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MECÂNICA DOS FLUIDOS - Capitulo 02 - 1a Parte

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19/03/2012
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Capítulo 02 – ESTÁTICA DOS
FLUIDOS - 1ª PARTE
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
Prof. Eliane Justino
2 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS
 Classe dos problemas da Mecânica dos Fluidos onde o fluido está em repouso ou
num tipo de movimento que não obriga as partículas de fluidos adjacentes a
apresentar movimento relativo.
 As tensões de cisalhamento nas superfícies das partículas dos fluidos são nulas;
 As únicas forças que atuam nestas superfícies são as provocadas pela pressão.
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2.1 – PRESSÃO NUM PONTO
 O termo pressão indica a força normal por unidade de área que atua sobre um
ponto do fluido num dado plano.
 Para entendermos a Estática dos Fluidos é preciso responder a duas questões:
 QUESTÃO 01 – Como varia a pressão num ponto com a direção?
 Ou seja a pressão varia com a orientação do plano que passa pelo ponto?
 Para entendermos consideremos o diagrama de corpo livre de uma figura
construída removendo-se arbitrariamente um pequeno elemento de fluido com
forma de uma cunha triangular, de um meio fluido.
2.1 – PRESSÃO NUM PONTO
 Força em um elemento fluido arbitrário:
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2 – PRESSÃO NUM PONTO
 Tensões de Cisalhamento são nulas, pois não há deslocamento entre os fluidos
adjacentes;
 As forças de superfícies que atuam na cunha são devidas as Pressões que o fluido
adjacentes fazem sobre o ponto considerado;
 A força de corpo considerada é a força devido o Peso do ponto considerado.
 Para simplificação, as forças na direção x não estão mostrada e o eixo z é tomado
como o eixo vertical, onde o Peso atua no sentido negativo deste eixo.
 Apesar de estarmos interessados, principalmente, na situação onde o fluido está
em repouso, faremos uma Análise Geral e admitiremos que o elemento de fluido
apresenta um Movimento Acelerado.
2.1 – PRESSÃO NUM PONTO
 A hipótese de Tensões de Cisalhamento ser nula será adequada enquanto o
movimento do elemento do fluido for igual aquele de um Corpo Rígido, ou seja, os
elementos adjacentes não apresentarem Movimento Relativo.
 Pela Segunda Lei de Newton, as equações do movimento na direção y e z são:
 ps; py e px – são as pressões médias na superfícies da cunha.
 γ é o peso específico do fluido;
 ρ é a massa específica do fluido;
 ay e az são as acelerações nas direções y e z, respectivamente.
zszz
ysyy
a
zyxzyx
sxpyxpF
a
zyx
ssenxpzxpF
22
cos
2


=−−=
=−=
∑
∑
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2.1 – PRESSÃO NUM PONTO
 Analisando a geometria da Figura.
y = s.cos e z = s . sen
2.1 – PRESSÃO NUM PONTO
 As Equações do movimento podem ser reescrita do seguinte modo:
 Como estamos interessados no que acontece num ponto, é interessante
analisarmos o caso limite onde δx, δy e δz tendem a zero, mas mantendo o ângulo 
constante. Assim;
py = ps e pz = ps
( )
2
2
z
app
y
app
zsz
ysy


+=−
=−
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2.1 – PRESSÃO NUM PONTO
 Então px = py = pz, com θ arbitrário.
 CONCLUSÃO:
 A pressão num ponto de um líquido em repouso ou movimento onde as tensões de
cisalhamento é nula, é independente da direção.
 Este Resultado importante é conhecido como Lei de Pascal (Blaser Pascal,
matemático francês que contribuiu significativamente no campo hidrostática 1623 –
1662).
2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
 QUESTÃO 02 – Como varia, ponto a ponto a pressão numa certa quantidade de
fluido que não apresenta tensões de cisalhamento?
 Considere um pequeno elemento de fluido:
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2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
 Existe dois tipos de forças que atuam no elemento de fluido: as superficiais, devida
a pressão e a de campo, neste caso, é igual o peso do elemento.
 A Pressão no centro geométrico do elemento é designada por p.
 As pressões médias na várias faces do elemento é expressa em função de p e de
suas derivadas.
 Na verdade é utilizada uma Expansão em Série de Taylor, baseada no centro do
elemento.
 As forças superficiais na direção x não são considerada para melhor visualização da
figura.
2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
 A Força Resultante na direção y é dada por:
 ou
 De modo análogo, as forças resultantes na direção x e z são dadas por:
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2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
 A forma vetorial da força superficial resultante que atua no elemento é;
Ou
 Onde i, j e k são vetores unitários do sistema de coordenadas.
 O grupo entre parêntese representa a forma vetorial do Gradiente de Pressão e
pode ser escrito como:
2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
 Onde
 Onde o Símbolo ∇ representa o operador gradiente. Assim:
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2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
 Como o eixo z é vertical, o peso do elemento de fluido é dado por:
 O sinal negativo indica que a força devida ao peso aponta para baixo (sentido
negativo do eixo z)
 A Segunda Lei de Newton, aplicada ao elemento de fluido, pode ser escrita da
seguinte forma:
F = ma
 Onde ΣδF representa a força resultante que atua no elemento;
 a é aceleração do elemento; e
 δma é a massa do elemento fluido, que pode ser escrito como . x . y .z, assim:
2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
ou
Dividindo por x . y .z, obtém-se
Esta é a Equação Geral do
Movimento válida para casos onde
as Tensões de Cisalhamento no
fluido são nulas.
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2.3 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO EM REPOUSO
 Em Fluido em repouso tem-se:
 Aceleração nula (a = 0);
 Assim
 Os componentes da Equação anterior são;
2.3 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO EM REPOUSO
 SIGNIFICADO:
 Isto mostra que a pressão não é função de x e y, isto é, não há variação no valor da
pressão quando mudamos de um ponto para outro situada no mesmo plano
horizontal (qualquer plano paralelo ao plano x-y)
 Então p é apenas função de z.
 Reescrevendo como uma Equação Diferencial ordinária, tem-se:
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2.3 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO EM REPOUSO
 Esta Equação é fundamental para o Cálculo da distribuição de pressão no caso
onde o fluido está em repouso. É utilizada para determinar como a pressão varia
com a elevação.
 Indica o gradiente de pressão na direção vertical é negativo, ou seja, a pressão
descrece quando nos movemos para cima num fluido em repouso.
 Como não há restrições em relação ao peso específico, a equação é válida para os
casos onde o fluido apresenta γ constante (por exemplo os líquidos ) e também para
os casos onde o peso específico varia (por exemplo, o ar e outros gases).
 Portanto, é necessário especificar como o peso específico varia com z para que seja
possível integrar a Equação Resultante para Fluidos Estáticos.
2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
 A variação do peso específico de um fluido é provocada pelas variações de sua
massa específica e da aceleração da gravidade.
  =  . g
 Como as variações de g na maioria dos problemas das aplicações da engenharia
são desprezíveis, temos somente que analisar as possíveis variações da massa
específica.
 Nos líquidos as variações da massa específica pode ser desprezada, mesmo
quando as distâncias verticais envolvidas sejam significativas.
 Sendo o peso específico constante, pode se integrar diretamente a Equação de
variação de pressão, isto é:
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2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
 Notação para a
variação de
pressão num fluido
em repouso e com
superfície livre
2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
Onde p1 e p2 são pressões nos planos com cota z1 e z2, respectivamente
Onde h é igual a distância z2 – z1 (profundidade medida a partir do plano que
apresenta p2)
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2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
 A pressão num fluido incompressível