UERJ MATEMÁTICA 2

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No dia a dia, em tarefas em casa, ou em atribuições no trabalho, precisamos dividir um determinado número por outro em quantidades diferentes. Exemplo: um vendedor ou um estoquista, para embalar mercadorias e colocá-las no estoque, precisa fazer cálculos. Existem algumas regras mais comuns de divisibilidade. Vamos entender como essas regras funcionam! Elas ajudam a tornar a divisão de números naturais mais fácil e rápida.
Quando dividimos um número natural por outro número e a divisão for exata, ou seja, o resultado não sobrar resto, entendemos que esse número é divisível pelo outro número. Sendo assim, para localizarmos todos os números naturais divisores de um outro número natural, basta verificar quais os números ele é divisível.
Divisibilidade por 2
Quando sabemos que um número natural é divisível por 2?
Para que um número natural seja dividido por 2 é preciso que esse número seja par.
Divisibilidade por 3
Quando sabemos que um número natural é divisível por 3?
Para que um número natural seja dividido por 3 é preciso que a soma de seus números seja divisível por 3. Exemplo: 15 é divisível por 3, porque 1+5 = 6
Divisibilidade por 4
Quando sabemos que um número natural é divisível por 4?
Para que um número natural seja dividido por 4 é preciso que os dois últimos números sejam divisíveis por 4.
Divisibilidade por 5
Quando sabemos que um número natural é divisível por 5?
Para que um número natural seja dividido por 5 é preciso que esse número termine em 0 ou em 5.
Divisibilidade por 6
Quando sabemos que um número natural é divisível por 6?
Para que um número natural seja dividido por 6 é preciso que esse número seja divisível pelo número 2 e pelo número 3.
Divisibilidade por 9
Quando sabemos que um número natural é divisível por 9?
Para que um número natural seja dividido por 9 é preciso que a soma de seus números seja divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Quando sabemos que um número natural é divisível por 10?
Para que um número seja divisível por 10 é preciso que termine em zero.
Par ou ímpar?
Quem nunca brincou de par ou ímpar? Brincadeira de criança que nos ajuda a decidir, a contar, e a dividir.
No nosso cotidiano, usamos a expressão par ou ímpar para identificar o lado da rua em que moramos, a quantidade de pessoas, a quantidade de objetos e coisas.
O número par é o resultado do conjunto de números naturais que multiplicamos por 2. Os demais números, denominamos de número ímpar.
Dentre as propriedades operatórias existentes na Matemática, podemos ressaltar a divisão, que consiste em representar o número em partes menores e iguais. Para que o processo da divisão ocorra normalmente, sem que o resultado seja um número não inteiro, precisamos estabelecer situações envolvendo algumas regras de divisibilidade. Lembrando que um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero.
Regras de divisibilidade
Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.
Divisibilidade por 2
Todo número par é divisível por 2, para isto basta terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplo:
24 : 2 = 12
132 : 2 = 66
108 : 2 = 54
1024 : 2 = 512
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 3. Exemplo:
33 : 3 = 11, pois 3 + 3 = 6
45 : 3 = 15, pois 4 + 5 = 9
156 : 3 = 52, pois 1 + 5 + 6 = 12
558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando for par e a metade do último algarismo adicionado ao penúltimo for um número par ou terminar com zero nas duas últimas casas. Exemplo:
48 : 4 = 12, pois 8/2 + 4 = 8
288 : 4 = 72, pois 8/2 + 8 = 12
144 : 4 = 36, pois 4/2 + 4 = 6
100 : 4 = 25, pois possui na última e antepenúltima casa o algarismo 0.
Divisibilidade por 5
É todo número terminado em 0 ou 5.
25 : 5 = 5
100 : 5 = 20
555 : 5 = 111
75 : 5 = 15
Divisibilidade por 6 
São todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante.
24 : 6 = 4, pois 24 : 2 = 12 e 24 : 3 = 8
36 : 6 = 6, pois 36 : 2 = 18 e 36 : 3 = 12
132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44
564: 6 = 94, pois 564 : 2 = 282 e 546 : 3 = 188
Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 quando estabelecida a diferença entre o dobro do último e os demais algarismos, constituindo um número divisível por 7. Exemplo:
161 : 7 = 23, pois 16 – 2*1 = 16 – 2 = 14
203 : 7 = 29, pois 20 – 2*3 = 20 – 6 = 14
294 : 7 = 42, pois 29 – 2*4 = 29 – 8 = 21
840 : 7 = 120, pois 84 – 2*0 = 84
Divisibilidade por 8 
Um número é divisível por 8 quando termina em 000 ou os últimos três números são divisíveis por 8. Exemplo:
1000 : 8 = 125, pois termina em 000
208 : 8 = 26, pois os três últimos são divisíveis por 8
Divisibilidade por 9
Será divisível por 9 todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplo:
81 : 9 = 9, pois 8 + 1 = 9
1107 : 9 = 123, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9
4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27
Divisibilidade por 10 
Todo número terminado em 0 é divisível por 10.
100 : 10 = 10
500 : 10 = 50
500 000 : 10 = 50 000
2000 : 10 = 200
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11.
1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 132 – 2 = 11
2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22
7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66
Divisibilidade por 12
Se um número é divisível por 3 e 4, também será divisível por 12.
192 : 12 = 16, pois 192 : 3 = 64 e 192 : 4 = 48
672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168
Divisibilidade por 15
Todo número divisível por 3 e 5 também é divisível por 15.
1470 é divisível por 15, pois 1470:3 = 490 e 1470:5 = 294.
1800 é divisível por 15, pois 1800:3 = 600 e 1800:5 = 360.
Direta ou indiretamente, em várias situações você precisa decompor um número em seus fatores primos.
Quando você precisa realizar a soma ou a subtração de frações, indiretamente você precisará recorrer à fatoração para encontrar o mínimo múltiplo comum dos seus denominadores.
Há situações onde você precisa encontrar o máximo divisor comum de um conjunto de números e então diretamente poderá recorrer à decomposição em fatores primos.
Nesta página você dispõe de uma ferramenta para a realização automatizada da fatoração.
Basta que você informe o número a fatorar, para que o sistema realize os procedimentos passo a passo.
Você pode utilizar esta calculadora tanto para aprender e treinar o mecanismo da fatoração, quanto para conferir exercícios ou realizar os cálculos de forma mais rápida.
O primeiro número primo capaz de dividir 2205 é o número 3:
735 também é divisível por 3:
245 não é divisível por 3 e o próximo número primo capaz de dividi-lo sem deixar resto é o número 5:
49 não é divisível por 5 e o próximo número primo capaz de dividi-lo sem deixar resto é o número 7:
7 também é divisível por 7:
Portanto: 2205 = 32 . 5 . 72
A decomposição de um número natural em um produto de fatores primos é chamada de fatoração.
A fatoração de qualquer número natural primo resultará no próprio número. A fatoração do número primo 73, por exemplo, não resultará em outro número senão ao próprio número 73.
A fatoração de qualquer número natural composto resultará em um produto de 2 ou mais fatores primos.
Tópico relacionadoCalculadora para Decomposição em Fatores Primos 
Observe que um mesmo fator primo pode ocorrer mais de uma vez. Quando isto acontece o representamos na forma de uma potência cujo expoente é o número de ocorrências do tal fator e a base é o próprio fator.
Vejamos o número 147, por exemplo. Ele pode ser decomposto nos seguintes fatores primos:
3
7
7
Ou seja, 147 decomposto em fatores primos é igual a 3 . 72.
Método paraa Decomposição em Fatores Primos
Para realizarmos a decomposição de um número em fatores primos, devemos procurar pelo menor número primo capaz de dividi-lo (divisão exata) e realizarmos a sua divisão por este número enquanto for possível. Depois devemos procurar pelo próximo número primo capaz de dividi-lo e continuar neste procedimento até que o quociente da divisão resulte em 1. Neste momento teremos todos os fatores primos que compõe tal número.
Tomemos como exemplo o número 360. O primeiro número primo capaz de dividi-lo é o número 2:
Note que à esquerda da barra colocamos o número que estamos fatorando e todos os quocientes que vamos encontrando durante o processo. À direita dela, vamos colocando todos os divisores primos que causam a divisão exata.
O quociente 180 ainda é divisível por 2, por isto ele será utilizado novamente como divisor:
90 continua sendo divisível por 2, logo dividimos novamente por 2:
45 não é mais divisível por 2 e o próximo número primo capaz de dividi-lo sem deixar resto é o número 3:
Tópico relacionadoTabela com os 100.000 primeiros Números Primos 
15 também é divisível por 3:
5 não é divisível por 3 e o próximo número primo capaz de dividi-lo é o próprio número 5:
Neste momento chegamos finalmente ao quociente 1. Temos então que o número 360 pode ser decomposto nos seguintes fatores primos:
2, 2, 2, 3, 3 e 5.
Podemos dizer então que: 360 = 23 . 32 . 5.
Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de uma multiplicação, mostrando os fatores (números).
Veja: 30 = 2 x 15 ou 30 = 5 x 6 ou 30 = 3 x 10 estas são algumas formas de fatorar o número 30, observe que ele (nº 30) foi escrito como uma multiplicação de outros números.
O que vamos aprender nesta aula é uma técnica para escrever um determinado número como uma multiplicação de números primos, isto é, vamos aprender, por exemplo, a escrever o número 30 como 30 = 2 x 3 x 5 .
Veja que 2, 3 e 5 são números primos. Decompor um número em fatores primos nos ajuda, por exemplo, no cálculo do máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, numa simplificação, etc.
Não sabe o que é um número primo, veja a aula sobre número primo.
Vamos começar!
Utilizando a Técnica das Divisões Sucessivas
Esta técnica consiste em dividir o número que se deseja fatorar por números primos até encontrar quociente 1 (um). Vejamos:
Decompondo o número 24.
Reescrevendo o número 24, temos 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3. Pronto! A forma 23 x 3 é a forma fatorada, em fatores primos, do número 24.
Algumas observações:
Para decompor o número (24) procuramos o menor número primo possível (2) que divide exatamente o número dado, obtendo assim um quociente (12), continuamos este processo até obter quociente 1. Como o fator 2 (dois) aparece três vezes, podemos escrevê-lo na forma de potência, isto é, 23.
A decomposição em fatores primos é única, o que quer dizer?
Podemos seguir um caminho diferente, mas o resultado será o mesmo. Poderíamos ter começado nossa fatoração pelo fator 3, pois 24 é divisível por 3 e 3 é primo. Veja como ficaria:
24 = 3 x 2 x 2 x 2 = 3 x 23 = 23 x 3.
Lembre-se: a ordem dos fatores não altera o produto, no conjunto dos números naturais.
Caso esteja tendo muita dificuldade para compreender a técnica, assista nossa vídeoaula sobre decomposição em fatores primos, clique no link abaixo:
VídeoAula Decomposição em Fatores Primos
Veja mais exemplos:
90 = 2 x 32 x 5                    693 = 32 x 7 x 11                 975 = 52 x 3 x 13
Agora, verifique sua aprendizagem decompondo em fatores primos os números abaixo:
a) 27          b) 85          c) 825
Conclusão
Vimos nesta aula que:
Todo número natural composto (não primo) maior do que 1 (um) pode ser escrito como um produto de números primos.
A decomposição em fatores primo é única, para cada número natural.
A decomposição em fatores primos é muito importante para o desenvolvimento de outros assuntos, veja a aula sobre máximo divisor comum – mdc.
Gabarito do exercício: a) 33    b) 5.17        c) 3.52.11
Para tratarmos do assunto referente à decomposição em fatores primos por divisões sucessivas, precisamos entender separadamente o que é a fatoração e as divisões sucessivas.
Fatoração
Fatorar um número significa escrevê-lo em forma de produto. Quando isso acontece, os fatores do número devem ser termos numéricos primos. Para que um número seja considerado primo, ele deve ser divisível somente por 1 e por ele mesmo. Alguns exemplos de números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 …
Veja alguns exemplos de fatoração:
 
4 = 2 x 2
16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 4 x 4
35 = 2 x 3 x 7 = 6 x 7
Divisões Sucessivas
A decomposição de um número envolve as divisões sucessivas. Nesse método, o divisor sempre será um número primo que divide o dividendo. O resultado será o quociente, que, por sua vez, será dividido por outro número primo. As divisões sucessivas terminam quando obtemos 1 no quociente. Para poder compreender melhor, veja abaixo o algoritmo da divisão:
Dividendo |Divisor 
Resto       Quociente
Faremos dois exemplos numéricos utilizando o processo das divisões sucessivas. Veja:
Primeiro exemplo:
220|2     
   0 110|2   
         0 55|5  
             0 11|11
                 0 1
Como visto, a fatoração de 220 é 2 x 2 x 5 x 11. Para fatorar um número, inicialmente devemos procurar o menor número primo que divide o número dado. No caso de 220, o menor número primo que o divide é 2. Depois, devemos dividir o quociente encontrado pelo menor número primo que o divide e assim sucessivamente até obtermos 1 para o quociente.
Segundo Exemplo:
520|2    
   0 260|2    
        0 130| 2  
              0 65| 5  
                  0 13|13
                      0  1
520 = 2 x 2 x 2 x 5 x 13
Para um número ser decomposto por divisões sucessivas, ele precisa respeitar duas características, que são:
O número que será decomposto deve ser inteiro, não primo e maior que um;
A decomposição em fatores primos é única para cada número.
Fatoração numérica
As divisões sucessivas podem ser estruturadas de forma verticalizada para efetuarmos a fatoração numérica. Veja um exemplo:
100|2 → 2 é o menor número primo que divide o número 100;
50|2 → 2 é o menor número primo que divide o número 50;
  25|5 → 5 é o menor número primo que divide o número 25;
    5|5 → 5 é o único número primo que divide 5.
    1|
A fatoração está diretamente relacionada com a multiplicação, haja vista que os fatores são os termos que multiplicamos para gerar o produto. Veja:
   2 → fator              26 → fator
x 3 → fator             x 7 → fator
   6 → Produto       182 → Produto
Os fatores primos da decomposição são obtidos por meio de divisões sucessivas. Recorde-se de que, para um número ser primo, ele deve ser divisível somente por 1 e ele mesmo, logo, os números 2, 3, 5, 7 e 11 são primos. O número primo é considerado um fator quando ele for o divisor no algoritmo da divisão. A estrutura do algoritmo da divisão é a seguinte:
Dividendo | Divisor 
Resto         Quociente
Realizando a divisão de 4 por 2, temos a seguinte situação:
Utilizando as divisões sucessivas, obtemos a fatoração completa, que representa a decomposição de um número em fatores primos. Veja um exemplo de divisões sucessivas do número 112 e, em seguida, a fatoração completa.
Exemplo: Decomponha o número 112 em fatores primos:
112| 2 
   0 56 | 2 
       0  28 | 2 
            0  14 | 2 
                 0  7 | 7
                     0  1
Toda vez que for realizar a decomposição de um número em fatores primos, lembre-se de que o divisor sempre será um número primo e a ordem de sucessão desses divisores, que são fatores, é crescente. Mudamos o número primo do divisor somente quando não é mais possível utilizá-lo na divisão. No exemplo acima, houve a mudança do divisor de número 2 para sete, uma vez que o dividendo passou a ser o sete e o único divisor para 7 é o próprio 7.
Ainda sobre o exemplo acima, a fatoração completa de 121 é:
112 = 2 . 2 . 2 . 2 . 7 = 24 . 7
Além daestrutura do algoritmo da divisão, existe outra que pode ser utilizada para fatorar um número. Veja os três exemplos a seguir:
Exemplo: Encontre a forma fatorada completa dos números 234, 180 e 1620:
234|2
117|3
 39|3
 13|13
   1|
A forma fatorada completa do número 234 é: 2 . 3 . 3 . 13 = 2 . 32 . 13
Observe que todos os fatores são números primos e que a sucessão dos fatores acontece de forma crescente.
180|2
  90|2
  45|3
  15|3
    5|5
    1|
A forma fatorada completa do número 180 é: 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 22 . 32 . 5
Todos os termos que compõem a fatoração são números primos.
1620|2
  810|2
  405|3
  135|3
    45|3
    15|3
      5|5
      1|
A forma fatorada completa do número 1620 é: 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 . 5 = 22 . 34 . 5
Todos os números que compõem a fatoração são primos.
Os números primos são trabalhados pela humanidade há uma longa data. Existem indícios de que o povo egípcio já possuía conhecimento acerca desses números, entretanto foi na Grécia que estudos mais aprofundados sobre os números primos foram realizados. 
Nesses estudos, descobriu-se que todo número natural é formado pela multiplicação de números primos, ou seja, ele pode ser decomposto em fatores primos.
A decomposição em fatores primos auxilia na realização dos cálculos do MDC (Máximo Divisor Comum) e do MMC (Mínimo Múltiplo Comum). Dessa forma, veremos o método para obter a decomposição de números primos.
Para realizar a decomposição de um número, deveremos encontrar números primos que dividem o número a ser decomposto. Realizaremos sucessivas divisões até que o número se torne igual a 1. Por fim, selecionaremos os divisores de todas as divisões e escreveremos esses números multiplicados uns pelos outros. Este é um processo inicial, logo mais veremos a decomposição de forma mais prática.
Exemplo: Decomponha o número 30 em fatores primos.
Primeiro devemos encontrar um número primo que divida o número 30. O número 2 o divide, portanto o primeiro divisor será o número 2. O resultado da divisão de 30 por 2 é 15. Divida o quociente por um número primo, temos o número 3 ou o 5, fica a seu critério escolher qual dos dois usar, pois, ao final, obteremos o mesmo resultado. Dividindo o número 15 por 5 iremos obter o número 3, este número só pode ser dividido por ele mesmo, resultando no valor 1, que é o nosso passo final.
Veja que os divisores foram os números: 2, 3 e 5, todos eles são números primos. Portanto podemos escrever o número 30 como um produto desses três números.
30 = 2x3x5 (Produto de números primos)
Vejamos o que foi feito:
Contudo, não existe a necessidade de ficar construindo toda essa divisão, podemos utilizar a regra prática para efetuar essa fatoração.
Separaremos os quocientes dos divisores por uma barra vertical: no lado esquerdo dessa barra teremos os quocientes; e no lado direito, os divisores primos. Devemos realizar a divisão do quociente por divisores primos até que o quociente fique igual a 1. Façamos a fatoração do número 180 utilizando esse processo:
Portanto, basta encontrar os números primos que dividem o número que desejamos decompor e depois escrever a decomposição em forma de produto dos fatores primos.
Para o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc) e do máximo divisor comum (mdc) é preciso saber o que são múltiplos e divisores de um número.
Múltiplos de um número natural é o produto da multiplicação desse número por outro, por exemplo:
69 é múltiplo de 3, pois 3 x 23 = 69.
80 é múltiplo de 5, pois 5 x 16 = 80
Divisor de um número natural é aquele número que divide outro, desde que a divisão seja exata, por exemplo:
5 é divisor de 30, pois 30 : 5 = 6
18 é divisor de 90, pois 90: 18 = 5.
Mínimo múltiplo comum (mmc)
O mmc de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o menor múltiplo comum entre os números, por exemplo:
Para calcular o mmc de 30 e 60, devemos encontrar primeiro os seus respectivos múltiplos.
M(30) = 0,30,60,90,120,150, ...
M(60) = 0,60,120,180,240, ...
Observando os primeiros múltiplos de 30 e 60 percebemos que eles possuem mais de um múltiplo comum, mas como queremos o menor múltiplo comum, iremos dizer que o mmc (30,60) = 60.
Veja outro exemplo:
mmc (5,9) = 45, pois
M(5) = 0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60, ...
M(9) = 0,9,18,27,36,45,54,63,72,...
Como o menos múltiplo comum de 5 e 9 é o 45, dizemos que o mmc de 5 e 9 é 45.
Máximo divisor comum (mdc)
O mdc de dois ou mais números é o mesmo que encontrar o maior divisor comum entre os números, por exemplo:
Para calcular o mdc de 15 e 20, temos que encontrar os divisores de cada número:
D(15) = 1,3,5,15.
D(20) = 1,2,4,5,10,20.
Maior divisor comum entre 5 e 20 é 5, portanto, o mdc (15,20) = 5.
Veja outro exemplo:
mdc (20,30,60) = 10, pois
D(20) = 1,2,4,5,10,20
D(30) = 1,2,3,5,6,10,15,30
D(60) = 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60
O maior divisor comum entre esses números é 10, portanto mdc(20,30,60) = 10.
O Máximo Divisor Comum é representado pela sigla MDC, para obtê-lo é necessário encontrar o maior divisor comum entre dois ou mais números naturais.
Os divisores de um número estão diretamente relacionados à operação da divisão, vamos recordar como os encontrarmos.
Divisores de um número
Para considerarmos um número como sendo divisor de outro, devemos obter divisões exatas, ou seja, com resto zero na divisão. Acompanhe o exemplo:
Exemplo: Escreva o conjunto dos divisores de 36.
36 ÷ 1 = 36
36 ÷ 2 = 18
36 ÷ 3 = 12
36 ÷ 4 = 9
36 ÷ 6 = 6
36 ÷ 9 = 4
36 ÷ 12 = 3
36 ÷ 18 = 2
36 ÷ 36 = 1
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Para calcularmos o MDC de dois ou mais números, podemos recorrer à decomposição numérica ou encontrar separadamente os divisores de cada número.
Decomposição numérica para encontrar o MDC
Ao realizarmos a decomposição numérica para encontrarmos o MDC, devemos considerar como divisor somente os fatores primos que dividem simultaneamente todos os números da decomposição. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo: Encontre o MDC dos números 8, 12 e 24, utilizando a decomposição.
MDC (8, 12, 24) = 2 x 2 = 4
Então o máximo divisor comum de 8, 12, 24 é o número 4.
Determinando os divisores separadamente para encontrar o MDC
Para encontrar o MDC utilizando esse processo, devemos determinar separadamente os divisores de cada termo numérico e em seguida verificar qual o maior divisor comum entre eles. Acompanhe o exemplo e entenda como isso deve ser feito.
Exemplo: Encontre o MDC de 8,12 e 24, determinando os seus divisores separadamente.
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D( 24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
MDC (8, 12, 24) = 4
Ao analisarmos os divisores de 8, 12 e 24, verificamos que o MDC entre eles é o número 4.
MDC - Máximo Divisor Comum
O máximo divisor comum (MDC ou M.D.C) corresponde ao maior número divisível entre dois ou mais números inteiros.
Lembre-se que os números divisores são aqueles que ocorrem quando o resto da divisão é igual a zero. Por exemplo, o número 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Se dividirmos esses números pelo 12 obteremos um resultado exato, sem que haja um resto na divisão.
Quando um número tem apenas dois divisores, ou seja, ele é divisível somente por 1 e por ele mesmo, eles são chamados de números primos.
Vale notar que todo número natural possui divisores. O menor divisor de um número será sempre o número 1. Por sua vez, o maior divisor de um número é o próprio número.
Obs: Além do MDC temos o MMC (mínimo múltiplo comum) que corresponde ao menor número inteiro positivo de dois ou mais números inteiros.
Atenção!
O zero (0) não é divisor de nenhum número.
Propriedades do MDC
Quando fatoramos dois ou mais números, o MDC deles é o produto dos fatores comuns a eles, por exemplo o MDC de 12 e 18 é 6
Quando temos dois números consecutivos entre si, podemos concluir que o MDC deles é 1, uma vez que eles serão sempre números primos. Por exemplo: 25 e 26 (o maior número que divide ambos é o 1)
Quando temos dois ou mais númerose um deles é divisor dos outros, podemos concluir que ele é o MDC dos números, por exemplo, 3 e 6. (se 3 é divisor de 6, ele é o MDC de ambos)
Como calcular o MDC?
Para calcular o máximo divisor comum (MDC) entre números, devemos realizar a fatoração por meio da decomposição dos números indicados.
Para exemplificar, vamos calcular através da fatoração o MDC do 20 e 24:
Para saber o MDC dos números, devemos olhar a direita da fatoração e ver quais números dividiram simultaneamente os dois e multiplicá-los.
Assim, pela fatoração podemos concluir que o 4 (2x2) é o maior número que divide ambos e, portanto, é o máximo divisor comum de 20 e 24.
Exemplos
1. Qual o MDC de 18 e 60?
Pela fatoração de ambos os números temos:
Ao multiplicar os números que dividem ambos, temos que o MDC de 18 e 60 é 6 (2 x 3).
2. Qual o MDC de 6; 12 e 15?
Pela fatoração dos números temos:
Logo, temos que o MDC de 6; 12 e 15 é 3.
Exercícios de Vestibular com Gabarito
1. (VUNESP) Em um colégio de São Paulo, há 120 alunos na 1.ª série do Ensino Médio, 144 na 2.ª e 60 na 3.ª. Na semana cultural, todos esses alunos serão organizados em equipes, com o mesmo número de elementos, sem que se misturem alunos de séries diferentes. O número máximo de alunos que pode haver em cada equipe é igual a:
a) 7
b) 10
c) 12
d) 28
e) 30
Alternativa c
2. (Enem-2015) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em peças de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir
a) 105 peças
b) 120 peças
c) 210 peças
d) 243 peças
e) 420 peças
Alternativa e
3. (Enem-2015) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:
1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;
2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos;
3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).
O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é:
a) 2
b) 4
c) 9
d) 40
e) 80
Alternativa c
mínimo múltiplo comum (MMC) 
Os cálculos de MMC e MDC estão ligados aos múltiplos e aos divisores de um número. Esse tipo de cálculo, aprendido no ensino fundamental, é essencial para resolver muitas questões e problemas no Enem.
O mínimo múltiplo comum, ou MMC, de dois ou mais números inteiros é o menor múltiplo inteiro positivo comum a todos eles. Por exemplo, o MMC de 6 e 8 é o 24, e denotamos isso por mmc 6, 8 = 24 Já o MMC de 5, 6 e 8 é o 120, o que é denotado por MMC 5, 6, 8 = 120.
O MMC é muito útil quando se adicionam ou subtraem frações, pois é necessário um mesmo denominador comum durante esses processos. Não é necessário que esse denominador comum seja o MMC, mas a sua escolha minimiza os cálculos. Considere o exemplo:
326 + 18 = 656 + 756 = 1356, onde o denominador 56 foi usado porque MMC 28, 8 = 56.
Regra prática para calcular o MMC de dois números. Para calcular o MMC entre 28 e 8, fazemos o seguinte:
1. Reduzimos a fração 288 aos seus menores termos:
288 = 72.
2. Multiplicamos em cruz a expressão obtida:
28 x 2 = 8 x 7 = 56
3. O valor obtido é o MMC procurado: MMC 28, 8 = 56.
Regra geral para calcular o MMC de dois ou mais números. O procedimento geral para o cálculo do MMC envolve a decomposição primária de cada número. Por exemplo, para calcular o MMC de 8, 12 e 28, fazemos o seguinte: 
1. Realizamos a decomposição primária de cada número:
8 = 23
12 = 22 ∙ 31
28 = 22 ∙ 71
2. Em seguida, multiplicamos cada fator primo elevado à maior potência com que aparece nas fatorações. O resultado é o MMC procurado:
MMC 8, 12, 28 = 23 ∙ 31 ∙ 71 = 168
Dispositivo prático para calcular o MMC de dois ou mais números. O procedimento acima tem a seguinte forma prática de execução:
1. Alinhamos os três números, 8, 12 e 28, e dividimos todos os números que podem ser divididos pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:
2. Repetimos esse procedimento sucessivamente com o 2, depois com o 3 e, depois com o 7, até que a última linha só contenha algarismos 1:
3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o MMC procurado:
MMC 8, 12, 28 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7 = 168
Propriedade fundamental do MMC. Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do MMC destes números.
Exemplo: os múltiplos comuns positivos de 8, 12 e 28 são exatamente os múltiplos positivos de 168, o seu MMC, ou seja, são 168, 336, 504,... 
Exemplo: encontre o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao mesmo tempo, por 3, 4 e 15.
Solução: pela propriedade fundamental do MMC, o número desejado será o menor número de três algarismos múltiplo do MMC de 3, 4 e 15. Como MMC 3, 4, 15 = 60, então o menor múltiplo de três algarismos é o 120.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
O máximo divisor comum, ou MDC, de dois ou mais números inteiros é o maior divisor inteiro comum a todos eles. Por exemplo, o m.d.c. de 16 e 36 é o 4, e denotamos isso por MDC 16, 36 = 8. Já o MDC de 30, 54 e 72 é o 6, o que é denotado por MDC 30, 54, 72 = 6.
Regra geral para calcular o MDC de dois ou mais números. O procedimento geral para o cálculo do MDC, como no caso do MMC, envolve a decomposição primária de cada número. Por exemplo, para calcular o MMC de 30, 54 e 72, fazemos o seguinte: 
1. Realizamos a decomposição primária de cada número:
30 = 21 ∙ 31∙ 51
36 = 22 ∙ 32
72 = 23 ∙ 32
2. Em seguida, multiplicamos os fatores primos comuns elevados à menor potência com que cada um aparece nas fatorações. O resultado é o MDC procurado:
MMC 30, 36, 72 = 21 ∙ 31 = 6
Dispositivo prático para calcular o MDC de dois ou mais números. O procedimento acima tem a seguinte forma prática de execução:
1. Alinhamos os três números, 30, 36 e 72, e dividimos todos os números que podem ser divididos pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:
2. Repetimos esse procedimento com o próximo primo que divida os três quocientes e, assim, sucessivamente, até que não hajam mais primos comuns:
3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o m.d.c. procurado: MDC 30, 36, 72 = 2 ∙ 3 = 6
O algoritmo de Euclidade para o cálculo do MDC de dois números ES PARA O CÁLCULO DO M.D.C. DE DOIS NÚMEROS. Para o cálculo do MDC de dois números, existe um dispositivo extremamente rápido e econômico. Trata-se do algoritmo de Euclides, que descrevemos, agora, para calcular o MDC de 305 e 360.
1. Dividimos o maior número, 360, pelo menor, 305, obtendo resto 55, posicionando o resto abaixo do divisor:36030555
2. Em seguida, transportamos o resto 55 para o lado direito de 305 e dividimos o 305 por 55, posicionando o novo resto abaixo do 55:
3. Repetimos esse procedimento, transportando o novo resto 30 para o lado direito de 55 e dividimos o 55 por 30, posicionando o novo resto abaixo do 30. E continuamos assim, sucessivamente, até obter o primeiro resto 0:
4. O penúltimo resto obtido, ou seja, o resto anterior ao primeiro resto 0, é o m.d.c. dos dois números iniciais: MDC (305, 360) = resto anterior ao 0 = 5.
Números primos entre si ou primos relativos. Dois números inteiros são ditos primos entre si, ou primos relativos, se o m.d.c. entre eles é 1. É o caso de 10 e 21. Como mdc (10, 21) = 1, então 10 e 21 são primos entre si.
Propriedade fundamental do MDC. Tododivisor comum de dois ou mais números inteiros é divisor do MDC destes números.
Exemplo: 3 é divisor comum de 30, 36 e 72. Observe que 3 também é divisor de 6, o MDC destes três números.
Você já observou como o cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e do Máximo Divisor Comum (MDC) são semelhantes? Existem alguns métodos para encontrar o MMC e o MDC, mas ambos podem ser resolvidos através da fatoração. Então por que não utilizarmos um único cálculo para determinar, simultaneamente, o MMC e o MDC? Através de alguns exemplos, vamos demonstrar como isso pode ser feito!
Primeiramente, você lembra como é realizada a fatoração de dois ou mais números? No 1° passo, fazemos um grande traço vertical. À esquerda desse traço colocamos os números que desejamos fatorar e, à direita, escrevemos o menor número primo que divide algum dos números que estão à esquerda. No 2° passo, tentamos dividir os números à esquerda por aquele que está à direita. Se o número for divisível, colocaremos seu quociente na linha de baixo; se não for, repetiremos o mesmo número na linha inferior. Repetimos esse processo até que restem apenas números “1” no lado esquerdo do traço. Observe a seguir a fatoração de 10, 12 e 15:
Processo para efetuar a fatoração de três números
Para calcular o mínimo múltiplo comum entre 12, 15 e 30, basta multiplicar os números que apareceram à direita do traço:
MMC (12, 15, 30) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60
Para calcular o máximo divisor comum entre 12, 15 e 30, devemos ver qual foi o número à direita do traço que dividiu todos os números à esquerda de uma vez só. Nesse caso, apenas o número 3 dividiu todos os números, então:
MDC (12, 15, 30) = 3
Veja outros exemplos de fatoração para realizar o cálculo do MMC e MDC simultaneamente:
Observe a fatoração para determinar o MMC e o MDC dos números acima
Através da fatoração de 15 e 20, encontramos o MMC (15, 20) = 2. 2. 3. 5 = 60 e o MDC (15, 20) = 5, pois apenas o número 5 divide os dois números. Fatorando 24, 12 e 10, encontramos o MMC (24, 12, 10) = 2. 2. 2. 3. 5 = 120 e o MDC (24, 12, 10) = 2. Analogamente, podemos verificar que o MMC (8, 20) = 2. 2. 2. 5 = 40 e o MDC (8, 20) = 2. 2 = 4, pois o 2 divide ambos os números duas vezes.
Para estudarmos o máximo divisor comum entre dois termos, precisamos saber o que é divisor de um número. Todo número natural possui divisores, isto é, se ao dividirmos um número A pelo número B e obtermos resto zero podemos afirmar que B é divisor de A. Por exemplo:
16 : 2 é igual a 8 e resto 0.
25 : 5 é igual a 5 e resto 0.
Podemos concluir que 2 e 5 são divisores de 16 e 25 respectivamente.
Exemplos de divisores de um número:
Divisores de:
32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32
15 = 1, 3, 5, 15
45 = 1, 3, 5, 9, 15, 45
O MDC entre dois ou mais números é o maior divisor comum a eles.
Exemplos:
MDC(12,36)
Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Podemos verificar que o maior divisor comum entre 12 e 36 é o próprio 12.
MDC(18,24,54)
Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 18, 27, 54
O maior divisor comum a 12, 24 e 54 é o 6.
Processo prático para a obtenção do máximo divisor comum
MDC(12,36)
Os números destacados na fatoração estão dividindo os dois números ao mesmo tempo, então devemos realizar uma multiplicação entre eles para descobrirmos o máximo divisor comum.
2 x 2 x 3 = 12
MDC(12,36) = 12 
MDC(70,90,120)
O máximo divisor comum a 70, 90 e 120 = 2 x 5 = 10
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois números inteiros x e y é o menor inteiro que é múltiplo de x e y simultaneamente. Dessa maneira, existe pelo menos uma forma de encontrar o MMC entre dois números x e y: procurar nos conjuntos dos múltiplos de x e de y o menor elemento comum. Evidentemente, existe um método prático para encontrar esse número, que será discutido em seguida. Contudo, é necessário compreender bem o conceito de múltiplos de um número inteiro.
O que são múltiplos?
Um número inteiro k é chamado de múltiplo de x se existe algum número natural n tal que n·x = k. Tomemos o exemplo do número 110. Ele é múltiplo de 10, pois 110 é o resultado da multiplicação de 10 pelo número natural 11.
Desse modo, é possível identificar se o número inteiro k é múltiplo de x por tentativa e erro ou fazendo a operação inversa da multiplicação (divisão). O número k é múltiplo de x se existe um número natural n tal que:
n = k
     x
Em outras palavras, para descobrir se 110 é múltiplo de 10, divida 110 por 10. Se o resultado encontrado for um número natural, 110 é múltiplo de 10; caso contrário, não.
Como o conjunto dos números naturais é infinito, o conjunto dos múltiplos de qualquer número inteiro também é infinito. Entretanto, para resolver exercícios envolvendo múltiplos e MMC, é bom escrever uma lista com os primeiros múltiplos de um número para obter uma análise melhor do comportamento de seus múltiplos.
Observe a seguir uma lista com os 10 primeiros múltiplos de 8, 10, 12, 20 e 40. São os 10 primeiros por serem resultados da multiplicação desses números com os 10 primeiros números naturais.
10 primeiros naturais: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Múltiplos de 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200
Múltiplos de 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400
Mínimo Múltiplo Comum
Para encontrar o mínimo múltiplo comum entre dois números, encontre o menor múltiplo que eles possuem em comum. A primeira técnica usada para encontrar o mmc é procurá-lo entre os múltiplos dos dois números. Observe o exemplo:
O mínimo múltiplo comum entre 10 e 12 é 60, pois, entre os múltiplos de 10 e 12, 60 é o menor número que é múltiplo de ambos. Observe:
Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Para esses dois números, que são pequenos, é fácil encontrar o MMC. Mas e quando for exigido o cálculo do MMC entre 256 e 384? Serão necessárias numerosas multiplicações cansativas caso queira prosseguir por esse método. Para tanto, existe um método prático que será discutido a seguir.
Método da decomposição para o cálculo do MMC
Para calcular o mínimo múltiplo comum entre dois números, você pode fazer a decomposição em fatores primos deles. Por exemplo, as decomposições em fatores primos de 10 e 12 são:
10 = 2·5
12 = 2·2·3 = 22·3
Observação: Sempre que aparecerem fatores repetidos, escreva-os em forma de potência, como foi feito na decomposição do número 12.
O MMC entre 10 e 12 será o produto dos fatores primos, exceto os fatores que se repetem e possuem o menor expoente. Desse modo, o mínimo será:
22·3·5 = 4·3·5 = 12·5 = 60
Observe que o fator 2, proveniente da decomposição do número 10, foi ignorado, pois o mesmo fator, proveniente da decomposição do número 12, estava elevado ao quadrado.
Com isso, calcular o MMC entre 256 e 384 pode ser mais fácil. Veja:
256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 28
384 = 2·2·2·2·2·2·2·3 = 27·3
O MMC será o produto 28·3 = 256·3 = 768.
Exemplo 2: MMC entre 768 e 4608
768 = 28·3
4608 = 29·32
O MMC será o produto: 29·32.
Exemplo 3: Calcule o MMC entre 2700 e 4608
2700 = 33·22·52
4608 = 29·32
Observe que os fatores são 2, 3 e 5. Aqueles que possuem maiores expoentes são 29, 33 e 52. Logo, o MMC será:
29·33·52 = 345600
Método prático para calcular o MMC
É possível notar que, para decompor números em fatores primos, é preciso dividi-los pelo menor divisor primo possível e ainda ignorar os fatores que se repetem em uma mesma divisão. Existe um método capaz de fazer essa tarefa. Para ensiná-lo, utilizaremos o exemplo do MMC entre 1000 e 1024.
Escreva esses dois números lado a lado, separados por vírgula, e passe um traço lateral vertical à direita deles:
1000, 1024 |
                   |
                   |
À direita desse traço,escreva o menor número primo que divide pelo menos um entre 1000 e 1024. Nesse caso, o número é 2 e divide ambos.
1000, 1024 | 2
                   |   
                   |   
Logo abaixo de cada um deles, escreva o resultado de sua divisão por 2 e, para esses resultados, repita o procedimento acima até que não seja mais possível dividir nenhum dos dois números por 2.
1000, 1024 |2 
   500, 512 |2
   250, 256 |2
   125, 128 |2
      125, 64|2
     125, 32 |2
     125, 16 |2
       125, 8 |2
       125, 4 |2
       125, 2 |2
       125, 1 |  
Observe que, em determinado momento, encontramos o resultado 125 na coluna do número 1000, mas 125 não é divisível por 2. Já na coluna do número 1024, só obtemos resultados divisíveis por 2. Nesse caso, continuamos a dividir os números da coluna de 1024 por 2 e repetimos o número 125.
Quando os números presentes tanto na coluna de 1000 quanto na de 1024 não forem mais divisíveis por 2, tente o próximo primo: o número 3. Quando não houver mais divisores de 3, tente o próximo e assim até obter o resultado “1, 1”. No caso do exemplo, 125 não é divisível por 3, mas, sim, por 5, então, repetiremos o processo colocando 5 à direita do traço. Observe:
1000, 1024 |2
   500, 512 |2
   250, 256 |2
   125, 128 |2
      125, 64|2
     125, 32 |2
     125, 16 |2
       125, 8 |2
       125, 4 |2
       125, 2 |2
       125, 1 |5
         25, 1 |5
           5, 1 |5
           1, 1 | 
Feito isso, multiplique os fatores encontrados à direita do traço vertical:
2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 210·53 = 128000
Exemplo 2: Calcule o MMC entre 432 e 384:
432, 384 |2
216, 192 |2
  108, 96 |2
    54, 48 |2
    27, 24 |2
    27, 12 |2
      27, 6 |2
      27, 3 |3
        9, 1 |3
        3, 1 |3
        1, 1 |  
O MMC será: =
2·2·2·2·2·2·2·3·3·3 = 27·33 = 128·9 = 1152
Para calcular o MMC de três números ou mais, basta utilizar o método prático, discutido aqui, colocando todos esses números lado a lado.
MMC - Mínimo Múltiplo Comum
O mínimo múltiplo comum (MMC ou M.M.C.) corresponde ao menor número inteiro positivo de dois ou mais números. Dessa forma, o MMC dos elementos x e y será múltiplo e comum desses dois números.
Lembre-se que o múltiplo de determinado número é quando este é divisível por ele, diferente de zero, por exemplo: 25 é múltiplo de 5 pois ele é divisível por 5.
Nesse sentido, podemos pensar na tabuada donde temos os múltiplos de determinado número, os quais são calculados pela multiplicação dele por outro número natural:
Exemplo
5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 5 = 25
5 x 6 = 30
5 x 7 = 35
5 x 8 = 40
5 x 9 = 45
5 x 10 = 50
Note que o zero (0) é múltiplo de todos os números naturais e que os múltiplos dos números são infinitos.
Obs: Além do MMC, temos o MDC que corresponde ao máximo divisor comum entre dois números inteiros.
Propriedades do MMC
Entre dois números primos, o MMC será o produto entre eles.
Entre dois números em que o maior é divisível pelo menor, o MMC será o maior deles.
Ao multiplicar ou dividir dois números por um outro diferente de zero, o MMC aparece multiplicado ou dividido por esse outro.
Ao dividir o MMC de dois números pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, o resultado obtido é igual ao produto de dois números primos entre si.
Ao multiplicar o MMC de dois números pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, o resultado obtido é o produto desses números.
Como Calcular o MMC?
Por meio de exemplos, confira abaixo passo a passo para calcular o MMC de alguns números:
Mínimo Múltiplo Comum de 2 e 3
Para saber o MMC de dois números podemos fazer de duas maneiras:
A primeira é pensar nos múltiplos desse número através da tabuada:
2 = 2, 4, 6, 8,10...
3 = 3, 6, 9, 12, 15...
Note que o menor múltiplo correspondente entre os dois é o número 6. Portanto, dizemos que o 6 é o mínimo múltiplo comum (MMC) de 2 e 3.
A segunda maneira de encontrar o MMC de dois números é através da fatoração, ou seja, decompondo os números:
Observe que nesse processo vamos dividindo os elementos da fatoração pelos números primos, ou seja, aqueles números naturais divisíveis por 1 e por ele mesmo: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19...
No final, multiplicam-se os números primos que foram utilizados na fatoração e encontramos o MMC.
Mínimo Múltiplo Comum de 2 e 4
Da mesma maneira, vamos encontrar o MMC de 2 e 4:
Pela tabuada temos:
2 = 2, 4, 6, 8, 10...
4 = 4, 8, 12, 16, 20...
Assim, podemos concluir que o mínimo múltiplo comum de 2 e 4 é 4.
Agora, vamos utilizar o processo de fatoração:
Por fim, multiplicamos os números primos encontrados do lado direito da fatoração e temos que 2 x 2 = 4.
Mínimo Múltiplo Comum e Frações
Observe que o mínimo múltiplo comum (MMC) é também muito utilizado em operações com frações. Vejamos abaixo um exemplo:
Sabemos que para somar ou subtrair frações é necessário que os denominadores sejam iguais. Assim, em casos como este, temos que fatorar os números para encontrar o MMC:
Pela tabuada temos:
5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30...
6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36...
Sabemos, portanto, que o MMC de 6 e 5 é 30. Para exercitar, vamos fatorar os dois:
Por fim, multiplicamos os números primos e temos o mesmo valor: 30.
Agora que encontramos o MMC, podemos calcular a adição das frações dividindo o MMC pelo denominador e multiplicando pelo numerador:
Note que há casos em que a fatoração é necessária, visto ser mais difícil pensar na tabuada de números grandes.
Para entendemos o que é mínimo múltiplo comum, temos que saber achar os múltiplos de um número. 
Por exemplo, quais são os múltiplos de 2? 
São todos os números que resultam da multiplicação de um número natural por 2. Veja: 
2 x 1 = 2 → 2 é múltiplo de 2. 
2 x 5 = 10 → 10 é múltiplo de 2. 
2 x 12 = 24 → 24 é múltiplo de 2. 
2 x 30 = 60 → 60 é múltiplo de 2 
       ↓ 
      Nº 
  Natural 
E quando é dado um número como iremos fazer pra saber se esse número será múltiplo de 2,3,4,5,6, e assim por diante? 
Basta fazer a operação inversa à multiplicação: divisão. Veja: 
• 1232 será múltiplo de 2? 
Neste caso podemos usar a operação de divisão pra descobrir ou usar a regra seguinte: 
Todo número múltiplo de 2 tem que terminar em número par. Então 1232 termina em par, ele será múltiplo de 2. 
• 1232 será múltiplo de 3? 
Como no múltiplo de 2 podemos utilizar a operação da divisão pra descobrir ou usar a seguinte regra: todo número múltiplo de 3, a soma de seus algarismos resulta em um número múltiplo de 3. 
Se somarmos os algarismos do número 1232 teremos 1+2+3+2 = 8. 8 não é múltiplo de 3, então 1232 também não vai ser. 
• 1232 é múltiplo de 5? 
Para descobrir se um número é múltiplo de 5 além de usar a operação da divisão, também podemos utilizar uma regra: todo número múltiplo de 5 termina em 0 ou 5. Então 1232 termina em 2, assim não é múltiplo de 5. 
Para descobrir se 1232 é múltiplo de outros números devermos utilizar a divisão se essa operação der exata (resto igual a zero) é por que ele será múltiplo. 
Agora o que é mmc? Calculamos o mmc de 2 ou mais números. Consistem em achar o menor múltiplo comum (tirando o zero) entre esses números. Por exemplo: 
MMC(15, 20) = ?
Devemos em primeiro lugar acharmos os múltiplos de 15 e depois de 20. 
M(15) = 15, 30, 45, 60, 75, 90, ... 
M(20) = 20, 40, 60, 80, 100, ... 
Observando os seus múltiplos vemos que o menor múltiplo comum é o 60, portanto: 
MMC(15, 20) = 60. 
Existe outro método para acharmos o mmc de números. Ele consiste em dividir os números por números primos, veja como funciona. 
Número primo é aquele número que é divisível apenas por um e por ele mesmo. Como 2,3,5,7,11,13,17,19,23, e assim por diante. É interessante ressaltar que o único número par primo é o 2, os outro são todos ímpares. 
Para calcularmos o mmc(15,20) utilizando esse método ficará assim: 
Dividimos o 15 e 20 apenas por números primos em seqüência. Pegamos os números primos 2, 2,3 ,5 é multiplicamos: 2 x 2 x 3 x 5 =60 então o mmc(15,20) = 60. 
Para sabermos o múltiplo de um número, basta multiplicá-lo por outro número. Observe os múltiplos do número 2:
2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
2 x 5 = 10
2 x 10 = 20
2 x 20 = 40
... ... ...
Vamos observar os múltiplos do número 3:
3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 10 = 30
Vale ressaltar que os múltiplos de um número são infinitos. No caso do MMC (mínimo múltiplo comum) entre números naturais, podemos determinar o menor múltiplo aos números dados, de duas maneiras distintas. A primeira consiste em determinar alguns dos múltiplos dos números verificando o menor comum, ou aplicar a regra prática que consiste em fatorar todos os números num mesmo instante. Conheça a 1ª maneira:
Vamos determinar o MMC entre os números 12, 18 e 24
12 = (12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, ...)
18 = (18, 36, 54, 72, 90, 108, ...)
24 = (24, 48, 72, 96, 120, 144, ...)
Observe que dentre os múltiplos descritos, podemos verificar que o número 72 é o menor múltiplo comum aos algarismos 12, 18 e 24.
A 2ª regra consiste em determinar o mínimo múltiplo comum fatorando todos os números de uma única vez. Lembrando que fatorar significa dividir os números por algarismos primos em ordem crescente. Observe o cálculo do MMC entre os números 12, 18 e 34.
M.M.C. (12, 18, 24) = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 72
O mínimo múltiplo comum dos números 12, 18 e 24 é igual a 72.
Os números são alinhados e divididos no mesmo instante. Após a divisão basta multiplicar todos os primos obtidos. O produto entre eles será o mínimo múltiplo comum.
Aplicando a 2ª regra na determinação do MMC entre os números 15, 25 e 70.
M.M.C. (15, 25, 70) = 2 x 3 x 5 x 5 x 7 = 1 050
O mínimo múltiplo comum dos números 15, 25 e 70 é igual a 1 050.
Sistema de Numeração Decimal
O sistema de numeração decimal é de base 10, ou seja utiliza 10 algarismos (símbolos) diferentes para representar todos os números.
Formado pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, é um sistema posicional, ou seja, a posição do algarismo no número modifica o seu valor.
É o sistema de numeração que nós usamos. Ele foi concebido pelos hindus e divulgado no ocidente pelos árabes, por isso, é também chamado de "sistema de numeração indo-arábico".
Evolução do sistema de numeração decimal
Características
Possui símbolos diferentes para representar quantidades de 1 a 9 e um símbolo para representar a ausência de quantidade (zero).
Como é um sistema posicional, mesmo tendo poucos símbolos, é possível representar todos os números.
As quantidades são agrupadas de 10 em 10, e recebem as seguintes denominações:
10 unidades = 1 dezena
10 dezenas = 1 centena
10 centenas = 1 unidade de milhar, e assim por diante
Exemplos
Ordens e Classes
No sistema de numeração decimal cada algarismo representa uma ordem, começando da direita para a esquerda e a cada três ordens temos uma classe.
Para fazer a leitura de números muito grandes, dividimos os algarismos do número em classes (blocos de 3 ordens), colocando um ponto para separar as classes, começando da direita para a esquerda. 
Exemplos
1) 57283
Primeiro, separamos os blocos de 3 algarismos da direita para a esquerda e colocamos um ponto para separar o número: 57. 283.
No quadro acima vemos que 57 pertence a classe dos milhares e 283 a classe das unidades simples. Assim, o número será lido como: cinquenta e sete mil, duzentos e oitenta e três.
2) 12839696
Separando os blocos de 3 algarismos temos: 12.839.696
O número então será lido como: doze milhões, oitocentos e trinta e nove mil, seiscentos e noventa e seis.
Sistema de Numeração Decimal
A convivência em sociedade provocou na humanidade, a necessidade da criação de um mecanismo capaz de gerenciar numerais.
Para expressarmos quantidades ou para enumerarmos objetos, por exemplo, utilizamos um sistema de numeração. Existem vários sistemas de numeração, mas o mais comum e que é frequentemente utilizado por nós, é o sistema de numeração decimal.
Neste sistema os números são representados por um agrupamento de símbolos que chamamos de algarismos ou dígitos.
O sistema de numeração decimal possui ao todo dez símbolos distintos, através dos quais se utilizarmos apenas um dígito, podemos representar quantidades de zero a nove.
Dígitos ou algarismos são símbolos numéricos utilizados na representação de um número, por exemplo, o número 756 é composto de três dígitos: 7, 5 e 6.
No sistema decimal contamos com dez símbolos distintos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Números no Sistema Decimal
0 - zero:
1 - um: 
2 - dois:  
3 - três:   
4 - quatro:    
5 - cinco:     
6 - seis:      
7 - sete:       
8 - oito:        
9 - nove:         
Acima vemos dez números no sistema decimal com apenas um Dígito.
Observe que o 0 ( zero ) é utilizado neste caso para representarmos a ausência de bolinhas. O 1 representa uma bolinha, o 2 representa duas bolinhas e assim por diante, sempre considerando uma bolinha a mais, até chegarmos ao número 9 que representa um total de nove bolinhas.
Se tivermos mais uma bolinha, como será a representação simbólica deste numeral?
Como já utilizamos todos os dez símbolos e não dispomos de outros, vamos recomeçar a sequência pegando novamente o 0, mas agora iremos trabalhar com dois dígitos.
À esquerda deste zero devemos colocar o próximo símbolo. Como ainda não utilizamos nenhum símbolo nesta posição, ele seria o 0, mas como o zero não é um dígito significativo, pois ele representa a ausência, então o primeiro símbolo a utilizar será o 1.
O próximo número será então:
10 - dez:  |
Note que a bolinha à esquerda do símbolo | representa as dez bolinhas, ou uma dezena e à direita do | não temos nenhuma bolinha, pois estamos representando o zero.
Se tivermos uma bolinha a mais, ou seja, onze, a representação será:
11 - onze:  | 
Repare que agora temos uma bolinha de cada lado do símbolo |, a bolinha à esquerda vale dez vezes mais que a da direita. A da esquerda vale dez e a da direita vale um.
De doze a dezenove temos as seguintes representações:
12 - doze:  |  
13 - treze:  |   
14 - quatorze:  |    
15 - quinze:  |     
16 - dezesseis:  |      
17 - dezessete:  |       
18 - dezoito:  |        
19 - dezenove:  |         
O critério é sempre o mesmo, a bolinha à esquerda do símbolo | vale dez vezes mais que qualquer uma das bolinhas da direita.
E se tivermos outra bolinha a mais, qual será a representação?
Como no novo ciclo já utilizamos todos os dígitos de 0 a 9, faremos tal qual no caso do dez. À direita utilizaremos o 0, e a esquerda utilizaremos o próximo símbolo. Como estávamos utilizando o 1, o próximo será o 2. Temos então:
20 - vinte:   |
Seguindo o raciocínio vinte e um será:
21 - vinte e um:   | 
Para setenta e dois temos:
72 - setenta e dois:        |  
Para noventa e nove temos:
99 - noventa e nove:          |         
Com mais uma bolinha chegaremos a cem. Como já utilizamos os noves símbolos à direita do |, devemos novamente reiniciar em 0 e na esquerda devemos utilizar o próximo símbolo da sequência, mas acontece que na esquerda do | também já utilizamos os nove símbolos, então devemos voltar a 0 nesta posição e à sua esquerda utilizarmos o próximo símbolo. Como ainda não utilizamos nenhum e como não podemos utilizar o zero, pois ele não é significativo, utilizaremos o 1.
A representação para o número cem será então:
100 - cem:  | |
Qualquer bolinha nesta posição valerá cem vezes mais que qualquer bolinha na posição da direita.
Vejamos a representação para o número cento e onze:
111 - cento e onze:  |  | 
Temos uma bolinha na esquerda, outra no centro e uma outra na direita. Embora todas sejam representadas pelo símbolo 1, a da esquerda vale 100, a do meio vale 10 e a da direita vale 1 mesmo.
A bolinha da direita ocupa a casa das unidades e por isto vale exatamente o que o seu símbolo representa, ou seja, vale 1 unidade.
A bolinha à sua esquerda, isto é, a bolinha do centro,ocupa a casa das dezenas e por isto vale dez vezes mais do que o seu símbolo representa, ou seja, vale 10 unidades.
Finalmente a bolinha à sua esquerda, isto é, a bolinha da esquerda, ocupa a casa das centenas e por isto vale cem vezes mais do que o seu símbolo representa, ou seja, vale 100 unidades.
Ordens e Classes
As casas das unidades, das dezenas e das centenas são chamadas de ordens.
No sistema de numeração decimal a cada três ordens posicionadas da direita para a esquerda temos uma classe.
A primeira classe, também da direita para a esquerda, é a das unidades, na sequência temos a classe dos milhares, dos milhões, bilhões e assim por diante conforme a figura abaixo:
O número 111 visto acima está todo contido na classe das unidades simples.
O dígito da esquerda é da ordem das centenas, por isto ao invés de 1 unidade, ele equivale a 100 unidades.
O central é da ordem das dezenas, equivalendo então a 10 unidades ao invés de 1 unidade apenas.
O dígito da direita é da ordem das unidades equivalendo ao próprio valor do símbolo 1 que é de 1 unidade.
Para facilitar a leitura dos números com muitas classes, podemos separá-las utilizando o caractere ".", assim o número dois milhões, quinhentos e seis mil, oitocentos e trinta e nove pode ser escrito como 2.506.839.
Este número é formado por três classes.
A classe dos milhões é composta por uma única ordem, o dígito das unidades de milhões. Neste caso o símbolo 2 na verdade representa dois milhões unidades ( 2.000.000 ).
Na segunda classe, a dos milhares, temos três ordens, cada uma com os seguintes valores:
O símbolo 5 na ordem das centenas de milhar representa quinhentas mil unidades ( 500.000 ).
O símbolo 0 na ordem das dezenas de milhar, como sabemos não representa qualquer unidade.
O símbolo 6 na ordem das unidades de milhar representa seis mil unidades ( 6.000 ).
Finalmente na primeira classe, a classe das unidades, temos:
O símbolo 8 na ordem das centenas de unidades representa oitocentas unidades ( 800 ).
O símbolo 3 na ordem das dezenas de unidades representa trintas unidades ( 30 ).
O símbolo 9 na ordem das unidades de milhar representa nove unidades ( 9 ).
Parte Fracionária
Até agora só tratamos de números inteiros, mas no universo do sistema de numeração decimal temos também os números fracionários.
Para separarmos a parte inteira da parte fracionária, utilizamos a vírgula.
Como já vimos, na parte inteira o valor de cada símbolo depende da sua posição relativa no número. Partindo-se da posição mais à direita, quando nos deslocamos à esquerda, a cada ordem o valor do símbolo aumenta em 10 vezes. De forma semelhante, quando nos deslocamos à direita na parte fracionária, a cada posição o valor do símbolo diminui em 10 vezes. 
A primeira casa após a vírgula refere-se aos décimos, a segunda aos centésimos, a terceira aos milésimos, a quarta aos décimos de milésimos, e assim por diante, centésimos de milésimos, milionésimos, ...
Assim no número 0,1 o símbolo 1 não tem o valor de um, mas sim o valor relativo de apenas um décimo.
No número 0,02 o símbolo 2 equivale a dois centésimos.
No número 0,003 o símbolo 3 equivale a três milésimos e em 0,0003 equivale a três décimos de milésimos.
O número 0,25 pode ser lido como vinte e cinco centésimos ou ainda como dois décimos e cinco centésimos.
Lê-se 7,123 como sete inteiros e cento e vinte e três milésimos, ou ainda como sete inteiros, um décimo, dois centésimos e três milésimos.
1,5 é lido como um inteiro e cinco décimos.
Sistema de numeração decimal 
O sistema de numeração que usamos é um sistema decimal, pois contamos em grupos de 10. A palavra decimal tem origem na palavra latina decem, que significa 10. Ele foi inventado pelos hindus, aperfeiçoado e levado para a Europa pelos árabes. Daí o nome indo-arábico.
Esse sistema de numeração apresenta algumas características:
Utiliza apenas os algarismos indo-arábicos 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9 para representar qualquer quantidade.
Cada 10 unidades de uma ordem formam uma unidade da ordem seguinte. Observe.
10 unidades = 1 dezena = 10
10 dezenas = 1 centena = 100
10 centenas = 1 unidade de milhar = 1000
Outra característica é que ele segue o principio do valor posicional do algarismo, isto é, cada algarismo tem um valor de acordo com a posição que ele ocupa na representação do numeral.
Temos, então, o seguinte quadro posicional (ou de ordens):
	4º ordem
	3º ordem
	2º ordem
	1º ordem
	Unidade de milhar
	Centena de unidades
	Dezena de unidades
	Unidades
Observe:
Neste número: 632
o algarismo 2 representa 2 unidades e vale 2 (1º ordem) ;
o algarismo 3 representa 3 dezenas, ou seja, 3 grupos de 10 unidades e vale 30 (2º ordem);
o algarismo 6 representa 6 centenas, ou seja, 6 grupos de 100 unidades e vale 600 (3º ordem).
Ou seja, 600 + 30 + 2 é igual a 632, que lemos seiscentos e trinta e dois.
Neste número: 7.156 o algarismo 6 representa 6 unidades e vale 6 (1º ordem).
o algarismo 5 representa 5 dezenas e vale 50 (2º ordem).
o algarismo 1 representa 1 centena e vale 100 (3º ordem).
o algarismo 7 representa 7 unidades de milhar e vale 7000 (4º ordem).
O sistema de numeração que normalmente utilizamos é o sistema de numeração decimal, pois os agrupamentos são feitos de 10 em 10 unidades.
Os símbolos matemáticos utilizados para representar um número no sistema decimal são chamados de algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que são utilizados para contar unidades, dezenas e centenas. Esses algarismos são chamados de indo-arábico porque tiveram origem nos trabalhos iniciados pelos hindus e pelos árabes.
Com os algarismos formamos numerais (Numeral é o nome dado a qualquer representação de um número).
Veja um exemplo de como contar o conjunto de bolinhas a seguir, agrupando-as de 10 em 10:
   Igual a 35 bolinhas.
 
	3 grupos de 10 bolinhas
	mais
	5 bolinhas
	3 x 10
	+
	5
	30
	+
	5
A Partir do agrupamento de 10 em 10 surgiu a primeira definição: o grupo de dez unidades recebe o nome de dezena. Assim cada grupo de 10 dezenas forma uma centena. Os grupos de 1, 10, 100 elementos são chamados de ordens. Cada ordem forma um novo grupo denominado classe.
Exemplos:
• O número 352 possui 3 ordens e uma classe.
3 5 2
c d u
• O número 2 698 possui duas classes e quatro ordens.
                   2                                         6 9 8
   Classe dos milhares             Classe das unidades
2→Ordem das unidades de milhar
6→Ordem das centenas
9→Ordem das dezenas
8→Ordem das unidades
Toda classe tem a ordem da centena (c), dezena (d) e unidade (u), observe o quadro a seguir:
A partir daí fica mais fácil a leitura dos números:
• 2 351: dois mil trezentos e cinqüenta e um.
• 30 423 048: Trinta milhões, quatrocentos e vinte e três mil e quarenta e oito.
• 246 102 025: Duzentos e quarenta e seis milhões cento e dois mil e vinte e cinco.
Quando começamos a trabalhar com os números racionais, deparamo-nos com os números decimais, aqueles que possuem vírgula. Esses números possuem algumas características que merecem nossa atenção. Eles são formados por uma parte inteira e outra parte decimal, sendo que os números que estão do lado esquerdo da vírgula compõem a parte inteira, e os que estão à direita representam a parte decimal. Vejamos um exemplo:
                                      1,357
                                       |     |
Parte inteira  <------------------|       |------------------>     Parte Decimal
Quando desejamos realizar operações de adição ou de subtração, podemos utilizar o algoritmo de cada operação. Mas devemos nos lembrar de que a parte inteira deve somar apenas com outra parte inteira, do mesmo modo a parcela decimal deve ser operada com a outra que também é decimal. Para evitar enganos, é recomendável que façamos o algoritmo colocando sempre a vírgula embaixo de outra vírgula. Vejamos alguns exemplos:
Na imagem, temos alguns “zeros” em vermelho. Isso aconteceu porque nem sempre todos os númerosterão a mesma casa de números decimais e, a fim de melhorar nossos cálculos, devemos preencher com zeros os espaços vazios à direita.
Em se tratando de multiplicação, não há a necessidade de colocarmos vírgula embaixo de vírgula. Devemos realizar a multiplicação da forma tradicional, mas devemos lembrar que é necessário unir a quantidade de casas decimais. Por exemplo, o caso da multiplicação de 0,075 por 0,001. Ao fazermos a multiplicação normalmente, desconsiderando a vírgula, obtemos o resultado 75, mas o primeiro número tem três algarismos após a vírgula, e o segundo, três algarismos. Portanto, a resposta é 0,000075. Vejamos alguns exemplos:
A divisão de números inteiros requer a nossa atenção para alguns detalhes. Vejamos os possíveis casos de divisões:
1º – Divisão de números inteiros
a) Quando o dividendo é maior que o divisor: 
 
Nesse caso, poderíamos ter finalizado a divisão tendo como quociente o número 8 e deixando 3 como resto. Como demos continuidade, foi necessário acrescentar o zero ao fim dos números que seriam divididos para concluir a divisão. Quando é necessário fazer o acréscimo do zero, colocamos uma vírgula no quociente.
b) Quando o dividendo é menor que o divisor:
 
Nesse exemplo, queremos dividir 4 por 8. Mas para conseguir fazer esse cálculo, é necessário aumentar o dividendo. Então antes de iniciar a divisão, precisamos acrescentar um zero após o 4, transformando-o em 40. Ao fazer isso, colocamos um zero e uma vírgula no início do quociente para em seguida iniciar de fato a divisão. Caso fosse necessário, poderíamos colocar outro zero no dividendo, então haveria 400, e, no quociente, acrescentar outro zero após a vírgula, ficando com 0,0. É possível realizar esse processo quantas vezes forem necessárias.
2º – Divisão entre inteiros e decimais
a) Dividendo inteiro e divisor decimal
 
Quando precisamos dividir um número inteiro por outro que é decimal, é necessário tornar o dividendo também um número decimal. Para isso, basta acrescentar uma vírgula e um zero e verificar se o dividendo e o divisor possuem a mesma quantidade de números após a vírgula. Se for necessário, podemos acrescentar zeros até ficarem iguais. Feito isso, desconsideramos a vírgula e realizamos a divisão normalmente.
a) Dividendo decimal e divisor inteiro
 
Semelhantemente ao caso anterior, precisamos que o divisor seja também um número decimal. Para tanto, acrescentamos nele a vírgula e um zero e verificamos se a quantidade de zeros após a vírgula é mesma para o divisor e para o dividendo. Feito isso, podemos realizar a divisão como de costume.
3º – Divisão entre decimais
Para realizar a divisão entre números decimais, é necessário que ambos tenham a mesma quantidade de números após a vírgula. Como já foi dito, acrescentamos zeros ao fim do número até que consigamos igualar a quantidade de casas decimais. Feito isso, desconsideramos as vírgulas e realizamos a divisão.
Números Decimais
Os números decimais são números racionais (Q) não inteiros expressos por vírgulas e que possuem casas decimais, por exemplo: 1,54; 4,6; 8,9, etc. Eles podem ser positivos ou negativos.
As casas decimais são contadas a partir da vírgula, por exemplo o número 12,451 possui três casas decimais, ou seja, três algarismos após a vírgula.
Números Inteiros
Diferente dos números decimais, os números inteiros são números reais (positivos ou negativos) representados pela letra Z. Eles não possuem vírgula, por exemplo: 1; 2; -3; -4, etc.
Números Fracionários
Embora possam ter um valor correspondente, os números fracionários são expressos da seguinte maneira:
½ (um meio) que corresponde ao decimal 0,5
¾ (três quartos) que corresponde ao decimal 0,75
¼ (um quarto) que corresponde a 0,25
Logo, todos os números decimais podem ser expressos por frações.
Leitura de Números Decimais: Exemplos
A leitura dos números decimais é feita pela união da parte inteira do número (expressa antes da vírgula) e a quantidade de casas decimais (depois da vírgula) que corresponde a parte fracionária: décimo, centésimo, milésimo, décimo de milésimo, centésimo de milésimo, milionésimo, etc.
Para compreender melhor, veja abaixo alguns exemplos:
0,1: um décimo
0,4: quatro décimos
0,01: um centésimo
0,35: trinta e cinco centésimos
0,125: cento e vinte e cinco milésimos
1,50: um inteiro e cinquenta centésimos
2,1: dois inteiros e um décimo
4,8: quatro inteiros e oito décimos
Operações com Números Decimais: Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão
Para realizar as operações dos números decimais, devemos alinhar os números segundo a vírgula e as casas decimais que possuem.
Adição
​Subtração
​Multiplicação
​Divisão
Alguns conceitos sobre raízes quadradas podem ser visualizados já nas séries iniciais. Com diferença apenas nas nomenclaturas, os pequeninos entram em contato com a resolução de radicais, mesmo que não explicitamente. Um exemplo disso é o estudo da tabuada. Ao encontrarmos os múltiplos de um número, estaremos entrando em contato, automática e, às vezes, implicitamente, com a raiz quadrada de algum outro número. Veja os exemplos que se seguem.
	2
	x 1
	= 2
	2
	x 2
	= 4
	2
	x 3
	= 6
	2
	x 4
	= 8
	2
	x 5
	= 10
	…
	…
	…
 
	3
	x 1
	= 3
	3
	x 2
	= 6
	3
	x 3
	= 9
	3
	x 4
	= 12
	3
	x 5
	= 15
	…
	…
	…
 
	4
	x 1
	= 4
	4
	x 2
	= 8
	4
	x 3
	= 12
	4
	x 4
	= 16
	4
	x 5
	= 20
	…
	…
	…
Perceba o produto de 2 x 2 = 4. Logo, a raiz quadrada de 4 é 2. Da mesma forma, o produto de 3 x 3 = 9, ou seja, a raiz quadrada de 9 é 3. Por fim, multiplicando 4 x 4 obtém-se 16, o que leva a concluir que a raiz quadrada de 16 é 4. Essa relação pode se estender ao infinito, passeando pelos diversos conjuntos numéricos, usufruindo da infinidade de números existentes. De maneira geral, dizemos que:
Definição: A raiz quadrada de um número n é um número a cujo produto por ele mesmo resulta n, com a e n reais positivos.
Ou ainda,
A raiz quadrada de um número n é um número a cujo próprio quadrado resulta n, com a e n reais positivos.
Ou simbolicamente,
n−−√=a→a2=n, com a e n∈Z+
OBS.: No conjunto dos números reais (R) não existe raiz quadrada de um número negativo.
Raízes quadradas de números decimais
Assim como os números inteiros positivos, os números racionais positivos também possuem raízes quadradas, tanto racionais na forma fracionária quanto na forma decimal. Neste trabalho, abordaremos apenas as raízes quadradas de números racionais decimais.
A definição de raiz quadrada, nas suas várias formas, dadas anteriormente, quando o estudo se atinha aos números naturais, também servirá para o conjunto dos Números Racionais (Q). Veja:
n−−√=a→a2=n, com a e n∈Q+
Isso significa que a raiz quadrada de um número n, é um número a, desde que o quadrado de a seja igual ao próprio n, com a e n pertencentes ao conjunto dos números racionais, sendo a e n positivos.
É importante lembrar que um número racional é aquele que pode ser escrito na forma ab, com a∈Z  e b∈Z∗ (o símbolo * representa o conjunto dos Números Inteiros Não Nulos). No nosso caso, como queremos lidar com os racionais na forma decimal, podemos dizer que os números a e n são da forma a,a1a2a3... ou n,n1n2n3..., onde o número ao lado esquerdo da vírgula representa a parte inteira e os demais a parte decimal: a inteiro, a1 décimos, a2 centésimos... Aqui, trataremos da extração de raízes de números decimais finitos.
Encontrando raízes quadradas de números decimais
Na sequência, darei alguns exemplos de extração de raízes quadradas de números decimais finitos e positivos, ou seja, os quocientes de divisões exatas.
Exemplo 1: Calcule 0,64−−−−√ em Q+.
Método I
Pela definição, temos que encontrar um número a, tal que a² seja igual a 0,64.
Tome 1² = 1 e 2² = 4. Veja que 0,64−−−−√ só pode ser menor 1.
Como 0,64−−−−√<1. Por simples especulação, tem-se:
(0,5)² = 0,25. Como o resultado ficou abaixo do que estamos procurando, teremos que fazer uma nova tentativa,desta vez com um número um pouco maior.
(0,7)² = 0,49. Este resultado ainda é menor do que o procurado.
(0,8)² = 0,64. Portanto, 0,64−−−−√=0,8, pois (0,8)² = 0,64.
Método II
Pode-se ainda utilizar o método da conversão da raiz quadrada decimal na raiz de uma fração decimal – que por sinal é bem mais fácil de chegar ao resultado. Veja:
0,64−−−−√=64100−−−√=82102−−−√=810=0,8
Exemplo 2: Encontre 1,69−−−−√ no conjunto dos números racionais positivos.
Método I
Veja que se 1² = 1 e 2² = 4, então 1<1,69−−−−√<2.
Por simples especulação:
(1,1)² = 1,21. Resultando distante do que estamos procurando.
(1,2)² = 1,44. Resultado próximo, mas ainda não é o que procuramos.
(1,3)² = 1,69. Portanto, podemos afirmar que 1,69−−−−√=1,3, pois (1,3)² = 1,69.
Método II
Pelo método da fração decimal, temos:
1,69−−−−√=169100−−−√=132102−−−√=1310=1,3
Exemplo 3: Em Q+, determine a 12,25−−−−−√.
Método I
Encontre as primeiras raízes quadradas dos números naturais e terá facilitado o trabalho de encontrar a raiz desejada.
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16...
Da sequência acima, percebe-se que 3<12,25−−−−−√<4. Sendo assim, por especulação:
(3,1)² = 9,61. Resultado distante do procurado.
(3,3)² = 10,89. Resultado relativamente próximo do procurado.
(3,4)² = 11,56. Resultado próximo do procurado.
(3,5)² = 12,25. Portanto, concluímos que 12,25−−−−−√=3,5, pois (3,5)² = 12,25.
Método II
12,25−−−−−√=1225100−−−−√=352100−−−√=3510=3,5
Considerações finais
Os processos explicitados acima visam ajudá-lo na resolução de problemas cujo uso da calculadora não é permitido. Porém, caso o uso deste equipamento seja possível, utilize-o como meio facilitador da efetuação de cálculos mecânicos. Lembre-se ainda de que a matemática, para ser fixada, deverá ter os seus conceitos amplamente compreendidos, seguidos de várias manipulações das ferramentas aprendidas, bem como de aplicações em problemas do nosso cotidiano.
Muitas pessoas têm grandes dificuldades de realizar divisões quando elas apresentam um resto inteiro. Quando é necessário calcular a parcela do resto da divisão que cada indivíduo obterá, o que originará um resultado decimal, essas pessoas acabam desistindo do cálculo mental e optam por usar calculadora. Contudo, nos vestibulares e na escola, o uso de calculadora nem sempre é permitido, especialmente se o conteúdo em questão for a divisão propriamente dita.
Para falar sobre divisões não exatas, isto é, com resultado decimal, discorreremos antes sobre os elementos presentes em uma divisão qualquer, mais precisamente no algoritmo utilizado no Brasil para efetuá-la, conhecido como “método da chave”:
Dividendo – É o número que será dividido e geralmente é representado por D;
Divisor – É o número que divide e geralmente é representado por d.
Quociente – É o resultado da divisão. Representado por q.
Resto – Muitas vezes, não é possível realizar uma divisão de forma exata. Nesses casos, sobram quantidades, de certo modo, indivisíveis. Essas quantidades são o resto, que é representado por r.
O procedimento para realizar uma divisão qualquer é simples:
Procure na tabuada do divisor uma boa aproximação para o dividendo. Esse número que se aproxima do dividendo deve ser menor ou igual a ele, mas nunca maior. Exemplo: para dividir 25 por 4, escrevemos 25 : 4 e procuramos na tabuada do 4 a melhor aproximação de 25. Como 4·6 = 24, então 6 é a aproximação considerada. O resultado da divisão de 25 por 4, portanto, é 6, e o resto dessa divisão é 1. Em outras palavras:
25 = 4·6 + 1
No algoritmo da divisão, escreveríamos
25 | 4
-24  6 
1  
Essa divisão foi criada para situações em que o dividendo não pode ser dividido. Essa divisão, por exemplo, pode ser resultado de um problema em que 25 pessoas precisam deslocar-se em carros que possuem apenas 4 lugares. Nesse caso, serão necessários seis carros, se uma pessoa desistir de ir, ou sete carros para caberem todas as pessoas.
Quando a situação é extraída de problemas em que o dividendo representa um objeto que pode ser fracionado, é possível continuar a divisão de 25 por 4. Para tanto, basta adicionar uma vírgula ao quociente. Isso permite adicionar também um zero no resto, como se ele tivesse sido multiplicado por 10. Observe:
25 | 4
-24  6, 
10  
Feito isso, continue a divisão como se o zero tivesse sido obtido do dividendo em um processo comumente conhecido como “baixar”.
25 | 4
-24 6,2
10 
-8
 2
Observe que o resto dessa nova etapa da divisão foi 2. É possível continuar a divisão, mas não é possível colocar outra vírgula no dividendo, afinal, números decimais possuem apenas uma vírgula. O procedimento para continuar essa divisão é o seguinte: Como o resto é menor que o dividendo, coloque mais um zero nesse resto (como se o tivesse multiplicado por 10) e prossiga dividindo normalmente.
25 | 4  
-24 6,25
10   
-8  
 20
-20
  0
Encontrando resto zero, a divisão foi finalizada, e o resultado da divisão de 25 por 4 é 6,25.
É de extrema importância lembrar que nem sempre a divisão proposta terá apenas duas casas decimais no resultado. Existem números que possuem infinitas casas decimais, como é o caso do resultado da divisão de 10 por 3, que é 3,333.... Aqueles que prosseguissem em divisões como essa jamais as terminariam. Portanto, para saber dividir bem, é importante considerar quantas casas decimais são relevantes para o resultado da divisão.
Exemplo:
Uma empresa recebeu um patrocínio de R$ 2000,00. Esse dinheiro deveria ser dividido da seguinte maneira: R$ 1000,00 deveriam ser destinados a reparos na estrutura física da empresa e os outros R$ 1000,00 deveriam ser divididos entre os funcionários. Sabendo que essa empresa possui 30 funcionários, quanto recebeu cada um deles?
A divisão proposta, no método da chave, é a seguinte:
100'0 | 30    
-90    33,33
100         
-90         
100      
-90     
10    
Prosseguir nessa divisão é possível, porém, a fração do real considerada no Brasil é “centavo”. Como já sabemos que cada funcionário receberá R$ 33,33, não é necessário continuar essa divisão.
Em resumo, os passos para realizar uma divisão e obter um resultado decimal relevante são:
1 – Realize o algoritmo normalmente até obter um resto menor que o divisor;
2 – Adicione uma vírgula ao quociente e um zero ao resto (como se o resto tivesse sido multiplicado por 10) e continue dividindo;
3 – Caso seja necessário adicionar mais zeros ao resto, não coloque mais vírgulas no divisor.
Unidades de medida grandezas que compõem o sistema métrico decimal. Vamos mostrar as conversões e, ainda, vamos resolver alguns exercícios para facilitar seu entendimento. Às vezes, ao tentar resolver um exercício torna necessário fazer uma conversão de uma unidade de medida para outra. Vamos mostrar os símbolos de cada uma adotados por convenção no Sistema Internacional (SI).
 
Conheça as unidades de medida:
	GRANDEZA
	NOME DA UNIDADE
	SÍMBOLO (SI)
	Comprimento
	Metro
	m
	Capacidade
	Litro
	l
	Massa
	Quilograma
	kg
	Superfície/área
	Metro quadrado
	m²
	Medidas agrárias
	Are
	a
	volume
	Metro cúbico
	m³
 
Medidas de comprimento
Comprimento é, talvez, a medida mais utilizada no cotidiano. Por isso, acredito que todos deve ter facilidade para entender essa grandeza e sua unidade de medida.
A unidade de medida padrão: metro (m)
Quilômetros → 1 km = 1000 m
Hectômetro → 1 hm = 100 m
Decâmetro → 1 dam = 10 m
Decímetro → 1 dm = 0,1 m
Centímetro → 1 cm = 0,01 m
Milímetro → 1 mm = 0,001 m
Exemplos:
Converter 10 dam em cm:
dam → m → dm → cm
10 dam = 10 m = 1.000 dm = 10.000 cm
É o mesmo que deslocar a vírgula para a direita em três casas:
10 dam = 10.000 cm
Converter 320 dm em km:
km ← hm ← dam ← m ← dm
É o mesmo que deslocar a vírgula quatro casas à esquerda.
320 dm = 0,0320 km
Medidas de capacidade
Medidas de capacidade também é muito importante no nosso cotidiano. A unidade padrão para essa grandeza é o litro (l).
Quilolitro → 1 kl = 1000 l
Hectolitro → 1 hl = 100 l
Decalitro → 1 dal = 10 l
Decilitro →1 dl = 0,1 l
Centilitro → 1 cl = 0,01 l
Mililitro → 1 ml = 0,001 l
Exemplo:
Converter 20 ml em dl
dl  ←  cl  ← ml
Basta deslocar a vírgula duas casas decimais à esquerda.
20 ml = 0,20 dl
Definimos conjunto como sendo um agrupamento de elementos, que, nos conjuntos numéricos, são números. O conjunto dos reais é representado pela letra maiúscula R e é formado pelos números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Veja a representação numérica de cada um desses conjuntos:
Conjunto dos números naturais: É representado por todos os números positivos. Seu símbolo é o N maiúsculo.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6 , 7...}
Conjunto dos números inteiros: Esse conjunto é formado pelos elementos do conjunto dos números naturais e os números inteiros negativos. Ele é representado pela letra maiúscula Z.
Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}
Conjunto dos números racionais: É representado pela letra maiúscula Q. Pertencem a esse conjunto os números naturais, inteiros, decimais, fracionários e dízima periódica.
Q = {-2, -1,23, -1, 0, + 1, + 2, + 2,5 ….}
          2
Conjunto dos números irracionais: Esse conjunto é formado pelos números que são dízimas não periódicas, ou seja, decimais infinitos que não possuem uma repetição de números após a vírgula. É representado pela letra maiúscula I.
I = {… - 1, 234537..., 3,34527..., 5,3456...}
Como o conjunto dos números reais possui todos os conjuntos descritos acima, sua representação numérica é:
R = {… -4, -3, -2, -1,23, 0, + 1, 1, 2, 3,34527..., 5 , 6 , 7}
   2
Veja agora como podemos representar o conjunto dos reais por meio de diagramas. A relação estabelecida na imagem a seguir é de inclusão, isto é, um conjunto está contido em outro conjunto.
Números Reais
Chamamos de Números Reais o conjunto de elementos, representado pela letra maiúscula R, que inclui os:
Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Números Inteiros (Z): Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Números Racionais (Q): Q = {...,1/2, 3/4, –5/4...}
Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3,√7, 3,141592....}
Conjunto dos Números Reais
Para representar a união dos conjuntos, utiliza-se a expressão:
R = N U Z U Q U I ou R = Q U I
Onde:
R: Números Reais
N: Números Naturais
U: União
Z: Números Inteiros
Q: Números Racionais
I: Números Irracionais
Diagrama dos conjuntos numéricos
Ao observar a figura acima, podemos concluir que:
O conjunto dos números Reais (R) engloba 4 conjuntos de números: Naturais (N), Inteiros (Z), Racionais (Q) e Irracionais (I)
O conjunto dos números Racionais (Q) é formado pelo conjuntos dos Números Naturais (N) e dos Números Inteiros (Z). Por isso, todo Número Inteiro (Z) é Racional (Q), ou seja, Z está contido em Q.
O Conjunto dos Números Inteiros (Z) inclui os Números Naturais (N); em outras palavras, todo número natural é um número inteiro, ou seja, N está contido em Z.
Os números reais são elementos de um conjunto, que é formado pela reunião dos termos numéricos descrito abaixo:
Números naturais → conjunto dos números naturais (N)
Números inteiros → conjunto dos números inteiros (Z)
Números racionais → conjunto dos números racionais (Q)
Números irracionais → conjunto dos números irracionais (I)
Da união desses conjuntos obtemos o conjunto dos números reais, que pode ser representado pela seguinte relação:
R=N∪Z∪Q∪I
Lê-se: Conjunto dos reais = (conjunto dos naturais) união (conjunto dos inteiros) união (conjunto dos racionais) união (conjunto dos irracionais)
OU
R=Q∪I
Lê-se: Conjunto dos reais = (conjunto dos racionais) união (conjunto dos irracionais)
Para compreender melhor, quais são os termos numéricos que fazem parte do conjunto dos números reais, acompanhe os exemplos a seguir:
Conjunto dos números naturais: Esse conjunto é formado somente por números que são iguais ou maiores que o zero. Exemplo:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ...}
Conjunto dos números inteiros: Os elementos desse conjunto são os números inteiros positivos e negativos. Exemplo:
Z = {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5 ...}
Conjunto dos números racionais: Todo o número racional e do tipo ab, com a e b inteiros, sendo b ≠ 0. Fazem parte desse conjunto os números: naturais, inteiros positivos/negativos, decimais, fração e dízima periódica. Exemplo:
Q = {... -3; -2,5; -1, 0, +12; +1; +1,8; +2 ...}
Conjunto dos números irracionais: Os números irracionais não podem ser representados por uma fração. Possuem infinitas casas decimais, por esse motivo não apresenta período. Os números irracionais são considerados uma dízima não periódica. Exemplo:
I = { -2,345...; -1,452...; 1,679...}
Diagrama de inclusão
O conjunto dos números reais pode ser representado pelo diagrama de inclusão abaixo:
 
I⊂R
Lê-se: (Conjunto dos irracionais) está contido (Conjunto dos reais)
N⊂Z⊂Q⊂R
Lê-se: (Conjunto dos naturais) está contido (Conjunto dos inteiros) está contido (Conjunto dos racionais) está contido (Conjunto do reais)
O conjunto dos números reais é formado pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Existem várias propriedades a respeito dos números reais, que são extensões das propriedades dos números racionais. Essas propriedades estão relacionadas com a ordem dos números reais e com o estudo das operações matemáticas básicas aplicadas aos elementos desse conjunto.
A definição dos números reais depende das definições dos conjuntos dos números racionais e irracionais, que, por sua vez, dependem da definição dos números inteiros. Dessa maneira, todos os números geralmente estudados até o final do Ensino Fundamental e início do Ensino Médio são os números reais.
De posse da definição de números reais, discutiremos as propriedades mais importantes relacionadas com esse conjunto numérico.
Propriedades do conjunto dos números reais
As propriedades a seguir são decorrentes da definição dos números reais e também da inclusão das operações “adição” e “multiplicação” entre os elementos desse conjunto.
→ O conjunto dos números reais é um conjunto completo
Existe uma relação feita entre o conjunto dos números reais e a reta numérica, que é construída da seguinte maneira: para cada número real, existe um e apenas um ponto representando-o na reta numérica. É possível mostrar que a reta não contém nenhum “furo”, isto é, ponto que não represente número real algum. Portanto, o conjunto dos números reais é completo.
→ O conjunto dos números reais é um conjunto ordenado
Ainda avaliando a reta numérica, comparando dois números reais quaisquer, aquele que estiver mais à esquerda é menor do que aquele que estiver mais à direita. Além disso, se estiverem no mesmo ponto, serão iguais. Essa é a ordenação do conjunto dos números reais representada na reta numérica.
Propriedades operatórias dos números reais
Dados os números reais “a”, “b” e “c”, as seguintes propriedades operatórias são válidas:
1 – Associatividade:
a·(b·c) = (a·b)·c
a + (b + c) = (a + b) + c
2 – Comutatividade:
a·b = b·a
a + b = b + a
3 – Existência de elemento neutro único para a soma e para a multiplicação:
a + 0 = a
a·1 = a
4 – Existência de elemento inverso único para a soma e para a multiplicação:
a + (– a) = 0
a· 1 = 1
a  
5 – Distributividade:
a · (b + c) = a·b + a·c
Números Reais
Para operar cálculos com exatidão, precisa-se dos números irracionais, além dos racionais. A união de ambos os conjuntos forma o conjunto dos números reais.
O conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais, representado por R, é formado pelos números racionais e irracionais.
 
Exemplo:
O menor conjunto numérico ao qual pertence cada um dos seguintes números é:
a) -3————► é um inteiro negativo; conjunto Z
b) 0,03333…—-► é um decimal periódico misto; conjunto Q
c) 14————–► é um número natural; conjunto N
d) ———-► é um número irracional; conjunto I
Ordem dos números reais
Para ordenar números reais, é conveniente colocá-los na forma decimal e comparar suas expressões.
Exemplo:
Comparar os números reais, √10  e 3,1415.
A expressão decimal de cada um deles é
Portanto, é possível ordená-los da seguinte maneira;
Representação dos números reais
Já se mostrou como representar frações na reta numérica e, portanto, como representar qualquer número racional.
Para representar um número irracional, podem-se usar dois métodos: a representação exata e a representação por aproximação.
Representação exata
E um método utilizado para representar raízes.
Consiste em construir um triângulo retângulo cuja hipotenusa meça a raiz que se deseja representar.
O ponto P representa 
Representação por aproximação
Consiste em ir tomando aproximações decimais por excesso e por falta do número que se quer representar.
Representar uma aproximação de 
Se fosse possível representar todos os números racionais e irracionais sobre a reta numérica, se observaria que não sobram espaços vazios livres entre os números, ou seja, os números reais ocupam por completo a reta numérica. Por isso, a reta numérica é chamada também de reta real.
O conjunto dos números reais é formado pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Portanto, são exemplos de números reais:
a) Todos os números naturais
O conjunto dos números naturais é formado apenas por números inteiros não negativos. Todos eles são exemplos de números reais. Dessa maneira, pode-se dizer que o conjunto dos números reais contém o conjunto dos números naturais.
b) Todos os números inteiros
Esse conjunto é formado pelo conjunto dos números naturais e por seus inversos aditivos, ou seja, pelos números negativos. Assim, o conjunto dos números reais contém os números inteiros, que, por sua vez, contêm os números naturais.
c) Todos os números racionais
Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de fração. São eles os decimais finitos, dízimas periódicas e os próprios números inteiros. Não há que se discutir se os números racionais são ou não reais, uma vez que isso faz parte da definição de números reais. Dessa maneira, toda fração é um número real.
d) Todos os números irracionais
Formados por todos os números decimais que não são racionais. Essa informação também faz parte da definição de números reais, mas é bom listar os seguintes exemplos: raízes não exatas e algumas operações básicas matemáticas envolvendo-as resultam em números irracionais; alguns números muito conhecidos, como o π, também são números irracionais. Dessa maneira, todo número decimal é um número real.
Operações com números reais
As operações envolvendo números reais são as mesmas que envolvem os outros conjuntos numéricos, com as mesmas características, definições e algoritmos. Essas operações são:
1 – Adição
2 – Subtração
3 – Multiplicação
4 – Divisão
5 – Potenciação
6 – Radiciação
Propriedades dos números reais
As propriedades dos números reais decorrem da construção dos conjuntos numéricos e das definições de cada operação matemática. São elas:
→ Comutatividade
A ordem em que dois números são somados ou multiplicados não altera o resultado. Em outras palavras, dados os números reais a e b:
a + b = b + a
a·b = b·a
→ Associatividade
Os números devem ser operados dois a dois. Se ocorrerem adições ou multiplicações de três ou mais números, a ordem em que eles são escolhidos não altera o resultado. Em outras palavras, dados os números reais a, b e c:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a·b)·c = a·(b·c)
→ Elemento neutro
Existe um número que não influencia o resultado quando é multiplicado. Existe outro número que não influencia o resultado quando é somado. Em outras palavras, dados os números reais a, 0 e 1:
a + 0 = a
a·1 = a
→ Elemento inverso
Todo número real possui um elemento inverso com a propriedade seguinte: ao somar o real e seu inverso aditivo, o resultado será o elemento neutro da adição. Ao multiplicarmos o real e seu inverso multiplicativo, o resultado será o elemento neutro da multiplicação. Por exemplo, dado o número real a, seu inverso aditivo será – a e seu inverso multiplicativo será 1/a. Dessa maneira, teremos:
a + (– a) = 0
a·1 = 1
a   
→ Distributividade
Única propriedade que envolve multiplicação e adição ao mesmo tempo. “O produto da soma é igual à soma dos produtos” é o modo como essa propriedade é proposta no geral. Matematicamente, dados os reais a, b e c:
a·(b + c) = a·b + a·c
É de grande importância o conhecimento das propriedades das potenciações, principalmente nas situações operatórias entre potências. As regras claras e objetivas são válidas também nos casos envolvendo funções exponenciais, y = ax, com a > 0 e a ≠ 1. Observe as regras e as aplicações das propriedades:
1) am * an = am + n 
Multiplicação de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes.
2) am : an = am – n 
Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes.
3) (am)n = am * n 
Potência de potência, multiplicar os expoentes.
4) 
Potência com expoente racional: o expoente do radicando se transforma no numerador do expoente da base fora da raiz, e o índice da raiz passa a ser o denominador.
5)a–n = 1/an, a ≠ 0 
Potência com expoente negativo: inverso da base elevado ao expoente positivo.
6) a0 = 1 
Toda base diferente de zero elevado ao expoente zero é igual a 1.
7) se a > 0 e a ≠ 0, temos am = an apenas se m = n.
Exemplos
a) 42 * 43 = 42 + 3 = 45
b) 104 : 102 = 104 – 2 = 102
c) (63)2 = 63*2 = 66
d) 
e)2–2 = (1/2)2 = 1/4
f) 32 * 33 : 34 = 32 + 3 – 4 = 31
g) 2–2 : 26 = 2– 2 – 6 = 2–8 = (1/2)8 = 1/256
h) 10000 = 1
i) ((72)3)4 = 7 2*3*4 = 724
j) 3x = 81 → 3x = 34 → x = 4
Você se recorda de uma operação matemática chamada radiciação? Tenho certeza que sim! Mas caso você tenha se esquecido de algum detalhe, vamos recordá-la rapidamente.
Termos importantes da radiciação
Quando estamos trabalhando com a radiciação, existem algumas propriedades que podem nos auxiliar em diversas situações. Vamos verificar como funciona cada uma delas:
1ª propriedade: 
Se o radical possuir índice igual ao expoente do radicando, a raiz será igual à base do radicando.
Podemos afirmar que essa propriedade será válida sempre que n for um número natural e a for um número real não negativo. Vejamos alguns exemplos da aplicação dessa propriedade:
Mas nós podemos considerar ainda outra situação em que essa situação é válida. Quando houver um radicando a negativo (a < 0) e n for ímpar, a propriedade também será válida. 
2ª propriedade: 
A raiz não sofre alteração se multiplicarmos ou dividirmos o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo valor.
A segunda propriedade é válida desde que n, p e q sejam números naturais maiores do que 1 e que q seja divisor de n e m. Vejamos alguns exemplos da aplicação dessa propriedade:
3ª propriedade: 
O produto de radicais de mesmo índice é igual ao produto de radicandos.
Essa propriedade é válida desde que n seja um número natural maior do que 1 e a e b sejam números reais. Se a e b forem maiores ou iguais a zero, é necessário que n seja par. Vejamos alguns exemplos da aplicação dessa propriedade:
4ª propriedade: 
O quociente de radicais de mesmo índice é igual ao quociente de radicandos.
A quarta propriedade é válida desde que n seja maior do que 1. Além disso, a e b devem ser reais, de forma que a seja maior do que zero, e b, maior do que 1. Vejamos alguns exemplos da aplicação dessa propriedade:
Pertencem ao conjunto dos racionais os números positivos, negativos, decimais, frações e dízimas periódicas. Representamos esse conjunto por meio da letra Q maiúscula:
Lê-se: O conjunto dos números racionais é igual a x, tal que x é igual a (a) sobre (b), (a) pertence ao conjunto dos inteiros e (b) pertence ao conjunto dos inteiros com a ausência do zero.
É possível realizar as quatro operações com os números racionais. Entre essas operações, podemos destacar:
Soma de duas ou mais frações:
Para somar duas ou mais frações, é necessário que o denominador em todasas frações seja o mesmo. Após verificar isso ou reduzir os denominadores a um mesmo valor por meio do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ou das frações equivalentes, basta conservar o denominador e somar os expoentes. Veja:
Utilizando o MMC para reduzir os denominadores:
1 + 2 + 4 = 1 + 2 + 4 = 3 + 4 + 24 = 31 
2    3          2    3      1          6            6
Cálculo do MMC
2, 3, 1| 2
1, 3, 1| 3
1, 1, 1|
MMC (2, 3, 1) = 2 x 3 = 6
Para obter os números do numerador, foi feito o seguinte:
6 : 2 = 3 x 1 = 3
6 : 3 = 2 x 2 = 4
6 : 1 = 6 x 4 = 24
Utilizando as frações equivalentes:
1 x 3+ 2 x 2+ 4 x 6= 3 + 4 + 24 = 31
2 x 3   3 x 2   1 x6     6     6    6      6
 
Soma de dois ou mais números decimais
Na soma de números decimais, juntamos número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal, parte centesimal com centesimal e assim por diante. Observe o exemplo abaixo:
2,57 + 1,63 =
2 e 1: partes inteiras
0,5 e 0,6: partes decimais
0,07 e 0,03: partes centesimais
Para resolver a soma de números decimais, podemos estruturar o algoritmo da adição.
   2,57
+ 1,63
   4,20
 
Podemos também somar números decimais por meio de frações. Para isso, basta transformar cada número decimal em uma fração. Confira o exemplo abaixo:
 
2,57 + 1,63 = → Represente os números decimais na forma de fração;
= 257 + 163 = → Como o denominador em ambas as frações é 100, podemos somá-los.
   100    100
= 420 = → Realize a divisão de 420 por 100.
   100
= 4,20
Subtração de duas ou mais frações:
O processo de subtração de fração é semelhante ao da soma. A diferença está no sinal da operação, que será de menos. Observe:
5 – 3 – 2 = 5 +( – 3 ) + ( – 2 )= 20 – 9 – 24 = – 13
3    4         3     ( 4 )                       12             12
Cálculo do MMC:
3, 4, 1| 2
3, 2, 1|2
3, 1, 1|3
1, 1, 1|
Para obter os números do numerador, fizemos o seguinte:
12 : 3 = 4 x 5 = 20
12 : 4 = 3 x – 3 = – 9
12 : 1 = 12 x – 2 = – 24
 
Subtração de dois ou mais números decimais:
Devemos subtrair número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal, parte centesimal com centesimal e assim por diante. Confira o exemplo abaixo:
3,15 – 2,04 – 1 =
Para resolver essa subtração de números decimais, devemos subtrair os dois primeiros termos da esquerda para a direita (3,15 – 2,04).
  3,15
- 2,04
  1,11
Agora temos que subtrair 1,11 – 1 =
 1,11
- 1,00
  0,11
Podemos também resolver o exemplo anterior por meio da subtração de frações. Acompanhe:
3,15 – 2,04 – 1 = → Transforme os números 3,15 e 2,04 em frações.
= 315 – 204 – 1 = → Como os denominadores das frações são iguais, faça a subtração dos numeradores.
   100    100
= 111 – 1 = → Como os denominadores das frações são diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo
   100    1        denominador. O MMC (100, 1) é 100.
= 111 – 100 = → Como reduzimos para o mesmo denominador, podemos subtrair os numeradores.
       100
= 11 = → Faça a divisão de 11/100
  100
= 0,11
Multiplicação de frações
Na multiplicação de frações, devemos multiplicar os numeradores com numeradores e os denominadores com denominadores. Confira:
3 x 6 = ( 3 x 6 ) = 18 → Como a fração não está na forma irredutível, temos que simplificá-la.
7    4    ( 7 x 4 )    28
3 x 6 = ( 3 x 6 ) = 18 : 2 = 9 
7    4    ( 7 x 4 )    28 : 2    14
Multiplicação de números decimais
Ao multiplicarmos números decimais, devemos estruturar o algoritmo. Para saber a posição da vírgula no produto obtido, contamos quantas casas decimais possui cada número decimal e deslocamos a vírgula em relação aos algarismos do produto da direita para a esquerda. Observe o exemplo:
2,4 x 1,2 = → Inicialmente estruture o algoritmo da multiplicação.
   2,4
x 1,2
+ 48
   24 
    2,88 → Observe que a vírgula ficou entre os algarismos 2 e 6. Isso aconteceu porque o número 2,4 possui uma casa decimal, e o número 1,2 também possui uma casa decimal. Assim, temos, no total, duas casas decimais. Sendo assim, devemos deslocar a vírgula do produto obtido (288) duas casas da direita para a esquerda (2,88).
Poderíamos também resolver esse exemplo por meio de frações.
2,4 x 1,2 = → Transforme os números decimais em frações.
= 24 x 12 = → Multiplique os numeradores (24 x 12) e os denominadores (10 x 10).
   10    10
= 288 = → Faça a divisão de 288 por 100.
   100
= 2,88
Divisão de duas ou mais frações
Para dividirmos duas ou mais frações, utilizamos uma regra prática: conserva-se a primeira fração, multiplicando-a pelo inverso da segunda. Recorde-se que o inverso de uma fração é dado ao trocarmos o seu denominador pelo numerador. Veja:
13 : 9 = 13 x 2 = 26 
 7    2     7     9    63
1 : 4 : 2 = (1 : 4 ) : 2 = ( 1 x 5 ) : 2 = 5 : 2 = 5 x 6 = 30 :2 = 15
2    5  6     ( 2 5 )   6    ( 2 x 4 )   6    8   6     8 x 2    16 : 2    8
 
Divisão de dois ou mais números decimais
 
Para realizar a divisão de números decimais, devemos igualar a quantidade de casas decimais dos números e efetuar a divisão. Confira o exemplo abaixo:
1,23 : 0,5 = → O número 1,23 possui duas casas decimais, e o número 0,5 possui uma casa decimal. Para igualar a quantidade de casas decimais, devemos multiplicar ambos os números pelo termo decimal, ou seja, 10, 100, 1000..., que possui a maior quantidade de casas decimais. Sendo assim, temos que multiplicar 1,23 e 0,5 por 100.
(1,23 x 100) : (0,5 x 100) = 123 : 50 → Utilizando o algoritmo da divisão, temos 123 : 50.
 123 |50 
- 100 2,46
  230
- 200
  300
- 300
    0
1,23 : 0,5 = 2,46
Veja agora como transformar os números decimais do exemplo anterior em frações:
1,23 : 0,5 = → Transforme os números decimais em frações.
= 123 : 5 = → Aplicando a regra aprendida anteriormente, conserve a primeira fração e
   100  10        multiplique-a pelo inverso da segunda.
= 123 x 10 = → Faça o produto dos numeradores e dos denominadores.
   100     5
= 1230 = → Realize a divisão de 1230 por 500.
    500
= 2,46
Soma, subtração, multiplicação e divisão de dízimas periódicas
A dízima periódica é um número decimal em que os algarismos após a vírgula repetem-se infinitamente. Exemplos: 1,222..., 1,2323..., 2,23562356...
A repetição desses algarismos após a vírgula é chamada de período. Veja:
O período de 1,222... é 2.
O período de 1,2323... é 23.
O período de 2,23562356... é 2356.
Para realizar a soma, subtração, multiplicação e divisão de dízimas periódicas, devemos descobrir o período e aplicar as definições aprendidas anteriormente para números decimais, haja vista que a dízima periódica é um número decimal. Vejamos alguns exemplos:
Soma de dízima periódica
2,333... + 1,555... =
O período de 2,333... é 3, e o período de 1,555... é 5. Realizando a soma, temos:
  2,3
+1,5
  3,8
 
Subtração de dízima periódica
3,6565... - 1,222... =
O período de 3,6565... é 65, e o período de 1,222... é 2. Fazendo o algoritmo da subtração, temos:
  3,65
- 1,22
  2,43
Multiplicação de dízima periódica
5,2323... x 1,111... =
O período de 5,2323... é 23, e o período de 1,111... é 1. Efetuando o produto, temos:
   5,23
x 1,11
   523
+ 523
   523 
   5,8053
A multiplicação resultou em: 5,2323... x 1,111... = 5,23 x 1,11 = 5,8053
 
Divisão de dízima periódica
2,5252 … : 0,555... =
O período de 2,5252... é 52, e o período de 0,555... é 5. Realizando a divisão, temos:
2,52 : 0,5 = (2,52 x 100) : ( 0,5 x 100) = 252 : 50
 
  252 | 50 
- 250 5,04
  200
- 200
    0
A divisão de: 2,5252 … : 0,555... = 2,52 : 0,5 = 5,04
 
Operações com números racionais
Adição e Subtração
Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parenteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros.
Exemplo 1: Qual é a soma:
Exemplo 2: Calcule o valor da expressão  
Multiplicação e divisão
Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:
Na divisão de números racionais, devemosmultiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:
Potenciação e radiciação
Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme  os exemplos abaixo:
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:
Razões
O que é uma razao?
Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:
  (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).
Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida.
A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.
A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.
Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)
o quociente ou a:b.
A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:
Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.
Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:
       (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).
Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.
Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:
       (de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).
     Observações:
     1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:
Razão entre 1 e 4:     1:4   ou    ou 0,25.
2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:
A razão entre 1 e -8 é  .
A razão entre   é   
Razão 
O conceito de razão é a forma mais comum e prática de fazer a comparação relativa entre duas grandezas. Ao dividir uma grandeza por outra, estamos comparando a primeira com a segunda, que passa a ser a base da comparação. Por exemplo, se a área de um retângulo mede 300 cm² e a área de um outro retângulo mede 210 cm², ao fazermos a razão das áreas, temos:
210300=710=0,7
Estamos calculando o quanto a área menor representa da maior. Em outras palavras, a área menor representa 0,7, ou 70%, da área maior. Isso é uma comparação muito significativa e fácil de ser feita.
RAZÃO. Dados dois números reais a e b, com b diferente de zero, chamamos de razão entre a e b ao quociente ab=k
Observe que k é um número real. O numerador a chamamos de antecedente, e o denominador b chamamos de consequente dessa razão (lê-se “a está para b”). A razão k indica o valor do número a quando comparado ao número b, tomando-o como unidade.
Exemplo: Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área livre. A razão da área construída para a área livre é:
A) 6/5
B) 3/5               
C) 4/5
D) 1/10             
E) 2/5
Solução: razão = área construídaárea livre=12003000=25(letra E)
Isso significa que a área construída representa  25=0,4,ou 40%, da área livre.
APLICAÇÕES DO CONCEITO DE RAZÃO 
Escala. Ao compararmos mapas com os lugares a serem representados por eles, representamos as distâncias em escala menor que a real. O conceito é dado pela seguinte razão:
Escala = medida no mapamedida real  ; (ambos na mesma unidade de medida).
Exemplo: a escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 60 metros foi representado por um segmento de 3 cm é: 
A) 1 : 10.000
B) 1 : 2.000
C) 1 : 3.000
D) 1 : 6.000      
E) 1 : 4.000
Solução
Primeiramente, transformamos os 60 m para centímetros, para trabalharmos no mesmo sistema de unidades:
60 m=60⋅100 cm=6000 cm60 m=60⋅100 cm=6000 cm
Portanto,
Escala = 3cm6000cm=12000=1:20003cm6000cm=12000=1:2000 (letra B)
Velocidade Média. É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. A velocidade média será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para calcular distância e tempo. Alguns exemplos de unidades para a velocidade média são km/h, m/s, cm/s etc.
Velocidade média = distância percorridatempo total de percurso
Exemplo: A distância entre as cidades do Rio de Janeiro e São Paulo é de, aproximadamente, 400 km. Um carro levou 5 horas para percorrer esse trajeto. Determine sua a velocidade média.
Solução
Velocidade = distância percorridatempo total de percurso=400km5hdistância percorridatempo total de percurso=400km5h = 80 km/h
O significado desse valor é que a cada hora o carro percorreu, aproximadamente, 80 km.
Densidade. A densidade de um corpo é a razão entre a sua massa e o seu volume. A densidade também será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para medir a massa e o volume. Alguns exemplos de unidades para a densidades são g/cm³, kg/m³ etc.
Densidade = massavolume=mvmassavolume=mv
Exemplo: Uma quantidade de óleo de cozinha ocupava completamente uma jarra com 1 litro de volume. Sabe-se que a densidade do óleo é de, aproximadamente, 0,86 g/cm³.  Determine a massa do óleo, em gramas.
Solução
Como a densidade é dada em g/cm³, isso significa que o volume deve ser dado em cm³. Assim, fazendo a conversão, 1l = 1 dm³ = 1000 cm³.
Daí, densidade = massavolume⇒0,86=m1000⇒m=0,86⋅1000 = 860 g 
Portanto, a massa de óleo contida na jarra é de 860 g.
Proporção 
Chamamos de proporção a igualdade de duas razões.
a1b1=a2b2=k (também escrito por a1:b1 :: a2:b2),
onde a1, a2, b1, b2 são números reais com b1 e b2 diferentes de zero. O número k é o que chamamos de constante da proporção (Lê-se “a1 está para b1 assim como a2 está para b2).
O antecedente da primeira razão (a1) e o consequente da segunda (b2) são chamados de extremos, enquanto o consequente da primeira razão (b1) e o antecedente da segunda razão (a2) são chamados de meios. Os nomes são sugestivos quando consideramos a segunda forma de expressar a proporção (a1:b1 :: a2:b2)
Propriedade fundamental da proporção
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. O que denotamos por:
ab=cd⟺bc=ad
Pela comutatividade do produto, podemos escrever a mesma proporção de várias maneiras distintas:
ab=cd⟺dc=ba⟺db=ca⟺ac=bd , entre outras.
(Enem 2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).
Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? 
a) 24 litros        b) 36 litros        c) 40 litros        d) 42 litros       e) 50 litros
Solução
Chamemos de x o número de litros de água despejados pela bacia ecológica. Daí,
1560=6x→15x=360→x=24litros
Assim, a economia será de: 60−24=36litros
Resposta: letra B
Dizemos que a razão entre dois números a e b é a relação a/b, onde a e b são números reais com b ≠ 0. Dessa forma, concluímos que razão é uma fração, a qual é utilizada no intuito de comparar grandezas. A razão pode ser representada por uma fração, um número na forma decimal, porcentagem ou até mesmo por uma divisão. Por exemplo:
3 : 5 = 3/5 = 0,6 = 60%
1 : 10 = 1/10 = 0,1 = 10% 
Para entendermos a ideia principal de uma razão, observe os exemplos a seguir:
Exemplo 1
Em uma turma de preparatório para o vestibular, o número de mulheres é igual a 50 e o número de homens é 40. Determine:
a) a razão entre o número de homens e o número de mulheres.
Temos 40 homens para 50 mulheres, então: 40/50 que simplificado fica 4/5. Concluímos que para cada cinco mulheres existem quatro homens.
b) a razão entre o número de homens e de mulheres na forma de porcentagem.
40/50 = 0,8 = 80%Exemplo 2
Em uma prova de testes, Carlos acertou 28 questões e errou 12. Escreva na forma de fração:
a) a razão entre o número de acertos e o número de erros.
28/12, simplificando fica 7/3
b) a razão entre o número de erros e o número de acertos.
12/28 simplificando temos 3/7
c) a razão entre o número de acertos e o número total de questões.
28/40 simplificando temos 7/10
Exemplo 3
Em um jogo de basquete, a equipe de Pedro e de José marcou 60 pontos, dos quais Pedro marcou 20 pontos e José marcou 15. Com base nessas informações determine:
a) a razão entre o número de pontos marcados por José e o número de pontos marcados por Pedro.
15/20 simplificando temos 3/4
b) razão entre o número de pontos marcados por Pedro e o número de pontos marcados pela equipe.
20/60 que simplificado fica 1/3
Na resolução dos exemplos você pôde notar que a ordem dos números no cálculo de uma razão é muito importante. Dessa forma, cada um recebe um nome. O numerador é denominado antecedente e o denominador recebe o nome de consequente.
Razão
Conceitualmente a razão do número a para o número b, sendo b ≠ 0, é igual ao quociente de a por b que podemos representar das seguintes formas:
As razões acima podem ser lidas como:
razão de a para b
a está para b
a para b
Em qualquer razão, ao termo a chamamos de antecedente e ao termo b chamamos de consequente.
Razão inversa ou recíproca
Vejamos as seguintes razões:
e 
Elas são tidas como razões inversas ou recíprocas.
Note que o antecedente de uma é o consequente da outra e vice-versa.
Uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é sempre igual a 1, isto se deve ao fato de uma ser o inverso multiplicativo da outra.
Agora vejamos as seguintes razões:
e 
A primeira razão possui os números 1 e 2 como seu respectivo antecedente e consequente, já a segunda razão possui o número 2 como o seu antecedente e o número 1, omitido, como o seu consequente. Em função disto, pelo antecedente de uma ser o consequente da outra e vice-versa, estas duas razões também são inversas uma em relação a outra.
Apesar de uma razão ser apresentada na forma de uma fração ou de uma divisão, você pode calcular o seu valor final a fim de se obter o seu valor na forma decimal. Por exemplo:
A razão de 15 para 5 é 3, pois 15 : 5 = 3 na forma decimal, ou seja, 15 é o triplo de 5.
Neste outro caso, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal.
Razão centesimal
Como visto acima, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal, ou seja, 3 equivale a 75% de 4. 75% nada mais é que uma razão de antecedente igual 75 e consequente igual a 100. É por isto é chamada de razão centesimal.
Exemplos
O salário de Paulo é de R$ 2.000,00 e João tem um salário de R$ 1.000,00. Qual a razão de um salário para outro?
Temos: Salário de Paulo : Salário de João.
Então:
A razão acima pode ser lida como a razão de 2000 para 1000, ou 2000 está para 1000. Esta razão é igual a 2, o que equivale a dizer que o salário de Paulo é o dobro do salário de João, ou seja, através da razão estamos fazendo uma comparação de grandezas, que neste caso são os salários de Paulo e João.
Portanto a razão de um salário para outro é igual a 2.
Eu tenho uma estatura de 1,80m e meu filho tem apenas 80cm de altura. Qual é a razão de nossas alturas?
Como uma das medidas está em metros e a outra em centímetros, devemos colocá-las na mesma unidade. Sabemos que 1,80m é equivalente a 180cm. Temos então a razão de 180cm para 80cm:
2,25 é a razão de nossas alturas.
Uma proporção é dada pela igualdade entre duas razões e o processo de resolução consiste na seguinte situação: “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios” ou utilizando a eventual multiplicação cruzada. Nas situações envolvendo regra de três simples ou composta, o principal método de resolução é através da utilização dos fundamentos e propriedades das proporções. 
Nos exemplos a seguir determine o valor da incógnita x. 
Exemplo 1 
32 * x = 24 * 20 
32x = 480 
x = 480 / 32 
x = 15 
Exemplo 2 
 
6 * (x + 1) = 2 * 18 
6x + 6 = 36 
6x = 36 – 6 
6x = 30 
x = 30/6 
x = 5 
Exemplo 3 
 
6 * 2x = 4 * (x + 2) 
12x = 4x + 8 
12x – 4x = 8 
8x = 8 
x = 8 / 8 
x = 1 
Exemplo 4 
 
24 * (x – 4) = 9 * (x + 6) 
24x – 96 = 9x + 54 
24x – 9x = 54 + 96 
15x = 150 
x = 150 / 15 
x = 10 
Exemplo 5
35 * 3x = 21 * (x + 8) 
105x = 21x – 168 
105x – 21x = 168 
84x = 168 
x = 168 / 84 
x = 2 
Exemplo 6 
5x * 2 = 1 * (x + 1) 
10x = x + 1 
10x – x = 1 
9x = 1 
x = 1 / 9 
Utilizando as propriedades da proporção na resolução de problemas envolvendo regra de três. 
Exemplo 7 
Para cada 2 automóveis que vende, Carlos ganha R$ 200,00 de comissão. Quanto ele recebeu de comissão no mês que vendeu 15 automóveis? 
2x = 3000 
x = 3000 / 2 
x = 1500 
Carlos recebeu R$ 1.500,00 de comissão pela venda de 15 automóveis. 
Exemplo 8 
Um relógio atrasa 5 minutos a cada 8 horas. Quanto tempo ele atrasará em 4 dias? 
8 horas = 8 * 60 minutos = 480 minutos 
4 dias = 4 * 24 = 96 horas = 5760 minutos 
480x = 28800 
x = 28800 / 480 
x = 60 minutos 
Portanto, o relógio atrasará 60 minutos, ou seja, 1 hora. 
A igualdade entre duas razões forma uma proporção, vale lembrar que razão é a divisão entre dois números a e b, tal que b ≠ 0 e pode ser escrito na forma de a/b. Observe os exemplos de proporções a seguir:
é uma proporção, pois 10:20 = 3:6
é uma proporção, pois 9:12 = 3:4
As proporções possuem uma propriedade que diz o seguinte: “em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.” Essa propriedade pode ser colocada em prática na verificação da proporcionalidade, realizando uma operação denominada multiplicação cruzada.
9 x 4 = 12 x 3
    36 = 36
Multiplicação cruzada
4 x 15 = 6 x 10
      60 = 60
As proporções possuem uma enorme aplicabilidade em situações problema envolvendo informações comparativas, na regra três a proporcionalidade é usada no intuito de calcular o quarto valor com base nos três valores estabelecidos pelo problema. Acompanhe os exemplos a seguir no intuito de demonstrar a importância do estudo das proporções.
Exemplo 1
Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha. Quantos pães podem ser feitos com 25kg de farinha?
Estabelecemos a seguinte relação:
600 -------------- 100
x -------------- 25
Podem ser feitos 150 pães.
Exemplo 2
Se com 40 laranjas é possível fazer 26 litros de suco, quantos litros de suco serão obtidos com 25 laranjas?
40 -------- 26
25 -------- x
Com 25 laranjas podemos fazer 16,25 litros de suco.
Na vida cotidiana, nos negócios e na ciência existem muitas situações que necessitam do uso de razões e proporções. Neste artigo, vamos conhecer mais sobre cada um destes conceitos e suas respectivas aplicações.
O que é razão?
A razão é a forma mais comum e prática de se fazer a comparação relativa entre duas grandezas. Para isto, é necessário que ambas estejam na mesma unidade de medida. Por exemplo: só poderemos obter a razão entre o comprimento de duas ruas, se as duas estiverem em quilômetros, mas não poderemos obtê-la caso uma esteja em metros e a outra em quilômetros, ou qualquer outra unidade de medida diferente. Neste caso, é preciso escolher uma unidade de medida e converter uma das grandezas para a escolhida.
Foto: Reprodução
Para obtermos a razão entre dois números a e b, por exemplo, dividimos a por b. Vale ressaltar que b deve ser diferente de zero. Ou seja, chamamos de razão entre a e b o quociente a/b=k. (Lê-se “a está para b”).
O numerador a recebe o nome de antecedente, e o denominador b é denominado consequente dessa razão.
Veja o exemplo a seguir:
Exemplo: Uma loja tem 1200m² de área construída e 3000m² de área livre. Qual é a razão da área construída para a área livre?
Para resolvermos o problema, aplicamos a razão = área construída/área livre= 1200/3000 = 2/5.
Ou seja, isto significa que a área construída representa 2/5 = 0,4 ou 40% da área livre.
O conceito de razão é ainda aplicado para calcularmos escala, velocidade média e densidade.
O que é proporção?
A proporção é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões. Dados quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, a proporção pode ser expressa da seguinte forma: A/B = C/D.
O antecedente da primeira razão (A) e o consequente da segunda (D) são chamados de extremos, enquanto o consequente da primeira razão (B) e o antecedente da segunda razão (C) são chamados de meios.
A propriedade fundamental da proporção
Uma proporção também pode ser escrita como a igualdade entre os produtos, da seguinte maneira: A.D = B.C. Esta é a propriedade fundamental da proporção, em que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Exemplo: Na sala A de uma determinada escola, temos 3 meninas para cada 4 meninos, ou seja, temos a razão de 3 para 4, cuja divisão é igual a 0,75.
Na sala B da mesma escola, temos 6 meninas para cada 8 meninos, ou seja, a razão é de 6 para 8, que é igual a 0,75. Ambas as razões são iguais a 0,75 e, por isso, são chamadas de proporção.
Proporção
A igualdade entre razões denomina-se proporção.
Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e somente se, a razão a : b for igual à razão c : d.
Indicamos esta proporção por:
Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de meios.
Veja que a razão de 10 para 5 é igual a 2 (10 : 5 = 2).
A razão de 14 para 7 também é igual a 2 (14 : 7 = 2).
Podemos então afirmar que estas razões são iguais e que a igualdade abaixo representa uma proporção:
Lê-se a proporção acima da seguinte forma:
"10 está para 5, assim como 14 está para 7".
Propriedade fundamental das proporções
Qualquer que seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim sendo, dados os números a, b, c e d, todos diferentes de zero e formando nesta ordem uma proporção, então o produto de a por d será igual ao produto de b por c:
Segunda propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos:
     ou     
Ou
     ou     
Terceira propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então:
     ou     
Ou
     ou     
Quarta proporcional
Dados três números a, b, e c, chamamos de quarta proporcional o quarto número x que junto a eles formam a proporção:
Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número x, recorrendo à propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento utilizado na resolução de problemas de regra de três simples.
Terceira proporcional
Em uma proporção onde os meios são iguais, um dos extremos é a terceira proporcional do outro extremo:
Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa.
Exemplos
Paguei R$15,00 por 1kg de carne. Se eu tivesse pago R$25,00 teria comprado 2kg. A igualdade da razão do preço de compra pela quantidade, dos dois casos, resulta em uma proporção?
Os termos da nossa suposta proporção são: 15, 1, 25 e 2.
Podemos utilizar a propriedade fundamental das proporções para verificamos se tais termos nesta ordem formam ou não uma proporção.
Temos então:
Como 30 difere de 25, não temos uma igualdade, consequentemente não temos uma proporção.
Poderíamos também ter analisado as duas razões:
Como as duas razões possuem valores diferentes, obviamente não se trata de uma proporção.
Como uma das razões resulta em 15 e a outra resulta em 12,5, concluímos que não se trata de uma proporção, já que 15 difere de 12,5.
A proporção não ocorreu porque ao comprar 2kg de carne, eu obteria um desconto de R$ 2,50 no preço do quilograma, o que deixaria as razões desproporcionais.
A soma de dois números é igual a 240. Sabe-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7. Quais são estes números?
Para a resolução deste exemplo utilizaremos a terceira propriedade das proporções. Chamando um dos números de a e o outro de b, podemos montar a seguinte proporção:
Sabemos que a soma de a com b resulta em 240, assim como a adição de 5 a 7 resulta em 12. Substituindo estes valores na proporção teremos:
Portanto:
Concluímos então que os dois números são 100 e 140.
Quatro números, todos diferentes de zero, 10, 8, 25 e x formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor de x?
Seguindo o explicado sobre a quarta proporcional temos:
O valor do número x é 20.
Razão e Proporção
Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente entre dois números.
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões possuem o mesmo resultado.
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que grandezas são proporcionais quando existe duas razões entre elas.
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de razão e proporção. Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas proporcionais entre os ingredientes.
Atenção!
Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser as mesmas.
Exemplos
A partir das grandezas A e B temos:
Razão: ou A : B donde b≠0
Proporção: donde todos os coeficientes são ≠0
Exemplo 1: Qual a razão entre 40 e 20?
Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e o denominador, o de baixo.
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também chamada de razão centesimal.
Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de antecedente (A), enquanto o de baixo é chamado de consequente (B).
Exemplo 2: Qual o valor de x na proporção abaixo?
Para encontrar o valor da proporção, utilizamos a regra de três:
3 . 12 = x
x = 36
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também chamado de “quarta proporcional”.
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada pelos primeiros termos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D) .
Propriedades da Proporção
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo:
Logo:
A·D = B·C
Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada.
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo:
é equivalente 
Logo,
D. A = C . B
Exercícios Resolvidos
1. Calcule a razão entre os números:
a) 120:20
b) 345:15
c) 121:11
d) 2040:40
a) 6
b) 23
c) 11
d) 51
2. Qual das proporções abaixo são iguais à razão entre 4 e 6?
a) 2 e 3
b) 2 e 4
c) 4 e 12
d) 4 e 8
Alternativa a
Porcentagem
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
A gasolina teve um aumento de 15%.
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00.
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00.
Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Razão centesimal 
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema, devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o totalde cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos à seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. 
Exemplos
Calcular 10% de 300.
   
Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
Exercícios
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
Porcentagem
As frações (ou razões) que possuem denominadores (o número de baixo da fração) iguais a 100, são conhecidas por razões centesimais e podem ser representadas pelo símbolo "%".
O símbolo "%" é lido como "por cento". "5%" lê-se "5 por cento". "25%" lê-se "25 por cento".
O símbolo "%" significa centésimos, assim "5%" é uma outra forma de se escrever 0,05, ou por exemplo.
Aulas de Porcentagem em Vídeo 
Veja as seguintes razões:
Podemos representá-las na sua forma decimal por:
E também na sua forma de porcentagens por:
Como calcular um valor percentual de um número?
Agora que temos uma visão geral do que é porcentagem, como calcular quanto é 25% de 200?
Multiplique 25 por 200 e divida por 100:
Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 25% na sua forma decimal, que é 0,25 por 200:
Assim temos:
Tópico relacionadoCalculadora de Porcentagem - Digite os dados e confira os cálculos 
4% de 32  =  0,04 . 32 = 1,28
15% de 180  =  0,15 . 180 = 27
18% de 150  =  0,18 . 150 = 27
35% de 126  =  0,35 . 126 = 44,1
100% de 715  =  1,00 . 715 = 715
115% de 60  =  1,15 . 60 = 69
200% de 48  =  2,00 . 48 = 96
Repare que no quinto item, 100% de 715 corresponde ao próprio 715, isto ocorre porque 100% representa o todo, ocorre porque 100% é a razão de 100 para 100 (100 : 100) que é igual a 1. Por isto 100% de um número x é o próprio número x, já que o estaremos multiplicando por 1, para sabermos o valor da porcentagem.
Analisando os itens de 1 a 4, podemos também perceber que quando o percentual é menor 100%, o número resultante será menor que o número original. Nos itens 6 e 7 percebemos que o resultado é maior que o número original. Isto ocorre porque o percentual é maior que 100%.
Nos itens 2 e 3 observamos que 15% de 180 é igual a 18% de 150. a% de b é igual a b% de a. Isto é devido à propriedade comutativa da multiplicação que diz que a . b = b . a.
Como transformamos uma razão ou fração em porcentagem?
Vimos que razões centesimais são um tipo especial de razão, cujo consequente é igual a cem e podem facilmente ser expressas na forma de porcentagem, simplesmente se eliminando o consequente ou denominador cem e inserindo o símbolo de porcentagem após o antecedente ou numerador. Por exemplo:
Mas como transformamos a razão 3 : 15 em porcentagem?
Simplesmente realizando a divisão, encontrando assim o valor da razão, multiplicando-o por 100 e inserindo o símbolo de porcentagem à sua direita, ou seja, multiplicamos por 100%:
Talvez você não tenha percebido, mas podemos utilizar a transformação de uma razão em porcentagem para calcular quantos por cento um número é de outro. Neste nosso exemplo 3 é 20% de 15.
Dezoito é quantos por cento de quarenta e cinco?
Para que serve o cálculo da porcentagem?
Razões são utilizadas para podermos comparar grandezas e em sendo a porcentagem uma razão, é exatamente esta a utilidade da porcentagem.
Digamos que a população de uma cidade A cresceu de 100 mil para 125 mil em dez anos. Sabemos também que no mesmo período, a população da cidade B passou de 40 mil para 50 mil habitantes. Qual das cidades teve um aumento populacional maior?
Aumento populacional da cidade A em porcentagem:
Aumento populacional da cidade B em porcentagem:
Segundos os cálculos realizados acima, percebemos que embora a população da cidade A seja muito maior que a outra, o aumento percentual das duas populações foi o mesmo.
Veja também que a razão da população atual para a população de 10 anos atrás, de ambas as cidades é a mesma, uma outra prova de que o crescimento foi proporcionalmente o mesmo:
125000 : 100000  =  50000 : 40000  =  1,25
A porcentagem é uma das áreas da matemática mais conhecidas. Praticamente é utilizada em todas as áreas, quando queremos comparar grandezas, estimar o crescimento de algo, expressar uma quantidade de aumento ou desconto do preço de alguma mercadoria. Vemos porcentagem a todo momento e, mesmo quando não percebemos, estamos fazendo uso dela.
A porcentagem é uma razão cujo o denominador é igual a 100.
k100
Porcentagens são chamadas, também de razão centesimal ou de percentual.
As porcentagens costumam ser indicadas pelo símbolo “%”, lê-se “por cento”.
Podemos representar uma fração na forma fracionária, decimal, ou acompanhada do símbolo %. Veja:
4%=4100=0,04
As porcentagens podem ser utilizadas quando queremos expressar que uma quantidade é uma parte de outra, por exemplo, imagine que um produto que custava R$ 80,00 foi vendido a vista, com 5% de desconto. Esse desconto de 5% de R$ 80,00 significa 5 partes das 100 em que 80 foi dividido, ou seja, R$ 80,00 será dividido em 100 partes, e o desconto será igual a 5 partes dessa divisão. Assim,
5% de R$ 80,00 = 5⋅80100=5⋅0,8=4
Portanto, 5% de R$ 80,00 será R$ 4,00. E esse será o valor a ser descontado.
Poderíamos, também, calcular de outra forma:
5% de R$ 80,00 = 5⋅80100=5100⋅80=0,05⋅80=4
Daí, concluímos que calcular a% de x, corresponde a fazer:
a100⋅x
Podemos usar, também, a seguinte proporção:
{100%5%⟶80⟶x
100x=80⋅5
100x=400
x=400100
x=4%
Exemplo
(ENEM 2013). Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras.
Um cliente deseja comprar um produto que custava R$50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de
15,00
14,00
10,00
5,00
4,00
O primeiro desconto será de 20% sobre o produto que custa R$ 50,00.
20% de R$ 50 = 20100⋅50=0,2⋅50=R$10
Assim, o cliente terá um desconto de R$ 10,00. O cliente pagará, então R$ 40,00.
Se o cliente tivesse o cartão fidelidade, ainda receberia um desconto adicional de 10% sobre o valor de R$ 40,00 (após o desconto de 20%).
O desconto será 10% de 40 = 10100⋅40=0,1⋅40=R$4. Ou seja, o desconto seria de R$ 4,00. O cliente pagaria, então R$ 36,00.
A economia adicional será a diferença entre os preços pagos com o cartão fidelidade e sem ele, ou seja, R$ 40,00 – R$ 36,00 = R$ 4,00.
Alternativa "e"
Vários assuntos ligados a Matemática financeira requerem o uso de porcentagem. Por exemplo: cálculo de juros em compras financiadas, financiamentos de carros, casas, apartamentos, empréstimo bancários entre outras situações. 
Exemplo 1 
O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 210,00. Para que se tenha um lucro de 20% na venda dessa mercadoria, por quanto devo vendê-la? 
Cálculo 
20% = 20/100 = 0,2 
20% de 210 
0,2 x 210 = 42 
210 + 42 = 252 
Devemos vendê-la por R$ 252,00 para que se tenha um lucro de 20%. 
Exemplo 2 
Uma calça custa R$ 82,00. O desconto para pagamento à vista e no dinheiro de 15%. Qual é o preço da calça dentro dessa condição? 
Cálculo 
15% = 15/100 = 0,15 
15% de 82 
0,15 x 82 = 12,3 
82 – 12,3 = 69,7 
O preço da calça para pagamento à vista e no dinheiro é de R$ 69,70. 
Exemplo 3Quanto devo pagar por um terreno a prazo se comprando à vista ganho um desconto de 4% equivalente a R$ 1.600,00? 
Cálculo 
4% = 4/100 
Exemplo 4 
O preço de uma televisão à vista é de R$ 825,00. Em quatro prestações mensais iguais ela sofre um aumento de 8%. Qual o valor de cada prestação e quanto pagará de juros uma pessoa que decidir comprar a prazo? 
Resolução 
8% = 8/100 = 0,08 
8% de 825 
0,08 x 825 = 66 
825 + 66 = 891 
Preço a prazo R$ 891 
Dividido em 4 vezes (891 / 4) 
Cada prestação terá o valor de R$ 222,75 
A pessoa que decidir comprar a prazo pagará R$ 66,00 de juros. 
Exemplo 5 
Numa promoção o preço de um objeto foi reduzido de R$ 112,00 para R$ 84,00. De quantos por cento foi redução? 
Resolução 
112 – 84 = 28 
28 em 112 
28/112 = 0,25 
0,25*100 = 25% 
A redução foi de 25%. 
O termo porcentagem é muito utilizado no cotidiano, principalmente em situações ligadas à Matemática Financeira, correção monetária, investimentos, cálculo de juros, descontos, determinação de valores de impostos entre outras situações. Dado um número qualquer x, temos que x% corresponde à razão centesimal x/100. O símbolo % significa porcento ou divisão por cem. Observe:
15% (quinze porcento) = 15/100 = 3/20 = 0,15
20% (vinte porcento) = 20/100 = 1/5 = 0,20
25% (vinte e cinco porcento) = 25/100 = 1/4 = 0,25
40% (quarenta porcento) = 40/100 = 2/5 = 0,40
120% (cento e vinte porcento) = 120/100 = 6/5 = 1,2 
Um número que possui a característica de porcentagem pode ser expresso das seguintes formas: fração centesimal ou número decimal, a forma ficará a critério do estudante.
Exemplo 1 
Uma determinada loja de eletrodomésticos vende seus produtos em até 10 vezes, incluído os juros. No caso de pagamento à vista a loja oferece um desconto de 15% sobre o preço da mercadoria. Na compra à vista de uma geladeira que custa R$ 1.200,00, qual o valor do desconto?
15% = 15/100 = 3/20 = 0,15
Podemos resolver o problema de duas maneiras. Observe:
Multiplicando o valor de R$1200 por 15 e depois dividindo por 100.
1200 x 15/100 = 18000/100 = 180 
Multiplicando o valor de R$1200 por 0,15.
1200 x 0,15 = 180 
O desconto na compra à vista da geladeira é de R$ 180,00, dessa forma, o preço seria de 1200 – 180 = R$ 1.020,00.
Exemplo 2 
O atraso no pagamento de qualquer imposto ou até mesmo de prestações particulares gera multas que são calculadas com base em índices percentuais, regularizados pelos órgãos competentes. Qual o valor de uma prestação de R$ 550,00 que foi paga com atraso de 10 dias, sabendo que sobre o valor deverá ser acrescentado 4% de multa?
4% = 4/100 = 1/25 = 0,04
Resolvendo de duas maneiras:
1º) 550 x 4/100 = 2200/100 = 22
2º) 550 x 0,04 = 22
O acréscimo em razão do atraso será de R$22,00, portanto, a prestação passará de R$ 550,00 para R$ 572,00.
A porcentagem é de grande utilidade no mercado financeiro, pois é utilizada para capitalizar empréstimos e aplicações, expressar índices inflacionários e deflacionários, descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros. No campo da Estatística, possui participação ativa na apresentação de dados comparativos e organizacionais.
Os números percentuais possuem representações na forma de fração centesimal (denominador igual a 100) e, quando escritos de maneira formal, devem aparecer na presença do símbolo de porcentagem (%). Também podem ser escritos na forma de número decimal. Observe os números a seguir, que serão demonstrados por meio das três formas possíveis:
A melhor forma de assimilar os conteúdos inerentes à porcentagem é com a utilização de exemplos que envolvem situações cotidianas. Acompanhe os exemplos a seguir:
Exemplos de aplicação da Porcentagem
1º) Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três prestações mensais e iguais, totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o valor a prazo. Qual é o preço da mercadoria na compra à vista?
Solução:
Podemos utilizar a razão centesimal ou o número decimal correspondente:
12% = 12/100 = 0,12
Razão centesimal
12/100 x 900 = 12x900/100 = 1080/100 = 10800/100 = 108 reais
900 – 108 = 792 reais
Número decimal
 
0,12 x 900 = 108 reais
900 – 108 = 792 reais 
A utilização de qualquer procedimento fica a critério próprio, pois os dois métodos chegam ao resultado de forma satisfatória e exata. No caso do exemplo 1, o desconto no pagamento à vista é de R$ 108,00, portanto, o preço é de R$ 792,00.
 
2º) O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador é obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8% do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine o valor do depósito efetuado pelo empregador sabendo que o salário bruto do funcionário era R$ 1.200,00.
Solução:
8% = 8/100 = 0,08
Razão centesimal
8/100 x 1200 = 8x1200 / 100 = 9600 / 100 = 96 reais
Número decimal
0,08 x 1200 = 96 reais
O depósito efetuado foi de R$ 96,00.
3º) Em uma sala de aula com 52 alunos, 13 utilizam bicicletas como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de alunos que utilizam bicicleta.
Solução:
Podemos utilizar uma regra de três simples.
Alunos → 13 ---------- 52
Porcentagem → x ----------- 100%
52*x = 13*100
52x = 1300
x= 1300/52
x = 25% 
Portanto, 25% dos alunos utilizam bicicletas. 
Expressões Algébricas
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações.
As expressões desse tipo são usadas com frequência em fórmulas e equações.
As letras que aparecem em uma expressão algébrica são chamadas de variáveis e representam um valor desconhecido.
Os números escritos na frente das letras são chamados de coeficientes e deverão ser multiplicados pelos valores atribuídos as letras.
Exemplos
a) x + 5
b) b2 – 4ac
Cálculo de uma Expressão Algébrica
O valor de uma expressão algébrica depende do valor que será atribuído às letras.
Para calcular o valor de uma expressão algébrica devemos substituir os valores das letras e efetuar as operações indicadas. Lembrando que entre o coeficiente e a letras, a operação é de multiplicação.
Exemplo
O perímetro de um retângulo é calculado usando a fórmula:
P = 2b + 2h
Substituindo as letras com os valores indicados, encontre o perímetro dos seguintes retângulos
Simplificação de Expressões Algébricas
Podemos escrever as expressões algébricas de forma mais simples somando seus termos semelhantes (mesma parte literal).
Para simplificar iremos somar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e repetir a parte literal.
Exemplos
a) 3xy + 7xy4 - 6x3y + 2xy - 10xy4 = (3xy + 2xy) + (7xy4 - 10xy4) - 6x3y = 5xy - 3xy4 - 6x3y
b) ab - 3cd + 2ab - ab + 3cd + 5ab = (ab + 2ab - ab + 5ab) + (- 3cd + 3cd) = 7ab
Fatoração de Expressões Algébricas
Fatorar significa escrever uma expressão como produto de termos.
Transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação de termos, frequentemente nos permite simplificar a expressão.
Para fatorar uma expressão algébrica podemos usar os seguintes casos:
Fator comum em evidência: ax + bx = x (a.b)
Agrupamento: ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a.b)
Trinômio Quadrado Perfeito (Adição): a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença): a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Diferença de dois quadrados: (a + b) . (a – b) = a2 – b2
Cubo Perfeito (Soma): a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Cubo Perfeito (Diferença): a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
Para saber mais sobre fatoração, leia também:
Polinômios
Fatoração de Polinômios
Monômios
Quando uma expressão algébrica apresenta apenas multiplicações entre o coeficiente e as letras (parte literal), ela é chamada de monômio.
Exemplos
a) 3ab
b) 10xy2z3
c) bh (quando não aparece nenhum número no coeficiente, seu valor é igual a 1)
Os monômios semelhantes sãoos que apresentam a mesma parte literal (mesmas letras com mesmos expoentes).
Os monômios 4xy e 30xy são semelhantes. Já os monômios 4xy e 30x2y3 não são semelhantes, pois as letras correspondentes não possuem o mesmo expoente.
Polinômios
Quando uma expressão algébrica possui somas e subtrações de monômios não semelhantes é chamada de polinômio.
Exemplos
a) 2xy + 3 x2y - xy3
b) a + b
c) 3abc + ab + ac + 5 bc
Operações Algébricas
Soma e subtração
A soma ou a subtração algébrica é feita somando-se ou subtraindo-se os coeficientes dos termos semelhantes e repetindo a parte literal.
Exemplo
a) Somar (2x2 + 3xy + y2) com (7x2 - 5xy - y2)
(2x2 + 3xy + y2) + (7x2 - 5xy - y2) = (2 + 7) x2 + (3 - 5) xy + (1 - 1) y2 = 9x2 - 2xy
b) Subtrair (5ab - 3bc + a2) de (ab + 9bc - a3)
É importante observar que o sinal de menos na frente dos parênteses inverte todos os sinais de dentro dos parênteses.
(5ab - 3bc + a2) - (ab + 9bc - a3) = 5ab - 3bc + a2 - ab - 9bc + a3 =
(5 - 1) ab + (- 3 - 9)bc + a2 + a3 = 4ab -12bc + a2 + a3
Multiplicação
A multiplicação algébrica é feita multiplicando-se termo a termo.
Para multiplicar a parte literal, usamos a propriedade da potenciação para multiplicação de mesma base: "repete-se a base e soma-se os expoentes".
Exemplo
Multiplicar (3x2 + 4xy) com (2x + 3)
(3x2 + 4xy) . (2x + 3) = 3x2 . 2x + 3x2 . 3 + 4xy . 2x + 4xy . 3 = 6x3 + 9x2 + 8x2y + 12xy
Divisão de um polinômio por um monômio
A divisão de um polinômio por um monômio é feita dividindo os coeficientes do polinômio pelo coeficiente do monômio. Na parte literal, usa-se a propriedade da divisão de potência de mesma base (repete-se a base e subtrai os expoentes).
Exemplo
As expressões algébricas são formadas por três itens básicos: números conhecidos, números desconhecidos e operações matemáticas. As expressões numéricas e algébricas seguem a mesma ordem de resolução. Dessa maneira, operações dentro de parênteses têm prioridade sobre as outras, assim como multiplicações e divisões têm prioridade sobre adições e subtrações.
Os números desconhecidos são chamados de incógnitas e normalmente são representados por letras. Alguns livros e materiais também os denominam de variáveis. Os números que acompanham essas incógnitas são chamados de coeficientes.
Assim sendo, são exemplos de expressões algébricas:
1) 4x + 2y
2) 16z
3) 22xa + y – 164x2y2
Valor numérico das expressões algébricas
Quando a incógnita deixa de ser um número desconhecido, basta substituir seu valor na expressão algébrica e resolvê-la do mesmo modo que as expressões numéricas. Para tanto, é preciso saber que o coeficiente sempre multiplica a incógnita que acompanha. Como exemplo, vamos calcular o valor numérico da expressão algébrica a seguir, sabendo que x = 2 e y = 3.
4x2 + 5y
Substituindo os valores numéricos de x e y na expressão, teremos:
4·22 + 5·3
Observe que o coeficiente multiplica a incógnita, mas, para facilitar a escrita, o sinal de multiplicação é omitido nas expressões algébricas. Para finalizar a resolução, basta calcular a expressão numérica resultante:
4·22 + 5·3 = 4·4 + 5·3 = 16 + 15 = 31
Vale dizer que duas incógnitas que aparecem juntas também estão sendo multiplicadas. Se a expressão algébrica acima fosse:
2xy + xx + yy = 2xy + x2 + y2
Seu valor numérico seria:
2xy + x2 + y2 = 2·2·3 + 22 + 33 = 12 + 4 + 9 = 25
Monômios
Monômios são expressões algébricas formadas apenas por multiplicação de números conhecidos e incógnitas. São exemplos de monômios:
1) 2x
2) 3x2y4
3) x
4) xy
5) 16
Perceba que números conhecidos são considerados monômios, assim como apenas as incógnitas. Além disso, o conjunto de todas as incógnitas e seus expoentes é chamado de parte literal, e o número conhecido é chamado de coeficiente de um monômio.
Todas as operações matemáticas básicas em monômios podem ser realizadas com alguns ajustes nas regras e algoritmos.
Adição e subtração de monômios
Só podem ser realizadas quando os monômios possuem parte literal idêntica. Quando isso acontecer, some ou subtraia apenas os coeficientes, mantendo a parte literal dos monômios na resposta final. Por exemplo:
2xy2k7 + 22xy2k7 – 20xy2k7 = 4xy2k7
Para mais informações, detalhes e exemplos sobre soma e subtração de monômios, clique aqui.
Multiplicação e divisão de monômios
A multiplicação de monômios não necessita de que as partes literais sejam iguais. Para multiplicar dois monômios, multiplique primeiro os coeficientes e, depois, multiplique incógnita a incógnita usando propriedades de potência. Por exemplo:
4x3k2yz·15x2k4y = 60x3 + 2k2 + 4y1 + 1z = 60x5k6y2z
A divisão é feita da mesma maneira, entretanto, dividem-se os coeficientes e utiliza-se a propriedade da divisão de potências de mesma base para a parte literal.
Para mais exemplos e detalhes, consulte o texto sobre divisão de monômios clicando aqui.
Polinômios
Polinômios são expressões algébricas formadas pela adição algébrica de monômios. Assim, um polinômio nasce quando somamos ou subtraímos dois monômios distintos. Atenção: todo monômio também é polinômio.
Veja alguns exemplos de polinômios:
1) 2x + 2x2
2) 2x + 3xy + 3y
3) 2ab + 16 – 4ab3
Adição e subtração de polinômios
É feita colocando-se lado a lado todos os termos semelhantes (monômios que possuem parte literal igual) e somando-os. Quando os polinômios não possuem termos semelhantes, eles não podem ser somados ou subtraídos. Quando polinômios possuem um termo que não é semelhante a nenhum outro, esse termo não é somado nem subtraído, apenas repetido no resultado final. Por exemplo:
(12x2 + 21y2 – 7k) + (– 15x2 + 25y2) =
12x2 + 21y2 – 7k – 15x2 + 25y2 =
12x2 – 15x2 + 21y2 + 25y2 – 7k =
– 3x2 + 46y2 – 7k
Multiplicação de polinômios
A multiplicação de polinômios sempre é feita com base na propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (também conhecida como chuveirinho). Por meio dela, devemos multiplicar o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, depois o segundo termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e assim sucessivamente até que todos os termos do primeiro polinômio tenham sido multiplicados.
Para isso, é claro, usamos as propriedades de potência quando necessário. Por exemplo:
(x2 + a2)(y2 + a2) = x2y2 + x2a2 + a2y2 + a4
Mais informações e exemplos sobre multiplicação, adição e subtração de polinômios podem ser encontrados clicando aqui.
Divisão de polinômios
É o procedimento mais difícil das expressões algébricas. Uma das técnicas mais usadas para dividir polinômios é muito parecida com a usada para divisão entre números reais: procuramos um monômio que, multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, seja igual ao termo de grau mais alto do dividendo. Depois, basta subtrair do dividendo o resultado dessa multiplicação e “descer” o resto para continuar a divisão. Por exemplo:
(x2 + 18x + 81):(x + 9) =
x2 + 18x + 81 | x + 9 
– x2 – 9x          x + 9 
9x + 81  
– 9x – 81     
      0
Expressões Algébricas
Recebem o nome de expressões algébricas ou lineares as expressões matemáticas nas quais se faz uso de letras, números e operações aritméticas. Nesse tipo de expressão, as letras são denominadas incógnitas, por não apresentarem um valor conhecido, ou variáveis, porque podem receber qualquer valor numérico.
Propriedades das expressões algébricas
Para resolver uma expressão algébrica, é preciso seguir a ordem exata de solução das operações que a compõem:
1º) Potenciação ou Radiciação
2º) Multiplicação ou divisão
3º) Adição ou subtração
Se a expressão algébrica apresentar parênteses, colchetes ou chaves, devemos resolver primeiro o conteúdo que estiver dentro dos parênteses, em seguida, o que estiver contido nos colchetes e, por último, a expressão que estiver entre chaves. Em suma:
1º) Parênteses
2º) Colchetes
3º) Chaves
Assim como em qualquer outro cálculo matemático, esta hierarquia é muito importante, pois, caso não seja seguida rigorosamente, será obtido um resultado incorreto. Veja alguns exemplos:
a)     a)  8x– (3x – )8
x – (3x – 2)
8x – 3x + 2
5x + 2
Ob.: Sempre que o parêntese for precedido de um sinal negativo, devemos inverter o sinal de todos os termos contidos dentro dele.
b)    6x – [ -x + (12 + 7x – 4)] 6x – [ -x + 12 + 7x – 4] 6x +2x – 12 – 7x + 4
6x + 2x – 12 – 7x  + 4
6x + 2x – 7x – 12 + 4
x – 8
A regra do parêntese citada no exemplo anterior também se aplica a colchetes e chaves.
c)   Uma mulher é 5 anos mais nova do que seu marido. Se a soma da idade do casal é igual a 69 anos, qual é a idade de cada um?
x + ( x – 5) = 69
x + x- 5 = 69
2x – 5 = 69
2x = 69 + 5
2x = 74
x = 37
69 – 37 = 32
37 – 5 = 32
Logo, a idade do marido é 37 anos e da mulher 32 anos.
Esta é uma aplicação prática da álgebra. Note que é mais fácil encontrar a solução através de uma expressão algébrica do que utilizando um raciocínio numérico apenas.
Valor numérico de uma expressão algébrica
O valor numérico de uma expressão algébrica é o número que pode substituir as incógnitas para que seja efetuada a operação e obtido um resultado final. Observe:
a)  Calcule o valor numérico da expressão algébrica 4x + 10y², para x = 2 e para y = 3.
Resolução:
4 . 2 + 10 . 3² =
8 + 10 . 9 =
8 + 90 = 98
Logo, o valor numérico desta expressão é 98.
Observe que aplicamos corretamente as propriedades das expressões algébricas, começando o cálculo pela potenciação, em seguida a multiplicação e, finalmente, efetuamos a adição.
b) Calcule o valor numérico da expressão algébrica 8x³y², para x = 3 e para y = -1
Resolução:
8 . 3³ . (-1)²
8 . 27 . 1 = 216
Perceba que, nesta expressão, o valor de y é um número negativo, por isso, deve ser escrito entre parênteses.
c)  Encontre o valor numérico da expressão algébrica  + 3y, para x = 9, para y = -2.
Resolução:
 + 3(-2)
3 – 6 = -3
De acordo com a quantidade de termos, as expressões algébricas podem ser classificadas em:
Monômio – expressão composta por apenas um termo.
2x5
Binômio – expressão compostas por dois termos.
y – 6x
Trinômio – expressão composta por três termos.
3y² + x – 10
Polinômio – expressão composta por quatro ou mais termos.
4ab² + 2a + 3b4 + 9
Cada termo de uma expressão algébrica é considerado um monômio. Frequentemente, podem haver repetições de monômios semelhantes na expressão, ou seja, monômios que apresentam base (letra) e expoente iguais. Sempre que isto ocorrer, devemos juntar os monômios semelhantes e escrevê-los em ordem decrescente de acordo com o grau do expoente, de modo a simplificar a equação. Veja um exemplo:
9x2 – 4x³ + x – 3 + 6x + 2x2 – 10x³ – 7
– 4x³ – 10x³ + 9x² + 2x² + x + 6x – 3 – 7
– 14x³ + 11x² + 7x – 10
Expressão é uma forma de demonstrar a resolução de um problema matemático onde envolve uma ou mais operações, por exemplo:
2 + 5 . (5 + 2)
- (-5) . 10 – (8 – 5)
5a + 5b + 10
Todos os exemplos acima são expressões, sendo que uma delas possui letras, esse tipo de expressão é chamado de expressões algébricas.
Expressões algébricas são expressões que possuem letras e número.
Valor numérico
Em uma expressão numérica é simples encontrar o seu valor numérico, pois basta resolve-la, veja um exemplo:
{5 . (-5 + 2)} – 2 =
{5 . (-3)} – 2 =
- 15 – 2 =
       -17      VALOR NUMÉRICO.
Toda expressão algébrica tem o seu valor numérico, esse valor é encontrado a partir do momento em que temos ou atribuímos valores para as letras. Se em um exercício é pedido para que calcule o valor numérico da expressão algébrica 2x2y é preciso que saibamos ou atribuímos valores para as letras x e y.
Então vamos supor que na equação 2x2y, os valores das letras seja x = -2 e y = 1, agora substituindo esses valores, chegaremos em um valor numérico.
2x2y
2 . (-2)2 . 1
2 . 4 . 1
       8     VALOR NUMÉRICO DA EXPRESSÃO 2x2y
Veja mais um exemplo de como achar o valor numérico da expressão a + ab + 5. O valor numérico desse e de todas as expressões algébricas irão variar dependendo do valor que iremos atribuir para as letras.
Nesse exemplo vamos supor que as letras a = 5 e b = -5.
5 + 5 . (-5) + 5
5 – 25 + 5
-20 + 5
   -15 VALOR NUMÉRICO DA EXPRESSÃO a + ab + 5 
Fator comum
As expressões algébricas são formadas por um ou mais termos, esses são chamados de monômios. Algumas expressões algébricas possuem termos (monômios) semelhantes. Quando isso acontece é preciso que una (opere) esses monômios semelhantes.
Para unir esses monômios é preciso que saiba que monômios semelhantes são aqueles que as partes literais são idênticas, ou seja, base (letras) e expoente idênticos. Veja um exemplo de monômios semelhantes:
5ab3 é semelhante de ab3, pois a parte literal das duas são idênticas.
Dada a expressão 18x2 + 5x – 4x2 + 6x para unir os termos semelhantes é preciso identificá-los, veja como:
18x2 – 4x2 + 5x + 6x
14x2 + 11x Essa expressão é a mesma que 18x2 – 4x2 + 5x + 6x só que com os termos semelhantes unidos é operado. 
Quando escrevemos uma operação matemática básica a ser feita entre dois ou mais números, na realidade, estamos escrevendo uma expressão numérica. Essas expressões indicam quais operações devem ser feitas e também a ordem correta de sua realização. Qualquer furo na ordem ou erro de cálculos fará com que o resultado, exceto por coincidências, seja completamente diferente do esperado. Expressões algébricas seguem essa mesma lógica.
O que são expressões algébricas?
Elas respeitam as mesmas regras de ordenamento e utilizam as mesmas operações das expressões numéricas. A diferença está no fato de que as expressões algébricas envolvem também algumas letras, chamadas de incógnitas, que geralmente representam números desconhecidos. Como essa representação é responsabilidade da álgebra, as expressões que possuem incógnitas são chamadas de expressões algébricas.
Classificação das expressões algébricas
As expressões algébricas são divididas em dois grandes grupos: monômios e polinômios.
Monômios
Monômios são expressões algébricas compostas apenas pela multiplicação entre números e incógnitas. O conjunto de incógnitas em um monômio é chamado de parte literal, enquanto o número que multiplica esse conjunto é chamado de coeficiente. Dessa maneira, são exemplos de monômios:
a) 2x4
Nesse monômio, 2 é coeficiente e x4 é a parte literal.
b) 4x8y9c10 
Nesse monômio, 4 é o coeficiente e x8y9c10 é a parte literal.
c) x
Nesse monômio, 1 é o coeficiente e x é a parte literal.
d) 5
Nesse monômio, 5 é o coeficiente e x0 é a parte literal.
A multiplicação e a potenciação podem ser feitas em qualquer monômio, pois as letras que aparecem neles nada mais são do que números. Contudo, como não sabemos de que número se trata, apenas utilizamos letras para representá-los. A questão é que x2, por exemplo, indica que estamos elevando um número ao quadrado, isto é, estamos multiplicando x por ele mesmo. Dessa maneira, caso venha a descobrir que número é x, você já sabe o que é preciso fazer com ele.
Seguindo esse mesmo raciocínio, as outras operações também podem ser realizadas nos monômios. As regras para cada uma delas são as seguintes:
→ Soma e subtração de monômios
As regras para soma e para subtração de monômios são as mesmas:
1 – Só é possível somar ou subtrair termos semelhantes;
Termos semelhantes são monômios que possuem a parte literal exatamente igual. É possível somar somente esses.
2 – Somar ou subtrair apenas o coeficiente e manter a parte literal;
Na soma e subtração de monômios, devemos manter a parte literal intacta. Apenas coeficientes são somados ou subtraídos.
3 – Seguir as mesmas regras das expressões numéricas.
As expressões numéricas possuem uma ordem para as operações. Devem ser realizadas primeiramente as potências, seguidas de multiplicações e divisões, seguidas de somas ou subtrações. Além disso, expressões entre parênteses têm prioridade sobre expressões entre colchetes, que, por sua vez, têm prioridade sobre expressões entre chaves.
Exemplo: Calcule a seguinte expressão algébrica 14x2y3 – 5x2y3
Solução: Siga as regras acima, subtraindo 14 – 5 e mantendoa parte literal x2y3 intacta:
14x2y3 – 5x2y3 = 9x2y3
→ Multiplicação e divisão de monômios
Para multiplicar ou dividir monômios, faça o seguinte:
1 – Escreva os monômios utilizando a notação de multiplicação (lado a lado, com um ponto no meio) ou de divisão (numerador sobre denominador);
2 – multiplicar, dividir ou simplificar os coeficientes;
3 – Reorganizar os fatores de modo que incógnitas iguais fiquem próximas;
4 – Efetuar a multiplicação tendo em mente o conceito de potências.
Exemplo: Calcule o produto entre os monômios 4x2y2 e 2x4y3
Solução: Escreva a multiplicação entre eles e agrupe os fatores semelhantes
4x2y2·2x4y3
4·2·x2·x4·y2·y3
Pelas propriedades de potência, basta somar os expoentes dos fatores iguais quando for multiplicação e diminuí-los quando for divisão:
4·2·x2·x4·y2·y3
8·x6·y5
Exemplo 2: Calcule a divisão entre os monômios 4x2y2 e 2x4y3
Solução: Escreva os monômios em forma de fração.
4x2y2 
2x4y3
Divida os coeficientes e subtraia os expoentes de cada letra.
2·x2 – 4·y2 – 3
Observe que a incógnita x é operada apenas com a incógnita x, enquanto a incógnita y é dividida apenas pela incógnita y:
2·x– 2·y– 1
Outra maneira de realizar essa divisão é expandir as potências e cortar os termos que se repetem no numerador e no denominador:
4x2y2 
2x4y3
    4xxyy    
2xxxxyyy
   2   
xxy
Esse resultado é equivalente a 2·x– 2·y– 1.
Polinômios
Polinômios são expressões algébricas compostas pela adição ou subtração de monômios. Cada monômio dentro de um polinômio é chamado de termo.
Exemplos:
1) 14x2 – 4x2y5
2) 4x3 – 4x2y5 + x2 – y5
Também é possível realizar as operações soma, subtração, multiplicação e divisão de polinômios.
→ Soma e subtração de polinômios
Os termos de cada polinômio são reorganizados de modo que os termos semelhantes fiquem lado a lado. Então, entre esses, é feita a soma ou subtração de monômios.
Exemplo: Calcule a soma entre os polinômios 4x + 2y e 8x + 3y + z
Solução: Reorganize os termos para realizar as somas:
(4x + 2y) + (8x + 3y + z)
4x + 2y + 8x + 3y + z
(4x + 8x) + (3y + 2y) + z
12x + 5y + z
→ Multiplicação de polinômios
Para multiplicar polinômios, basta utilizar a propriedade distributiva (chuveirinho) e realizar as multiplicações resultantes entre monômios. Observe:
Exemplo: Calcule o produto entre os polinômios 4x – 3y e 7x + z
(4x – 3y)·(7x + z)
4x·7x + 4x·z – 3y·7x – 3y·z
28x + 4xz – 21yx – 3yz
→ Divisão de polinômios
Assim como os números reais, os polinômios também podem ser divididos. A técnica segue as premissas da divisão de números inteiros, que deixa algum resto. Para realizá-la, procure por um monômio que, multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, tenha o termo de grau mais alto do dividendo como resultado. Multiplique esse monômio por todo o divisor e coloque o resultado abaixo do dividendo, subtraindo-o. Esse último passo fará com que todos os sinais desse resultado sejam trocados.
Realize as somas e subtrações termo a termo, lembrando-se de que elas são possíveis apenas com termos semelhantes. “Desça” o resto do dividendo e repita o processo até que ele possua grau menor que o divisor ou que o resto seja zero.
Exemplo
Na divisão de x3 + 5x2 – 2x – 24 por x + 4, teremos:
x3 + 5x2 – 2x – 24 | x + 4     
– (x3 + 4x2)               x2 + x – 6  
0 + x2 – 2x – 24              
– (x2 + 4x)                  
0 – 6x – 24        
– (– 6x – 24)         
0       
Como resultado, teremos o polinômio x2 + x – 6.
Ao analisarmos a expressão (2+5-1)-6+3, observamos que ela possui uma seqüência de números separados por operações, sendo assim, podemos chamá-la de expressão numérica. 
A partir da definição de expressão numérica podemos chegar à definição de Expressões Algébricas: 
Chamamos de Expressões Algébricas uma expressão que envolve números, letras e operações indicadas entre eles. 
As letras em uma expressão algébrica representam qualquer número real. E são chamadas de incógnitas. 
Por Exemplo: 
Y + 10 
Y é a minha incógnita, número qualquer (valor desconhecido). 
A soma de um número qualquer mais 10. 
10 unidades a mais do que um número representado por Y. 
5 . K 
K é a minha incógnita, número qualquer (valor desconhecido). 
O produto de 5 por um número qualquer. 
O quíntuplo de um número qualquer. 
Simplificação de Expressões Algébricas 
►y + y + y = 3y ------ pois os monômios são semelhantes (as letras são iguais e os seus expoentes também. 
►m – 7m = -6m ------ pois os monômios são semelhantes (as letras são iguais e os seus expoentes também. 
►5 . (x + 2) – 8 . x -------- utilizando a propriedade distributiva 
5x + 10 – 8x---------- 5x e 8x são monômios semelhantes 
-3x + 10---------como -3x e 10 não são semelhantes então não pode somar. 
Concluímos que: 
5 . (x + 2) – 8 . x = -3x + 10 
Ao resolver uma equação do 2º grau podemos obter três resultados, dependendo do valor do discriminante:
∆ > 0, duas raízes reais diferentes.
∆ = 0, uma raiz real.
∆ < 0, nenhuma raiz real.
Resolvendo a equação do 2º grau dentro do universo dos números reais, os casos em que
∆ < 0 não podem ser resolvidos, pois não existe raiz de número negativo dentro do conjunto dos números reais.
O surgimento dos números complexos possibilitou obter soluções para casos em que é necessário descobrir novos conjuntos numéricos, onde o quadrado de um número negativo tem como resultado um número negativo.
Iremos representar essa proposição utilizando uma unidade imaginária i, assim poderemos dizer que o quadrado de um número é um número negativo, então i * i = - 1, isto é, i² = - 1 .
Representamos um número complexo z = (x,y) sendo x Є R e y Є R, na seguinte forma: z = a + bi (forma algébrica) , onde a é a parte real de z e b a parte imaginária de z.
Exemplos:
z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4
z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2
A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas pode ser resolvida dentro do conjunto dos números Complexos, da seguinte forma:
x² + 81 = 0 (Equação incompleta do 2º grau)
x² = –81
x = ±√–81
Temos (±9i)² = (±9)² * i² = 81 * (– 1 ) = – 81
x = ±9i
2x² - 16x + 50 = 0 (Equação completa do 2º grau)
a = 2, b = -16, c = 50
∆ = b² - 4ac
∆ = (-16)² - 4 * 2 * 50
∆ = 256 – 400
∆ = -144
Temos (±12i)² = 144i² = 144*(-1) = -144.
x’ = 4 + 3i    e     x’’ = 4 – 3i
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números, são também denominadas expressões literais. As letras constituem a parte variável das expressões, pois elas podem assumir qualquer valor numérico. No passado as letras foram pouco utilizadas na representação de números desconhecidos, atualmente as letras associadas a números constituem a base da álgebra e contribui de forma eficiente na resolução de várias situações matemáticas. Veja alguns exemplos de expressões algébricas:
2x – 5
3a + 2y
x² + 7x
5 + x – (5x – 2)
10y – 10x
a² – 2ab + b²
As expressões algébricas podem ser utilizadas para representar situações problemas, como as propostas a seguir:
1 – Determine a expressão que representa o perímetro das seguintes figuras:
Perímetro: soma dos lados de qualquer polígono.
4x + 1 + 2x + 4x + 1 + 2x
12x + 2
2x + 6 + 3x – 2 + x + 8
6x + 12
2 – O dobro de um número adicionado a 20: 2x + 20
3 – A diferença entre x e y: x – y
4 – O triplo de um número qualquer subtraído do quádruplo do número: 3x – 4x
5 – Represente algebricamente a área do retângulo a seguir:
2x * (3x+5)
6x² + 10x
Equação de Diofanto
6 – Um sexto dela foi uma bela infância. Depois de 1/12 da sua vida, a sua barba cresceu. Um sétimo da sua vida passou-se num casamento sem filhos. Mas, cinco anos após isso, nasceu o seu primeiro filho, que viveu uma vida feliz durante apenas metade do tempo de vida do seu pai. E, em profundo pesar, o pobre velho terminou os seus dias na Terra, quatro anos após perder o filho.
Os números complexos são formadospor um par ordenado (a, b) onde os valores de a estão situados no eixo x (abscissa) e os valores de b no eixo y (ordenadas). Sobre o eixo x marcamos os pontos relacionados à parte real do número complexo e sobre o eixo y os pontos relacionados à parte imaginária. 
Sendo P o ponto de coordenadas (a, b), a forma algébrica pela qual representaremos um número complexo será a + bi, como a e b Є R. 
A forma algébrica de representar um número complexo é mais prática e mais utilizada nos cálculos. 
Definindo as partes que formam um número complexo z = a + bi. 
z é um número complexo qualquer. 
a é a parte real do número complexo z. 
b é a parte imaginária do número complexo z. 
O conjunto dos números que formam a parte real é representado por Re (z). 
O conjunto dos números que formam a parte imaginária é representado por Im (z). 
Veja alguns exemplos de como identificar a parte real e a parte imaginária de um número complexo: 
z = - 3 + 5i 
Re(z) = -3 
Im(z) = 5 
z = -5 + 10i 
Re(z) = -5 
Im(z) = 10 
z = 1/2 + (1/3)i 
Re(z) = 1/2 
Im(z) = 1/3 
As coordenadas a e b podem assumir qualquer valor real, dependendo do valor que eles assumirem o número complexo irá receber um nome diferente: 
Quando a e b forem diferentes de zero dizemos que o número complexo é imaginário: 
z = 2 + 5i 
Quando o valor de a é igual a zero e o de b é diferente de zero dizemos que o número complexo é imaginário puro: 
z = 0 + 2i 
z = 2i 
Quando a diferente de zero e b igual a zero dizemos que o número complexo será real. 
z = 5 – 0i 
z = 5 
Exemplos: 
Determine o valor de k para que z =(k-6) + 7i, seja: 
Número Real 
Para que o complexo seja um número real devemos fazer b = 0 e a ≠ 0. 
k – 6 ≠ 0 
então: k ≠ 6 
Imaginário puro
Para que um número complexo seja imaginário puro a = 0 e b ≠ 0, então podemos dizer que: 
k – 6 = 0 
então: k = 6