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NIVELAMENTO 2021 – TOP EDUCACIONAL 
MATEMÁTICA / PORTUGUÊS 
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1 
 
 
 
PROJETO NIVELAMENTO 
MATEMÁTICA 
Professor André Costa 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
 
Matemática 1 
ARITMÉTICA 
1) Operações Fundamentais e Múltiplos e Divisores 
2) MDC e MMC 
3) Frações e Números Decimais 
4) Razões e Proporções 
5) Algarismos romanos 
6) Sistema métrico decimal 
7) Medidas de tempo 
 
 
 
Matemática 2 
ÁLGEBRA 
8) Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Numéricos 
9) Potenciação e Radiciação 
10) Equações do 1º e 2º grau 
11) Inequações do 1° e 2º grau 
12) Sistemas 
13) Funções 
 
 
 
Matematica 3 
GEOMETRIA 
14) Ângulos 
15) Polígonos 
16) Triângulos 
17) Teorema de Pitágoras 
18) Quadriláteros 
 
 
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ARITMÉTICA 
AULA 01 
As quatro operações básicas 
Como em tudo na vida a matemática pode ser inicia-
da de um tópico, iremos abordar em nosso curso de 
nivelamento os pontos mais importantes para forta-
lecer a sua base matemática. 
 
Basicamente têm-se a adição, a subtração, a divisão e 
a multiplicação, que, apesar de abrangerem um raci-
ocínio simples, são de suma importância para realiza-
ção de qualquer cálculo matemático, como por 
exemplo, na tabuada. As operações matemáticas 
abrangem os cálculos que são utilizados para a reso-
lução de operações simples, até as mais complexas. 
 
 
Adição 
Nessa operação matemática também é conhecida 
como soma, o resultado final denomina-se total ou 
soma e os números utilizados são as parcelas. O ope-
rador aritmético, ou seja, o sinal que indica o seu 
cálculo é o (+). 
 
Observe o exemplo: 
 
1 (parcela) + 1 (parcela) = 2 (soma ou total) 
 
 
 
As propriedades da adição são: fechamento, comuta-
tividade, associação e elemento neutro. 
 
Comutatividade: se mudarmos as parcelas de lugar 
na adição, o resultado não se altera. 
5 + 3 = 8 .: 3 + 5 = 8 
1 + 4 = 5 .: 4 + 1 = 5 
 
Associação: as parcelas numa adição podem ser so-
madas de maneiras diferentes, e o resultado não se 
altera. 
(5 + 2) + 8 = 15 .: 5 + (2 + 5) = 15 
 
Elemento Neutro: na adição, o zero é considerado 
elemento neutro, assim, qualquer número adiciona-
do a zero tem como resultado o próprio número. 
0 + 7 = 7 .: 2 + 0 = 2 .: 4 + 0 = 4 .: 10 + 0 = 10 
 
Fechamento: quando adicionamos dois ou mais nú-
meros naturais, o resultado sempre será um número 
natural. 
7 + 9 = 16 
7 é um número natural 
9 é um número natural 
16 é um número natural 
 
5 + 11 = 16 
5 é um número natural 
11 é um número natural 
16 é um número natural 
 
OBS: Números negativos e positivos: os números 
positivos e negativos podem ser somados, mas exis-
tem algumas regras que devem ser consideradas. 
Quando os números possuem sinais diferentes (nega-
tivos e positivos) o resultado acompanhará o sinal do 
número maior. Ex.: (-2) + 4 = 2. Já no caso de dois 
números negativos, o resultado também será negati-
vo. Ex.: (-8) + (-6) = - 2. 
 
 
Subtração 
A subtração abrange a redução de um número por 
outro. Os seus elementos são: minuendo, subtraendo 
e diferença ou resto. O (-) é o sinal utilizado na ope-
ração. Veja o exemplo: 
8 (minuendo) – 2 (subtraendo) = 6 (diferença ou 
resto) 
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As propriedades da subtração são: 
- O resultado é alterado no caso de mudança na or-
dem de apresentação dos valores, e nesse caso a 
diferença terá o sinal trocado. Ex.: 8 - 2 = 6 é diferen-
te de 2 - 8 = -6. 
- Não existe elemento neutro. 
 
 
Multiplicação 
A Multiplicação está intimamente relacionada à adi-
ção, pois pode-se dizer que ela é a soma de um nú-
mero pela quantidade de vezes que deverá ser multi-
plicado. O símbolo mais conhecido é o (x), mas mui-
tas pessoas utilizam o (*) ou (.) para representar essa 
operação. Os nomes dados aos seus elementos são 
fatores e produtos. Vejamos um exemplo: 
 
 
4 (fator) x 3 (fator) = 12 (produto) 
 
Observe que o exemplo também poderia ser repre-
sentado: 4 + 4 + 4 = 12. 
 
Elemento neutro: número 1, sendo que qualquer 
número multiplicado por ele resultará nele mesmo. 
Propriedades da multiplicação 
Em relação à multiplicação, temos quatro proprieda-
des para os números inteiros, que são: 
 
⇒ Propriedade Comutativa: a ordem dos fatores não 
altera o produto (resultado). No exemplo abaixo, – 3 
e + 5 são os fatores. 
 
(- 3) . (+ 5) = - 15 
(+ 5) . (- 3) = - 15 
 
⇒ Propriedade Associativa: A associação dos fatores 
não modifica o produto. Os fatores no exemplo a 
seguir são: - 3, + 5 e - 2. 
(- 3 . + 5) . - 2 = (- 15) . ( - 2) = + 30 
- 3 . (+ 5 . - 2) = (- 3) . ( - 10) = + 30 
 
⇒ Elemento Neutro: Na multiplicação, o elemento 
neutro é o número 1. Qualquer número multiplicado 
por 1 resulta nele mesmo. Nesse caso, um dos fato-
res sempre será o número + 1. Veja exemplos: 
(+ 8) . (+ 1) = + 8 
(- 100) . (+ 1) = - 100 
 
⇒ Propriedade distributiva: Realizamos o produto do 
termo externo ao parênteses com os termos internos 
do parênteses. Observe os exemplos abaixo: 
(- 2) . [( (+ 3) + (+ 4)] = 
= (- 2) . (+ 3) + (- 2) . (+ 4) = 
= (- 6) + (- 8) = 
Em + (- 8), devemos realizar o produto de + 1 . (- 8) = - 
8 
= – 6 – 8 = 
= – 14 
[(+ 5) - (– 6)] . (+ 2) = 
= (+ 5) . (+ 2) - (- 6) . (+ 2) = 
= (+ 10) - (- 12) = 
Em - (- 12), devemos realizar o produto de – 1 . (- 12) 
= + 12 
= + 10 + 12 = 
= + 22 
 
Fórmula geral das propriedades 
Considere que a, b, c representam qualquer termo 
numérico ou algébrico. 
Comutativa: a . b = b . a 
Associativa: (a . b) . c = a . (b . c) 
Elemento neutro: a . 1 = a 
Distributiva na adição: a . (b + c) = a . b + a . c 
Distributiva na subtração: a . (b – c) = a . b – a . c 
 
MULTIPLICAÇÃO 
(- 4) . (+ 2) = - 8 → Sinais diferentes na mul plicação 
resultam em sinal negativo e multiplicação dos ter-
mos numéricos. 
(+ 4) . (- 2) = - 8 → Sinais diferentes na mul plicação 
resultam em sinal negativo e multiplicação dos ter-
mos numéricos. 
(- 4) . (- 2) = +8 → Sinais iguais na multiplicação re-
sultam em sinal positivo e multiplicação dos termos 
numéricos. 
(+ 4) . (+ 2) = + 8 → Sinais iguais na mul plicação 
resultam em sinal positivo e multiplicação dos ter-
mos numéricos. 
 
 
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Divisão 
Nessa operação é possível dividir dois números em 
partes iguais. Essa operação tem os seguintes ele-
mentos: dividendo, divisor, quociente e resto. O 
sinal utilizado é (÷), mas podemos ver também os 
sinais (/) ou (:). 
 
 
 
Observe o exemplo: 31 (dividendo) ÷ 2 (divisor) = 15 
(quociente) 1 (resto) 
 
Ao dividir 31 por 2 não temos um resultado exato, 
sendo assim, temos o 15 como quociente e 1 de res-
to. 
 
DIVISÃO 
(- 4) : (+ 2) = - 2 → Sinais diferentes na divisão resul-
tam em sinal negativo e divisão dos termos numéri-
cos. 
(+ 4) : (- 2) = - 2 → Sinais diferentes na divisão resul-
tam em sinal negativo e divisão dos termos numéri-
cos. 
(- 4) : (- 2) = + 2 → Sinais iguais na divisão resultam 
em sinal positivo e divisão dos termos numéricos. 
(+ 4) : (+ 2) = + 2 → Sinais iguais na divisão resultam 
em sinal positivo e divisão dos termos numéricos. 
 
Propriedades 
Não é comutativa 
Dividir 2 ÷ 1 = 2 é diferente de dividir 1 ÷ 2 = 0,5, por-
tanto a comutatividade não vale para a divisão. 
 
Não é associativa 
A associatividade não vale na divisão. Por exemplo, 
dividir (4 ÷ 2) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1 tem resultado diferente 
de 4 ÷ (2 ÷ 2) = 4 ÷ 1 = 4. Lembrando que os parênte-
ses têm prioridade na divisão, ou seja, devem ser 
resolvidos primeiros. 
 
Fechamento 
A propriedade de fechamento em que a divisão de 
dois números reais será um número real não satisfaz, 
pois a divisão por 0 (zero) não tem como resultado 
um número real. 
Elemento neutro: o número 1 (um) é o elemento 
neutro na divisão, dividir um número por 1 (um) tem 
como resultado o próprio número. Faz todo sentido, 
por exemplo, dividir um pedaço de bolo com você 
mesmo, o pedaço serátodo seu. 
 
Anulação: o número 0 anula o resultado quando divi-
dido por qualquer número real. 
 
Casos particulares da divisão e multiplicação 
Multiplicação 
 Um número multiplicado por 1 (um) tem 
como resultado ele mesmo. 
 Exemplo: 2 x 1 = 2 
 Um número multiplicado por 0 (zero) tem 
como resultado o zero. 
 Exemplo: 2 x 0 = 0 
Divisão 
 Um número dividido por 1 (um) tem como 
resultado ele mesmo. 
 Exemplo: 2 ÷ 1 = 2 
 Um número dividido por ele tem como 
resultado o número 1 (um). 
 Exemplo: 2 ÷ 2 = 1 
 Zero dividido por qualquer número tem como 
resultado o próprio zero. 
 Exemplo: 0 ÷ 2 = 0 
 Nenhum número real pode ser dividido por 0 
(zero). 
 
 
 
 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
Múltiplos: são o resultado de uma multiplicação; 
Divisores: são o resultado de uma divisão. 
Os conjuntos numéricos que satisfazem algumas 
condições dos múltiplos e divisores, por esta razão 
devemos associar os estudos destes tópicos. 
Múltiplos de um número: sejam a e b dois números 
inteiros conhecidos, o número a é múltiplo de b se, e 
somente se, existir um número inteiro k tal que a = b 
· k. Desse modo, o conjunto dos múltiplos de a é 
obtido multiplicando a por todos números inteiros, 
os resultados dessas multiplicações são os múltiplos 
de a. 
Tomemos como exemplo a tabuada. 
 
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Múltiplos de 4 
Como vimos, para determinar os múltiplos do núme-
ro 4, devemos multiplicar o número 4 por números 
inteiros. Assim: 
4 · 1 = 4 
4 · 2 = 8 
4 · 3 = 12 
4 · 4 = 16 
4 · 5 = 20 
4 · 6 = 24 
4 · 7 = 28 
4 · 8 = 32 
4 · 9 = 36 
4 · 10 = 40 
4 · 11 = 44 
4 · 12 = 48 
... 
Portanto, os múltiplos de 4 são: 
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … } 
 
Divisores de um número 
Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, vamos 
dizer que b é divisor de a se o número b for múltiplo 
de a, ou seja, a divisão entre b e a é exata (deve dei-
xar resto 0). 
Veja alguns exemplos: 
44 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 44. 
93 é múltiplo de 3, logo, 3 é divisor de 93. 
121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 
121. 
Para listar os divisores de um número, devemos bus-
car os números que o dividem. Veja: 
– Liste os divisores de 2, 3 e 20. 
D(2) = {1, 2} 
D(3) = {1, 3} 
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} 
Observe que os números da lista dos divisores sem-
pre são divisíveis pelo número em questão e que o 
maior valor que aparece nessa lista é o próprio nú-
mero, pois nenhum número maior que ele será divi-
sível por ele. 
 
Propriedade dos múltiplos e divisores 
Essas propriedades estão relacionadas à divisão entre 
dois inteiros. Observe que quando um inteiro é múl-
tiplo de outro, é também divisível por esse outro 
número. 
Considere o algoritmo da divisão para que possamos 
melhor compreender as propriedades. 
N = d · q + r, em que q e r são números inteiros. 
Lembre-se de que N é chamado de dividendo; d, de 
divisor; q, de quociente; e r, de resto. 
 
→ Propriedade 1: A diferença entre o dividendo e o 
resto (N – r) é múltipla do divisor, ou o número d é 
divisor de (N – r). 
 
→ Propriedade 2: (N – r + d) é um múltiplo de d, ou 
seja, o número d é um divisor de (N – r + d). 
Veja o exemplo: 
– Ao realizar a divisão de 525 por 8, obtemos quoci-
ente q = 65 e resto r = 5. Assim, temos o dividendo N 
= 525 e o divisor d = 8. Veja que as propriedades são 
satisfeitas, pois (525 – 5 + 8) = 528 é divisível por 8 e: 
528 = 8 · 66 
 
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Números primos 
Os números primos são aqueles que possuem, ape-
nas dois divisores NATURAIS, como divisor em sua 
listagem somente o número 1 e o próprio número. 
Para verificar se um número é primo ou não, um dos 
métodos mais triviais é fazer a listagem dos divisores 
desse número. Caso apareça números a mais que 1 e 
o número em questão, este não é primo. 
→ Verifique quais são os números primos entre 2 e 
20. Para isso, vamos fazer a lista dos divisores de 
todos esses números entre 2 e 20. 
D(2) = {1, 2} 
D(3) = {1, 3} 
D(4) = {1, 2, 4} 
D(5) = {1, 5} 
D(6) = {1, 2, 3, 6} 
D(7) = {1, 7} 
D(8) = {1, 2, 4, 8} 
D(9) = {1, 3, 9} 
D(10) = {1, 2, 5, 10} 
D(11) = {1, 11} 
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
D(13) = {1, 13} 
D(14) = {1, 2, 7, 14} 
D(15) = {1, 3, 5, 15} 
D(16) = {1, 2, 4, 16} 
D(17) = {1, 17} 
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 
D(19) = {1, 19} 
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} 
Assim, os números primos entre 2 e 20 são: 
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19} 
Observe que o conjunto é de alguns dos primeiros 
primos, essa lista continua. Veja que quanto maior é 
o número, mais difícil torna-se dizer se ele é primo ou 
não. 
 
Regras de divisibilidade 
Divisibilidade por 2: 
A divisibilidade por 2 é feita em qualquer número 
par, ou seja, quaisquer números terminados em 0, 2, 
4, 6 ou 8 são, com certeza, números divisíveis por 2. 
Vamos aos exemplos: 
64:2 = 32 
32:2 = 16 
16:2 = 8 
8:2 = 4 
4:2 = 2 
2:2 = 1 
12.490:2 = 6.245 
 
Divisibilidade por 3: 
Segundo esse critério, para encontrarmos os núme-
ros que são divisíveis por 3, basta somarmos os alga-
rismos dos números e se o resultado for divisível por 
3, certamente, o número é divisível por 3. Lembrando 
que, nesse caso, a tabuada do 3 deve estar na ponta 
da língua! Veja como é simples pelo exemplo: 
O número 14.321, se separarmos os algarismos fa-
zendo a sua soma: 1 + 4 + 3 + 2 + 1 = 11. Nesse caso 
11 não é divisível por 3, portanto o número 14.321 
não é divisível por 3. 
Se analisarmos o número 1.233, a soma dos algaris-
mos será 1 + 2 + 3 + 3 = 9. O número 9 é divisível por 
3, então, 1.233 é sim divisível por 3 e resulta em 411. 
 
Divisibilidade por 4: 
Para saber se um número é divisível por 4, temos 
duas opções: a primeira delas é que todo número 
que termina em 00 com certeza é divisível por 4; e a 
segunda é quando o número formado pelos dois úl-
timos algarismos for divisível por 4, esse número é 
também divisível por 4. Por exemplo: 
1.200 é divisível por 4, pois termina em 00. 
5.832 é divisível por 4, porque o final 32 é um núme-
ro divisível por 4. 
616 é divisível por 4, porque o final 16 é divisível por 
4. 
1.335 não é divisível por 4 pois não termina em 00 e 
o final 35 não é um número divisível por 4, o que faz 
a divisão não ter como resultado um número inteiro. 
 
Divisibilidade por 5: 
Qualquer número natural que tenha final 0 ou 5 é 
divisível por 5. É só pensar na tabuada do 5 e obser-
var como cada número termina. 
Por exemplo, os números 935, 140, 85 e 70 são todos 
divisíveis por 5, pois terminam em 0 ou 5. Já os nú-
meros 357, 121, 92 e 551, por exemplo, não são divi-
síveis por 5, pois não terminam em 0 ou 5. 
 
Divisibilidade por 6: 
O critério para a divisibilidade por 6 são todos os 
números que são divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo 
tempo. Lembrando que os números que são divisíveis 
por 2 são todos os números pares, isso já exclui os 
números ímpares da divisibilidade por 6, e a soma os 
algarismos desses números precisam ser divisíveis 
por 3. Vamos analisar os seguintes exemplos: 
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7 
1.324 é um número par (divisível por 2) e a soma dos 
algarismos 1 + 3 + 2 + 4 = 10, ou seja, não é divisível 
por 3, portanto 1.324 não é divisível por 6. 
510 é um número par (divisível por 2) e a soma dos 
algarismos 5 + 1 + 0 = 6, ou seja, é divisível por 3, 
portanto 510 é um número divisível por 6. 
15.420 é um número par (divisível por 2) e a soma 
dos algarismos 1 + 5 + 4 + 2 + 0 = 12, ou seja, é divisí-
vel por 3, portanto 15.420 é divisível por 6. 
2.331 é ímpar, ou seja, não é divisível por 2 e apesar 
da soma dos algarismos 2 + 3 + 3 + 1 = 9 e ser divisí-
vel por 3, o número 2.331 não é divisível por 6. 
 
Divisibilidade por 7: 
Esse critério é diferente dos demais, mas é bem sim-
ples. Para verificarmos se um número é divisível por 
7, basta multiplicar o último algarismo por 2 e com o 
resultadosubtrair dos números que sobraram (não 
incluir o último), se esse resultado for divisível por 7, 
o número é divisível por 7. Se o número foi grande, 
repetir o processo até conseguir verificar se o núme-
ro é divisível por 7. Segue o exemplo: 
574: separar o último número e multiplicar por 2 => 4 
x 2 = 8. Desse resultado, subtrair do número que 
sobrou 57 – 8 = 49. Como 49 é divisível por 7, então, 
o número 574 é divisível por 7. 
7.644: separar o último número de multiplicar por 2 
=> 4 x 2 = 8. Desse resultado, subtrair do número que 
sobrou 764 – 8 = 756. Como o número é grande, re-
petimos o processo. Separar o último número de 
multiplicar por 2 => 6x 2 = 12; desse resultado, sub-
trair do número que sobrou 75 – 12 = 63. Como 63 é 
divisível por 7, então o número 7.644 é divisível por 
7. 
 
Divisibilidade por 8: 
Segundo esse critério, os números que são divisíveis 
por 8 são todos aquelas que possuem final 000 ou 
que os três últimos algarismos sejam divisíveis por 8 
(bem parecido com o critério de divisibilidade por 4). 
Por exemplo: 
Os números 12.000, 5.000 e 125.000 são todos divisí-
veis por 8, pois terminam em 000. 
O número 1.345.880 também é divisível por 8, pois 
880 dividido por 8 é 110. 
O número 225.243.168 é divisível por 8, pois 168 
dividido por 8 é 21. 
O número 12.445 não é divisível por 8, pois 445 não 
tem um resultado exato quando é dividido por 8. 
 
Divisibilidade por 9: 
O critério de divisibilidade por 9 segue a mesma linha 
de raciocínio do critério de divisibilidade por 3, ou 
seja, vamos somar os algarismos e se o resultado por 
divisível por 9, o número será divisível por 9: 
1.575 é divisível por 9, pois 1 + 5 + 7 + 5 = 18. Como 
18 é divisível por 9 (9 x 2), então, o número 1.575 é 
divisível por 9. 
525.951 é divisível por 9, pois 5 + 2 + 5 + 9 + 5 + 1 = 
27. Como 18 é divisível por 9 (9 x 2), então, o número 
1.575 é divisível por 9. 
 
Divisibilidade por 10: 
Um dos critérios mais simples de divisibilidade! Os 
números que são divisíveis por 10 terminam sempre 
com 0. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Assinale a alternativa que apresenta dois 
exemplos de números que são divisíveis por 6. 
A 117 e 711. 
B 216 e 612. 
C 500 e 650. 
D 716 e 844. 
E 918 e 1000. 
 
2. O número 756 NÃO é divisível por: 
A 2. 
B 3. 
C 4. 
D 7. 
E 8. 
 
3. A professora propôs um jogo no qual cada 
vogal vale +4,4 pontos e cada consoante vale –3,3 
pontos. Nesse jogo, a soma dos valores de todas as 
letras da palavra ‘ILUSTRE’ resulta em 
A –4. 
B –3. 
C 0. 
D +3. 
E +4. 
 
4. Thamiris está fazendo a contagem regressiva 
para sua viagem. Sabendo-se que faltam 81 dias para 
sua viagem, pode-se afirmar que faltam 
A 9 semanas e 3 dias. 
B 10 semanas e 3 dias. 
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8 
C 10 semanas e 6 dias. 
D 11 semanas. 
E 11 semanas e 4 dias. 
 
5. A multiplicação é a sequência de somas em 
que as parcelas são números iguais. Considerando 
as propriedades da multiplicação assinale a alterna-
tiva cujo conteúdo refere-se à comutatividade: 
A Para a multiplicação de 3 números, pode-se multi-
plicar os dois primeiros e depois o resultado pelo 
último bem como o inverso. 
B A ordem da multiplicação dos fatores não altera o 
resultado do produto. 
C O número 1 é o elemento neutro da multiplicação, 
pois não influencia no resultado da operação. 
D Todo número possui um elemento inverso, e a 
multiplicação de um número pelo seu inverso resulta 
no elemento neutro. 
 
6. As operações matemáticas possuem propri-
edades básicas. As propriedades são comuns à gru-
pos inversos e devem ser observadas para a valida-
ção dos resultados obtidos nas operações. A propri-
edade da adição que permite compreender a sub-
tração como uma adição de inversos aditivos é a: 
A Todo número possui um correspondente negativo 
em que a soma entre eles é igual a 0. 
B O resultado da soma não pode ser alterado pela 
ordem em que os números são somados. 
C O elemento neutro de uma operação não influencia 
no resultado da soma. 
D Na soma de três números pode-se somar o resulta-
do da soma dos dois primeiros ao terceiro. 
 
7. O resultado da expressão numérica 417 + 212 
– 199 é: 
A 430. 
B 420. 
C 410. 
D 400. 
E 390. 
 
8. Para efetuarmos as operações de multiplica-
ção corretamente, devemos sempre levar em consi-
deração a Regra de Sinais. Sabendo disso, assinale a 
afirmação INCORRETA. 
A Sinal (+) vezes sinal (+) = + 
B Sinal (-) vezes sinal (-) = + 
C Sinal (+) vezes sinal (-) = − 
D Sinal (-) vezes sinal (+) = + 
 
9. Analise a expressão aritmética e assinale a 
alternativa que representa o valor correto de Y. 
(Obs.: Considere a letra x como sendo sinal de mul-
tiplicação) 
Y = 20 + 8 ÷ 2 x 3 + 6 x 6 + 2 x (18 ÷ 3) 
A 69 
B 80 
C 120 
D 248 
 
10. Um número tem 5 centenas, 3 unidades e 6 
dezenas. Assinale a alternativa que representa o 
número descrito na questão. 
A 536 
B 563 
C 653 
D 365 
 
GABARITOS 
1 - B 
2 - E 
3 - C 
4 - E 
5 - B 
6 - A 
7 - A 
8 - D 
9 - B 
10 - B 
 
 
 
AULA 02 
FATORAÇÃO 
Decomposição de um número em fatores primos 
Significa reescrevê-lo na forma de uma multiplicação, 
na qual todos os seus fatores só podem ser números 
primos, e todo número possui esta capacidade. 
Assim podemos afirmar que os fatores primos são o 
resultado de divisões sucessivas. 
 
Exemplo: Decomponha o número 112 em fatores 
primos: 
 
112| 2 
 0 56 | 2 
 0 28 | 2 
 0 14 | 2 
 0 7 | 7 
 0 1 
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9 
 
OBS: a técnica da decomposição poderá ser utilizada 
para a extração de raízes quadradas. 
 
 
 
 
 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
Os cálculos de MMC e MDC estão ligados aos múlti-
plos e aos divisores de um número. Esse tipo de cál-
culo, aprendido no ensino fundamental, é essencial 
para resolver muitas questões e problemas no Enem. 
 
O mínimo múltiplo comum, ou MMC, de dois ou mais 
números inteiros é o menor múltiplo inteiro positivo 
comum a todos eles. Por exemplo, o MMC de 6 e 8 é 
o 24, e denotamos isso por mmc 6, 8 = 24 Já o MMC 
de 5, 6 e 8 é o 120, o que é denotado por MMC 5, 6, 
8 = 120. 
O MMC é muito útil quando se adicionam ou subtra-
em frações, pois é necessário um mesmo denomina-
dor comum durante esses processos. Não é necessá-
rio que esse denominador comum seja o MMC, mas a 
sua escolha minimiza os cálculos. Considere o exem-
plo: 
326 + 18 = 656 + 756 = 1356, onde o denominador 56 
foi usado porque MMC 28, 8 = 56. 
 
Regra prática para calcular o MMC de dois números. 
Para calcular o MMC entre 28 e 8, fazemos o seguin-
te: 
1. Reduzimos a fração 288 aos seus menores termos: 
288 = 72. 
2. Multiplicamos em cruz a expressão obtida: 
28 x 2 = 8 x 7 = 56 
3. O valor obtido é o MMC procurado: MMC 28, 8 = 
56. 
 
Regra geral para calcular o MMC de dois ou mais 
números. O procedimento geral para o cálculo do 
MMC envolve a decomposição primária de cada nú-
mero. Por exemplo, para calcular o MMC de 8, 12 e 
28, fazemos o seguinte: 
1. Realizamos a decomposição primária de cada nú-
mero: 
8 = 23 
12 = 22 · 31 
28 = 22 · 71 
2. Em seguida, multiplicamos cada fator primo eleva-
do à maior potência com que aparece nas fatorações. 
O resultado é o MMC procurado: 
MMC 8, 12, 28 = 23 · 31 · 71 = 168 
 
Dispositivo prático para calcular o MMC de dois ou 
mais números. O procedimento acima tem a seguinte 
forma prática de execução: 
 
1. Alinhamos os três números, 8, 12 e 28, e dividimos 
todos os números que podem ser divididos pelo pri-
meiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada 
quociente obtido: 
 
 
 
2. Repetimos esse procedimento sucessivamente 
com o 2, depois com o 3 e, depois com o 7, até que a 
última linha só contenha algarismos 1: 
 
 
 
3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na 
coluna da direita, obtendo o MMC procurado: 
MMC 8, 12, 28 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 168 
Propriedade fundamental do MMC. Todo múltiplo 
comum de dois ou mais números inteiros émúltiplo 
do MMC destes números. 
 
Exemplo: os múltiplos comuns positivos de 8, 12 e 28 
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são exatamente os múltiplos positivos de 168, o seu 
MMC, ou seja, são 168, 336, 504,... 
 
 
Exemplo: encontre o menor número inteiro positivo 
de três algarismos que é divisível, ao mesmo tempo, 
por 3, 4 e 15. 
 
Solução: pela propriedade fundamental do MMC, o 
número desejado será o menor número de três alga-
rismos múltiplo do MMC de 3, 4 e 15. Como MMC 3, 
4, 15 = 60, então o menor múltiplo de três algarismos 
é o 120. 
 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
O máximo divisor comum, ou MDC, de dois ou mais 
números inteiros é o maior divisor inteiro comum a 
todos eles. Por exemplo, o m.d.c. de 16 e 36 é o 4, e 
denotamos isso por MDC 16, 36 = 8. Já o MDC de 30, 
54 e 72 é o 6, o que é denotado por MDC 30, 54, 72 = 
6. 
Regra geral para calcular o MDC de dois ou mais 
números. O procedimento geral para o cálculo do 
MDC, como no caso do MMC, envolve a decomposi-
ção primária de cada número. Por exemplo, para 
calcular o MMC de 30, 54 e 72, fazemos o seguinte: 
1. Realizamos a decomposição primária de cada nú-
mero: 
30 = 21 · 31· 51 
36 = 22 · 32 
72 = 23 · 32 
2. Em seguida, multiplicamos os fatores primos co-
muns elevados à menor potência com que cada um 
aparece nas fatorações. O resultado é o MDC procu-
rado: 
MMC 30, 36, 72 = 21 · 31 = 6 
 
 
Dispositivo prático para calcular o MDC de dois ou 
mais números. O procedimento acima tem a seguinte 
forma prática de execução: 
1. Alinhamos os três números, 30, 36 e 72, e dividi-
mos todos os números que podem ser divididos pelo 
primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada 
quociente obtido: 
 
2. Repetimos esse procedimento com o próximo pri-
mo que divida os três quocientes e, assim, sucessi-
vamente, até que não hajam mais primos comuns: 
 
3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na 
coluna da direita, obtendo o m.d.c. procurado: MDC 
30, 36, 72 = 2 · 3 = 6 
 
 
O algoritmo de Euclidade para o cálculo do MDC de 
dois números ES PARA O CÁLCULO DO M.D.C. DE 
DOIS NÚMEROS. Para o cálculo do MDC de dois nú-
meros, existe um dispositivo extremamente rápido e 
econômico. Trata-se do algoritmo de Euclides, que 
descrevemos, agora, para calcular o MDC de 305 e 
360. 
 
1. Dividimos o maior número, 360, pelo menor, 305, 
obtendo resto 55, posicionando o resto abaixo do 
divisor:36030555 
 
2. Em seguida, transportamos o resto 55 para o lado 
direito de 305 e dividimos o 305 por 55, posicionando 
o novo resto abaixo do 55: 
 
 
 
3. Repetimos esse procedimento, transportando o 
novo resto 30 para o lado direito de 55 e dividimos o 
55 por 30, posicionando o novo resto abaixo do 30. E 
continuamos assim, sucessivamente, até obter o pri-
meiro resto 0: 
 
 
 
4. O penúltimo resto obtido, ou seja, o resto anterior 
ao primeiro resto 0, é o m.d.c. dos dois números ini-
ciais: MDC (305, 360) = resto anterior ao 0 = 5. 
Números primos entre si ou primos relativos. Dois 
números inteiros são ditos primos entre si, ou primos 
relativos, se o m.d.c. entre eles é 1. É o caso de 10 e 
21. Como mdc (10, 21) = 1, então 10 e 21 são primos 
entre si. 
 
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Propriedade fundamental do MDC. Todo divisor 
comum de dois ou mais números inteiros é divisor do 
MDC destes números. 
 
Exemplo: 3 é divisor comum de 30, 36 e 72. Observe 
que 3 também é divisor de 6, o MDC destes três nú-
meros. 
 
EXERCÍCIOS 
11. Emerson machucou seu joelho praticando 
esportes e precisa tomar um anti-inflamatório de 8 
em 8 horas, colocar gelo a cada 6 horas e passar uma 
pomada de 4 em 4 horas. No dia 07 de fevereiro des-
te ano às 10 horas, ele colocou gelo, tomou o anti-
inflamatório e passou a pomada. Cumprindo os horá-
rios prescritos, ele tornou a fazer os três procedimen-
tos juntos novamente no dia 08 de fevereiro deste 
ano às 
A 10 horas. 
B 14 horas. 
C 16 horas. 
D 18 horas. 
E 22 horas. 
 
12. Marcelo viaja ao exterior uma vez a cada 15 
meses. A última vez que Marcelo viajou ao exterior 
foi em agosto de 2019. A próxima vez em que Marce-
lo viajará ao exterior em agosto se dará no ano de 
A 2027 
B 2023 
C 2024 
D 2026 
E 2025 
 
13. Se o número 25 é divisível por 5, considere os 
itens abaixo. 
 
I- 25 é múltiplo de 5; II- 5 é múltiplo de 25; III- 5 é o 
divisor de 25. 
 
Dos itens acima, 
A Apenas o item I está correto. 
B Apenas o item II está correto. 
C Apenas o item III está correto. 
D Apenas os itens I e II estão corretos. 
E Apenas os itens I e III estão corretos. 
 
14. Analise as alternativas e assinale a que re-
presenta o resultado do MDC entre os números 10, 
20 e 40. 
A 10 
B 20 
C 30 
D 40 
 
15. O valor do mdc (504,540) é: 
A 2. 
B 6. 
C 8. 
D 18. 
E 36. 
 
 
GABARITO 
11 - A 
12 - C 
13 - C 
14 - D 
15 - E 
 
 
AULA 03 
FRAÇÕES 
Fração é, basicamente, uma representação das par-
tes iguais de um todo. Isso quer dizer que a fração 
determina a divisão de partes iguais sendo que cada 
uma integra um número inteiro. 
 
 
 
 
 
Nas frações, o número que fica embaixo – ou seja, 
aquele que representa o total – é chamado de de-
nominador. Já o número que fica em cima – que re-
presenta a porcentagem do todo – é chamado de 
numerador. 
 
Propriedades 
1. Fração própria 
Fração própria é toda aquela em que o numerador é 
menor que o denominador. Isso significa que repre-
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senta um número menor que um inteiro. Como por 
exemplo: 2/8. 
 
2. Fração imprópria 
São frações em que o numerador é maior que o de-
nominador. Isso significa que representa um número 
maior que um inteiro. Como por exemplo: 5/3. 
 
3. Fração aparente 
São frações em que o numerador é múltiplo do de-
nominador, ou seja, representa um número inteiro 
escrito em forma de fração. Como por exemplo: 9/3 
= 3. 
 
4.Fração mista 
São frações constituídas por uma parte inteira e uma 
fracionária, representada por números mistos. Como 
por exemplo: 1 2/5 (um inteiro e dois quintos). 
 
operações com fração 
O mais importante sobre as frações é saber como 
utilizá-las para fazer operações matemáticas básicas, 
como adição, subtração, divisão e multiplicação. 
Confira a seguir como fazer cada uma dessas opera-
ções: 
 
Soma de frações 
Para fazer uma operação de adição entre frações, é 
necessário identificar se os denominadores das duas 
frações são iguais. Se forem, basta repetir o denomi-
nador e somar os numeradores. 
Se os denominadores forem diferentes, antes de 
somar deve-se transformar as frações em frações 
equivalentes de mesmo denominador. Para isso, cal-
culamos o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) entre os 
denominadores das frações a serem somadas. 
O valor do MMC passa a ser o novo denominador das 
frações. Após isso, deve-se dividir o MMC encontrado 
pelo denominador da fração e o resultado dessa ope-
ração é multiplicado pelo numerador de cada fração 
e esse valor passará a ser o novo numerador. 
 
Subtração de frações 
A subtração de frações funciona da mesma forma 
que a adição, ou seja, é necessário verificar se os 
denominadores são iguais ou não. Se o denominador 
for igual, basta repetir o denominador e subtrair os 
numeradores. 
Divisão de frações 
A divisão de frações é feita multiplicando a primeira 
fração pelo inverso da segunda, ou seja, inverte-se o 
numerador e o denominador da segunda fração. 
Multiplicação de frações 
A multiplicação de frações é feita multiplicando os 
numeradores entre si, bem como seus denominado-
res. 
Frações equivalentes 
As frações equivalentes são frações que representam 
a mesma quantidade. As frações 1/2, 2/4 e 4/8 são 
equivalentes, por exemplo. Para encontrar frações 
equivalentes, é necessário multiplicar o numerador e 
o denominador por um mesmo número natural, dife-
rente de zero. 
 
 
 
Simplificação de frações 
A simplificação de frações consiste emreduzir o nu-
merador e o denominador por meio da divisão pelo 
máximo divisor comum (MDC) aos dois números. 
Uma fração está totalmente simplificada quando 
verificamos que seus termos estão totalmente redu-
zidos a números que não possuem termos divisíveis 
entre si. Quando isso acontece, ela é chamada de 
fração irredutível. 
 
Números decimais 
Os números decimais têm como principal caracterís-
tica a presença da vírgula. Assim como os números 
inteiros, os decimais também utilizam o sistema de 
numeração decimal, ou seja, podemos diferenciar os 
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números pela posição em que os algarismos se en-
contram. 
Os números decimais aparecem com frequência em 
nosso cotidiano, como ao realizar compras em um 
supermercado ou abastecer um carro. Assim, é im-
portante entender como funciona o sistema de posi-
ção e, consequentemente, a nomenclatura desses 
números. Veja os exemplos: 
Vamos analisar o número 5,4561. 
5 → Parte inteira 
4 → Décimos 
5 → Centésimos 
6 → Milésimos 
1 → Décimo de Milésimos 
 
Veja que o algarismo 5 aparece duas vezes no núme-
ro, entretanto, ele representa quantidades diferen-
tes. O 5 (parte inteira) indica 5 unidades, enquanto os 
números que estão à direita da vírgula representam 
frações de um inteiro. Assim, a leitura do número 
deve ser feita da seguinte maneira: 
Cinco inteiros, quatro mil, quinhentos e sessenta e 
um décimo de milésimos 
 
Operações com números decimais 
 Adição 
A adição de números decimais é definida assim como 
a adição de números inteiros. Devemos somar parte 
inteira com parte inteira, décimos com décimos, cen-
tésimos com centésimos e assim sucessivamente. Em 
outras palavras, devemos colocar vírgula abaixo de 
vírgula. Veja o exemplo: 
 
 
 
 Subtração 
A subtração entre dois números decimais se dá da 
mesma forma que a adição de números inteiros. 
Operamos parte inteira com parte inteira, décimos 
com décimos, e assim sucessivamente. Veja o exem-
plo: 
 
 
 
 Multiplicação 
A multiplicação entre dois números decimais é reali-
zada de maneira semelhante à multiplicação de nú-
meros inteiros. Ao final somamos a quantidade de 
casas decimais dos dois números e colocamos essas 
casas decimais no resultado. 
 
 
 Divisão 
Para realizar a divisão entre números decimais, preci-
samos igualar as casas decimais multiplicando os dois 
números por potências de dez, ou seja, dez, cem, mil 
e assim por diante. Após as casas decimais estarem 
iguais, a divisão é realizada da mesma maneira que a 
de números inteiros. 
 
 
 
Números decimais em fração 
Para escrever um número decimal na sua forma fra-
cionária, devemos conservar número sem a vírgula 
no numerador da fração e colocar a potência de 
base 10 no denominador, ou seja, devemos colocar 
os números dez, cem, mil e assim por diante de acor-
do com a quantidade de casas decimais que “anda-
mos” para tornar o número decimal um número in-
teiro. Veja o exemplo: 
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Vamos transformar o número 0,43 em sua forma 
fracionaria. Observe que o número sem a vírgula é 
escrito da seguinte maneira: 043, ou seja, 43. Veja 
também que, para ignorarmos a vírgula, foi necessá-
rio “andar” duas casas decimais, logo devemos dividir 
o 43 por 100. 
 
 
 
Fração geratriz 
Dízimas periódicas 
Dízima é toda fração cuja divisão não resulta em um 
número decimal exato, ou seja, a divisão da fração irá 
gerar um número com infinitas casas decimais. Veja 
alguns exemplos: 
 
0,34567... 
2,33333... 
0,345345... 
0,222222... 
 
A dízima periódica simples é dada pela repetição de 
termos numéricos nas casas decimais. Sendo assim, 
uma dízima periódica apresenta repetições de termos 
numéricos depois da vírgula, esses termos determi-
nam o período. Veja: 
2,555... Período igual a 5 
1,235235... Período igual a 235 
0,323232... Período igual a 32 
 
Já a dízima não periódica não possui período. Obser-
ve: 
2,326598..... Não possui período 
25,12032569.... Não possui período 
0,02069875... Não possui período 
 
Vamos agora explicar um método prático para encon-
trar a fração geratriz. Caso tenha interesse em 
aprender o método tradicional clique aqui: Geratriz 
de uma dízima periódica. 
Para utilizar esse método prático o primeiro passo é 
identificar o período da dízima periódica. Veja: 
Dízima periódica: 0,222... 
Período igual a 2 
 
No segundo passo devemos montar a fração geratriz. 
O numerador será o valor numérico do período, já o 
denominador será 9. A quantidade de noves no de-
nominador é determinada pela quantidade de termos 
numéricos que compõem o período. 
A dízima periódica 0,222... possui um período, então 
o numerador da fração será o número 2 e o denomi-
nador possuirá somente um 9, porque temos somen-
te um algarismo que representa o numerador. Logo: 
0,222...= 2 
 9 
A fração encontrada é a geratriz, ou seja, quando 
dividimos 2 por 9 geramos o valor de 0,222.... 
Vamos fazer mais alguns exemplos para que fique 
bem entendido. 
 
Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas 
abaixo. 
a) 0,3333... 
b) 0,120120... 
c) 2,3737... 
 
Resposta 
a) Dízima periódica: 0,3333... 
período: 3 
Numerador: 3 
Denominador: 9, pois o numerador é representado 
por somente um algarismo. 
Fração geratriz: 3 
 9 
O número e o denominador são divisíveis por 3. Po-
demos então simplificar a fração geratriz: 
3 : 3 = 1 
9 : 3 3 
Caso queira verificar se 1/3 é, de fato, a fração que 
gera o número decimal 0,333... basta dividir 1 por 3. 
 
b) Dízima periódica: 0,120120... 
período: 120 
Numerador: 120 
Denominador: 999, pois o numerador é representado 
por 3 algarismos. 
Fração geratriz: 120 
 999 
O numerador e o denominador são divisíveis por 3. 
Simplificando a fração geratriz por 3 temos que: 
120 = 40 
999 333 
 
c) Dízima periódica: 2,3737... 
Essa dízima periódica possui um número inteiro que é 
2. Para encontrar a fração geratriz dessa dízima basta 
separarmos a parte inteira da decimal numa soma e 
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aplicarmos o método prático para encontrar a fração 
geratriz na parte decimal. Veja: 
2,3737... = 2 + 0,3737... = 
Período: 37 
Numerador: 37 
Denominador: 99, pois o numerador é representado 
por 2 algarismos. 
Fração geratriz: 37 
 99 
Agora substituímos, na soma, o valor decimal pela 
fração geratriz: 
2,3737... = 2 + 0,3737... = 2 + 37 
 99 
Faça com que os termos da soma tenha o mesmo 
denominador, em seguida some os numeradores. 
2,3737.. = 2 + 0,3737.. = 2 x 99+ 37 = 198 + 37 = 235 
 1 x 99 99 99 99 
A fração geratriz para a dízima periódica 2,3737... é: 
2,3737... = 235 
 99 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
16. Na Padaria Estrela, um bolo inteiro confeita-
do custa R$ 116,00. Gisele comprou 3/4 desse bolo e 
pagou por essa parte do bolo o valor de 
A R$ 85,00. 
B R$ 87,00. 
C R$ 88,00. 
D R$ 90,00. 
E R$ 92,00. 
 
17. Do número total de questões de uma prova 
de certo concurso, Isa acertou 5/6 e Ana acertou 3/5 . 
Se Isa acertou 14 questões a mais que Ana, então o 
número de questões que Ana acertou é 
A 50. 
B 46. 
C 40. 
D 36. 
E 30. 
 
18. Fração é o termo utilizado quando alguma 
coisa é dividida através da razão de dois números 
inteiros. Assinale a alternativa cujo conteúdo cor-
responde à fração mista do termo: 27/5 
A 5 2/5 
B 5,4 
C 3 9/5 
D 5,2 
 
19. Uma telefonista de uma loja gastou 9 horas 
para entrar em contato com 3/7 do total de clientes 
da loja. Se a capacidade operacional de uma outra 
telefonista for o dobro da capacidade da primeira, o 
esperado é que essa ultima telefonista, seja capaz de 
entrar em contato com o restante dos clientes em: 
A 4 horas 
B 5 horas 
C6 horas 
D 7 horas 
 
20. Uma certa quantidade de processos foi divi-
dida entre 4 auxiliares administrativos de modo que 
cada um recebesse 1/3 da quantia recebida pelo an-
terior. Se o terceiro auxiliar recebeu 12 processos, o 
total distribuído foi de: 
A 156 
B 158 
C 160 
D 162 
 
21. A alternativa que contém o resultado da sim-
plificação de 15/75 é: 
A 1/5 
B 3/7 
C 3/2 
D 30/16 
E 75/15 
 
22. Duas empresas de Pavimentação realizaram 
em parceria uma obra de pavimentação das estradas 
do município de Castanhal. Em uma dessas obras, 
uma das empresas pavimentou 2/5 de uma estrada e 
a outra , os 45 Km restantes . Em relação à referida 
estrada, pode-se dizer que a sua extensão é de? 
A 43 km. 
B 75 km. 
C 81 km. 
D 98 km. 
E 123 km. 
 
23. Observe a seguinte figura, que mostra a divi-
são de uma barra em partes iguais: 
 
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16 
A parte da barra que está pintada em cinza pode ser 
representada por qual número fracionário? 
A 1/3 
B 1/4 
C 1/5 
D 1/6 
E 1/2 
 
 
GABARITO 
16 - B 
17 - D 
18 - A 
19 - C 
20 - C 
21 - A 
22 - B 
23 - E 
 
 
AULA 04 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
Razão e proporção são conceitos que estão intima-
mente ligados. Dizemos que existe uma proporção ao 
observar duas ou mais razões e construir uma relação 
entre elas. 
O conceito de razão está relacionado com o conceito 
de divisão. Dizemos que a razão entre os números A e 
B é o quociente A : B, ou seja, o resultado da divisão 
de A por B é chamado de razão. A representação de 
uma razão pode ser A : B, A/B, o próprio resultado ou 
o mais usual: 
 
A 
B 
 
A é o numerador e B é o denominador. Como exem-
plo, a razão entre os números 20 e 5 pode ser escrita: 
20:5, 20/5 ou 
20 
5 
e tem como resultado o número 4. Logo, 4 é a razão 
entre 20 e 5. 
Outro exemplo de razão é a porcentagem. Porcenta-
gem é uma razão que tem o denominador igual a 
100. 
 
Proporção: 
Quando duas razões têm o mesmo resultado, elas 
são chamadas de proporção. Portanto, tem-se uma 
proporção quando é observada a igualdade entre 
duas ou mais razões. Assim, se a razão entre A e B é 
igual à razão entre os números C e D, dizemos que a 
seguinte igualdade é uma proporção: 
A = C 
B D 
Nesse caso, leia essa igualdade da seguinte maneira: 
A está para B assim como C está para D. É importante 
dizer ainda que A e D são chamados extremos das 
proporções e B e C são chamados meios. 
Propriedades: 
1 – Em toda proporção, o produto entre os extremos 
é igual ao produto entre os meios, ou seja, se 
A = C 
B D 
 
Então 
A·D = B·C 
Essa é a técnica utilizada para o cálculo de propor-
ções quando se tem apenas três dos números acima 
e é necessário descobrir o quarto. Por essa razão, 
esse cálculo é chamado de regra de três. 
 
2 – Em toda proporção, é possível trocar os extremos 
de lugar. Dessa maneira, as igualdades a seguir são 
verdadeiras. 
A = C 
B D 
D = C 
B A 
 
3 – Em toda proporção, é possível trocar os meios de 
lugar. Essa propriedade funciona exatamente como a 
anterior. 
 
4 – Em toda proporção, é possível inverter as duas 
razões ou trocá-las de lugar. Portanto, as igualdades 
abaixo são verdadeiras e equivalentes. 
A = C 
B D 
B = D 
A C 
D = B 
C A 
 
A imagem abaixo é resultado de proporções e de suas 
propriedades. Ela é feita a partir de uma curva, cha-
mada proporção áurea. Os povos antigos acredita-
vam que qualquer imagem feita tendo como base a 
proporção áurea seria uma imagem perfeita. Por isso, 
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17 
essa curva acabou sendo utilizada como sinônimo de 
perfeição. 
 
 
Representação geométrica de proporção utilizada 
como sinônimo de perfeição 
Isso ocorre porque a construção da proporção áurea 
é feita com base em retângulos. A proporção em que 
essa curva “corta” cada retângulo é sempre a mesma. 
 
 
Grandezas: 
Grandeza é qualquer coisa que pode ser medida ou 
contada. Dizemos que duas grandezas são proporcio-
nais quando duas razões entre elas, tomadas respei-
tando a mesma ordem, são iguais. Por exemplo: em 
uma fábrica, 6 funcionários produzem 70 sapatos por 
dia. Em dois dias, serão 140 sapatos produzidos, pois, 
dobrando o tempo de trabalho, dobra-se a produção. 
Dessa maneira, a razão de sapatos produzidos por 
dias trabalhados pode ser escrita: 
70 = 140 = 70 
 1 2 
 
Cálculos: 
Com esse conhecimento, é possível descobrir um 
valor de duas grandezas proporcionais tendo apenas 
outros três valores em mãos. Por exemplo: em uma 
fábrica, 70 funcionários produzem 400 sapatos por 
hora. Quantos funcionários serão necessários para 
produzir 1600 sapatos por hora? 
Escreva a proporção: 70 funcionários está para 400 
sapatos assim como x funcionários está para 1600 
sapatos. O número de funcionários necessários para 
a nova produção de sapatos é desconhecido e, por 
isso, representado pela letra x. 
70 = x 
400 1600 
 
Lembre-se: o produto dos extremos é igual ao produ-
to dos meios, portanto: 
70·1600 = 400x 
400x = 112000 
x = 112000 
 400 
x = 280 
Serão necessários 280 funcionários para a produção 
de 1600 sapatos. 
 
EXERCÍCIOS 
24. Sabendo que o dia tem 24 horas, quanto vale 
7/50 de um dia? 
A 3 horas, 21 minutos e 6 segundos. 
B 3 horas, 35 minutos e 36 segundos. 
C 2 horas, 30 minutos e 36 segundos. 
D 2 horas, 35 minutos e 6 segundos. 
E 3 horas, 20 minutos e 32 segundos. 
 
25. A planta de uma cidade do interior está de-
senhada na escala de 1:5.000. Ao fazer a represen-
tação, em um desenho de mesma escala, de uma 
tubulação enterrada de 120 metros de extensão, é 
CORRETO afirmar que o comprimento da tubulação 
no desenho será de: 
A 2,4 cm. 
B 6,0 cm. 
C 24 cm. 
D 60 cm. 
 
26. O comprimento do desenho de uma ferra-
menta é 3/8 o comprimento da ferramenta real. Se 
o comprimento do desenho da ferramenta é 15 cm, 
o comprimento real da ferramenta, em metros, é 
de: 
A 0,60 m. 
B 0,40 m. 
C 0,50 m. 
D 0,80 m. 
 
27. Em uma escola, a razão entre alunos e alunas 
é 4:5. Se o número de alunas excede o número de 
alunos em 25, então o número total de alunos nesta 
escola é: 
A Maior que 300. 
B Maior que 250 e menor que 300. 
C Maior que 200 e menor que 250. 
D Maior que 150 e menor que 200. 
E Menor que 150. 
 
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28. Em uma cidade existem 4.800 barracos. Após 
uma ação da prefeitura, 1/8 deles são demolidos. 
Após um mês, 1/3 dos barracos remanescentes são 
demolidos. 
Se durante o período de demolição dos barracos ne-
nhum outro foi construídos, temos que o número de 
barracos ao final das demolições é igual a: 
A 2000. 
B 2400. 
C 2800. 
D 3000 
E 3200. 
 
29. Um exército perde 80 soldados por hora em 
uma batalha. Se o exército tem 2500 soldados, em 
quanto tempo o exército não terá mais soldados? 
A 31 horas e 15 minutos 
B 31 horas e 10 minutos 
C 31 horas e 5 minutos 
D 31 horas 
E 30 horas e 45 minutos 
30. Já viajei 3/5 do total da distância de uma 
viagem que estou fazendo e ainda estão faltando 720 
km. O total de km da minha viagem é: 
A 1.680 km 
B 1.720 km 
C 1.760 km 
D 1.800 km 
 
31. Três professores receberam a tarefa de corri-
gir 1.008 redações. Decidiram dividir o total das reda-
ções entre eles, em partes diretamente proporcionais 
a idade de cada um. Se o primeiro tem 24 anos, o 
segundo 28 anos, e o terceiro 32 anos, o número de 
redações que o segundo recebeu foi de: 
A 288 
B 336 
C 384 
D 402 
32. O valor de “x” na proporção é: 
A 
B 
C 
D 
E 
 
GABARITO 
24 - A 
25 - A 
26 - B 
27 - C 
28 - C 
29 - A 
30 - D 
31 - B 
32 - E 
 
 
 
AULA 05 
Algarismos Romanos 
Os números romanos foram durante muito tempo a 
principal forma de representação numérica na Euro-
pa. Os números eram representados a partir de letras 
do próprio alfabeto dos romanos. Esse sistema nu-
mérico associava uma letra a uma quantidade fixa, de 
acordo com a tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
Osnúmeros romanos devem ser escritos de acordo 
com algumas regras: 
 
Na numeração romana, as letras são escritas uma ao 
lado da outra. Quando temos uma letra maior segui-
da de uma menor somamos os valores, observe: 
 
VI = 5 + 1 = 6 
XII = 10 + 2 = 12 
LV = 50 + 5 
CCL = 100 + 100 + 50 = 250 
MCCXI = 1 000 + 100 + 100 + 10 + 1 = 1211 
DXX = 500 + 10 +10 = 520 
MDCL = 1000 + 500 + 100 + 50 = 1650 
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Quando temos uma letra menor seguida de uma 
maior, subtraímos o valor da maior pelo valor da 
menor, veja: 
 
IV = 5 – 1 = 4 
IX = 10 – 1 = 9 
XL = 50 – 10 = 40 
XC = 100 – 10 = 90 
CM = 1 000 – 100 = 900 
 
Obs.: 
A letra I somente aparecerá antes do V e do X. 
A letra X somente aparecerá antes do L e do C 
A letra C somente aparecerá antes do D e do M. 
 
As letras I, X, C e M somente podem ser escritas se-
guidamente por três vezes. 
 
III = 1 + 1 +1 = 3 
XXX = 10 + 10 + 10 = 30 
LXX = 50 + 10 + 10 = 70 
MM = 1 000 + 1 000 = 2 000 
CCC = 100 + 100 + 100 = 300 
CCX = 100 + 100 + 10 = 210 
 
Algumas letras do algarismo romano são escritas com 
o sinal de um traço, eles representam que os valores 
devem ser multiplicados por 1.000, 1.000.000 e assim 
respectivamente. 
 
Observe: 
 
 
 
Os números romanos não são indicados nas questões 
relacionadas a cálculos matemáticos como adição, 
subtração, multiplicação e divisão. Atualmente eles 
são utilizados em nomes de papas e reis, representa-
ção de séculos, relógios, capítulos e páginas de livros 
entre outros. 
 
 
 
 
Sistema métrico 
O sistema métrico usado por cientistas, médicos e 
matemáticos é o mais usado em todo o mundo, in-
clusive é o oficial do Brasil. Esse sistema foi criado na 
época da Inconfidência Mineira, por cientistas france-
ses que queriam um sistema de medidas menos arbi-
trárias, e que não pudessem ser perdidas. Para esco-
lher essa unidade de comprimento, eles mediram a 
distância do Equador ao Pólo Norte. Dividiram essa 
distância por 10.000.000 e marcaram essa distância 
numa barra. A essa unidade, eles deram o nome de 
metro. 
 
 
 
 
Imagem: Reprodução/ internet 
 
 
 
 
 
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20 
AULA 06 
Sistema métrico decimal 
Nesse sistema, as unidades são divididas em décimos, 
centésimos e milésimos, acrescentando-se os prefi-
xos deci, centi e mili à metro. São menores que o 
metro em 10, 100 e 1000 vezes, respectivamente. 
 
 1 decímetro (dm) = 0,1 metros 
 1 centímetro (cm) = 0,01 metros 
 1 milímetro (mm) = 0,001 metros 
Do mesmo modo, os múltiplos que são 10, 100 e 
1000 vezes maior que a unidade fundamental, o me-
tro, receberam os nomes a partir da adição do prefixo 
deca, hecto e quilo. 
 1 decâmetro (dam) = 10 metros 
 1 hectômetro (hm) = 100 metros 
 1 quilômetro (km) = 1000 metros 
 
Mudança de unidade 
Para mudar de uma unidade a outra, basta trocar a 
posição da vírgula, ou acrescentar zeros ao valor. 
 1,20 metros = 120 centímetros 
 120 metros = 0,120 quilômetros 
 120 metros = 1,20 hectômetros 
Cuidado com o sistema de medidas inglês, uma vez 
que muitos produtos importados possuem estas ca-
racterísticas. Para passar das medidas inglesas para o 
sistema brasileiro, utilize essas relações: 
 1 polegada = 2,54 cm 
 1 pé = 30,5 com 
 1 jarda = 0,92 m 
 
Volume 
 
 
No sistema métrico, nós medimos o volume em me-
tros cúbicos (m³), centímetros cúbicos (cm³) ou decí-
metros cúbicos (dam³). 
 1 m³ = 1000 dm³ 
 1 dm³ = 1000 cm³ 
 
O litro é a unidade de medida equivalente ao decíme-
tro cúbico ou a 1.000 centímetros cúbicos. 
AULA 07 
Medidas de Tempo 
 
 
 
 
A forma como a Terra gira em torno do seu próprio 
eixo é tão uniforme que serve como relógio. Ao con-
trário do que parece, não é o Sol que gira em torno 
da Terra. O tempo decorrido de um dia equivale a 24 
horas, 1.440 minutos ou 86.400 segundos. Para iden-
tificar a relação entre essas medidas, observe: 
 1 hora = 60 minutos 
 60 minutos = 3600 segundos 
 3600 segundos = 1 hora 
 
EXERCÍCIOS 
33. Numa prova havia 15 questões de língua 
portuguesa, 15 de matemática e 10 de conhecimen-
tos específicos. Um candidato resolveu dividir o tem-
po de duração de 3 horas dessa prova pelo número 
de questões. O tempo que ele encontrou para cada 
questão foi 
A 4 min e 10 s. 
B 4 min e 20 s. 
C 4 min e 25 s. 
D 4 min e 30 s. 
E 4 min e 45 s. 
 
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21 
34. André comprou uma lona retangular para 
toldo de 2,5 m de comprimento por 2,0 m de largura. 
Pagou o total de R$ 1.050,00. O valor do metro qua-
drado da lona desse toldo é 
A R$ 175,00. 
B R$ 180,00. 
C R$ 190,00. 
D R$ 200,00. 
E R$ 210,00. 
 
35. Paola compra verduras e legumes de uma 
empresa que faz entregas em domicílio. Ela recebeu a 
seguinte tabela com as ofertas da semana: 
 
Paola comprou 0,8 Kg de banana prata, 2 Kg de laran-
ja pera e um mamão de 2,1 Kg. A compra de Paola 
totalizou o valor de 
A R$ 15,16. 
B R$ 16,60. 
C R$ 17,60. 
D R$ 19,16. 
E R$ 20,60. 
 
36. Letícia usa lentes de contato nos dois olhos. 
No estojo onde ela guarda as lentes para dormir, 
deve colocar 3 mL de um produto para cada lente. 
Letícia comprou um recipiente desse produto com 
120 mL. Se ela utilizar as lentes todos os dias e seguir 
a recomendação da quantidade de produto correta-
mente, o número de dias que o produto desse recipi-
ente durará é igual a 
A 40. 
B 35. 
C 30. 
D 25. 
E 20. 
37. Clara fará coquetel de frutas para uma festa. 
Para cada rascunho 20 convidados, Clara calculou 2,5 
litros dessa bebida. Sabendo-se que para essa festa 
foram convidadas 58 pessoas, o total de coquetel de 
frutas que Clara fará é de 
A 6,0 L a 6,5 L. 
B 6,5 L a 7,0 L. 
C 7,0 L a 7,5 L. 
D 7,5 L a 8,0 L. 
E 8,0 L a 8,5 L 
 
GABARITO 
33 - D 
34 - E 
35 - A 
36 - E 
37 - C 
 
 
ÁLGEBRA 
AULA 08 
Teoria dos conjuntos 
Denomina - se conjunto toda e qualquer coleção de 
elementos. Estes elementos podem ser números, 
objetos, figuras, pessoas, animais e tudo o que po-
demos ordenar, catalogar ou reunir em grupos de 
seus elementos. Por exemplo: Se quisermos construir 
o conjunto de crianças de uma classe que possuam 
exatos 10 anos de idade, podemos dizer que o con-
junto é composto pelos alunos Pedrinho, Joãozinho, 
Mariazinha, ..., e todos os alunos que tenham 10 anos 
de idade na classe. Matematicamente, quase sempre 
os conjuntos serão compostos por números e que 
dependam de algumas condições. Por exemplo: O 
conjunto dos números Reais, o conjunto dos números 
Inteiros, o conjunto dos números maiores do que 2 e 
menores do que 7, e muito mais. 
 
Conjunto finito 
Esse tipo de conjunto representa uma quantidade 
limitada de elementos. Por exemplo, o conjunto dos 
números compreendidos entre 1 e 10 será represen-
tado da seguinte maneira: {x / 1 < x < 10} ou {2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8, 9} 
 
Conjunto infinito 
Apresenta uma quantidade infinita (ilimitada de ter-
mos). Por exemplo: 
O conjunto dos reais é considerado um conjunto infi-
nito, pois não possui fim. 
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22 
O conjunto dos números inteiros também é conside-
rado infinito. 
 
Conjunto Unitário 
Esse conjunto é caracterizado por possuir apenas um 
único elemento. Por exemplo: 
O conjunto dos números naturais compreendidos 
entre 0 e 2. Nesse caso existe somente um elemento, 
o 1. Representamos por {1}. 
O conjunto dos números inteiros compreendidos 
entre –3 e –1. Entre os números –3 e –1 existe ape-
nas o número inteiro –2. Portanto, a representação 
deste conjunto unitário é {–2}. 
 
Conjunto Vazio 
O conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sua 
representação pode ser feita utilizando duas simbo-
logias: { } ou Ø. Por exemplo: 
 
 O conjunto dos números naturais antecessores ao 0 
(zero) é considerado vazio, pois nos números naturais 
não existe antecessor de zero. 
 O conjunto dos númerosfracionários existentes no 
conjunto dos números inteiros é considerado um 
conjunto vazio, pois não existem frações dentre os 
números inteiros. 
 
Conjunto Universo 
É o conjunto representativo de todos os elementos 
da conjuntura na qual estamos trabalhando, e tam-
bém de todos os conjuntos relacionados. Na repre-
sentação do conjunto universo utilizamos a letra 
maiúscula U. 
Subconjuntos 
Note que no exemplo 1, os elementos do conjunto A estão 
contidos nos números Naturais, dizemos então que o con-
junto A é um Subconjunto dos números Naturais, ou seja, 
o conjunto A está contido no conjunto ℕ. Escrevemos 
então: 
A⊂N 
 
A relação básica entre um conjunto e o elemento que 
o compõe é chamada de relação de pertinência, ou 
seja, definimos um conjunto quando existe uma regra 
que permite decidir se um elemento pertence ou não 
a ele. Se um elemento x pertence a um conjunto (ou 
coleção) A, dizemos que x pertence a A. Formalmente 
escrevemos: 
 
x∈A 
 
E quando x não é um elemento deste conjunto, dize-
mos que x não pertence a A: 
 
x∉A 
 
A maioria dos conjuntos em matemática não possu-
em uma definição para todos os seus elementos, logo 
a forma mais fácil de definir um conjunto é utilizando 
uma propriedade comum para todos os seus elemen-
tos, ou seja, uma lei que consiga ser associada a to-
dos os elementos que o compõe. Vejamos abaixo 
alguns conjuntos numéricos usuais: 
 
Conjunto dos números naturais 
Denotamos por N o conjunto dos números naturais 
que são: 
N={1,2,3,4,…} 
Observe que cada elemento desse conjunto (a partir 
do 1) é igual à soma do seu antecessor com 1. Por 
exemplo, 3=2+1, 4=3+1 e assim por diante. 
 
Conjunto dos números inteiros 
A partir da necessidade de se obter o valor da dife-
rença, por exemplo, 2-4, nasceu o conjunto dos nú-
meros inteiros, que é indicado por Z. 
Esse conjunto engloba os números naturais, o zero e 
os números negativos, que são resultados da diferen-
ça entre dois naturais cuja solução não se encontra 
em N: 
Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,…} 
Observe que todo número natural é um número in-
teiro, porém a recíproca não é verdadeira. 
Subconjuntos de Z 
Podemos formar, a partir do conjunto dos números 
inteiros, os seguintes subconjuntos: 
 Números inteiros diferentes de zero: 
Z∗={…,−3,−2,1,1,2,3,…} 
 Números inteiros positivos: 
Z+={0,1,2,3,…} 
 Números inteiros positivos e diferentes de zero: 
Z∗+={1,2,3,…} 
 Números inteiros negativos: 
Z−={…,−3,−2,−1} 
 
Conjunto dos números racionais 
Um número será racional se ele puder ser escrito em 
forma de uma fração de números inteiros. Por exem-
plo, são números racionais: 
3/5,−2/5,1000/1,−993/23 
Note que todo número inteiro (e, portanto, todo 
número natural) também é um número racional. 
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23 
Como a fração é uma representação de uma divisão, 
podemos escrever, por exemplo, o número 2 através 
da divisão entre 4 e 2, isto é: 
2=4/2 
Mais genericamente, todo número inteiro n, quando 
dividido por 1, é igual a ele mesmo, ou seja: 
n=n/1 
Logo, todo número inteiro é um número racional. 
As dízimas periódicas também são números racio-
nais, uma vez que elas podem ser reescritas através 
de frações de números inteiros: 
0,333…=1/3 
Assim, indicamos por Q o conjunto dos números ra-
cionais: 
Q={p/q,p,q∈Z,q≠0} 
Subconjuntos de Q 
De maneira similar, podemos construir os seguintes 
subconjuntos de Q: 
 Números racionais diferentes de zero: Q∗ 
 Números racionais positivos: Q+ 
 Números racionais positivos e diferentes de zero: 
Q∗+ 
 Números racionais negativos: Q− 
 
Conjunto dos números irracionais 
O conjunto dos números irracionais, denotado por I 
ou R−Q é aquele formado por todos os números que 
não podem ser escritos em forma de frações de nú-
meros inteiros, ou seja, aqueles que não são racio-
nais. 
O exemplo mais conhecido de um número irracional 
é o π, que vale aproximadamente 3,14 e equivale à 
razão entre o comprimento de uma circunferência e 
seu diâmetro: 
Além disso, outros exemplos de números irracionais 
são todas as raízes quadradas de números primos: 
√2,√3,√5,√7,… 
É evidente que ou um número é racional ou ele é 
irracional. 
 
Conjunto dos números reais 
Indicamos por R o conjunto dos números reais, o 
qual é formado pela união entre o conjunto dos nú-
meros racionais Q e dos irracionais I: 
R=Q∪I 
 
Observe que os conjuntos relacionam – se de seguin-
te forma: 
 
 
É bastante comum ilustrarmos R através de uma reta 
que chamamos de reta real, orientada para a direita. 
Isto é: tomando um ponto qualquer na reta para indi-
car o número 0, então os valores à direita de 0 são 
números reais positivos e à esquerda, negativos: 
 
Subconjuntos de R 
Podemos obter os seguintes subconjuntos de núme-
ros reais: 
Números reais diferentes de zero: R∗ 
Números reais positivos: R+ 
Números reais positivos e diferentes de zero: R∗+ 
Números reais negativos: R− 
 
Intervalo real 
Um tipo de subconjunto dos números reais muito 
trabalhado é o intervalo real, que pode ser dos se-
guintes tipos: 
Intervalo fechado: [a,b]={x∈R∣a≤x≤b}: 
 
Intervalo aberto: \(]a,b[=\{x\in\mathbb{R]\mid a<x<b\}\): 
 
 
E há suas variações: intervalo semi-aberto (ou semi-
fechado): ]a,b]={x∈R∣a<x≤b} 
 
 
E também aquelas envolvendo infinito: 
]−∞,b[={x∈R∣x<b} 
 
Ou, por exemplo, [a,+∞[={x∈R∣x≥a} 
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Podemos também assumir que, se um intervalo é um 
subconjunto dos números reais, é possível realizar 
algumas operações entre intervalos, tais como união 
e interseção de intervalos. Supondo que tenhamos 
dois intervalos: [a, b] e [c, d] e que d > c > b > a. 
 
A união dos intervalos será dada por: 
[a,b]∪[c,d]={x∈R:a≤x≤b ou c≤x≤d} 
E geometricamente representamos: 
 
 
 
E a sua interseção é vazia, pois não existem elemen-
tos comuns em ambos os intervalos: 
[a,b]∩[c,d]=∅ 
 
Vamos tomar um exemplo com valores. Supondo os 
intervalos [1,5] e [2,7]. A sua união será: 
[1,5]∪[2,7]=[1,7]={x∈R:1≤x≤7} 
 
Se representarmos na reta, vemos que seus elemen-
tos estão ligados linearmente: 
 
Então a sua união será a “soma” de todos os elemen-
tos de seus intervalos, resultando em um intervalo 
único de 1 a 7. Porém, a sua interseção será dada 
por: 
[1,5]∩[2,7]=[2,5]={x∈R:2≤x≤5} 
 
Geometricamente vemos que existe um intervalo 
entre eles que é composto pelos elementos que são 
comuns em ambos, no caso, o intervalo [2,5], veja: 
 
Concluindo: Intervalos serão sempre subconjuntos 
dos números reais, o que nos garante a validade de 
todas as propriedades e operações da teoria dos con-
juntos. A representação geométrica de um intervalo 
é muito importante pois podemos observar o com-
portamento dos intervalos, facilitando a sua classifi-
cação e as suas possíveis operações. 
 
 
Operações entre conjuntos 
União de conjuntos: A união (ou reunião) de conjun-
tos é a junção dos elementos de um conjunto A mais 
ou elementos de um conjunto B. Podemos afirmar 
então que se um elemento x pertencer a união de A 
com B, então x pertence a A ou pertence a B. For-
malmente definimos: 
A∪B={x:x∈A ou x∈B} 
 
Veja abaixo uma representação no chamado diagra-
ma de Venn. A região cinza simboliza a união dos 
seus respectivos elementos. 
 
 
 
Interseção de conjuntos: A interseção de conjuntos é 
formada pelos elementos que são comuns entre A e 
B. Então: 
A∩B={x:x∈A e x∈B} 
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Propriedades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos complementares 
A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto 
formado pelos elementos de A que não pertencem a 
B, formalmente dado por: 
A−B={x:x∈A e x∉B} 
E representado no diagrama de Venn por: 
 
 
Não necessariamente B precisa estar contido em A 
para que exista A – B. Sendo assim, quando A ≠ B, 
nenhum elemento de A pertence a B, então A – B = A. 
Quando A−B=A−(A∪B) . Quando B⊂A adiferença A – 
B se chama complementar de B em relação a A. Em 
notação formal dizemos: 
A−B=CB A 
 
Relações binárias: introdução 
As relações binárias são basicamente relações entre 
os elementos de dois conjuntos que seguem uma 
propriedade. Para entendermos completamente esse 
conceito precisamos nos familiarizar rapidamente 
com o conceito de par ordenado, plano cartesiano e 
produto cartesiano. 
 
Par Ordenado 
Pode-se entender o par ordenado como uma coleção 
de dois elementos onde a ordem deles importa e 
eles podem ser iguais, diferentemente do que ocorre 
com os conjuntos. 
Representamos o par ordenado como (a, b) e temos 
que (a, b) ≠≠ (b, a), se a ≠≠ b. 
 
Plano Cartesiano 
O plano cartesiano é o plano definido por dois eixos 
perpendiculares entre si, o eixo x (das abscissas) e o 
eixo y (das ordenadas), que se cruzam na origem 0 = 
(0,0). 
É possível associar os pontos neste plano a pares 
ordenados, onde o primeiro elemento do par orde-
nado corresponde à coordenada abscissa do ponto e 
o segundo à coordenada ordenada. Abaixo temos o 
plano cartesiano e alguns pontos com seus pares 
ordenados associados. 
União 
A∪∅=A 
A∪A=A 
A∪B=B∪A 
(A∪B)∪C=A∪(B∪C) 
A∪B=A↔B⊂A 
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 
Interseção 
A∩∅=A 
A∩A=A 
A∩B=B∩A 
(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 
A∩B=A↔A⊂B 
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 
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Produto Cartesiano 
Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano A x 
B é definido como o conjunto de todos os pares or-
denados cujo primeiro elemento é pertencente a A e 
o segundo à B. 
A x B = (a,b), a ∈∈ A e b ∈∈ B6 
Se A e B forem conjuntos com um número finito de 
números, teremos que A x B será um conjunto de 
pontos. Se um dos dois conjuntos for um intervalo 
real teremos segmentos de reta ou retas. Se ambos 
forem intervalos reais teremos que A x B corresponde 
à regiões do plano. 
 
Relações binárias 
Vamos supor que o conjunto A = {1,2} e o conjunto B 
= {3,4,5} com A,B⊂N. O produto cartesiano A x B será 
dado por: 
AxB={(1,3);(1,4);(1,5);(2,3);(2,4);(2,5)} 
Se representarmos cada ponto de A x B geometrica-
mente no plano cartesiano (ou também chamado de 
plano (x,y)) veremos que esta definição fica mais 
clara, pois todos os pontos do nosso exemplo serão 
indicados da seguinte forma: 
 
 
Outro exemplo, um produto cartesiano dos números 
reais pelos reais, ou seja, R×R é o conjunto R². 
 exemplo: 
A = {1,3,4}; B = {3,6,8} 
A x B = {(1,3), (1,6), (1,8), (3,3), (3,8), (4,3), (4,6), (4,8)} 
R = {(a, b) ∈ A x B y = 2x} ⇒ R = {(3,6); (4,8)} 
 
Graficamente temos, com os pontos vermelhos re-
presentando A x B e as bolas azuis a relação R: 
 
 
Outra maneira interessante de representar a relação 
binária graficamente é através do diagrama de fle-
chas. As flechas indicam os elementos de A que se 
relacionam com B de acordo com a relação R. No 
exemplo anterior teríamos: 
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Exercícios: 
1. Considere o conjunto A={x ∈ U | x satisfaz p}. So-
bre A podemos afirmar: 
a) Se x ∈ U então x ∈ A 
b) Se x ∉ A então x ∉ U 
c) Se x não satisfaz p então x ∉ A 
d) U ⊂ A 
 
2. Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 5}, de-
termine o conjunto A – B. 
A) { } B) {1, 5} C) {5} D) {1} E) {2, 3} 
 
3. Considere o conjunto A = {1, 2, {3}} e assinale a 
alternativa que contém um sub conjunto de A. 
A) {3} B) {1, 3} C) {2, 3} D) {4, {3}} E) {{3}} 
 
4. Leia as afirmações a seguir: 
I. Os números Naturais são aqueles inteiros não posi-
tivos mais o zero. 
II. Os números Irracionais são aqueles que represen-
tam dízimas periódicas. 
III. Os números Reais representam a soma dos núme-
ros Racionais com os Irracionais. 
 
Assinale a alternativa correta: 
a) Somente a assertiva II está correta. 
b) Somente a assertiva III está correta. 
c) Somente a assertiva I está correta. 
d) Somente as assertivas II e III estão corretas. 
 
5. Considerando o conjunto universo U = {2, 4, 6, 8, 
10} e os conjuntos não-vazios A e B, subconjuntos de 
U, tais que B ⊂A, A U B = {6, 8, 10} e A ∩ B = {8}, pode 
afirmar, CORRETAMENTE, que A é: 
a) {6,8,10} 
b) {4,6} 
c) {4,6,8} 
d) {2,6,10} 
e) {6,8} 
 
 
6. Dados os conjuntos: 
A = {x∈R / 1 ≤ x < 10} 
B = {x∈R / (x+1)(x-6) < 0} 
C = {z∈R / z² = 6z} 
 
O conjunto A ∩ (C ∪ B) é: 
a) (-1, 7) 
b) {3} ∪ (5, 7) 
c) {0, 3} 
d) (5, 7) 
e) [1, 6] 
 
7. Considere o conjunto   2,1A . Analise as afir-
mativas: 
a) A1 b)   A1 c)   A2 
 
8. Uma escola tem 3000 alunos e dois turnos de es-
tudo. Dentre os alunos, 1800 estudam de manhã e 
1600 estudam de tarde. Quantos alunos estudam de 
manhã e de tarde? 
 
9. Assinale V ou F: 
a)   BABBA  
b)        ABBABABA  
 
10. Numa universidade são lidos apenas dois jornais, 
X e Y. 80% dos alunos da mesma leem o jornal X e 
60%, o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor 
de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa 
que corresponde ao percentual de alunos que leem 
ambos: 
a) 80% 
b) 14% 
c) 40% 
d) 60% 
e) 48% 
 
11. Numa prova de matemática de duas questões, 35 
alunos acertaram somente uma questão, 31 acerta-
ram a primeira, 8 acertaram as duas e 40 erraram a 
segunda questão. Então, o número de alunos que 
fizeram essa prova foi: 
a) 43 
b) 48 
c) 52 
d) 56 
e) 60 
 
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12. Em uma amostra de 100 empresas, 52 estão situ-
adas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e 35 são 
sociedade anônimas. Das empresas situadas no Rio 
de Janeiro, 12 são exportadoras e 15 são sociedade 
anônimas e das empresas exportadoras 18 são socie-
dade anônima. Não estão situadas no Rio de Janeiro, 
nem são sociedade anônimas e nem exportadoras 12 
empresas. Quantas empresas que estão no Rio de 
Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao 
mesmo tempo? 
a) 18 b) 15 c)8 d)0 e) 20 
 
GABARITO 
1 - Resolução: 
Observe que a simbologia utilizada significa que para 
que um elemento x pertença ao conjunto A, ele deve 
pertencer ao conjunto universo U e satisfazer a pro-
priedade p. 
Basta interpretar a frase acima, se x não satisfaz a 
condição p ele nunca irá pertencer a A. 
Resposta: C 
 
2 - Resolução 
O conjunto A – B é formado pelos elementos que 
pertencem a A e não pertencem a B, ou seja, A – B = 
{1} 
Resposta: D 
 
3 - Resolução 
Um subconjunto de A é um conjunto que só contém 
elementos de A. 
A dificuldade está em saber que o número 3 não é 
um elemento de A, e sim o conjunto {3}, assim des-
cartamos as letras a, b e c. 
Claramente o 4 não pertence a A, logo descartamos 
também a letra d. 
Nos resta a letra E, que como vimos, {3} pertence a 
A, logo {{3}} é subconjunto de A. 
 
4 - Resolução: 
I. Falsa – São os positivos… 
II. Falsa – Podemos ter dízimas irracionais e irracio-
nais que não são dízimas. 
III. Correto – Os Reais é a união dos irracionais com os 
racionais. 
Resposta: B 
 
5 - Resolução 
 
Basta observar o desenho, que atende as informa-
ções apresentadas. 
A = {6, 8, 10} 
Resposta: A 
 
6 - Resolução 
O conjunto A é formado pelos números Reais maiores 
ou iguais a 1 e menores que 10. 
O conjunto B é formado pelos valores de x que fazem 
(x+1).(x-6) < 0. Resolvendo: 
x² – 6x + x – 6 < 0 
x² – 5x – 6 < 0 
 
Vamos resolver a equação x² – 5x – 6 = 0 
Utilizando o método da soma e produto: 
Soma = -b/c = 5/1 = 5 
Produto = c/a = -6/1 = -6 
 
A solução é o conjunto composto pelo par de núme-
ros cuja soma é 5 e o produto é -6. 
Obviamente, os números que satisfazem são -1 e 6. 
 
Se analisarmos o gráfico da função f(x) = x² – 5x – 6, 
temos uma parábola com cavidade para cima (a > 0) 
e com raízes -1 e 6, logo, o conjunto B é formado 
pelos números Reais maiores que -1 e menores que 
6. 
O conjunto C é formado pelos valores de z que fazem 
z² = 6z, ou seja, z = 0 ou z = 6. 
Assim: 
A = [1, 10[ 
B = ]-1, 6[ 
C = {0, 6} 
 
Logo, A ∩ (C U B) = [1, 10[ ∩ ]-1, 6]= [1, 6] 
Resposta: E 
 
7) - Solução: 
a) F. A1 , pois 1 (sem chaves) não está no conjunto. 
b) F.   A1 , pois 1 (sem chaves) não está no con-
junto. 
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c) V.   A2 , pois 2 (sem chaves) está no conjunto. 
 
Comentário: Usa-se  quando há uma cópia exata do 
elemento dentro do conjunto. Usa-se  quando o 
que está dentro das chaves possui uma cópia exata 
no conjunto. 
 
8 - Solução: Sendo A o conjunto dos alunos da manhã 
e B os da tarde, pelo princípio da inclusão-exclusão: 
|||||||| BABABA  
400||||160018003000  BABA 
 
9 - Solução: 
a) V. Subtrair B de A exclui os elementos de A que 
também estão em B. Ao fazer isso mais uma vez, 
nada muda, pois os elementos de B já foram excluí-
dos. 
b) V. Ao subtrair a interseção da união, sobram os 
elementos que estão apenas em A ( BA ) e os que 
estão apenas em B ( AB  ). 
(Tente fazer desenhos que ilustrem as duas situa-
ções.) 
 
10 - solução: Como ele não deu o total de aluno, va-
mos considerar que o total seja 100, para facilitar as 
contas, já que as informações estão em percentual. 
Sempre começamos a fazer exercícios de conjunto 
pela interseção. Nesse caso, não sabemos quantos 
leem os dois jornais, por isso vamos chamar de X. 
 
Quem lê somente o jornal X será = 80 – x 
E quem lê somente o jornal Y será = 60 – x 
 
O somatório deve dar 100, pois é o total. 
80 – x +x – 60 – x = 100 
140 – x = 100 
x = 40 => Letra c 
 
11 - solução: Vamos começar sempre pela interseção. 
No enunciado é dito, que 31 acertaram a primeira. 
Então, quem acertou somente a primeiro será igual a 
31-8=23 
 
 
Chamaremos de y, quem acertou somente a segunda 
e de z quem não acertou nenhuma. 
Não sabemos quantos acertaram somente a segunda, 
mas sabemos que 35 acertaram somente uma ques-
tão, então: 
23 + y = 35 
y = 12 
 
Também não sabemos quantos não acertaram ne-
nhuma, mas sabemos que 40 erraram a segunda. 
Quem errou a segunda, foi quem errou as duas e 
quem só acertou a primeira, então: 
23+Z = 40 
Z = 17 
 
Agora que sabemos todas as partes, podemos somar 
para saber o total de aluno: 
23+8+12+17=60 
Letra E 
 
12 - solução: Total de empresas = 100 
RJ = 52 
Exportadora (Exp) = 38 
Sociedade Anônima (SA) = 35 
RJ ∩ EXP = 12 
RJ ∩ SA = 15 
EXP ∩ AS = 18 
Nem RJ, nem EXP, nem AS = 12 
RJ ∩ EXP ∩ AS = ?? 
 
Antes de somar as partes temos que achar somente 
RJ, somente EXP e somente AS: 
Somente RJ = 52 – (15-x) – x – (12-x) 
Somente RJ = 52 -15 + x –x -12 +x = 25 +x 
 
Somente EXP = 38 – (12-x) – x – (18-x) 
Somente EXP = 38 -12+x –x -18 +x = 8 + x 
 
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Somente SA = 35 – (15-x) –x – (18-x) 
Somente SA = 35 – 15 +x –x -18 +x = 2 + x 
 Agora 
podemos somar tudo: 
25+x + 8+x +2+x+12-x+15-x+18-x+x+12=100 
92+x = 100 
 x = 8 
Letra C 
 
 
 
 
Exercícios 2 
1) Analisando as carteirinhas de vacinação das 
84 crianças de uma região, verificou-se que 68 rece-
beram a vacina BCG, 50 receberam vacina Penta/DTP 
e 12 não foram vacinadas. A quantidade de crianças 
que receberam as duas vacinas foi igual à: 
A 46 
B 48 
C 50 
D 60 
 
2) Em certa feira, havia 17 feirantes vendendo 
frutas, e 24 feirantes vendendo verduras. Sabendo-se 
que havia um total de 35 feirantes e que todos esta-
vam vendendo frutas e/ou verduras, ao todo, quan-
tos deles estavam vendendo somente frutas? 
A 11 
B 6 
C 18 
D 23 
 
3) Considerando-se o quadro abaixo de acordo 
com a preferência por modelos de carros A, B e C, 
marcar C para as afirmativas Certas, E para as Erradas 
e, após, assinalar a alternativa que apresenta a se-
quência CORRETA: 
 
 
( ) 23 pessoas gostam exclusivamente do modelo B. 
( ) 24 pessoas gostam exclusivamente do modelo C. 
( ) 6 pessoas gostam exclusivamente do modelo A. 
( ) 38 pessoas gostam apenas de um dos modelos (A 
ou B ou C). 
A C - E - C - C. 
B C - C - E - C 
C E - C - C - E. 
D E - E - E - C. 
 
4) Seja P o conjunto dos números primos maio-
res que 1 e menores que 22. 
Então, o número de subconjuntos de P com três ele-
mentos é: 
A Menor que 50. 
B Maior que 50 e menor que 55. 
C Maior que 55 e menor que 60. 
D Maior que 60 e menor que 65. 
E Maior que 65. 
 
5) Sendo P um conjunto formado por todos os 
números primos entre 4 e 28 e Q um conjunto for-
mado por todos os múltiplos de dois, entre 3 e 21. 
Qual será o valor da multiplicação entre a quantidade 
de elementos do conjunto P pela quantidade de ele-
mentos do conjunto Q? 
A 16. 
B 63. 
C 50. 
D Nenhuma das alternativas. 
 
6) Dados os conjuntos A = {x ∈ R / -3 ≤ x < 7}, B = 
{x ∈ R / -1 ≤ x ≤ 2} e C = {x ∈ R / x ≥ 1}, o conjunto (B - 
A) ∩ C é igual a: 
A ∅. 
B {x ∈ R / -3 ≤ x ≥ 2}. 
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C {x ∈ R / -1 ≤ x ≤ 2}. 
D {x ∈ R / 1 ≤ x < 7}. 
E {x ∈ R / x ≥ 1}. 
 
7) O conjunto dos números naturais é formado 
por números inteiros positivos incluindo o zero, a 
letra N maiúscula é utilizada para representa-lo. Assi-
nale a alternativa cujo conteúdo refere-se à um con-
junto infinito: 
A O conjunto dos números naturais menores que 5. 
B Um conjunto em que todo número natural tem um 
sucessor. 
C O conjunto das pessoas que formam a população 
mundial. 
D O conjunto de todas as plantas terrestres. 
 
8) É oferecido para os 200 alunos de um colégio 
duas modalidades de esportes: futebol e vôlei. Sabe-
se que 80 alunos praticam futebol, 150 praticam vôlei 
e 20 não praticam nenhuma dessas modalidades. O 
número de alunos que praticam apenas futebol é: 
A 60. 
B 50. 
C 55. 
D Nenhuma das alternativas. 
 
GABARITO 
1 - A 
2 - B 
3 - D 
4 - C 
5 - B 
6 - A 
7 - B 
8 - D 
 
 
 
 
AULA 09 
Potenciação e radiciação 
 
 
 
Potenciação: o que é e representação 
Potenciação é a operação matemática utilizada para 
escrever de forma resumida números muito grandes, 
onde é feita a multiplicação de n fatores iguais que se 
repetem. 
 
 
 
Representação: 
 
Exemplo: potenciação de números naturais 
 
 
Para essa situação, temos: dois (2) é a base, três (3) é 
o expoente e o resultado da operação, oito (8), é a 
potência. 
Exemplo: potenciação de números fracionários 
 
Quando uma fração é elevada a um expoente, seus 
dois termos, numerador e denominador, são multi-
plicados pela potência. 
 
Lembre-se! 
 Todo número natural elevado à primeira 
potência tem como resultado ele mesmo, por 
exemplo, . 
 Todo número natural não nulo quando elevado a 
zero tem como resultado 1, por exemplo, . 
 Todo número negativo elevado a um expoente 
par tem resultado positivo, por exemplo, 
. 
 Todo número negativo elevado a um expoente 
ímpar tem resultado negativo, por exemplo, 
. 
 
Propriedades da potenciação: definição e exemplos 
Produto de potências de mesma base 
Definição: repete-se a base e somam-se os expoen-
tes. 
 
Exemplo: 
Divisão de potências de mesma base 
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Definição: repete-se a base e subtraem-se os expoen-
tes. 
 
Exemplo: 
 
Potência de potência 
Definição: mantém-se a base e multiplicam-se os 
expoentes. 
 
Exemplo: 
 
Distributiva em relação à multiplicação 
Definição: multiplicam-se as bases e mantém-se o 
expoente. 
 
Exemplo: 
 
Distributiva em relação à divisão 
Definição: dividem-se as bases e mantém-se o expo-
ente. 
 
Exemplo: 
 
 
 
Radiciação: o que é e representação 
A radiciação calcula o número que elevado à deter-
minado expoente produz o resultado inverso da po-
tenciação. 
 
Representação: 
Exemplo: radiciação de números naturais 
 
Para essa situação, temos: três (3) é o índice, oito (8) 
é o radicando e o resultado da operação, dois (2), é a 
raiz. 
 
Saiba sobre a Radiciação. 
Exemplo: radiciação de números fracionários 
, pois 
A radiciação também pode ser aplicada às frações, de 
modo que o numerador e o denominador tenham 
suas raízes extraídas. 
 
Propriedades