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TORÇÃO 
Aula 05 
Antonio Otto; 
Eng. Mecânico 
 
Novembro de 2013 
Deformação por torção de um eixo circular 
Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo 
longitudinal. O efeito do torque é uma preocupação primária em projetos de eixos ou eixos 
de acionamento utilizados em veículos e estruturas diversas. 
Nas figuras, vemos que a torção não altera os círculos, e sim as linhas na longitudinal 
da grade se deformando na forma de uma hélice que intercepta os círculos em ângulos iguais. 
Dadas essas observações, podemos considerar que, se o ângulo de rotação for pequeno, 
o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados. 
Se o eixo estiver preso em uma das suas 
extremidades e for aplicado um torque à sua outra 
extremidade, o plano sombreado (imagem ao lado) será 
distorcido até uma força oblíqua. 
Uma linha radial localizada na seção transversal a 
uma distância x da extremidade fixa do eixo girará de um 
ângulo ϕ(x). 
O ângulo ϕ(x), definido desse modo, é denominado 
ângulo de torção, depende da posição de x e variará ao 
longo do eixo. 
Isolando um pequeno elemento localizado à 
distância radial ρ da linha central do eixo, observamos 
que as faces anterior e posterior do elemento sofrerão 
uma rotação, o resultado dessas rotações, o elemento é 
submetido a deformações por cisalhamento. 
Esse ângulo γ, é indicado no elemento e pode ser relacionado com o comprimento Δx 
do elemento e com a diferença no ângulo de rotação, Δ ϕ, entre as faces sombreadas. Como 
temos que a deformação por cisalhamento no interior do eixo varia linearmente ao longo de 
qualquer linha radial, de zero na linha central do eixo até um valor máximo γmáx em seu 
contorno externo. 
𝛾 = 𝜌.
𝑑𝜙
𝑑𝑥
 → 𝛾 = 
𝜌
𝑐
 . 𝛾𝑚á𝑥 
Os resultados obtidos aqui também são válidos para tubos circulares. Dependem 
somente das premissas adotadas em relação às deformações já mencionadas. 
A fórmula da torção 
Quando um torque externo é aplicado a um eixo, ele cria um torque interno 
correspondente no interior do eixo. 
Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica, τ = G.γ. 
Por consequência, uma variação linear na deformação por cisalhamento (observado 
na seção anterior), resulta em uma variação linear na tensão de cisalhamento 
correspondente ao longo de qualquer linha radial na seção transversal. 
Na figura vemos nas faces anteriores de vários 
elementos selecionados localizados em uma 
posição radial intermediária ρ e no raio externo c. 
Pela proporcionalidade de triângulos, ou pela lei de 
Hooke (τ = G.γ) e pela Eq. γ = (ρ/c).γmáx; podemos 
escrever: 
 𝜏 = 
𝜌
𝑐
 . 𝜏𝑚á𝑥 
Essa equação expressa a distribuição da tensão de cisalhamento em função da posição 
radial ρ do elemento; em outras palavras, define a distribuição da tensão na seção 
transversal em termos da geometria do eixo. 
Usando agora essa equação, aplicaremos agora a condição que exige que o torque 
produzido pela distribuição de tensão por toda a seção transversal seja equivalente ao torque 
interno resultante T na seção, o que mantém o eixo em equilíbrio (como na figura anterior). 
Por meio de integração, que representaria o momento polar de inércia da área da seção 
transversal do eixo em estudo calculado em torno da linha longitudinal, chegamos à equação: 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑐
𝐽
 
τmáx = tensão de cisalhamento máxima no eixo, que ocorre na superfície externa; 
T = torque interno resultante que age na seção transversal; 
J = momento polar de inércia da área da seção transversal; 
c = raio externo do eixo. 
Temos ainda que a tensão de cisalhamento é dada por: 
𝜏 =
𝑇.𝜌
𝐽
 
OBS.: Qualquer uma dessas equações citadas é frequentemente denominada fórmula da 
torção. Servindo APENAS para eixos circulares e constituídos por material homogêneo, 
com comportamento linearmente elástico. 
Eixo Maciço 
Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça, o momento polar de inércia J 
pode ser determinado por meio de um elemento de área na forma de uma anel diferencial, de 
espessura dp e circunferência 2πρ; e por meio de integração, chegamos a: 
𝐽 =
𝜋
2
. 𝑐4 
J é uma propriedade geométrica da área circular e é sempre 
positivo. As unidades de medida para J são mm4 ou pol4. 
O torque interno T não somente 
desenvolve uma distribuição linear da tensão 
de cisalhamento ao longo da cada linha radial 
no plano da área de seção transversal, como 
também uma distribuição de tensão de 
cisalhamento associada é desenvolvida ao 
longo de um plano axial. 
Em razão dessa distribuição axial da tensão de cisalhamento, eixos feitos de madeira 
tendem a rachar ao longo do plano axial quando sujeitos a um torque excessivo. 
Isso ocorre porque a madeira é um 
material anisotrópico. A resistência ao 
cisalhamento da madeira paralela a seus 
grãos/fibras ao longo da linha central do 
eixo, é muito menor do que a resistência 
perpendicular às fibras, direcionada no 
plano da seção transversal. 
Curiosidade 
1 - A distribuição de tensão em um eixo maciço foi representada em gráfico ao longo de três 
linhas radiais arbitrárias, como mostra a figura abaixo. Determine o torque interno resultante 
na seção. 
Exercícios 
Momento polar de inércia: 
Aplicando a fórmula da torção: 
𝐽 =
𝜋
2
𝑐4 
→
𝜋
2
 50 𝑚𝑚 4 = 9,82𝑥106𝑚𝑚4 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑐
𝐽
 
56
𝑁
𝑚𝑚2
=
𝑇. 50𝑚𝑚
9,82𝑥106𝑚𝑚4
 
𝑇 = 11,0 𝑘𝑁.𝑚 
Eixo tubular 
Se um eixo tiver uma seção transversal tubular, com raio interno ci e raio externo co, 
então, pela equação abaixo, podemos determinar seu momento polar de inércia subtraindo J 
para um eixo de raio ci daquele determinado para um eixo de raio co. o resultado é: 
𝐽 =
𝜋
2
 𝑐𝑜
4 − 𝑐𝑖
4 
Como ocorre no eixo maciço, a tensão de cisalhamento distribuída pela área da seção 
transversal do tubo varia linearmente ao longo de qualquer linha radial. 
Além do mais, a tensão de cisalhamento varia ao longo de um plano axial dessa mesma 
maneira. Abaixo, a tensão de cisalhamento agindo sobre elementos de volume típicos. 
Tensão de torção máxima absoluta 
Em qualquer seção transversal do eixo, a tensão máxima de cisalhamento ocorre na 
superfície externa. Contudo, se o eixo for submetido a uma série de torques externos, ou se o 
raio (momento polar de inércia) mudar, a tensão de torção máxima no interior do eixo poderá 
ser diferente de uma seção para outra. 
Se quisermos determinar a tensão de torção máxima absoluta, torna-se, então, 
importante determinar a localização na qual a razão T.c/J é máxima. A esse respeito, pode ser 
útil mostrar a variação do torque interno T em cada seção ao longo da linha central do eixo 
por meio de um diagrama de torque. Especificamente, esse diagrama é uma representação 
gráfica do torque interno T em relação à sua posição x ao longo do comprimento do eixo. 
Por convenção de sinal, T será positivo se, pela regra da mão direita, o polegar se 
dirigir para fora do eixo quando os dedos se curvarem na direção da torção causada pelo 
torque. 
Uma vez identificado o torque interno em todo o eixo, 
podemos identificar a razão máxima T.c/J. 
PONTOS IMPORTANTES 
 Quando um eixo com seção transversal circular é submetido a um torque, a seção 
transversal permanece plana, enquanto as linhas radiais giram. Isso provoca uma 
deformação por cisalhamento no interior do material. 
 Pela lei de Hooke, para um material homogêneo com comportamento linear elástico, a 
tensão de cisalhamento ao longo de qualquer linha radial do eixo também varia 
linearmente, de zero nalinha central do eixo até um valor máximo em seu contorno 
externo. Essa tensão de cisalhamento máxima não deve ultrapassar o limite de 
proporcionalidade do material. 
 A fórmula da torção é baseada no requisito de que o torque resultante na seção 
transversal seja igual ao torque produzido pela distribuição linear da tensão de 
cisalhamento em torno da linha central longitudinal do eixo. É necessário que o eixo ou 
tubo tenha seção transversal circular e que seja feito de material homogêneo de 
comportamento linear elástico. 
PROCEDIMENTO DE ANÁLISE 
Carregamento interno: 
 Secione o eixo perpendicularmente à sua linha central no ponto onde a tensão de 
cisalhamento deve ser determinada e use os diagramas de corpo livre e as equações de 
equilíbrio necessárias para obter o torque interno na seção. 
 
Propriedade seção: 
 Calcule o momento polar de inércia da área de seção transversal. Para uma seção maciça 
de raio c, J = π.c4/2, e, para um tubo de raio externo co e raio interno ci, J = π.(co
4- ci
4) /2. 
Tensão de cisalhamento: 
 Especifique a distância radial ρ, medida do centro da seção transversal até o ponto onde a 
tensão de cisalhamento deve ser determinada. Então, aplique a fórmula da torção τ = 
T.ρ/J ou, se quiser determinar a tensão de cisalhamento máxima, use τmáx = T.c/J. Quando 
substituir os dados, não se esqueça de usar um conjunto consistente de unidades. 
 A tensão de cisalhamento age na seção transversal em uma direção que é sempre 
perpendicular a ρ. A força que ela cria deve contribuir com um torque em torno da linha 
central do eixo orientado na mesma direção que o torque interno resultante T que age na 
seção. Uma vez estabelecida essa direção, pode-se isolar um elemento de volume 
localizado no ponto onde τ é determinada e, assim, pode-se mostrar a direção na qual τ 
age nas três faces restantes do elemento. 
2 - O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão de 
cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B, localizados na seção A-A do eixo. 
Exercícios 
Tensão de cisalhamento: 
Torque interno: 
Momento polar de inércia: 
 𝑀𝑥 = 0 ; 4250 − 3000 + 𝑇 = 0 ∴ 𝑇 = 1250 𝑘𝑁.𝑚𝑚 
𝐽 =
𝜋
2
 75 𝑚𝑚 4 = 4,97𝑥107𝑚𝑚4 
- "A" encontra-se em ρ = c =75 mm 
𝜏𝐴 =
𝑇.𝐶
𝐽
→
1250𝑘𝑁.𝑚𝑚 𝑥 75𝑚𝑚
4,97𝑥107
= 1,89 𝑀𝑃𝑎 
- Do mesmo modo, para o ponto "B", em ρ = 15 mm 
𝜏𝐵 =
𝑇.𝜌
𝐽
→
1250𝑘𝑁.𝑚𝑚 𝑥 15𝑚𝑚
4,97𝑥107
= 0,377 𝑀𝑃𝑎 
3 - O tubo mostrado na figura abaixo tem diâmetro interno de 80mm e diâmetro externo de 
100mm. Se sua extremidade for apertada contra o apoio em A usando-se uma chave em B, 
determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes internas e externas 
ao longo da porção central do tubo quando são aplicadas forças de 80N à chave. 
Exercícios 
Tensão de cisalhamento: 
Torque interno: 
Momento polar de inércia: 
 𝑀𝑥 = 0 ; 80.0,3 + 80.0,2 − 𝑇 = 0 ∴ 𝑇 = 40 𝑁.𝑚 
𝐽 =
𝜋
2
 0,05𝑚 4 − 0,04𝑚 4 = 5,80𝑥10−6𝑚4 
𝜏𝑜 =
𝑇.𝐶𝑜
𝐽
→
40 𝑥 0,05
5,80𝑥10−6
= 0,345 𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑖 =
𝑇.𝐶𝑖
𝐽
→
40 𝑥 0,04
5,80𝑥10−6
= 0,276 𝑀𝑃𝑎 
-Na superfície externa: 
-No interior: 
Transmissão de potência 
Eixos e tubos de seções transversais circulares são frequentemente usados para 
transmitir potência desenvolvida por uma máquina. 
Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo. 
O trabalho transmitido por um eixo rotativo é igual ao produto entre o torque aplicado e 
o ângulo de rotação. Podemos descrever isso pela equação: 
𝑃 = 𝑇.𝜔 
No S.I., potência é dada em W (watts), quando o torque é medido em newtons-metro (1 
N.m = 1W); e ω é expressa em radianos por segundo (rad/s), assim, 1W = 1N.m/s. 
 Quando se trata de máquinas rotativas, costuma-se informar a frequência de rotações de 
um eixo f. Frequência é a medida do número de revoluções ou ciclos que o eixo faz por 
segundo e é expressa em hertz (1 Hz = 1 ciclo/s). Visto que 1 ciclo = 2.π.rad, então ω = 2.π.f . 
Para a potência torna-se: 
𝑃 = 2.𝜋. 𝑓.𝑇 
Projeto do eixo 
Quando a potência transmitida por um eixo e sua frequência de rotação são conhecidas, 
o torque desenvolvido no eixo pode ser determinado pela equação: 
𝑇 =
𝑃
2
𝜋. 𝑓 
Se T e a tensão de cisalhamento admissível, τmín, para o material forem conhecidos, 
podemos determinar as dimensões da seção transversal do eixo pela fórmula da torção, 
contanto que o comportamento do material seja linear elástico. 
Especificamente, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico J/c torna-se: 
𝐽
𝑐
=
𝑇
𝜏𝑚 í𝑛
 
Para um eixo maciço, J= (π/2).c4, portanto podemos determinar, por substituição, um 
valor único para o raio c do eixo. 
Se o eixo for tubular, de modo que J = (π/2).(co
4- ci
4), projeto permite uma ampla faixa 
de possibilidades para a solução. Isso porque se pode escolher um valor arbitrário para co ou 
ci e, então, calcular o outro raio pela equação anterior. 
4 - Um eixo maciço de aço AB mostrado na figura abaixo será usado para transmitir 3.750,00 
W do motor m ao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175,00 rpm e o aço tiver uma 
tensão de cisalhamento admissível τadm = 100MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo 
com precisão de mm. 
Exercícios 
Diâmetro: 
Trabalho: 
Torque: 
𝜔 = 175
𝑟𝑒𝑣
𝑚𝑖𝑛
 𝑥 
2𝜋. 𝑟𝑎𝑑
1 𝑟𝑒𝑣
 𝑥 
1 𝑚𝑖𝑛
60 𝑠
= 18,33
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
𝑃 = 𝑇.𝜔 → 3750 = 𝑇. 18,33 ∴ 𝑇 = 204,6 𝑁.𝑚 
𝐽
𝑐
=
𝜋
2
 𝑥 
𝑐4
𝑐
=
𝑇
𝜏𝑚á𝑥
 ∴ 
𝑇
𝜏𝑚á𝑥
=
𝜋. 𝑐3
2
 
𝑐 = 
2𝑇
𝜋. 𝜏𝑚á𝑥
3
→ 
2 . 204,6𝑥103𝑁.𝑚𝑚
𝜋. 100
3
→ 𝑐 = 10,92𝑚𝑚 
Como o diâmetro é 2.c; temos: 2 x 10,92 = 21,84mm; logo o eixo deve ter 22mm 
5 - Um eixo tubular com diâmetro interno de 30 mm e externo de 42 mm será usado para 
transmitir 90,0 kW de potência. Determine a frequência de rotação do eixo de modo que a 
tensão de cisalhamento não ultrapasse 50 MPa. 
Torque: 
Frequência: 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇. 𝑐
𝐽
→ 50𝑥106
𝑁
𝑚2
= 
𝑇. 0,021𝑚
𝜋
2
 0,021𝑚 4 − 0,015𝑚 4 
 → 𝑇 = 538 𝑁.𝑚 
𝑃 = 2.𝜋. 𝑓.𝑇 → 90𝑥103 𝑁.
𝑚
𝑠
= 2𝜋. 𝑓. 538 → 𝑓 = 26,6 𝐻𝑧 
Exercícios 
Ângulo de Torção 
Às vezes, o projeto de um eixo depende de restrições à quantidade de rotação que pode 
ocorrer quando o eixo é submetido a um torque. A ação de T(x) provocará uma torção no 
disco de tal modo que a rotação relativa de uma de suas faces em relação a outra será dϕ. 
Torque e área de seção transversal constante 
Na prática da engenharia, normalmente o material é homogêneo, de modo que G é 
constante. Além disso, a área da seção transversal do eixo e o torque aplicado são constantes 
ao longo do comprimento do eixo. Nessas características, temos: 
𝜙 =
𝑇. 𝐿
𝐽.𝐺
 
Se o eixo for submetido a vários torques diferentes, ou se a seção transversal ou módulo 
de cisalhamento mudar abruptamente de uma região do eixo para a seguinte, a equação 
acima, poderá ser aplicada a cada segmento do eixo onde essas quantidades são todas 
constantes. 
𝜙 = 
𝑇. 𝐿
𝐽.𝐺
 
Convenção de sinal 
Para usar da somatória acima, temos que gerar uma convenção de sinal para o torque 
interno e para o ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação a outra 
extremidade. 
Para tal, usaremos a regra da mão direita, pela qual o torque e o ângulo serão positivos 
desde que o polegar esteja direcionado para fora do eixo quando os dedos o envolverem para 
dar tendência da rotação. 
Para ilustrar a utilização dessa convenção de sinal, considere o eixo mostradona figura 
abaixo, que está submetido a quatro torques. 
O angulo de torção da extremidade A em relação à D deve ser determinado. Para este 
problema, devemos considerar três segmentos do eixo, visto que o torque interno muda em B 
e C. Os torques internos para cada segmento são determinados pelo método das seções. 
Pela regra da mão direita, com torques positivos direcionados para longe da extremidade 
secionada do eixo, temos TAB = +80 N.m, TBC = -70 N.m, e TCD = -10 N.m, 
𝜙𝐴 𝐷 =
 80 𝑁.𝑚 . 𝐿𝐴𝐵
𝐽.𝐺
+
 −70 𝑁.𝑚 . 𝐿𝐵𝐶
𝐽.𝐺
+
 −10 𝑁.𝑚 . 𝐿𝐶𝐷
𝐽.𝐺
 
Ao substituímos os outros dados e encontrarmos uma resposta positiva, significa que a 
extremidade A girará na direção indicada pelos dedos da mão direita quando o polegar estiver 
direcionando para fora do eixo. 
Exercícios 
6 - Os dois eixos maciços de aço estão interligados por meio das engrenagens. Determine o 
ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o torque 45 N.m. 
Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar dentro dos mancais E e F, enquanto o 
eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de 20 mm. 
Torque: 
Ângulo de torção: 
𝑇 = 𝐹. 𝐿 → 𝐹 =
45 𝑁.𝑚
0,15 𝑚
= 300𝑁 
𝑇𝐷 = 300𝑁 𝑥 0,075𝑚 = 22,5 𝑁.𝑚 
𝜙 =
𝑇. 𝐿
𝐽.𝐺
→
22,5 . 1,5
𝜋
2
. 
0,02
2
 
4
. 80𝑥109
= 0,0269 𝑟𝑎𝑑 
Como as engrenagens estão ligadas: 
𝜙𝐵 .∅𝐵 = 𝜙𝐶 .∅𝐶 → 𝜙𝐵 . 0,15 𝑚 = 0,0269 𝑟𝑎𝑑 .0,075 𝑚 → 𝜙𝐵 = 0,0134 𝑟𝑎𝑑 
 
Ângulo de torção: 
𝜙 =
𝑇. 𝐿
𝐽.𝐺
→
 2 . 22,5 . 2
𝜋
2
. 
0,02
2
 
4
. 80𝑥109
= 0,0716 𝑟𝑎𝑑 
Como as engrenagens estão ligadas: 
𝜙𝐴 = 𝜙𝐵 + 𝜙𝐴
𝐵 
→ 𝜙𝐴 = 0,0134 + 0,716 = 0,085 𝑟𝑎𝑑 
Eixos maciços não circulares 
Eixos cuja seção transversal não é circular não são simétricos em relação às respectivas 
linhas centrais e, como a tensão transmitida de cisalhamento é distribuída de um modo muito 
complexo nas seções transversais, elas ficarão abauladas ou entortarão quando o eixo sofrer 
torção. 
Assim por análises temos: 
Exercícios 
7 - O eixo de alumínio 6061-T6 mostrado na figura abaixo tem área da seção transversal na 
forma de um triângulo equilátero. Determinar o maior torque T que pode ser aplicado na 
extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível é adm = 56,0 MPa e o ângulo de 
torção em sua extremidade é limitado a adm =0,02 rad. 
Qual torque poderia ser aplicado a um eixo 
de seção transversal circular feito da mesma 
quantidade de material? Considerar GAl = 
26,0 GPa. 
𝜏𝑚á𝑥 =
20.𝑇
𝑎3
→ 
𝜙𝑎𝑑𝑚 =
46.𝑇. 𝐿
𝑎4.𝐺
→ 
0,02 =
46.𝑇. 1200
404 . 26𝑥103
 → 𝑇 = 24,12𝑥103 ∴ 24,12 𝑁.𝑚 
56
𝑁
𝑚𝑚2
=
20.𝑇
 40𝑚𝑚 3
→ 𝑇 = 179,2𝑥103 𝑁.𝑚𝑚 ∴ 179,2 𝑁.𝑚 
Tensão de cisalhamento da seção triangular 
Ângulo de torção da seção triangular: 
Se a seção circular: 
𝐴𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 ∴ 𝜋. 𝑟
2 =
𝑏.ℎ
2
 ; 𝑟 = 𝑐 
𝜋. 𝑐2 =
40 𝑥 40 sin 60
2
→ 𝑐 = 14,85 𝑚𝑚 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇. 𝑐
𝐽
→ 
56 =
14,85.𝑇
𝜋
2
. 14,854
→ 𝑇 = 288,06𝑥103 𝑁.𝑚𝑚 ∴ 288,06 𝑁.𝑚 
Tensão de cisalhamento da seção circular: 
𝜙𝑎𝑑𝑚 =
𝑇. 𝐿
𝐽.𝐺
→ 
Ângulo de torção da seção circular: 
0,02 =
𝑇. 1200
𝜋
2
. 14,854 . 26𝑥103
 → 𝑇 = 33,1𝑥103 ∴ 33,1 𝑁.𝑚 
Fim 
TORÇÃO 
Aula 05 
Novembro de 2013