Aula2 cinematica vetorial, movimento circular

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Física Aplicada à Perícia de Acidentes 
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6.5.3 Cálculo da altura máxima 49
6.5.4 Cálculo do alcance horizontal 50
6.5.4.1 Alcance máximo 52
7. Exercícios Propostos 55
8. Exercícios Comentados 72
9. Gabarito 111
10. Fórmulas mais utilizadas na aula 112
1. Introdução
Nessa primeira parte da aula 2, vamos começar a entender a cinemática
vetorial, naquilo que ela será de fundamental importância para o nosso
concurso, ou seja, o movimento relativo, assunto relevante para qualquer
concurso.
A cinemática vetorial e o movimento relativo são importantes, pois através
deles podemos estudar o movimento de um corpo em relação a outro e não
mais em relação à Terra.
Por exemplo, se um veículo está trafegando em uma rodovia e em certo
instante uma viatura da PRF põe-se em perseguição a esse veículo suspeito
é possível medir a velocidade do veículo perseguido sem estar dentro dele,
observando o seu velocímetro?
No final dessa aula você verá que isso é possível e saberá como fazê-lo.
2. Cinemática Vetorial
A cinemática vetorial é, na verdade, o estudo do movimento dos corpos do
ponto de vista vetorial, e para isso devemos conhecer o bem os vetores,
assunto que vou colocar em uma aula extra nessa mesma aula 02. Abra
um parênteses e abra o arquivo da aula extra, onde eu mostro tudo de
vetores.
2.1 Grandezas Cinemáticas Vetoriais
As grandezas da cinemática escalar que são a posição e também a
variação da posição, o que você conheceu como S; a velocidade
escalar e a aceleração escalar ganham nova cara aqui no estudo da
cinemática vetorial, uma vez que as grandezas agora terão direção e
sentido, não importando apenas o módulo da grandeza.
Vamos iniciar os estudos conhecendo a primeira grandeza que é o vetor
deslocamento:
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Atente para esse tipo de pegadinha! O item acima estaria incorreto, pois
em trajetória retilínea as duas grandezas tem a mesma magnitude.
A unidade do vetor deslocamento, no SI, é o metro (m), pois se trata
de uma grandeza cuja dimensão é o comprimento.
Bom, as principais observações acerca do deslocamento vetorial e sua
distinção em relação ao deslocamento escalar foram feitas acima, agora
você tem de exercitar. A propósito vamos fazer um exemplo.
Exemplo 1: Um veículo, ao deslocar-se dentro da cidade, parte de uma
praça P em busca de uma oficina Q para verificar o funcionamento do motor
e sofre a seguinte sequência de deslocamentos:
I. 800 m para o Norte;
II. 300 m para o Oeste;
III. 400 m para o Sul.
Sabendo que a duração do movimento é de 8 min 20 s, pode-se afirmar
que o módulo do seu deslocamento vetorial da praça P até a oficina Q é de
500m.
Comentário: Item correto!
Observe o desenho esquemático abaixo no qual podemos observar o trajeto
completo do veículo em seu movimento descrito acima:
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Só isso mesmo, o que vai determinar se o movimento é ou não circular é a
trajetória do corpo, e esse conceito de trajetória foi visto na última aula,
na qual foram colocados vários conceitos cinemáticos que dão base para
todo o estudo dos movimentos.
Em trajetória circular, devemos dar às principais grandezas cinemáticas
(deslocamento e velocidade) o enfoque angular, já que na circunferência
não são apenas distâncias que são percorridas, mas também ângulos.
5.2 Espaço angular
O espaço angular é aquele ângulo central percorrido por um corpo quando
em movimento circular. Observe a figura:
Perceba na figura acima alguns conceitos:
x S é a posição linear (na linha da trajetória) do corpo em relação à
origem O do referencial.
x M é a posição angular (ângulo correspondente) em relação à origem
O do referencial.
x C é o centro da circunferência que, por sua vez, é a trajetória do
movimento circular, e R é o respectivo raio.
5.2.1 Relação entre S e
Existe uma relação entre o espaço linear (S) e angular (M), basta perceber
uma proporção que há na circunferência.
Observe a demonstração no quadro a seguir:
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É isso aí Aderbal, estou vendo que você lembra-se bem dos conceitos
iniciais abordados durante a nossa aula 01.
Então, nessa aula vamos encerrar os conceitos relativos à cinemática, ou
seja, a partir da próxima aula, vamos iniciar o estudo da dinâmica, que é o
estudo dos movimentos dos corpos levando em conta as suas causas.
O assunto dessa parte da aula é o movimento vertical, o lançamento
horizontal e o lançamento oblíquo, todos no vácuo.
Nos livros esses assuntos são tratados com nomenclaturas diferentes, mas
os conceitos e as fórmulas envolvidas são as mesmas.
Muita matéria nos espera, portanto, vamos à luta!
Mas antes, vou lançar três perguntinhas básicas para serem respondidas
ao final da aula, acredito que você será capaz de respondê-las prontamente
após a abordagem de todos os conceitos teóricos e da resolução de alguns
exemplos durante a teoria.
Perguntas do dia:
1. No vácuo, quem chega primeiro ao solo, ao ser abandonados de
uma mesma altura, um elefante ou um gato?
2. No vácuo, quem chega primeiro ao solo, um lápis lançado
horizontalmente de uma mesa ou uma borracha que cai
verticalmente da mesma mesa?
3. Para atingirmos um ponto mais longe possível de um ponto de
lançamento de um projétil, qual o ângulo de inclinação que
devemos ter em relação à horizontal para conseguirmos atingir o
nosso objetivo?
O movimento vertical no vácuo é simples de ser entendido, isso porque ele
é, na verdade, um caso particular de movimento retilíneo e uniformemente
variado, vamos constatar esse fato.
Ora, se temos vácuo, a única aceleração presente em qualquer corpo será
a da gravidade, ou seja, g. Assim, todos os corpos estarão sujeitos a
mesma aceleração, que, diga-se de passagem, é constante nas
proximidades da superfície terrestre.
Se todos os corpos estarão sujeitos à aceleração da gravidade, que é
constante, então estamos diante de um movimento retilíneo, afinal de
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contas a trajetória será sempre vertical, o próprio nome já diz, cuja
aceleração é constante, ou seja, será um MRUV.
CONCLUSÃO:
TODO MVV É UM MRUV
Essa conclusão será muito importante para o desenvolvimento matemático
do assunto, pois poderemos fazer uso de todas as equações do MRUV, já
vistas na aula 01.
6.1 Queda Livre
O primeiro tipo de movimento vertical no vácuo que vamos estudar é o
movimento de queda livre, primeiramente precisamos entender qual o
conceito da queda livre para depois partimos para a matemática envolvida.
A queda livre é um movimento vertical no vácuo no qual algumasparticularidades estão presentes:
x Velocidade inicial nula: V0 = 0.
x Altura inicial diferente de zero: H0 z 0.
Assim, podemos afirmar que toda queda livre tem velocidade inicial nula.
As frases que nos permitem identificar uma queda livre são: ³DEDQGRQD-
VH�XP�FRUSR���´, ³ODUJD-VH�XP�REMHWR���´, ³VROWD-se um EORFR���´, etc.
Entendido o conceito e a identificação de uma questão de queda livre,
vamos observar a figura abaixo para que possamos construir o nosso
raciocínio matemático e descobrir algumas importantes fórmulas que serão
relevantes para a resolução das questões.
A primeira observação a ser feita é a seguinte:
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Note algumas particularidades em relação ao movimento de lançamento
vertical para cima:
x O corpo pode ser lançado do solo ou de um ponto a certa altura
inicial.
x A velocidade inicial deve ser não nula: V0 z 0.
x O movimento é retardado na subida e acelerado na descida.
Perceba que a segunda observação é de fundamental importância, pois não
haverá lançamento vertical para cima, caso a velocidade inicial seja nula.
A classificação do movimento como retardado na subida se deve ao fato de
ele ter velocidade e aceleração (gravidade) com sentidos opostos e na
descida ele é acelerado, pois a velocidade inverte seu sentido, sendo,
portanto, acelerado.
O corpo pode ser lançado do solo ou então de um ponto a certa altura do
solo.
6.2.1 Cálculo do tempo de subida:
O tempo de subida é o tempo necessário para que o corpo chegue ao topo
de sua trajetória, momento no qual sua velocidade vertical é nula.
Assim, como queremos uma fórmula matemática que relacione o tempo de
subida com a velocidade inicial e a aceleração da gravidade, podemos fazer
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Ambas as bolas de tênis chegam ao solo no mesmo instante de tempo,
caso entrem em movimento no mesmo momento.
6.4.2 Cálculo do alcance horizontal
A primeira coisa que deve ficar clara é: ³R�TXH�p�R�DOFDQFH�KRUL]RQWDO"´�
Bom, inicialmente podemos afirmar que se trata de uma distância
horizontal, pois o próprio nome já identifica.
Assim, podemos afirmar que basta calcular a distância horizontal percorrida
pelo corpo durante o intervalo de tempo igual ao tempo de queda.
Observe o alcance horizontal na figura abaixo:
O alcance horizontal está representado pela distância D na figura acima.
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Observe a figura abaixo na qual podemos ver mais uma vez o movimento
de lançamento oblíquo:
Note na figura acima que a velocidade horizontal mantém-se constante e
sempre igual a Vx, enquanto que a velocidade vertical aumenta e reduz o
seu valor de acordo com instante de tempo considerado.
Perceba que a velocidade vertical no ponto de altura máxima é nula, e esse
fato será muito importante nas demonstrações das fórmulas nos itens
seguintes.
O lançamento oblíquo é muito comum na vida prática, podemos percebê-
lo em um jogo de futebol, quando o goleiro bate um tiro de meta, ou em
balística, quando um projétil é lançado contra o inimigo.
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7. Exercícios Propostos
x Cinemática Vetorial
01. (CESGRANRIO ± SEED/SP - PROFESSOR) Trabalhando para uma
companhia de vigilância, Pedro, que mora perto da central conforme
indicado no mapa abaixo, é contatado por meio de intercomunicadores (do
tipo walk & talk, de radiofrequência).
O alcance mínimo do aparelho utilizado deve ser
(A) 300 m
(B) 350 m
(C) 400 m
(D) 500 m
(E) 700 m
02. (CESPE-2012 ± SEDUC-ES) Um navio, localizado inicialmente em um
ponto A desloca-se 100 km para o sul e depois 50 km para leste, chegando
a um ponto C. Com base nessas informações, julgue os itens subsecutivos.
1. A direção do vetor deslocamento entre os pontos A e C forma um ângulo
maior que 120 graus com a direção norte.
2. A distância entre o ponto A e o ponto C é maior que 120 km.
03. (CESPE ± UNB ± PETROBRÁS ± TÉCNICO DE INSPEÇÃO DE
EQUIPAMENTOS ± 2004)
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A figura acima, ilustra um barco atravessando um rio. Considerando que a
velocidade do barco com relação à margem ሬܸԦBM é igual a 2,40 m/s , que a
velocidade da água com relação a margem ሬܸԦAM, ou seja, a velocidade da
correnteza, é igual a 1,2 m/s e que ሬܸԦBA representa a velocidade do barco
com relação à água, julgue os itens subsequentes.
Dado:
130
2
sen q .
1. Para atingir a margem oposta do rio na mesma longitude de partida, o
ângulo T deverá ser igual a 30º.
2. O vetor velocidade VBM pode ser determinado pela soma vetorial
BM BA AMV V V �
3. Se o vetor velocidade BMV apontar no sentido norte, o barco se deslocará
no sentido noroeste devido à direção e ao sentido da correnteza.
04. (CESPE-UNB ± PETROBRÁS ± OPERADOR ± 2001) Próximo aos
polos da Terra, é comum se encontrar grandes blocos de gelo, chamados
icebergs, flutuando na água do mar. Suponha que um iceberg tenha a
forma de um paralelepípedo, como mostrado na figura abaixo, e que sua
densidade seja de 1.000 kg/m3. Julgue o item a seguir.
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1. Supondo que a corrente marítima empurre o iceberg para o norte, com
velocidade de 0,4 km/h, e o vento empurre o mesmo iceberg para o leste,
com a velocidade de 0,3 km/h, então a velocidade resultante terá módulo
igual a 0,6 km/h, com sentido noroeste.
05. (FGV ± PC-RJ ± PERITO FÍSICO) A figura mostra a posição ocupada
por uma partícula que está percorrendo uma trajetória circular de centro
em C e de raio R, no instante em que sua velocidade ݒԦ e sua aceleração Ԧܽ
fazem um ângulo de 30º. Sendo | ݒԦ | = 4,0m/s e | Ԧܽ| =40m/s2, o raio R da
trajetória vale:
(A) 20cm
(B) 40cm
(C) 50cm
(D) 60cm
(E) 80cm
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06. (CESGRANRIO ± CASA DA MOEDA) A viagem até uma plataforma
petrolífera pode ser feita de helicóptero ou de lancha. Para chegar à
plataforma, o helicóptero percorre uma distância de 50 km com velocidade
média de 120 km/h.O trajeto de lancha tem 40 km, mas a velocidade
média dela é de 80 km/h. Se a lancha e o helicóptero partem
simultaneamente, qual é aproximadamente o intervalo de tempo, em
minutos, entre a chegada do helicóptero e da lancha à plataforma?
(A) 5,0
(B) 10
(C) 15
(D) 25
(E) 30
07. (Polícia Civil ± PE - IPAD) Um barco navegando em linha reta contra
a correnteza de um rio percorreu uma distância de 10 km em 20 min. Na
viagem de volta o tempo gasto foi de apenas 15 min. Sabendo que a
velocidade própria do barco (em relação ao rio) foi constante e a mesma
nos dois sentidos, determine a velocidade da correnteza.
A) 3 km/h
B) 4 km/h
C) 5 km/h
D) 6 km/h
E) 7 km/h
08. (TÉCNICO EM LABORATÓRIO ± FÍSICA ± UNIR ± 2009) A figura
a seguir ilustra uma escada rolante com velocidade ascendente VE = 1
m/s e inclinação 60º com a horizontal. Um estudante A desce por esta
escada com o objetivo de encontrar um outro estudante B que está no solo
e caminha em direção ao pé da escada com velocidade VB = 1 m/s.
Supondo que os dois partem da mesma posição horizontal, calcule qual
deve ser a velocidade VA do estudante A, em relação ao solo e ao longo da
escada, para que os estudantes se encontrem ao pé da escada, no mesmo
instante.
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A) 5 m/s
B) 1 m/s
C) 3 m/s
D) 4 m/s
E) 2 m/s
09. (NCE ±RJ ± UFRJ ± FÍSICO) Um projétil é disparado obliquamente
do solo e, sendo a resistência do ar desprezível, descreve a trajetória
representada na figura, na qual A é a posição do projétil em um instante
de sua subida e B, a sua posição em um instante da descida.
O segmento orientado que pode representar o vetor variação de velocidade
entre o instante em que passa por A e o instante em que passa por B é:
O segmento orientado que pode representar o vetor variação de velocidade
entre o instante em que passa por A e o instante em que passa por B é:
A) B) C) D) E)
10. (CESGRANRIO ± TRANSPETRO ± TÉCNICO EM OPERAÇÃO
JUNIOR) Um nadador atravessa um rio de 100 m de largura. A velocidade
do nadador em relação ao rio possui direção perpendicular às margens e
módulo 0,5 m/s. A velocidade da correnteza do rio em relação às margens,
é paralela às margens e possui módulo igual a 0,8 m/s. A figura abaixo é
um esquema da situação que mostra a trajetória AB do nadador vista por
um observador parado em uma das margens. As margens 1 e 2 são
paralelas. Se a linha AC é perpendicular às margens, qual é
aproximadamente o valor em metros da distância entre os pontos C e B?
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(A) 50
(B) 62,5
(C) 100
(D) 160
(E) 250
x Movimentos Circulares
11. (Polícia Civil ±PE - IPAD) Os ponteiros dos minutos e das horas de
um relógio têm comprimentos iguais a Lmin = 2,0 cm e Lhora = 1,5 cm,
respectivamente. Determine a razão Vmin / Vhora entre as velocidades das
pontas destes ponteiros.
A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20
12. (ELETRONORTE ± NCE) Uma partícula parte do repouso do ponto 1,
no instante t0= 0, e passa a se mover em movimento uniformemente
acelerado ao longo da trajetória circular de centro em C representada na
figura, no sentido anti horário. Os pontos 1, 2, 3, 4 e 5 são os vértices de
um pentágono regular inscrito no círculo-trajetória.
No instante t, a partícula passa pela primeira vez pelo ponto 2. Sendo
assim, no instante 3t ela se encontra no ponto:
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(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
13. (Prefeitura de São Paulo ± Especialista em Meio Ambiente ±
Física ± FCC/2008) Um automóvel percorre uma estrada horizontal com
velocidade escalar constante. O eixo das rodas traseiras desse automóvel
executa 2.400 r.p.m. Nesta situação, a velocidade angular de um ponto da
roda traseira, a 50 cm do eixo, em rad/s, vale
 
(A) 240 ʌ 
(B) 160 ʌ 
(C) 120 ʌ 
(D) 80 ʌ 
(E) 40 ʌ 
14. (SESC-2010 ± IPAD) O comprimento do ponteiro dos segundos de
um relógio de parede mede 12 cm. Qual o valor da velocidade escalar do
extremo do ponteiro?
A) 0,26 cm/s
B) 1,26 cm/s
C) 2,26 cm/s
D) 3,26 cm/s
E) 4,26 cm/s
15. (SESC-2010 ± IPAD) A lâmpada do alarme de um carro pisca com
uma frequência igual a 1,2 Hz. Determine a ordem de grandeza do número
de vezes que ela pisca durante um dia.
A) 102
B) 103
C) 104
D) 105
E) 106
16. (FCC ± TRANSPETRO) O texto e a figura seguintes referem-se às
questões de números 34.1 e 34.2. Considere o sistema seguinte formado
por duas polias ligadas por uma correia, sendo que os pontos de contato
GD� FRUUHLD� FRP� DV� SROLDV� IRUPDP� XP� kQJXOR� į� HP� UHODomR� aos eixos
imaginários verticais.
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Se o número de rotações da polia maior for 120 rpm, a rotação da polia
menor será
(A) 480 rpm
(B) 240 rpm
(C) 120 rpm
(D) 80 rpm
(E) 60 rpm
17. (Polícia Civil ± SP ± Perito Criminal ± VUNESP) A polia dentada do
motor de uma motocicleta em movimento, também chamada de pinhão,
gira com frequência de 3 600 rpm. Ela tem um diâmetro de 4 cm e nela
está acoplada uma corrente que transmite esse giro para a coroa, solidária
com a roda traseira. O diâmetro da coroa é de 24 cm e o diâmetro externo
da roda, incluindo o pneu, é de 50 cm. A figura a seguir ilustra as partes
citadas.
Use S = 3, considere que a moto não derrapa e que a transmissão do
movimento de rotação seja integralmente dirigida ao seu deslocamento
linear. A velocidade da moto, em relação ao solo e em km/h, é de
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(A) 72.
(B) 62.
(C) 54.
(D) 66.
(E) 90.
x Movimento Vertical no Vácuo
18. (CESPE ± UNB ± FUB ± FÍSICO)
A figura acima mostra uma criança em um carrinho que se move com
velocidade constante vox, em um plano horizontal. Durante o movimento
do carrinho, a criança joga uma bola para cima com velocidade inicial igual
a voy.
No referencial da criança, a origem do sistema de eixos coordenados está
fixa ao carrinho. Para o observador externo, a origem dos sistemas de eixos
coordenados é identificada por 0 na figura e está fixo ao solo. Desprezando
o atrito com o ar e considerando a aceleração da gravidade igual a g, julgue
os itens de 53 a 58, acerca da situação apresentada.
1. Do ponto de vista da criança, considerando-se um referencial fixo no
carrinho, é correto afirmar que a bola descreve um movimento parabólico
de subida e descida, cuja posição na vertical em função do tempo é descrita
pela equação
2. Do ponto de vista de um observador externo, considerando-se um
referencial fixo ao solo, é correto afirmar que a bola descreve um
movimento parabólico de subida e descida, descrito por uma função
quadrática genéricado tipo y(x) = a + bx + cx2, em que a, b, c pertencem
ao conjunto dos números reais.
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3. As posições sobre o solo na direção horizontal onde a bola estará na mão
da criança são x = 0 e
19. (IBFC ± POLÍCIA CIVIL/RJ ± PERITO CRIMINAL - ADAPTADA)
Uma ocorrência deve ser refeita para que, utilizando as leis da Física, possa
esclarecer um determinado fato. Um perito irá arremessar uma bola de
tênis com uma velocidade inicial de 24,5m/s, e esta faz um ângulo de 60°
com a horizontal. Com base nessas informações julgue as afirmações a
seguir.
1. O tempo que a bola fica no ar é de aproximadamente 2,5s.
2. A distância que a bola percorre na horizontal vale aproximadamente
30,6m.
20. (POLÍCIA CIVIL/SC ± PERITO CRIMINALÍSTICO) Um corpo é
atirado verticalmente para cima, com velocidade de 40 m/s. Considerando-
se a aceleração da gravidade g = 10 m/s2, a altura máxima que o corpo
atinge, a partir do ponto de lançamento, é:
a) 40 metros
b) 80 metros
c) 60 metros
d) 160 metros
21. (NCE ±RJ ± UFRJ ± FÍSICO) Um projétil é disparado do solo com
velocidade inicial de módulo v0 e kQJXOR�GH�WLUR�LJ0. Despreze a resistência
do ar e considere nula a energia potencial gravitacional no solo. Para que
no ponto mais alto da trajetória metade da energia mecânica total esteja
sob a forma de energiD�SRWHQFLDO��R�kQJXOR�GH�WLUR�LJ0 deve ser:
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(A) 15o
(B) 30o
(C) 45o
(D) 60o
(E) 75o
22. (CESGRANRIO ± TRANSPETRO ± TÉCNICO EM OPERAÇÃO
JUNIOR) Um objeto desliza sobre uma mesa e atingirá o chão após
ultrapassar a borda dessa mesa, descrevendo um movimento parabólico
com relação aos eixos horizontal e vertical arbitrados por um observador
parado. Com relação a esse observador, é correto afirmar sobre o objeto
que sua(s)
(A) velocidade horizontal e sua aceleração vertical são constantes.
(B) velocidade horizontal varia, e sua aceleração permanece constante.
(C) aceleração e velocidades variam.
(D) velocidades horizontal e vertical são variáveis.
(E) velocidades vertical e horizontal são constantes.
23.(CESGRANRIO - DECEA ± 2013 ± CONTROLADOR DE TRÁFEGO
AÉREO) Um helicóptero H se movimenta na descendente com velocidade
inicial ሬܸԦ, de módulo 10 m/s, formando um ângulo de 3° com a horizontal,
conforme mostra a Figura abaixo. A aceleração do helicóptero é constante,
horizontal e contrária ao movimento. Quando o helicóptero atinge o ponto
P, 50 m abaixo da posição inicial, o seu movimento passa a ser vertical com
aceleração zero.
Qual é, aproximadamente, em m, o deslocamento horizontal X do
helicóptero?
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(A) 32
(B) 50
(C) 167
(D) 500
(E)1.000
24. (VUNESP ± SEED ± SP ± PROFESSOR DE FÍSICA) O gráfico a seguir
é uma parábola que representa um movimento de lançamento vertical,
ocorrido a partir de um planeta hipotético, cuja gravidade, em m/s2, é:
(A) 12,4.
(B) 16,2.
(C) 24,4.
(D) 26,0.
(E) 32,0.
25. (VUNESP ± SEED ± SP ± PROFESSOR DE FÍSICA) Um garoto
sentado no último degrau de uma escada lança, do ponto A, uma bolinha,
tentando acertá-la numa cesta presa no ponto B, localizada na base da
escada, conforme representado na figura a seguir.
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Considerando que o garoto lança a bolinha exatamente na direção
horizontal e que o ponto A localiza-se a 0,6 m de altura em relação ao
último degrau da escada no qual o garoto está sentado, a velocidade de
lançamento da bolinha, em m/s, para que ela acerte a cesta, deve ser igual
a
(A) 1,0.
(B) 2,0.
(C) 3,0.
(D) 4,0.
(E) 5,0.
26. (CESGRANRIO ± DECEA ± CONTROLADOR DE TRÁFEGO AÉREO)
Um projétil será lançado obliquamente do solo com velocidade inicial de
80m/s e ângulo de 60° com a horizontal. Desprezando-se a resistência do
ar e considerando-se a gravidade local igual a 10m/s2 e o solo horizontal,
a que distância, em metros, do ponto de lançamento o projétil volta a
atingir o chão?
(A) 320—3
(B) 320
(C) 160—3
(D) 160
(E) 80—3
27. (CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± TÉCNICO DE OPERAÇÃO
JÚNIOR) Dois corpos de massas m1 = 80,0 kg e m2 = 10,0 kg são
abandonados, simultaneamente, a partir do repouso, de uma altura h em
relação ao solo. Considerando-se desprezível a resistência do ar, a
diferença entre os tempos necessários para que os corpos atinjam o solo é
(A) zero
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(B) 0,5 s
(C) 1,0 s
(D) 1,5 s
(E) 2,0 s
28. (CESGRANRIO ± REFAP ± OPERADOR I ± 2007) Um corpo foi
abandonado de uma altura de 12,8 metros. Desprezando-se a resistência
do ar e considerando-se a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, a
velocidade, em m/s, com que o corpo atinge o solo é:
(A) 12
(B) 14
(C) 16
(D) 18
(E) 20
29. (CESPE-UNB ± POLÍCIA FEDERAL ± PERITO CRIMINAL ± FÍSICO
- 2004)
Especialistas em tiro ao alvo frequentemente treinam em alvos em
movimento. A figura acima mostra um desses momentos. No instante em
que o atirador disparou o projétil, o alvo (fruta) desprendeu-se da árvore
e ambos, alvo e projétil emitido pela arma, começaram a cair. Com base
nessas informações, julgue os itens seguintes, considerando que: a
resistência do ar é desprezível, a aceleração gravitacional g é constante e
igual a 10 m/s2, a altura do alvo h = 20 cm, a distância horizontal percorrida
pelo projétil d = 100 m e a velocidade inicial horizontal do projétil v0 = 400
m/s. Despreze o tempo gasto pelo projétil ao se deslocar no interior da
arma.
1. Após um intervalo de tempo t, o projétil percorrerá a mesma distância
vertical que o alvo.
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31. (CESPE/UNB - CBM-CE ± SOLDADO ± 2014)
Na figura acima, é mostrada a cena de um bombeiro, que, no plano
horizontal, usa um jato de água para apagar o incêndio em um apartamento
localizado a hm de altura, em relação ao mesmo plano horizontal. Nessa
figura, ሬܸԦi é o vetor velocidade do jato de água ao sair da mangueira; Ti é o
ângulo de inclinação do bico da mangueira em relação ao plano horizontal;
e d é a distância entre o bombeiro e o edifício. Com base nessas
informações, considerando que sejam nulas as forças de atrito sobre
qualquer elemento do sistema e que o jato de água seja uniforme, julgue
os próximos itens.
1. O jato de água atinge o alcance máximo na horizontal quando Ti = 45º.
2. A forma parabólica dojato de água deve-se exclusivamente à força
gravitacional.
3. A projeção no eixo horizontal do movimento das partículas de água, após
saírem da mangueira, descreve um movimento uniformemente acelerado.
4. A orientação do vetor velocidade do jato de água e de suas componentes
nos eixos vertical e horizontal do plano cartesiano que contém a trajetória
do jato de água e que apresenta um dos eixos contido no plano horizontal
em que se encontra o bombeiro pode ser corretamente representada pela
seguinte figura, em que xM é o ponto no qual o jato de água atinge sua
altura máxima.
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8. Exercícios Comentados
x Cinemática Vetorial
01. (CESGRANRIO ± SEED/SP - PROFESSOR) Trabalhando para uma
companhia de vigilância, Pedro, que mora perto da central conforme
indicado no mapa abaixo, é contatado por meio de intercomunicadores (do
tipo walk & talk, de radiofrequência).
O alcance mínimo do aparelho utilizado deve ser
(A) 300 m
(B) 350 m
(C) 400 m
(D) 500 m
(E) 700 m
Resposta: Item D.
Comentário:
Questão sobre o assunto de cinemática vetorial, onde devemos calcular o
descolamento vetorial, pois as ondas de rádio sairão da central de vigilância
diretamente para a casa de Pedro, sem precisar respeitar as ruas e seus
sentidos regulamentados.
Vamos ter uma aula sobre ondas e lá comentaremos que as ondas de rádio
propagam-se em todas as direções.
Assim, calculando o deslocamento vetorial (vetor que liga diretamente os
pontos inicial e final da onda de rádio), vamos obter:
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C) 5 km/h
D) 6 km/h
E) 7 km/h
Resposta: item C.
Comentário:
Questão que envolve os conceitos de velocidade relativa mais uma vez.
Basta você lembrar-se de que contra a correnteza as velocidades subtraem-
se, enquanto que a favor da correnteza as velocidades se somam.
( )
( )
10 /
1/ 3
10 /
1/ 4
___________________
2 70 /
35 /
5
res barco correnteza
res barco correnteza
barco correnteza
barco correnteza
barco
barco
correnteza
V descidaV V
V V V subida
V V km h
V V km h
somando as esquações
km hV
V km h
V k
 �­® �¯
� 
� 
 
 
 /m h
08. (TÉCNICO EM LABORATÓRIO ± FÍSICA ± UNIR ± 2009) A figura
a seguir ilustra uma escada rolante com velocidade ascendente VE = 1
m/s e inclinação 60º com a horizontal. Um estudante A desce por esta
escada com o objetivo de encontrar um outro estudante B que está no solo
e caminha em direção ao pé da escada com velocidade VB = 1 m/s.
Supondo que os dois partem da mesma posição horizontal, calcule qual
deve ser a velocidade VA do estudante A, em relação ao solo e ao longo da
escada, para que os estudantes se encontrem ao pé da escada, no mesmo
instante.
A) 5 m/s
B) 1 m/s
C) 3 m/s
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figura, no sentido anti horário. Os pontos 1, 2, 3, 4 e 5 são os vértices de
um pentágono regular inscrito no círculo-trajetória.
No instante t, a partícula passa pela primeira vez pelo ponto 2. Sendo
assim, no instante 3t ela se encontra no ponto:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Resposta: item E.
Comentário:
Trata-se de uma questão de movimento circular uniformemente variado.
Vou dar uma dica importantíssima para ganhar tempo na prova:
³(P� XP� PRYLPHQWR� XQLIRUPHPHQWH� YDULDGR�� DV� GLVWkQFLDV�
percorridas são proporcionais aos números ímpares, para
LQWHUYDORV�GH�WHPSRV�LJXDLV´�
Perceba no gráfico acima que cada triangulo corresponde a distância
percorrida a cada intervalo de tempo igual a 1s.
O formato do gráfico se da por conta da velocidade inicial nula e do fato de
ser o movimento com aceleração constante (reta).
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Como o valor que acompanha a potência de dez é menor que 3,16, então
a ordem de grandeza será 105 vezes.
16. (FCC ± TRANSPETRO) O texto e a figura seguintes referem-se às
questões de números 34.1 e 34.2. Considere o sistema seguinte formado
por duas polias ligadas por uma correia, sendo que os pontos de contato
GD� FRUUHLD� FRP� DV� SROLDV� IRUPDP� XP� kQJXOR� į� HP� UHODomR� aos eixos
imaginários verticais.
Se o número de rotações da polia maior for 120 rpm, a rotação da polia
menor será
(A) 480 rpm
(B) 240 rpm
(C) 120 rpm
(D) 80 rpm
(E) 60 rpm
Resposta: item B.
Comentário:
Questão versando sobre a transmissão de movimentos circulares por meio
de correia, assunto bastante comentado na parte teórica desta aula.
As velocidades lineares são iguais e as frequências são inversamente
proporcionais aos raios fornecidos.
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No problema temos um projétil que será lançado obliquamente, ou seja,
com velocidade inicial inclinada em relação ao plano horizontal do chão, vai
dar uma viajada no ar e depois voltará ao solo. A pergunta dele é bem
simples e pode ser resolvida por meio da aplicação direta de uma fórmula
matemática que envolve o alcance, a velocidade inicial, que foi
fornecida, o ângulo de inclinação e a aceleração da gravidade.
A fórmula é a seguinte: A = (2.V2.sen .cos )/g
Aplicando a fórmula acima, lembrado que o seno do ângulo de 60° valeξ͵/2 e o cosseno vale ½, podemos encontrar o valor do alcance:
A = [2x80x80x(ξ૜)/2x1/2]/10 = (fazendo as continhas)
A = 320 ξ૜.
Questão fácil, porém o candidato deve memorizar a fórmula matemática
do alcance horizontal em um lançamento oblíquo.
27. (CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± TÉCNICO DE OPERAÇÃO
JÚNIOR) Dois corpos de massas m1 = 80,0 kg e m2 = 10,0 kg são
abandonados, simultaneamente, a partir do repouso, de uma altura h em
relação ao solo. Considerando-se desprezível a resistência do ar, a
diferença entre os tempos necessários para que os corpos atinjam o solo é
(A) zero
(B) 0,5 s
(C) 1,0 s
(D) 1,5 s
(E) 2,0 s
Resposta: item A.
Comentário:
Questão teórica. Quem pensa que tem de fazer muitas contas para resolvê-
la está enganado, basta pensar um pouco para chegar às conclusões.
Lembra-se que no vácuo os corpos possuem uma mesma aceleração? Então
na queda eles vão possuir a mesma aceleração, que é a da gravidade, não
importando as massas.
Logo, eles chegarão ao solo no mesmo intervalo de tempo,não havendo
diferença entre a chegada do corpo mais pesado e do mais leve.
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Na figura acima, é mostrada a cena de um bombeiro, que, no plano
horizontal, usa um jato de água para apagar o incêndio em um apartamento
localizado a hm de altura, em relação ao mesmo plano horizontal. Nessa
figura, ሬܸԦi é o vetor velocidade do jato de água ao sair da mangueira; Ti é o
ângulo de inclinação do bico da mangueira em relação ao plano horizontal;
e d é a distância entre o bombeiro e o edifício. Com base nessas
informações, considerando que sejam nulas as forças de atrito sobre
qualquer elemento do sistema e que o jato de água seja uniforme, julgue
os próximos itens.
1. O jato de água atinge o alcance máximo na horizontal quando Ti = 45º.
Item correto.
Comentário:
Essa foi fácil, depois de ler a nossa teoria, ficou fácil ver que o alcance
máximo ocorre quando o ângulo de inclinação vale 45°.
2. A forma parabólica do jato de água deve-se exclusivamente à força
gravitacional.
Item correto.
Comentário:
A trajetória parabólica deve-se ao fato de que o lançamento oblíquo é uma
composição de um lançamento vertical para cima com um movimento
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uniforme na horizontal, é como se nós pegássemos um lançamento vertical
para cima e esticássemos ele de modo a formar a parábola.
A única aceleração envolvida é vertical e igual a da gravidade, pois na
horizontal estamos admitindo o movimento sem influência de nenhuma
força conforme o enunciado do problema.
Assim, a única força atuante é o peso, fruto da ação da gravidade do
local, o que combinado com o movimento uniforme na horizontal gera uma
trajetória parabólica.
Portanto, a força atuante é exclusivamente a da gravidade.
3. A projeção no eixo horizontal do movimento das partículas de água, após
saírem da mangueira, descreve um movimento uniformemente acelerado.
Item incorreto.
Comentário:
Ora, acabamos de comentar no item anterior e na parte teórica desse
excerto que na horizontal o movimento é uniforme e, portanto, não admite
qualquer aceleração.
4. A orientação do vetor velocidade do jato de água e de suas componentes
nos eixos vertical e horizontal do plano cartesiano que contém a trajetória
do jato de água e que apresenta um dos eixos contido no plano horizontal
em que se encontra o bombeiro pode ser corretamente representada pela
seguinte figura, em que xM é o ponto no qual o jato de água atinge sua
altura máxima.
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Item incorreto.
Comentário:
Nesse ponto a parábola está correta, o que não coaduna com a realidade
teórica é no vértice da parábola, quando o x = xM, a velocidade vertical é
nula, ela deve inclusive diminuir a medida que o tempo passa, invertendo-
se o seu sentido após a passagem pelo vértice da parábola, ou seja, durante
a descida a velocidade vertical é vertical e para baixo.
Durante a subida o movimento é retardado e durante a descida ele é
acelerado, portanto os vetores velocidade VY devem ser variáveis e não
constantes como se apresentam na figura acima.
A figura mais coerente para representar essas velocidades é a abaixo:
9. Gabarito
01.D 02.CE 03.ECE 04.E 05.E
06.A 07.C 08.C 09.C 10.D
11.C 12.E 13.D 14.B 15.E
16.B 17.C 18.ECC 19.EE 20.B
21.C 22.A 23.D 24.E 25.C
26.A 27.A 28.C 29.CE 30.EE
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