Lista - Cálculo 3

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1a LISTA DE EXERCI´CIO DE CA´LCULO III
Prof. Marcel Nascimento
1. Cacule os limites, caso exista:
a) lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
b) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2 + y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
d) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)√
x4 + y4
2. Determine o conjunto de pontos de continuidade. Justifique sua resposta.
a) f(x, y) = 3x2y2 − 5xy + 6
b) f(x, y) = ln x−y
x2+y2
c) f(x, y) =

x− 3y
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0).
d) f(x, y) =

sin(x2 + y2)
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
1, (x, y) = (0, 0).
e) f(x, y) =
 e
(
1
r2−1
)
, se r < 1
0, se r ≥ 1,
em que r = ||(x, y)||.
3. Determine as derivadas parciais:
a) z = cosxy b) z =
x3 + y2
x2 + y2
c) z = x2 ln(1 + x2 + y2) d) z = xyexy
e) z = arc tan x
y
f) f(x, y) = xy g) g(x, y) =
x sen y
cos(x2 + y2)
4. Considere a func¸a˜o z =
xy2
x2 + y2
. Verifique que x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z.
5. Seja Φ : R→ R uma func¸a˜o de uma varia´vel real, diferencia´vel e tal que Φ′(1) = 4.
Seja g(x, y) = Φ
(
x
y
)
. Calcule
a) ∂g
∂x
(1, 1) b) ∂g
∂y
(1, 1)
6. A func¸a˜o p = p(V, T ) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o pV = nRT , em que n e
R sa˜o constantes reais na˜o nulas. Calcule
∂p
∂V
e
∂p
∂T
.
1
7. Sejam z = ex
2+y2 , x = ρ cos θ e y = ρ sin θ. Verifique que
∂z
∂ρ
= ex
2+y2(2x cos θ + 2y sin θ).
Conclua que
∂z
∂ρ
=
∂z
∂x
cos θ +
∂z
∂y
sin θ.
8. Dizemos que (x0, y0) e´ um ponto cr´ıtico ou ponto estaciona´rio de z = f(x, y) se
∂f
∂x
(x0, y0) = 0 e
∂f
∂y
(x0, y0) = 0. Determine, caso existam, os pontos cr´ıticos das
func¸o˜es seguintes:
a) f(x, y) = x2 + y2 b) f(x, y) = 2x+ y3 c) f(x, y) = x2 − 2xy + 3y2 + x− y
d) f(x, y) = 3x2 + 8xy2 − 14x− 16y
9. Calcule as derivadas parciais das func¸o˜es de treˆs varia´veis:
a) f(x, y, z) = xex−y−z b) w =
xyz
x+ y + z
c) f(x, y, z) = sin(x2 + y2 + z2).
10. Prove que as func¸o˜es sa˜o diferencia´veis:
a) f(x, y) = xy b) f(x, y) =
1
xy
.
11. f e´ diferencia´vel em (0, 0), usando a definic¸a˜o de diferenciabilidade vista em aula?
a) f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0.
b) f(x, y) =
x2y
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0.
12. Verifique que f(x, y) =

x4
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0),
e´ uma func¸a˜o diferencia´vel.
13. Determine o conjunto de pontos em que a func¸a˜o dada e´ diferencia´vel. Justifique.
a) f(x, y) =

xy
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0),
b) f(x, y) =

x3
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0),
c) f(x, y) =

xy3
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0),
2
14. Determine as equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal ao gra´fico da func¸a˜o
dada, no ponto dado.
a) f(x, y) = 2x2y, em (1, 1, f(1, 1)).
b) f(x, y) = x2 + y2, em (0, 1, f(0, 1)).
c) f(x, y) = 3x3y − xy, em (1,−1, f(1,−1)).
d) f(x, y) = xex
2−y2 , em (2, 2, f(2, 2)).
15. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tangente
ao gra´fico de f(x, y) = xy.
16. 2x + y + 3z = 6 e´ a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f(x, y) no ponto
(1, 1, 1).
a) Calcule
∂f
∂x
(1, 1) e
∂f
∂y
(1, 1).
b) Determine a equac¸a˜o da reta normal no ponto (1, 1, 1).
17. A altura de um cone e´ h = 20cm e o raio da base r = 12cm. Calcule o valor
aproximado para a variac¸a˜o ∆V no volume quando h aumenta de 2mm e r decresce
de 1mm.
18. A energia consumida num resistor ele´trico e´ dada por P =
V 2
R
watts. Se V = 100
volts e R = 10Ω, calcule o valor aproximado para a variac¸a˜o ∆P em P , quando V
decresce de 0,2 volts e R aumenta de 0, 01Ω.
19. Calcule ∇f(x, y) sendo
a) f(x, y) = x2y b) f(x, y) = ex
2−y2 c) f(x, y) =
x
y
d) f(x, y) = arc tan
x
y
.
20. Defina gradiente de uma func¸a˜o de treˆs varia´veis. Calcule ∇f(x, y, z), sendo
f(x, y, z) dado por:
a)
√
x2 + y2 + z2 b) x2 + y2 + z2 c) zarc tan
x
y
.
21. Seja f(x, y) = arc tan
x
y
. Represente geometricamente ∇f(x0, y0), sendo (x0, y0)
um ponto da circunfereˆncia x2 + y2 = 1.
22. Suponha z = f(x, y) e´ de classe C1, f(1, 2) = −2, ∂f
∂x
(1, 2) = 3 e
∂f
∂y
(1, 2) = 4.
Admita que a imagem da curva γ(t) = (t2, 3t − 1, z(t)), t ∈ R, esteja contida no
3
gra´fico de f .
a) Calcule z(t).
b) Ache a equac¸a˜o da reta tangente a γ no ponto γ(1).
23. A func¸a˜o diferencia´vel z = z(x, y) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o
xyz + x3 + y3 + z3 = 5.
Determine
∂z
∂x
.
24. Utilize a regra da cadeia para determinar
∂z
∂x
e
∂z
∂t
.
a) z = x2y3, x = s cos t, y = s sin t.
b) z = sin θ cos Φ, θ = st2, Φ = s2t.
c) z = er cos θ, r = st, θ =
√
s2 + t2.
25. Se z = f(x, y) e´ diferencia´vel, e x = g(t), y = h(t), g(3) = 2, g′(3) = 5, fx(2, 7) = 6,
e h(3) = 7, h′(3) = −4, fy(2, 7) = −8. Determine dz/dt quando t = 0.
26. Suponha que f seja diferencia´vel de x e y, e g(u, v) = f(eu sin v, eu + cos v). Use a
tabela abaixo para calcular os valores de gu(0, 0) e gv(0, 0).
f g fx fy
(0,0) 3 6 4 8
(1,2) 6 3 2 5
4