ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

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MATEMÁTICA
Matemática
contexto e aplicações
Luiz Roberto Dante – 2º ano ensino médio
4º Bimestre – Análise combinatória e probabilidade
Neste bimestre foram trabalhados os temas:
Princípio fundamental da contagem
Fatorial
Permutações simples
Permutações com repetição
Arranjos simples
Combinações simples
Números binomiais
Triângulo de Pascal
Binômio de Newton
Probabilidade – Definições
União de Eventos
Probabilidade Condicional
Eventos independentes
Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 2 | 4º Bimestre
CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
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Se um evento é composto de duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 1ª etapa é m e para cada possibilidade na 1ª etapa o número de possibilidades na 2ª etapa é n, então o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m ⋅ n. 
Exemplo:
Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos números de três algarismos podemos formar?
Temos:
_______ ______ _______
centena dezena unidade
Existem 8 algarismos de 0 a 7. Há 7 possibilidades para a centena (0 não é permitido), 8 para a dezena e 8 para a unidade. Portanto podemos formar 7 ⋅ 8 ⋅ 8 = 448 números.
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CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA
n ∈ ℕ e n ≥ 1
n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Considera-se 0! = 1
Permutações simples
De quantas maneiras podemos ordenar em fila n objetos distintos?
Podemos escolher o primeiro elemento da fila de n maneiras; o segundo de (n − 1) maneiras; o terceiro de (n − 2) maneiras, até o último que teremos uma única maneira.
Ou seja, temos n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1.
Esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o nome de permutações simples. Indicamos por Pn e escrevemos:
fatorial
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Propriedade:
n! = n ⋅ (n − 1)! ou n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2)!, etc.
Pn = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3) ⋅ … ⋅3 ⋅ 2 ⋅ 1.
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CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA
O número de permutações de n elementos dos quais α é de um tipo, β é de outro e γ é de outro, com α + β + γ = n é dado por:
PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÕES
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, onde α, β e γ representam o número de vezes que certo elemento se repete.
Exemplo:
Na palavra BATATA (que possui 6 letras), a letra A aparece três vezes, enquanto a letra T aparece duas vezes e a letra B aparece uma única vez.
O número de anagramas dessa palavra é dado por:
Observe que não há a necessidade de colocar o 1! da letra que comparece uma única vez.
Professor, comente com seus alunos que anagrama é uma palavra ou frase que é construída através da alteração das letras de uma outra palavra ou frase.
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CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA
ARRANJOS SIMPLES
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Exemplo:
Quantos números de três algarismos distintos podemos escrever com os caracteres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8?
Resolução
 
= 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336 anagramas.
Lê-se: Arranjos de n elementos tomados p a p.
 
Professor, comente com seus alunos que, nos problemas envolvendo arranjos simples, é melhor trabalhar com o Princípio fundamental da contagem.
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CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA
COMBINAÇÕES SIMPLES
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Como são subconjuntos de um conjunto, a ordem dos elementos não importa. Só consideramos subconjuntos distintos os subconjuntos que diferem pela natureza dos seus elementos.
Veja: Com 6 homens, o número de comissões distintas onde em cada uma contenha exatamente 4 pessoas é dado por C6,4 
Professor, calcular o número total de combinações simples de n objetos tomados p a p é o mesmo que perguntar de quantos modos podemos selecionar p objetos distintos entre n objetos distintos dados.
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CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA
ARRANJO OU COMBINAÇÃO?
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1. Quantos números de três algarismos distintos, podemos obter usando apenas os caracteres 2, 4, 6, 8 e 9?
Observe, por exemplo, que 289 ≠ 298. A ordem dos elementos é importante no problema. Arranjo simples. Queremos agrupar ordenadamente (arranjar) 5 elementos de 3 em 3.
A5,3 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60
2. Com Ana Clara, Aline, Thais, Keila e Bruno, queremos montar grupos contendo exatamente três dessas pessoas. Quantos grupos distintos podem ser montados?
Observe, por exemplo, que o grupo contendo Ana Clara, Thais e Bruno é o mesmo que contém Ana Clara, Bruno e Thais. A ordem dos elementos não é importante no problema.
Combinação simples. Queremos combinar 5 elementos de 3 em 3.
C5,3 = 10
CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA
NÚMEROS BINOMIAIS
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De fato: e 
 
 
Propriedades:
Dois números binomiais são iguais se tiverem o mesmo numerador e:
suas classes forem iguais, ou
a soma de suas classes for igual ao numerador (binomiais complementares).
CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA
Podemos dispor os números binomiais em formações triangulares da seguinte forma:
TRIÂNGULO DE PASCAL OU TRIÂNGULO ARITMÉTICO
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OU
CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA
Calculando cada número binomial, temos:
TRIÂNGULO DE PASCAL OU TRIÂNGULO ARITMÉTICO
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Propriedades:
Relação de Stifel
OU
CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA
Toda potência da forma (x + y)n, com x ∈ ℝ, y ∈ ℝ e n ∈ ℕ, é conhecida como binômio de Newton.
BINÔMIO DE NEWTON
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Note que os expoentes de x começam em n e decrescem de 1 em 1 até 0, enquanto os expoentes de y começam em 0 e crescem de 1 em 1 até n.
Essa mesma fórmula pode ser escrita como:
, P = 0, 1, 2, 3, ..., n
Professor, comente com os alunos como interpretar o símbolo de somatório.
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CAPÍTULO 9 – ANÁLISE COMBINATÓRIA
BINÔMIO DE NEWTON: SOMA DOS COEFICIENTES
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A soma dos coeficientes do desenvolvimento de , nas variáveis x e y, é dado por 
Binômio de Newton: Fórmula do termo geral
Vimos que , p = 0, 1, 2, 3, …, n.
Professor, comente com seus alunos que a fórmula do termo geral é a mesma do desenvolvimento do Binômio de Newton sem o somatório.
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CAPÍTULO 10 - PROBABILIDADE
Considere que ao lançar um dado honesto, uma pessoa ganha um determinado prêmio, se a face voltada para cima, após o lançamento, for um número múltiplo de 3.
Observe que ao lançarmos esse dado, as possibilidades da face voltada para cima são 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Os números 3 e 6 são os únicos da relação acima que são múltiplos de 3.
Assim, a pessoa tem duas chances em seis de ganhar o prêmio.
Essa chance é medida por meio de um número real, denominado de probabilidade e dizemos que a probabilidade de no lançamento de um dado honesto sair na face voltada para cima um número múltiplo de 3 é de duas em
seis ou 
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CAPÍTULO 10 - PROBABILIDADE
PROBABILIDADES
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Definições
CAPÍTULO 10 - PROBABILIDADE
Considere o experimento aleatório “lançar um dado e registrar o resultado”. Temos:
espaço amostral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
evento A: “ocorrência de um número menor que 7”; A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E
evento B: “ocorrência de um número maior do que 6”; B= ∅.
EVENTOS CERTO, IMPOSSÍVEL E MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
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Quando um evento coincide com o espaço amostral, ele é chamado de evento certo e a probabilidade p de que ele ocorra é de 100% = 1.
Quando um eventoé vazio, ele é chamado de evento impossível e a probabilidade p de que ele ocorra é 0.
Quando a intersecção de dois eventos é o conjunto vazio, eles são chamados de eventos mutuamente exclusivos.
Conclusão:
 0 ≤ p ≤ 1
CAPÍTULO 10 - PROBABILIDADE
Propriedade:
EVENTOS CERTO, IMPOSSÍVEL E MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
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União de eventos
Observe que em n(A) + n(B), n(A∩B) foi contado duas vezes.
Assim, teremos:
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
e
p(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B)
Professor, comente com seus alunos que se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então p(A∪B) = p(A) + p(B).
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CAPÍTULO 10 - PROBABILIDADE
Uma urna contém 12 bolas numeradas de 1 a 12 (há apenas um número em cada bola).
Uma bola é retirada ao acaso.
Qual a probabilidade dessa bola conter um número múltiplo de 3?
Qual a probabilidade dessa bola conter um número múltiplo de 3, sabendo que o número que está nessa bola é maior que 8?
No item (a), temos: n(E) = 12 e n (A) = 4. Então: 
Para o item (b), considere:
A = A bola contém um número múltiplo de 3.
B = A bola contém um número maior que 8.
P(A/B) = Probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo de antemão que já ocorreu o evento B.
Nesse caso, n(E) = {9, 10, 11, 12} e P(A/B) = 
PROBABILIDADE CONDICIONAL
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CAPÍTULO 10 - PROBABILIDADE
PROBABILIDADE CONDICIONAL
 
 
CAPÍTULO 10 - PROBABILIDADE
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral E.
Se a probabilidade de ocorrer o evento B, por exemplo, não depende do fato de ter ocorrido ou não o evento A, dizemos que A e B são eventos independentes.
EVENTOS INDEPENDENTES
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Dois eventos A e B de um espaço amostral E (com p(A) ≠ 0 e p(B) ≠ 0) são independentes se, e somente se:
p(A ∩ B) = p(A) ⋅ p(b)
Sair o número 2 no dado verde, por exemplo, independe do número que já tenha saído no dado vermelho.