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Lista de Exerc´ıcios Suplementar – Leis de Kepler – Introduc¸a˜o a` F´ısica A – 2015/01 – UFRJ 1 Disciplina: Introduc¸a˜o a` F´ısica A – UFRJ Per´ıodo: 2015/01 Professor: Leonardo J.L. Cirto Lista de Exerc´ıcios Suplementar – Leis de Kepler Leis de Kepler: 1a – Lei das O´rbitas As o´rbitas dos planetas sa˜o elipses, com o Sol em um dos focos. 2a – Lei das A´reas O raio vetor que liga o planeta ao Sol descreve a´reas iguais em tempos iguais. 3a – Lei dos Per´ıodos Os quadrados dos per´ıodos de revoluc¸a˜o de dois planetas quaisquer esta˜o entre si como os cubos de suas distaˆncias me´dias ao Sol. Comenta´rios: • As Leis de Kepler se aplicam em todos os casos em que um corpo orbita outro sob a influeˆncia da gravitac¸a˜o. Exemplos: planeta orbitando o Sol, luas orbitando planetas, sate´lites artificiais orbitando a Terra etc. • Apo´s Newton, sabemos que as Leis de Kepler sa˜o consequeˆncias da Lei da Gravitac¸a˜o Universal: F = G Mm R2 (1) • Sejam T1 e T2 os per´ıodos de revoluc¸a˜o de dois planetas cujas o´rbitas teˆm raios me´dios R1 e R2 respectivamente. A 3a Lei de Kepler nos diz que:( T1 T2 )2 = ( R1 R2 )3 Como Kepler verificou que a 3a Lei valia para quaisquer dois planetas orbitando o Sol, podemos escrever tambe´m: T 2 R3 = Cte. Para o caso particular de uma o´rbita circular, a Lei da Gravitac¸a˜o Universal (1) nos permite determinar a constante da equac¸a˜o acima: T 2 R3 = Cte. = 4pi2 GM (o´rbita circular) Estes ca´lculos esta˜o feitos no Texto 1 da Unidade 2. Observe que a massa do Sol M ficou faltando la´. Questa˜o 1 Um planeta A do sistema solar tem uma distaˆncia me´dia ao Sol igual a RA. Outro planeta B tem distaˆncia me´dia ao Sol igual a RB = 2RA. Qual a raza˜o entre os per´ıodos de revoluc¸a˜o do planeta B e do planeta A em torno do Sol ? R: √ 8 Questa˜o 2 Dois corpos de massas mA e mB esta˜o separados por uma distaˆncia D, e a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional entre eles tem mo´dulo F . A massa mA de A, apo´s algum tempo, fica reduzida a um de´cimo, e a distaˆncia entre os objetos e´ tambe´m reduzida a um de´cimo. Qual a forc¸a de atrac¸a˜o entre os corpos apo´s as reduc¸o˜es ? (a) Escreva sua resposta em termos de G, mA, mB e D. (b) Escreva sua resposta apenas em termos de F . Lista de Exerc´ıcios Suplementar – Leis de Kepler – Introduc¸a˜o a` F´ısica A – 2015/01 – UFRJ 2 Questa˜o 3 – Elipse Podemos caracterizar uma elipse pelo semi-eixo maior a, semi-eixo menor b e pela distaˆncia focal c (releia o texto complementar sobre elipses caso tenha esquecido). Verifique que os paraˆmetros a, b e c esta˜o relacionados por: a 2 = b2 + c2 Dica: Se convenc¸a que o comprimento total do barbante que nos ajuda a desenhar a elipse vale 2a. Figure 1: Uma elipse e seus paraˆmetros.
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