ATPS DE CALCULO II

Prévia do material em texto

Ribeirão Preto – 2015 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS 
CÁLCULO II 
 
 
 
 
 
 
 
Nome: Giovanna Stayse R.A.: 9906106734 
Nome: Leandro Aparecido da Silva R.A.: 8484200346 
Nome: Letícia Moura Vicentini R.A.: 9902015924 
Nome: Marcos de Sousa da Cruz R.A.: 9902000005 
Nome: Mateus Domingos R.A.: 9902005760 
 
Curso: Eng. de Controle e Automação/ Mecânica 
Turma: 3ºB 
 
 
 
 
 
 
Ribeirão Preto – 2015 
 
ETAPA 1 (tempo para realização: 5 horas) 
Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação. 
 
Essa atividade é importante para poder verificar a aplicação da derivada inserida em conceitos 
básicos da física. A noção intuitiva de movimento, velocidade, aceleração é algo intrínseco a 
todos, já que é algo natural. No entanto, quando visto sob um olhar crítico científico, pode se 
observar as leis da física, em que as operações matemáticas e regras de derivação básica estão 
intimamente ligadas a essas leis. 
Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos. 
 
 Passo 1: 
Sabemos que na cinemática o conceito de velocidade instantânea é dado pela fórmula que fora 
desenvolvida através de observações do físico, matemático, astrônomo e filósofo Galileu 
Galilei, que segundo James Stewart (2001, p. 88) “[...] descobriu que a distância percorrida 
por qualquer objeto em queda livre é proporcional ao quadrado do tempo em que ele esteve 
caindo (desprezando a resistência do ar)”. Em cálculo o conceito de velocidade instantânea 
abrange de forma definida a função limite, onde é preciso realizar cálculos que são diferentes 
da velocidade média em que apenas se divide o espaço (s) pelo tempo (t). Usando a função 
limite é possível calcular a média da velocidade em intervalos cada vez menores, chegando 
desta forma na fórmula descrita abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ribeirão Preto – 2015 
 
Suponhamos então que a soma do último numeral do RA dos integrantes do grupo é: 19. 
S = f(t) = 19t²-2t com tempo em 1 segundos: 
 
19t²-2t derivando: 
38t-2 
Aplicando no tempo igual a um segundo temos, (38*1) -2 = 36m/s. 
Aceleração é igual: dvdt 38t-2 
Portanto aceleração é igual à 38 m/s² 
 
 Passo 2: 
 
Tempo(s) Espaço(m) S(m) x t(s) V(m/s) x t(s) 
0s 0m 0 m/s 38 m/s² 
1s 19m 36 m/s 38 m/s² 
2s 76m 74 m/s 38 m/s² 
3s 171m 112 m/s 38 m/s² 
4s 304m 150 m/s 38 m/s² 
5s 475m 188 m/s 38 m/s² 
 
 Passo 3: 
 
A aceleração não é mais do que a velocidade a que a velocidade varia em ordem ao tempo, ou 
seja a aceleração é a derivada da velocidade em ordem ao tempo. 
 
 
 
 
 
 
Ribeirão Preto – 2015 
 
 Passo 4: 
 
Tempo(s) A(m/s²) Área formada 
0s 38 m/s² Função Constante 
1s 38 m/s² Função Constante 
2s 38 m/s² Função Constante 
3s 38 m/s² Função Constante 
4s 38 m/s² Função Constante 
5s 38 m/s² Função Constante 
 
ETAPA 2 (tempo para realização: 5 horas) 
Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação. 
Essa atividade é importante para poder verificar a aplicação da derivada inserida em situações 
relacionadas às várias áreas como física, biologia, música etc. Uma observação mais 
aprofundada sobre o conceito de derivação e um olhar mais amplo sobre a constante de Euler, 
que é muito usada, mas que muitas vezes assumi um papel oculto dentro do próprio cálculo 
matemático e que por sua vez está intrinsecamente ligado a vários fenômenos naturais. 
Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos. 
 
 Passo 1: 
O que é a Constante de Euler? 
Trata-se de um número irracional, conhecido como “e”. Foi atribuída a este número a notação 
“e”, em homenagem ao matemático suiço Leonhard Euler (1707-1783), visto ter sido ele um 
dos primeiros a estudar as propriedades desse número. 
Podemos expressar esse número com 40 dígitos decimais, ou seja: 
e = 2,718281828459045235360287471352662497757 
 
O número de Neper, que se representa habitualmente pela letra e, deve o seu nome ao 
matemático escocês John Neper (1550-1617) e a designação e ao matemático suíço Leonhard 
Euler (1707-1783). Pensa-se que a escolha do símbolo e possa dever-se ao fato de ser a 
primeira letra da palavra "exponencial". 
O número de Neper é uma constante que surge em várias aplicações científicas. O seu valor 
encontra-se, por exemplo, ao calcular o limite da sucessão. O valor deste limite é um número 
Ribeirão Preto – 2015 
 
irracional (além disso é, também, transcendente, uma vez que não é solução de qualquer 
equação algébrica de coeficientes racionais). O número de Neper, escrito com dez casas 
decimais, é e = 2,7182818285 (a última casa decimal resulta de arredondamento). 
 
Na Natureza, o número de Neper aparece, por exemplo, associado à desintegração radioativa. 
Uma substância radioativa desintegra-se espontaneamente segundo uma lei de decrescimento 
exponencial dada pela expressão m = m0e
-kt, onde m0 é a massa inicial, k é uma constante 
positiva que depende da substância em causa e t é o tempo em anos. O número e tem, 
também, importância prática noutras áreas como a economia, a engenharia, a biologia ou a 
sociologia, por exemplo. 
Fórmula Euler (e) Valores (n) Resultado 
 
 
1 2 
5 2.48832 
10 2.5937446 
50 2.691588029 
100 2.704813829 
500 2.715568521 
1000 2.716923932 
5000 2.716923932 
10000 2.718145927 
100000 2.718145927 
1000000 2.718280469 
 
 
 
 
 
 
 
 Passo 2: 
É fato que uma série harmônica é uma série infinita, ou seja ela é composta de ondas 
senoidais com todas as frequências múltiplas inteiras da frequência fundamental. A frequência 
Ribeirão Preto – 2015 
 
fundamental é o primeiro harmônico. Não existe uma única série harmônica, mas sim uma 
série diferente para cada frequência fundamental. 
O fato da série harmônica ser divergente é notável e jamais seria descoberto por meios 
experimentais (somar um número considerável de partes e observar a tendência). Foi umas 
das primeiras séries a se descobrir em que o termo geral pode tender a zero sem que a série 
seja convergente. Isso ocorreu por volta do século XIV e a descoberta foi feita por Oresme. Se 
fôssemos capazes de somar cada termo da série em um segundo, como um ano tem 
aproximadamente 31.557.600 segundos, nesse período de tempo teríamos somado os 
31.557.600 primeiros termos, obtendo como resultado um valor um pouco superior a 17; em 
10 anos a soma chegaria a pouco mais de 20; em 100 anos a pouco mais de 22. Esses números 
são muito pequenos para indicar que a soma é divergente (tende a infinito). Suponhamos que 
exista um computador que pode fazer uma soma em 10−23 segundos, que é o tempo gasto 
pela luz para percorrer a distância igual ao diâmetro de um elétron. Tal computador seria o 
mais rápido do universo, pois a velocidade da luz é a máxima neste. Se tal computador fosse 
somar todas as partes que pudesse da série harmônica em um ano, teria somado 315.576x1025 
termos; em mil anos 315.576x1028; e em um bilhão de anos 315.576x1034 termos! Os 
resultados aproximados que obteríamos, em cada um dos casos, respectivamente seria: 70,804 
; 77,712 e 91,527. Imagine agora que esse computador estivesse ligado desde a origem do 
universo, há cerca de 15 bilhões de anos. Ele estaria hoje obtendo o valor aproximado de 
94,235 para a soma da série harmônica. Vamos além! O número 1080 é maior que todos os 
valores anteriores, superando até a quantidade de átomos do universo conhecido. Pois bem, 
para essa quantidade de termos a soma de todos eles são aproximadamente: 184,784 e 
permanece nesse mesmo valor aumentando-se drasticamente a quantidade determos, como 
1080 + 109 ou 1080 + 1012. Veja que a cada passo estamos aumentando enormemente a 
quantidade de termos, no entanto, a soma Sn permanece a mesma. Em vista disso nada mais 
natural do que concluir que a série seja convergente. Mas, como sabemos, isso é falso. Vemos 
então que jamais descobriríamos a divergência da série harmônica por meios puramente 
experimentais. Como se chega então aos números 94,235 ou 184,784, se, para obtê-los, o 
idealizado computador mais rápido do universo deveria ficar ligado durante 15 bilhões de 
anos? Sim, essa é uma pergunta interessante e muito pertinente. Realmente, nenhum 
computador consegue fazer a soma Sn dos termos da série diretamente para valores muito 
grandes. Mas é possível substituir essa soma por uma expressão matemática que aproxime Sn 
Ribeirão Preto – 2015 
 
e que possa ser calculada numericamente; e os matemáticos sabem disso desde os tempos de 
Euler, há mais de 250 anos. 
 
 Constante de Euler-Mascheroni (wikipedia) 
A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações 
em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e 
o logaritmo natural. 
 
 
que pode ser condensada assim : 
 
em que E(x) é a parte inteira de x. 
A demonstração da existência de um tal limite pode ser feita pela aplicação do método da 
comparação série-integral. 
As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de 
Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações 
impróprias da função exponencial para determinados valores de 
 
 Valores: 
As 100 primeiras decimais dessa constante são 
γ ≈ 
0,57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488486772677
76646709369470632917467495 
Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graças ao método de soma de 
Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obraGeometria 
del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante. 
 
Ribeirão Preto – 2015 
 
 Passo 3: 
Thomas Malthus em seu trabalho publicado em 1798 “An Essay on the Principle of 
Population”, apresentou um modelo para descrever a população presente em um determinado 
ambiente, em função do tempo. Ele considerou N = N(t) como sendo o número de indivíduos 
em certa população no instante t. Tomando as hipóteses que os nascimentos e as mortes 
naquele ambiente eram proporcionais à população presente e sendo a variação do tempo 
conhecida entre os dois períodos, concluiu a seguinte equação para descrever a população 
presente em um determinado instante t. 
 
 N(t) = N0 * e^rt 
 
Onde temos: 
t =0 no instante inicial; 
r = uma constante que varia com a espécie da população; 
n0 = A população existente/presente no instante inicial. 
 
É obvio que o gráfico dessa função depende de r e a utilização desse modelo parte do 
pressuposto de que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população. 
Dessa forma, ele serve mais como um indicador do potencial de sobrevivência e de 
crescimento de cada espécie populacional, do que um modelo que realmente mostra o que 
ocorre. 
 
Com base nas informações acima, considerar uma colônia de vírus em um determinado 
ambiente. Um analista de um laboratório ao pesquisar essa população, percebe que ela triplica 
a cada 8 horas. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos 
vírus haverá na colônia após 48 horas em relação à última contagem? 
 
N0= 2000 vírus; T = 8; N(8) = 3000 
N(8)= 2000 * er8 
3000 = 2000 * er8 
e r8 = 3000/2000 
e r8 = 1,5 
ln er8 = ln 1,5 
r = ln 1,5/8 
r= 0,050 
 
Em 48 horas temos: 
N(48) = 2000 * e48 * 0,050 
N(48) = 22.046 Vírus. 
 
 
 
Ribeirão Preto – 2015 
 
 Passo 4: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Bibliografias: 
 
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/numeroe.htm 
http://www.infopedia.pt/$numero-de-neper 
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/velocidade2.php 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Física I. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Acelera%C3%A7%C3%A3o 
http://www.brasilescola.com/matematica/introducao-ao-estudo-das-derivadas.htm 
0
2000
4000
6000
8000
10000
N(0) N(4) N(8) N(12) N(16) N(20) N(24) N(28)
2000 2442 2983
3644 4415
5436
6640
8110
N(0) N(4) N(8) N(12) N(16) N(20) N(24) N(28)
Quantidade de Vírus 2000 2442 2983 3644 4415 5436 6640 8110
Quantidade de Vírus