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Torção Prof. Eng. André Soares Disciplina: Resistência dos Materiais II Torção • Definições: Torque: O que é? É o momento que tende a torcer o membro em torno de seu eixo longitudinal. Torção • Definições: Momento: O que é? É uma grandeza que representa a magnitude da força aplicada a um sistema rotacional a uma determinada distância de um eixo de rotação FrM rrr ×= Torção • Definições: Torque: O que é? É força aplicada a uma determinada distancia que tende a torcer o membro em torno de seu eixo longitudinal. Torção Se o eixo estiver preso em uma extremidade e for aplicado um torque na outra extremidade, o plano sombreado se distorcerá e assumirá uma forma obliqua. Torção • Premissas básicas: 1. Uma seção inicialmente plana, perpendicular ao eixo de seção circular, permanece plana após a aplicação dos torques. 2. Em um membro circular sujeito à ação de um torque, as deformações angulares g variam linearmente a partir do eixo central. Isto significa que as linhas radiais nos planos ao longo do eixo x permanecem retas após a deformação. Torção ATENÇÃO Estas premissas são válidas somente para eixos circulares. Torção • Aplicação do Método das Seções: Esse método é utilizado para determinação dos esforços internos em eixos de seção circular solicitados por torques externos Torção • Aplicação do Método das Seções: Exemplo: O torque interno no trecho AB é igual a 2 kgf.m Torção • A fórmula da Torção: A partir desse torque interno tem‐se uma distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal de um eixo circular. γτ ⋅= G Lei de Hooke Torção • A fórmula da Torção: O torque interno na seção transversal é a soma dos torques infinitesimais atuantes em cada área dA. Onde o momento polar de inércia de área J é dado da forma: (1) (2) Torção • A fórmula da Torção: O momento polar de inércia para o caso particular de uma seção circular é da seguinte forma: Substituindo a eq. (3) na eq. (1), a expressão da tensão máxima atuando na superfície mais externa do eixo é: (3) (4) Torção • A fórmula da Torção: A tensão num ponto qualquer da seção circular distante ρ do centro é: (5) Torção • A fórmula da Torção: Para tubos circulares de raio interno ρ e raio externo c, o momento polar de inércia pode ser calculado como segue: (6) (7) Torção • A fórmula da Torção: Para tubos circulares de raio interno ρ e raio externo c, o momento polar de inércia pode ser calculado como segue: eixo. do externo raio al; transversseção da área dapolar inércia de momento eixo; do allongitudin centro de linha da tornoem aplicada equilibrio de momento do equação pela e seções das método pelo odeterminad éSeu valor al. transversseção na atua que internop torque ; externa superfície na ocorre que eixo, no máxima tocisalhamen de tensão = = = = c J T τ J CT ⋅ =maxτ Torção O torque interno T não só desenvolve uma distribuição linear da tensão de cisalhamento ao longo de cada reta radial do plano da área da seção transversal, como também desenvolve uma distribuição da tensão de cisalhamento associada ao longo de um plano axial. Torção Torção Para o caso de materiais anisotrópicos (diferentes propriedades mecânicas nas direções x, y e z ) como por exemplo a madeira, o eixo se rompe ao longo de um plano paralelo ao eixo x. Plano de ruptura em eixos em madeira Torção • Atenção! O conteúdo estudado nesse curso não deve ser aplicado para o estudo de eixos maciços de seção transversal não circular. O conteúdo estudado nesse curso não deve ser aplicado para estudos de torção em tubos de paredes finas com seções diferentes de círculos. Torção Exercício 1 O eixo mostrado na figura é suportado por dois mancais e está sujeito a três torques. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B, localizados na seção a‐a do eixo conforme mostra a figura. Torção Exercício 1 O eixo mostrado na figura é suportado por dois mancais e está sujeito a três torques. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B, localizados na seção a‐a do eixo conforme mostra a figura. Torção Exercício 2 O tubo mostrado na figura 12‐a tem diâmetro interno de 80 mm e diâmetro externo de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o apoio A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo do tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao torquímetro Torção Exercício 2 O tubo mostrado na figura 12‐a tem diâmetro interno de 80 mm e diâmetro externo de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o apoio A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo do tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao torquímetro Torção • Transmissão de Potência Eixos e tubos de seção circular são freqüentemente utilizados para transmissão de potência. Quando utilizados para esse propósito os eixos são submetidos a torques que dependem da potência gerada pela máquina e da velocidade angular do eixo. fTPTP πω =⇒= 2 Torção • Transmissão de Potência A potência P é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo, no SI a potência é expressa em watts, quando o torque é medido em (N . m) e ω é medido em (rad/s),temos então 1W = 1N.m/s. No Sistema FPS temos : 1 hp=550 pés.lb/s fTPTP πω =⇒= 2 Torção • Transmissão de Potência CV014,1HP 1 W5,735CV 1 = = Torção • Projeto de elementos circulares em torção Uma vez conhecido o torque a ser transmitido pelo eixo, e selecionado a máxima tensão de cisalhamento, as proporções do membro tornam‐se fixas. Assim, tem‐se: J/C é utilizado para projetar eixos maciços ou perfurados maxτ T C J = admττ =max Torção Exercício 3 Selecione dois eixos maciços para transmitir 200 cv de potência cada um, de forma que nenhum deles ultrapasse a tensão de cisalhamento de 7 kgf/mm2. Um desses eixos deve operar a 20 rpm, e o outro a 20.000 rpm. (1CV = 4500 kgf.m/min, ω (rad/min) = 2π ƒ(rpm)) Torção Exercício 4 Um eixo é feito de liga de aço com tensão de cisalhamento admissível τadm = 12 ksi. Supondo que o diâmetro do eixo seja de 1,5 pol, determinar o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse feiro um furo de 1 pol de diâmetro ao longo do eixo? Traçar o gráfico da distribuição de cisalhamento‐tensão ao longo de uma reta radial em cada caso. Torção • Ângulo de torção de membros circulares Além do fato do membro dever resistir aos torques aplicados, ele não deve se deformar excessivamente. Assim, considere um elemento submetido a um torque. Torção • Ângulo de torção de membros circulares Expressão geral para o ângulo de Torção. Quando temos o torque e a seção transversal constante ao longo do comprimento do eixo, tem‐se: GJ LT ⋅ ⋅ =φ Ø = ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra, medido em radianos Т = torque interno, determinado pelo método das seções e pela equação do momento na condição de equilíbrio aplicada em torno da linha de centro do eixo. L = comprimento J = momento de inércia polar do eixo G = módulo de elasticidade ao cisalhamento do material Torção ATENÇÃO O conteúdo estudado nesse curso não deve ser aplicado para o estudo de eixos maciços de seção transversal não circular. O conteúdo estudado nesse curso não deve ser aplicado para estudos de torção em tubos de paredes finas com seções diferentes de círculos. Torção Exercício 5 No conjunto mostrado abaixo, os dois eixos estão acoplados por duas engrenagens C e B. Determine o ângulo de torção na extremidade A do eixo AB onde um torque T = 45 N.m é aplicado. Cada eixo tem diâmetro de 20mm e G = 80GPa. Torção Exercício 6 Uma barra circular em torção consiste de 2 partes. Determine o máximo torque possível se o ângulo de torção entre as extremidades da barra não deve exceder 0,02 radianos e a tensão de cisalhamento não deve exceder 28 MPa. Assumir G =83 MPa. Torção Exercício 7 O eixo está sujeito aos torques como apresentado abaixo. Se o módulo de cisalhamento é G = 80 GPa e o diâmetro do eixo é 14 mm, determine o deslocamento do dente P na engrenagem A. O eixo está engastado em E e o mancal B permite que o eixo gire livremente. Torção Elementos Estaticamente Indeterminados Carregados com Torque ∑ Mx = 0 L = LAC + LBC Torção Elementos Estaticamente Indeterminados Carregados com Torque ØA/B = 0 Condição de Compatibilidade Necessária TA LAC / JG ‐ TB LBC / JG = 0 TA = T (LBC / L) TB = T (LAC / L) Torção Exercício 8 O Eixo de aço maciço mostrado ao lado tem diâmetro de 20 mm. Se for submetido aos dois torques , quais serão as reações nos apoios fixos A e B ? Torção Exercício 9 O Eixo mostrado na figura ao lado esta composto por um tubo de aço unido a um núcleo de latão.Supondo que seja aplicado um torque de T = 250 lb.pés à sua extremidade, esquematizar a distribuição cisalhamento tensão ao longo de uma reta radial da área da seção transversal.Supor, também, que Gaço = 11,40(103) ksi e Glatão = 5,20(103) ksi. Torção Exercício 9 Um motor de 200 kW gira a 250 rpm. Para a engrenagem em B é transmitido 90 kW e para a engrenagem em C 110 kW. Determine o menor diâmetro permissível d se a tensão admissível é de 50 MPa e o ângulo de torção entre o motor e a engrenagem C é limitado a 15°. Considerar G = 80 Gpa e 1kW » 60000 Nm/mim. Torção Exercício 10 O conjunto consiste em dois segmentos de tubos de aço galvanizados acoplados por uma redução em B. O tubo menor tem diâmetro externo de 0,75 pol e diâmetro interno de 0,68 pol, enquanto o tubo maior tem diâmetro externo de 1 pol e diâmetro interno de 0,86 pol. Supondo que o tubo esteja firmemente preso à parede em C, determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em cada seção do tubo quando o conjugado mostrado é aplicado ao cabo da chave Torção Exercício 11 Um tubo de aço com diâmetro externo de 2,5 pol transmite 35 hp quando gira a 2700 rev/min. Determinar o diâmetro interno do tubo com aproximação de 1/8 pol se a tensão de cisalhamento admissível é τ adm = 10 ksi Torção Exercício 12 Um eixo maciço tem diâmetro de 0, 75 pol. Supondo que seja submetido aos torques mostrados, determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida nas regiões BC, DE,CD e EF. Os mancais A e F permitem rotação livre do eixo. Torção Exercício 13 O eixo de aço está submetido à carga de torção mostrada, a) Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B. o eixo onde A e B estão localizados tem raio externo de 60 mm.b) Determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta nele desenvolvida e desenhar a distribuição cisalhamento‐tensão ao longo de uma reta radial em que ele atinja o máximo. Torção Exercício 14 O Eixo de aço A‐36 tem 2 m de comprimento e diâmetro externo de 40 mm. Quando gira a 80 rad/s, transmite 32 kW de potência do motor E para o gerador G . Determinar a menor espessura do eixo se a tensão de cisalhamento adimissível τadm = 140 MPa e o eixo não pode ter uma torção maior que 0,05 rad. Torção Exercício 15 O Eixo de aço A‐36 tem 3 m de comprimento e diâmetro externo de 50 mm. Requer‐se que transmita 35 kW de potência do motor E para o gerador G . Determinar a menor velocidade angular que o eixo pode ter se a máxima torção admissível é de 1 grau. Torção Exercício 16 O eixo de aço tem diâmetro de 40 mm e suas extremidades A e B são fixas. Se ele for submetido a um conjugado, Conforme o desenho ao lado, qual será a tensão de cisalhamento máxima em suas regiões AC e CB. Considerar Gaço = 10,8(103) ksi. Torção Exercício 17 O eixo de aço é feito de dois segmentos: AC tem diâmetro de 0,5 pol e CB tem diâmetro de de 1 pol . Se ele estiver fixo em suas extremidades A e B e for submetido a um torque de 500 lb.pés , qual será a tensão de cisallahmento máxima nele desenvolvida Gaço = 10,8(103) ksi. Torção Exercício 18 O conjunto de aço A‐36 consiste em um tubo com raio externo de 1 pol e espessura parede de 0,125 pol. Por meio de uma chapa rígida em B, ele é acoplado ao eixo maciço AB de 1 pol de diâmetro. Determinar a rotação da extremidade C do tubo se um torque de 200 lb.pol for aplicado nessa extremidade. A extremidade A do eixo tem apoio fixo Torção Exercício 19 As extremidades estriadas e as engrenagens acopladas ao eixo de aço A‐36 estão submetidas aos torques mostrados. Determinar o ângulo de torção da extremidade B em relação à extremidade A. O eixo tem diâmetro de 40 mm. Considerar G= 75x109 N/m2. Prof. André Felipe Leite Soares Engenheiro Mecânico andreflsoares@gmail.com
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