Sistemas Eletricos de Potencia Cap5 Matriz admitancia D Caselato

Prévia do material em texto

Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
130 
 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
131 
 
SOBRE O AUTORSOBRE O AUTORSOBRE O AUTORSOBRE O AUTOR 
Djalma Caselato é engenheiro eletricista, com ênfase em eletrotécnica, formado pela Escola Politécnica da 
Universidade de São Paulo, com Mestrado e Doutorado em Engenharia na área de Sistema de Potência pela 
Escola Politécnica da USP. 
Desde sua formatura, em 1968, tem trabalhado na área de elaboração de projetos de usinas hidrelétricas e de 
subestações, com atuação específica na área de equipamentos elétricos de grande porte (gerador, barramento 
de fases isoladas, transformadores, disjuntores, seccionadoras, sistemas de excitação e reguladores de 
tensão). Atividade profissional internacional, nas áreas indicadas, com trabalhos desenvolvidos na Suíça, 
França, Alemanha, Tchecoslováquia, África do Sul, República Democrática do Congo, Angola e Moçambique. 
Foi pesquisador junto ao Departamento de Energia e Automação Elétricas da Escola Politécnica da USP. 
Como atividade didática exerceu a função de Professor Adjunto do Departamento Elétrico da Universidade de 
Mogi das Cruzes, de março de 1984 a janeiro de 1994, e desde maio de 1994 é responsável pelas disciplinas 
Sistemas de Potência I e II, Laboratório de Sistemas de Potência I e II, Subestações Elétricas e Usinas 
Hidrelétricas na Escola de Engenharia Mauá para o curso de engenharia eletrotécnica. 
O autor possui artigos publicados no Brasil e no exterior sobre projeto elétrico de subestação, sobre 
modernização e reabilitação de usinas hidrelétricas, sobre eficiência e limites operacionais de turbinas com 
velocidade ajustável em sistema de conexão unitária, sobre novo modelo de gestão de qualidade para o setor 
energético, sobre método para cálculo do GD2 de hidrogeradores e sobre aspectos técnicos no pré-
dimensionamento de grandes hidrogeradores. 
Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
132 
5555 
MATRIZES ADMITÂNCIASMATRIZES ADMITÂNCIASMATRIZES ADMITÂNCIASMATRIZES ADMITÂNCIAS E IMPEDÂNCIAS E IMPEDÂNCIAS E IMPEDÂNCIAS E IMPEDÂNCIAS DE BARRAS DE BARRAS DE BARRAS DE BARRAS 
Extrato da Teoria 
5.1 Equivalência de Fontes 
Os dois circuitos apresentados nas figuras 5.1 e 5.2 são equivalentes, do ponto de vista energético, quando as 
grandezas envolvidas satisfazem as expressões (5.1) e (5.2). 
 
E = I.Zp (5.1) 
Zp = Zg (5.2) 
5.2 Matriz de Impedâncias Primitivas da Rede 
A matriz de impedâncias primitivas da rede representa todas as impedâncias próprias e mútuas da rede. Sua 
construção é bem simples: indicando as colunas e as linhas com o nome de cada ramo, as impedâncias 
próprias se localizam na diagonal principal1 e as impedâncias mútuas fora dessa diagonal. 
Para o exemplo da figura 5.3 (uma rede com três barras) é mostrada a matriz de impedâncias primitivas. 
A matriz de admitâncias primitivas da rede é calculada pela expressão matricial (5.3), ou seja, pela matriz 
inversa da matriz de impedâncias primitivas. 
1−= primprim zy (5.3) 
 
 
1 Diagonal principal de uma matriz é aquela que começa do lado esquerdo superior e termina no lado esquerdo inferior da 
matriz. 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
133 
 
 1 – 2 1 - 3 0 – 1 0 - 2 0 – 3 
 1 – 2 j X12,12 j X12,13 
 1 – 3 j X13,12 j X13,13 
zprim = 0 – 1 j X01,01 
 0 – 2 j X02,02 
 0 - 3 j X03,03 
A matriz zprim seguinte oferece um exemplo numérico da rede da figura 5.3: 
 1 – 2 1 - 3 0 - 1 0 - 2 0 – 3 
 1 – 2 0,3 j 0,1 j 
 1 – 3 0,1 j 0,2 j 
zprim = 0 – 1 0,2 j 
 0 – 2 0,1 j 
 0 - 3 0,2j 
No caso específico deste exemplo, o valor da matriz de admitâncias primitivas é: 
 1 – 2 1 - 3 0 - 1 0 - 2 0 – 3 
 1 – 2 - 0,4 j 2 j 
yprim = 1 – 3 2 j 6 j 
 0 – 1 - 5 j 
 0 – 2 - 10 j 
 0 - 3 - 5 j 
5.3 Construção da Matriz Admitância de Barras 
5.3.1 Rede sem impedâncias mútuas 
O elemento mais simples de uma rede é o ramo existente entre dois nós, como indica a figura 5.4. 
 
Considerando uma corrente I injetada em cada barra (positiva, se for uma fonte, e negativa se for uma carga), a 
equação matricial que representa a inter-relação entre essas correntes e as tensões em cada barra, para uma 
rede com n barras, é dada pela expressão matricial (5.4), com todos os valores em p.u. 
I1 Y11 ∝ Y1k ∝ Y1n V1 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
Ik = Yk1 ∝ Ykk ∝ Ykn Vk (5.4) 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
In Yn1 ∝ Ynk ∝ Ynn Vn 
 
 Ybarra 
Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
134 
Os valores de cada célula da matriz Ybarra são calculados com as equações indicadas em (5.5) e (5.6). 
jk
n
j
kk yY
0=
Σ= (5.5) 
jkjkjk yY −=≠ )( (o valor de j varia de 1 a n) (5.6) 
Os valores de ykj estão representados na figura 5.5. Trata-se da admitância do ramo entre a barra k e a barra j. 
 
5.3.2 Rede com impedâncias mútuas 
Dois ramos da rede com impedâncias mútuas estão representados na figura 5.6. Neste caso, as regras para a 
montagem da matriz admitância de barras são as seguintes: 
a) O elemento ypq,pq deve ser somado com o mesmo sinal nos seguintes elementos de Ybarra: 
• Linha p, coluna p : Ypp 
• Linha q, coluna q : Yqq 
b) O elemento ypq,pq deve ser somado com o sinal trocado em: 
• Linha p, coluna q: Ypq 
• Linha q, coluna p: Yqp 
c) O elemento ypq,rs deve ser somado com o mesmo sinal em: 
• Linha p, coluna r: Ypr 
• Linha q, coluna s: Yqs 
d) O elemento ypq,rs deve ser somado com o sinal trocado em: 
• Linha q, coluna r: Yqr 
• Linha p, coluna s: Yqs 
 
Uma regra mnemônica para a montagem de Ybarra pode ser a mostrada nas figuras 5.7 e 5.8. 
 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
135 
 
5.4 Eliminação de Barras da Matriz Ybarra por Álgebra Matricial 
Somente barras em que não entra ou sai corrente para a rede podem ser eliminadas. 
A expressão matricial representada pela expressão (5.7) pode ser expressa pela (5.8), onde a matriz Ybarra é 
particionada de tal maneira que as barras a serem eliminadas são representadas pelas submatrizes IX e VX. 
[ I ] = [ Ybarra ].[ V ] (5.7) 
 (5.8) ( 
 
A nova matriz Ybarra reduzida é calculada pela expressão matricial (5.9). 
[ Ybarra ] = [ K ] – [ L ].[ M ].[ LT ] (5.9) 
5.5 Matriz Impedância de Barras 
Uma vez calculada a matriz admitância de barras, por inversão da mesma, obtém-se a matriz impedância de 
barras, conforme mostra a equação matricial (5.10). 
1−= barrabarra YZ (5.10) 
A matriz impedância de barras é extremamente útil para cálculo de defeitos em sistemas elétricos de potência. 
Os valores na diagonal principal da matriz impedância de barras correspondem aos valores da impedância de 
Thévenin para as respectivas barras. Assim, Z11 é a impedância de Thévenin para a barra 1, da mesma forma 
Z22 é a impedância de Thévenin para a barra 2, e assim sucessivamente. A diagonal principal da matriz 
impedância de barras corresponde às impedâncias de Thévenin para cada barra. 
5.6 Método para Obtenção da Matriz Impedância de Barras 
Duas regras gerais são indispensáveis para a formação de Zbarra: 
• A matriz Zbarra é montada ramo por ramo, ou seja, começa-se por um ramo e faz-se uma matriz Zbarra; 
em seguida, acrescenta-se o próximo ramo e constrói-se a próxima Zbarra. 
• O primeiro ramo deve estar obrigatoriamente conectado à referência. 
• Os demais ramos devem ser acrescentados um a um e sempre ligados a uma barra já introduzida na 
matriz Zbarra. 
Para uma maior eficiência computacional, introduzir ramos que já possuam as duas barras na matriz Zbarra. 
a) Adição de ramo entre um barramento novo e a referência 
Este novo ramo possui impedância zk0. A nova matriz Zbarra fica: 
 0 
[Z’barra] = [Zbarra] . . . (5.11) 
 0 
 0 . . . 0 zk0 
b) Adição de ramo entre um barramento novo e um barramento existente 
IA= K L VA 
IX LT M VX 
Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
136 
 
Será acrescentada a impedância zik entre a barra i já existente na matriz Zbarra e a barra k. A nova matriz Zbarra 
fica: 
 Z11 Z12 . . . . Z1i . . . . Z1n Z1i 
 Z21 Z22 . . . . Z2i . . . . Z2n Z2i 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
[Z’barra] = Zi1 Zi2 . . . . Zii . . . . Zin Zii (5.12) 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 Zn1 Zn2 . . . . Zni . . . . Znn Zni 
 Zi1 Zi2 . . . . Zii . . . . Zin Zii + zik 
c) Adição de ramo entre um barramento existente e a referência 
 
Será acrescentada a impedância zk0 entre a barra K e a barra de referência, ambas já existentes na matriz 
Zbarra. Para a obtenção da matriz final, processa-se em duas etapas, a primeira com a inclusão de uma barra 
fictícia “R” e a segunda com a eliminação da barra ‘R’ da matriz pelo método de redução de Kron. 
 
• Primeira etapa: adição da barra fictícia “R”: 
 Z11 Z12 . . . . Z1k . . . . Z1n Z1k 
 Z21 Z22 . . . . Z2k . . . . Z2n Z2k 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
[Z’barra] = Zk1 Zk2 . . . . Zkk . . . . Zkn Zkk (5.13) 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 Zn1 Zn2 . . . . Znk . . . . Znn Znk 
 Zk1 Zk2 . . . . Zkk . . . . Zkn Zkk + zk0 
 
• Segunda etapa: eliminação da barra “R”, o que equivale a conectar essa barra com a referência, ou seja, vr 
= 0, portanto, pelo processo de redução de Kron (ver expressão matricial (5.9)), fica: 
[ ] [ ]knkkk
nk
kk
k
kkk
nbarra ZZZ
Z
Z
Z
zZ
ZZ ....
:
:
1
]'[ 1
1
0






















+
−=
 (5.14) 
d) Adição de ramo entre dois barramentos existentes na matriz 
Será acrescentada a impedância zkm entre a barra K e a barra M, ambas já existentes na matriz Zbarra. Para a 
obtenção da matriz final, processa-se em duas etapas, a primeira com a inclusão de uma barra fictícia “R”, e a 
segunda com a eliminação da barra ‘R’ da matriz pelo método de redução de Kron (ver expressão matricial 
(5.9)). 
Primeira etapa: adição da barra fictícia “R”: 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
137 
 
 Z11 Z12 ... Z1k ... Z1m ... Z1n Z1m -Z1k 
 Z21 Z22 ... Z2k ... Z2m ... Z2n Z2m –Z2k 
 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
 Zk1 Zk2 ... Zkk ... Zkm ... Zkn Zkm –Zkk 
Z’barra = ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
 Zm1 Zm2 ... Zmk ... Zmm ... Zmn Zmm –Zkm (5.15) 
 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
 Zn1 Zn2 ... Znk ... Znm ... Znn Znm –Znk 
 Z1m 
– Z1k 
Z2m 
–Z2k 
... Zkm 
–Zkk 
... Zmm 
–Zkm 
... Znm 
–
Znk 
Zkk +Zmm – 
2Zkm +zkm 
 
Aplica-se agora o método de Kron para eliminar a última linha e a última coluna, resultando na expressão 
matricial (5.16) abaixo: 
[ ] [ ]nkmnkkkmkm
nkmn
kkkm
km
kmkmmmkk
nbarra ZZZZZZ
ZZ
ZZ
ZZ
zZZZ
ZZ −−−
















−
−
−






+−+
−= ......
:
:
2
1
]'[ 11
11
 (5.16) 
5.7 Rede Equivalente da Matriz Impedância de Barra 
O circuito equivalente da matriz impedância de barra desenhado na figura 5.9 tem o objetivo de calcular os 
curtos-circuitos em pontos do sistema e possibilitar calcular as correntes e tensões em qualquer parte da rede. 
A figura foi desenhada para uma rede com quatro barras e foram indicadas somente as impedâncias próprias 
da diagonal principal e as impedâncias de transferência de cada barra para a barra 4. Nessa figura supõe-se 
que se queira calcular o curto-circuito trifásico no ponto 4 e as tensões resultantes nas barras 1, 2 e 3. 
O valor de Vth corresponde ao valor da tensão de Thévenin no ponto 4 e as impedâncias próprias as 
impedâncias de Thévenin para o barra correspondente. As outras impedâncias de transferências não foram 
indicadas na figura com o objetivo de deixá-la mais clara. 
 
Quando a chave S está aberta, todos os valores de tensão nas barras 1, 2, 3 e 4 possuem o mesmo valor Vth. 
Quando S está fechada as tensões em 1, 2 e 3 se modificam de acordo com o equacionamento dessa rede. Os 
valores de tensão para as barras 1, 2 e 3 são calculadas pelas expressões (5.17), (5.18) e (5.19). 
141 .ZIVV ccth −= (5.17) 
Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
138 
242 .ZIVV ccth −= (5.18) 
343 .ZIVV ccth −= (5.19) 
Matricialmente, essas equações podem ser representadas pela (5.20): 
[ V ] = 1 - [ Z ] * [ I ] (5.20) 
Sendo no ponto de falta: I = Icc e nas demais barras I = 0. 
Exercícios Resolvidos 
5.1 Determinar a matriz admitância de barras para a figura 5.10, que representa o diagrama de reatâncias da 
rede, com valores em p.u. 
Solução: 
Primeiro calcula-se as admitâncias primitivas da rede. Pelo fato de ser uma rede sem mútuas, as admitâncias 
primitivas são o inverso da reatância de cada ramo. A figura 5.11 representa o diagrama de admitâncias da 
rede. 
 
 
Constrói-se a matriz utilizando as expressões (5.5) e (5.6). 
 1 2 3 4 
 1 - 51,25 j 0 25,00 j 20,00 j 
Ybarra = 2 0 - 33,33 j 0 25,00 j 
 3 25,00 j 0 0,849 – 25,472 j 0 
 4 20,00 j 25,00 j 0 0,735 – 45,441 j 
Para calcular a matriz impedância de barra, calcula-se o inverso da matriz Ybarra com a utilização de um 
programa computacional. 
 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
139 
 
 1 2 3 4 
 1 0,0088 + 0,0841j 0,0062 + 0.0471j 0,0114 + 0,0821j 0,0083 + 0,0628j 
Zbarra = 2 0,0062 + 0.0471j 0,0048 + 0,0774j 0,0077 + 0,0460j 0,0064 + 0,0632j 
 3 0,0114 + 0,0821j 0,0077 + 0,0460j 0,0151 + 0,1194j 0,0102 + 0,0613j 
 4 0,0083 + 0,0628j 0,0064 + 0,0632j 0,0102 + 0,0613j 0,0086 + 0,0843j 
5.2 Para a rede da figura 5.10, calcular os valores de tensão nas barras sabendo que as f.e.m’s (forças 
eletromotrizes) dos geradores são: Eg1 = 2,0 / 0º p.u. e Eg2 = 1,3 / 36,9º p.u., e que as impedâncias dos 
geradores são Z1 = j 0,95 p.u. e Z2 = j 0,90 p.u. em substituição às indicadas na figura 5.10. 
Solução: 
A mudança das reatâncias dos geradores causará uma mudança nas duas células da matriz admitâncias 
correspondente aos geradores; são elas: Y11 e Y22 como segue: 
Y11 = -51,25 j + 6,25 j – 1,05 j = - 46,05 j e 
Y22 = -33,33 j + 8,33 j – 1,1 j = - 26,10 j 
Por outro lado, 
..11,2º9011,2
95,0
00,2
1 upj
j
I −=−∠=
∠
= 
..064,1799,01,5333,1
90,0
9,362,1
1 upj
j
I −=−∠=
∠
= 
As equações na forma matricial são: [I] = [Ybarra].[V] 
- j 2,11 - 46,05 j 0 25,00 j 20,00 j V1 
0,799-j1,064 = 0 - 26,11 j 0 25,00 j V2 
0 25,00 j 0 0,85 - 25,47 j 0 V3 
0 20,00 j 25,00 j 0 0,74 – 45,44 j V4 
Resultando, então: 
V1 = 0,9293 – 0,2226 j p.u. 
V2 = 0,9070 – 0,1668 j p.u. 
V3 = 0,9037 – 0,2526 j p.u. 
V4 = 0,9047 – 0,2061 j p.u. 
5.3 Determinar a matriz admitância de barras e a matriz impedância de barras para as seqüências positiva, 
negativa e nula da figura 4.16 com os valores do exercício 4.2. 
Solução: 
A rede da figura 4.16 não possui mútuas entre as linhas, portanto as admitâncias primitivas são o inverso das 
impedâncias correspondentes. A figura 5.12 representa o diagrama de admitâncias da rede para a seqüência 
positiva. 
Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
140 
 
 A B C D E F G H 
 A -7,332 1,111 1,429 1,667 
 B 1,111 -5,064 1,250 
Ybarra_1 = j C 1,429 -5,040 1,111 
 D 1,667 -3,334 1,667 
 E 1,250 -4,108 1,429 1,429 
 F 1,111 -2,361 1,250 
 G 1,667 1,429 -4,207 1,111 
 H 1,429 1,250 1,111 -3,790 
Determina-se Zbarra invertendo Ybarra. 
 A B C D E F G H 
 A 0,1989 0,0689 0,0768 0,1633 0,1025 0,0926 0,1276 0,1066 
 B 0,0689 0,2543 0,0389 0,1004 0,1689 0,0878 0,1318 0,1313 
Zbarra_1 = j C 0,0768 0,0389 0,2619 0,0874 0,0893 0,1893 0,0979 0,1248 
 D 0,1633 0,1004 0,0874 0,5764 0,2615 0,1863 0,3896 0,2743 
 E 0,1025 0,1689 0,0893 0,2615 0,5932 0,2735 0,4205 0,4371 
 F 0,0926 0,0878 0,1893 0,1863 0,2735 0,7399 0,2801 0,4292 
 G 0,1276 0,1318 0,0979 0,3896 0,4205 0,2801 0,6516 0,4419 
 H 0,1066 0,1313 0,12480,2743 0,4371 0,4292 0,4419 0,6998 
 
A rede da figura 5.13 representa o diagrama de admitâncias para a seqüência negativa. 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
141 
 
 
 A B C D E F G H 
 A -6,588 1,111 1,429 1,667 
 B 1,111 -4,444 1,250 
Ybarra_2 = j C 1,429 -4,358 1,111 
 D 1,667 -3,334 1,667 
 E 1,250 -4,108 1,429 1,429 
 F 1,111 -2,361 1,250 
 G 1,667 1,429 -4,207 1,111 
 H 1,429 1,250 1,111 -3,790 
 
Determina-se Zbarra invertendo Ybarra. 
 A B C D E F G H 
 A 0,2455 0,1004 0,1135 0,2061 0,1386 0,1296 0,1667 0,1439 
 B 0,1004 0,3100 0,0634 0,1356 0,2129 0,1198 0,1709 0,1699 
Zbarra_2 = j C 0,1135 0,0634 0,3287 0,1247 0,1246 0,2431 0,1358 0,1670 
 D 0,2061 0,1356 0,1247 0,6173 0,2990 0,2240 0,4286 0,3123 
 E 0,1386 0,2129 0,1246 0,2990 0,6336 0,3107 0,4594 0,4760 
 F 0,1296 0,1198 0,2431 0,2240 0,3107 0,7867 0,3184 0,4700 
 G 0,1667 0,1709 0,1358 0,4286 0,4594 0,3184 0,6905 0,4806 
 H 0,1439 0,1699 0,1670 0,3123 0,4760 0,4700 0,4806 0,7392 
A rede da figura 5.14 representa o diagrama de admitâncias para a seqüência nula. 
Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
142 
 
 A B C D E F G H 
 A -5,893 0,500 0,714 0,833 
 B 0,500 -5,167 0,667 
Ybarra_0 = j C 0,714 -4,617 0,455 
 D 0,833 -1,602 0,769 
 E 0,667 -2,001 0,667 0,667 
 F 0,455 -1,043 0,588 
 G 0,769 0,667 -1,936 0,500 
 H 0,667 0,588 0,500 -1,755 
Determina-se Zbarra invertendo Ybarra. 
 A B C D E F G H 
 A 0,1981 0,0281 0,0364 0,1530 0,0693 0,0585 0,1042 0,0756 
 B 0,0281 0,2140 0,0104 0,0616 0,1375 0,0613 0,0978 0,1007 
Zbarra_0 = j C 0,0364 0,0104 0,2374 0,0479 0,0532 0,1536 0,0603 0,0889 
 D 0,1530 0,0616 0,0479 1,0047 0,3623 0,2456 0,6269 0,3986 
 E 0,0693 0,1375 0,0532 0,3623 1,0132 0,4308 0,6797 0,7231 
 F 0,0585 0,0613 0,1536 0,2456 0,4308 1,4672 0,4482 0,7830 
 G 0,1042 0,0978 0,0603 0,6269 0,6797 0,4482 1,1930 0,7484 
 H 0,0756 0,1007 0,0889 0,3986 0,7231 0,7830 0,7484 1,3202 
5.4 Determinar a matriz admitância de barras para a figura 5.15, que representa o diagrama de reatâncias da 
rede, com valores em p.u. 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
143 
 
 
Solução: 
Primeiro constrói-se a matriz de impedâncias primitivas da rede, como mostrado a seguir: 
 1 - 2 1 – 4 3 – 4 0 – 1 0 - 2 0 – 3 0 – 4 
 1 – 2 0,04 j 0,005 j 
 1 – 4 0,005 j 0,05 j 0,005 j 
 3 - 4 0,005 j 0,04 j 
zprim = 0 – 1 0,16 j 
 0 – 2 j 0,5 
 0 - 3 0,12j 
 0 – 4 0,6 j 
Invertendo a matriz de impedâncias primitivas, obtém-se a matriz de admitâncias primitivas: 
 1 – 2 1 – 4 3 – 4 0 – 1 0 - 2 0 – 3 0 – 4 
 1 – 2 -25,3205j 2,5641j - 0,3205j 
 1 – 4 2,5641j -20,5128j 2,5641j 
 3 - 4 - 0,3205j 2,5641j -25,3205j 
yprim = 0 – 1 -6,25j 
 0 – 2 -2j 
 0 - 3 -8,333j 
 0 – 4 -1,667j 
Construção da matriz Ybarra, de acordo com o procedimento de construção indicado em 5.3.2: 
y 12,12 = -25,3205 j y 12,14 = 2,5641 j 
y 12,34 = -0,3205 j y 14,12 = 2,5641 j 
y 14,14 = -20,5128 j y 14,34 = 2,5641 j 
y 34,12 = -0,3205 j y 34,14 = 2,5641 j 
y 34,34 = -25,3205 j y 01,01 = - 6,25 j 
y 02,02 = -2,0 j y 03,03 = -8,333 j 
y 04,04 = -1,667 j 
 
 
Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
144 
 1 2 3 4 
 1 -25,3205 
+2,5641+2,5641 -
20,5128 - 6,25 
25,3205-2,5641 -
0,3205+2,5641 
-2,5641 
+0,3205-
2,5641 
+20,5128 
Ybarra = j 2 25,3205-2,5641 -25,3205-2,0 0,3205 2,5641-0,3205 
 3 -0,3205+2,5641 +0,3205 -8,333 – 
25,3205 
-2,5641 
+25,3205 
 4 -2,5641 
+20,5128+0,3205 
-2,5641 
2,5641-0,3205 -2,5641 
+25,3205 
-20,5128 
+2,5641+2,56
41 -25,3205 -
1,667 
Donde resulta: 
 1 2 3 4 
 1 -46,9551 j 22,7564 j 2,2436 j 15,7051 j 
Ybarra = 2 22,7564 j -27,3205 j 0,3205 j 2,2436 j 
 3 2,2436 j 0,3205 j -33,6535 j 22,7564 j 
 4 15,7051 j 2,2436 j 22,7564 j -42,3718 j 
5.5 A partir da matriz Ybarra do exercício anterior, determinar uma rede equivalente sem mútuas. 
Solução: 
Examinando a matriz Ybarra verifica-se que: 
• A barra 1 conecta-se com a barra 2 através de uma admitância igual a -22,7564 j, com a barra 3 com y = 
- 2,2436 j e com a barra 4 com y = -15,7051 j; 
• A barra 2 conecta-se também com a barra 3 com y = -0,3205 j e com a barra 4 com y = -2,2436 j; 
• E a barra 3 conecta-se com a barra 4 através de y = -22,7564 j. 
• Para completar a somatória dos Yii na mariz Ybarra, é necessário aterrar as respectivas barras com os 
valores: y10 = -6,25 j para barra 1; y20 = -2j para a barra 2; y30 = -8,3330 j para a barra 3; e y40 = -1,6667 j 
para a barra 4. 
O diagrama de admitâncias equivalente à matriz Ybarra está mostrado na figura 5.16 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
145 
 
 
5.6 Determinar a matriz impedância de barras da rede da figura 5.10 pelo método de montagem direta. 
Montagem da matriz Zbarra passo a passo: 
Acréscimo da impedância z10 = 0,16 j: 
Z(1) = j 0,16 
Acréscimo da impedância z20 = 0,12 : 
 1 2 
 0,16 j 0 
Z(2) = 0 0,12 j 
Acréscimo da impedância z13 = 0,04 j com o acréscimo da barra 3: 
 1 2 3 
 0,16 j 0 0,16 j 
Z(3) = 0 0,12 j 0 
 0,16 j 0 0,16 j+0,04 j 
Acréscimo da impedância z14 = 0,05 j com o acréscimo da barra 4: 
 1 2 3 4 
 0,16 j 0 0,16 j 0,16 j 
Z(4) = 0 0,12 j 0 0 
 0,16 j 0 0,20 j 0,16 j 
 0,16 j 0 0,16 j 0,16 j +0,05 j 
Acréscimo da impedância z30 = 0,9 + 0,5 j : 
 1 2 3 4 R 
 0,16 j 0 0,16 j 0,16 j 0,16 j 
Z(4R) = 0 0,12 j 0 0 0 
 0,16 j 0 0,20 j 0,16 j 0,20 j 
 0,16 j 0 0,16 j 0,21 j 0,16 j 
 0,16 j 0 0,20 j 0,16 j 0,90 + 0,70 j 
Aplicando a redução de Kron, expressão (5.14), resulta: 
Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
146 
 
j0,146217720,0
70,090,0
16,016,0
16,04111 +=
+
×
−==
j
jj
jZZ 
Z21 = 0 
0,1428j22150,0
70,090,0
20,016,0
16,031 +=
+
×
−=
j
jj
jZ 
 
Analogamente calculam-se as demais células da nova matriz: 
 1 2 3 4 
 0,0177 +0,146 j 0 0,0221+0,142j 0,0177+0,146j 
Z(4) = 0 0,12j 0 0 
 0,0221+0,143j 0 0,0277+0,179j 0,0222+0,143j 
 0,0177+0,146j 0 0,0222+0,143j 0,0177+0,196j 
 
Acréscimo da impedância z40 = 1 + 0,6 j : 
 1 2 3 4 R 
 0,0177 +0,146 j 0 0,0221+0,142j 0,0177+0,146j 0,0177+0,146j 
Z(4R) = 0 0,12j 0 0 0 
 0,0221+0,143j 0 0,0277+0,179j 0,0222+0,143j 0,0222+0,143j 
 0,0177+0,146j 0 0,0222+0,143j 0,0177+0,196j 0,0177+0,196j 
 0,0177+0,146j 0 0,0222+0,143j 0,0177+0,196j 1,0177+0,796j 
 
Com a redução de Kron, resulta: 
 1 2 3 4 
 0,0281+0,133j 0 0,0319+0,129j 0,0321+0,129j 
Z(4) = 0 0,12j 0 0 
 0,0319+0,129j 0 0,0368+0,1651 j 0,0357+0,1254 j 
 0,0321+0,129j 0 0,0357+0,1254 j 0,0376+0,1738 j 
Acréscimo da impedância z24 = 0,04 j : 
 1 2 3 4 R 
 0,0281+0,133j 0 0,0319+0,129j 0,0321+0,129j Z12 – Z14 
Z(4R) = 0 0,12j 0 0 Z22 – Z24 
 0,0319+0,129j 0 0,0368+0,165j 0,0357+0,125j Z32 – Z34 
 0,0321+0,129j 0 0,0357+0,125j 0,0377+0,174j Z42 – Z44 
 Z21 – Z41 Z22 – Z42 Z23 – Z43 Z24 – Z44 Z22 + Z44 + 
2.Z24 – z24 
Então a matriz fica: 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
147 
 
 1 2 3 4 R 
 0,0281+0,133j 0 0,0319+0,129j 0,0321+0,129j -0,0321-0,129j 
Z(4) = 0 0,12j 0 0 0,12j 
 0,0319+0,129j 0 0,0368+0,165j 0,0357+0,125j -0,0357-0,125j 
 0,0321+0,129j 0 0,0357+0,125j 0,0376+0,174j -0,0377-0,174j 
 -0,0321-0,129j 0,12j -0,0357-0,125j -0,0377-0,174j 0,0377+0,254j 
Com a redução de Kron, resulta: 
 1 2 3 4 
 0,0088 + 0,0841j 0,0062 + 0,0471j 0,0114 + 0,0821j 0,0083 + 0,0628j 
Z(4) = 0,0062 + 0,0471j 0,0048 + 0,0774j 0,0077 + 0,0460j 0,0064 + 0,0632j 
 0,0114 + 0,0821j 0,0077 + 0,0460j 0,0151 + 0,1194j 0,0102 + 0,0613j 
 0,0083 + 0,0628j 0,0064 + 0,0632j 0,0102 + 0,0613j 0,0086 + 0,0843j 
5.7 A rede da figura 5.10 perde a conexão 1 – 4; neste caso, construir a nova matriz Zbarra a partir da matrizdeterminada no exercício 5.6. 
Solução: 
Neste caso, a recomendação de eliminar um ramo equivale ao acréscimo de um ramo fictício interligando os 
mesmos pontos com uma impedância igual e de sinal contrário. Portanto, introduz-se uma impedância –j 0,05 
entre as barras 1 e 4, o que equivale acrescentar um ramo entre dois barramentos existentes na matriz. 
Na primeira etapa, constrói-se uma matriz com uma barra fictícia “R” (ver matriz (5.15)), como se segue: 
 1 2 3 4 R 
 0,88+8,41j 0,62+4,71j 1,14+8,21j 0,83+6,28j -0,05-2,13j 
Z(4R) =10
-2 0,62+4,71j 0,48+7,74j 0,76+4,59j 0,64+6,32j 0,02+1,61j 
 1,14+8,21j 0,76+4,59j 1,51+11,94j 1,02+6,13j -0,12-2,08j 
 0,83+6,28j 0,64+6,32j 1,02+6,13j 0,86+8,43j 0,03+2,15j 
 -0,05-2,13j -0,02-1,61j -0,12-2,08j 0,03+2,15j 0,08-45,72j 
 
 1 2 3 4 
 0,0177 + 0,1462j 0 0,0222 + 0,1428j 0 
Z(4) = 0 0,0091 + 0,1131j 0 0,0122 + 0,1108j 
 0,0222 + 0,1428j 0 0,0277 + 0,1785j 0 
 0 0,0122 + 0,1108j 0 0,0162 + 0,1477j 
5.8 Para a rede da figura 4.16 e sabendo que Vth = 1 p.u. (Tensão de Thévenin) na barra F, calcular os 
seguintes defeitos para essa barra, cujas matrizes de impedâncias de barras para as seqüências positiva, 
negativa e nula foram desenvolvidas no exercício 5.3: a) curto-circuito trifásico; b) curto-circuito bifásico; c) 
curto-circuito bifásico com conexão para a terra; d) curto-circuito monofásico. 
Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
148 
Solução: 
Os seguintes valores são extraídos das respectivas matrizes de impedâncias de barras correspondentes à 
barra F (ZFF): 
Zth1 = 0,7399j p.u. Zth2 = 0,7867j p.u. Zth0 = 1,4672j p.u. 
a) Curto-circuito trifásico 
De acordo com a expressão (4.2): 
..3515,1
7399,0
1
z
V
=i=i=i
th1
th1
cba upj
j
−== 
b) Curto-circuito bifásico 
De acordo com a expressão (4.8): 
j
jj
6550,0
7867,07399,0
1
z+z
e -e
=i -=i
th2th1
th2th1
a2a1 −=
+
= 
e ia0 = 0 
Aplicando a matriz de conversão de componentes simétricas para componentes de fases resultam, de acordo 
com a expressão matricial (3.9): 
Ia = 0 
Ib = - 1,1345 p.u. 
Ic = 1,1345 p.u. 
c) Curto-circuito bifásico com conexão para a terra 
Aplicando-se as expressões (4.13), (4.14), (4.15) e (4.16) têm-se: 
4090,0
7867,0/17399,0/14672,1/1
7399,0/1
111
21
2
2
1
1
0 =
++
=
++
++
=
jjj
j
zzz
z
e
z
e
z
e
V
thththo
th
th
th
th
th
tho
 
j
jz
Ve
i
tho
th
a 2788,0
4672,1
4090,00
0 =
−
=
−
= 
j
jz
Ve
i
th
th
a 7987,0
7399,0
4090,01
1
1
1 −=
−
=
−
= 
j
jz
Ve
i
th
th
a 5199,0
7867,0
4090,0
2
2
2 =
−
=
−
= 
Em componentes de fase resultam: 
Ia = 0 
Ib = 1,2161 / 159,9º p.u. 
Ic = 1,2161 / 20,1º p.u. 
d) Curto-circuito monofásico 
De acordo com a expressão (4.18), vem: 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
149 
 
..3340,0
4672,17867,07399,0
1
210
210
210 upj
jjjzzz
eee
iii
ththth
ththth
aaa −=
++
=
++
++
=== 
Resultam, portanto: 
Ia = - 1,002 j p.u. 
Ib = Ic = 0 p.u. 
5.9 Com os valores dos curtos-circuitos obtidos no exercício 5.8 para a rede da figura 4.16, determinar as 
tensões em todas as barras para os seguintes casos: a) curto-circuito trifásico; b) curto-circuito bifásico; c) 
curto-circuito bifásico com conexão para a terra; d) curto-circuito monofásico. 
Solução: 
a) Tensões em todas as barras para curto-circuito trifásico em F 
Calcula-se aplicando as fórmulas apresentadas em (5.17), (5.18) e (5.19) e os valores de impedâncias da 
matriz desenvolvida no exercício 5.3 para cada seqüência: 
Barra A: VA = 1 – Icc.ZthAF = 1 – (-1,3515j)x0,0926j = 0,8749 p.u. 
Barra B: VB = 1 – (-1,3515j)x0,0878j = 0,8813 p.u. 
Barra C: VC = 1 – (-1,3515j)x0,1893j = 0,7442 p.u. 
Barra D: VD = 1 – (-1,3515j)x0,1863j = 0,7482 p.u. 
Barra E: VE = 1 – (-1,3515j)x0,2735j = 0,6304 p.u. 
Barra F: VF = 1 – (-1,3515j)x0,7399j = 0,0 p.u. 
Barra G: VG = 1 – (-1,3515j)x0,2801j = 0,6214 p.u. 
Barra H: VH = 1 – (-1,3515j)x0,4292j = 0,4199 p.u. 
b) Tensões em todas as barras para curto-circuito bifásico em F 
O formulário é o mesmo, porém, deve ser aplicado nas duas seqüências simétricas, positiva e negativa. A 
seqüência nula não contribui com o curto-circuito. 
Os valores de tensão para cada seqüência estão dispostos na tabela a seguir, em p.u.: 
Barra Seqüência positiva Seqüência negativa Tensão de fase 
A 1 – (-0,6550j)x0,0926j = 0,9393 – (0,6550j)x 0,1296j = 0,0849 Va = 1,0242 / 0º 
Vb = 0,899 / -124,7º 
Vc = 0,899 / 124,7º 
B 1 – (-0,6550j)x0,0878j = 0,9425 – (0,6550j)x 0,1198j = 0,0785 Va = 1,021 / 0º 
Vb = 0,906 / -124,3º 
Vc = 0,906 / 124,3º 
C 1 – (-0,6550j)x0,1893j = 0,8760 – (0,6550j)x 0,2431j = 0,1592 Va = 1,035 / 0º 
Vb = 0,808 / -129,8º 
Vc = 0,808 / 129,8º 
D 1 – (-0,6550j)x0,1863j = 0,8780 – (0,6550j)x 0,224j = 0,1467 Va = 1,025 / 0º 
Vb = 0,815 / -129,0º 
Vc = 0,815 / 129,0º 
E 1 – (-0,6550j)x0,2735j = 0,8209 – (0,6550j)x 0,3107j = 0,2035 Va = 1,024 / 0º 
Vb = 0,740 / -133,8º 
Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
150 
Barra Seqüência positiva Seqüência negativa Tensão de fase 
Vc =0,740 / 133,8º 
F 1 – (-0,6550j)x0,7399j = 0,5154 -(0,6550j)x 0,7867j = 0,5153 Va = 1,031 / 0º 
Vb = 0,5154 / 180º 
Vc = 0,5154 / 180º 
G 1 – (-0,6550j)x0,2801j = 0,8165 – (0,6550j)x 0,3184j = 0,2086 
 
Va = 1,025 / 0º 
Vb = 0,735 / -134,2º 
Vc = 0,735 / 134,2º 
H 1 – (-0,6550j)x0,4292j = 0,7189 – (0,6550j)x 0,4700j = 0,3079 Va = 1,027 / 0º 
Vb = 0,625 / -145,3º 
Vc = 0,625 / 145,3º 
c) Tensões em todas as barras para curto-circuito bifásico com conexão para a terra em F 
Analogamente, efetua-se o cálculo e a construção da tabela a seguir: 
Barra Seq. Nula: V0 = 
- (0,2788j)*Zth0 
Seq. Pos.: V1 = 
1-(-0,7987j)* Zth1 
Seq. Neg.: V0 = -
0,5199j* Zth2 
Tensão de fase 
A Zth0= 0,0585j � 
0,01631 
Zth1= 0,0926j � 
0,9260 
Zth2= 0,1296j � 
0,06737 
Va = 1,010 / 0º 
Vb = 0,885 / -122,9º 
Vc = 0,885 / 122,9º 
B Zth0= 0,0613j � 
0,01709 
Zth1= 0,0878j � 
0,9299 
Zth2= 0,1198j � 
0,06228 
Va = 1,009 / 0º 
Vb = 0,891 / -122,5º 
Vc = 0,891 / 122,5º 
C Zth0= 0,1536j� 
0,04282 
Zth1= 0,1893j� 
0,8488 
Zth2= 0,2431j � 
0,1264 
Va = 1,018 / 0º 
Vb = 0,768 / -125,4º 
Vc = 0,768 / 125,4º 
D Zth0= 0,2456j � 
0,06847 
Zth1= 0,1863j � 
0,8512 
Zth2= 0,2240j � 
0,1164 
Va =1,036 / 0º 
Vb = 0,760 / -123,1º 
Vc = 0,760 / 123,1º 
E Zth0= 0,4308j � 
0,1201 
Zth1= 0,2735j � 
0,7816 
Zth2= 0,3107j � 
0,1615 
Va = 1,063 / 0º 
Vb = 0,642 / -123,2º 
Vc = 0,642 / 123,2º 
F Zth0= 1,4672j� 
0,4090 
Zth1= 0,7399j� 
0,4090 
Zth2= 0,7867j � 
0,4090 
Va = 1,227 / 0º 
Vb = 0,0 / 0º 
Vc = 0,0 / 0º 
G Zth0= 0,6797j� 
0,1895 
Zth1= 0,2801j � 
0,7763 
Zth2= 0,3184j � 
0,1655 
Va = 1,131 / 0º 
Vb = 0,599 / -118,0º 
Vc = 0,599 / 118,0º 
H Zth0= 0,7231j � 
0,2016 
 Zth1= 0,4292j � 
0,6572 
Zth2= 0,4700j � 
0,2444 
Va = 1,103 / 0º 
Vb = 0,436 / -124,9º 
Vc = 0,436 / 124,9º 
d) Tensões em todas as barras para curto-circuito monofásico em F 
Analogamente, efetua-se o cálculo e a construção da tabela a seguir: 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
151 
 
Barra Seq. Nula: V0 = 
- (-0,334j)*Zth0 
Seq. Pos.: V1 = 1-(-
0,334j)* Zth1 
Seq. Neg.: V0 = 
-(-0,334j) * Zth2 
Tensão de fase 
A Zth0= 0,0585j� 
-0,01954 
Zth1= 0,0926j � 
0,9691 
Zth2= 0,1296j� 
-0,04329 
Va = 0,906 / 0º 
Vb = 1,001 / -118,8º 
Vc = 1,001 / 118,8º 
B Zth0= 0,0613j� 
-0,02047 
Zth1= 0,0878j � 
0,9707 
Zth2= 0,1198j� 
-0,04001 
Va = 0,910 / 0º 
Vb = 1,001 / -119,0º 
Vc = 1,001 / 119,0º 
C Zth0= 0,1536j� 
-0,05130 
Zth1= 0,1893j� 
0,9368 
Zth2= 0,2431j� 
-0,08119 
Va = 0,804 / 0º 
Vb = 1,003 / -118,5º 
Vc = 1,003 / 118,5º 
D Zth0= 0,2456j� 
-0,08203 
Zth1= 0,1863j � 
0,9378 
Zth2= 0,2240j� 
-0,07482 
Va = 0,781 / 0º 
Vb = 1,016 / -120,4º 
Vc = 1,016 / 120,4º 
E Zth0= 0,4308j� 
-0,1439 
 Zth1= 0,2735j � 
0,9087 
Zth2= 0,3107j� 
-0,1038 
Va = 0,661 / 0º 
Vb = 1,033 / -121,9º 
Vc = 1,033 / 121,9º 
F Zth0= 1,4672j�-0,4900 
Zth1= 0,7399j � 
0,7529 
Zth2= 0,7867j� 
-0,2628 
Va = 0,0 / 0º 
Vb = 1,146 / -129,9º 
Vc = 1,146 / 129,9º 
G Zth0= 0,6797j� 
-0,2270 
Zth1= 0,2801j � 
0,9064 
Zth2= 0,3184j� 
-0,1063 
Va = 0,573 / 0º 
Vb = 1,078 / -125,6º 
Vc = 1,078 / 125,6º 
H Zth0= 0,7231j � 
-0,2415 
Zth1= 0,4292j � 
0,8566 
Zth2= 0,4700j� 
-0,1570 
Va = 0,458 / 0º 
Vb = 1,058 / -124,0º 
Vc = 1,058 / 124,0º 
Exercícios Propostos 
5.10 Construir a matriz admitância nodal (Ybarra) para a rede da Figura 5.17, que é um diagrama de 
impedâncias, sendo os valores dados em p.u. na mesma base. 
 
5.11 Pelo método de eliminação de barras da matriz, eliminar a barra 3 da matriz (Ybarra) obtida no exercício 
5.10 e construir uma rede equivalente com 3 barras. 
5.12 Construir a matriz admitância nodal (Ybarra) para a rede da figura 5.17, inserindo dois geradores nas 
barras 1 e 2 com impedância j 0,3333 p.u., e uma carga com impedância equivalente a z = 0,1 + j 0,06 na barra 
4. 
Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
152 
5.13 Para a rede da figura 5.17, os geradores das barras 1 e 2, especificados no exercício 5.12, estão com 
valores da f.e.m iguais a E1 = 1,6 / 0º e E2 = 1,5 / -5º. Calcular as tensões nas barras 3 e 4 utilizando a matriz 
Yb arra obtida no exercício 5.12. 
5.14 Os valores apresentados na rede da figura 5.18 são impedâncias em p.u. Calcular a matriz admitância 
nodal (Ybarra). 
 
5.15 Para a rede da figura 5.18, eliminar os nós 3 e 4 da matriz admitância nodal obtida em 5.14 e construir 
uma rede equivalente com três barras. 
5.16 Para a rede da figura 5.18, sendo os valores de E1 = 1,2 / 30º e E5 = 1,1 / 0º em p.u., calcular as tensões 
nas barras 1, 2 e 5. 
5.17 Construir a matriz impedância de barras (Zbarra) da rede da figura 5.19, pelo método direto. 
 
5.18 A partir da matriz impedância de barras (Zbarra) obtida na resolução do exercício 5.17, acrescentar uma 
impedância igual a j 1,2 p.u., adicionando um novo nó (nó 4) ligado à barra 3, obtendo por modificação uma 
nova matriz de impedâncias. 
5.19 A partir da matriz impedância de barras (Zbarra) obtida na resolução do exercício 5.18, acrescentar uma 
impedância igual a j 0,6 p.u. do nó 4 com conexão para a terra, obtendo por modificação a nova matriz de 
impedâncias. 
5.20 Determine Zbarra a partir da inversão de Ybarra obtida no exercício 5.14; em seguida, modifique Zbarra 
removendo a impedância ligada entre os nós 1 e 3 da rede da figura 5.18. Sugestão: acrescente um ramo com 
uma impedância negativa igual àquela a ser eliminada entre os nós 1 e 3. 
5.21 Para a rede da figura 5.18, e com valores de E1 = 2,0 / 30º e E5 = 2,2 / 0º em p.u., determinar a tensão 
em cada barra, utilizando o valor de Zbarra obtido em 5.20. 
5.22 Para a rede da figura 5.18, modificada no exercício 5.20, acrescente um capacitor na barra 2 ligado com 
a referência, com uma admitância de 5 p.u. e calcule: a) a matriz impedância de barras; b) as tensões das 
barras; c) a corrente no capacitor. Assumir os mesmos valores de tensão dos geradores do exercício 5.21. 
5.23 A partir dos valores obtidos de Zbarra para as seqüências positiva, negativa e nula da rede da figura 4.16, 
na solução do exercício 5.3, determinar os curtos-circuitos no ponto C: a) trifásico; b) bifásico; c) bifásico com 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
153 
 
conexão para terra; d) monofásico. 
5.24 Para a rede da figura 4.39 calcular a matriz impedância de barras pelo método direto (sem usar Ybus) 
para as três seqüências simétricas, considerando na matriz somente as barras 2 e 3. 
5.25 Para a rede da figura 5.20, são dados os seguintes parâmetros: 
Gerador: 100 MVA, 13,8 kV, 
xd = 0,20 p.u., x2 = 0,18 p.u, x0 = 0,07 p.u. 
Transformador: 100 MVA, 13,8 – 230 kV, 
x = 10%, x0 = 13 % 
Linha de transmissão 2 – 3: (base: 100 MVA) 
z1 = j 0,009 p.u. e y1 = 4 j; 
z0 = j 0,010 p.u. e y0 = 4,5 j 
Carga ligada em estrela aterrada: (base 100 MVA) 
z = 6 + 6 j p.u. 
Capacitor ligado em triângulo: (base 100 MVA) 
y = 0,0147 j p.u. 
5.25.1 Calcular as matrizes impedância de barras usando o método direto (considerar somente barras 2 e 3), 
para as seqüências: a) positiva; b) negativa; c) nula. 
5.25.2 Calcular na barra 3 os curtos-circuitos: a) trifásico; b) bifásico; c) bifásico com conexão para a terra; 
d) monofásico. 
 
5.26 Para a rede da figura 5.21, são dados os seguintes parâmetros: 
Geradores: 100 MVA, 13,8 kV, xd = 0,22 p.u., x2 = 0,16 p.u, x0 = 0,12 p.u. 
Transformadores: 100 MVA, 13,8 – 230 kV, x = 10%, x0 = 12 % 
Linhas de transmissão: z1 = j 0,09 p.u. z0 = j 0,011 p.u. (Na base de 100 MVA e 230 kV) 
5.26.1 Calcular as matrizes impedância de barras pelo método direto, para as seqüências a) positiva; b) 
negativa; c) nula. 
5.26.2 Calcular na barra 3 os curtos-circuitos: a) trifásico; b) bifásico; c) bifásico com conexão para a terra; 
d) monofásico. 
5.26.3 Calcular as tensões em todas as barras para o caso de curto-circuito trifásico na barra 3. 
5.26.4 Calcular as tensões em todas as barras para o caso de curto-circuito monofásico na barra 3. 
Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
154 
 
5.27 Uma rede elétrica com duas barras interligadas com duas linhas curtas de características iguais possui a 
matriz impedância de barras a seguir: 
 1 2 
Zbarra = 0,0923 j 0,0270 j 1 
 0,0270 j 0,0811 j 2 
Construa a nova matriz Zbarra, quando uma das linhas é desligada. 
5.28 Para a figura 5.22, que representa uma usina hidrelétrica com dois geradores, dois transformadores e 
uma linha de transmissão, calcular a) a matriz impedância de barras; b) a corrente de curto-circuito trifásico 
simétrico na barra 1; c) idem, na barra 3. 
Os dados característicos dos equipamentos são: G1: X”d = 0,22 p.u.; G2: X”d = 0,24 p.u.; T1: X = 0,11 p.u.; T2: 
X = 0,12 p.u.; LT: X = 0,04 p.u. (Base: 100 MVA). 
 
5.29 Para a rede de da figura 5.23 com os valores das impedâncias em p.u., na base 100 MVA, calcular: a) a 
matriz impedância de barras da rede; b) o curto-circuito trifásico simétrico na barra 3. 
 
5.30 Determinar a matriz impedância de barras da rede da figura 5.24. Os valores apresentados estão em 
p.u., na mesma base de potência. 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
155 
 
 
5.31 Dado o sistema abaixo, onde a interligação 5 – 8 foi perdida, construir a matriz impedância de barras. 
 
5.32 Reduzir a matriz para uma matriz equivalente, eliminando as barras 2, 3, 9, 10, 11, 12 e 13, através de 
álgebra matricial. 
5.33 Dada a rede da figura 5.26, com valores de reatância em p.u. na mesma base de potência, determinar: a) 
as redes de seqüência positiva, negativa e nula; b) a matriz impedância de barras de seqüência positiva; c) a 
matriz impedância de barras de seqüência negativa; d) a matriz impedância de barras de seqüência nula; e) o 
curto-circuito monofásico na barra 3. 
Os dados característicos dos equipamentos dados em p.u. para a mesma potência de base são: 
Equipamento Seqüência positiva Seqüência negativa Seqüência nula 
G1: reatâncias 0,10 0,12 0,05 
G2: reatâncias 0,11 0,13 0,06 
T1: reatâncias 0,11 0,11 0,11 
T2: reatâncias 0,12 0,12 0,12 
LT12: reatâncias 0,03 0,03 0,04 
LT13: reatâncias 0,028 0,028 0,039 
LT23: reatâncias 0,032 0,032 0,041 
Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
156 
 
5.34 Para a rede da figura 5.27, com os dois disjuntores desligados (D1 e D2) o curto-circuito trifásico na barra 
1 é igual a 7 p.u., e o curto-circuito trifásico na barra 2 é igual a 4 p.u. Sabendo que a reatância das duas linhas 
são iguais a 0,25 p.u., determine para os dois disjuntores fechados (D1 e D2): a) Qual é o novo valor de curto-
circuito da barra 1; b) idem para a barra 2; c) idem para a barra 3. 
 
5.35 Os dados a seguir são referentes à rede da figura 5.28. Determinar a impedância de Thévenin no nó 4. 
As admitâncias das linhas são dadas na mesma base de potência: Y10 = -12 j (p.u.); Y13 = -21 j(p.u.); Y14 = -6 j 
(p.u.); Y20 = - 5 j (p.u.); Y23 = -25 j (p.u.); Y24 = -8 j (p.u.); Y30 = -10 j (p.u.); Y34 = -30 j (p.u.); Y40 = -35 j (p.u.). 
 
5.36 Para a rede da figura 5.29, São dados: Sistema A: Reatância interna equivalente a Xa = 0,44% na base 
de 100 MVA; tensão ajustada em 1,02 / 30º p.u. na barra 1. Sistema B: Reatância interna equivalente a Xb = 
0,92% na base de 100 MVA; tensão ajustada em 0,98 / 0º p.u. na barra 2. As linhas: 500 kV nominais, 0,27 
ohm/km para a reatância, por circuito; e comprimento de 300 km. O sistema está operando nas condições 
especificadas, quando ocorre um curto-circuito trifásico a 100 km da barra 1, no circuito 1 (LT1), conforme 
indicado na figura 5.29 (ponto F). Pede-se: a) a tensão pré-falta no ponto F (tensão Thévenin); b) a impedância 
de Thévenin para curto-circuito trifásico no ponto F; c) a corrente de defeito trifásico em p.u. e em kA. 
 
5.37 Montar a matriz impedância nodal para a rede da figura 5.30, onde os valores indicados são de 
impedância na base de 100 MVA. 
 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
157 
 
5.38 Para a rede da figura 5.31, montar a matriz impedância de barras utilizando o método direto de 
montagem da matriz. 
 
5.39 Para a rede da figura 5.31, modificar a matriz impedância de barras adequadamente, sabendo que a 
linha que liga a barra 1 a barra 2 está desligada. 
5.40 Para a rede da figura 5.31, modificar a matriz impedância de barras obtida em 5.39, sabendo que o 
banco de capacitores está desligado. 
5.41 Para a rede da figura 5.32, determinar a matriz admitância nodal e a matriz impedância nodal para as 
seqüências positiva, negativa e nula, sabendo os seguintes valores de reatância (todos os valores estão em p.u. 
e na base de 100 MVA, 13,8 kV do lado dos geradores e 230 kV do lado das linhas de transmissão): 
Elemento da rede Seqüência positiva Seqüência negativa Seqüência nula 
Gerador – Barra 1 0,20 0,16 0,18 
Transformador – 
Barra 1 
0,10 0,10 0,10 
Gerador – Barra 3 0,22 0,17 0,19 
Transformador – 
Barra 3 
0,12 0,12 0,12 
LT12 0,3 0,3 0,5 
LT13 0,4 0,4 0,6 
Lt23 0,3 0,3 0,5 
Reatância do 
Capacitor 
-0,1 -0,1 -0,1 
 
5.42 Calcular os seguintes curtos-circuitos na barra 3 para a rede da figura 5.32: a) Falha trifásica; b) falha 
bifásica; c) falha bifásica com conexão para a terra; d) falha monofásica. 
5.43 Na rede da figura 5.33, calcular: a) A matriz impedância de barras; b) A corrente de curto-circuito trifásico 
na barra 1, sabendo as seguintes características, todas na base de 100 MVA: 
Gerador: X”d = 0,22 p.u 
Transformador: Triângulo para estrela: x = 11 % 
 Triângulo para triângulo: x = 10 % 
Sistema: Potência de curto-circuito: 6,5 p.u. 
Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência 
 
158 
 
5.44 Na rede da figura 5.34, calcular; a) A matriz impedância de barras; b) A corrente de curto-circuito trifásico 
na barra 1, sabendo as seguintes características, todas na base de 100 MVA: 
Gerador: X”d = 0,22 p.u 
Transformador: x = 11 % 
Sistema: Potência de curto-circuito: 6,5 p.u. 
 
Bibliografia 
Blackburn, J. L Symmetrical components for power systems engineering. New York: Marcel Dekker, 
1993. 427p. 
Brenner, E.; Javid, M. Analysis of Electric Circuits. New York: McGraw-Hill Book Company, 1967. 
DAS, J.C. Power System Analysis – Short-circuit Load Flow and Harmonics. New York – Basel: Marcel 
Dekker, Inc, 2002. 850p. 
Edminister, J. A. Coleção Schaum. Circuitos Elétricos. São Paulo: MacGraw-Hill do Brasil Ltda. 1972. 
175p. 
Ferreira, C. Redes Lineares em Sistemas Elétricos de Potência. Rio de Janeiro: Canal Energia. 2005. 334p. 
Kindermann, G. Curto-circuito. Porto Alegre: Sagra Luzzatto. 1997. 214p. 
Matrizes Admitâncias e Impedâncias de Barras 
159 
 
Nilsson, J. W. Electric Circuits. Massachussetts: Addison-Wesley. 1989. 
Oliveira, C. C. B.; Schmidt. H. P.; Kagan, N.; Robba, J. E. Introdução a Sistemas Elétricos de Potência – 
Componentes Simétricas. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. 467p. 
Stevenson Jr., W. W. Elementos de Análise de Sistemas de Potência. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1986. 
458p. 
Weedy, B.M. Electric Power Systems. London: John Wiley & Sons. 1972.