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Lista de Exerc´ıcios Suplementar – Leis de Kepler – Introduc¸a˜o a` F´ısica A – 2015/01 – UFRJ 1
Disciplina: Introduc¸a˜o a` F´ısica A – UFRJ Per´ıodo: 2015/01
Professor: Leonardo J.L. Cirto
Lista de Exerc´ıcios Suplementar – Leis de Kepler
Leis de Kepler:
1a – Lei das O´rbitas
As o´rbitas dos planetas sa˜o elipses, com o Sol em um dos focos.
2a – Lei das A´reas
O raio vetor que liga o planeta ao Sol descreve a´reas iguais em tempos iguais.
3a – Lei dos Per´ıodos
Os quadrados dos per´ıodos de revoluc¸a˜o de dois planetas quaisquer esta˜o entre si como os cubos de suas
distaˆncias me´dias ao Sol.
Comenta´rios:
• As Leis de Kepler se aplicam em todos os casos em que um corpo orbita outro sob a influeˆncia da
gravitac¸a˜o. Exemplos: planeta orbitando o Sol, luas orbitando planetas, sate´lites artificiais orbitando
a Terra etc.
• Apo´s Newton, sabemos que as Leis de Kepler sa˜o consequeˆncias da Lei da Gravitac¸a˜o Universal:
F = G
Mm
R2
(1)
• Sejam T1 e T2 os per´ıodos de revoluc¸a˜o de dois planetas cujas o´rbitas teˆm raios me´dios R1 e R2
respectivamente. A 3a Lei de Kepler nos diz que:(
T1
T2
)2
=
(
R1
R2
)3
Como Kepler verificou que a 3a Lei valia para quaisquer dois planetas orbitando o Sol, podemos escrever
tambe´m:
T 2
R3
= Cte.
Para o caso particular de uma o´rbita circular, a Lei da Gravitac¸a˜o Universal (1) nos permite determinar
a constante da equac¸a˜o acima:
T 2
R3
= Cte. =
4pi2
GM
(o´rbita circular)
Estes ca´lculos esta˜o feitos no Texto 1 da Unidade 2. Observe que a massa do Sol M ficou faltando la´.
Questa˜o 1
Um planeta A do sistema solar tem uma distaˆncia me´dia ao Sol igual a RA. Outro planeta B tem distaˆncia
me´dia ao Sol igual a RB = 2RA. Qual a raza˜o entre os per´ıodos de revoluc¸a˜o do planeta B e do planeta A
em torno do Sol ?
R:
√
8
Questa˜o 2
Dois corpos de massas mA e mB esta˜o separados por uma distaˆncia D, e a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional
entre eles tem mo´dulo F . A massa mA de A, apo´s algum tempo, fica reduzida a um de´cimo, e a distaˆncia
entre os objetos e´ tambe´m reduzida a um de´cimo. Qual a forc¸a de atrac¸a˜o entre os corpos apo´s as reduc¸o˜es ?
(a) Escreva sua resposta em termos de G, mA, mB e D.
(b) Escreva sua resposta apenas em termos de F .
Lista de Exerc´ıcios Suplementar – Leis de Kepler – Introduc¸a˜o a` F´ısica A – 2015/01 – UFRJ 2
Questa˜o 3 – Elipse
Podemos caracterizar uma elipse pelo semi-eixo maior a, semi-eixo menor b e pela distaˆncia focal c (releia o
texto complementar sobre elipses caso tenha esquecido).
Verifique que os paraˆmetros a, b e c esta˜o relacionados por:
a
2 = b2 + c2
Dica: Se convenc¸a que o comprimento total do barbante que nos ajuda a desenhar a elipse vale 2a.
Figure 1: Uma elipse e seus paraˆmetros.