Cálculos de Curtos circuitos em um Sistema Radial Fujio Sato

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Universidade Estadual de Campinas
Faculdade de Engenharia Ele´trica e de Computac¸a˜o
Departamento de Sistemas de Energia Ele´trica
Ca´lculos de Curtos-circuitos em um Sistema Radial
Prof. Fujio Sato
Campinas, julho de 2007
Suma´rio
1 Preparac¸a˜o dos dados 1
1.1 Equivalente da fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Transformac¸a˜o da corrente em impedaˆncia . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Transformac¸a˜o da poteˆncia de curto-circuito em impedaˆncia . . . . 2
1.2 Linhas de transmissa˜o/distribuic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Ca´lculos das impedaˆncias em valores porcentuais 2
2.1 Equivalente da fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Linha de transmissa˜o - LT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Transfomador de poteˆncia - TR1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Linha de distribuic¸a˜o - LD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4.1 Sequeˆncia positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4.2 Sequeˆncia zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Transfomador de distribuic¸a˜o - TR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Ca´lculos de curtos-circuitos 5
3.1 Curto-circuito trifa´sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Curto-circuito bifa´sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Curto-circuito monofa´sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
i
Lista de Figuras
1 Diagrama unifilar de um sistema radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Diagrama unifilar de sequeˆncia positiva em % . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Diagrama unifilar de sequeˆncia zero em % . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Ligac¸a˜o da rede de sequeˆncia positiva para curto-circuito trifa´sico na barra
D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Ligac¸a˜o das redes de sequeˆncias positiva e negativa para curto-circuito
bifa´sico na barra D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6 Ligac¸o˜es das redes de sequeˆncias para curto-circuito monofa´sico na barra D 10
ii
1 PREPARAC¸A˜O DOS DADOS 1
1 Preparac¸a˜o dos dados
Os dados fornecidos devem ser convertidos em valor porcentual (valor pu x 100%), tomando-
se uma poteˆncia base SB conveniente. Voceˆ pode escolher este valor, mas no sistema
de poteˆncia adota-se SB = 100 MVA.
A impedaˆncia porcentual e´ calculada pela equac¸a˜o (1):
z% =
ZΩ
ZB
100% (1)
A impedaˆncia base e´ calculada pela equac¸a˜o (2)
ZB =
V 2B
SB
(2)
Sendo
VB em kV
SB em MVA
1.1 Equivalente da fonte
Este dado deve ser fornecido pela empresa concessiona´ria referido ao ponto de entrega.
Existem treˆs maneiras deles fornecerem:
1. Correntes de curtos-circuitos em A.
2. Impedaˆncias em Ω.
3. Poteˆncias de curtos-circuitos em MVA.
Obs.: Estes valores devem ser fornecidos nas formas retangular ou polar, conforme se
segue.
Forma retangular:
A = Ar + jAr (3)
Forma polar:
A = |A| 6 φ (4)
1.1.1 Transformac¸a˜o da corrente em impedaˆncia
Para esta transformac¸a˜o aplicam-se as equac¸o˜es (5) e (6), respectivamente para a sequeˆncia
positiva e sequeˆncia zero:
Z+Ω (s) =
Vl√
3I3fcc
(5)
Z0Ω(s) =
√
3Vl
Ibccb1f
− 2Z+Ω (s) (6)
2 CA´LCULOS DAS IMPEDAˆNCIAS EM VALORES PORCENTUAIS 2
Para transformar estas impedaˆncias em valores porcentuais aplica-se a equac¸a˜o (1),
ou seja:
z+%(s) =
Z+Ω (s)
ZB
100% (7)
z0%(s) =
Z0Ω(s)
ZB
100% (8)
Por motivos o´bvios, quando os dados fornecidos forem em impedaˆncias basta trans-
forma´-las em valores porcentuais aplicando-se a equac¸a˜o (1).
1.1.2 Transformac¸a˜o da poteˆncia de curto-circuito em impedaˆncia
Para esta transformac¸a˜o utilizam-se as equac¸o˜es (9) e (10), respectivamente para a sequeˆncia
positiva e sequeˆncia zero.:
z+
%
(s) =
SB
S
3f
cc
100% (9)
z0%(s) = (
3SB
S
1f
cc
− 2SB
S
3f
cc
)100% (10)
1.2 Linhas de transmissa˜o/distribuic¸a˜o
Geralmente estes valores sa˜o fornecidos em Ω/km. Assim sendo, as equac¸o˜es (11) e (12)
sa˜o utilizadas, respectivamente para a sequeˆncia positiva e sequeˆncia zero.:
z+
%
(l) =
Z+
Ω/kmkm
ZB
100% (11)
z0%(l) =
Z0Ω/kmkm
ZB
100% (12)
1.3 Transformadores
Os fabricantes fornecem a impedaˆncia porcentual, que e´ determinada a partir dos valores
nominais do tranformador. Assim sendo ela precisa passar por uma mudanc¸a de base,
conforme a equac¸a˜o (13):
z+
%N
(t) = z+
%
(t)
SBN
SB
(13)
2 Ca´lculos das impedaˆncias em valores porcentuais
Os ca´lculos sera˜o baseados no sistema-exemplo da Figura 1:
2 CA´LCULOS DAS IMPEDAˆNCIAS EM VALORES PORCENTUAIS 3
∆ y
D1 D2
D3
LT
TR1
C#3
TR2
A
Curto−circuito trifásico = 4.808 MVA −80
Curto−circuito monofásico = 4.109 MVA −80
z+ = 0,1902 + j0,4808 ohm/km
138,0/11,95 kV − 15 MVA − 8,68 %
z+ = 0,1903 + j0,3922 ohm/km
zo = 0,4359 + j1,8540 ohm/km
11,950/0,220−0,127 kV − 500 kVA − 5,0 %
o
o
zo = 0,4414 + j1,7452 ohm/km
138 kV R1 R2
TC1 TC2
800 m
10 km
LT
TR2
11,95 kV
C#3
C#1
C#2
Sb = 100 MVA
11,95 kV
R3
TC3
220 V
f
138 kV
EQU.
SI
TR1
f: curto−circuito próximo à barra C
A B
C
D
E
Figura 1: Diagrama unifilar de um sistema radial
2.1 Equivalente da fonte
Aplicando-se a equac¸a˜o (9) tem-se:
z+%(s) =
100, 0
4808, 0 6 − 800 100% (14)
tendo como resultado, na forma polar,
z+%(s) = 2, 08% 6 80
0 (15)
ou na forma retangular,
z+%(s) = (0, 36 + j2, 04)% (16)
2.2 Linha de transmissa˜o - LT
A linha de transmissa˜o apresenta um comprimento de 10 km.
Aplicando-se a equac¸a˜o (11) tem-se:
z+
%
(lt) =
(0, 1902 + j0, 4808)10, 0
138,02
100,0
100% (17)
que resulta em,
z+
%
(lt) = (1, 00 + j2, 53)% (18)
2 CA´LCULOS DAS IMPEDAˆNCIAS EM VALORES PORCENTUAIS 4
2.3 Transfomador de poteˆncia - TR1
Na impedaˆncia porcentual do transformador a parte resistiva e´ muito pequena, sendo
desprezada. Assim, so´ se considera a parte indutiva.
Aplicando-se a equac¸a˜o (13) tem-se:
z+
%N
(tr1) = 8, 68
100, 0
15, 0
(19)
que resulta,
z+
%N
(tr1) = j57, 87% (20)
2.4 Linha de distribuic¸a˜o - LD
A linha de distribuic¸a˜o apresenta um comprimento de 0,8 km.
2.4.1 Sequeˆncia positiva
Aplicando-se a equac¸a˜o (11):
z+
%
(ld) =
(0, 1903 + j0, 3922)0, 8
11,952
100,0
100% (21)
ou
z+
%
(ld) = (10, 66 + j21, 97)% (22)
2.4.2 Sequeˆncia zero
Aplicando-se a equac¸a˜o (12):
z0%(ld) =
(0, 4359 + j1, 8540)0, 8
11,952
100,0
100% (23)
ou
z+
%
(ld) = (24, 42 + j103, 86)% (24)
2.5 Transfomador de distribuic¸a˜o - TR2
Aplicando-se a equac¸a˜o (13) tem-se:
z+
%N
(tr2) = 5, 0
100, 0
0, 5
(25)
que resulta,
z+
%N
(tr2) = j1000, 0% (26)
3 CA´LCULOS DE CURTOS-CIRCUITOS 5
3 Ca´lculos de curtos-circuitos
Apo´s a obtenc¸a˜o dos valores das impedaˆncias porcentuais podemos calcular as correntes de
curtos-circuitos. As Figuras 2 e 3 mostram respectivamente os diagramas de impedaˆncias
de sequeˆncia positiva e sequeˆncia zero, em valores porcentuais.
A0,36 + j2,04 B C D1,00 + j2,53 10,66 + j21,97 j1000,00 E
100,0 %
j57,87
Figura 2: Diagrama unifilar de sequeˆncia positiva em %
A B C D E
0,55 + j3,09 2,32 + j9,16 j57,87 24,42 + j103,86 j1000,00
Figura 3: Diagrama unifilar de sequeˆncia zero em %
3.1 Curto-circuito trifa´sico
O valor da corrente de curto-circuito trifa´sico pode ser obtido em qualquer barra, bastando
para isso ligar a barra a` refereˆncia. A tensa˜o da fonte e´ considerada 100 % e a impedaˆnciaequivalente e´ a soma de todas as impedaˆncias de sequeˆncia positiva, desde a fonte ate´ a
barra em curto-circuito.
Formalmente temos:
i3fcc =
100, 0%
z+
%
(eq)
(27)
O valor da corrente calculado e´ obtido em valor pu, portanto para se obter a corrente
em amperes precisamos multiplicar pela corrente de base, conforme a equac¸a˜o (28)
Icc3f = i3fcc (
1000, 0SB√
3VB
) (28)
3 CA´LCULOS DE CURTOS-CIRCUITOS 6
Tomando-se como exemplo um curto-circuito trifa´sico na barra D, a ligac¸a˜o da rede
de sequeˆncia positiva e´ mostrada na Figura 4.
A0,36 + j2,04 B C D1,00 + j2,53 10,66 + j21,97 j1000,00 E
100,0 %
j57,87
Figura 4: Ligac¸a˜o da rede de sequeˆncia positiva para curto-circuito trifa´sico na barra D
A impedaˆncia equivalente de sequeˆncia positiva (soma das impedaˆncias, desde a fonte
ate´ a barra D) e´:
z+%(eq) = (12, 02 + j84, 41)% (29)
ou na forma polar,
z+%(eq) = 85, 26% 6 81, 9
0 (30)
Aplicando a equac¸a˜o (27), teremos:
i3fcc =
100, 0
85, 26
6 − 81, 90 = 1, 173pu 6 − 81, 90 (31)
Finalmente, aplicando-se a equac¸a˜o (28):
I3fcc = 1, 173(
1000, 0.100, 0√
3.11, 95
) 6 − 81, 90 (32)
Portanto, a corrente de curto-circuito trifa´sico na barra D e´:
I3fcc = 5667, 2A 6 − 81, 90 (33)
Considerando-se um curto-circuito trifa´sico franco na barra D, a tensa˜o da fase a em
pu na barra C (lado y do transformador) sera´:
va = 1, 0− 1, 173pu 6 − 81, 90.0, 62455pu 6 88, 750 = 0, 2864pu 6 − 17, 780 (34)
Multiplicando-se pela tensa˜o de base. obte´m-se:
Va = 1, 98kV 6 − 17, 780 (35)
3 CA´LCULOS DE CURTOS-CIRCUITOS 7
3.2 Curto-circuito bifa´sico
O valor da corrente de curto-circuito bifa´sico pode ser obtido em qualquer barra. As
impedaˆncias de sequeˆncias positiva e negativa (que e´ igual a de sequeˆncia positiva) devem
ser ligadas em se´rie, tomando-se como ponto de conexa˜o a barra em curto-circuito.A
tensa˜o da fonte e´ considerada 100 % e as impedaˆncias equivalentes sa˜o as somas de todas
as impedaˆncias ate´ a barra em curto-circuito.
Lembre-se que as correntes obtidas atrave´s da conexa˜o acima referida sa˜o as correntes
de sequeeˆncias positiva e negativa e para obter as correntes de curto-circuito e´ necessa´rio
aplicar a transformac¸a˜o de componentes sime´tricas.
A corrente de sequeˆncia positiva e´ obtida pela equac¸a˜o (36):
ia+ =
100, 0%
z+%(eq) + z
−
%(eq)
(36)
A corrente de sequeˆncia negativa tem a mesma magnitude da positiva, pore´m com
sentido oposto, isto e´:
ia+ = −ia− (37)
Aplicando-se as equac¸o˜es de s´ıntese:
ia = ia+ + ia− = ia+ − ia+ = 0, 0 (38)
ib = a
2ia+ + aia− = (a
2 − a)ia+ = −j
√
3ia+ (39)
ic = aia+ + a
2ia− = (a− a2)ia+ = j
√
3ia+ (40)
Os valores das correntes calculados sa˜o obtidos em valor pu, portanto para se obter as
correntes em amperes precisamos multiplicar pela corrente de base, conforme a equac¸a˜o
(41)
If = if(
1000, 0SB√
3VB
) (41)
Tomando-se como exemplo um curto-circuito bifa´sico na barra D, a ligac¸a˜o das redes
de sequeˆncias positiva e negativa e´ mostrada na Figura 5.
A impedaˆncia equivalente de sequeˆncia positiva (soma das impedaˆncias, desde a fonte
ate´ a barra D) e´:
z+%(eq) = (12, 02 + j84, 41)% (42)
ou na forma polar,
z+%(eq) = 85, 26% 6 81, 9
0 (43)
Considerando z−
%
(eq) = z+
%
(eq) e aplicando a equac¸a˜o (36), teremos:
ia+ =
100, 0
170, 52
6 81, 90 = 0, 5864pu 6 − 81, 90 (44)
3 CA´LCULOS DE CURTOS-CIRCUITOS 8
A0,36 + j2,04 B C D1,00 + j2,53 10,66 + j21,97 j1000,00
100,0 %
Ej57,87
A0,36 + j2,04 B C D1,00 + j2,53 10,66 + j21,97 j1000,00 Ej57,87
Figura 5: Ligac¸a˜o das redes de sequeˆncias positiva e negativa para curto-circuito bifa´sico
na barra D
Aplicando-se as equac¸o˜es de s´ıntese:
ia = 0, 5864 6 − 81, 90 − 0, 5864 6 − 81, 90 (45)
ib = a
20, 5864 6 − 81, 90 − a0, 5864 6 − 81, 90 (46)
ic = a0, 5864 6 − 81, 90 − a20, 5864 6 − 81, 90 (47)
obtendo-se:
ia = 0, 0 (48)
ib = 1, 0157 6 − 171, 90 (49)
ic = 1, 0157 6 8, 1
0 (50)
Finalmente, aplicando-se a equac¸a˜o (41):
Ib = 4907, 2 6 − 171, 90 (51)
Ic = 4907, 2 6 8, 1
0 (52)
Considerando-se um curto-circuito bifa´sico franco na barra D, as tenso˜es de sequeˆncias
em pu na barra C (lado y do transformador) sera˜o:
3 CA´LCULOS DE CURTOS-CIRCUITOS 9
va+ = 1, 0− 0, 5864pu 6 − 81, 90.0, 62455pu 6 88, 750 = 0, 638pu 6 − 3, 930 (53)
va− = 0, 5864pu 6 − 81, 90.0, 62455pu 6 88, 750 = 0, 366pu 6 6, 860 (54)
Aplicando-se as equac¸o˜es de s´ıntese e multipicando-se pela tensa˜o de base, obtem-se:
Va = 6, 9kV 6 0
0 (55)
Vb = 4, 29kV 6 − 157, 70 (56)
Vc = 3, 35kV 6 150, 9
0 (57)
3.3 Curto-circuito monofa´sico
O valor da corrente de curto-circuito monofa´sico pode ser obtido em qualquer barra.
Neste caso as impedaˆncias de sequeˆncias positiva, negativa (que e´ igual a de sequeˆncia
positiva) e zero devem ser ligadas em se´rie, tomando-se como ponto de conexa˜o a barra
em curto-circuito. A tensa˜o da fonte e´ considerada 100 % e as impedaˆncias equivalentes
sa˜o as somas de todas as impedaˆncias ate´ a barra em curto-circuito.
No ponto de curto-circuito temos:
ia+ = ia− = ia0 =
i1fcc
3
=
100, 0%
(z+%(eq) + z
−
%(eq) + z
0
%eq)
(58)
Assim,
i1fcc =
300, 0%
(z+%(eq) + z
−
%(eq) + z
0
%eq)
(59)
O valor da corrente calculado e´ obtido em valor pu, portanto para se obter a corrente
em amperes precisamos multiplicar pela corrente de base, conforme a equac¸a˜o (60)
I1fcc = i
1f
cc (
1000, 0SB√
3VB
) (60)
Tomando-se como exemplo um curto-circuito monofa´sico na barra D, as ligac¸o˜es das
redes de sequeˆncias positiva, negativa e zero sa˜o mostradas na Figura 6.
As impedaˆncias equivalentes de sequeˆncia positiva (soma das impedaˆncias, desde a
fonte ate´ a barra D) e zero (soma das impedaˆncias ate´ a barra D) sa˜o respectivamente:
z+
%
(eq) = (12, 02 + j84, 41)% (61)
z0%(eq) = (24, 42 + j161, 73)% (62)
3 CA´LCULOS DE CURTOS-CIRCUITOS 10
A B 24,42 + j103,86
A0,36 + j2,04 B1,00 + j2,53 10,66 + j21,97
A0,36 + j2,04 B1,00 + j2,53 10,66 + j21,97 E
E
E
j57,87
j57,87
j57,87
j1000,00D
j1000,00D
j1000,00D
e A
C
C
C
v+
vo
v−
i+
i−
io
0,55 + j3,09 2,32 + j9,16
Figura 6: Ligac¸o˜es das redes de sequeˆncias para curto-circuito monofa´sico na barra D
3 CA´LCULOS DE CURTOS-CIRCUITOS 11
Considerando-se que a impedaˆncia equivalente de sequeˆncia negativa e´ igual a de
sequeˆncia positiva teremos:
z+
%
(eq) + z−
%
(eq) + z0%(eq) = (48, 46 + j330, 55)% (63)
ou na forma polar:
z+
%
(eq) + z−
%
(eq) + z0%(eq) = 334, 08% 6 81, 66
0 (64)
Aplicando a equac¸a˜o (58), teremos:
ia+ = ia− = ia0 =
100, 0
334, 08
6 − 81, 660 = 0, 2993pu 6 − 81, 660 (65)
ou
icc1f =
300, 0
334, 08
6 − 81, 660 = 0, 898pu 6 − 81, 660 (66)
Finalmente, aplicando-se a equac¸a˜o (60):
Icc1f = 0, 898(
1000, 0.100, 0√
3.11, 95
) 6 − 81, 660 (67)
Portanto, a corrente de curto-circuito monofa´sico na barra D e´:
Icc1f = 4338, 5A 6 − 81, 660 (68)
Considerando-se um curto-circuito monofa´sico franco na barra D, as tenso˜es de sequeˆncias
em pu na barra C (lado y do transformador) sera˜o:
va+ = 1, 0− 0, 2993pu 6 − 81, 660.0, 62455pu 6 88, 750 = 0, 8148pu 6 − 1, 620 (69)
va− = −0, 2993pu 6 − 81, 660.0, 62455pu 6 88, 750 = 0, 1869pu 6 − 172, 910 (70)
va0 = −0, 2993pu 6 − 81, 660.0, 5787pu 6 90, 000 = 0, 1732pu 6 − 171, 660 (71)
Aplicando-se as equac¸o˜es de s´ıntese e multipicando-se pela tensa˜o de base, obtem-se:
Va = 3, 20kV 6 − 8, 860 (72)
Vb = 6, 86kV 6 − 119, 240 (73)
Vc = 6, 84kV 6 119, 35
0 (74)