f(x)dx" nos limites de 1 a 2. Avalie o sinal integrando a função dividindo o intervalo de 1 a 2 em 4 partes iguais. Utilize o método dos trapézios. Marque a alternativa que contém o resultado do sinal, ou seja, da integral.
a) 2,718282
b) 2,987793
c) 3,288344
X d) 3,068704
e) 6,777112
Estimativa em tempo real da altura, consumo de combustível e até de rendimento de um foguete lançado deve ser feita numericamente com dados enviados instantaneamente a uma estação de lançamento. Isso para que tudo dê certo. Considere que A velocidade v de um foguete lançado do chão verticalmente (para cima, é claro) em função do tempo t foi tabelada como se segue:
 
Use a regra dos trapézios composta para calcular a altura do foguete, em pés, após 20 segundos e marque a alternativa que contem esse valor.
Resposta: 4232,5
Em topografia, muitas vezes, é necessário calcular áreas irregulares de um terreno, rio ou trecho de uma estrada. Os topógrafos e engenheiros recorrem aos métodos de integração numérica. O método dos trapézios para o calculo de integrais aproximadas tem sua representação gráfica mostrada na figura abaixo:
O valor encontrado para F(x) na integral definida
Utilizando a regra do trapézio será equivalente a:
a) a área do trapézio
b) a diferença entre a área sob a curva e a área do trapézio
c) media entre as áreas do trapézio e a área sob a curva
d) a área sob a curva
e) a soma entre a área sob a curva e a área do trapézio
Estimativa em tempo real da altura, consumo de combustível e até de rendimento de um foguete lançado deve ser feita numericamente com dados enviados instantaneamente a uma estação de lançamento. Isso para que tudo dê certo. Considere que A velocidade v de um foguete lançado do chão verticalmente (para cima, é claro) em função do tempo t foi tabelada como se segue:
Use a regra dos trapézios composta para calcular a altura do foguete, em pés, após 20 segundos e marque a alternativa que contem esse valor.
a) 2345,5
b) 2452,5
c) 3122,2
d) 4122,2
e) 4232,5
Uma pessoa caminha e corre diariamente na esteira da academia e resolve verificar se valores, que aparecem no painel da esteira, realmente estão corretos. Para fazer a sua estimativa anota alguns valores, da sua velocidade v e dos instantes de tempo t, na tabela abaixo.
Fisicamente, a distância percorrida é calculada pela integral temporal da velocidade. A partir dos valores da tabela acima, calcule numericamente, usando a regra do trapézio composta a distância percorrida pela pessoa e marque a alternativa com o valor encontrado.
a) 500 m
b) 1120 m
c) 2000 m
d) 2120 m
e) 2130 m
Um estudo em engenharia de transporte exige que você determine
o número de carros que passa por uma intersecção durante o horário de rush da manhã. Você fica em um lado da estrada e conta o número de carros que passa a cada 4 minutos em diferentes instantes, como tabulado a seguir.
Use a regra dos trapézios para determinar o número de carros que passa entre 7:30 h e 9:15 h. Marque a alternativa que contem esse valor aproximado.
a) 1448
b) 1400
c) 1337
d) 1300
e) 1000