Logica matemática -Teoria dos Conjuntos-Com gabarito

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CONJUNTO: representa uma coleção de objetos que possuem entre si ao menos uma característica ou 
propriedade em comum. Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto. Exemplos: 
A = O conjunto de todos os brasileiros. 
B = O conjunto de todos os números naturais. 
C = O conjunto de todos os números reais tal que x² – 4 = 0. 
 
Elemento: é um dos componentes de um conjunto. Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por 
uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c,… 
a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros. 
b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais. 
c. – 2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x² – 4 = 0. 
 
Pertinência: quando se quer relacionar elementos que pertencem a um conjunto, utiliza-se o símbolo ∈ que é 
lido como "é elemento de" ou " pertence a". 
O símbolo ∉ é a negação do símbolo de pertinência, portanto é lido como "não é elemento de" ou "não 
pertence a". 
a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros  José ∈ {brasileiros} 
b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais  1 ∈ N 
c. – 2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x² – 4 = 0 – 2 ∈ S 
d. – 4 não pertence ao conjunto dos números naturais  – 4 ∉ N 
 
Observe que o símbolo ∈ é utilizado para relacionar elemento a um conjunto. Portanto, é errado utilizar-se 
esse símbolo para relacionamento entre conjuntos e entre elementos. 
 
NOTAÇÃO DE CONJUNTOS 
Três modos distintos são utilizados para representar os elementos de um conjunto. 
1. Quando os elementos de um conjunto podem ser descritos. Essa notação consiste em citar os elementos do 
conjunto separados por vírgulas e entre chaves. Exemplos: 
 A = {a, e, i, o, u} B ={1, 3, 5, ... } C = {verde, amarelo, azul, branco} 
 
2. Pode-se representar um conjunto descrevendo a propriedade que é comum a todos os elementos que 
pertencem a esse conjunto. Essa representação é dada por: 
A = { x / x possui tal propriedade }. O símbolo / é lido como " tal que" . 
Exemplos: 
 A = {x / x é vogal } B = { x / x é positivo e ímpar} C = { x / x é pais da Europa } 
 
3. Terceiro modo de se representar um conjunto é através de uma representação gráfica. Essa representação 
consiste em representar elementos por pontos limitados por uma linha fechada que não se cruza. Esse modo de 
representação recebe o nome de diagrama. Quando se utiliza uma circunferência esse diagrama recebe o nome 
de diagrama de Euler- Veen. 
 
 
 
 
 
TIPOS ESPECIAIS DE CONJUNTOS: 
Subconjunto: Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, 
pertencer também a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte simbologia: 
A ⊂ B (lê-se A contido em B) 
LÓGICA MATEMÁTICA 
AULA 6 - 22.10.2018 
Profª. M. Helena Marciano 
 
 
Profª. M. Helena Marciano 
 
 
 
A 
1 
2 
3 
O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B. 
Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira: 
A ⊄ B (lê-se A não está contido em B) 
 
Propriedades dos subconjuntos: 
1. ∅ ⊂ A, ∀ A 
2. A ⊂ A, ∀ A 
3. Se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C 
 
Conjunto Unitário: É o conjunto que possui apenas um único elemento. 
Ex: A = {a} B = { x/x é a capital do Brasil} C = {x ∈ R / x + 2 = 8} = {6} 
 
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por {} ou por ∅. O conjunto vazio 
está contido em todos os conjuntos. 
Ex: A = {x ∈ N / x + 6 = 2} = ∅ ou {} 
 
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando. 
O conjunto universo é representado por uma letra U. 
Ex: A = {x ∈ N / x + 6 = 2} = ∅ ou {}  U = N 
 
Conjunto Verdade: É o conjunto de todos os elementos que tornam a sentença verdadeira. Esses elementos 
formam um subconjunto do conjunto universo. O conjunto verdade é representado por uma letra V. 
Ex: 
a. A = {x ∈ N / x + 6 > 9}, onde U = N  A = {4, 5, 6…..} ⊂ N 
b. B = {x ∈ N / x + 5 < 3}, onde U = N  B = ∅ ⊂ N 
 
Conjunto das Partes de um Conjunto: 
O conjunto das partes de A, representado, por P(A) é o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de 
A. Exemplo: 
Se A = {a, b}, então seus subconjuntos são: ∅,{a}, {b}, {a, b}ou A. Logo, P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} 
 
O número de elementos de P(A) é 2
n
, onde n é o número de elementos de A. 
No exemplo acima, como n = 2 temos n (P(A)) = 4. 
 
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS: 
UNIÃO: A união ou reunião de A com B é o conjunto A∪B, formado por todos os elementos que pertencem a, 
pelo menos um, dos conjuntos A e B. Simbolicamente: 
A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ x ∈ B}. 
Exemplos: 
1. Se A = {a, b, c} e B = {c, d, e}, então A∪B = {a, b, c, d, e}. 
 
 
 
 
2. Se A = {a, b, c} e B = {d, e}, então A∪B = {a, b, c, d, e}. 
 
 
 
 
3. Se A = {a, b, c, d} e B = {a, b}, então A∪B = {a, b, c, d} 
 
 
a b c d e A B 
a b c d e 
B A 
A 
b c d 
 B 
a 
INTERSECÇÃO: Dados dois conjuntos, A e B, a intersecção de A com B, designada por A ∩ B, é o conjunto 
formado pelos elementos comuns de A e de B. 
A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B} 
Exemplos: 
1. Se A = {a, b, c} e B = {c, d, e}, então A⋂B = {c} 
 
 
 
 
2. Se A = {a, b, c} e B = {d, e}, então A⋂B = { }ou ∅ 
 
 
 
 
3. Se A = {a, b, c, d} e B = {a, b}, então A⋂B = {a, b} 
 
 
 
 
 
Conjuntos disjuntos: quando A ∩ B = ∅, isto é, A e B não têm elementos comuns. 
 
DIFERENÇA: Chama-se diferença dos conjuntos A e B, ao conjunto A – B formado pelos elementos de A que 
não pertencem a B. 
A – B = {x: x ∈ A ∧ x ∉B}. 
 
Exemplos: 
1. Se A = {a, b, c} e B = {c, d, e}, então A – B = {a, b} 
 
 
 
 
2. Se A = {a, b, c} e B = {d, e}, então A – B = {a, b, c} 
 
 
 
 
3. Se A = {a, b, c, d} e B = {a, b}, então A – B = {c, d} 
 
 
 
 
 
CONJUNTO COMPLEMENTAR: Seja A um subconjunto de U. O conjunto complementar de U, é o 
subconjunto de U, formado por todos os elementos de U, que não pertencem a A. 
 Notação: A’ ou 𝐴 ou 𝐶𝑈
𝐴 . A’ = {x ∈ U/ x∉ A} 
 
 
 
 
 
 
 
Resolva os seguintes problemas através da teoria dos conjuntos: 
B 
a b c d e 
A 
A 
b c d 
 B 
a 
A B 
d e b 
a c 
A B a b c 
d e 
B A 
a b c d e 
A 
c d 
 B 
b a 
U 
A 
A 
1. Dos 200 professores de uma universidade, 60 dedicam tempo integral a esta instituição e 115 são doutores. 
Sabendo que, entre os doutores, apenas 33 dedicam tempo integral,qual o número de professores da 
universidade que não dedicam tempo integral e não são doutores? 
 
2. Considere que todas as pessoas de um grupo gostam das cores vermelha ou branca. Se, dessas pessoas,V é o 
conjunto das que gostam da cor vermelha e B é o conjunto das que gostam da cor branca, determine o 
conjunto das que gostam de somente uma dessas cores. 
 
3. Sejam os conjuntos A e B tais que A – B tem 42elementos, A∩B tem 15 elementos e A∪B tem 66. Nessas 
condições, qual é o número de elementos de B – A? 
 
4. Determine os conjuntos X que satisfazem a relação{1}⊂ X ⊂ {1,2,3}. 
 
5. Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que frequentam, pelo menos, uma entre três livrarias A, B 
e C. Foram obtidos os seguintes dados: 
 Das 90 pessoas que frequentam a livraria A, 28 não frequentam as demais; 
 Das 84 pessoas que frequentam a livraria B, 26 não frequentam as demais; 
 Das 86 pessoas que frequentam a livraria C, 24 não frequentam as demais; 
 8 pessoas frequentam as três livrarias. 
Determine: 
a. O número de pessoas que frequentam apenas uma das livrarias; 
b. O número de pessoasque frequentam, pelo menos, duas livrarias; 
c. O total de pessoas ouvidas nessa pesquisa. 
 
6. Um levantamento realizado pelo departamento de Recursos Humanos de uma empresa mostrou que 18% 
dos seus funcionários são fumantes. Sabendo - se que 20% dos homens e 15% das mulheres que trabalham 
nessa empresa fumam, a que porcentagem do total de funcionários dessa empresa correspondem os 
funcionários do sexo masculino? 
 
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS (Quantificadores): As proposições categóricas são iniciadas com os 
seguintes termos: “todo”, “algum” e “nenhum”. 
 
Exemplos: 
Todo soldado é bravo. 
Nenhum atleta é preguiçoso. 
Algum jogador de futebol é destro. 
Algum planeta não é habitável. 
 
Elas são classificadas em dois tipos: universais e particulares; que por sua vez são subdivididas em: universal 
afirmativa, universal negativa, particular afirmativa e particular negativa: 
 
Universais: 
Universal afirmativa: Todo A é B. 
Particulares: 
Particular afirmativa: Algum A é B. 
Universal negativa: Nenhum A é B. Particular negativa: Algum A não e B. 
 
A. Universal afirmativa: “Todo A é B” → Ou seja, o conjunto “A” está contido no conjunto “B”. 
Ob.: Dizer que “Todo A é B” não significa o mesmo que “Todo B é A”. 
Exemplo: “Todo médico é altruísta” não significa o mesmo que “Toda pessoa altruísta é médica”. 
 
São equivalentes as seguintes expressões categóricas: Todo, Qualquer, Cada. 
 
A universal afirmativa (“Todo A é B”) pode ser representada, na forma de diagramas: 
 A ⊂ B 
 
A 
B 
B. Universal negativa: “Nenhum A é B” → Ou seja, que não há elementos em comum entre os conjuntos 
“A” e “B”. 
Ob.: Dizer que: “Nenhum A é B” é o mesmo que dizer “Nenhum B é A”. 
Exemplo: "Nenhum policial é corrupto” possui o mesmo significado que “nenhuma pessoa corrupta é policial”. 
 
A universal negativa (“Nenhum A é B”) pode ser representada, na forma de diagramas: 
 
 
 A ∩ B = 𝜙 
 
 
C. Particular afirmativa: “Algum A é B” → Ou seja, o conjunto “A” tem pelo menos um elemento em 
comum com o conjunto “B”. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, presumimos que nem todo A é B. 
 
Ob: Dizer que: “Algum A é B” é o mesmo que “Algum B é A”. 
Exemplo: “Algum aluno é estudioso” é o mesmo que “Alguma pessoa estudiosa é aluno”. 
 
São equivalentes as seguintes expressões categóricas: Algum, Pelo menos um, Existem, Existe pelo menos 
um. 
 
A particular afirmativa (“Algum A é B”) pode ser representada, na forma de diagramas, por: 
 
 A ∩ B ≠ 𝜙 
 
 
 
D. Particular Negativa: “Algum A não é B” → Ou seja, o conjunto “A” tem pelo menos um elemento que 
não pertence ao conjunto “B”. 
 
Ob.: Dizer que: Algum A não é B não significa o mesmo que Algum B não é A. 
Exemplo: “Algum animal não é mamífero” não é o mesmo que dizer que “Algum mamífero não é animal”. 
São equivalentes as seguintes expressões categóricas: Algum, Nem todo, Existe um, Pelo menos um, etc. 
 
A particular negativa (“Algum A não é B”) pode ser representada, aa forma de diagramas, por: 
 
 
 A ⊄ B 
 
 
 
NEGAÇÕES DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
Convenções: 
∙ Ao negarmos uma proposição categórica universal geramos uma proposição categórica particular. 
∙ Ao negarmos uma proposição categórica particular geramos uma proposição categórica universal. 
∙ Negando uma proposição de natureza afirmativa geramos sempre, uma proposição de natureza negativa; 
∙ Negando uma proposição de natureza negativa geramos sempre, uma proposição de natureza afirmativa. 
 
Assim, teremos: 
~ (Todo A é B) ⇔ Algum A não é B 
 Universal Particular 
 Afirmativa Negativa 
 ~ (Nenhum A é B) ⇔ Algum A é B 
 Universal Particular 
 Negativa Afirmativa 
 
 
 
 
 
A B 
A B 
A B 
Pela recíproca da negação, teremos: 
~ (Algum A não é B) ⇔ Todo A é B 
 Particular Universal 
 Negativa Afirmativa 
 ~ (Algum A é B) ⇔ Nenhum A é B 
 Particular Universal 
 Afirmativa Negativa 
 
 
 
Exemplos: 
1. A negação da proposição: “Todo jogador é atleta” será representada por: 
Algum jogador não é atleta. 
Existem jogadores que não são atletas. 
Pelo menos um jogador não é atleta; 
Existe pelo menos um jogador que não é atleta. 
Nem todo jogador é atleta. 
 
2. A negação da proposição: “Nenhum vegetariano come carne” será representada por: 
Algum vegetariano come carne. 
Existem vegetarianos que comem carne. 
Pelo menos um vegetariano come carne. 
Existe pelo menos um vegetariano que come carne. 
Ao menos um vegetariano come carne. 
 
3. A negação da proposição: “Algum empresário não é empreendedor” será representada por: 
Todo empresário é empreendedor. 
 
4. A negação da proposição: “Algum poeta é romântico” será representada por: 
Nenhum poeta é romântico. 
Todo poeta não é romântico. 
 
ANÁLISE DE ARGUMENTOS E CONCLUSÃO 
Podemos analisar os argumentos e as conclusões através de diagramas. 
 
Exemplos: 
A: Considere o seguinte argumento: 
P1: Toda formiga é um inseto. 
P2: Saúva é uma formiga. 
Q: Portanto, saúva é um inseto. 
Conclusão: O argumento é válido, pois como o conjunto das saúvas está contido no conjunto das formigas que 
está contido no conjunto dos insetos. Logo, saúva é um inseto. 
 
 
B: Considere o seguinte argumento: 
P1: Todos os japoneses são asiáticos 
P2: Hiroshi mora no Japão 
Q: Logo, Hiroshi é asiático. 
 
 
 
Conclusão: Nem todo morador do Japão é asiático e sobre Hiroshi nada foi dito sobre onde ele nasceu. 
Portanto temos um Sofisma (ou Falácia é o nome dado a um argumento não válido). 
 
C: Considere o seguinte argumento: 
P1: Os bebês não são lógicos 
P2: Quem consegue amestrar um crocodilo não é desprezado 
P3: Pessoas ilógicas são desprezadas 
Q: Bebês não sabem amestrar crocodilos 
 
Formigas 
Saúvas 
Insetos 
Pessoas que 
moram no Japão 
Japoneses 
Asiáticos 
 
 
 
 
 
 
Note que o conjunto dos bebes e o conjunto das pessoas que sabem amestrar crocodilos são disjuntos. Logo 
“Bebês não sabem amestrar crocodilos” é uma consequência de P1, P2 e P3. P é verdadeiro e, portanto o 
argumento é verdadeiro. 
 
EXERCÍCIOS: 
1. De a negação das proposições: 
a. Todos os homens são mortais. 
b. Existe um planeta que é habitável. 
c. Todo aluno dessa turma é bem comportado. 
d. Existe pelo menos um aluno dessa turma que esta doente. 
 
2. A negação de "todos os cariocas sejam flamenguistas", é: 
a. O conjunto dos cariocas contém o conjunto dos flamenguistas; 
b. O conjunto dos flamenguistas contém o conjunto dos cariocas; 
c. Todos os flamenguistas são cariocas; 
d. Algum carioca não é flamenguista; 
e. Nenhum carioca é flamenguista. 
 
3. Considerando FALSO que "nenhum homem é pessoa confiável", então é CORRETO afirmar que: 
a. Todos os homens são pessoas confiáveis; 
b. Existe pelo menos um homem que é confiável; 
c. Algum homem não é confiável; 
d. Pelo menos uma pessoa confiável não é homem; 
e. Algum homem não é pessoa confiável. 
 
4. Considerando que é falsa a afirmação "algum planeta não é habitável", então podemos afirmar que: 
a. Todos os planetas são habitáveis; 
b. Se é planeta, então não é habitável; 
c. Algum planeta é habitável; 
d. Qualquer lugar habitável é um planeta; 
e. Existe pelo menos um planeta que é habitável. 
 
5. Seja a afirmação "Pelo menos um político é considerado honesto". Então, sua contradição será dada por: 
a. Não existe político que é considerado honesto; 
b. Todos os políticos são considerados honestos; 
c. Algum político não é considerado honesto;d. Nenhum político é considerado honesto; 
e. Nem todos os políticos são considerados honestos. 
 
6. Seja p(x) uma proposição com uma variável "x". Indique o item que define a negação dos quantificadores: 
I. ∼ [(∀x) (p(x))] ↔ (∃x) (∼ p(x)); 
II. ∼ [(∃x) (p(x))] ↔ (∃x) (∼ p(x)); 
III. ∼ [(∃x) (p(x))] ↔ (∀x) (∼ p(x)); 
a. Apenas I; 
b. Apenas I e III; 
c. Apenas III; 
d. Apenas II; 
e. Apenas II e III. 
 
 
Pessoas ilógicas 
Bebês 
Pessoas que sabem 
amestrar crocodilos 
Pessoas ilógicas 
Bebês 
Pessoas desprezadas 
7. A negação de “para todo x real existe um número real y tal que y < x” é equivalente a: 
a. Existe um real x tal que x ≤ y para todo real y. 
b. Não existe um real x tal que x ≤ y para todo real y. 
c. Existe um real x tal que y ≤ x para todo real y. 
d. Não existe um real x tal que y ≤ x para todo real y. 
e. Para todos os reais x, y com x ≤ y, existe um z com x < z < y. 
 
8. Se é verdade que "nenhum artista é atleta", então também será verdade que: 
a. Todos não artistas são não atletas; 
b. Nenhum atleta é não artista; 
c. Nenhum artista é não atleta; 
d. Pelo menos um não atleta é artista; 
e. Nenhum não atleta é artista. 
 
9. (Cespe/UnB) A negação da proposição "Existe um número inteiro que não real" pode ser escrita como: 
a. Todo número inteiro é real; 
b. Algum número inteiro é real; 
c. Nenhum número inteiro é real; 
d. Nem todo número inteiro é real; 
e. Todo número inteiro é real. 
 
10. Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: 
a. (∃ x ∈ A) (x + 3 = 10) 
b. (∀ x ∈ A) (x + 3 < 10) 
c. (∃ x ∈ A) (x + 3 < 5) 
d. (∀ x ∈ A) (x + 3 ≤ 7) 
e. (∃ x ∈ A) (x2 + 2x = 15) 
 
11. Dar a negação das proposições do exercício 10. 
 
12. Sendo R o conjunto dos números reais, determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: 
a. (∃ x ∈ R) (2x = x) 
b. (∃ x ∈ R) (x2 + 5 = 2x) 
c. (∀ x ∈ R) (x + 3 < 4) 
d. (∀ x ∈ R) (x2 + 1 > 0) 
e. (∃ x ∈ R) (4x – 3 = 1 – 2x) 
 
13. Dar a negação das proposições do exercício 12. 
 
14. Determine a validade dos seguintes argumentos pela construção de um diagrama de Venn: 
a. Alguns estudantes são preguiçosos 
 Todos os homens são preguiçosos 
 Alguns estudantes são homens. 
 
b. Todo cão é preto. 
Tufão é um cão. 
Portanto, Tufão é preto. 
c. Todos os estudantes são preguiçosos 
 Ninguém que seja rico é estudante 
 Pessoas preguiçosas não são ricas. 
 
15. Considere o seguinte argumento: 
P1: Se um homem é solteiro, ele é infeliz. 
P2: se um homem é infeliz, ele morre cedo. 
Q: Solteiros morrem cedo. 
 
Prove que esse argumento é verdadeiro usando: 
a. Tabela Verdade 
b. Atribuição de Valores Lógicos 
c. Diagrama de Venn 
 
16. Para cada conjunto de premissas, achar uma conclusão tal que o argumento seja válido e tal que cada 
premissa seja necessária para a conclusão: 
a. Nenhum estudante é preguiçoso 
João é um artista 
Todos os artistas são preguiçosos 
P: João não é um estudante 
 
 
 
 
 
Extraído dos livros: 
“Iniciação à Lógica Matemática” – Edgard de Alencar Filho 
 “Raciocínio Lógico Passo a Passo”- Mauro César Nunes e Luiz Cláudio Cabral 
“Lógica – Coleção Schaum” – John Dennis Rohatyn 
1) A)Alguns homens não são mortais
B) todos os planetas não são habitáveis
C) Algum aluno dessa turma não é bem comportado
D) Todos os alunos dessa turma não estão doente
2)d
3)b
4)a
5)d
6)b
7)a
8)d
9)a
10)a)F
b)v
c)v
d)f
e)v
11)
A) (ꓯ x ∈ A) (x + 3 ≠ 10)
B) (∃ x ∈ A) (x + 3 ≥10)
C) (ꓯ x ∈ A) (x + 3 ≥5)
D) (∃ x ∈ A) (x + 3 >7)
E) (ꓯ x ∈ A) (x2 + 2x ≠15)
12)a)0 então verdadeiro
b)da um delta negativo então é falso
c)falso
d)Verdadeiro
e)verdadeiro
13)
a) (∀ x ∈ R) (2x ≠ x)
b) (∀ x ∈ R) (x 2 + 5 ≠ 2x)
c) (∃ x ∈ R) (x + 3 ≥4)
d) (∃ x ∈ R) (x 2 + 1 ≤ 0)
e) (∀ x ∈ R) (4x – 3 ≠ 1 – 2x)
14)
A)
15)
Se um homem é solteiro, ele é infeliz
Se um homem é infeliz, ele morre cedo
Prequiçosos
estudantesHomens EHP
EP