(983S) CALCULO NUMERICO

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06/10/2017 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
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Exercício 1:
A representação do número (11011)2 na base 10 é:
 
A)
15
B)
22
C)
27
D)
25
E)
13
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
Exercício 2:
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Considere uma aritmética de ponto flutuante com 3 algarismos significativos e base 10. Se 
a=313, b=2,65 e c=0,12 , utilizando arredondamento obtém-se a-(b+c) igual a:
A)
311
B)
310,223
C)
309
D)
310,47
E)
310
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
Exercício 3:
A representação do número (1101, 101)2 em decimal é:
A)
12,825
B)
13,625
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C)
13,985
D)
15,,105
E)
20
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 4:
A representação do número (28,375)10 em binário é:
A)
11100,011
B)
11100,101
C)
11010,011
D)
11010,101
E)
10111,010
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 5:
A representação do número -279,15 no sistema de ponto flutuante F(10,3,-4,4)
(representação em ponto flutuante com 3 algarismos significativos, na base 10 e
com o expoente da base e Î [-4,4]) é: 
A)
-0,279X103
B)
0,279X103
C)
-0,279X102
D)
-27,9X101
E)
-0,027X104
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 6:
A representação do número (-7,125)10 no sistema de ponto flutuante F(2,10,-15,15)
(representação em ponto flutuante com 10 algarismos significativos, na base 2, com o expoente
da base no intervalo [-15,15] é: 
 
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A)
-0,1110010000X211
B)
-0,1110010000X212
C)
-0,1210010000X211
D)
-0,1110010000X311
E)
-0,1110010001X211
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 7:
A representação do número 2,78828 no sistema de aritmética de ponto flutuante
F(10,3,-4,4) (3 algarismos significativos, na base 10, com expoente da base no
intervalo [-4,4]), obtida por arredondamento é:
A)
0,278X10
B)
0,027X102
C)
2,788X10-1
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D)
0,279X10
E)
0,028X102
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 8:
A representação do número -5,132 no sistema de ponto flutuante F(10,3,-4,4)
(representação em ponto flutuante com 3 algarismos significativos, na base 10 e
com o expoente da base e Î [-4,4]) é: 
A)
-0,513X101
B)
-0,5132X101
C)
-5,132X100
D)
-0,513X102
E)
-0,0005X104
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
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Exercício 1:
 A função f(x) = ex + x - 3 possui ao menos um zero no intervalo:
A)
[-1,-2]
B)
 [1,2]
C)
 [3,4]
 
D)
 [0,1]
E)
 [-1,0]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 2:
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 A funcão f(x) = ex - 2, te uma raiz no intervalo [0; 1]. Ao refiná-la pelo método
da bissecção encontramos no final de duas interações que a raiz se encontra no
intervalo:
A)
 [1,0, 1,25]
B)
 [0,75, 1,0]
C)
 [0,25, 0,5]
D)
 [0,5, 0,75]
E)
 [0, 0,25]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 3:
A função f(x) = x4 - 5x tem uma das raizes no intervalo [1,2]. A alternativa que
indica o valor da raiz com erro de 0,01 é:
A)
1,69
B)
1,71
C)
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1,73
D)
1,75
E)
1,77
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 4:
A equação x3-x2-x+1=0 possui uma raiz no intervalo [-3/2,0]. Utilizando o
métodos da bissecção:
A)
é possível afirmar que tal zero se encontra no intervalo [-3/4,0];
B)
é possível afirmar que tal zero se encontra no intervalo [-3/2,-3/4];
C)
é possível afirmar que tal zero se encontra no intervalo [-3/2,-6/5];
D)
é possível afirmar que tal zero se encontra no intervalo [-1/2,-1/5];
E)
não é possível refinar o intervalo onde está localizado o zero da função;
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
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A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 5:
A função f(x) = x4 - 5x possui ao menos um zero nos intervalos:
A)
[-3, -2] e [0, 1]
B)
[-3, -2] e [-1, 0]
C)
[-2, -1] e [1, 2]
D)
[0, 1] e [2, 3]
E)
[0, 1] e [1, 2]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
Exercício 6:
Dada a função f(x) = 6x3 - 18x, temos uma raiz no intervalo [1, 2]. Usando o
método da bissecção, qual será o intervalo que contém a raíz após 2 interações?
A)
[0,75, 1,0]
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B)
[1,0, 1,25]
C)
[1,25, 1,5]
D)
[1,5, 1,75]
E)
[1,75, 2,0]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 7:
Dada a função f(x) = 6x3 - 18x,f'(x) = 18x2 - 18 e x0 = 1,5. Podemos afirmar
que, usando o método de Newton, o valor de x2 (após a 2ª interação) será de:
A)
1,65
B)
1,74
C)
1,81
D)
1,92
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E)
1,97
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 8:
Dada a junção f(x) = 3x2 - 8x + 2, podemos afimar que suas raizes se encontram
nos intervalos:
A)
[1,0, 1,5] e [1,5, 2,0]
B)
[0,5, 1,0] e [2,0, 2,5]
C)
[0, 0,5] e [1,0, 1,5]
D)
[0,5, 1,0] e [2,5, 3,0]
E)
[0, 0,5] e [2,0, 2,5]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) RespostaCerta 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
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Módulo 3 – Método da dicotomia (Bissecção)
 
Supondo que f seja uma função contínua definida no intervalo [a,b], com f(a) e f(b) de sinais opostos. De acordo com o teorema d
número p em (a,b) com f(p) = 0.
Para simplificar o problema, suponhamos que a raiz nesse intervalo seja única. O método requer repetidas divisões na metade dos
passo, a localização da metade contendo p.
Inicialmente define-se p1 como o ponto médio de a,b. Se f(p1) = 0, então p = p1, senão, tem o mesmo sinal de f(a) ou f(b). Os n
F(p1) ou f(b) e f(p1) dependendo dos sinais serem iguais.
Repete-se o processo até se encontrar o valor aproximado de p de acordo com as casas decimais definidas inicialmente.
A desvantagem significativa deste método está no fato de a convergência ser lenta, porém, o método tem a propriedade importan
solução e, por isso, é utilizado muitas vezes como o iniciador dos métodos mais eficientes.
Exemplo:
A equação f(x) = x3 + 4x2 – 10 = 0 tem uma raiz entre [1,2], visto que f(1) = -5 e f(2) = 14, o algoritmo da bissecção fornece os
n an bn pn F(pn)
1 1,0 2,0 1,5 2,375
2 1,0 1,5 1,25 -0,79867
3 1,25 1,5 1,375 0,16211
4 1,25 1,375 1.3125 -0,84839
5 1,3125 1,375 1,34375 -0,35098
6 1,34375 1,375 1,359375 -0,09641
7 1,359375 1,375 1,3671875 0,03236
8 1,359375 1,3671875 1,36328125 -0,03215
9 1,36328125 1,3671875 1,3652343750,000072
10 1,36328125 1,3652343751,364257813 -0,01605
11 1,3642578131,3652343751,364746094 -0,00799
12 1,3647460941,3652343751,364990235 -0,00396
13 1,3649902351,3652343751,365112305 -0,00194
 
 
Exercício 1:
 A função f(x) = x2 - 15 possui um zero no intervalo [3,4]. Se desejarmos obter esse zero através do método da bissecção, com
resposta:
A)
3,83
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B)
3,85
C)
3,87
D)
3,89
E)
3,90
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
Exercício 2:
A função f(x) = 2x2 - 16 possui um zero no intervalo [2, 3]. Se desejarmos obter esse zero através do método da bissecção, com precisão e = 0.0
A)
3 iterações
B)
4 iterações
C)
5 iterações
D)
6 iterações
E)
7 iterações
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 3:
A equação x3 - x2 - x + 1 = 0 possui uma raiz no intervalo:
A)
[-15; -0,5]
B)
[-0,5; 0]
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C)
[-0,5; 0,5]
D)
[0; 0,5]
E)
[0,5; 0,9]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 4:
Seja a equação x2+2x-4=0 que só tem uma raiz positiva. De acordo com o princípio da bisseção ela deve estar no intervalo:
A)
(0, 1/2)
B)
(-2, -3)
C)
(-3, 0)
D)
(3/2, 2)
E)
(1, 2)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
Exercício 5:
Pelo Método da Bisseção podemos encontrar as raízes da função, com boa precisão dependendo da tolerância e o número de iterações desejado.
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Analisando o gráfico acima, qual das alternativas abaixo pode representar o número de total de raíze(s) e seu(s) respectivo(s) intervalo(s).
 
A)
Uma Raiz, intervalo entre [ -2, 2 ].
B)
Três Raízes, intervalos entre [ -4, -2 ] ; [ - 2, 0 ] e [ 0, 2 ].
C)
Três Raízes, intervalos entre [ 1, 2 ] ; [ -4, -3 ] e [ 2, 2 ].
D)
Uma Raíz, intervalo entre [ -4, -2 ].
E)
Três Raízes, intervalos entre [ -4, -3 ] ; [ 1, 2 ] e [ 2, 3 ].
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 6:
A equação 3x2 - 5 tem uma raiz positiva entre qual intervalo?
A)
[0; 0,5]
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B)
[0,5; 1,0]
C)
[1,0; 1,5]
D)
[1,5; 2,0]
E)
[2,0; 2,5]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
Exercício 7:
A equação 5x3 - 70 tem uma raiz positiva no intervalo:
A)
[1,5; 2,0]
B)
[2,0; 2,5]
C)
[2,5; 3,0]
D)
[3,0; 3,5]
E)
[3,5; 4,0]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 8:
A equação 5x4 - 18x tem uma raiz positiva no intervalo:
A)
[0,1; 0,5]
B)
[0,5; 1,0]
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C)
[1,0; 1;5]
D)
[1,5; 2,0]
E)
[2,0; 2,5]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
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Método das aproximações sucessivas:
Apesar de não ser o método mais eficiente, e de aplicação simples.
A equação de interação é obtida da equação f(x) = 0 e consiste em reescrevê-la
na forma x = φ(x), o que evidentemente é sempre possível por meio de artifício
algébrico.
Exemplo:
Equação x3 – x – 5 = 0 pode ser reescrita: x = x3 – 5 ou x = 5/(x2 – 1)
Deve-se então escolher uma φ(x) tal que φ’(x) < 1 para x numa vizinhança da
raiz a, pois isso assegura a convergência do método.
Exemplo:
ln x – x + 2 = 0 tem duas raízes reais, uma entre [0,1] e outra entre [3,4].
Calculando a raiz do intervalo [0,1], sendo xo = 0,4 a tentativa inicial e como
equação de interação escolhe-se x = ln x + 2, assim, φ’(x) = 1/x que não
assegura a convergência.
Reescrevendo a equação ln x – x + 2 = 0 na forma x = ex-2, temos a garantia da
convergência, e dessa forma:
X1 = exo-2 = 0,201897
X2 = ex1-2 = 0,165613
X3 = ex2-2 = 0,159711
X4 = ex3-2 = 0,158772
X5 = ex4-2 = 0,158622
X6 = ex5-2 = 0,158599
X7 = ex6-2 = 0,158595
A raiz com cinco casas decimais será 0,15859
Método de Newton-Raphson:
Em relação ao método da dicotomia, este método é mais eficiente, econômico e
pode ser generalizado com grande facilidade.
Também utiliza uma repetição do mesmo procedimento até que a precisão
desejada seja alcançada.
Sendo f(x) a função estudada e a raiz da função, inicia-se o processo tomando-se
um valor x0 que está próximo de .
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O ponto determinado pelo par (x0, f(x0)) pertence à curva definida pela função.
Podemos calcular a derivada da função no ponto (x0, f’(x0)).
Como f’(x0) corresponde ao coeficiente angular da reta que é tangente a função
no ponto x0, podemos determinar a expressão desta reta: g(x) = f’(xo)x + b
Exemplo: A função f(x) = 2x – cos (x) possui uma raiz real isolada no intervalo [0,
π/4]. Calcule o valor da raizcom quatro casas decimais:
A derivada de f(x) é dada por: f’(x) = 2 + sen (x) (conforme a tabela de
derivadas)
x1 = xo - [(2xo - cos xo)/(2 + sen xo)]
Uma boa escolha para o valor de x0 é o ponto médio do intervalo = π/8
n Xn Xn+1 
0 0,3927 0,450819 
1 0,450819 0,450184 
2 0,450184 0,450184 
 Alcançouprecisão 
 
Logo a raiz por aproximação de quatro casas decimais será 0,4501.
 
 
 
Exercício 1:
A equação ln x – x + 2 = 0 tem duas raízes reais, uma entre [0,1] e outra entre [3,4]. Para o cálculo da raiz
pertencente ao intervalo [3,4] u�liza-se xo = 3,3 e a equação de interação x = ln x + 2 que garante a
convergência do método. O resultado da raiz, com duas casas decimais é:
A)
3,20
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B)
3,17
C)
3,14
D)
3,12
E)
3,10
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
Exercício 2:
A equação cos x – 3x = 0 tem somente uma raiz. Sendo xo = 0,35 e a equação de interação x = (1/3)cos x
garan�ndo a convergência, a raiz com três casas decimais será:
A)
0,313
B)
0,316
C)
0,319
D)
0,322
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E)
0,325
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 3:
Calcular a raiz de f(x) = x - ex-2 localizada no intervalo [0,1] com três casas decimais, pelo método de
Newton Raphson. Se f(x) = x – ex-2, f’(x) será 1 – ex-2.
A)
0,152
B)
0,155
C)
0,158
D)
0,161
E)
0,164
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
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Exercício 4:
A equação f(x) = x5 - 20 tem uma raiz real no intervalo [1; 2]. Sendo f'(x) =
5x4 e partindo de xo = 1,5 assinale a alternativa que indica o número de
interações para encontrar a raiz com erro de 2 casas decimais utilizando o método
de Newton Raphson.
A)
2 interações
B)
4 interações
C)
6 interações
D)
8 interações
E)
10 interações
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 5:
A função 2x2 - 25 tem duas raizes, uma positiva e outra negativa. Assinale a
alternativa que indica o intervalo onde se encontra a raiz positiva.
A)
[0, 1]
B)
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[1, 2]
C)
[2, 3]
D)
[3, 4]
E)
[4, 5]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 6:
A função 3x4 - 18x tem um de suas raiz positivas em um dos intervalos abaixo.
Determine qual é esse intervalo:
A)
[1,5; 1,6]
B)
[1,6; 1,7]
C)
[1,7; 1,8]
D)
[1,8; 1,9]
E)
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[1,9; 2,0]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 7:
A equação f(x) = x4 -50 tem uma raiz real entre [2, 3]. Sendo F'(x) = 4x3 e
partindo de x0 = 2,5 e utilizando o método de Newton, assinale a alternativa que
contêm o valor da raiz com aproximação de 3 casas decimais
A)
2,511
B)
2,599
C)
2,659
D)
2,701
E)
2,811
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
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Exercício 8:
A equação f(x) = x5 - 2x tem uma raiz real entre [1 e 2] . Sendo F'(x) = 5x4 - 2 e
partindo x0 = 1,5 e usando o método de Newton, assinale a alternativa que
contêm o número de interações necessárias para se chegar à raiz com erro de 3
casas decimais.
A)
0,669
B)
0,879
C)
0,999
D)
1,119
E)
1,189
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
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Módulo 5 – Resolução de sistemas
 
Sistemas Lineares – Método da triangulação de Gauss:
Muitos problemas de matemática são modelados em um sistema de equações
lineares.
Essa representação é bem vantajosa, pois além de separar o problema em partes
menores, o sistema apresenta vários métodos de solução já consagrados.
Método de triangulação de Gauss:
Para a aplicação deste método, devemos nos lembrar de duas propriedades dos
sistemas lineares:
A solução de um sistema linear não se altera com a multiplicação de uma
linha por um valor não nulo.
A solução de um sistema linear não se altera com a soma de duas de suas
linhas.
Usaremos essas duas propriedades para transformar um sistema linear na sua
forma triangularizada:
Dado o sistema:
a11 x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21 x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31 x1 + a32x2 + a33x3 = b3
Que pode ser escrito como uma matriz:
a11 a12 a13 b1
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3
Como queremos que o resultado final seja uma matriz triangularizada, o valor a31
deve ser substituído por zero. Usando as propriedades acima, multiplicaremos a
primeira linha por a31/a11 e subtrair o resultado da última linha, temos então:
a31 - a11 .( a31 / a11) = 0
Os outros termos da última linha não se transformarão em zero:
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Multiplicar a primeira linha por a21/a11 e subtrair o resultado da segunda linha
serão suficientes para zerar a segunda posição e ir repetindo o processo até todas
as posições abaixo da diagonal principal sejam zeradas. Então, se representa a
matriz em forma de sistema novamente, porém, de uma maneira muito mais
simples de ser resolvida.
Exemplo:
Resolver o sistema linear:
3 x1 - 2x2 + 5x3 = 20
6 x1 - 9x2 + 12x3 = 51
-5 x1 + 0x2 + 2x3 = 1
 
O primeiro passo é reescrever a matriz expandida:
3 -2 5 20
6 -9 12 51
-5 0 2 1
A nova terceira linha será representada por:
a31/a11 = -5/3
a31 = -5 – 3.(-5/3) = -5 +5 = 0
a32 = 0 – (-2).(-5/3) = 0 –(10/3) = -10/3
a33 = 2 – 5.(-5/3) = 2 +(25/3) = 31/3
b3 = 1 – 20.(-5/3) = 1 +(100/3) = 103/3
 
3 -2 5 20
6 -9 12 51
0 -10/3 31/3 103/3
 
A nova segunda linha será representada por:
a21/a11 = 6/3 = 2
a21 = 6 – 3.2 = 6 – 6 = 0
a22 = -9 – (-2).2 = -9 + 4 = -5
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a23 = 12 – 5.2 = 12 -10 = 2
b2 = 51 – 20.2 = 51 – 40 = 11
 
3 -2 5 20
0 -5 2 11
0 -10/3 31/3 103/3
 
Novamente, teremos que modificar a terceira linha para:
a32/a22 = (-10/3)/-5 = 2/3
a32 = -(10/3)-5.(2/3) = 0
a31 = 0– 0.(2/3) = 0 – 0 = 0
a33 = 31/3 – 2.(2/3) = 31/3 – 4/3 = 27/3 = 9
b3 = 103/3 – 11.(2/3) = 103/3 – 22/3 = 81/3 = 27
 
3 -2 5 20
0 -5 2 11
0 0 9 27
Então:
x3 = 27/9; x3 = 3
-5x2 + 2.3 = 11; -5x2 = 11 – 6; -5x2 = 5; x2 = -1
3x1 – 2.(-1) + 5.3 = 20; 3x1 +2+15 = 20; 3x1 = 3; x1 = 1
 
 
 
Exercício 1:
Nos computadores ou calculadoras os cálculos são efetuados com aritmética de precisão
finita. Quando os sistemas lineares são resolvidos através de métodos diretos, pivôs muito
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próximos de zero:
A)
geram multiplicadores bem maiores que a unidade que, por sua vez, ampliam os erros de
arredondamento e podem levar a soluções não reais;
B)
geram multiplicadores bem maiores que a unidade, mas sem nenhuma influência sobre a solução
que será obtida;
C)
geram multiplicadores muito pequenos que, em geral, levam a soluções não reais;
D)
geram multiplicadores muito pequenos, mas sem nenhuma influência sobre a solução que será
obtida;
E)
não tem nenhuma influência sobre os multiplicadores que serão obtidos;
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 2:
Na comparação entre métodos diretos e métodos iterativos, para a resolução de
sistemas lineares, é falso dizer que:
A)
 os métodos iterativos só convergem para a solução sob determinadas condições;
B)
 os métodos diretos apresentam mais problemas com erros de arredondamento;
C)
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os métodos diretos, desde que aplicados corretamente (utilizando pivoteamento, quando necessário) , sempre
encontram a solução de um sistema linear não singular
D)
 os métodos iterativos são menos influenciados pelos erros de arredondamento;
E)
 ambos os métodos sempre convergem para a solução;
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
Exercício 3:
Os valores de x1, x2, x3 e x4 que resolvem o sistema abaixo são respectivamente:
3x1 + 2x2 + x4 = 3
9x1 + 8x2 – 3x3 + 4x4 = 6
-6x1 + 4x2 -8x3 = - 16
3x1 – 8x2 + 3x3 – 4x4 = 18
A)
x1 = 2, x2 = -1, x3 = 0 e x4 = -1
B)
x1 = 2, x2 = 1, x3 = 1 e x4 = 1
C)
x1 = -2, x2 = -1, x3 = 0 e x4 = 1
D)
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x1 = -2, x2 = 1, x3 = 0 e x4 = -1
E)
x1 = 2, x2 = -1, x3 = 1 e x4 = -1
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 4:
Ao resolver o sistema abaixo podemos concluir que:
x + y – 2z = 0
2x – 2y + z = 1
3x – y – z = 2
A)
é um sistema possível e indeterminado.
B)
é um sistema possível e determinado, com x = 1, y = 1 e z = 1.
C)
é um sistema possível e determinado, com x = 1, y = 0,5 e z = 0.
D)
é um sistema possível e determinado, com x = -1, y = -2 e z = -3.
E)
é um sistema impossível.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
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A) Resposta Certa 
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
Exercício 5:
O sistema abaixo pode ser classificado como 
2x - y + z = -1
-5x - 20y - 15z = 11
3x + 3y + 4z = 3
A)
SPI
B)
SI
C)
SPD x =
D)
SPD y =
E)
SPD z=
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 6:
O sistema abaixo pode ser classificado como?
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x - 2y + 3z = 12 
-x + 2y + 4z = 30 
3x -5y -z = -19
A)
S.I.
B)
S.P.I.
C)
S.P.D. com x = 4, y = 5, z = 6 
 
D)
S.P.D. com x = 6, y = 5, z = 4 
 
E)
S.P.D. com x = 5, y = 4, z = 6 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
Exercício 7:
O sistema abaixo pode ser classificado como?
x - 2y + z = 8 
-x + 2y - z = 5 
2x - 5y + 3z = -19 
 
A)
S.I
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B)
S.P.I.
C)
S.P.D. com x = 1, y = 2, z = 3 
 
D)
S.P.D. com x = 2, y = 3, z = 1 
 
E)
S.P.D. com x = 3, y = 1, z = 2 
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 8:
O valor de x no sistema abaixo é:
x + y + z + w = -1 
-x + y + z + w = -3 
x - y + z + w = -1 
x - y - z - w = 1
A)
-2
B)
-1
C)
0
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D)
1
E)
2
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
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O Objetivo deste método é encontrar uma função g(x) que mais se aproxime de
outra função f(x). Essa substituição pode ser necessária se:
· A função f(x) descreve um fenômeno real, e deseja-se encontrar uma outra
função g(x) que melhore a aproximação, mas ainda represente o comportamento
do fenômeno.
· Tem-se uma função f(x), mas há a necessidade de outra função, g(x), que
facilite o modelamento do processo.
A aproximação é feita da seguinte maneira:
Sejam f(x) a função original, g(x) a função que irá aproximar f(x) e r(x) a função
erro, que exprime as diferenças entre f(x) e g(x). Assim, r(x) = f(x) – g(x).
Teoricamente, a melhor aproximação será aquela em que r(x) = 0, ou, como na
maioria dos casos de aplicação desse método, min [Σr(x)].
Supondo que o experimento levantou os pontos p1, p2, p3, p4 e que seja
conhecido o comportamento do fenômeno descrito por uma reta. O Objetivo
portanto, é obter g(x) tal que se comporte como uma reta.
Como alguns erros serão positivos e outros serão negativos, podemos ter uma
impressão errada das retas escolhidas, e talvez a pior reta seja aquela que
apresente o menor valor de r(x). Temos, portanto, que desconsiderar os sinais dos
erros e por isso se eleva os erros ao quadrado: min [Σr2(x)].
Regressão Linear:
Quando a função aproximada g(x) deve ser uma reta, o método dos mínimos
quadrados se reduz a uma regressão linear, cujo objetivo é aproximar uma função
f(x) por outra função g(x), da família g(x) = a + bx.
Isso significa que se deseja determinar os parâmetros a e b da reta g(x) = a + bx
de modo que a soma dos quadrados dos Eros em cada ponto de f(x) seja o menor
possível. Isso é feito através de um sistema linear dado por:
Σ1 . a + Σxi . b = Σyi
Σxi . a + Σxi2 . b = Σxiyi
 
Exemplo: Como resultado de um experimento prático, foram obtidos os seguintes
valores para a função f(x):
X 0 1 2 3 4
f(x) 0 1 1 4 4
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n = 5
x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; x4 = 3; x5 = 4
y1 = 0; y2 = 1; y3 = 1; y4 = 4; y5 = 4
Σ1 = 1+1+1+1+1 = 5
Σxi = 0+1+2+3+4 = 10
Σxi2= = 02+12+22+32+42 = 30
Σyi = 0+1+1+4+4 = 10
Σxiyi = 0.0+1.1+2.1+3.4+4.4=31
Temos o sistema:
5a + 10 b = 10
10a + 30b = 31
Resolvendo o sistema, temos a = -1/5 e b = 11/10, logo, g(x) = -1/5 + 11x/10
 
 
Exercício 1:
1) Ajustando uma reta aos pontos dados na tabela abaixo pelo método dos
mínimos quadrados conhecido como regressão linear encontramos a função:
x -1 0 1 2 3 4 5 6
y 10 9 7 5 4 3 0 -1
A)
g(x) = 8,65 – 1,61x
B)
g(x) = 8,65 + 1,61x
C)
g(x) = –8,65 – 1,61x
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D)
g(x) = –8,65 + 1,61x
E)
g(x) = 1,61 + 8,65x
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 2:
2) Dados os pontos experimentais na tabela, a expressão da reta que melhor
ajusta os pontos através do método da regressão linear é:
x 1 2 3 4 5
y 2,2 3,3 4,2 5,1 6,3
A)
g(x) = x + 1,22
B)
g(x) = x – 1,22
C)
g(x) = 1,22x + 1
D)
g(x) = 1,22x – 1
E)
g(x) = – x + 1,22
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 3:
3) Em relação ao método da regressão linear, analise as frases abaixo e assinale a
alternativa correta:
I. O Objetivo desse método é encontrar a função linear que mais se aproxima da
função real, representando a melhor aproximação ao comportamento de um
fenômeno.
II. Alguns erros obtidos serão positivos e outros, serão negativos, dessa forma, o
método sugere que se use a função modular, desconsiderando assim, os sinais
dos erros.
III. A regressão linear é uma simplificação do método dos mínimos quadrados. Ela
é largamente usada quando a função aproximadora deve ser uma reta a + bx.
A)
Todas as frases são verdadeiras.
B)
Apenas a frase I é falsa.
C)
Apenas a frase II é falsa.
D)
Apenas a frase III é falsa.
E)
Todas as frases são falsas.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
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C) Resposta Certa 
Exercício 4:
Em relação ao método da regressão linear, analise as frases abaixo e assinale a
alternativa correta:
I. A regressão linear é uma simplificação do método dos mínimos quadrados. Ela
é largamente usada quando a função aproximadora deve ser uma reta a + bx.
II. Existem funções de uma variável que, apesar de originalmente não
apresentarem um formalismo linear, podem ser linearizadas, através da
substituição de variáveis.
III. O Obje�vo do método é obter uma função que se aproxime de um conjunto de pontos dados ou de outra
função dada evitando o uso de uma função complexa, com cálculo lento e complicado.
A)
Todas as frases são verdadeiras.
B)
Apenas a frase I é falsa.
C)
Apenas a frase II é falsa.
D)
Apenas a frase III é falsa.
E)
Todas as frases são falsas.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 5:
Ajustando uma reta aos pontos dados na tabela abaixo, encontre na regressão
linear, a função que a representa:
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x -2 -1 0 1 2
y 5,2 6,3 7,1 8,3 9,1
x
 0 2 4 6 8 10
y -12 -9,8 -8,5 -6,1 -4 -2,2
 
A)
y = -7,2 - 0,98x
B)
y = -7,2 + 0,98x
C)
y = 7,2 - 0,98x
D)
y = 7,2 + 0,98x
E)
y = 0,98x - 7,2
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 6:
Aplique o método da regressão linear para ajutar a tabela de pontos a uma reta.
As expressões que formamo sistema que irá determinar os fatores a e b que
formam a reta y = a + bx, serão:
 
A)
6a + 30b = -42,6 e -30a + 220b = 144,2
B)
6a + 30b = 42,6 e 30a + 220b = 144,2
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x 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
y 11 9,1 7,2 5,1 2,9 1,2 -1,2 -3,1 -5,2
C)
-6a + 30b + -42,6 e -30a + 220b = -144,2
D)
6a - 30b = 42,6 e 30a - 220b = 144,2
E)
6a _ 30b = -42,6 e 30a + 220b = -144,2
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
Exercício 7:
Aplique o método da regressão linear para ajutar a tabela de pontos a uma reta.
As expressões que formamo sistema que irá determinar os fatores a e b que
formam a reta y = a + bx, serão:
 
A)
9a-18b = -27 e 18a + 51b = 7,05
B)
9a + 18b = 27 e 18a + 51b = -7,05
C)
9a - 18b = 27 e 18a - 51b = 7,05
D)
-9a + 18b = 27 e -18a - 51b = -7,05
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x 10 20 30 40
y 125 100 75 50
E)
-9a - 18b = -27 e -18a + 51b = -7,05
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 8:
Aplique o método da regressão linear para ajutar a tabela de pontos a uma reta.
As expressões que formamo sistema que irá determinar os fatores a e b que
formam a reta y = a + bx, serão:
 
A)
y = -150 - 2,5x
B)
y = 150 + 2,5x
C)
y = 150 - 2,5x
D)
y = -150 + 2,5x
E)
y = -1,25 + 150x
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
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Polinômio Interpolador na forma de Lagrange:
 
Considere uma tabela que corresponde aos valores de uma função f(x):
 
x xo x1 x2 Xn
f(x) f(x0) f(x1) f(x2) f(xn)
 
Interpolar o ponto xi significa calcular f(xi), ou seja, incluir o ponto [xi ; f(xi)] na
tabela.
Em problemas reais, em geral, precisa-se fazer a interpolação de um ponto x em
uma tabela em que não se conhece a forma analítica correspondente e, portanto,
não se sabe a forma da função.
Muitas vezes a tabela é obtida de dados experimentais ou de campo, o que torna
o processo de interpolação mais importante.
Assim, como não se pode calcular f(x) formalmente, pois f é desconhecida, faz-se
uma interpolação polinomial de x, ou seja, determina-se o polinômio p de grau
menor ou igual a n, que passa por todos os pontos da tabela, e calcula-se o valor
de p(x).
Esse polinômio é chamado de polinômio interpolador de f relativamente aos
pontos xo, x1, x2, ... xn.
A forma de Lagrange representa o polinômio interpolador diretamente a partir dos
pontos originais.
Sua praticidade é tal que se torna uma das formas mais utilizadas para a obtenção
de um polinômio interpolador.
O polinômio de Lagrange será dado por:
 
P(x) = Lo(x)f(xo) + L1(x)f(x1) + ... + Ln(x)f(xn)
 
Os polinômios Li(x) satisfazem as condições:
a) Contém todos os pontos da tabela, pois p(xi) = f(xi), para i = 0, 1, 2, .... n
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b) o graude p(x) é menor ou igual a n
 
Para uma tabela contendo:
x x0 x1 x2 x3 x4
f(x) y0 y1 y2 y3 y4
 
P(x) = (x-x1) (x-x2) (x-x3) f(x0) + (x-x0) (x-x2) (x-x3) f(x1) + (x-x0) (x-x1) (x-
x3) f(x2) + (x-x0) (x-x1) (x-x2) F(x3)
 (x0-x1)(x0-x2)(x0-x3) (x1-x0)(x1-x2)(x1-x3) (x2-x0)(x2-x1)
(x2-x3) (x3-x0)(x3-x1)(x3-x2)
 
Exemplo:
Seja a seguinte tabela de valores da função f(x) = ex a partir da qual se deseja
obter através dos polinômios de Lagrange uma aproximação para o ponto x =
1,32.
x 1,3 1,4 1,5
ex 3,669 4,055 4,482
 
Uma vez que a tabela apresenta três pontos os polinômios irão até n-1 = 2:
 
P(1,32) = (1,32-1,4)(1,32-1,5) . 3,669 + (1,32-1,3)(1,32-1,5) . 4,055 + (1,32-
1,3)(1,32-1,4) . 4,482 = 3,743
 (1,3-1,4)(1,3-1,5) (1,4-1,3)(1,4-1,5) 
(1,5-1,3)(1,5-1,4)
 
Exercício 1:
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1) Dada a tabela a seguir, o valor aproximado de f(40°) por interpolação de
Lagrange será:
x 30° 35° 45° 50°
f(x) 0,5 0,57358 0,70711 0,76604
A)
0,56
B)
0,60
C)
0,64
D)
0,68
E)
0,72
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
Exercício 2:
2) Através do polinômio interpolador de Lagrange para os pontos da tabela calcule
a aproximação de f(x) para x = 2.
x 0 1,5 3 4,5 6
y 2,0 3,54 2,5 1,6 0,3
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A)
2,125
B)
3,1
C)
3,058
D)
3,27
E)
4,108
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 3:
3) Através do polinômio interpolador de Lagrange para os pontos da tabela calcule
a aproximação de f(x) para x = 5,2.
x 0 1,5 3 4,5 6
y 2,0 3,54 2,5 1,6 0,3
A)
0,9735
B)
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1,1775
C)
1,2509
D)
1,8013
E)
1,9050
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 4:
4) Obtenha via polinômio interpolador de Lagrange a aproximação para f(x) para
x = 0,5.
x -0,6 -0,5 0 0,2 0,4 0,7
f(x) -0,15 -0,1 0 0,4 1 1,9
A)
0,7
B)
0,9
C)
1,1
D)
1,3
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x 1,2 2,5 3,6
f(x) 0,182 9,916 1,281
E)
1,5
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 5:
5) Através do polinômio interpolador de Lagrange para os pontos da tabela,
calcule a aproximação de f(x) para x = 3.
 
A)
0,95
B)
1,10
C)
1,20
D)
1,31
E)
1,52
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
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x -1 1 3 
y 0,37 2,71 20,09
x -2 1 0 4 
y 2 -0,25 -1 11 
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 6:
7) Através do polinômio interpolador de Lagrange para os pontos da tabela calcule
a aproximação de f(x) para x = 2
.
A)
15,12
B)
10,19
C)
9,32
D)
5,18
E)
4,93
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
Exercício 7:
10) Através do polinômio interpolador de Lagrange para os pontos da tabela
calcule a aproximação de f(x) para x = 3.
 
A)
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x -3 0 5
y -10,5 -2,67 10,25
0
B)
2,25
C)
3,5
D)
5,75
E)
7,325
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 8:
11) Através do polinômio interpolador de Lagrange para os pontos da tabela
calcule a aproximação de f(x) para x = 3.
 
A)
-1,15
B)
0
C)
1,3
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D)
2,7
E)
5,1
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
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Referência Bibliográfica:
Análise Numérica - Richard L. Burden Ed. Cengage Learning
Exercício 1:
Determine os valores de a e b que resultem no melhor ajuste possível para a
curva y(t) = a + b.t para os pontos experimentais mostrados na tabela abaixo.
Dessa forma, a expressão y(t) será:
T 0 1 3 6
y 2 3 7 12
A)
y(t) = 1,714 + 1,714t
B)
y(t) = -1,714 + 1,714t
C)
y(t) = 1,714 - 1,714t
D)
y(t) = -1,714 - 1,714t
E)
y(t) = 1,714t + 1,714t2
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
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Exercício 2:
Considere os dados apresentados na tabela. Para encontrar a reta de mínimos
quadrados y(x) = a + bx que aproxima esses dados é necessário montar um
sistema. O sistema que melhor representa as equações montadas pelo método
para a resolução do problema é:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 1,3 3,5 4,2 5,0 7,0 8,8 10,1 12,5 13,0 15,6
A)
10.a - 55.b = 81
55.a + 385.b = -572,4
B)
10.a + 55.b = 81
55.a - 385.b = -572,4
C)
10.a - 55.b = -81
55.a + 385.b = 572,4
D)
10.a + 55.b = -81
55.a - 385.b = 572,4
E)
10.a + 55.b = 81
55.a + 385.b = 572,4
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
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C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
Exercício 3:
Considere os dados apresentados na tabela. Determine os valores de a e b que
resultem no melhor ajuste possível para a curva y(t) = a + b.t. A função y(t) que
melhor representa este ajuste será:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 1,3 3,5 4,2 5,0 7,0 8,8 10,1 12,5 13,0 15,6
A)
y(x) = - 0,359 - 1,538x
B)
y(x) = 0,359 + 1,538x
C)
y(x) = - 0,359 + 1,538x
D)
y(x) = 0,359 - 1,538x
E)
y(x) = - 0,359x + 1,538
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
Exercício 4:
Considere os dados apresentados na tabela. Para encontrar o polinômio de
mínimos quadrados que aproxima esses dados, polinômio de grau dois do tipo
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y(x) = a + b.x + c.x2, necessita-se montar um sistema. O sistema que melhor
representa as equaçõesnecessárias para encontra o polinômio y(x) será:
x 0 0,25 0,50 0,75 1,00
y 1,0000 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183
 
A)
5.a + 2,5.b + 1,875.c = 8,768
2,5.a + 1,875.b + 1,5625.c = 5,4514
1,875.a + 1,5625.b + 1,3828.c = 4,4015
B)
5.a + 2,5.b + 1,875.c = 4,4015
2,5.a + 1,875.b + 1,5625.c = 8,768
1,875.a + 1,5625.b + 1,3828.c = 5,4514
C)
5.a + 2,5.b + 1,875.c = 5,4514
2,5.a + 1,875.b + 1,5625.c = 4,4015
1,875.a + 1,5625.b + 1,3828.c = 8,768
D)
5.a + 2,5.b + 1,875.c = 8,768
2,5.a + 1,875.b + 1,5625.c = 4,4015
1,875.a + 1,5625.b + 1,3828.c = 5,4514
E)
5.a + 2,5.b + 1,875.c = 5,4514
2,5.a + 1,875.b + 1,5625.c = 8,768
1,875.a + 1,5625.b + 1,3828.c = 4,4015
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 5:
Considere os dados apresentados na tabela. Para encontrar o polinômio de
mínimos quadrados que aproxima esses dados, polinômio de grau dois do tipo
y(x) = a + b.x + c.x2, o polinômio que melhor representa essa aproximação será:
x 0 0,25 0,50 0,75 1,00
y 1,0000 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183
 
A)
y(x) = 1,0047 + 0,8429.x + 0,8644x2
B)
y(x) = 1,0047 + 0,8644.x + 0,8429x2
C)
y(x) = 0,8429 + 0,8644.x + 1,0047x2
D)
y(x) = 0,8429 + 1,0047.x + 0,8644x2
E)
y(x) = 0,8644 + 1,0047.x + 0,8429x2
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
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x 1 2 3 4
y -1 4 11 20
Exercício 6:
Considere os dados apresentados na tabela. Para encontrar o polinômio de
mínimos quadrados que aproxima esses dados, polinômio de grau dois do tipo
y(x) = a + b.x + c.x2, necessita-se montar um sistema. O sistema que melhor
representa as equações necessárias para encontra o polinômio y(x) será:
 
A)
4a + 10b + 30c = 34
10a + 30b + 120c = 120
30a + 120b + 350c = 600
B)
4a + 10b + 30c = 34
10a + 30b + 117c = 120
30a + 117b + 354c = 554
C)
8a + 5b + 40c = 45
10a + 30b + 117c = 120
30a + 120b + 350c = 600
D)
8a + 5b + 40c = 45
10a + 30b + 120c = 120
30a + 117b + 354c = 554
E)
8a + 15b + 40c = 55
5a + 6b + 12c = 35
10a + 10b + 10c = 1000
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
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x -1 0 1
y 5 -1 3
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 7:
Considere os dados apresentados na tabela. Para encontrar o polinômio de
mínimos quadrados que aproxima esses dados, polinômio de grau dois do tipo
y(x) = a + b.x + c.x2, necessita-se montar um sistema. O sistema que melhor
representa as equações necessárias para encontra o polinômio y(x) será:
 
A)
a - 2c = 7
2b = -2
2a + 2c = 8
B)
a + 2c = 7
2b = 2
2a - 2c = 8
C)
a - 2c = 7
2b = 4
a + b = 8
D)
a + 2c = 7
-2b = 4
- a + b = 8
E)
a + 2c = 7
2b = -2
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x -1 0 1 2
y 1 1 3 7
2a + 2c = 8
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
Exercício 8:
Considere os dados apresentados na tabela. Para encontrar o polinômio de
mínimos quadrados que aproxima esses dados, polinômio de grau dois do tipo
y(x) = a + b.x + c.x2, necessita-se montar um sistema. O sistema que melhor
representa as equações necessárias para encontra o polinômio y(x) será:
 
A)
a + b + c = 12
2a + b - c = 16
3a - b + 2c = 32
B)
a + b + c = 16
2a - b + c = 15
2a + 2b - c = 17
C)
a + b + c = 16
2a + 2b - c = 18
3a = 3b + 3c = 33
 
D)
a + b + c = 1
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a - b + c = 3
a + b - c = 5
E)
4a + 2b + 6c = 12
2a + 6b + 8c = 16
6a + 8b + 18c = 32
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
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Tipos de arredondamento - Erro absoluto e erro relativo - Ponto flutuante.
Conteúdo idêntico ao do módulo I.
Exercício 1:
Seguem os seguintes conceitos listados abaixo sobre erros nas aproximações numéricas:
(1) Erro absoluto: Quando se substitui um valor a por outro valor aproximado a’
(a’¹a), diz-se que o erro absoluto cometido é Δ = |a - a'|.
(2) Erro relativo: Chama-se erro relativo cometido sobre um valor a, quando este
é aproximado por a’, ao quociente positivo, portanto δ = Δ / a.
(3) Arredondamento: Diz-se que um valor foi arredondado na posição de ordem
n, se todos os algarismos significativos n+1 em diante forem abandonados de
forma que o algarismo n é aumentado de uma unidade se, e somente se, o de
ordem n + 1 for superior a 4.
(4) Algarismos significativos de um número a são todos os seus algarismos de 1
a 9 e zeros, desde que não sirvam simplesmente para fixar a posição do ponto
decimal ou que não estejam substituindo algarismos de casas decimais de mais
baixa ordem abandonadas. 
Dos itens listados acima quais podem ser considerados corretos:
 
 
 
 
A)
(1), (2), (3) e (4)
B)
(2) e (4)
C)
(2), (3) e (4)
D)
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(3) e (4)
E)
(2) e (3)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 2:
Quando realizamos uma medida precisamos estabelecer a confiança que o valor encontrado para a
medida representa. Medir é um ato de comparar e esta comparação envolve erros dos instrumentos, do
operador, do processo de medida entre outros. Em qualquer situação deve-se adotar um valor que
melhor represente a grandeza e uma margem de erro dentro da qual deve estar compreendido o valor
real. Vamos supor que você está efetuando a medição de um segmento de reta, utilizando para isso uma
trena graduada em centímetros. Você observa que o segmento de reta tem um pouco mais de cento e
vinte e sete centímetros e menos que cento e vinte e oito centímetros. Então, você estima o valor desse
"pouco" que ultrapassa cento e vinte e sete centímetros, expressando o resultado da medição assim:
127,6 centímetros. Portanto podemos dizer que a aproximação da medida deste eixo tem:
A)
4 Algarismos significativos e nenhum duvidoso.
B)
3 Algarismos significativos corretos e 1 duvidoso.
C)
3 Algarismos significativos e 2 duvidosos.
D)
4 Algarismos significativos corretos.
E)
3 Algarismos significativos e nenhum duvidoso.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
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Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 3:
Considere uma máquina hipotética que trabalhe em vírgula flutuante com 4
dígitos decimais de precisão (i.e., guarda apenas os 4 primeiros dígitos
significativos de um número). Qual é o erro máximo relativo que podeser
cometido ao arredondar qualquer número para 4 dígitos significativos?
A)
1,0 X 10-5
B)
 4,0 X 10-5
C)
 5,0 X 10-4
D)
5,0 X 10-5
E)
4,0 X 10-4
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
Exercício 4:
Seja f = (x2y)/z. Se x = 5,00 ± 0,05, y = 4,00 ± 0,02 e z = 3,00 ± 0,06. Calcule o valor de f e encontre o
erro relativo de cada variável.
A)
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F = 33,33 / ERx = 0,01 / ERy = 0,005 / ERz = 0,02
B)
F = 33,50 / ERx = 100 / ERy = 200 / ERz = 50
C)
F = 33,33 / ERx = 100 / ERy = 200 / ERz = 50
D)
F = 3,33 / ERx = 0,1 / ERy = 0,005 / ERz = 0,02
E)
F = 33,50 / ERx = 0,1 / ERy = 0,05 / ERz = 0,2
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 5:
A representação aritmética de ponto flutuante é muito utilizada na computação digital, por exemplo em
calculadoras científicas. A principal vantagem da representação em ponto flutuante é que ela pode
representar uma grande faixa de números se comparada à representação de ponto fixo. Seja uma
representação com 6 (seis) dígitos, quais serão o maior e o menor número para uma representação
utilizando ponto flutuante?
A)
maior número 9,9999 109 ; menor número 0,0001 10-9
B)
menor número 9,999 1099 ; maior número 0,001 10-99
C)
maior número 9,999 1099 ; menor número 1,111 10-99
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D)
maior número 9,999 1099 ; menor número 0,001 10-99
E)
maior número 9,99999 ; menor número 0,00001
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 6:
A propagação de erros pode influenciar diretamente nos cálculos matemáticos
alterando resultados. Estes erros podem ser provenientes de várias fontes, tais
como: instrumentos de medidas, erros humanos na aquisição de dados,
ferramentas de cálculos, etc.
Deseja-se realizar os cálculos das expressões (1) e (2) em uma máquina com 4
dígitos significativos. Sendo X1 = 0,3491.104 e X2 = 0,0023.100.
 
Expressão (1): ( X2 + X1 ) – X1
Expressão (2): X2 + ( X1 - X1 )
 
Das opções abaixo, qual delas constam os resultados corretos, com 4 dígitos significativos, das
expressões acima e a justificativa para a diferença dos resultados das expressões.
A)
Expressão (1) = 0,000 e Expressão (2) = 0,0023. Os dois resultados são diferentes quando não deveriam
ser, pois a causa foi o arredondamento feito na adição (X2 + X1), cujo resultado tem 8 dígitos e a
máquina apenas 4.
B)
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Expressão (1) = 0,3491 e Expressão (2) = 0,0023. Os dois resultados são diferentes, devido o
truncamento feito na expressão 2.
C)
Expressão (1) = 0,000 e Expressão (2) = 0,002345. Os dois resultados são diferentes quando não
deveriam ser, pois a causa foi o arredondamento feito na adição (X2 + X1), cujo resultado tem 4 dígitos
e a máquina apenas 8.
D)
Expressão (1) = 0,000 e Expressão (2) = 0,0000. Não há diferenças, os resultados são exatamente os
mesmos.
E)
Expressão (1) = 0,3491 e Expressão (2) = 0,0023. Os dois resultados são diferentes quando não
deveriam ser, pois a causa foi o arredondamento feito na adição (X2 + X1), cujo resultado tem 8 dígitos
e a máquina apenas 4.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 7:
Supondo um sistema de aritmética em ponto flutuante que trabalha com 4 dígitos na mantissa, na base
10, expoente e no intervalo Î [-5 5]. Consideremos agora a operação Z = X + Y, com X = 0,127.103 e y
= 0,97.10−1. Determine Z em função dos resultados desta operação com os valores de arredondamento
e truncamento.
A)
Valor de Z arredondado = 0,1270.103 e truncado = 0,1271.103
B)
Valor de Z arredondado = 1271,0.103 e truncado = 1270,0.103
C)
Valor de Z arredondado = 1,0970.103 e truncado = 1,0971.103
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D)
Valor de Z arredondado = 0,1271.103 e truncado = 0,1270.103
E)
Valor de Z arredondado = 12,71 e truncado = 12,70
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 8:
Um modelo matemático raramente representará corretamente um fenômeno
físico na integra, pois são necessárias várias simplificações do mundo físico para
se obter um modelo matemático. São listadas abaixo algumas afirmações que
tentam justificar os erros devido a simplificação dos modelos matemáticos.
1. Erros na modelagem de um problema físico, ex: resistência do
ar, velocidade do vento, forma do objeto, etc.
2. Precisão de leitura de um instrumento de medida de distância.
3. O aquecimento da máquina (computador) durante o
processamento de dados.
4. O valor numérico de p em um cálculo de uma determinada área
de uma circunferência.
 5. Esforço computacional.
A)
(3) e (4).
B)
(1), (4) e (5).
C)
(2), (3) e (4).
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D)
(1), (2) e (4).
E)
(3) e (5).
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 9:
Seja Y=0.005 e Z=0.006, qual das opções a seguir representam o erro absoluto (EA) e o erro relativo
(ER)? Sabe-se que o valor do erro de aproximação é designado por erro absoluto.
A)
EA = 0.001 ; ER = 0.25
B)
EA = 0.009 ; ER = 0.25
C)
EA = 0.009 ; ER = 0.001
D)
EA = 0.001 ; ER = 0.009
E)
EA = 0.001 ; ER = 0.2
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
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Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
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 Exercícios complementares - Zeros das funções
Conteúdo idêntico ao do módulo 2.
Exercício 1:
Quais gráficos abaixo representam a existência de zeros reais da função f(x):
A)
Gráficos (a) e (c)
B)
Gráficos (a), (b), (c) e (d)
C)
Gráficos (a), (c) e (d)
D)
Gráficos (b), (c) e (d)
E)
Gráficos (b) e (c)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
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Exercício 2:
O Teorema de Bolzano localiza os possíveis zeros de uma função. As raízes de uma função nem sempre podem ser encontradas analiticamente, ou seja, resolvendo a
com o gráfico abaixo, quais das alternativas possuem os intervalos das raízes reais da função f(x), demonstrada graficamente?
A)
[-7,0] e [0,7]
B)
[-10,-5] e [2,3]
C)
[-7,0], [0,7], [-10,-5] e [0,5]
D)
[-5,-4] e [2,3]
E)
[-5,-4], [2,3] e [-10, -5]
O alunorespondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 3:
 
Considerando as quatro funções a seguir:
 
f(x) = 2x-7 g(x) = 13x-39 h(x) = x+3 i(x) = 3x+17
 
Qual dos conjuntos abaixo contém os zeros de todas as funções acima:
 
A)
{ -8, -17/3, -3, 7/2 }
B)
{ -17/3, -3, 3, 7/2 }
C)
{ -1, -2, -17/3, -3 }
D)
{ -7/2, 17/3, -3, 3, }
E)
{ -3, 8/3, 1, 2 }
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 4:
(METRÔ 2014) - Considere o esboço do gráfico da função real de uma variável real x da figura:
Novo Documento 1_1.jpg
Essa função f é definida por f(x) igual a:
A)
(x-2)(x+2)(x-3).
B)
15x(x+1)(x-1).
C)
(x-1)(x+2)(x-3)
D)
x(x-1)(x-3)
E)
5(x+1)(x-1)(x-3)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
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 Exercícios complementares sobre o método da dicotomia.
Conteúdo idêntico ao do módulo III
Exercício 1:
Seja a equação x3-2x-1=0 que só tem uma raiz positiva. De acordo com o princípio da bisseção ela deve estar no intervalo:
A)
(0, 1/2)
B)
(1/2, 1)
C)
(1, 3/2)
D)
(3/2, 2)
E)
(1/2, 3/2)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 2:
Seja a função f(x) = x3 – 9x +3, podemos por meio do Método de Bisseção encontrar as raízes da função, com boa precisão dependendo da tolerância e o número de
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De acordo com o gráfico acima da expressão citada neste exercício, qual das alternativas abaixo representa corretamente o número de total de raízes e seus respectiv
A)
Uma Raiz, intervalo entre [ -1, 1 ].
B)
Três Raízes, intervalos entre [ -4, -3 ] ; [ 1, 2 ] e [ 2, 3 ].
C)
Três Raízes, intervalos entre [ 1, 2 ] ; [ -5, 5 ] e [ 2, 3 ].
D)
Duas Raízes, intervalos entre [ 0, 1 ] e [ 2, 3 ].
E)
Três Raízes, intervalos entre [ 0, 1 ] ; [ -4, -3 ] e [ 2, 3 ].
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
Exercício 3:
Dada a função y = 1 - x.lnx temos a tabela:
x 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
y 1,346 1,000 0,392 -0,386 -1,291
O intervalo que contém a raíz é:
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A)
[0,0;0,5]
B)
[0,5;1,0]
C)
[1,0;1,5]
D)
[1,5;2,0]
E)
[2,0;2,5]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 4:
Usando o método da dicotomia, encontre os intervalos onde a função f(x) = ln x - x + 2 possui pelo menos uma raiz
A)
entre 0,1 e 0,5 e entre 3,0 e 3,5
B)
entre 0,1 e 0,5 e entre 3,5 e 4,0
C)
entre 0,5 e 1,0 e entre 3,0 e 3,5
D)
entre 0,5 e 1,0 e entre 3,5 e 4,0
E)
entre 1,0 e 1,5 e entre 2,5 e 3,0
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 5:
A função f(x) = X8 - 120 tem uma das suas raizes entre 1,0 e 2,0. Usando o método da bissecção qual será o intervalo que contêm
A)
[1,0, 1,25]
B)
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[1,75, 2,0]
C)
[1,5, 1,75]
D)
[1,25, 1,50]
E)
[1,0, 1,50]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 6:
Pelo método da bissecção, a função f(x) = 3x5 - 25 tem uma raiz entre?
A)
[-0,5, 0]
B)
[0, 0,5]
C)
[0,5, 1,0]
D)
[1,0, 1,5]
E)
[1,5, 2,0]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
Exercício 7:
A função f(x) = 5x3 - 16x tem uma das raizes entre 1 e 2. Usando o método da bissecção qual será o intervalo que contêm a raiz,
A)
[0, 0,5]
B)
[0,5, 1,0]
C)
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[1,0, 1,5]
D)
[1,5, 2,0]
E)
[2,0, 2,5]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 8:
A função f(x) = 4x4 - 5x2 + 1 tem uma das raizes entre [0; 0,8]. Usando o método da bissecção, qual será o intervalo que contêm
A)
[0,2; 0,4]
B)
[0,0; 0,2]
C)
[0,0; 0,4]
D)
[0,4; 0,8]
E)
[0,6; 0,8]
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
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Mesmo conteúdo do módulo IV
Exercício 1:
Seja f(x) = x3 - 2x2 - 5, f'(x) = 3x2 - 4x e P0 = 2, utilize o método de Newton
para determinar P3. O valor será aproximadamente:
A)
3,3
B)
3,0
C)
2,7
D)
2,1
E)
1,5
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
Exercício 2:
Seja f(x) = 3x2 + 5x, f'(x) = 6x + 5 e P0 = - 2, utilize o método de Newton para
obter P3. O valor aproximado obtido para P3 será:
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A)
- 1,18
B)
-1,41
C)
- 1,53
D)
- 1,67
E)
- 1,81
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 3:
Encontre uma das raízes para a função f(x) = x1/2 - e-x com tolerância de 0,001.
A raiz se encontra entre 0,42 e 0,44.
A)
0,42669
B)
0,43995
C)
0,42994
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D)
0,42001
E)
0,43072
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 4:
Determine uma das raizes da função f(x) = lnx - x + 2 com tolerância de 1/1000.
A raíz se encontra no intervalo entre 0,1 e 0,5
A)
0,15862
B)
0,20436
C)
0,26672
D)
0,30450
E)
0,34518
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
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Exercício 5:
Seja f(x) = 5x5 - 2x3 - 9x, f'(x) = 25x4 - 6x2 - 9 e P0 = 1,5, aplique o método de
Newton e obtenha P2. 
A)
1,0
B)
1,26
C)
1,38
D)
1,49
E)
1,52
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta CertaExercício 6:
Seja f(x) = 2x9 + 152, f'(x) = 18x8 e P0 = -1,4, aplique o método de Newton e
encontre P3
A)
-1,07
B)
-1,19
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C)
-1,39
D)
-1,41
E)
-1,68
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
E) Resposta Certa 
Exercício 7:
Seja f(x) = [(x5 - 1) / (3)], f'(x) = [(5x4) / (3)] e P0 = 1 aplique o método de
Newton e encontre P3
A)
1,05
B)
1,12
C)
1,28
D)
1,34
E)
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1,59
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
Exercício 8:
Seja f(x) = [(x2 - 5) / (8)], f'(x) = [(x) / (4)] e P0 = 6 aplique o método de
Newton e encontre P2
A)
5,85
B)
5,95
C)
6,05
D)
6,32
E)
6,52
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 9:
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f(x) = 2x - 9 possui uma raiz no intervalo [3,0; 3,5] usando o método da
dicotonia, encontre o valor da raiz com erro de duas casas decimais.
A)
3,17
B)
3,27
C)
3,35
D)
3,40
E)
3,47
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
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 Exercícios complementares para resolução de sistemas utilizando o método de
Gauss.
Módulo idêntico ao do módulo V
Exercício 1:
O método da eliminação Gaussiana de um sistema de equações lineares usa a
propriedade de equivalência de sistema, para eliminar progressivamente as
variáveis até chegar a uma equação de uma variável. Uma solução para aumentar
a precisão do resultado obtido pelo método da eliminação de Gauss é a utilização
da condensação pivotal.
Qual das alternativas abaixo cita corretamente finalidades do método da
eliminação Gaussiana com condensação pivotal de um sistema de equações
lineares.
A)
Minimizar o erro por arredondamento, não evitar a divisão por zero e aumentar a probabilidade de
erros.
B)
Maximizar o erro por truncamento, testar a singularidade do sistema e aumentar a probabilidade de
erros.
C)
Melhorar o erro de arredondamento e truncamento, diminuir o esforço computacional quando
necessário o uso do computador e melhorar a simplificação do modelo matemático.
D)
Minimizar o erro de arredondamento, evitar a divisão por zero e testar a singularidade do sistema.
E)
Minimizar o erro por truncamento, maximizar o erro de arredondamento e melhorar a simplificação do
modelo matemático.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
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Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 2:
Resolvendo o sistema
 2x1 - x2 = 2 
x1 + 2x2 = 3
Pelo método de Gauss a matriz triangulazrizada ficará:
 
A)
a11 = 2, a12 = -1, a13 = 2, a21 = 0, a22 = 5, a23 = 2
B)
a11 = 2, a12 = 1, a13 = 2, a21 = 1, a22 = 5, a23 = 3
C)
a11 = 0, a12 = -2, a13 = 2, a21 = 1, a22 = 5/2, 223 = -1
D)
a11 =2, a12 = -1, a13 = 2, a21 = 0, a22 = 5/2, a23 = 2
E)
a11 = 1, a12 = -1, a13 = 0, a21 = 1, a22 = 5, a23 = -1
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
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Exercício 3:
Considere o sistema linear:
 
3x1 – x2 + x3 = 9
 x1 – 4x2 + 2x3 = 17
2x1 + x2 + 6x3 = 24
As interações corretas para eliminar x1 na 2ª e 3ª expressões pelo método de Gauss são:
 
A)
 
 
R2 = R2 - R1/3
R3 = R3 + 2 R1/3
 
B)
 
R2 = R2 + R1/3
R3 = R3 = 3R1/2
 
C)
 
R2 = R2 - 3R1
R3 = R3 - 3R1/2
 
D)
 
 
R2 = R2 - R1/3
R3 = R3 - 2R1/3
 
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E)
 
R2 = R2 - R1/2
R3 = R3 - R1/3
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
C) Resposta Certa 
D) Resposta Certa 
Exercício 4:
Resolvendo o sistema
 4x1 - x2 = 2
x1 + 6x2 = 3 
pelo método de Gauss-Seidel o novo sistema após eliminar x1 na 2ª expressão,
será:
A)
4x1 - x2 = 2 e 25/2x2 = 5/2
 
B)
4x1 - x2 = 2 e 25/4x2 = 5/2
C)
4x1 - x2 = 2 e 5x2 = 20
D)
4x1 - x2 = 2 e 20x2 = 5
E)
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4x1 - x2 = 2 e 2/5x2 = 5
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 5:
Considere o sistema linear:
 
 
2x1 + x2 + x3 = 8
 x1 + 16x2 - 2x3 = 7
4x1 - x2 + 6x3 = 14
Pelo método de Gauss, após a interação que elimina x1 na 2ª expressão teremos
a matriz:
A)
 
 2 1 1 8
0 31 -5 3
4 1 6 14
B)
 
 
 2 1 1 8
0 31/2 -5/2 3
4 -1 6 14
 
C)
 
2 1 0 8
0 31/2 -5/2 3
4 -1 6 10
06/10/2017 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
https://online.unip.br/imprimir/imprimirconteudo 6/9
 
D)
 
 2 1 1 8
0 31 -5 3
4 -1 6 10
E)
 
2 1 1 8
0 1 2 3
4 0 5 1
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) Resposta Certa 
B) Resposta Certa 
Exercício 6:
6) [Poscomp/-2006] Seja o sistema de equações lineares nas variáveis x, y e z:
x + y - z = 1
2x + 3y + az = 3
x + ay + 3z = 2
Assinale a alternativa com os valores de a para os quais o sistema possui
respectivamente:
(i) nenhuma solução, (ii) mais de uma solução, (iii) uma única solução.
A)
(i) a = -3; (ii) a = 2; (iii) a ≠ 2 e a ≠ -3
B)
(i) a ≠ 2 e a ≠ -3; (ii) a = 2; (iii) a = -3
C)
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(i) a = 2; (ii) a ≠ 2 e a ≠ 3; (iii) a = -3
D)
(i) a = -3; (ii) a ≠ 2 e a ≠ -3; (iii) a = 2
E)
(i) a = -3; (ii) a = 2; (iii) a = 2 ou a = -3
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) Resposta Certa 
Exercício 7:
Poscomp-2011) Considere a matriz a seguir.
A =2 4 2
 1 5 2
 4 −1 9
No método da eliminação de Gauss, foram efetuados os seguintes passos
para se obter uma matriz na forma degrau:
I. Subtraiu-se a metade da primeira linha da segunda.
II. Subtraiu-se o dobro da primeira linha da terceira.
III. Adicionou-se o triplo da segunda linha à terceira.
Em termos matriciais, o processo descrito corresponde a:
A)
Adicionar à matriz