Aula 7 Ondas mecnicas

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Introdução à Física Clássica II 
Prof. Neemias Alves de Lima 
 
Ondas 
Mecânicas 
Aula 7 - Velocidade de uma onda transversal. 
Ondas harmônicas. Energia no movimento ondulatório. 
7.1 Características das ondas 
1) Ondas mecânicas 
 
 
 
 
 Ondas eletromagnéticas 
Explicadas pela 
2ª lei de Newton 
Não explicadas pela 
2ª lei de Newton 
2) 1D, 2D ou 3D 
3) Ondas transversais 
 
Ondas longitudinais 
4) Ondas progressivas 
 
 
 
 
 
 
 Ondas estacionárias 
Propagação da energia sem a propagação de matéria 
Energia e matéria confinadas a uma região do espaço 
7.2 Pulsos de onda 
Um pulso de onda é uma onda de extensão relativamente 
curta 
ݕ ݔ, ݐ = ݂ሺݔ − 𝑣௫ݐሻ 
Satisfaz que equação de movimento? 
ݕ ݔ, ݐ = ݂ሺݔ − 𝑣௫ݐሻ 
߲ଶݕሺݔ, ݐሻ߲ݐଶ = 𝑣ଶ ݀ଶ݂ 𝛾݀𝛾ଶ ߲ଶݕሺݔ, ݐሻ߲ݔଶ = ݀ଶ݂ 𝛾݀𝛾ଶ 
߲ଶݕሺݔ, ݐሻ߲ݔଶ = ͳ𝑣ଶ ߲ଶݕሺݔ, ݐሻ߲ݐଶ 
𝛾 = ݔ − 𝑣௫ݐ 
Equação de Onda 
Unidimensional 
7.3 A equação de onda unidimensional 
Modelo simplificado: 
corda elástica muito leve, vibrações transversais pequenas 
7.4 A equação das cordas vibrantes 
Vibração a partir da posição de equilíbrio da corda 
 𝐹௫ = Ͳ 
−𝑇ଵܿ݋ݏ𝜃ଵ + 𝑇ଶܿ݋ݏ𝜃ଶ = Ͳ ܿ݋ݏ𝜃ଵ ≈ ͳ ܿ݋ݏ𝜃ଶ ≈ ͳ 
𝑇ଵ = 𝑇ଶ = 𝑇 
Vibração a partir da posição de equilíbrio da corda 𝐹௬ = ݀݉ 𝑎௬ 
݀݉𝑎௬ ≈ ሺߤ݀ݔሻ ߲ଶݕ߲ݐଶ 
𝑇ଵ௬ + 𝑇ଶ௬ = −𝑇ݏ݁݊𝜃ଵ + 𝑇ݏ݁݊𝜃ଶ = 𝑇 ݏ݁݊𝜃ଶ − ݏ݁݊𝜃ଵ ≈ 𝑇 ߲ଶݕ߲ݔଶ ݀ݔ 
߲ଶݕ߲ݔଶ = ͳ𝑣ଶ ߲ଶݕ߲ݐଶ 𝑣 = 𝑇ߤ Equação de Onda Unidimensional 
Exemplo 7.1: Depois de uma tempestade um alpinista 80,0 
kg está preso em uma elevação na montanha. Um 
helicóptero o resgata pairando acima e baixando um cabo 
para ele. A massa do cabo é de 8,00 kg, e seu 
comprimento, 15,0 m. Um suporte de 70,0 kg de massa 
está ligado à extremidade do cabo. O alpinista se prende a 
ele, e depois o helicóptero acelera para cima. Aterrorizado 
por estar suspenso, no ar, pelo cabo, o alpinista tenta 
sinalizar para o piloto, enviando pulsos transversais pelo 
cabo. Um pulso leva 0,250 s para percorrer o comprimento 
do cabo. Qual é a aceleração do helicóptero? Suponha que 
a tensão no cabo seja uniforme. 
7.5 Ondas harmônicas 
ݕሺݔ, ݐሻ = 𝐴ܿ݋ݏሺ𝑘ݔ − ߱ݐ + 𝜙ሻ 
𝑣௬ሺݔ, ݐሻ = ߲ݕ߲ݐ = 𝐴߱ݏ݁݊ሺ𝑘ݔ − ߱ݐ + 𝜙ሻ 𝑎௬ሺݔ, ݐሻ = ߲𝑣௬߲ݐ = −𝐴߱ଶܿ݋ݏ 𝑘ݔ − ߱ݐ + 𝜙 = −߱ଶݕ 
ߣ = 𝑣𝑇 
ݕሺݔ, ݐሻ = 𝐴ܿ݋ݏ ʹ𝜋 ݔߣ − ݐ𝑇 + 𝜙 
𝑘 = ʹ𝜋ߣ 
 𝑣 = ߣ݂ 𝑇 = ͳ/݂ Comprimento de onda 
Número de onda 
Exemplo 7.2: A função de onda para uma onda que viaja 
em uma corda esticada é (em unidades SI) ݕ ݔ, ݐ = Ͳ,͵ͷͲ sen ͳͲ𝜋ݐ − ͵𝜋ݔ + 𝜋Ͷ 
(a) Qual é a velocidade (módulo, direção e sentido) de 
propagação da onda? (b) Qual é a posição vertical de um 
elemento da corda em ݐ = Ͳ, ݔ = Ͳ,ͳͲͲ m? Quais são (c) 
o comprimento de onda e (d) a frequência da onda? (e) 
Qual é a velocidade transversal máxima de um elemento 
da corda? 
7.6 Potência em ondas harmônicas 
𝑇௬ = −𝑇ݏ݁݊𝜃 = −𝑇 ߲ݕ߲ݔ Realiza trabalho na direção ݕ 
ܲ ݔ, ݐ = 𝑇௬ ݔ, ݐ 𝑣௬ ݔ, ݐ = −𝑇 ߲ݕ߲ݔ ߲ݕ߲ݐ 
ܲ ݔ, ݐ = 𝑇𝐴ଶ𝑘߱ senଶ 𝑘ݔ − ߱ݐ + 𝜙 
Potência: Taxa de transferência de energia 
Onda harmônica 
 ܲ = 𝑇𝐴ଶ𝑘߱ cosଶ 𝑘ݔ − ߱ݐ + 𝜙 = ͳʹ߱𝑘𝐴ଶ𝑇 
𝑇 = ߤ𝑣ଶ 𝑘𝑣 = ߱ → 𝑘 = �߱� 
 ܲ = ͳʹ ߱𝑘𝐴ଶ𝑇 = ͳʹ ߤ𝑣߱ଶ𝐴ଶ 
Taxa de transferência de energia 
Potência média 
Exemplo 7.3: Se função de onda do Exemplo 3.4, ݕ ݔ, ݐ = Ͳ,͵ͷͲ sen ͳͲ𝜋ݐ − ͵𝜋ݔ + 𝜋Ͷ , 
viaja em uma corda esticada de densidade de massa 
linear de ͳͲͲ,Ͳ g/m, (a) qual é a tensão na corda? (b) 
Qual é a taxa média na qual a energia é transmitida ao 
longo da corda? (b) Qual é a energia contida em cada 
ciclo da onda?