Apostila Lab. Física I (Física, 2014)

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Instituto de Biociências, Letras e Ciências 
Exatas 
 
Departamento de Física 
 
 
 
Curso: Física 
 
 
Issac Newton (1643-1727) 
Um dos maiores f ís icos e 
matemáticos de todos os tempos. 
 
 
Laboratório de 
Física I 
 
 
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 CURSO DE FÍSICA LABORATÓRIO DE FÍSICA I CONTEÚDO/ÍNDICE I . Instrumentos de Medida II . Estudo de Corpos em Movimento III . Análise do Movimento em um Plano Vertical IV. Movimento no Plano Inclinado V. Elasticidade VI . Conservação do Momento Linear VII . Conservação da Quantidade de Movimento de um Sistema de Duas Esferas VIII . Conservação da Energia e Momentum IX. Conservação da Energia X . Pêndulo Simples 
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Prática I 
 INSTRUMENTOS DE MEDIDA OBJETIVOS 
 
• Medidas de massa e comprimentos (diâmetros, espessuras, profundidades, etc.) utilizando balança, paquímetro e micrômetro; 
• Estimativa de erro nas medidas, propagação de erros e algarismos significativos. INTRODUÇÃO Para muitos instrumentos com escalas graduadas, como, por exemplo, a régua, é desejável estimar-se uma fração da menor divisão das mesmas. Existem dois dispositivos que aumentam a precisão desta estimativa: o Nônio ou Vernier e o parafuso micrométrico. Estes dois dispositivos fazem parte de dois instrumentos extremamente úteis para a medida de comprimentos: o paquímetro e o micrômetro. PRINCÍPIOS DE FUNCIONAMENTO DO NÔNIO OU VERNIER O Nônio ou Vernier é um dispositivo que nos permite efetuar a leitura de uma fração da menor divisão de uma régua ou escala graduada à qual está adaptado. Ele é constituído de uma pequena escala com N divisões de valores conhecidos, que se move ao longo da régua principal. As divisões do Nônio possuem dimensões diferentes daquelas da régua principal, porém relacionam-se entre si de uma maneira simples. Por exemplo, o Vernier da Figura 1, possui N=10 divisões que correspondem, em comprimento, a nove divisões da escala principal. Cada divisão do Nônio é mais curta que uma divisão da escala principal de 1/N da divisão desta escala. Na Fig. 1, a marca correspondente ao “zero” na escala do Nônio coincide com a correspondente marca da escala principal. Neste caso, a primeira divisão do Nônio é 1/10 mais curta que a primeira divisão da escala principal. A segunda divisão do Nônio está a 2/10 de divisão à esquerda da próxima marca da escala principal. A terceira divisão do Nônio está a 3/10 de divisão à esquerda da próxima marca da escala principal, e assim por diante, até que a décima marca do Nônio coincida com a nona marca da escala principal. 
 Figura 1: Representação da escala principal com o Vernier adaptado à mesma Se a escala do Vernier é movida para a direita até que uma marca sua coincida com uma marca da escala principal, o número de décimos de divisões da escala principal que a escala do Nônio se deslocou é o número de divisões do Nônio, n, contadas a partir de sua marca “zero” até a marca do Nônio que coincidiu com uma marca qualquer da régua principal. 
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 Figura 2: Exemplos de leitura com um Nônio de N=10 divisões Por exemplo, na Fig. 2a, a sexta marca do Nônio coincide com uma marca da escala principal. Isto significa que a escala do Nônio se deslocou 9x(1/10) de divisão para a direita da posição “zero” da escala principal. Na Fig. 2b, o “zero” do Nônio moveu-se à direita da segunda marca da escala principal de modo que a quarta marca do Vernier coincidiu com uma da escala principal. Neste caso, o Nônio se deslocou 2 divisões lidas na escala principal até a marca “zero” do Vernier, mais 4/10 de divisões da escala principal. Logo, ocorreu um deslocamento do Nônio de 2,4 divisões da escala principal. Desta forma, o Nônio adaptado à escala exemplificada nas Figuras 1 e 2 fornece uma precisão de leitura de 1/10 de divisão da escala principal. Em casos gerais, a precisão da leitura, P, é dada pelo quociente entre a menor divisão da régua principal, D, e o número de divisões do Vernier, N: 
N
DP = (1) Então, se o Vernier se deslocou L0 divisões da régua principal mais uma fração n da divisão, teremos que o deslocamento total, L, foi de: L = L0 + nP (2) Na tabela a seguir apresentamos alguns tipos de escalas de Verniers existentes: N C(mm) D(mm) d(mm) P(mm) 10 9 1 9/10 0,1 10 19 1 19/10 0,1 20 39 1 39/20 0,05 50 49 1 49/50 0,02 Na tabela acima, N é o número de divisões do Vernier, C é o comprimento total do Vernier, D é o comprimento da menor divisão da escala principal, d é o comprimento da menor divisão do Vernier e P é a precisão do dispositivo. PAQUÍMETRO O paquímetro, Figura 3, é um instrumento de medida de comprimentos que permite leituras de frações de milímetros. Consiste de uma régua metálica graduada, terminada por “esperas” ou “bicos” fixos a, b e c, ao longo da qual desliza o Nônio ou Vernier, o qual também está terminado por “esperas” ou “blocos” (a’, b’ e c’). 
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 Figura 3: Paquímetro O objeto a ser medido é colocado entre as esperas ou bicos e a leitura final é feita de acordo com os princípios de funcionamento do Nônio ou Vernier. A Figura 4 representa algumas formas de utilização do paquímetro, e a Figura 5 mostra exemplos de leitura em paquímetros de precisão 0,05 mm (N=20) e 0,02 mm (N=50). A Figura 6 contém uma escala com Nônio que pode ser cortada para que o estudante possa treinar leituras com paquímetros. 
 Figura 4: Exemplos de utilização do paquímetro 
 Figura 5: Exemplos de leitura com paquímetro. 
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 Figura 6: Cortar na linha pontilhada MICRÔMETRO É um instrumento de precisão que consiste, basicamente, de um parafuso micrométrico fixo a uma estrutura em forma de U e capaz de mover-se ao longo de seu eixo, Figura 7. Tal como no paquímetro, ele também possui duas “esperas”, uma fixa (P) e outra móvel (P’), entre as quais o objeto a ser medido é instalado. Uma escala linear (E) é gravada no braço fixo, através da qual gira o parafuso micrométrico. Este, por sua vez, é acoplado a um tambor (T) que possui uma escala circular, tal como mostrado na Figura 8. Nos tipos mais comuns de micrômetros, a escala linear é gravada com divisões de 0,5 mm, enquanto que a escala circular do tambor possui 50 divisões para uma volta completa. Como cada volta completa do tambor corresponde a 0,5mm a precisão P, do micrômetro é de 0,50mm/50 = 0,01mm.† Para efetuar-se uma leitura, verifica-se inicialmente qual a divisão da escala linear, L0, que é descoberta pelo tambor e mais próxima do mesmo. Além disso, deve-se determinar qual a divisão do tambor, n, que coincide com uma referência instalada no micrômetro. Assim, se o parafuso micrométrico se deslocou L0 divisões da régua principal mais uma fração da divisão, teremos que o deslocamento total, L, como indicado na equação 2. Existem ainda micrômetros com um Nônio, o que os torna ainda precisos. A Figura 9 mostra dois exemplos de leitura em micrômetros: um tipo mais comum e um com Nônio. 
 Figura 7: Micrômetro 
 
† 0,01 mm = 10 µm, que é da ordem de grandeza do tamanho de uma célula (~ 5 → 50 µm)! 
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 Figura 8: Escalas Linear e Circular do Micrômetro 
 Figura 9: Exemplos de leitura com micrômetro EXERCÍCIOS 
 1) Determinação da área da mesa do laboratório O modelo geométrico para a mesa é obviamente de um retângulo. 1A. Faça várias medidas da largura da mesa utilizando uma escala graduada. Dentro da precisão da escala podemos observar que os valores obtidos não coincidem. 
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 Talvez a média dos valores obtidos represente melhor a largura da mesa do nosso retângulo modelo. 1B. Utilizando uma trena, meça o comprimento da mesa(x), com mesmo procedimento. Para obter o desvio do melhor valor (média), utilize a equação: ( )
n
xx
x i∑ −=Δ
2 (3) Este procedimento nos dá o desvio do valor médio. Obtenha o valor da área da mesa com o correspondentedesvio. Os desvios devem se apresentar com apenas um algarismo. Utilize o processo de arredondamento usual, se necessário. 2) Medida da espessura de uma folha de papel. 2A. Meça diretamente, utilizando um micrômetro. Determine a espessura da folha. 2B.1. Medida indireta 1. Com um paquímetro determine a espessura de um bloco de 500 folhas “idênticas” e obtenha o valor da espessura de uma folha. 2B.2. Medida indireta 2. Determine o volume do bloco de folhas, medindo comprimento, largura e altura. Determine a massa do bloco, usando a balança disponível. Com as medidas acima, pode-se conhecer o valor da densidade do papel. Determine a massa de uma folha, usando uma balança. Usando o resultado obtido para a densidade, determine o volume da folha. Finalmente obtenha a nova avaliação para a espessura da folha. 2C. Utilizando o paquímetro, meça cinco vezes (em pontos diferentes) cada dimensão da peça presente na bancada. Calcule o valor e desvios médios de cada uma das medidas e determine o volume da peça com o seu erro. 2D. Utilizando um micrômetro, meça dez vezes o diâmetro, φ, do fio presente na bancada. Calcule o valor médio do diâmetro do fio, o desvio de cada medida e o desvio médio absoluto. Compare o erro de leitura avaliado para o micrômetro com o valor do desvio médio absoluto. Expresse o valor do diâmetro do fio com o erro absoluto estimado. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. AXT, R. & GUIMARÃES, V.H. Física Experimental I e III. Porto Alegre, Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 1981, 91p. 2. HENNIES, C.E. et alli. Problemas Experimentais em Física. Campinas, Editora da UNICAMP, 1986, v. 1, 221p. 3. MAIA, L.P.M. Introdução à Física. Rio de Janeiro. Nacionalista, 1961, 143p. 4. MARTINS, N. et. alli. Física para a Universidade: análise dimensional. São Paulo, Editora Pedagógica e Universitária, 1979, v.1, 133p. 5. MORENO, M.O. Iniciação à Análise de Dados Experimentais. Belo Horizonte, Universidade Federal de Minas Gerais, 1986, 97p. 6. SCHAUM, D. Física Geral, São Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1973. 7. Apostila de Laboratório de Ensino de Física, Parte A. Instituto de Física de São Carlos, USP 
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Prática II 
 ESTUDO DE CORPOS EM MOVIMENTO OBJETIVOS Estas experiências têm por objetivo o estudo da cinemática, através de medidas de espaço, tempo, velocidade e aceleração. MATERIAL UTILIZADO 
 - Trilho de ar, cronômetros, paquímetro, régua, polias, fio de linha, massas, carrinhos. - Microcomputador, Editor de texto, Editor gráfico (P.ex, Origin). 
 PROCEDIMENTO E EXERCÍCIOS 
 1.Movimento Uniforme 
 Utilizando um trilho nivelado, um lançador e cronômetros: 
 1) Meça o tempo para o carrinho sair do xo e atingir x1, x2... Construa uma tabela como a TABELA I abaixo: T A B E L A I X 1ª exp. 2ª exp. 3ª exp. 4ª exp. 5ª exp. média x1 t11 t12 t13 t14 t15 tm1 = Σt1i / n x2 t21 t22 t23 t24 t25 tm2 = Σt2i /n x3 t31 t32 t33 t34 t35 tm3 = Σt3i /n : : : : : : : 2) Faça um gráfico de x (cm) X tm(s) 
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 3) A partir do gráfico calcule a velocidade, lembrando que: 
t
S
V
Δ
Δ
= (1) Obs.: Para a construção do gráfico utilize o software “ORIGIN”. 4) Repita a experiência com diferentes massas para o carrinho. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO 
 Estudaremos agora um carrinho submetido a uma aceleração constante. 
 PROCEDIMENTO E EXERCÍCIOS 
 1) Meça o tempo para o carrinho atingir os valores de x1, x2, .... Repita a experiência várias vezes e construa uma tabela como a TABELA I. Como sugestão utilize m = 150g. M = 180g. 2) Construir o gráfico de x (cm) X t 
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 3) O gráfico anterior deve mostrar uma dependência entre x e t não linear. Pode-se escrever que: x ~ tn ou x = b tn (5) Se calcularmos o logaritmo de ambos lados da equação acima teremos: log x = log b + n log t (6) Assim, a partir de um gráfico de log x versus log t (ver figura abaixo), calcule os valores de n e b: 
4) Faça um gráfico de x versus tn , onde n foi calculado no item anterior : 
 5) Calcule o valor de c = tg α (figura acima). Teremos então: x = c tn (c e n determinados experimentalmente) (7) 6) Por outro lado, sabemos da teoria que: x = xo + vot + a/2 . t2 (8) Calcule o valor de aceleração a . 7) A partir da Tabela I do item 1, calcule as velocidades médias entre x1 e x2, e x3, ... e faça um gráfico de v versus t. 8) Usando o gráfico de x versus t, obtido em 2, calcule as velocidades instantâneas em t1, t2,... lembrando que v = dx/dt. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. RESNICK, R. e HALLIDAY, D. Física I, Vol. 1, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico S.A., 1973. 2. TIPLER, P. Física, Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984, vol. 1. 
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Prática III ANÁLISE DO MOVIMENTO EM UM PLANO VERTICAL OBJETIVO Dar uma noção das Leis de Newton analisando o movimento em um plano acelerado, observando-se a trajetória de um projétil lançado desde um plano inclinado. INTRODUÇÃO Quando um projétil (no caso uma esfera metálica) é solto desde o ponto A da trajetória curvilínea mostrada na figura 1 logo abaixo, ao chegar ao ponto C sobre a parte horizontal , terá uma velocidade cujo valor dependerá da altura h. 
 Figura 1 – esquema experimental do movimento em duas dimensões, uti l izado para determinação de . Na trajetória , o movimento do projétil será uniforme com velocidade constante V0. O atrito de rolamento entre o plano e a esfera metálica (projétil) é mínimo, portanto, podemos desprezá-lo. A trajetória é o resultado de um movimento composto, cujo deslocamento horizontal é feito com velocidade constante V0, enquanto que o vertical é feito sobre aceleração da gravidade . Este movimento composto pode ser estudado a partir da análise da trajetória descrita pelo movimento do projétil. Se P(x,y) é um ponto sobre a trajetória do projétil, então os deslocamentos horizontal (x) e vertical (y) terão os seguintes valores, respectivamente: (1) onde t é o tempo que o projétil gasta para ir do ponto D ao ponto P, e g é a aceleração devida a gravidade. Para determinar a magnitude de V0 é necessário medir o tempo t que o projétil demora a percorrer a trajetória . Portanto, . Substituindo o valor de V0 em (1), têm-se definidas as equações paramétricas que regem o movimento composto do projétil. MATERIAL UTILIZADO - esfera metálica - régua - anteparo - trilho - medidor de tempo 
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PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 1) Faça a montagem assim como mostrada na figura 1, tomando a trajetória como sendo da ordem de 40 cm e meça a massa e o diâmetro da esfera. 2) Após a montagem, solte a esfera metálica do ponto A (na distância vertical h) e meça o tempo que ela leva para percorrer a trajetória . Realize esse para três valores diferentes de h (5, 10 e 20 cm). 3) Para cada valor de h, repita o passo 2) sete vezes. Preencha a tabela 1 com os valores obtidos. 4) Determine o ponto E (projeção vertical do ponto D), colocando uma folha de sulfite sobre o balcão para que possa marcar o ponto exato. Logo após, solte a esfera e marque na folha o ponto mais longe que ela chega (repita esse passo cinco vezes, para ter certeza do ponto máximo que a esfera alcança). Este é o ponto F. Divida a distância em cinco partes iguais. 5) Posicione o anteparo na marca de F. A reta será a direção de deslocamento do anteparo no sentindo . Solte a esfera do ponto A e registre o choque da esfera com o anteparo (será necessário colar uma folha no anteparo a fim de marcar a posição em que a esfera se choca). Desloque o anteparo a próxima divisão de e torne a soltar a esfera e marque o novo ponto dechoque. Continue deslocando o anteparo na direção até chegar ao ponto E. Preencha a tabela 2. 6) Repita o passo 5) para os outros valores de h. 7) Faça três gráficos, um para cada valor de h, de x versus y, do movimento em queda livre. A origem das coordenadas deve estar no ponto D. Os valores de x e y são determinados pelas marcas feitas na folha sulfite colada no anteparo e na folha do balcão, lembrando que se deve levar em consideração o raio da esfera e fazer as correções necessárias. 8) Determinar graficamente o valor da aceleração da gravidade . tabela 1 - velocidade inicial ) h (cm) t 1 (s) t 2 (s) t 3 (s) t 4 (s) t 5 (s) t 6 (s) t 7 (s) tabela 2 - movimento bidirecional (coordenadas) h 1= (cm) h 2= (cm) h 3= (cm) x (cm) y (cm) x (cm) y (cm) x (cm) y (cm) x0= y0= x0= y0= x0= y0= x1= y1= x1= y1= x1= y1= x2= y2= x2= y2= x2= y2= x3= y3= x3= y3= x3= y3= x4= y4= x4= y4= x4= y4= x5= y5= x5= y5= x5= y5= BIBLIOGRAFIA TIPLER, P. A. (2000). Física para Cientistas e Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora. 4ª edição. Volume 1. HALLIDAY. RESNICK. KRANE. (1996). Física 2. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora. 4ª edição. Volume 2. FEYNMAN, R. Feynman Lectures on Physics. Volume 1. 
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Prática IV 
 MOVIMENTO NO PLANO INCLINADO OBJETIVO 
 Determinação dos coeficientes de atrito estático e cinético. INTRODUÇÃO Quando se tenta colocar um objeto sólido em movimento ao longo de uma superfície sólida, percebe-se que há uma força tentando impedir o deslizamento, ou mesmo dificultando-o caso o movimento já tenha sido iniciado. Essa força recebe o nome de força de atrito e contato (há também força de atrito de fluido, quando a superfície é um líquido ou um gás). Isto ocorre porque, por mais lisa que uma superfície possa parecer, microscopicamente ela apresenta irregularidades (saliências), de tal forma que quando há um contato entre duas dessas superfícies, na verdade, este contato existe efetivamente somente entre alguns pontos. As irregularidades das superfícies dificultam o deslizamento, sendo esta uma das causas do atrito. Outra causa do atrito são as forças elétricas de atração entre moléculas das duas superfícies. Quando dois corpos são pressionados um contra o outro, como um bloco pressionado contra uma parede ou mesa, sempre estão presentes as forças de contato (ou forças normais). De acordo com a terceira lei de Newton, a superfície (mesa ou parede) exerce uma força de contato sobre o bloco, e este exerce uma força de contato igual e oposta sobre a superfície. Estas forças existem devido a repulsão elétrica entre as moléculas das duas superfícies. A força de atrito não depende da área total das superfícies em contato, mas sim das áreas que efetivamente estão em contato (devido às Saliências), as quais, por sua vez, independem da área total das superfícies em contato. Por exemplo, se um bloco retangular for apoiado sobre uma mesa pelo seu lado maior, a pressão exercida sobre os picos das saliências (que realmente fazem o contato) é menor do que se o bloco fosse apoiado pelo lado menor. Desta forma, quando a superfície total em contato é maior (lado maior apoiado), os picos das saliências são pouco deformados (baixa pressão), e quando a superfície total em contato é menor, os picos são mais deformados, de tal forma que em ambos os casos a área real em contato é praticamente a mesma. O atrito representa um dos grandes obstáculos na realização de experiências que exijam grande precisão e repetibilidade. Saber como atua, do que depende e como domina-lo é algo bastante importante para a realização de boas experiências. A forma como a força de atrito é descrita não leva em conta o caráter microscópico do fenômeno, mas restringe-se às observações experimentais. Verifica-se experimentalmente que a força de atrito depende da força normal (ou de contato) entre os corpos e dos materiais de que são compostos os mesmos, bem como das condições da aspereza das superfícies em contato. A força de atrito pode ainda se dividida em força de atrito estático e força de atrito cinético, conforme será visto a seguir. Na figura 1, tem-se um sistema composto por um corpo de massa m apoiado sobre um plano inclinado e ligado, por meio de um fio que passa por uma roldana, a um corpo de massa M. Sejam: T! a força de tensão no fio (inextensível e “sem massa”) produzida pela massa M, que tenta fazer com que o corpo de massa m se movimente sobre o plano, no sentido de baixo para cima, gmp !! = a força de atração gravitacional que a terra exerce sobre o corpo de massa m, gMP !! = a força de atração gravitacional sobre o corpo de massa M, N! a força de reação normal ao plano sobre o corpo de massa m, F! a a força de atrito, ou a força que tenta impedir o deslizamento do corpo. Considerando-se o sistema da figura 1 em repouso, a força de atrito recebe o nome de força de atrito estático e sua intensidade varia de acordo com a massa M e o ângulo θ de inclinação do plano até um valor máximo suportável (para os materiais do plano e do corpo em questão), acima do qual haverá deslizamento do corpo sobre o plano. O valor máximo da força de atrito estático, correspondente à situação de iminência do movimento (um instante antes do corpo iniciar o 
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movimento), pode ser escrito, de forma empírica, como NF emáx.a µ= , onde µe recebe o nome de coeficiente de atrito estático, o qual depende dos materiais em contato e do grau de aspereza dos mesmos. Na iminência do movimento, pode-se escrever a primeira lei de Newton para os corpos de massas m e M, e obter a expressão para o coeficiente de atrito estático como: θ−
θ
=µ tgcos.m Me (1) 
 Figura 1 Na situação mostrada na figura 2 tem-se novamente, sobre o plano inclinado, um corpo de massa m; este ficará em repouso enquanto a força de atrito for igual à componente do peso na direção paralela ao plano. Se o ângulo θ, que o plano faz com a horizontal, for aumentado, a componente do peso paralela ao plano irá ultrapassar a força de atrito estático máxima e o corpo deslizará. Seja θc (ângulo critico) o ângulo correspondente à iminência do movimento. Nesta situação, pode-se escrever novamente a primeira lei de Newton para o corpo de massa m e assim obter, o coeficiente de atrito estático µe entre o corpo e o plano: ce tanθ=µ (2) 
 Figura 2 Se na figura 2 for considerado o plano com um ângulo θ > θc, o bloco deslizará com uma aceleração a ao longo do plano. Neste caso, a força de atrito existente entre o corpo e o plano é chamada força de atrito cinético, cuja intensidade é dada empiricamente por NF ca µ= , onde µc é chamado coeficiente de atrito cinético entre as duas superfícies. A experiência mostra que a força de atrito cinético, que atua sobre um objeto que está se movendo não depende de sua velocidade, para valores não muito pequenos nem muito grandes de velocidades. Observa-se também, experimentalmente, que o atrito é maior quando não há movimento ou, em outras palavras, o valor de µe para um dado par de superfícies é usualmente maior do que o valor de µc para este mesmo par. Ainda com relação à figura 2, se o bloco m desliza pelo plano com aceleração a, o mesmo descreve um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Escrevendo-se a equação horária desse movimento (x = x0 + v0t + at2/2), considerando-se que para t = 0 o corpo parte do 
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repouso (v0 = 0) de uma posição x0 = 0 e desloca-se de uma distância x em um tempo t, onde 
2tx2a = . Escrevendo-se a segunda lei de Newton para o corpo de massa m, tem-se: 0Ncosmgsenmg macN=−θ µ−θ = Portanto: 
θ
−θ=
θ
−θ=µ cosgt x2tancosg atan 2c (3) PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 1. Anote as características dos instrumentos a serem utilizados e dos materiais fornecidos. Anote também as dimensões dos blocos de madeira, latão e ferro e as dos planos inclinados utilizadosde alumínio e madeira. 2. Com a montagem mostrada na figura 1 e utilizando, como massa m, os blocos de madeira, latão ou ferro, completar as Tabelas I (plano inclinado de alumínio, θ = 30o) e Tabela II (plano de madeira, θ = 40o). Escolha uma massa M, suficiente para deixar o sistema na iminência do movimento na direção para cima, e suficiente para deixar o sistema na iminência do movimento na direção para baixo, para cada caso. Repita 4 vezes para cada bloco. Anotar as massas m e M usadas (somar o porta-peso), com seus respectivos desvios. Calcular o coeficiente de atrito estático (eq. 1) com seu respectivo desvio médio absoluto, para cada caso. Medir as dimensões da hipotenusa e catetos com seus desvios, ao invés de medir o ângulo. Tabela I: Plano de Alumínio com θ = 30o Material m(g) M1(g) M2(g) M3(g) M4(g) )g(M Madeira Latão Ferro Tabela II: Plano de Madeira com θ = 40o Material m(g) M1(g) M2(g) M3(g) M4(g) )g(M Madeira Latão Ferro 3. Com a montagem mostrada na figura 2 e utilizando como a massa m, cada um dos blocos fornecidos, varie lentamente o ângulo de inclinação θ do plano inclinado até o sistema chegar à iminência do movimento (ângulo crítico, θc). Repita 4 vezes para cada caso. Completar as Tabelas III e IV e obter o coeficiente de atrito estático, com seu desvio médio absoluto, para cada caso. Tabela III: Plano de Alumínio Material m(g) tgθ1 tgθ2 tgθ3 tgθ4 ctgθ Madeira Latão Ferro Tabela IV: Plano de Madeira Material m(g) tgθ1 tgθ2 tgθ3 tgθ4 ctgθ Madeira Latão 
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Ferro 4. Ainda com a montagem mostrada na figura 2 e utilizando uma inclinação θ > cθ para cada caso, completar as Tabelas V e VI, medindo 3 vezes o tempo t que o bloco demora para percorrer a distância x. Medir as dimensões da hipotenusa e catetos e obter, para cada caso, o coeficiente de atrito cinético com seu desvio médio absoluto. Tabela V: Plano de Alumínio Material m(g) t1(s) t2(s) t3(s) )s(t x(cm) Madeira Latão Ferro Tabela VI: Plano de Madeira Material m(g) t1(s) t2(s) t3(s) )s(t x(cm) Madeira Latão Ferro REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 1. RESNICK, R. e HALLIDAY, D. Física I, vol. 1, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico S.ª 1973 2. TIPLER, P.A.. Física, Guanabara Dois, Rio de Janeiro, vol. 1. 1984. 
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Prática V 
 ELASTICIDADE OBJETIVO Estudo da lei de Hooke e cálculo do módulo de Young. INTRODUÇÃO 
 Todos os corpos se deformam sob a ação de forças. Em alguns casos esta deformação é reversível, isto é, quando a força deixa de agir o corpo volta à forma anterior. Esta deformação chama-se DEFORMAÇÃO ELÁSTICA. A maioria dos sólidos se deforma elasticamente dentro de certos limites. Hooke verificou em 1678 que nas deformações elásticas “a deformação é diretamente proporcional à força que a produz”. A lei de Hooke pode ser escrita pela seguinte equação: σ = E ε (1) onde: Tensão
S
F
Área
Força
===σ (2) Deformação=Δ=ε
ℓ
ℓ (3) E = Módulo de Young MATERIAL 
 Mola, suporte para massas aferidas, suporte para mola, escalas milimetradas, massas a serem aferidas e uma barra defletora. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 Parte A Inicialmente a constante elástica k de uma mola será determinada. Para isso, o aparelho mostrado na Figura 1 deve ser montado. 
 Figura 1: Esquema da deformação de uma mola 
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 Para determinar experimentalmente a constante k e o comprimento natural da mola xo, meça o comprimento da mola x para diferentes massas colocadas em sua extremidade livre. Em seguida, faça o gráfico da força F pelo valor de x, conforme ilustrado na Figura 2. 
 Figura 2: Gráfico da dependência da força em função da elongação F = K(x-xo), de uma mola por meio da inclinação do gráfico determina-se a constante de k onde, 
x
F
k
Δ
Δ
= (4) e xo representa a elongação natural da mola que corresponde a situação de F = 0. Parte B Nesta parte será determinada experimentalmente a deflexão y de uma barra, para isso montaremos o aparelho esquematizado na Figura 3. 
 Figura 3: Esquema da deflexão y de uma barra. Na montagem experimental as deflexões y da extremidade livre, devido ao peso p, podem ser lidas numa escala graduada. A deflexão y depende dos seguintes parâmetros: 1 – peso 2 – comprimento ℓ 3 – largura b 4 – espessura d 5 – material da barra, isto é, do módulo de Young E. A dedução da relação que liga estas variáveis é relativamente complexa, porém podemos escrevê-la da seguinte forma εδγβα= Edbpcy ℓ (5) onde c é uma constante adimensional 
 21 
 Nosso objetivo é então determinar estes coeficientes (α, β, γ, δ, ε) Nos limitaremos somente a estudar a deflexão da barra em função da força peso p e seu comprimento ℓ. Vamos Supor que a dependência da deflexão obedece a seguinte relação: y = C Fα ℓ β (6) Pela lei de Hooke é de se esperar que α = 1. Para verificar isto, fixe um determinado comprimento e varie a força aplicada à extremidade livre, variando a massa que é colocada (F = mg). Faça uma Tabela de (y x F) e um gráfico de log(y) x log(F) determinado, a partir deste, o expoente α. O expoente β pode ser determinado fixando F e variando o comprimento livre da barra, procure percorrer toda a barra. Faça uma tabela de (y x ℓ) e um gráfico de log(y) x log(ℓ) determinando a partir deste o expoente β. (Lembre-se que para F constante y = C2 ℓβ). A partir deste gráfico determine também a constante C2 e a partir dela e do valor do expoente α já calculado, e o valor da constante C. Finalmente conhecendo todas as constantes, escreva a lei geral para a deflexão da barra y=f(F, ℓ). REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. FRANK. Introduction à Mecânica Y Calor (cap. XV, pag. 236). 2. INGARD-KRAUSHAAR. Mechanics Matter and Waves (1805). 3. JERRARD and McNEILL. An Introduction to Experimental Physics (cap. IX, pag. 102). 4. SEARS. Mecânica, Calor e Acústica (cap. 10, pág. 228). 
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Prática VI 
 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR INTRODUÇÃO 
 No estudo do mundo físico um ingrediente fundamental está relacionado às chamadas leis de conservação. No estágio atual da Física, são conhecidas seis leis de conservação. Três delas, a lei da conservação da energia, a da conservação do momento linear e a da conservação do momento angular, são relacionadas com as noções de tempo e espaço, isto é, as grandezas se conservam ao longo de um tempo ou de um espaço. As outras três, estão relacionadas com a idéia de contar (o número é que se conserva) e são a lei da conservação da carga elétrica, a conservação do número de barions e a conservação do número de leptons. Estas leis são, até onde chegam os nossos conhecimentos atuais, consideradas de validade universal. EQUIPAMENTO 
 Carrinhos, trilho de ar, anteparos, presilhas, trena, balança, marcadores de tempo, papel cartão, bolinha de látex. TEORIA 
 Na conservação do momento linear dois objetos com velocidades iniciais v1i e v2i, antes de uma colisão, terão velocidades v1f e v2f, após a colisão, relacionadas pela expressão: f22f11i22i11 vmvmvmvm +=+ (1) onde o lado direito da equação corresponde ao momento inicial e o lado esquerdo ao momento final do sistema. Lembramos que o momento p é definido como o produto da massa pela velocidade de um corpo. Um choque entre dois corpos pode ser classificado através do coeficiente de restituição que expressa a relação entre as velocidades relativas de afastamento dos corpos após a colisão e de aproximação entre eles antes da colisão, ou seja: 
i1i2
f1f2
vv
vv
e
−
−
−= (2) Quando e = 1 o choque é perfeitamente elástico e a energia cinética se conserva. Por outro lado, quando e = 0 choque é inelástico e os dois corpos caminham juntos após a colisão. Valores de e, entre 0 e 1, permitem obter informação a cerca da elasticidade do processo. Consideremos um corpo, abandonado de umaaltura hi, que se choca com o solo, atingindo após o choque uma altura hf. Neste processo a velocidade que o corpo atinge o solo é dada por 
ii gh2v = , enquanto ao abandonar o solo após a colisão tem-se ff gh2v = . Nestas condições, desprezando a velocidade de recuo da Terra, o coeficiente de restituição fica: 
i
f
i
f
h
h
v
v
e == (3) 
 23 
PROCEDIMENTO 
 Objetivando observar a conservação do momento linear, inicialmente comprime-se um carrinho sobre o trilho de ar contra uma mola colocada em uma das extremidades do trilho. O carrinho, depois de solto, possui velocidade constante, um marcador eletrônico de tempo marca o tempo gasto para percorrer determinada distância. Comprimindo a mola sempre uma mesma distância, a velocidade do carrinho será sempre igual, isto pode ser verificado fazendo várias medidas de tempo (no mínimo 10 medidas). Com a velocidade do primeiro carrinho determinada, usando os dados obtidos como indicado acima, coloca-se um segundo carrinho, em repouso, sobre o trilho de ar. Os marcadores de tempo deverão ser usados para determinar, separadamente, as velocidades dos carrinhos após a colisão. Para cada carrinho deverão ser feitas 10 medidas de tempo. Medir as massas dos carrinhos a fim de determinar os valores dos momentos. Usando a bolinha de látex e um papel cartão preso à parede fixar uma altura e soltar a bolinha. Após a colisão com o solo marcar a altura final atingida. Com a trena medir as alturas e com a balança a massa da bolinha. Deve-se repetir ao menos 10 vezes o procedimento, a fim de diminuir os erros experimentais na medida da altura final. 
 Figura 1: Esquema de um trilho de ar com dois carrinhos. EXERCÍCIOS 1. Determinar as velocidades individuais dos carrinhos. 2. Determinar os momentos individuais dos carrinhos, antes e depois da colisão. 3. Verificar a conservação do momento linear, considerando os erros experimentais. 4. Determinar o coeficiente de restituição entre o solo e o látex. Comparar o valor obtido pelos demais grupos. 5. Estimar a velocidade de recuo da Terra após a colisão com a bolinha de látex. Avaliar a aproximação usada da velocidade da Terra ser igual a zero. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. GOLDEMBERG, J. Física Geral e Experimental. 3a. ed. São Paulo. Companhia Editora Nacional, 1977. 2. LUCIE, P. Física Básica: Mecânica 1. Rio de Janeiro, Campus, 1979. 3. Physical Science Study Committee. trad. Abrahão Moraes et alli. Brasília, Editora Universidade de Brasília, 1966. 4. RESNICK, R. & HALLIDAY, D. Física. 3a. ed. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1979, vol. 1. 5. TIPLER, P.A. Física. 2a. ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984, vol. 1. 
 24 
Prática VII 
 CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE DUAS ESFERAS OBJETIVO 
 Verificar experimentalmente a conservação da quantidade de movimento linear de um sistema isolado. INTRODUÇÃO TEÓRICA 
 A segunda lei de Newton às vezes é enunciada sob a forma: F
dt
vd
m
!!
= (1) Uma maneira mais geral de escrevê-la é F)vm(
dt
d !!
= (2) O produto vm! chama-se “quantidade de movimento”. Temos, pois: “a força que atua sobre um corpo é proporcional à variação no tempo, de sua quantidade de movimento”. A forma (2), que é aquela originalmente usada por Newton, tem algumas vantagens sobre (1): a) Permite a aplicação da lei a corpos de massa variável. b) Torna mais manejável a lei em alguns casos como por exemplo, quando se trata de forças internas entre corpos em movimento. Este último caso é o que estudaremos. Aplicando a segunda Lei de Newton a um sistema de n corpos teremos ∑∑
==
=
m
1j
ji
n
1i
F)vm(
dt
d !! (3) Tratando-se de forças internas, elas deverão estar em equilíbrio, (3a. Lei de Newton), ou seja que: 0Fm
1j
j =∑
=
! (4) Então podemos escrever que: 0)vm(
dt
d
)vm(
dt
d n
1i
ii
n
1i
== ∑∑
==
!! (5) A partir da equação acima podemos concluir que a quantidade de movimento pode ser escrita pela seguinte equação tetancons)vm(n
1i
i =∑
=
! (6) A equação (6) é a expressão do “princípio (teorema)* da conservação da quantidade de movimento”. “Se, em um sistema, a resultante das forças externas for nula, a quantidade de movimento do mesmo é constante”. 
 25 
 Observação: A quantidade de movimento é um vetor, podendo ser decomposto segundo quaisquer direções, onde: “se, numa certa direção, ou num conjunto de direções, a resultante das forças externas for nula, a quantidade de movimento linear conservar-se-á naquelas direções”. MATERIAL 
 Trilho, bolinhas, papel carbono e papel branco. PROCEDIMENTO 
 a) Na figura está esquematizada a montagem a ser usada. No ponto B existe um pequeno suporte onde pode ser colocada a esfera 2. Esta se choca com a esfera 1, que provêm de A descendo pelo trilho. Após o choque as duas bolinhas seguem duas trajetórias diferentes e os pontos de queda na mesa são marcados no papel sulfite com o auxílio do carbono. Consideremos O a posição do fio de prumo no ponto onde está a bolinha 2, e P1 e P2 as posições de queda das duas bolinhas. Determine as distâncias OP1 e OP2. Com estes valores é possível determinar as velocidades das duas bolinhas após a colisão: 
 Figura 1: Esquema do trilho que serve para estudar a conservação da quantidade de movimento. o o o o o trajetória com choque _ _ _ trajetória sem choque v OP t1 1' /= v OP t2 2' /= onde, ( )t h g= 2 / (7) note que h é a altura de queda livre das duas bolinhas. Para determinar v1 retira-se a esfera 2, sendo que agora a esfera 1 seguirá a trajetória tracejada, e ela incide na mesa no ponto P, desta forma v1 é dada por: v OP t1 = / 
 26 
Repita o procedimento para quatro posições diferentes do ponto A e construa uma tabela de v1, v’1 e v’2. Repita o experimento usando duas bolinhas de massas diferentes, e construa uma tabela semelhante. Coloque os dados em gráficos v1 versus v’2. Se forem retilíneos determine as inclinações das retas, e determine a equação destas retas. Verifique que ela descreve a lei de conservação da quantidade de movimento linear. Repita o experimento variando a distância e verifique se a relação encontrada dos gráficos é ainda válida. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. The Feynman Lectures on Physics”. Cap. 10 Addison Wesley Ca. 2. U. INGARD; W. KRAUSHAAR “Introduction to Mechanics, Matter and Waves”. Addison Wesley Co. 3. SEARS e ZEMANSKY. Física I. Young & Freedman 10a. edição. Mecânica. 
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Prática VIII 
 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA E MOMENTUM OBJETIVO 
 Estudo do pêndulo balístico. INTRODUÇÃO 
 O pêndulo balístico é utilizado para medir velocidades de balas. Consiste em um bloco de madeira suspenso verticalmente por fios de forma que possa oscilar como um pêndulo. A bala é disparada contra o bloco com velocidade horizontal a determinar. Nesta experiência deve-se verificar o princípio da conservação do momento linear usando uma espécie de pêndulo balístico cujo esquema está apresentado na figura. O conjunto é constituído pelo bloco suspenso e uma esfera que é abandonada numa certa posição de um trilho curvo (a esfera desempenha o papel da bala). No final de seu movimento através do trilho a esfera choca-se com o bloco no qual penetra através de uma cavidade ai ficando retida. 
 Figura 1: Esquema de um pêndulo balístico EQUIPAMENTO 
 Trilho curvo, esfera de aço, balança, bloco, hastes, presilhas, trena, fio de prumo, barbante, cursor graduado, tripé. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 Parte A Para se orientar faça um desenvolvimento da teoria do pêndulo balístico até concluir que medidas deverão ser tomadas para atingir seu objetivo: verificar a conservação do momentum no choque esfera-bloco. Como foi verificado, ao chegar ao fim do trilho, a velocidade da esfera (antes do choque) será uma das grandezas a ser obtida. Como se pode medi-la?Faça cinco ou mais medidas das grandezas necessárias para obtê-la. Após esta determinação, será preciso a velocidade do conjunto após o choque e para isso meça a altura h alcançada pelo bloco após ser atingido pela esfera. Sugerimos que o valor de h seja obtido indiretamente através da relação h = L(1 - cosθ), onde L representa o comprimento do fio que suspende a caçapa do pêndulo e θ é o ângulo que o fio faz com a vertical facilmente medida 
 28 
através do transferidor colocado na parte superior do pêndulo. Faça cinco ou mais lançamentos da esfera sobre o bloco para determinar o valor de θ e obter indiretamente o valor de h. Parte B Utilizando a velocidade calculada na parte A, vamos determinar o coeficiente de atrito cinético entre duas superfícies. Repita as condições da esfera ao chegar ao fim do trilho. Ao invés de haver o choque com o bloco pendurado segundo o pêndulo, deixe o bloco sob uma superfície plana, situando o sistema de maneira que, ao soltar a bola no trilho, a bola se aloje no orifício do bloco, como mostrado na figura 2. 
 Figura 2: Esquema para calcular o coeficiente de atrito cinético Calcule o coeficiente de atrito cinético µ entre as duas superfícies, utilizando equações de conservação de energia e assumindo que a aceleração é constante a = µg. EXERCÍCIOS 
 1) Usando o triângulo (l d L) mostre que h = L(1 - cosθ). 2) Por que não é conveniente medir h diretamente com uma régua? 3) Qual o momento linear total do sistema bloco + esfera imediatamente antes e imediatamente após a colisão? Qual a sua conclusão? 4) A quantidade de movimento da esfera foi conservada? Porque? 5) Calcule as energias cinéticas nas situações mencionadas na questão 3 e compare-as. Como se classifica o choque estudado? 6) Procure explicar as discrepâncias entre os resultados obtidos na experiência e os previstos teoricamente. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. MEINERS, H.F. et alli. Laboratory Physics. New York, John Wiley & Sons, 1969, 436 p. 2. RESNICK, R. & HALLIDAY, D. Física, 3a. ed. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1979, v. 1, 348 p. 3. TIPLER, P.A. Física, 2a. ed. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984, v. 1 596 p. 
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Prática IX 
 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA OBJETIVO 
 Discutir a conservação da energia mecânica em um sistema experimental. Rever os conceitos de Energia Mecânica, Energia Potencial, Energia Cinética e Trabalho de uma força constante. TEORIA 
 O trabalho (τ) de uma força constante é definido como o produto da sua intensidade pelo deslocamento ao longo da direção desta força. Alternativamente, o trabalho é o produto da intensidade da força na direção do deslocamento pelo próprio deslocamento, ou seja: θτ cossFsF Δ=Δ⋅= !! (1) onde F! representa o vetor força, s!Δ o vetor deslocamento e θ é o ângulo entre os dois. O conceito físico de trabalho está intimamente relacionado com o de energia. Isto pode ser visto, para o caso da força constante aplicada na direção do deslocamento, lembrando da 2ª lei de Newton ( amF !! = ) e da equação de Torricelli (v2=v02+2 a! . Δ s! ) da seguinte forma: τ = F! . Δ s! = m a! . Δ s! = m(v2-v02)/2 (2) A quantidade Ec = mv2/2 é conhecida como energia cinética do corpo. Esta energia é uma característica do estado de movimento do corpo e está essencialmente ligado à sua velocidade. Esta expressão é uma representação do Teorema do Trabalho e Energia Cinética: ΔEc = τ (3) que, embora demonstrado aqui apenas para o caso da força constante, tem validade geral. Em caso das forças que atuam no corpo serem conservativas, isto é, realizarem trabalho nulo em um percurso fechado, pode-se definir uma energia potencial. A variação da energia potencial (ΔU) é determinada tomando o trabalho realizado por uma força conservativa com sinal negativo: ΔU = Uf – Ui = -τ (4) onde Uf e Ui são as energias potenciais do sistema na situação final e no início, respectivamente, considerados. Uma vez que se define a variação da energia potencial, que fisicamente é a quantidade relevante, deve-se sempre ter em mente a necessidade de escolher uma referência. Esta referência para a determinação da energia potencial é arbitrária e pode ser escolhida de acordo com a conveniência. Um exemplo concreto da determinação da energia potencial pode ser obtido analisando a força peso. Elevando um corpo de massa m, do nível do solo (escolhido como referência, Ui = 0) até uma altura h (Δs = h), o trabalho feito pela força peso é τ = mghsF −=Δ!!. (5) o sinal negativo vem do fato do corpo estar se movendo para cima, enquanto a força peso atua para baixo. A energia potencial, neste caso vale: ΔU = Uf = mgh (6) 
 30 
 Nota-se que o trabalho da força peso para trazer o corpo de volta para o solo é τ2 = mgh, ou seja, o trabalho total no ciclo (percurso fechado, para subir e voltar a altura original) é nulo: τ1 + τ2 = 0, o que é esperado de uma força conservativa. Outros exemplos de força conservativa são a força elástica e a força eletrostática. Forças não conservativas também realizam trabalho, embora não se possa definir para elas energia potencial. A força de atrito é um exemplo de força não conservativa. Voltando ao teorema do trabalho e energia cinética e considerando que as forças que realizam trabalho sejam conservativas (τ = -ΔU), e o teorema se reescreve: ΔEc = - ΔU ou Δ(Ec + U) = 0 (7) Portanto, a variação de Ec + U é nula, ou seja, esta quantidade se conserva e é chamada de energia mecânica (EM). Assim, quando não agem no sistema forças não conservativas, a energia mecânica é constante: ΔEM = 0. No caso de haver forças não conservativas atuando no sistema, pode-se separar o trabalho em dois tipos: trabalho das forças conservativas (τ = - ΔU) e das forças não conservativas (τnc): τ = - ΔU + τnc. (8) Desta forma tem-se: ΔEc = - ΔU + τnc → τnc = Δ(Ec + U) = ΔEM (9) Portanto, a variação da energia mecânica é igual ao trabalho realizado pelas forças não conservativas. A unidade de trabalho e energia no sistema internacional (MKS) é o Joule (J) que representa o trabalho realizado por uma força de um Newton para deslocar um corpo a distância de um metro. EXPERIMENTO Ilustrando o conceito de energia propõe-se montar o arranjo experimental abaixo: 
Figura 1: Esquema da prática experimental O esquema experimental pode ser usado também para ilustrar o Movimento retilíneo uniformemente variado. (MRUV) Com respeito ao material necessário, vale destacar a simplicidade e o fácil acesso aos mesmos. O carrinho (1) pode ser de qualquer espécie para o sistema modelo, foi usado um de madeira. Os itens barbante (2), roldanas (3), haste rígida(4) e base para haste(5) são 
 31 
encontrados, em geral, em lojas de materiais de construção ou em uma marcenaria, caso se utilize madeira como material básico. A massa (6) pode ser qualquer objeto que provoque uma força peso suficiente para mover o sistema, no caso serão foram usadas arruelas. O cronômetro pode ser substituído por um relógio comum com ponteiros de segundos; deve-se lembrar que relógios digitais muitas vezes são também cronômetros. Em havendo dificuldade de obter uma balança, as massas podem ser determinadas anteriormente em um estabelecimento comercial. O procedimento sugerido consiste em primeiro observar qual a distância que o carrinho pode percorrer estando sujeito à tração no fio constante. Sendo a mesa em que se apóia o carrinho suficientemente comprida, esta distância corresponde à altura máxima que a massa (6) possui em relação ao chão. Como uma fita adesiva delimita-se o espaço a ser percorrido pelo carrinho, marcando o início e o fim do trajeto. O carrinho é então colocado na posição inicial e abandonado (velocidade inicial igual a zero). O tempo necessário para percorrer a distância entre as marcas é medido usando o cronômetro. Para obter resultados quantitativos satisfatórios recomenda-se que a medida da distância percorrida sejafeita com cuidado e que o experimento seja repetido, nas mesmas condições, várias vezes (recomenda-se, pelo menos, 10 vezes); o tempo usado como resultado é a média aritmética dos tempos obtidos em cada um dos experimentos individuais. Finalmente, a massa (6) e a massa do carrinho devem ser determinadas. Com as medidas de tempo e distância percorrida determina-se, a exemplo do que foi feito para estudar o MRUV, a aceleração e velocidade final do sistema. Uma vez determinada a aceleração e usando a 2ª lei de Newton para o sistema determina-se a força de atrito. Lembrar que as forças no carrinho e na massa (6) devem ser tratadas separadamente para se obter um sistema de duas equações, no qual a força de atrito e a tensão no fio são incógnitas a serem determinadas. O produto da força de atrito pela distância percorrida pelo carrinho fornece o trabalho da força de atrito. A energia mecânica inicial é a própria energia potencial da massa (6), uma vez que o sistema está inicialmente em repouso. A energia mecânica final, por outro lado, é a própria energia cinética do carrinho mais a da massa (6). Neste último caso a energia potencial é zero admitindo a referência ao nível do solo. Finalmente, deve-se comparar a variação da energia mecânica com o trabalho da força de atrito. PROCEDIMENTO E EXERCÍCIOS 
 1) Colocando pequenas quantidades de massa em (6), obtém-se um movimento com menor aceleração, facilitando as medidas de tempo envolvidas. 2) Fazer as medidas com cuidado para obter uma boa precisão na comparação final das energias. Além dos resultados obtidos e cálculos realizados, inclusive com o cálculo do erro, e comentários pertinentes. O relatório deve conter resposta às questões abaixo: (a) A força de tração é conservativa? Por que? (b) Por que razão não nos preocupamos com ela? 
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Alonso e Finn. Física, Um Curso Universitário -, Volume 1 2. SEARS/ZEMANSKY. Física, Volume 1. 3. TIPLER, P. A. Física, Rio de Janeiro, Guanabara Dois, v. 1, 1984 
 32 
Prática X 
 PÊNDULO SIMPLES OBJETIVO 
 Determinação do valor da gravidade g em nosso laboratório. A figura abaixo representa um pêndulo simples. Ele consiste de um corpo de massa m, preso à extremidade de um fio de comprimento L, de tal maneira que a massa seja muito maior do que a massa do fio 
 Figura 1: Esquema de um pêndulo simples Quando a massa m, é afastada da posição de equilíbrio e é abandonada: ela se move de um lado para o outro descrevendo um “caminho circular” S ao redor do ponto de equilíbrio 
 Figura 2: Esquema de um pêndulo simples com amplitude d. O movimento executado pelo pêndulo a partir de uma posição qualquer até tornar a ocupar essa mesma posição chama-se “oscilação completa”. O intervalo de tempo gasto para executar uma “oscilação completa” é chamado de “período”. O arco S que corresponde ao máximo deslocamento do pêndulo em relação à posição de equilíbrio denomina-se “amplitude”. Quando o arco “S” é muito pequeno comparado com o comprimento “l”, dizemos que o pêndulo descreve “pequenas oscilações”. Isto significa que o arco “S” é aproximadamente igual ao segmento de reta “d”. (Fig. 2). TEORIA 
 A oscilação de um pêndulo simples é para pequenas amplitudes, um exemplo de MHS (Movimento Harmônico Simples). O período deste MHS é dado pela equação: (Ref. 1) 
 33 
 
g
2T
ℓ
π= (1) T = período l = comprimento g = aceleração da gravidade Pode-se mostrar que a expressão exata para o período é dada por: ( )...2/sen4/2/1sen2/11
g
2T 42222
22 +θθ++θ+π=
ℓ (2) Quando θ ≈ 150 a diferença dos dois períodos acima e de aproximadamente 0.5% . A equação do período simplificada, vale para - amplitudes muito pequenas - pêndulo em que toda sua massa esteja concentrada na extremidade do fio. O desvio ou indeterminação na aceleração da gravidade pode ser obtido pela expressão: Δg/g ≅ Δl/l + 2ΔT/T (3) Importante ⇒ O período não depende da amplitude 
 Figura 3: Esquema de um pêndulo simples em equilíbrio em um ponto p PARTE EXPERIMENTAL 
 Experiência A: “Medidas de intervalos de tempos iguais Material necessário: 1 pêndulo simples 1 cronômetro 1 trena papel log log e milimetrado 1a. Experiência: Determinar com o auxílio do cronômetro, o intervalo de tempo gasto numa única oscilação completa, tomando como referência as posições 1, 2 e 3. Mantenha o comprimento do pêndulo o maior possível 
 34 
 Figura 4: Esquema de um pêndulo simples em diferentes posições Teremos: T1 ≅ T2 ≅ T3 ≅ Q.1) Assinale qual a posição que você considera a mais prática para ser tomada como referência na medida direta do período 2a. Experiência: Desloque a extremidade do pêndulo de aproximadamente 10,0 (dez) cm em relação a vertical. Meça o intervalo de tempo t gasto para o pêndulo executar 10 oscilações completas. 
 Figura 5: Esquema de um pêndulo simples com amplitude de 10 cm A partir da medida do tempo realizada acima, determine o período do pêndulo T10 = 3a. Experiência: Repita a operação acima, somente que agora desloque o pêndulo de 5,0 (cinco) cm em relação à vertical e calcule o tempo t’ e o período T’ t’ = T’ = OBS.: O intervalo de tempo entre o instante que uma pessoa vê o fenômeno que reage ao mesmo é de aproximadamente 0,2 seg. Este intervalo de tempo é conhecido como: tempo de reação de um observador. Q.2) Quando dispomos de um cronômetro cujo desvio avaliado é de 0,1 seg (metade da menor divisão) e tempo que acioná-lo e pará-lo, você associará a medida do tempo t uma indeterminação de: 0,1 seg; 0,2 seg; 0,4 seg; 0,5 seg → R: Q.3) Considerando pequenas oscilações, escrever na forma correta, o tempo t gasto para o pêndulo executar 10 oscilações completas. Escreva também o período da oscilação, na forma correta: (x ± Δx) t = 
 35 
T = Q.4) Determine os desvios percentuais nas medidas da questão acima: Δt/t x 100% = ΔT/T x 100% = 4a. Experiência: Usando pequenas oscilações, determine o tempo necessário para que o pêndulo execute 25 oscilações completas (escreva na forma correta). Determine também seu período: t = T = Q.5) Com os resultados obtidos para pequenas oscilações, você pode concluir se o período depende ou não da amplitude ? Experiência B: “Dependência entre o período e o comprimento do pêndulo simples” 1a. Experiência: Usando uma amplitude de aproximadamente 5 cm, e variando o comprimento (l) do pêndulo (mínimo de 1,00 metro) e tomando sempre 25 oscilações para cada medida, preencha a tabela abaixo. No. l(m) t(s) T(s) T2(s2) 1 2 3 4 5 6 7 8 onde l = comprimento do pêndulo simples que vai desde o ponto de suspensão até o centro da esfera t = tempo para 25 oscilações completas T = período Q.6) Observando a tabela acima você pode concluir se para pequenas oscilações do pêndulo, período T depende ou não do comprimento l ? Método Gráfico: Com os resultados da tabela acima, procure graficar o seguinte: 1 - T x l 2 - T2 x l 3 - log T x log l Q.7) Dos gráficos acima, pode-se concluir se o período T depende do comprimento l ? Experiência C: “Dependência entre o período T e a massa do pêndulo” 
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Material: pêndulo simples, Trena, cronômetro, cilindro de alumínio, cilindro de ferro Experiência 1. Utilize um comprimento (l) fixo de 1,00 metro. Calcule o período usando sempre 25 oscilações completas. No. t(s) T(s) 1 2 3 1 - pêndulo ôco 2 - pêndulo com cilindro de alumínio 3 - pêndulo com cilindro de ferro Q.8) Com os resultados acima, você pode concluir que o período (T) depende da massa ? Em caso afirmativo qual é a dependência ? Experiência D: “Determinação da aceleração da gravidade” 1. Obtenha todos os dados da tabela abaixo associando os desvios correspondentes a cada medida. 2. Complete a tabela, determinando os valores da aceleração da gravidade g, com os respectivos desvios Δ g, usando as expressões: 
Δ g ≅ (Δl/l + 2ΔT/T)g 
g
T
≅ 4 2 2π
ℓ 3. Calcule um valor aproximado de g apartir de um dos gráficos obtidos anteriormente na experiência B. 4. Compare percentualmente os valores obtidos nos itens 2 e 3. No. No. de Oscilações t(s) Δt(s) T(s) ΔT(s) g(m/s2) Δg(m/s2) 1 2 3 Valor escolhido: l ( ) = ( ) m Q.9) Quando uma indeterminação de ± 1 oscilação é cometida na contagem do número de oscilações (assuma ser 50), que desvio deve ser introduzido no valor de g ? Q.10) O período de um pêndulo simples, depende de sua amplitude angular de oscilação. O fator de correção obtido teoricamente para a equação do pêndulo simples é: 1 + 1/4 sen2 (θ/2 + 9/64 sen4 (θ/2) + .... Critique esta aproximação em face às medidas obtidas no laboratório. Q.11) Um pêndulo simples de 2,4 m de comprimento oscila com amplitude de 30 cm. a) Calcule a velocidade do pêndulo no ponto mais baixo de sua trajetória. b) Calcule sua aceleração nas extremidades da trajetória 
 37 
Q.12) Ache o comprimento do pêndulo simples cujo período é de 1,0 seg. e um ponto onde g = 9,82 m/s2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 1. ALONSO e FINN. Física, Um Curso Universitário -, Volume 1 2. SEARS e ZEMANSKY. Física, Volume 1, 3. TIPLER, P.A. Física, Volume 1, Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1984