Solutions to Limits as x Approaches Infinity

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SOLUTIONS TO LIMITS OF FUNCTIONS AS X APPROACHES PLUS OR
MINUS INFINITY
SOLUTION 13 :
 = 
(This is true because the expression   approaches   and the expression x + 3
approaches   as x approaches   . The next step follows from the following simple fact. If A is a
positive quantity, then   = A . )
= 
= 
= 
(You will learn later that the previous step is valid because of the continuity of the square root
function.)
= 
(Inside the square root sign lies an indeterminate form. Circumvent it by dividing each term by   ,
the highest power of x inside the square root sign.)
= 
= 
= 
(Each of the three expressions   ,   , and   approaches 0 as x approaches   .)
= 
= 
=   .
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SOLUTION 14 :
 = 
(This is true because the expression   approaches   and the expression x + 3
approaches   as x approaches   . The next step follows from the following simple fact. If A is
a negative quantity, then   = ­ A so that   = ­ ( ­ A ) = A . Please make sure that you think
about and understand this before proceeding. )
= 
= 
= 
(You will learn later that the previous step is valid because of the continuity of the square root
function.)
= 
(Inside the square root sign lies an indeterminate form. Circumvent it by dividing each term by   ,
the highest power of x inside the square root sign.)
= 
= 
= 
(Each of the three expressions   ,   , and   approaches 0 as x approaches   .)
= 
= 
=   .
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SOLUTION 15 :
 = 
(You will learn later that the previous step is valid because of the continuity of the logarithm
function. Note also that the expression   leads to the indeterminate form   .
Circumvent it by dividing each term by   , the highest power of x .)
= 
= 
= 
(The term   approaches 0 as x approaches   .)
= 
= 
= 0 .
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SOLUTION 16 :
 = 
(You will learn later that the previous step is valid because of the continuity of the cosine function.)
= 
= 
(The expression   leads to the indeterminate form   . Circumvent it by dividing each
term by   , the highest power of x in the expression.)
= 
= 
= 
(Each of the terms   and   approaches 0 as x approaches   .)
= 
= 
=   .
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SOLUTION 17 :
(As x approaches   each of the expressions   and   approaches 0. The following steps
explain why.)
= 
= 
= 
= 
= 0 .
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SOLUTION 18 :
 = 
(Circumvent this indeterminate form by dividing each term in the expression by   . Division by 
also works . You might want to try it both ways to convince yourself of this. Also, BEWARE of
making one of the following common MISTAKES :   =   or \   =   .)
= 
= 
= 
(Since   approaches 0 and   approaches   as x approaches   , we get the following
resultant limit.)
= 
=   .
(Thus, the limit does not exist.)
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SOLUTION 19 :
 = ``   '' truein truein (BEWARE of making the following common
MISTAKE :   =   . Realize also that the form ``   '' is an
indeterminate one ! It is not equal to 1 ! Circumvent it in the following algebraic ways.)
= 
= 
(Factor out the term   . If you have time, try factoring out the term   to convince yourself that it
DOESN'T seem to help !)
= 
= 
= 
= 
= 
(The expressions   and   approach 0 as x approaches   .)
= 
=   .
= 9 .
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