Slides Cap3 Calculo probabilidade

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1 
CAPÍTULO 3 – CÁLCULO DE PROBABILIDADES 
 
A teoria matemática da probabilidade dá-nos o instrumental para 
construção e análise de modelos matemáticos relativos a fenômenos 
aleatórios. Ao estudarmos um fenômeno aleatório, temos diante de 
nós um experimento cujo resultado não pode ser previsto. Ocorrem-
nos então logo à mente experimentos relacionados com jogos de 
azar. De fato, a teoria das probabilidades, surgida nos séculos XV e 
XVI, foi motivada por problemas deste tipo. 
 Historicamente, o propósito original da teoria das probabilidades 
limitava-se à descrição e ao estudo dos jogos de azar e quase todo o 
esforço era concentrado no cálculo do valor de certas probabilidades 
de interesse. 
 
 2 
 Entretanto, a obtenção de valores numéricos de probabilidades 
não é o principal objetivo da teoria, e sim a descoberta de leis 
gerais, e a construção de modelos teóricos satisfatórios. 
 Com o advento da teoria das probabilidades, foi possível 
estabelecer as distribuições de probabilidade, consideradas hoje a 
espinha dorsal da teoria estatística, pois todos os processos 
inferenciais são aplicações de distribuições de probabilidade. 
 Assim, o conhecimento dos conceitos advindos da teoria das 
probabilidades é de grande importância para uma correta utilização 
da técnica estatística. 
 
 
 3 
3.1. CONCEITO DE PROBABILIDADE 
 
3.1.1. Definições importantes 
- Experimentos probabilísticos ou aleatórios 
 São ações ou fenômenos que podem ser repetidos e que os 
resultados não são previsíveis, ou seja, são aleatórios ou casuais. 
São exemplos de experimentos aleatórios: 
i. Exp.1: lançar uma moeda 10 vezes e observar o número de caras 
obtidas; 
ii. Exp.2: jogar um dado e observar a sua face superior; 
iii. Exp.3: observar o nascimento de três bezerros e identificar o 
sexo. 
 4 
- Espaço amostral () 
 É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento 
aleatório. Os elementos de  são chamados de pontos amostrais. 
 Aos experimentos aleatórios exemplificados anteriormente estão 
associados os seguintes espaços amostrais, respectivamente: 
i.  10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0
1
 ; 
 
ii.  6,5,4,3,2,1
2
 ; 
 
iii.  MMMMMFMFMFMMMFFFMFFFMFFF ,,,,,,,
3
 
 
 
 5 
- Evento 
 
 É um subconjunto qualquer de  que representa um determinado 
resultado, podendo ser composto por um ou mais pontos amostrais. 
Os conjuntos  (espaço amostral) e  (conjunto vazio) são 
considerados eventos, sendo denominados de eventos certo e 
impossível, respectivamente. Como exemplo temos: no Exp.3, pode-
se estar interessado no evento B: nascer exatamente 2 fêmeas, ou 
seja,  MFFFMF,FFM,B . 
 
 
 6 
3.1.2. Conceito Moderno de Probabilidade 
 
 Seja um experimento qualquer e  o espaço amostral associado a 
esse experimento, a cada evento E de  associaremos um número 
real  EP , denominado probabilidade da ocorrência do evento E, se 
forem satisfeitas as seguintes condições ou axiomas: 
 
 (i)   0EP , para qualquer evento E em ; 
 
 (ii)   1Ω P ; 
 
 (iii) Se 
1
E e 
2
E são dois eventos de  e são mutuamente exclu-
sivos**, então 
     
2121
EPEPEEP . 
 
 7 
** Diz-se que dois eventos são mutuamente exclusivos se, e 
somente se, a ocorrência de um impede a ocorrência do outro. 
Correspondentemente, caracterizam-se, na teoria dos conjuntos, por 
dois conjuntos disjuntos, isto é, que não possuem nenhum ponto em 
comum. Assim, BA . 
 
 Decorre daí, duas propriedades importantes, ou sejam: 
 
 a.   10  EP 
 
 b.        EPEPPEP c  1 
 
 
 8 
3.2. VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADE 
 
 Para facilitar o desenvolvimento da teoria das probabilidades é 
importante associarmos um número a um evento aleatório e 
calcularmos a probabilidade de ocorrência desse número em lugar 
da probabilidade do evento. Por exemplo, considerando o Exp.3, 
tem-se 
 
 MMMMMFMFMFMMMFFFMFFFMFFF ,,,,,,,
3
 . 
 
Considere os dois eventos: 
 E1: nascer exatamente 2 fêmeas 
    
8
3
,,
11
 EPMFFFMFFFME ; 
 9 
 E2: nascer pelo menos 2 fêmeas 
    
2
1
8
4
,,,
22
 EPFFFMFFFMFFFME . 
 
 Portanto, pode-se definir a variável aleatória X, como o número 
de fêmeas que nasceram em três partos, em que 
 3,2,1,0X
 e assim, 
 
   
   2
2
2
1


XPEP
XPEP
 
 
 
 10 
- Definição: Variável aleatória (v.a.) é uma variável qualquer 
(função) que associa a acada evento do espaço amostral um número 
real (ou uma série de números). Como cada evento aleatório está 
relacionado a uma probabilidade de ocorrência, então cada um dos 
possíveis valores da v.a. estará também associado a uma 
probabilidade de ocorrência. 
 
- Notação: 
 Variável aleatória: X, Y, Z (maiúsculas) 
 Valores assumidos pela v.a.: ,,,
321
xxx (minúsculas) 
 Probabilidade que a v.a. assuma o valor x:  xXP  
 Probabilidade que a v.a. assuma o valor menor ou igual a x: 
 xXP  
 11 
3.2.1. Variável aleatória discreta 
 Seja X uma variável aleatória, tal que o número de valores de X 
seja finito ou infinito enumerável, então X será uma variável 
aleatória discreta (v.a.d.). Em geral é obtida mediante alguma forma 
de contagem. 
Ex.: 
 - no de acidentes ocorridos em uma semana; 
 - no de bezerros do sexo feminino, nascidos em três partos; 
 - no de plantas sadias em uma área de reflorestamento; 
 - no de defeitos por peça produzida por um fabricante, etc. 
 
 
 12 
3.2.2. Variável aleatória contínua 
 Seja X uma variável aleatória, tal que X possa assumir todo e 
qualquer valor em algum intervalo bxa  , onde a e b podem ser, 
respectivamente  + e , então X é uma variável aleatória 
contínua (v.a.c.). Assim uma v.a. X é contínua quando associada a 
um espaço amostral infinito não enumerável. 
Ex.: 
 - diâmetro a altura do peito de árvores de eucalipto, em uma área 
de reflorestamento; 
 - produção de leite, em kg, de uma vaca; 
 - altura das plantas de soja, etc. 
 
 13 
3.3. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 
 
 Algumas variáveis aleatórias adaptam-se muito bem a uma série 
de problemas e aparecem com bastante frequência em situações 
práticas. Portanto, um estudo mais aprofundado das mesmas facilita 
bastante a construção de modelos de probabilidade, bem como a 
determinação dos seus principais parâmetros, ou seja, nesses casos a 
distribuição de probabilidades pode ser representada de uma 
maneira mais compacta, isto é, existe uma lei ou modelo utilizado 
para atribuir as probabilidades a cada valor da v.a. Assim, para um 
dado problema, tentamos verificar se ele satisfaz às condições de 
algum modelo conhecido, pois isso facilitaria muito o nosso 
trabalho. 
 
 14 
3.3.1. Distribuições discretas de probabilidades 
 
3.3.1.1. Distribuição binomial 
 
 Quando um experimento aleatório, com apenas dois resultados 
possíveis, sucesso ou fracasso, é repetido n vezes, de tal forma que 
as n realizações do experimento sejam independentes e a 
probabilidade de ocorrer o sucesso seja p, a v.a. definida como X: 
número de sucessos ocorridos em n realizações do experimento, 
tem distribuição binomial com parâmetros n e p, isto é,  pnBX ,~ . 
A seguir são apresentados três experimentos aleatórios, tais que, a 
v.a. X de interesse tem distribuição binomial. 
 
 15 
1. Observar a v.a. X: número de sementes que germinam em 
uma amostra de 100 sementes; 
2. Observar a v.a. X: número de plantassadias de uma 
determinada espécie nativa, em uma parcela contendo 30 plantas; 
3. Observar o nascimento de 10 bezerros e verificar a v.a. X: 
número de fêmeas nascidas. 
 
 A função de probabilidade de uma v.a.  pnBX ,~ é dada por: 
    xnx pp
x
n
xXP







 1 
em que, 
 !!
!
xnx
n
x
n







, nx ,,2,1,0  e 10  p . 
 
 
 16 
 A média e a variância de uma v.a. X com distribuição binomial 
são, respectivamente: 
 
 -   npXE
X
 ; 
 
 -    pnpXV
X
 12 . 
 
 
 17 
Exemplo 1: Considerando o Exp.3 e definindo X como a v.a. que 
representa o número de fêmeas que nasceram em três partos, tem-se: 
 
- no de realizações do experimento aleatório: 3n partos; 
 
- probabilidade de sucesso (nascimento de fêmea): 
2
1
p ; 
 
- v.a. X: no de fêmeas nascidas em três partos, tal que 3,2,1,0x ; 
 
 18 
- probabilidade associada a cada ponto amostral: 
 
 
 
 
8
1
8
1
11
8
1
!)33(!3
!3
2
1
1
2
1
3
3
3
8
3
8
1
3
2
1
4
1
!)23(!2
!3
2
1
1
2
1
2
3
2
8
3
8
1
3
4
1
2
1
!)13(!1
!3
2
1
1
2
1
1
3
1
8
1
8
1
1
8
1
1
!)03(!0
!3
2
1
1
2
1
0
3
0
333
232
131
030
























































































XP
XP
XP
XP
 
 
 19 
 Assim, a distribuição de probabilidades é dada por: 
 
X 0 1 2 3 
 xXP  1/8 3/8 3/8 1/8 1,0 
 
 
 20 
Exemplo 2: Sabe-se que o poder germinativo de certa variedade 
de milho é 30%. Semeando-se 10 sementes dessa variedade, qual é a 
probabilidade de germinar: (a) uma semente? (b) mais de uma 
semente? Neste caso, tem-se: 
 
- no de realizações do experimento aleatório: 10n sementes 
semeadas; 
 
- probabilidade de sucesso (semente germinar): 30,0p ; 
 
- v.a. X: no de sementes germinadas, em 10 semeadas, com 
10,,1,0 x ; 
 
 
 21 
(a) P(germinar uma semente) 
 
    1211,001211,0107,03,0
!)110(!1
!10
3,013,0
1
10
1 9
1101 









XP 
 
(b) P(germinar mais de uma semente) =     101  XPXP 
 
    0282,017,01
!)010(!0
!10
3,013,0
0
10
0 10
0100 









XP 
 
Então, 
 
P(germinar mais de uma semente) =   8507,01211,00282,01  
 
 
 22 
3.3.1.2. Distribuição Poisson 
 
 A distribuição Poisson é uma forma limite da distribuição 
binomial, quando n tende a infinito e p tende a zero, ficando o 
produto np finito e não nulo. Assim, a distribuição Poisson é 
utilizada quando o no de observações de um experimento aleatório é 
muito grande ( 50n ) e a probabilidade de sucesso é muito pequena 
( 10,0p ) e o termo np permanece constante. É conhecida 
classicamente como a lei dos fenômenos raros. 
 Este tipo de distribuição é útil para descrever as probabilidades 
do no de ocorrências num campo ou intervalo contínuo (em geral, 
tempo ou espaço). 
 
 23 
 São exemplos de v.a. que podem ter como modelo a 
distribuição Poisson: 
 - no de defeitos por cm2; 
 - no de acidentes por dia; 
 - no anual de suicídios; 
 - no de chamadas erradas por hora, num circuito telefônico, etc. 
 
 Note que a unidade de medida (tempo, área, etc) é contínua mas 
a variável aleatória (no de ocorrências) é discreta. Além disso, na 
maioria das vezes, verifica-se que as falhas não são contáveis, como 
por exemplo, não é possível contar os acidentes que não ocorreram 
em um dia, nem tão pouco o no de chamadas telefônicas que não 
foram feitas. 
 
 24 
 A função de probabilidade de uma v.a.  PoissonX ~ é dada 
por: 
 
!x
e
xXP
x  
, 
em que ,3,2,1,0x , 718281828,2e é a base do logaritmo 
natural ou neperiano e 0 é o único parâmetro da distribuição, 
conhecido como o número esperado ou número médio de sucessos. 
 Sabendo-se que uma v.a. tem resultados distribuídos segundo 
Poisson e conhecendo o n
o
 médio de ocorrências por unidade de 
medida, podemos determinar a probabilidade de qualquer dos 
resultados possíveis. 
 
 25 
 A distribuição Poisson tem uma característica muito importante 
e bem peculiar. A sua média (
X
 ) e a sua variância ( 2
X
 ) são iguais 
ao único parâmetro da distribuição, isto é, 
  2
XX
. 
 
 26 
Exemplo 1: A emissão de partículas radioativas tem sido 
modelada através de uma distribuição de Poisson, com valor do 
parâmetro dependendo da fonte utilizada. Suponha que o número de 
partículas alfa, emitidas por minuto, seja uma v.a. seguindo o 
modelo Poisson com parâmetro 5, ou seja, a taxa média de 
ocorrência é de 5 emissões a cada minuto. Qual é a probabilidade de 
haver mais de 2 emissões em um minuto? Neste caso tem-se que: 
 
- X: v.a. referente ao número de partículas alfa emitidas/min, com 
,3,2,1,0x ; 
 
- taxa média de emissões/min (parâmetro da Poisson): 5 
emissões/min. 
 
 Portanto,  5~ PoissonX 
 27 
Então, 
        21012  XPXPXPXP , 
em que   0067,0
!0
5
0
50

e
XP ;   0337,0
!1
5
1
51

e
XP e 
  0842,0
!2
5
2
52

e
XP . 
 
Assim, 
 
    8754,01246,010842,00337,00067,012 XP . 
 
 
 28 
Obs.: se o intervalo de tempo é alterado, a v.a. mantém a mesma 
distribuição de Poisson, mas com valor do parâmetro ajustado de 
forma conveniente. Por exemplo, se o período de tempo considerado 
for de 30 segundos, teremos que o número de partículas emitidas em 
30 segundos terá distribuição Poisson(2,5), ou seja, o parâmetro  
que era de 5 emissões/min, que corresponde a 5 emissões/60 
segundos, passa a ser 2,5 emissões/30 se-gundos. Assim, a a 
probabilidade de ter mais de 2 emissões em 30 segun-dos, será: 
 
        
  4562,05438,012565,02052,00821,01
!2
5,2
!1
5,2
!0
5,2
1
21012
5,225,215,20









 eee
XPXPXPXP
 
 
 29 
Exemplo 2: Sabe-se que a proporção de canhotos numa população 
é de 2%. Numa sala com 100 estudantes, qual é a probabilidade de 
haver: 
a. Um canhoto? 
b. Nenhum canhoto? 
c. Mais de um canhoto? 
 
- Parâmetro da Poisson: 202,0100  np 
a. 2707,0
!1
2
)1(
21

e
XP 
b. 1353,0
!0
2
)0(
20

e
XP 
c.          5940,02707,01353,011011  XPXPXP 
 
 30 
3.3.2. Distribuições contínuas de probabilidades 
 
3.3.2.1. Distribuição normal 
 
É uma das mais importantes distribuições de probabilidades, sendo 
aplicada em inúmeros fenômenos e constantemente utilizada para o 
desenvolvimento teórico da inferência estatística. É também 
conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss.
 
 Seja X uma v.a.c.. Dizemos que X tem distribuição normal se 
possuir a seguinte f.d.p.: 
 
 
2
2
2
22
1 





x
exf , 
para  x,   e 02  . 
 31 
 
Notação:  2,~ NX : X tem distribuição normal com média  e 
variância 2 . 
 
i)Representação gráfica: 
 
    
 
    68,27%,   2  95,45% ,   3  99,73% 
 
 
 32 
 É um gráfico em forma de sino. O seu posicionamento em 
relação ao eixo das ordenadas e seu achatamento é determinado 
pelos parâmetros 

 e 2 , respectivamente. 
 
ii ) Propriedades: 
 
1.  xf possui um ponto de máximo para x ; 
2.  xf tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem   e 
  ; 
3.  xf é simétrica em relação a x e tem-se que 
od
  ; 
4.  xf tende a zero quando x tende para  (assintótica em 
relação ao eixo x). 
 
 
 33 
iii) Cálculo de probabilidades: 
 
 Para o cálculo da probabilidade da v.a.c. assumir um valor em 
determinado intervalo, surgem dois problemas: 
 
1º) Integração de f(x), pois para o seu cálculo é necessário o 
desenvolvi-mento em séries. 
 
2º) Elaboração de tabelas do tipo 


x
dxxfxXP )()( se torna 
inviável, pois a f.d.p. depende de dois parâmetros, 

 e 2 , o que 
leva à neces-sidade do estabelecimento de todas as possíveis 
combinações de valores desses parâmetros. 
 
 34 
 Porém, estes problemas são resolvidos pela padronização dos 
valores, obtendo-se assim a distribuição normal padronizada ou 
reduzida. 
 
Variável Normal Padronizada (Z) 
 É obtida por meio de uma transformação linear da variável 
normal X, obtendo-se assim uma escala relativa de valores na qual a 
média é tomada como ponto de referência e o desvio padrão como 
medida de afastamento da média: 



X
Z ou 



x
z , 
em que z é o valor da variável normal padronizada Z, x é o valor da 
v.a. X, 

 é a média de X e  é o desvio padrão de X. 
 
 35 
- Média e Variância da Variável Normal Padronizada: 
 
 Se  2,~ NX e 



X
Z , então  1,0~ NZ , para quais-
quer valores de

 e 2 , 0
Z
 e 12 
Z
 . Assim, é possível tabelar as 
probabilidades (áreas) da v.a. Z e, então, as probabilidades 
relacionadas à v.a. X podem ser determinadas a partir das 
probabilidades de Z. 
 
 
 36 
Tabela da Distribuição Normal Padrão 
 
 Há vários tipos de tabelas que nos fornecem as probabilidades 
sob a curva normal. A tabela que vamos utilizar nos fornece a 
probabilidade da variável Z assumir um valor entre zero e um 
particular 
0
z ,  
0
0 zZP  , ou seja: 
z0 0 
   
0
00
0
z
dzzfzZP corresponde à área hachurada sob a curva 
normal   xf . 
 
 37 
 
- EXEMPLOS: 
 
1) Calcule: 
 
a. 9656,04656,05,0)82,1( ZP 
 
b. 0212,04788,05,0)03,2( ZP 
 
c.   8795,03849,04946,020,155,2  ZP 
 
d.   0250,04750,05,096,1 ZP 
 
 
 38 
2) Se  25,100~ NX , calcule: 
a.     0228,04772,05,00,2110  ZPXP 
 0,2
25
100110


z 
 
b.     6826,03413,020,10,110595  ZPXP 
 0,1
25
10095
1


z e 0,1
25
100105
2


z 
 
 
 39 
c. Encontre x tal que   3446,0 xXP 
 
    1554,03446,05,003446,0  zZPzZP 
 
Assim, 40,0z . Porém, como   3446,0 zZP é menor do que 
0,5 então o valor de z é negativo, ou seja, 40,0z . Isto significa 
que   3446,040,0 ZP . Portanto, como 



x
z , tem-se 
98100)540,0(
25
100
40,0 

 x
x
 
 
 
 40 
 
3.3.2.2. Distribuições t, 2 e F 
 
 Distribuições amostrais, como a t, 2 e F, desempenham papel 
importante na Estatística, pois estas são consideradas na obtenção de 
intervalos de confiança (teoria da estimação) e de uma regra de 
decisão, conhecida como teste de hipóteses (teoria da decisão). 
 
 
 41 
 Distribuição t de Student 
 
 Sabe-se que, se a v.a.  2,~ NX então a v.a. 





n
NX
2
,~

 e 
quando a distribuição de X for desconhecida, com 30n , pelo 
Teorema Central do Limite, tem-se que a distribuição de X é 
aproximadamente Normal com média  
X
 e variância 
n
X
2
2   . 
Na maioria dos trabalhos envolvendo amostragem, a variância 
populacional 2 é desconhecida, impossibilitando que inferências 
sejam realizadas com relação ao parâmetro 

. Porém, pode-se 
substituir  pelo seu estimador S, obtendo-se 
n
S
X
T


, 
 42 
que tem outra distribuição conhecida por t de Student. Assim, 
 tT ~ , em que 1 n graus de liberdade é o único parâmetro da 
distribuição. 
 Da mesma forma que a distribuição Normal padrão, tem-se 
tabelas para a distribuição t de Student. Estas geralmente 
apresentam valores de t para diferentes valores de probabilidade () 
e de graus de liberdade ( ). Nessas tabelas encontram-se os valores 
de 

t , de acordo com uma informação probabilística e diferentes 
valores para , tais como 0,25; 0,20; 0,15, 0,10; 0,05; 0,025; 0,01; 
0,005 e 0,001. 
 
 43 
 Um exemplo de tabela tem em seu interior os valores de 

t , 
conforme a ilustração a seguir. 
 
 44 
3.3.3. Distribuição qui-quadrado ( 2) 
 
 A distribuição qui-quadrado possui várias aplicações em 
Estatística, dentre as quais podemos citar sua utilização na obtenção 
de inferências sobre o parâmetro 2 de uma população Normal e 
testes para o estudo de associação de variáveis em tabelas de 
contingência. Outra aplicação importante refere-se aos testes de 
falta de ajuste de um modelo teórico aos dados observados em um 
experimento ou levantamento amostral (Ferreira, 2005). 
 45 
 Se 
 
1
1
2
2





n
XX
S
n
i
i
 é obtido de uma amostra aleatória 
proveniente de uma distribuição Normal com média 

 e variância 
2 , então a variável 
 
2
2
2 1


Sn 
 
possui distribuição qui-quadrado com 1 n graus de liberdade. 
 
 
 46 
 De forma análoga à distribuição t, existem tabelas que 
apresentam os valores de 2 , para diferentes valores de 
probabilidade ( ) e de graus de liberdade ( ). Nessas tabelas 
geralmente encontram-se os valores de 2

 , de acordo com a 
informação probabilística      22P . A seguir, ilustra-se o 
esquema geral de uma distribuição qui-quadrado, onde pode-se 
observar os significados de 2

 e . 
 47 
 
 
 48 
3.3.4. Distribuição F 
 A distribuição F está entre as mais importantes na Estatística, 
tendo um destaque ainda maior na Estatística Experimental. Esta 
distribuição foi elaborada por Snedecor e recebeu o nome de F em 
homenagem a Sir R. A. Fisher. 
 Essa distribuição é definida pela variável resultante da razão de 
duas variáveis aleatórias independentes com distribuição qui-
quadrado. Assim, sejam duas v.a. independentes U e V, com 
distribuição qui-quadrado com 
1
 e 
2
 graus de liberdade, 
respectivamente, a variável 
2
1


V
U
X 
 
possui distribuição F, com parâmetros 
1
 e 
2
 graus de liberdade. 
 49 
 Também têm-se tabelas que apresentam os valores de F, para 
diferentes valores de probabilidade ( ) e de graus de liberdade 
1
 e 
2
 , denominados graus de liberdade do numerador e denominador, 
respectivamente. Nessas tabelas encontram-se os valores de 

F , de 
acordo com a informação probabilística     FFP , sendo 
geralmente, %1%,5,2%,5%,10 e 0,5%. No interior dessas 
tabelas encontram-se os valores de 

F conforme ilustração a seguir. 
 50