Aula 04 Variância, Desvio Padrão, Medidas de Assimetria e Medidas de Curtose

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Estatística Aplicada
Aula 4
Prof. Dr. Nelson 
Pereira Castanheira
Contextualização
� Variância
� Desvio Padrão
� Medidas de Assimetria
� Medidas de Curtose
Variância
� Variância (S2): é a média 
aritmética do quadrado dos 
desvios médios
Σ ( X – X )2 . f 
n
� para a população toda
S2 =
� No caso de uma amostra, o 
denominador da fórmula da 
variância será igual a (n – 1)
Desvio Padrão
� Desvio Padrão (S) é a medida de 
dispersão mais utilizada na 
prática, considerando, tal qual o 
desvio médio, os desvios em 
relação à média. Para o seu 
cálculo, basta extrairmos a raiz 
quadrada da variância
2
Medidas de Assimetria
� Indicam o grau de deformação 
de uma curva
� Uma distribuição pode ser:
• simétrica
• assimétrica positiva
• assimétrica negativa
Medidas de Assimetria
� Distribuição Simétrica
� Distribuição Assimétrica Positiva � Distribuição Assimétrica Negativa
Medidas de Curtose
� Indicam o grau de achatamento ou 
de afilamento de uma distribuição 
de frequências
� Dados uniformemente distribuídos:
• curva mesocúrtica
Dados
f
3
� Dados concentrados em torno da 
média: 
• curva leptocúrtica
Dados
f
� Dados com frequências próximas:
• curva platicúrtica
Dados
f
Instrumentalização
Desvio Padrão
� Lembre-se que: 
� Então:
para a população toda
Σ ( X – X )2 . f
n
S = 
S2 = S
Coeficientes de Assimetria
� Coeficiente de Assimetria (As)
• As = 0 curva simétrica
• As > 0 curva assimétrica 
positiva
• As < 0 curva assimétrica 
negativa
� Primeiro coeficiente de Pearson
( X – Mo )
S
� Segundo coeficiente de Pearson
3 . ( X – Md )
S
As =
As = 
4
Coeficiente de Curtose
Q3 - Q1
2 . (C90 - C10 )
� Onde:
• Q = quartil
• C = centil
k =
Interpretação de k
� k = 0,263 curva mesocúrtica
� k < 0,263 curva leptocúrtica
� k > 0,263 curva platicúrtica
Aplicação
� Exemplo:
• calcular o desvio padrão do 
seguinte conjunto de números:
4, 6, 8, 9, 10, 11
• primeiro passo: calcular a média
4 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11
6
X = 8
X = 
X X – X X – X 
4 4 – 8 = – 4 4
6 6 – 8 = – 2 2
8 8 – 8 = 0 0
9 9 – 8 = 1 1
10 10 – 8 = 2 2
11 11 – 8 = 3 3
Σ 0 12
• segundo passo: calcular o 
desvio médio
12
6
Dm = 2
Dm =
5
• terceiro passo: calcular a 
variância
Σ ( X – X )2 . f 
n
34 . 1
6
S2 = 5,6667
Desvio Padrão
S2 = 
S2 = 
• quarto passo: calcular o desvio 
padrão
S = 5,6667 
S = 2,38
Coeficiente de Assimetria
� Calcular o primeiro coeficiente de 
Assimetria de Pearson para o 
seguinte conjunto de dados:
• 3 – 4 – 5 – 5 – 6 – 5 – 7 - 5
( X – Mo )
S
As =
40 
8
Mo = 5
S2 = 1,6667
S = 1,291
5 – 5 
1,291
As = 0
� Logo, a curva é simétrica
X = = 5 
As = 
Coeficiente de Curtose
� Determinar o tipo de curva que 
apresentou os seguintes valores:
Q3 = 8
Q1 = 4
C90 = 10
C10 = 3
Q3 - Q1
2 . (C90 - C10 )
8 – 4 
2 (10 – 3)
k = 0,286
� Logo, é platicúrtica
k = 
k = 
6
Síntese
� Estudamos como calcular o desvio 
padrão dos resultados obtidos em 
uma pesquisa. Passos:
• média aritmética
• desvio médio
• variância
• desvio padrão
� Estudamos, também, que para 
saber se uma curva é simétrica ou 
assimétrica, basta utilizar as 
fórmulas do coeficiente de 
assimetria de Pearson 
� Finalmente, verificamos que com a 
utilização da fórmula do 
coeficiente de curtose, podemos 
determinar se uma curva é 
mesocúrtica, platocúrtica ou 
leptocúrtica
� Todas essas medidas são utilizadas 
para a tomada de decisão
Referências de Apoio
� CASTANHEIRA, N. P. Estatística 
aplicada a todos os níveis. 5. 
ed. Curitiba: Intersaberes, 2010.
� BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. 
A. Estatística básica. 5. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2002.