Laje (Momentos Fletores)

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Laje Maciça 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Laje Maciça 
Elemento estrutural do tipo placa, onde toda a 
espessura é composta por concreto, contendo 
armaduras longitudinais nas duas direções. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Laje Maciça 
Usualmente as lajes Maciças Convencionais 
apoiam-se sobre Vigas ou Paredes Estruturais. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje Convencional Maciça – Esquema ilustrativo 
Concreto Estrutural 
Armadura (Apoios) 
Vigas 
Espaçadores 
Armaduras 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje Convencional Maciça – Formas e Armaduras 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje Convencional Maciça – Detalhe dos Apoios (Vigas) 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Laje apoiada sobre Pilares 
Não é usual, mas as lajes podem ser apoiadas 
sobre pilares, sem a utilização de vigas. Neste 
caso deve-se adotar disposições construtivas 
para evitar a punção do pilar sobre a laje. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje apoiada sobre pilar – Esquema ilustrativo da punção 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje apoiada sobre pilar – Esquema ilustrativo (Lisa e Cogumelo) 
Laje Cogumelo 
Laje Lisa 
Piso 
Capitéis 
Pilar 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje apoiada sobre pilar – Laje Cogumelo 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Concreto I Prof.º Charles Mafra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje apoiada sobre pilar – Laje Lisa 
ENGENHARIA 
CIVIL 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje apoiada sobre pilar – Reforço de Laje Lisa com execução de Capitel 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje apoiada sobre pilar – Laje apoiada sobre Vigas e Pilar 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Definição do Vão 
 
L0 
Lt 
Lef 
h – Altura (Espessura) da laje; 
t1, t2 – Largura dos apoios (vigas); 
L0 – Vão livre (Distância entre as faces dos apoios); 
Lt – Vão teórico (Distância entre os eixos dos apoios); 
Lef – Vão efetivo. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Vão Efetivo (Lef) 
 
L0 
Lef 
Lef = L0 + a1 + a2 
 
a1 ≤ (t1/2; 0,3h) a2 ≤ (t2/2; 0,3h) 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Direções das Armaduras 
 
As lajes possuem duas direções a serem 
armadas: “X” e “Y” → Vãos: Lx e Ly. 
Y 
X 
Lx 
Ly 
Lx – Menor 
 
Ly – Maior 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Exemplo 1: Determine os vãos efetivos para a 
laje “L” de piso, com todas as bordas apoiadas 
sobre vigas de 20cm de largura. 
600cm 
4
0
0
c
m
 
L 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 1: Resolução. 
600cm 
4
0
0
c
m
 
L 
Lef = L0 + a1 + a2 
a1 ≤ (t1/2; 0,3h) 
a2 ≤ (t2/2; 0,3h) 
t1=t2=20cm 
Laje de piso → h=8cm 
L0x = 400-(2x20) = 360cm 
L0y = 600-(2x20) = 560cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 1: Resolução. 
600cm 
4
0
0
c
m
 
L 
Lef = L0 + a1 + a2 
a1 ≤ (20/2; 0,3x8) = 2,4cm 
a2 ≤ (20/2; 0,3x8) = 2,4cm 
L0x = 360cm; L0y = 560cm 
Lx = 360+2,4+2,4 
Lx = 364,8cm 
Ly = 560+2,4+2,4 
Ly = 564,8cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Concreto I Prof.º Charles Mafra. 
Exemplo 1: Resolução. 
Ly = 564,8cm 
L
x
 =
 3
6
4
,8
c
m
 
L 
h=8cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Representação do Modelo Estrutural 
Exemplo 2: Determine os vãos efetivos para a 
laje “L” de piso, com as bordas na direção do 
menor vão apoiadas por vigas de 15cm de 
largura e as demais por vigas com 20cm de 
largura. Dados: Vão livre menor igual a 320cm 
e vão livre maior igual a 480cm. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Exemplo 2: Resolução 
320cm 
4
8
0
c
m
 
20cm 20cm 
1
5
c
m
 
1
5
c
m
 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Representação da Forma 
 
Exemplo 2: Resolução 
 
Direção do menor vão (Lx) 
L0x = 320cm 
Laje de piso → h = 8cm 
20cm 20cm 
a1=a2 ≤ (20/2=10; 0,3x8=2,4) = 2,4cm 
Lx = 320 + 2,4 + 2,4 
Lx = 324,8cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Exemplo 2: Resolução 
 
Direção do maior vão (Ly) 
L0y = 480cm 
Laje de piso → h = 8cm 
15cm 15cm 
a1=a2 ≤ (15/2=7,5; 0,3x8=2,4) = 2,4cm 
Ly = 480 + 2,4 + 2,4 
Ly = 484,8cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Exemplo 2: Resolução 
324,8cm 
4
8
4
,8
c
m
 
Y 
X 
L 
h=8cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Representação do Modelo Estrutural 
Vão Teórico (Lt) 
 
 
L0 
Lt 
Lt = L0 + (t1/2) + (t2/2) 
 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Eixo do Apoio 1 Eixo do Apoio 2 
Exemplo 3: 
Determine os 
vãos teóricos 
para as lajes 
destinadas a 
piso. 
 
c 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Exemplo 3: Resolução – L1 
 
Lx = 360 + (20/2) + (20/2) = 380cm 
 
Ly = 670 + (20/2) + (20/2) = 690cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
360cm 
6
7
0
c
m
 
Exemplo 3: Resolução – L2 
 
Lx = 440 + (20/2) + (20/2) = 460cm 
 
Ly = 480 + (20/2) + (20/2) = 500cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
c 
480cm 
Exemplo 3: Resolução – L3 
 
Lx = 210 + (20/2) + (20/2) = 230cm 
 
Ly = 480 + (20/2) + (20/2) = 500cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
c 
480cm 
c 
Classificação 
Quanto à Direção de Armação 
 
Armadas em Uma Direção – 1D 
 
Armadas em Duas Direções – 2D 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Laje Armada em Uma Direção – 1D 
 
X 
Y 
Ly=6m 
L
x
=
2
,4
m
 
ʎ = Ly/Lx > 2 
Condição 
ʎ = Ly/Lx = 6/2,4 = 2,5 > 2 → 1D 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Laje Armada em Uma Direção – 1D 
 
X - Principal 
Y - Secundária 
Ly=6m 
L
x
=
2
,4
m
 
Distribuição 
R
e
s
is
te
n
te
 
Armadura 
Secundária 
(Distribuição) 
Armadura 
Principal 
(Resistente) 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Laje Armada em Duas Direções – 2D 
(Em Cruz) 
X 
Y 
Ly=6m 
L
x
=
3
m
 
ʎ = Ly/Lx ≤ 2 
Condição 
ʎ = Ly/Lx = 6/3 = 2 ≤ 2 → 2D 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Laje Armada em Duas Direções – 2D 
X - Principal 
Y - Principal 
Ly=6m 
L
x
=
3
m
 
Resistente 
R
e
s
is
te
n
te
 
Armadura 
Principal 
(Resistente) 
Armadura 
Principal 
(Resistente) 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Classificação 
Quanto à Vinculação das Bordas 
 
 
 
Engastadas 
Apoiadas 
Livres 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Possibilidades de Vinculações 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Vinculações a serem consideradas ENGENHARIA CIVIL 
 Borda comum a duas 
Lajes será considera 
Engastada. 
 
 Borda não comum a 
duas Lajes será 
considerada Apoiada. 
Vinculações a serem consideradas ENGENHARIA CIVIL 
L1 
L2 
L3 
Formas e Armaduras 
Modelo Estrutural 
Estimativa da Altura da Laje – h 
(Espessura) 
Cnom 
ØL 
h = d + ØL/2 + Cnom 
ENGENHARIA 
CIVIL 
h - Altura (Espessura) [cm]; d - Altura útil [cm] 
ØL - Diâmetro da armadura (Adota-se ØL = 1,0cm) [cm] 
Cnom - Cobrimento Nominal [cm] (Tabelado) 
Altura Útil - d 
d = [2,5 – (0,1N)] x L 
 
 
d - Altura útil [cm]; 
N – Número de bordas engastadas da laje; 
L – Menor valor entre: (Lx) e (0,7Ly) [m]; 
Lx – Menor Vão Teórico; 
Ly – Maior Vão Teórico. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Classe de Agressividade do Ambiente - CAA 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Cobrimento Nominal - CNOM 
ENGENHARIA 
CIVIL 
CNOM = f(CAA) 
Espessura Mínima para Laje ENGENHARIA CIVIL 
 
Exemplo 4: Estimar a altura da laje. 
324,8cm 
4
8
4
,8
c
m
 
Y 
X 
L 
h=? 
Zona Urbana; 
Bordas apoiadas;ØL = 1,0cm 
 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 4: Resolução 
324,8cm 
4
8
4
,8
c
m
 
Y 
X 
L 
h=? 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 4: Resolução 
324,8cm 
4
8
4
,8
c
m
 
Y 
X 
L 
h=? 
d = [2,5 – (0,1N)] x L 
 
d - Altura útil [cm]; 
N – Número de bordas engastadas da laje; 
L – Menor valor entre: (Lx) e (0,7Ly) [m]; 
Lx – Menor Vão efetivo; Ly – Maior Vão efetivo. 
 
N=0; 
Lx=324,8cm 
0,7Ly = 0,7X484,8 = 339,36cm 
L = 3,248m 
d=[2,5-(0,1x0)]x3,248 = 8,12cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 4: Resolução 
324,8cm 
4
8
4
,8
c
m
 
Y 
X 
L 
h=? 
h = d + ØL/2 + Cnom 
d = 8,12cm 
ØL = 1,0cm 
Cnom = 2,5cm 
 
h = 8,12 + (1/2) + 2,5 
 
h = 11,12 cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 5: Classificar quanto a direção de 
armação e estimar a altura da laje. 
4,2m 
5
,4
m
 
Y 
X 
L 
h=? 
Laja para piso 
ØL = 1,0cm 
CNOM = 2,0cm 
 
 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 5: Resolução 
4,2m 
5
,4
m
 
Y 
X 
L 
h=? 
ØL = 1,0cm 
CNOM = 2,0cm 
d = [2,5 – (0,1N)] x L 
N=2; Lx = 4,2m 
0,7Ly = 0,7x5,4=3,78m 
L=3,78m 
d = [2,5-(0,1x2)]x3,78 
d = 8,69cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 5: Resolução 
4,2m 
5
,4
m
 
Y 
X 
L 
h=? 
h = d + ØL/2 + Cnom 
d = 8,69cm 
ØL/2 = 1,0cm 
Cnom = 2,0cm 
 
h = 8,69 + (1/2) + 2,0 
 
h = 11,19 cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 5: Resolução 
4,2m 
5
,4
m
 
Y 
X 
L 
h=11,19cm 
Lx = 4,2m 
Ly = 5,4m 
 
λ = 5,4/4,2 = 1,3 < 2 
 
Duas Direções – 2D 
ENGENHARIA 
CIVIL 
c 
Exercício 1: 
Classifique quanto à 
direção de armação 
e Estime a altura 
das lajes. 
Considere: 
Lajes p/ piso; 
Zona urbana; 
ØL = 10mm; 
Bordas Internas 
Engastadas e 
Externas Apoiadas. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Composição do Carregamento 
 Cargas Permanentes 
 Cargas Variáveis 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Carregamento Permanente - Q 
Peso Próprio 
 
 Estrutura (Laje) 
 
 Revestimentos 
 
Pisos 
 Vedações (Paredes/Divisórias) 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Carregamento Variável - G 
Cargas Acidentais 
 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Peso Próprio da Estrutura – Laje (Q1) 
 
Q1 = 25 x h 
 
 
Q1 – Peso Próprio da Laje [KN/m²] 
25 – Peso específico do CA [KN/m³] 
h – Altura (Espessura) da Laje [m] 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Peso do Contrapiso (Q2) 
 
Q2 = 21 x ec 
 
 
Q2 – Peso do Contrapiso [KN/m²] 
21 – Peso específico do Contrapiso [KN/m³] 
ec –Espessura do Contrapiso [m] 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Peso do Revestimento do Teto (Q3) 
 
Q3 = 19 x er 
 
 
Q3 – Peso do Rev. do Teto [KN/m²] 
19 – Peso específico do Rev. [KN/m³] 
er –Espessura do Rev. [m] 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Peso do Piso (Q4) 
 
Q4 = K 
 
 
Q4 – Peso do Piso [KN/m²] 
(K - Especificado pelo tipo de Material [KN/m²]) 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Peso da Parede Revestida (Q5.) 
 
Q5 = 32 x (hpar. x Epar. x Lpar) / (Lx x Ly) 
 
 
Q5 – Peso da Parede Revestida [KN/m²] 
32 – Peso Específico da Par. Rev. [KN/m³] 
hpar. – Altura da Parede [m] 
Epar. – Espessura da Parede [m] 
Lpar – Perímetro da Parede [m] 
Lx – Vão Teórico na Direção “x” [m] 
Ly - Vão Teórico na Direção “y” [m] 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Composição do Carregamento 
 
 
P = (∑Q) + G 
 
P = (Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5) + G1 
 
P [KN/m²] 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 6: Calcular a carga sobre a laje. 
Lx = 4,2m 
L
y
 =
 5
,8
m
 
L1 
h=? 
Edifício residencial 
Laje para piso de dormitório; 
Zona Urbana; 
Bordas apoiadas; 
ØL = 1,0cm; 
Parede: h=2,80m; e=0,15m; L=3,0m; 
Contrapiso: e=3cm; 
Revestimento do teto: e=2cm. 
Carga do Piso = 0,85 KN/m² 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 6: Resolução 
Lx = 4,2m 
L
y
 =
 5
,8
m
 
L1 
h=13,15cm 
d = [2,5 – (0,1N)] x L 
Lx = 4,2m 
0,7Ly = (0,7x5,8) = 4,06m 
L=4,06m 
d = [2,5 – (0,1x0)] x 4,06 
d = 10,15cm 
h = d + ØL/2 + Cnom 
h = 10,15 + (1/2) + 2,5 
h = 13,15cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 6: Resolução 
Lx = 4,2m 
L
y
 =
 5
,8
m
 
L1 
h=13,15cm 
Q1 = 25 x h 
Q1 = 25 x 0,1315 
Q1 = 3,29 KN/m² 
 
Q2 = 21 x ec 
Q2 = 21 x 0,03 
Q2 = 0,63 KN/m² 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 5: Resolução 
Lx = 4,2m 
L
y
 =
 5
,8
m
 
L1 
h=13,15cm 
Q3 = 19 x er 
Q3 = 19 x 0,02 
Q3 = 0,38 KN/m² 
 
Q4 = 0,85 KN/m² 
 
Q5 = 32x(hpar.xepar.xLpar)/(LxxLy) 
Q5 = 32x(2,8x0,15x3,0)/(4,2x5,8) 
Q5 = 1,65 KN/m² 
 
G1 = 1,5 KN/m² 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 6: Resolução 
 
Q1 = 3,29 KN/m² 
Q2 = 0,63 KN/m² 
Q3 = 0,38 KN/m² 
Q4 = 0,85 KN/m² 
Q5 = 1,65 KN/m² 
G1 = 1,50 KN/m² 
 
P = 8,3 KN/m² 
Lx = 4,2m 
L
y
 =
 5
,8
m
 
L1 
h=13,15cm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 7: Calcular a carga sobre a laje. 
Edifício residencial 
Laje para piso de dormitório; 
Zona Urbana; 
Todas as Bordas engastadas; 
ØL = 1cm; 
Parede: h=280cm; 
e=14cm; L=240cm; 
Contrapiso: e=3cm; 
Revestimento do teto: e=2cm; 
Piso: 0,85KN/m² 
V1 (20x50) 
V2 (20x50) 
V
3
 (
1
5
x
4
0
) 
V
4
 (
1
5
x
4
0
) 
600 
4
8
0
 
L1 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Dimensões em [cm] 
Exemplo 7: Resolução. 
Cálculo dos Vãos Teóricos 
Lx = 480 + (20/2) + (20/2) 
Lx = 500cm 
 
Ly = 600 + (15/2) + (15/2) 
Ly = 615cm 
 
V1 (20x50) 
V2 (20x50) 
V
3
 (
1
5
x
4
0
) 
V
4
 (
1
5
x
4
0
) 
600 
4
8
0
 
L1 
ENGENHARIA 
CIVIL 
d = [2,5 – (0,1N)] x L 
 
d - Altura útil [cm]; 
N – Número de bordas engastadas; 
L – Menor valor entre: (Lx) e (0,7Ly) [m]. 
 
N=4; 
Lx=500cm 
0,7Ly = 0,7X615 = 430,5cm 
L = 4,305m 
d=[2,5-(0,1x4)]x4,305 = 9,04cm 
Exemplo 7: Resolução 
Cálculo da altura útil “d” 
x 
y 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Ly = 615 
L
x
 =
 5
0
0
 
L1 
Exemplo 7: Resolução 
Determinação do Cobrimento Nominal “CNOM” 
Zona Urbana 
Agressividade 
Moderada 
Classe II 
Para Laje 
 
CNOM = 25mm 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Exemplo 7: Resolução 
Cálculo da altura (espessura) “h” 
h = d + ØL/2 + Cnom 
d = 9,04cm 
ØL = 1,0cm 
Cnom = 2,5cm 
h = 9,04 + (1/2) + 2,5 
h = 12,04 cm > 8,0 cm OK! 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Ly = 615 
L
x
 =
 5
0
0
 
L1 
h = 12,04cm 
 
Exemplo 7: Resolução 
Cálculo do Carregamento “P” 
Peso Próprio da Laje 
Q1 = 25 x h h [m] 
Q1 = 25 x 0,1204 
Q1 = 3,01 KN/m² 
 
Contrapiso 
Q2 = 21 x ec ec [m] 
Q2 = 21 x 0,03 
Q2 = 0,63 KN/m² 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Ly = 615 
L
x
 =
 5
0
0
 
L1 
h = 12,04cm 
 
Exemplo 7: Resolução 
Cálculo do Carregamento “P” 
Revestimento do teto 
Q3 = 19 x er er [m] 
Q3 = 19 x 0,02 
Q3 = 0,38 KN/m² 
 
Piso 
Q4 = 0,85 KN/m² 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Ly = 615 
L
x
 =
 5
0
0
 
L1 
h = 12,04cm 
 
Exemplo 7: Resolução 
Cálculo do Carregamento “P” 
Parede Revestida 
Q5 = 32x(hpar.xepar.xLpar)/(Lx x Ly) 
hpar. = 2,8m; epar. = 0,14m; Lpar. = 2,4m 
Lx = 5,0 m; Ly = 6,15m 
Q5 = 32x(2,8x0,14x2,4)/(5,0x6,15) 
Q5 = 0,98 KN/m² 
 
ENGENHARIA 
CIVIL 
 
Exemplo 7: Resolução 
Cálculo do Carregamento “P” 
Carga Acidental 
 
 
 
 
 
 
G1 = 1,5 KN/m² 
 
ENGENHARIA 
CIVILExemplo 7: Resolução 
Cálculo do Carregamento “P” 
 
Q1 = 3,01 KN/m² 
Q2 = 0,63 KN/m² 
Q3 = 0,38 KN/m² 
Q4 = 0,85 KN/m² 
Q5 = 0,98 KN/m² 
G1 = 1,50 KN/m² 
 
P = 7,35 KN/m² 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Ly = 615 
L
x
 =
 5
0
0
 L1 
h = 12,04cm 
P = 7,35KN 
Exercício 2: Calcule o Carregamento para L1: 
Edifício Residencial 
Zona rural; 
Piso para Sala; 
Bordas Internas 
Engastadas e Externas 
Apoiadas; 
ØL = 1cm; 
Parede: h=460cm; 
e=15cm; L=370cm; 
Contrapiso: e=3cm; 
Revestimento 
do teto: e=2cm; 
Piso: 0,85KN/m² 
c 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Exercício 3: Calcule o Carregamento para L2: 
Edifício Residencial 
Zona rural; 
Piso para Dormitório; 
Bordas Internas 
Engastadas e Externas 
Apoiadas; 
ØL = 1cm; 
Contrapiso: e=3cm; 
Revestimento 
do teto: e=2cm; 
Piso: 0,95KN/m² 
c 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Exercício 4: Calcule o 
Carregamento para L3: 
Edifício Residencial 
Zona rural; 
Piso para 
Área de Serviço; 
Bordas Internas 
Engastadas e Externas 
Apoiadas; 
ØL = 1cm; 
Contrapiso: e=2,5cm; 
Revestimento 
do teto: e=3cm; 
Piso: 0,95KN/m² 
c 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Momentos Fletores 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Lajes Armadas em Uma Direção 
Momentos calculados pela Teoria das Vigas 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Ly 
L
x
 
L
x
 
P
 
x 
y 
λ = Ly/Lx > 2 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Lajes Armadas em Uma Direção 
Momentos calculados pela Teoria das Vigas 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Lajes Armadas em Uma Direção 
Momentos calculados pela Teoria das Vigas 
P 
M = 0,5PL² 
L 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Lajes Armadas em Duas Direções 
Momentos calculados pela Teoria das Placas 
Equação Geral das Placas 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Lajes Armadas em Duas Direções 
Momentos calculados pela Teoria das Placas 
Devido a complexidade de 
resolução da Equação 
Geral das Placas, os 
Momento são calculados 
com auxilio de Tabelas 
preestabelecidas. 
Aspecto da Deformação de uma Laje sob ação das 
Tensões de Tração e Compressão (Momento Fletores). 
Grelha Equivalente 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Lajes Armadas em Duas Direções 
Programa para Cálculo por Grelha Equivalente 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Lajes Armadas em Duas Direções 
Momentos calculados pela Teoria das Placas 
As Tabelas utilizadas serão 
as do Autor Richard Bares. 
 
Livro: Tablas para el cálculo 
de placas y vigas pared. 
Editora: Gustavo Gili SA. 
Barcelona – 1972. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Lajes Armadas em Duas Direções 
Momentos calculados pela Teoria das Placas 
As Tabelas também são utilizadas 
por diversos autores como no Livro: 
Cálculo e Detalhamento de 
Estruturas Usuais de Concreto 
Armado: Segundo a NBR 6118/14 
(4.ª Edição). 
Roberto Chust Carvalho 
Jasson R. de Figueiredo 
Editora: EduFScar. 
São Carlos - 2015. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Lajes Armadas em Duas Direções 
Momentos calculados pela Teoria das Placas 
M = (μ.P.Lx²)/100 
M – Momento Fletor [(KN.m)/m] 
μ – Coeficiente Tabelado em Função de λ = Ly/Lx 
μx e μy – Para Momentos Positivos 
μ’x e μ’y – Para Momentos Negativos 
P – Carga sobre a Laje [KN/m²] 
Lx – Menor vão Teórico [m] 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Lajes Armadas em Duas Direções 
Momentos calculados pela Teoria das Placas 
Tabelas de Bares 
Aspecto das Tabelas de Bares para o Cálculo de Momentos Fletores em Lajes 
Armadas em Duas Direções. Dados de Entrada: Vinculações e λ. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Lajes Armadas em Duas Direções 
Momentos calculados pela Teoria das Placas 
Tabelas de Bares - Vinculações 
Exemplo 8: Calcular os Momentos Fletores para as 
Lajes L1 e L2. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
V1a (20x50) 
V2a (20x50) 
V
3
 (
1
5
x
4
0
) 
V
4
 (
1
5
x
4
0
) 
465 
5
0
8
 
L1 
V1b (20x50) 
V2b (20x50) 
V
5
 (
1
5
x
4
0
) 
L2 
225 
Dimensões em [cm] 
Zona Urbana 
Edifício Residencial 
Laje 1 – Dormitório 
Laje 2 – A. Serviços 
ØL = 1cm; 
Contrapiso: 
e=3cm; 
Revestimento 
do teto: 
e=2cm; 
Piso: 0,95KN/m² 
Exemplo 8: Resolução. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
1 – Vão Teórico 
L1: 
Lx1 = 465 + (15/2) + (15/2) = 480 cm 
Ly1 = 508 + (20/2) + (20/2) = 528 cm 
 
L2: 
Lx2 = 225 + (15/2) + (15/2) = 240 cm 
Ly2 = 508 + (20/2) + (20/2) = 528 cm 
 
Exemplo 8: Resolução. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
2 – Vinculações 
L1 L2 L1 L2 
480 240 
5
2
8
 
5
2
8
 
Modelo Estrutural (Vinculações) Forma (Vigas de Apoios) 
V1a (20x50) 
V2a (20x50) 
V
3
 (
1
5
x
4
0
) 
V
4
 (
1
5
x
4
0
) 
V1b (20x50) 
V2b (20x50) 
V
5
 (
1
5
x
4
0
) 
Exemplo 8: Resolução. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
3 – Classificação 
L1 
480 
5
2
8
 
L2 
240 
5
2
8
 
λ1=Ly1/Lx1 
λ1=528/480 
λ1=1,1<2 
2 - Direções 
λ2=Ly2/Lx2 
λ2=528/240 
λ2=2,2>2 
1 - Direção 
Exemplo 8: Resolução. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
4 – Espessura (Altura) 
Lajes para pisos → hmín = 8,0cm 
Zona Urbana → CNOM = 2,5cm 
ØL = 1,0cm 
L1: 
d1 = [2,5 – (0,1xN1)]xL1 
N1 = 1 
L1 ≤ (Lx1=480; 0,7Ly1 = 0,7x528 = 369,6) → L1 = 369,6cm 
d1 = [2,5 – (0,1x1)]3,696 = 8,87cm 
h1 = d1 + ØL/2 + CNOM = 8,87 + (1/2) + 2,5 → h1 = 11,7cm 
h1 = 11,7cm > hmín = 8,0cm (OK!) 
Exemplo 8: Resolução. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
4 – Espessura (Altura) 
Lajes para pisos → hmín = 8,0cm 
Zona Urbana → CNOM = 2,5cm 
ØL = 1,0cm 
L2: 
d2 = [2,5 – (0,1xN2)]xL2 
N2 = 1 
L2 ≤ (Lx2=240; 0,7Ly2 = 0,7x528 = 369,6) → L2 = 240cm 
d2 = [2,5 – (0,1x1)]x2,4 = 5,76cm 
h2 = d2 + ØL/2 + CNOM = 5,76 + (1/2) + 2,5 → h2 = 8,76cm 
h2 = 8,76cm > hmín = 8,0cm (OK!) 
Exemplo 8: Resolução. ENGENHARIA CIVIL 
5 – Carregamento – L1 
Laje para piso de Dormitório → G1 = 1,5 KN/m² 
Espessura do Contra Piso: ec= 3cm 
Espessura do Revestimento do Teto: er= 2cm 
Piso = 0,95KN/m² 
Espessura da Laje: h = 11,7cm 
Q1 = 25h = 25x0,117 = 2,92 KN/m² 
Q2 = 21ec = 21x0,03 = 0,63 KN/m² 
Q3 = 19er = 19x0,02 = 0,38 KN/m² 
Q4 = 0,95 KN/m² 
Q5 = 0,0 
P1 = (Q1+Q2+Q3+Q4+Q5)+G1 
P1 = (2,92+0,63+0,38+0,95+0,0) + 1,5 → P1 = 6,38 KN/m² 
Exemplo 8: Resolução. ENGENHARIA CIVIL 
5 – Carregamento – L2 
Laje para piso de Área de Serviços → G1 = 2 KN/m² 
Espessura do Contra Piso: ec= 3cm 
Espessura do Revestimento do Teto: er= 2cm 
Piso = 0,95KN/m² 
Espessura da Laje: h = 8,76cm 
Q1 = 25h = 25x0,0876 = 2,19 KN/m² 
Q2 = 21ec = 21x0,03 = 0,63 KN/m² 
Q3 = 19er = 19x0,02 = 0,38 KN/m² 
Q4 = 0,95 KN/m² 
Q5 = 0,0 
P2 = (Q1+Q2+Q3+Q4+Q5)+G1 
P2 = (2,19+0,63+0,38+0,95+0,0) + 2 → P2 = 6,15 KN/m² 
Exemplo 8: Resolução. ENGENHARIA CIVIL 
6 – Momento Fletor – L1 
λ1=Ly1/Lx1 
λ1=528/480 
λ1=1,1<2 
2 – Direções 
Teoria das Placas 
Uso de Tabelas 
P1 = 6,38 KN/m² 
L1 
Lx = 480 
L
y
 =
 5
2
8
 
x 
y 
M = (μ.P.Lx²)/100 
Mx1 = (3,99x6,38x4,8²)/100 Mx1 = 5,86 KN.m 
M’x1 = (9,17x6,38x4,8²)/100 M’x1 = 13,48 KN.m 
My1 = (2,76x6,38x4,8²)/100 My1 = 4,06 KN.m 
Exemplo 8: Resolução. ENGENHARIA CIVIL 
6 – Momento Fletor – L2 
λ2=Ly2/Lx2 
λ2=528/240 
λ2=2,2>2 
1 – Direção 
Teoria das Vigas 
P2 = 6,15 KN/m² 
L2 
Lx = 240 
L
y
 =
 5
2
8
 
x 
y 
L2 
L
y
 =
 5
2
8
 
Mx2 = (6,15x2,4²)/14,22 Mx2 = 2,49 KN.m 
M’x2 = (6,15x2,4²)/8 M’x2 = 4,43 KN.m 
6
,3
8
K
N
/m
² 
6,38KN/m² 6,15KN/m² 
4,43KN.m 
y 
x 
13,48KN.m 
5,86KN.m 
2,49KN.m 
4
,0
6
K
N
.m
 
L2 
d2 = 5,76cmh2 = 8,76cm 
P2 = 6,15KN/m² 
ʎ2=2,2 
1D 
L1 
d1 = 8,87cm 
h1 = 11,7cm 
P1 = 6,38KN/m² 
ʎ1=1,1 
2D 
ENGENHARIA 
CIVIL Exemplo 8: Resolução. 6 – Momento Fletor 
480 
5
2
8
 
240 
Compatibilização dos 
Momentos Fletores 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Compatibilização dos Momentos Fletores 
Ao se considerar as lajes de um pavimento 
isoladas umas das outras para o cálculo dos 
Momentos, os Valores Negativos calculados para 
uma borda comum a duas lajes contíguas 
possuirão valores geralmente diferentes 
contrariando o que realmente acontece, 
necessitam com isso de serem compatibilizados o 
que acarreta à verificação dos Momentos Fletores 
Positivos e suas correções caso necessário. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Compatibilização dos Momentos Fletores 
ENGENHARIA 
CIVIL 
P1 P2 
Mx1 
M’x1 
Mx2 
M’x2 
P1 P2 
M’ 
M1 M2 
Compatibilização dos Momentos Fletores 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Compatibilização dos Momentos Fletores 
Negativos 
M’ ≥ [0,8Ma; (M’x1+M’x2)/2] 
0,8Ma → 80% do Maior Valor entre M’x1 e M’x2 
(M’x1+M’2)/2 → Média dos Valores 
Positivos 
M1 ≥ {[Mx1 + (M’x1-M’)/2]; Mx1} 
M2 ≥ {[Mx2 + (M’x2-M’)/2]; Mx2} 
ENGENHARIA 
CIVIL 
6
,3
8
K
N
/m
² 
6,38KN/m² 6,15KN/m² 
4,43KN.m 
y 
x 
13,48KN.m 
5,86KN.m 
2,49KN.m 
4
,0
6
K
N
.m
 
ENGENHARIA 
CIVIL 
480 
5
2
8
 
240 
Exemplo 8: Resolução 
7 – Compatibilização dos Momentos Fletores (Negativos) 
L2 
d2 = 5,76cm 
h2 = 8,76cm 
P2 = 6,15KN/m² 
ʎ2=2,2 
1D 
L1 
d1 = 8,87cm 
h1 = 11,7cm 
P1 = 6,38KN/m² 
ʎ1=1,1 
2D 
M’ ≥ [0,8Ma; (M’x1+M’x2)/2] 
0,8Ma → 80% do Maior Valor 
(M’x1+M’2)/2 → Média dos Valores 
M’x1 = 13,48KN.m 
M’x2 = 4,43KN.m 
0,8Ma = 0,8x13,48 = 10,78KN.m 
(M’x1+M’x2)/2 = (13,48+4,43)/2 = 8,95KN.m 
M’ = 10,78 KN.m 
Exemplo 8: Resolução 
7 – Compatibilização dos Momentos Fletores (Negativos) 
ENGENHARIA 
CIVIL 
M1 ≥ {[Mx1 + (M’x1-M’)/2]; Mx1} 
Mx1 = 5,86KN.m 
M’x1 = 13,48KN.m 
M’= 10,78KN.m 
Mx1+(M’x1-M’)/2=5,86+(13,48-10,78)/2 = 7,21KN.m 
M1 = 7,21 KN.m 
Exemplo 8: Resolução 
7 – Compatibilização dos Momentos Fletores (Positivos) 
ENGENHARIA 
CIVIL 
M2 ≥ {[Mx2 + (M’x2-M’)/2]; Mx2} 
Mx2 = 2,49KN.m 
M’x2 = 4,43KN.m 
M’= 10,78KN.m 
Mx2+(M’x2-M’)/2=2,49+(4,43-10,78)/2 = -0,68KN.m 
M2 = 2,49 KN.m 
Exemplo 8: Resolução 
7 – Compatibilização dos Momentos Fletores (Positivos) 
ENGENHARIA 
CIVIL 
P1 P2 
M’ = 10,78KN.m 
M1 = 7,21 KN.m M2 = 2,49 KN.m 
ENGENHARIA 
CIVIL Exemplo 8: Resolução 
7 – Compatibilização dos Momentos Fletores 
6
,3
8
K
N
/m
² 
6,38KN/m² 6,15KN/m² 
y 
x 
10,78KN.m 
7,21KN.m 
2,49KN.m 
4
,0
6
K
N
.m
 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Exemplo 8: Resolução. 
7 – Compatibilização dos Momentos Fletores 
480 
5
2
8
 
240 
L2 
d2 = 5,76cm 
h2 = 8,76cm 
P2 = 6,15KN/m² 
ʎ2=2,2 
1D 
L1 
d1 = 8,87cm 
h1 = 11,7cm 
P1 = 6,38KN/m² 
ʎ1=1,1 
2D 
ENGENHARIA 
CIVIL 
ENGENHARIA 
CIVIL 
ENGENHARIA 
CIVIL 
ENGENHARIA 
CIVIL 
A respeito dos conceitos e recomendações sobre lajes 
maciças de concreto armado, assinale a afirmativa correta: 
a) Nas lajes armadas em uma direção, a direção principal é 
sempre a direção do maior vão. 
b) O cobrimento nominal não interfere na estimativa da altura 
da laje. 
c) Não é o mais usual, mas as lajes podem ser apoiadas sobre 
pilares, sem a utilização de vigas. 
d) As lajes maciças de concreto armado não podem ser 
projetas com as bordas livres. 
e) O vão efetivo, em uma determinada direção, é a distância 
entre os eixos dos apoios de uma laje. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
Com relação aos esforços atuantes em uma laje de 
concreto armado, assinale a afirmativa correta: 
a) Em lajes armadas em duas direções os momentos fletores 
são calculados pela teoria das vigas. 
b) Para uma laje armada em uma direção com um engaste e 
apoio simples na direção principal o momento máximo positivo 
é obtido pela fórmula M=PLx²/8. 
c) Em lajes armadas em duas direções, os esforços devem ser 
calculados para as duas direções. 
d) Os esforços de momento fletores são inversamente 
proporcionais ao carregamento atuante na laje. 
e) Em lajes contínuas, calculadas como lajes individuais, não se 
faz necessário à compatibilização dos esforços negativos. 
ENGENHARIA 
CIVIL 
5. Considerando a teoria ministrada e as recomendações 
da NBR 6118-2014, determine a altura da laje, a ser adotada 
para efeito de pré-dimensionamento, para os seguintes 
dados: Zona Urbana; Vãos Livres = (4,0m e 3,5m); Duas 
bordas engastadas e as demais bordas simplesmente 
apoiadas; ØL=1,0cm; Todas as bordas vinculadas a vigas 
de 0,20m de largura; Laje destinada a receber veículos com 
peso de até 40KN. 
ENGENHARIA 
CIVIL 5. Resolução 
Zona Urbana → CNOM = 2,5cm 
Destinada a receber veículos 
Com peso de até 40KN 
hmín = 12cm 
ØL = 1,0cm 
Lx = 3,5 + (0,2/2) + (0,2/2) = 3,7m 
Ly = 4,0 + (0,2/2) + (0,2/2) = 4,2m 
d = [2,5 – (0,1N)]L 
N = 2 
L = 2,94m 
d = [2,5 – (0,1x2)]x2,94 = 6,76cm 
h = d + ØL/2 + CNOM = 6,76 + (1/2) + 2,5 
h = 9,76cm < hmín = 12cm → h = 12cm (Altura a ser adota) 
3,5m 
4
,0
m
 
0,2m 0,2m 
0
,2
m
 
0
,2
c
m
 
y 
x 
ENGENHARIA 
CIVIL 
6) Calcule os momentos 
fletores, positivos e 
negativo, atuantes em uma 
laje com uma de suas 
bordas engastadas e as 
demais apoiadas conforme a 
figura 1, que mostra o 
modelo estrutural adotado, 
considerando a carga sobre 
a mesma P = 9,5 KN/m². 
ENGENHARIA 
CIVIL 6. Resolução 
P = 9,5KN/m² 
λ = Ly/Lx = 4,65/3,0 = 1,55 < 2 → 2D 
Uso de Tabelas 
para o cálculo dos Momentos 
M = μPLx²/100 [KN.m] 
Mx = 5,34x9,5x3²/100 = 4,57 KN.m 
M’x = 11,23x9,5x3³/100 = 9,60KN.m 
My = 2,04x9,5x3²/100 = 1,74 KN.m 
 
Mx = 4,57 KN.m 
M’x = 9,60KN.m 
My = 1,74 KN.m 
 
y 
x 
ENGENHARIA 
CIVIL 
7) Determine os momentos 
fletores atuantes na laje da 
figura 2. Considere as seguintes 
informações: Zona urbana; 
Altura da Laje h = 10,0cm; 
ØL=1,0cm. 
ENGENHARIA 
CIVIL 7) Resolução 
Zona urbana → CNOM = 2,5cm 
h = 10,0cm 
ØL=1,0cm 
Concreto C25 
Aço CA50 
Lx = 4m 
Ly = 6m 
λ = Ly/Lx = 6/4 = 1,5 < 2 → 2D 
Uso de Tabelas 
para o cálculo dos Momentos 
P = Q1 = 25h = 25x0,1 = 2,5 KN/m² 
 
ENGENHARIA 
CIVIL 7) Resolução 
Zona urbana → CNOM = 2,5cm 
h = 10,0cm 
ØL=1,0cm 
Concreto C25 
Aço CA50 
P = 2,5 KN/m² 
Lx = 4,0m 
M = μPLx²/100 [KN.m] 
Mx = 5,24x2,5x4,0²/100 = 2,1 KN.m 
M’x = 11,09x2,5x4,0²/100 = 4,44 KN.m 
My = 2,12x2,5x4,0²/100 = 0,85 KN.m 
ENGENHARIA 
CIVIL 
8) Determine os esforços atuantes nas lajes do modelo 
estrutural mostrado na figura 3. Considere as 
seguintes informações: Zona Rural; ØL=1,0cm; O 
efeito da continuidade entre as lajes. 
ENGENHARIA 
CIVIL 8) Resolução 
λ1 = 6/4 = 1,5 < 2 → 2D 
λ2 = 4/2,5 = 1,6 < 2 → 2D 
M = μPLx²/100 [KN.m] 
M1x = 3,74x8,5x4²/100 = 5,09KN.m 
M1’x = 8,00x8,5x4²/100 = 10,88KN.m 
M1y = 1,35x8,5x4²/100 = 1,84KN.m 
M1’y = 5,72x8,5x4²/100 = 7,78KN.m 
x 
y 
ENGENHARIA 
CIVIL 8) Resolução 
λ1 = 6/4 = 1,5 < 2 → 2D 
λ2 = 4/2,5 = 1,6 < 2 → 2D 
M = μPLx²/100 [KN.m] 
M2x = 3,86x7,5x2,5²/100 = 1,81KN.m 
M2’x = 8,14x7,5x2,5²/100 = 3,82KN.m 
M2y = 1,23x7,5x2,5²/100 = 0,58KN.m 
M2’y = 5,66x7,5x2,5²/100 = 2,65KN.m 
y 
x 
ENGENHARIA 
CIVIL 8) Resolução 
Compatibilizaçãodos Negativos na borda comum a L1 e L2 
 
x 
y 
y 
x 
M1’y =7,78KN.m M2’x = 3,82KN.m 
M1y =1,84KN.m M2x = 1,81KN.m 
ENGENHARIA 
CIVIL 8) Resolução 
Compatibilização dos Negativos na borda comum a L1 e L2 
M1’y = 7,78KN.m 
M2’x = 3,82KN.m 
0,8Ma = 0,8x7,78 = 6,22KN.m 
(M1’x+M2’y)/2 = (7,78+3,82)/2 = 5,8KN.m 
M’ = 6,22KN.m 
Correção dos Momentos Positivos 
M1y = 1,84KN.m 
M1y + [(M1’y-M’)/2] = 1,84+[(7,78-6,22)/2] = 2,62KN.m 
M1 = 2,62KN.m 
M2x = 1,81KN.m 
M2x + [(M2’x-M’)/2] = 1,81+[(3,82-6,22)/2] = 0,61KN.m 
M2 = 1,81KN.m 
ENGENHARIA 
CIVIL 8) Resolução 
Momentos Compatibilizados 
M’ = 6,22KN.m 
M1 = 2,62KN.m 
M2 = 1,81KN.m 
M1x = 5,09KN.m 
M1’x = 10,88KN.m 
M2y = 0,58KN.m 
M2’y = 2,65KN.m