396465635 Matematica Completo PM MA Opcao (1)

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RACIOCÍNIO LÓGICO
Apostila Digital Licenciada para william da silva martins - uillmartins92@gmail.com (Proibida a Revenda) - www.apostilasopcao.com.br
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APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 1 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
QUANTITATIVO 
 
1. Estruturas lógicas; lógica de argumentação. 
2. Diagramas lógicos. 
3. Trigonometria. 
4. Álgebra linear. 
5. Probabilidades. 
6. Combinações. 
7. Arranjos e permutação. 
8. Geometria básica. 
As questões devem estabelecer a estrutura lógica de 
relações arbitrárias entre pessoas, lugares, coisas ou 
eventos fictícios e deduzir novas informações a partir 
das relações fornecidas.. Nenhum conhecimento mais 
profundo de lógica formal ou matemática será necessá-
rio para resolver as questões de raciocínio lógico-
analítico. 
 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
EQUAÇÕES 
EXPRESSÕES LITERAIS OU ALGÉBRICAS 
 
IGUALDADES E PROPRIEDADES 
São expressões constituídas por números e letras, 
unidos por sinais de operações. 
 
Exemplo: 3a2; –2axy + 4x2; xyz; 3
x
 + 2 , é o mesmo 
que 3.a2; –2.a.x.y + 4.x2; x.y.z; x : 3 + 2, as letras a, x, y 
e z representam um número qualquer. 
 
Chama-se valor numérico de uma expressão algébri-
ca quando substituímos as letras pelos respectivos valo-
res dados: 
 
Exemplo: 3x2 + 2y para x = –1 e y = 2, substituindo 
os respectivos valores temos, 3.(–1)2 + 2.2 → 3 . 1+ 4 
→ 3 + 4 = 7 é o valor numérico da expressão. 
 
Exercícios 
Calcular os valores numéricos das expressões: 
1) 3x – 3y para x = 1 e y =3 
2) x + 2a para x =–2 e a = 0 
3) 5x2 – 2y + a para x =1, y =2 e a =3 
Respostas: 1) –6 2) –2 3) 4 
 
Termo algébrico ou monômio: é qualquer número 
real, ou produto de números, ou ainda uma expressão 
na qual figuram multiplicações de fatores numéricos e 
literais. 
Exemplo: 5x4 , –2y, x3 , –4a , 3 , – x 
 
Partes do termo algébrico ou monômio. 
 
Exemplo: 
 sinal (–) 
–3x5ybz 3 coeficiente numérico ou parte numérica 
 x5ybz parte literal 
 
Obs.: 
1) As letras x, y, z (final do alfabeto) são usadas co-
mo variáveis (valor variável) 
2) quando o termo algébrico não vier expresso o co-
eficiente ou parte numérica fica subentendido que 
este coeficiente é igual a 1. 
 
Exemplo: 1) a3bx4 = 1.a3bx4 2) –abc = –1.a.b.c 
Termos semelhantes: Dois ou mais termos são se-
melhantes se possuem as mesmas letras elevadas aos 
mesmos expoentes e sujeitas às mesmas operações. 
 
Exemplos: 
1) a3bx, –4a3bx e 2a3bx são termos semelhantes. 
2) –x3 y, +3x3 y e 8x3 y são termos semelhantes. 
 
Grau de um monômio ou termo algébrico: E a soma 
dos expoentes da parte literal. 
 
Exemplos: 
1) 2 x4 y3 z = 2.x4.y3.z1 (somando os expoentes da 
parte literal temos, 4 + 3 + 1 = 8) grau 8. 
 
Expressão polinômio: É toda expressão literal 
constituída por uma soma algébrica de termos ou mo-
nômios. 
 
Exemplos: 1)2a2b – 5x 2)3x2 + 2b+ 1 
 
Polinômios na variável x são expressões polinomiais 
com uma só variável x, sem termos semelhantes. 
 
Exemplo: 
5x2 + 2x – 3 denominada polinômio na variável x cuja 
forma geral é a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn, onde a0, 
a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes. 
 
Grau de um polinômio não nulo, é o grau do monô-
mio de maior grau. 
 
Exemplo: 5a2x – 3a4x2y + 2xy 
 
Grau 2+1 = 3, grau 4+2+1= 7, grau 1+1= 2, 7 é o 
maior grau, logo o grau do polinômio é 7. 
 
Exercícios 
1) Dar os graus e os coeficientes dos monômios: 
a)–3x y2 z grau coefciente__________ 
b)–a7 x2 z2 grau coeficiente__________ 
c) xyz grau coeficiente__________ 
 
2) Dar o grau dos polinômios: 
a) 2x4y – 3xy2+ 2x grau __________ 
b) –2+xyz+2x5 y2 grau __________ 
 
Respostas: 
1) a) grau 4, coeficiente –3 
 b) grau 11, coeficiente –1 
 c) grau 3, coeficiente 1 
2) a) grau 5 b) grau 7 
 
CÁLCULO COM EXPRESSÕES LITERAIS 
 
Adição e Subtração de monômios e expressões poli-
nômios: eliminam-se os sinais de associações, e redu-
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zem os termos semelhantes. 
 
Exemplo: 
3x2 + (2x – 1) – (–3a) + (x2 – 2x + 2) – (4a) 
3x2 + 2x – 1 + 3a + x2 – 2x + 2 – 4a = 
3x2 + 1.x2 + 2x – 2x + 3a – 4a – 1 + 2 = 
(3+1)x2 + (2–2)x + (3–4)a – 1+2 = 
4x2 + 0x – 1.a + 1 = 
4x2 – a + 1 
 
Obs.: As regras de eliminação de parênteses são as 
mesmas usadas para expressões numéricas no conjunto 
Z. 
Exercícios. Efetuar as operações: 
1) 4x + (5a) + (a –3x) + ( x –3a) 
2) 4x2 – 7x + 6x2 + 2 + 4x – x2 + 1 
 
Respostas: 1) 2x +3a 2) 9x2 – 3x + 3 
 
MULTIPLICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
Multiplicação de dois monômios: Multiplicam-se os 
coeficientes e após o produto dos coeficientes escre-
vem-se as letras em ordem alfabética, dando a cada 
letra o novo expoente igual à soma de todos os expoen-
tes dessa letra e repetem-se em forma de produto as 
letras que não são comuns aos dois monômios. 
 
Exemplos: 
1) 2x4 y3 z . 3xy2 z3 ab = 2.3 .x 4+1 . y 3+2. z 1+3.a.b = 
6abx5y5z4 
2) –3a2bx . 5ab= –3.5. a2+1.b1 +1. x = –15a3b2 x 
 
Exercícios: Efetuar as multiplicações. 
1) 2x2 yz . 4x3 y3 z = 
2) –5abx3 . 2a2 b2 x2 = 
 
Respostas: 1) 8x5 y4 z2 2) –10a3 b3 x5 
 
EQUAÇÕES DO 1.º GRAU 
 
Equação: É o nome dado a toda sentença algébrica 
que exprime uma relação de igualdade. 
 
Ou ainda: É uma igualdade algébrica que se verifica 
somente para determinado valor numérico atribuído à 
variável. Logo, equação é uma igualdade condicional. 
 
Exemplo: 5 + x = 11 
 ↓ ↓ 
 1 0.membro 20.membro 
 
onde x é a incógnita, variável ou oculta. 
 
Resolução de equações 
 
Para resolver uma equação (achar a raiz) seguire-
mos os princípios gerais que podem ser aplicados numa 
igualdade. 
Ao transportar um termo de um membro de uma i-
gualdade para outro, sua operação deverá ser invertida. 
Exemplo: 2x + 3 = 8 + x 
fica assim: 2x – x = 8 – 3 = 5 ⇒ x = 5 
 
Note que o x foi para o 1.º membro e o 3 foi para o 
2.º membro com as operações invertidas. 
Dizemos que 5 é a solução ou a raiz da equação, di-
zemos ainda que é o conjunto verdade (V). 
 
Exercícios 
Resolva as equações : 
1) 3x + 7 = 19 2) 4x +20=0 
3) 7x – 26 = 3x – 6 
 
Respostas: 1) x = 4 ou V = {4} 
2) x = –5 ou V = {–5} 3) x = 5 ou V = {5} 
 
EQUAÇÕES DO 1.º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS 
OU SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
Resolução por adição. 
Exemplo 1:



=−
=+
II- 1 y x 
I - 7 y x 
 
 
Soma-se membro a membro. 
 2x +0 =8 
 2x = 8 
 
2
8
x = 
 x = 4 
 
Sabendo que o valor de x é igual 4 substitua este va-
lor em qualquer uma das equações ( I ou II ), 
Substitui em I fica: 
4 + y = 7 ⇒ y = 7 – 4 ⇒ y = 3 
 
Se quisermos verificar se está correto, devemos 
substituir os valores encontrados x e y nas equações 
 x + y = 7 x – y = 1 
 4 +3 = 7 4 – 3 = 1 
 
Dizemos que o conjunto verdade: V = {(4, 3)} 
Exemplo 2 : 



=+
=+
II- 8 y x 
I - 11 y 2x 
 
 
Note que temos apenas a operação +, portanto de-
vemos multiplicar qualquer uma ( I ou II) por –1,esco-
lhendo a II, temos: 



−=−
=+
→



=+
=+
 8 y x -
11 y 2x 
 1)- ( . 8 y x 
11 y 2x 
 
 
soma-se membro a membro 
3x
30x
8- y - x - 
11 y 2x 
=
=+
+



=
=+
 
 
Agora, substituindo x = 3 na equação II: x + y = 8, fica 
3 + y = 8, portanto y = 5 
Exemplo 3: 



ΙΙ=
Ι=+
 - 2 y -3x 
 - 18 2y 5x 
 
 
neste exemplo, devemos multiplicar a equação II por 
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2 (para “desaparecer” a variável y). 



=−
=+
⇒



=
=+
426
1825
 .(2) 2 y -3x 
 18 2y 5x 
yx
yx
 
soma-se membro a membro: 
5x + 2y = 18 
6x – 2y = 4 
11x+ 0=22 ⇒ 11x = 22 ⇒ x = 
11
22
 ⇒ x = 2 
Substituindo x = 2 na equação I: 
 5x + 2y = 18 
 5 . 2 + 2y = 18 
 10 + 2y = 18 
 2y = 18 – 10 
 2y = 8 
 y = 
2
8
 
 y =4 
então V = {(2,4)} 
 
Exercícios. Resolver os sistemas de Equação Linear: 
1) 



=+
=−
16yx5
20yx7
 2) 



=−
=+
2y3x8
7yx5
 3) 



=−
=−
10y2x2
28y4x8
 
 
Respostas: 1) V = {(3,1)} 2) V = {(1,2)} 3) V {(–3,2 )} 
 
INEQUAÇÕES DO 1.º GRAU 
 
Distinguimos as equações das inequações pelo sinal, 
na equação temos sinal de igualdade (=) nas inequa-
ções são sinais de desigualdade. 
> maior que, ≥ maior ou igual, < menor que , 
≤ menor ou igual 
 
Exemplo 1: Determine os números naturais de modo 
que 4 + 2x > 12. 
4 + 2x > 12 
2x > 12 – 4 
 2x > 8 ⇒ x > 
2
8
 ⇒ x > 4 
 
Exemplo 2: Determine os números inteiros de modo 
que 4 + 2x ≤ 5x + 13 
4+2x ≤ 5x + 13 
2x – 5x ≤ 13 – 4 
 –3x ≤ 9 . (–1) ⇒ 3x ≥ – 9, quando multiplicamos por 
(-1), invertemos o sinal dê desigualdade ≤ para ≥, fica: 
3x ≥ – 9, onde x ≥ 
3
9−
ou x ≥ – 3 
 
Exercícios. Resolva: 
1) x – 3 ≥ 1 – x, 
2) 2x + 1 ≤ 6 x –2 
3) 3 – x ≤ –1 + x 
Respostas: 1) x ≥ 2 2) x ≥ 3/4 3) x ≥ 2 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
1.º Caso: Quadrado da Soma 
(a + b)2 = (a+b). (a+b)= a2 + ab + ab + b2 
 ↓ ↓ 
 1.º 2.º ⇒ a2 + 2ab +b2 
 
Resumindo: “O quadrado da soma é igual ao qua-
drado do primeiro mais duas vezes o 1.º pelo 2.º mais o 
quadrado do 2.º. 
 
Exercícios. Resolver os produtos notáveis 
1)(a+2)2 2) (3+2a)2 3) (x2+3a)2 
 
Respostas: 1.º caso 
1) a2 + 4a + 4 2) 9 + 12a + 4a2 
3) x4 + 6x2a + 9a2 
 
2.º Caso : Quadrado da diferença 
(a – b)2 = (a – b). (a – b) = a2 – ab – ab - b2 
 ↓ ↓ 
1.º 2.º ⇒ a2 – 2ab + b2 
 
Resumindo: “O quadrado da diferença é igual ao 
quadrado do 1.º menos duas vezes o 1.º pelo 2.º mais o 
quadrado do 2.º. 
 
Exercícios. Resolver os produtos notáveis: 
1) (a – 2)2 2) (4 – 3a)2 3) (y2 – 2b)2 
 
Respostas: 2.º caso 
1) a2 – 4a +4 2) 16 – 24a + 9a2 
3) y4 – 4y2b + 4b2 
 
3.º Caso: Produto da soma pela diferença 
(a – b) (a + b) = a2 – ab + ab +b2 = a2 – b2 
 ↓ ↓ ↓ ↓ 
1.º 2.º 1.º 2.º 
 
Resumindo: “O produto da soma pela diferença é 
igual ao quadrado do 1.º menos o quadrado do 2.º. 
 
Exercícios. Efetuar os produtos da soma pela dife-
rença: 
1) (a – 2) (a + 2) 2) (2a – 3) (2a + 3) 
3) (a2 – 1) (a2 + 1) 
 
Respostas: 3.º caso 
1) a2 – 4 2) 4a2 – 9 
3) a4 – 1 
 
FATORAÇÃO ALGÉBRICA 
 
1.º Caso: Fator Comum 
 
Exemplo 1: 
2a + 2b: fator comum é o coeficiente 2, fica: 
2 .(a+b). Note que se fizermos a distributiva voltamos 
no início (Fator comum e distributiva são “operações 
inversas”) 
 
Exercícios. Fatorar: 
1) 5 a + 5 b 2) ab + ax 3) 4ac + 4ab 
 
Respostas: 1.º caso 
1) 5 .(a +b ) 2) a. (b + x) 
3) 4a. (c + b) 
 
Exemplo 2: 
3a2 + 6a: Fator comum dos coeficientes (3, 6) é 3, 
porque MDC (3, 6) = 3. 
 
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O m.d.c. entre: “a e a2 é “a” (menor expoente), então 
o fator comum da expressão 3a2 + 6a é 3a. Dividindo 
3a2: 3a = a e 6 a : 3 a = 2, fica: 3a. (a + 2). 
 
Exercícios. Fatorar: 
1) 4a2 + 2a 2) 3ax + 6a2y 3) 4a3 + 2a2 
 
Respostas: 1.º caso 1) 2a .(2a + 1) 
2) 3a .(x + 2ay) 3) 2a2 (2a + 1) 
 
2.º Caso: Trinômio quadrado perfeito (É a “ope-
ração inversa” dos produtos notáveis caso 1) 
 
Exemplo 1 
a2 + 2ab + b2 ⇒ extrair as raízes quadradas do ex-
tremo 2a + 2ab + 2b ⇒ 2a = a e 2b = b e o 
termo do meio é 2.a.b, então a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
(quadrado da soma). 
 
Exemplo 2: 
4a2 + 4a + 1 ⇒ extrair as raízes dos extremos 
2a4 + 4a + 1 ⇒ 2a4 = 2a , 1 = 1 e o termo cen-
tral é 2.2a.1 = 4a, então 4a2 + 4a + 1 = (2a + 1)2 
 
Exercícios 
Fatorar os trinômios (soma) 
1) x2 + 2xy + y2 2) 9a2 + 6a + 1 
3) 16 + 8a + a2 
 
Respostas: 2.º caso 1) (x + y)2 
2) (3a + 1)2 3) (4 + a)2 
 
Fazendo com trinômio (quadrado da diferença) 
x2 – 2xy + y2, extrair as raízes dos extremos 
2x = x e 2y = y, o termo central é –2.x.y, então: 
x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 
 
Exemplo 3: 
16 – 8a + a2, extrair as raízes dos extremos 
16 = 4 e 2a = a, termo central –2.4.a = –8a, 
 então: 16 – 8a + a2 = (4 – a)2 
 
Exercícios 
Fatorar: 
1) x2 – 2xy + y2 2) 4 – 4a + a2 3) 4a2 – 8a + 4 
 
Respostas: 2.º caso 1) (x – y)2 
2) (2 – a)2 3) (2a – 2)2 
 
3.º Caso: (Diferença de dois quadrados) (note que 
é um binômio) 
 
Exemplo 1 
a2 – b2, extrair as raízes dos extremos 2a = a e 
2b = b, então fica: a2 – b2 = (a + b) . (a – b) 
 
Exemplo 2: 
4 – a2 , extrair as raízes dos extremos 4 = 2, 2a 
= a, fica: (4 – a2) = (2 – a). (2+ a) 
 
Exercícios. Fatorar: 
1) x2 – y2 2) 9 – b2 3) 16x2 – 1 
 
Respostas: 3.º caso 1) (x + y) (x – y) 
2) (3 + b) (3 – b) 3) (4x + 1) (4x – 1) 
 
EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS 
 
São Equações cujas variáveis estão no denominador 
Ex: 
x
4
 = 2, 
x
1
 + 
x2
3
 = 8, note que nos dois exem-
plos x ≠ 0, pois o denominador deverá ser sempre dife-
rente de zero. 
 
Para resolver uma equação fracionária, devemos a-
char o m.m.c. dos denominadores e multiplicamos os 
dois membros por este m.m.c. e simplificamos, temos 
então uma equação do 1.º grau. 
Ex: 
x
1
 + 3 = 
2
7
, x ≠ 0, m.m.c. = 2x 
2x . 
x
1
+3 = 
2
7
 . 2x 
 
x
x2
+ 6x = 
2
x14
 , simplificando 
 
 2 + 6x = 7x ⇒ equação do 1.º grau. 
 
Resolvendo temos: 2 = 7x – 6x 
2 = x ou x = 2 ou V = { 2 } 
 
Exercícios 
Resolver as equações fracionárias: 
1) 0 x
x2
3
2
1
x
3
≠=+ 
2) 0 x
x2
51
x
1
≠=+ 
Respostas: Equações: 1) V = {–3} 2) V = { 23 } 
 
RADICAIS 
 
416,39,11,24 ==== , etc., são raízes exa-
tas são números inteiros, portanto são racionais: 2 = 
1,41421356..., 3 = 1,73205807..., 5 = 
2,2360679775..., etc. não são raízes exatas, não são 
números inteiros. São números irracionais.Do mesmo 
modo 3 1 = 1, 283 = , 3273 = , 4643 = ,etc., são 
racionais, já 3 9 = 2,080083823052.., 3 20 = 
2,714417616595... são irracionais. 
 
Nomes: ban = : n = índice; a = radicando = sinal 
da raiz e b = raiz. Dois radicais são semelhantes se o 
índice e o radicando forem iguais. 
 
Exemplos: 
1) 2- ,23 ,2 são semelhantes observe o n = 2 
“raiz quadrada” pode omitir o índice, ou seja, 552 = 
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2) 333 72 ,7 ,75 são semelhantes 
 
Operações: Adição e Subtração 
Só podemos adicionar e subtrair radicais semelhan-
tes. 
Exemplos: 
1) ( ) 262523252223 =+−=+− 
2) ( ) 33333 696735676365 =+−=+− 
 
Multiplicação e Divisão de Radicais 
Só podemos multiplicar radicais com mesmo índice e 
usamos a propriedade: nnn abba =⋅ 
Exemplos 
1) 242 . 222 ===⋅ 
2) 124 . 343 ==⋅ 
3) 3279 . 393 3333 ===⋅ 
4) 3333 204 . 545 ==⋅ 
5) 906 . 5 . 3653 ==⋅⋅ 
 
Exercícios 
Efetuar as multiplicações 
1) 83 ⋅ 2) 55 ⋅ 3) 333 546 ⋅⋅ 
Respostas: 1) 24 2) 5 3) 3 120 
 
Para a divisão de radicais usamos a propriedade 
também com índices iguais b:ab:a
b
a
== 
 
Exemplos: 
 
1) 392:182:18
2
18
==== 
2) 210:2010:20
10
20
=== 
3) 33333
3
35:155:15
5
15
=== 
 
Exercícios. Efetuar as divisões 
1) 
3
6
 2) 3
3
2
16
 3) 
6
24
 
Respostas: 1) 2 2) 2 3) 2 
 
Simplificação de Radicais 
Podemos simplificar radicais, extraindo parte de raí-
zes exatas usando a propriedade n na simplificar índice 
com expoente do radicando. 
Exemplos: 
1)Simplificar 12 
decompor 12 em fatores primos: 
12 2 
6 2 32323212 2 22 =⋅=⋅= 
3 3 
 1 
2) Simplificar 32 , decompondo 32 fica: 
32 2 
16 2 
8 2 
4 2 
2 2 
2422222222232 2 22 222 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= 
 
3) Simplificar 3 128 , decompondo fica: 
128 2 
64 2 
32 2 
16 2 
8 2 
4 2 
2 2 
1 
fica 
3333 33 33 333 24222222222128 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=
 
Exercícios 
Simplificar os radicais: 
1) 20 2) 50 3) 3 40 
Respostas: 1) 52 2) 25 3) 2. 3 5 
 
Racionalização de Radiciação 
Em uma fração quando o denominador for um radical 
devemos racionalizá-lo. Exemplo:
3
2
 devemos multipli-
car o numerador e o denominador pelo mesmo radical 
do denominador. 
3
32
9
32
33
32
3
3
3
2
==
⋅
=⋅ 
3
2
 e 
3
32
são frações equivalentes. Dizemos que 
3 é o fator racionalizante. 
 
Exercícios 
Racionalizar: 
1) 
5
1
 2) 
2
2
 3) 
2
3
 
Respostas: 1) 
5
5
 2) 2 3) 
2
6
 
Outros exemplos: 3 2
2
 devemos fazer: 
3
3
3 3
3
3 21
3 2
3 2
3 2
3 1
4
2
42
2
42
22
22
2
2
2
2
===
⋅
⋅
=⋅ 
 
Exercícios. 
Racionalizar: 
1) 3 4
1
 2) 
3 22
3
 3) 3
3
3
2
 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 6 
Respostas: 1) 
4
163
 2) 
2
233
 3) 
3
183
 
 
EQUAÇÕES DO 2.º GRAU 
 
Definição: Denomina-se equação de 2.º grau com 
variável toda equação de forma: 
ax2 + bx + c = 0 
onde : x é variável e a,b, c ∈ R, com a ≠ 0. 
 
Exemplos: 
3x2 - 6x + 8 = 0 
2x2 + 8x + 1 = 0 
x2 + 0x – 16 = 0 y2 - y + 9 = 0 
- 3y2 - 9y+0 = 0 5x2 + 7x - 9 = 0 
 
COEFICIENTE DA EQUAÇÃO DO 2.º GRAU 
Os números a, b, c são chamados de coeficientes da 
equação do 2.º grau, sendo que: 
• a representa sempre o coeficiente do termo x2. 
• b representa sempre o coeficiente do termo x. 
• c é chamado de termo independente ou termo 
constante. 
 
Exemplos: 
a)3x2 + 4x + 1= 0 b) y2 + 0y + 3 = 0 
a =3,b = 4,c = 1 a = 1,b = 0, c = 3 
c) – 2x2 –3x +1 = 0 d) 7y2 + 3y + 0 = 0 
a = –2, b = –3, c = 1 a = 7, b = 3, c = 0 
 
Exercícios 
Destaque os coeficientes: 
1)3y2 + 5y + 0 = 0 2)2x2 – 2x + 1 = 0 
3)5y2 –2y + 3 = 0 4) 6x2 + 0x +3 = 0 
 
Respostas: 
1) a =3, b = 5 e c = 0 
2)a = 2, b = –2 e c = 1 
3) a = 5, b = –2 e c =3 
4) a = 6, b = 0 e c =3 
 
EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS 
Temos uma equação completa quando os 
coeficientes a , b e c são diferentes de zero. 
Exemplos: 
 
3x2 – 2x – 1= 0 
y2 – 2y – 3 = 0 São equações completas. 
y2 + 2y + 5 = 0 
 
Quando uma equação é incompleta, b = 0 ou c = 0, 
costuma-se escrever a equação sem termos de coefici-
ente nulo. 
 
Exemplos: 
x2 – 16 = 0, b = 0 (Não está escrito o termo x) 
x2 + 4x = 0, c = 0 (Não está escrito o termo inde-
pendente ou termo constante) 
x2 = 0, b = 0, c = 0 (Não estão escritos 
o termo x e termo independente) 
 
FORMA NORMAL DA EQUAÇÃO DO 2.º GRAU 
ax 2 + bx + c = 0 
 
EXERCÍCIOS 
Escreva as equações na forma normal: 
1) 7x2 + 9x = 3x2 – 1 2) 5x2 – 2x = 2x2 + 2 
Respostas: 1) 4x2 + 9x + 1= 0 2) 3x2 – 2x –2 = 0 
 
Resolução de Equações Completas 
Para resolver a equação do 2.º Grau, vamos utilizar a 
fórmula resolutiva ou fórmula de Báscara. 
A expressão b2 - 4ac, chamado discriminante de 
equação, é representada pela letra grega ∆ (lê-se deita). 
 
∆ = b2 - 4ac logo se ∆ > 0 podemos escrever: 
 
a2
b
x
∆±−
= 
 
RESUMO 
NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2.º GRAU 
COMPLETA PODEMOS USAR AS DUAS FORMAS: 
a2
c a 42bb
x
−±−
= 
ou ∆ = b2 - 4ac 
 
a2
b
x
∆±−
= 
 
 
Exemplos: 
a) 2x2 + 7x + 3 = 0 a = 2, b =7, c = 3 
a2
c a 42bb
x
−±−
= ⇒ 
( ) ( )
2 2
3 2 4277
x
⋅
⋅⋅−±+−
= 
( )
4
24497
x
−±+−
= ⇒
( )
4
257
x
±+−
= 
( )
4
57
x
±+−
= ⇒
2
-1
 
4
-2
 
4
57
 ' x ==
+−
= 
3- 
4
-12
 
4
57
 " x ==
−−
= 





−
= 3- ,
2
1S 
 
ou 
b) 2x2 +7x + 3 = 0 a = 2, b = 7, c = 3 
∆ = b2 – 4.a. c 
∆ =72 – 4 . 2 . 3 
∆ = 49 – 24 
∆ = 25 
( )
4
257
x
±+−
= ⇒
( )
4
57
x
±+−
= 
⇒ ‘
2
-1
 
4
-2
 
4
57
 ' x ==
+−
= e 
 3- 
4
-12
 
4
57
 " x ==
−−
= 





−
= 3- ,
2
1S 
 
Observação: fica ao SEU CRITÉRIO A ESCOLHA 
DA FORMULA. 
 
EXERCÍCIOS 
Resolva as equações do 2.º grau completa: 
1) x2 – 9x +20 = 0 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 7 
2) 2x2 + x – 3 = 0 
3) 2x2 – 7x – 15 = 0 
4) x2 +3x + 2 = 0 
5) x2 – 4x +4 = 0 
Respostas 
1) V = { 4 , 5) 
2) V = { 1, 
2
3− } 
3) V = { 5 , 
2
3− } 
4) V = { –1 , –2 } 
5) V = {2} 
 
EQUAÇÃO DO 2.º GRAU INCOMPLETA 
Estudaremos a resolução das equações incompletas 
do 2.º grau no conjunto R. Equação da forma: ax2 + bx = 
0 onde c = 0 
 
Exemplo: 
2x2 – 7x = 0 Colocando-se o fator x em evidência 
(menor expoente) 
 
x . (2x – 7) = 0 x = 0 
 
ou 2x – 7 = 0 ⇒ x = 
2
7
 
Os números reais 0 e 
2
7
 sãoas raízes da equação 
S = { 0 ; 
2
7
 ) 
Equação da forma: ax2 + c = 0, onde b = 0 
 
Exemplos 
a) x2 – 81 = 0 
x2 = 81→transportando-se o termo independente 
para o 2.º termo. 
x = 81± →pela relação fundamental. 
x = ± 9 S = { 9; – 9 } 
 
b) x2 +25 = 0 
x2 = –25 
x = ± 25− , 25− não representa número real, 
isto é 25− ∉ R 
a equação dada não tem raízes em IR. 
 S = φ ou S = { } 
 
c) 9x2 – 81= 0 
 9x2 = 81 
 x2 = 
9
81
 
 x2 = 9 
 x = 9± 
 x = ± 3 
S = { ±3} 
 
Equação da forma: ax = 0 onde b = 0, c = 0 
A equação incompleta ax = 0 admite uma única 
solução x = 0. Exemplo: 
 3x2 = 0 
 x2 = 
3
0
 
 x2 = 0 
 x2 = + 0 
S = { 0 } 
Exercícios Respostas: 
1) 4x2 – 16 = 0 1) V = { –2, + 2} 
2) 5x2 – 125 = 0 2) V = { –5, +5} 
3) 3x2 + 75x = 0 3) V = { 0, –25} 
 
Relações entre coeficiente e raízes 
 
Seja a equação ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0), sejam x’ e x” 
as raízes dessa equação existem x’ e x” reais dos 
coeficientes a, b, c. 
a2
b
' x
∆+−
= e 
a2
b
" x
∆−−
= 
 
RELAÇÃO: SOMA DAS RAÍZES 
a2
b
a2
b
" x ' x
∆−−
+
∆+−
=+ ⇒
 
a2
bb
" x ' x
∆−−∆+−
=+ 
a
b
" x ' x
a2
b2
" x ' x −=+⇒
−
=+ 
 
Daí a soma das raízes é igual a -b/a ou seja, x’+ x” = 
-b/a 
Relação da soma:
a
b
" x ' x −=+ 
 
RELAÇÃO: PRODUTO DAS RAÍZES 
a2
b
 
a2
b
" x ' x
∆−−
⋅
∆+−
=⋅ ⇒ 
( ) ( )
2a4
b b
" x ' x
∆−−⋅∆+−
=⋅ 
( )
ca42b2a4
2
 
2b
" x ' x ⋅⋅−=∆⇒
∆−





−
=⋅ ⇒ 
⇒






−−
=⋅ 2a4
ac42b 2b
" x ' x 
⇒
+−
=⋅ 2a4
ac4b 2b
" x ' x
2
 
a
c
 " x ' x 2a4
ac4
" x ' x =⋅⇒=⋅ 
 
Daí o produto das raízes é igual a 
a
c
 ou seja: 
a
c
 " x ' x =⋅
 ( Relação de produto) 
 
Sua Representação: 
• Representamos a Soma por S 
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a
b
 " x ' x S −=+=
 
• Representamos o Produto pôr P 
a
c
 " x ' x P =⋅=
 
Exemplos: 
1) 9x2 – 72x +45 = 0 a = 9, b = –72, c = 45. 
( ) 8
9
72
 
9
-72
- 
a
b
" x ' x S ===−=+= 
5
9
45
 
a
c
 " x ' x P ===⋅= 
 
2) 3x2 +21x – 24= 0 a = 3, b = 21,c = –24 
( ) 7
3
21-
 
3
21
- 
a
b
" x ' x S −===−=+= 
( ) 8
3
24
3
24-
 
a
c
 " x ' x P −=−=+==⋅= 
a = 4, 
 
3) 4x2 – 16 = 0 b = 0, (equação incompleta) 
 c = –16 
0
4
0
 
a
b
" ' ==−=+= xxS 
( ) 4
4
16
4
16-
 
a
c
 " x ' x P −=−=+==⋅= 
a = a+1 
4) ( a+1) x2 – ( a + 1) x + 2a+ 2 = 0 b = – (a+ 1) 
 c = 2a+2 
( )[ ] 1
1a
1a
1a
1a-
- 
a
b
" x ' x S =
+
+
=
+
+
=−=+= 
( ) 2
1a
1a2
1a
2a2
 
a
c
 " x ' x P =
+
+
=
+
+
==⋅= 
 
Se a = 1 essas relações podem ser escritas: 
1
b
" x ' x −=+ b" x ' x −=+ 
1
c
 " x ' x =⋅ c " x ' x =⋅ 
 
Exemplo: 
x2 –7x+2 = 0 a = 1, b =–7, c = 2 
( ) 7 
1
7-
- 
a
b
" x ' x S ==−=+= 
2
1
2
 
a
c
 " x ' x P ===⋅= 
EXERCÍCIOS 
Calcule a Soma e Produto 
1) 2x2 – 12x + 6 = 0 
2) x2 – (a + b)x + ab = 0 
3) ax2 + 3ax–- 1 = 0 
4) x2 + 3x – 2 = 0 
 
Respostas: 
1) S = 6 e P = 3 
2) S = (a + b) e P = ab 
3) S = –3 e P = 
a
1−
 
4) S = –3 e P = –2 
 
APLICAÇÕES DAS RELAÇÕES 
Se considerarmos a = 1, a expressão procurada é x2 
+ bx + c: pelas relações entre coeficientes e raízes 
temos: 
x’ + x”= –b b = – ( x’ + x”) 
x’ . x” = c c = x’ . x” 
 
Daí temos: x2 + bx + c = 0 
 
REPRESENTAÇÃO 
Representando a soma x’ + x” = S 
Representando o produto x’ . x” = P 
E TEMOS A EQUAÇÃO: x2 – Sx + P = 0 
 
Exemplos: 
a) raízes 3 e – 4 
S = x’+ x” = 3 + (-4) =3 – 4 = –1 
P = x’ .x” = 3 . (–4) = –12 
x – Sx + P = 0 
x2 + x – 12 = 0 
 
b) 0,2 e 0,3 
S = x’+ x” =0,2 + 0,3 = 0,5 
P = x . x =0,2 . 0,3 = 0,06 
x2 – Sx + P = 0 
x2 – 0,5x + 0,06 = 0 
 
c) 
2
5
 e 
4
3
 
S = x’+ x” =
2
5
 + 
4
3
= 
4
13
4
310
=
+
 
P = x . x = 
2
5
 . 
4
3
= 
8
15
 
x2 – Sx + P = 0 
x2 – 
4
13
x + 
8
15
 = 0 
 
d) 4 e – 4 
S = x’ +x” = 4 + (–4) = 4 – 4 = 0 
P = x’ . x” = 4 . (–4) = –16 
x2 – Sx + P = 0 
x2 –16 = 0 
 
Exercícios 
Componha a equação do 2.º grau cujas raízes são: 
1) 3 e 2 2) 6 e –5 3) 2 e 
5
4−
 
4) 3 + 5 e 3 – 5 5) 6 e 0 
 
Respostas: 
1) x2 – 5x+6= 0 2) x2 – x – 30 = 0 
3)x2 – 
5
6x−
 – 
5
8
 = 0 
4) x2 – 6x + 4 = 0 5) x2 – 6x = 0 
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
 
Um problema de 2.º grau pode ser resolvido por meio 
de uma equação ou de um sistema de equações do 2.º 
grau. 
 
Para resolver um problema do segundo grau deve-se 
seguir três etapas: 
• Estabelecer a equação ou sistema de equações cor-
respondente ao problema (traduzir matemati-
camente), o enunciado do problema para linguagem 
simbólica. 
• Resolver a equação ou sistema 
• Interpretar as raízes ou solução encontradas 
 
Exemplo: 
Qual é o número cuja soma de seu quadrado com 
seu dobro é igual a 15? 
número procurado : x 
equação: x2 + 2x = 15 
 
Resolução: 
x2 + 2x –15 = 0 
∆ =b2 – 4ac ∆ = (2)2 – 4 .1.(–15) ∆ = 4 + 60 
∆ = 64 
 
1 2
642
x
⋅
±−
= 
 2
82
x
±−
= 
3
2
6
 2
82
' x ==
+−
= 
5
2
10
 2
82
" x −=
−
=
−−
= 
 
Os números são 3 e – 5. 
 
Verificação: 
x2 + 2x –15 = 0 x2 + 2x –15 = 0 
(3)2 + 2 (3) – 15 = 0 (–5)2 + 2 (–5) – 15 = 0 
9 + 6 – 15 = 0 25 – 10 – 15 = 0 
0 = 0 0 = 0 
 ( V ) ( V ) 
S = { 3 , –5 } 
 
RESOLVA OS PROBLEMAS DO 2.º GRAU: 
 
1) O quadrado de um número adicionado com o quá-
druplo do mesmo número é igual a 32. 
2) A soma entre o quadrado e o triplo de um mesmo 
número é igual a 10. Determine esse número. 
3) O triplo do quadrado de um número mais o próprio 
número é igual a 30. Determine esse numero. 
4) A soma do quadrado de um número com seu quín-
tuplo é igual a 8 vezes esse número, determine-o. 
 
Respostas: 
1) 4 e – 8 2) – 5 e 2 
3) 310− e 3 4) 0 e 3 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
As funções linear e afim são chamadas, de modo 
geral, funções do 1º grau. 
 
Assim são funções do primeiro grau: 
f definida pela equação y = 3x 
f definida pela equação y = x + 4 
f definida pela equação y = – x 
f definida pela equação y = – 4x + 1 
 
FUNÇÃO CONSTANTE 
Consideremos uma função f de IR em IR tal que, para 
todo x Є lR, tenhamos f(x) = c, onde c Є lR; esta função 
será chamada de função constante. 
 
O gráfico da função constante é uma reta paralela ou 
coincidente com o eixo x ; podemos ter três casos: 
a) c > 0 b) c = 0 c) c < 0 
 
 
Observações: 
Na função constante,f ( x ) = c ; o conjunto imagem é 
unitário. 
 
A função constante não é sobrejetora, não é injetora e 
não é bijetora; e, em consequência disto, ela não admite 
inversa. 
 
Exemplo: 
Consideremos a função y = 3, na qual a = 0 e b = 3 
Atribuindo valores para x Є lR determinamos y Є lR 
x Є R y = 0 . X + 3 y Є lR (x, y) 
– 3 y = 0 .(–3)+ 3 y = 3 (–3, 3) 
–2 y = 0. (–2) + 3 y = 3 (–2, 3) 
–1 y = 0. (–1) + 3 y = 3 (–1, 3) 
 0 y = 0. 0 + 3 y = 3 ( 0, 3) 
 1 y = 0. 1 + 3 y = 3 (1 , 3) 
 2 y = 0. 2 + 3 y = 3 ( 2, 3) 
 
Você deve ter percebido que qualquer que seja o valor 
atribuído a x, y será sempre igual a 3. 
 
Representação gráfica: 
 
 
Toda função linear, onde a = 0, recebe o nome de 
função constante. 
 
FUNÇÃO IDENTIDADE 
Consideremos a função f de IR em IR tal que, para to-
do x Є R, tenhamos f(x) = x; esta função será chamada 
função identidade. 
 
Observemos algumas determinações de imagens na 
função identidade. 
x = 0 ⇒ f ( 0 ) = 0 ⇒ y = 0; logo, (0, 0) é um ponto 
do gráfico dessa função. 
x = 1 ⇒ f ( 1) = 1 ⇒ y = 1; logo (1, 1) é um ponto 
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do gráfico dessa função. 
x = –1 ⇒ f (–1) = – 1 ⇒ y = –1; logo (–1,–1) é um 
ponto gráfico dessa função. 
 
Usando estes pontos, como apoio, concluímos que o 
gráfico da função identidade é uma reta, que é a bissetriz 
dos primeiro e terceiro quadrantes. 
 
 
VARIAÇÃO DO SINAL DA FUNÇÃO LINEAR 
A variação do sinal da função linear y = ax + b é forne-
cida pelo sinal dos valores que y adquire, quando atribuí-
mos valores para x. 
 
1º CASO: a > 0 
Consideremos a função y = 2x – 4, onde a = 2 e 
 b= – 4. 
 
Observando o gráfico podemos afirmar: 
 
a) para x = 2 obtém-se y = 0 
b) para x > 2 obtém-se para y valores positivos, isto 
é, y > 0. 
c) para x < 2 obtém-se para y valores negativos, isto 
é, y < 0. 
Resumindo: 
0 y 2 x | lR x >⇒>∈∀ 
0 y 2 x | lR x <⇒<∈∀ 
0 y 2 x | lR x =⇒=∈∀ 
 
Esquematizando: 
 
 
2º CASO: a < 0 
Consideremos a função y = –2x + 6, onde a = – 2 e 
b = 6. 
 
 
Observando o gráfico podemos afirmar: 
a) para x = 3 obtém-se y = 0 
b) para x > 3 obtêm-se para y valores negativos, isto 
é, y < 0. 
c) para x < 3 obtêm-se para y valores positivos, isto 
é, y > 0. 
 
Resumindo: 
0 y 3 x | lR x <⇒>∈∀ 
0 y 3 x | lR x >⇒<∈∀ 
0 y 3 x | lR x =⇒=∈∃ 
 
Esquematizando: 
 
 
De um modo geral podemos utilizar a seguinte técnica 
para o estudo da variação do sinal da função linear: 
 
 
y tem o mesmo sinal de a quando x assume valores 
maiores que a raiz. 
y tem sinal contrário ao de a quando x assume valores 
menores que a raiz. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
01) Determine o domínio das funções definidas por: 
a) f ( x ) = x2 + 1 
b) f ( x ) = 
4x
1x3
−
+
 
c) f ( x ) = 
2x
1x
−
−
 
 
Solução: 
a) Para todo x real as operações indicadas na 
fórmula são possíveis e geram como resultado 
um número real dai: D ( f ) = IR 
b) Para que as operações indicadas na fórmula se-
jam possíveis, deve-se ter: x – 4 ≠ 0, isto é, x 
≠ 4. D ( f ) = { x Є lR | x ≠ 4} 
c) Devemos ter: 
x –1 ≥ 0 e x – 2 ≠ 0 
 x ≥ 1 x ≠ 2 
e daí: D ( f ) = { x Є lR | x ≥ 1 e x ≠ 2 } 
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02) Verificar quais dos gráficos abaixo representam 
funções: 
 
Resposta: 
 
Somente o gráfico 3 não é função, porque existe x 
com mais de uma imagem y, ou seja, traçando-se uma 
reta paralela ao eixo y, ela pode Interceptar a curva em 
mais de um ponto. Ou seja: 
 
Os pontos P e Q têm a mesma abscissa, o que não 
satisfaz a definição de função. 
 
 
2) Estudar o sinal da função y = 2x – 6 
Solução a = +2 (sinal de a) 
b = – 6 
 
a) Determinação da raiz: 
y = 2x – 6 = 0 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 
Portanto, y = 0 para x = 3. 
 
b) Determinação do sinal de y: 
Se x > 3 , então y > 0 (mesmo sinal de a) 
Se x < 3 , então y < 0 (sinal contrário de a) 
 
 
 
04) Estudar o sinal da fundão y = –3x + 5 
Solução: 
a = –3 (sinal de a) b = + 5 
 
a) Determinação da raiz: 
y = –3x + 5 = 0 ⇒ –3x = – 5 ⇒ x = 
3
5
 
Portanto, y = 0 para x = 
3
5
 
 
b) Determinação do sinal de y: 
se x > 
3
5
 , então y < 0 (mesmo sinal de a) 
se x < 
3
5
 , então y > 0 (sinal contrário de a) 
 
 
05) Dentre os diagramas seguintes, assinale os que 
representam função e dê D ( f ) e Im( f ) 
 
 
Respostas: 
1) È função ; D(f) = {a.b,c,d} e Im(f) = {e,f } 
2) Não é função 
3) È função ; D(f) = {1, 2, 3} e Im(f) = { 4, 5, 6 } 
4) È função ; D(f) = {1, 2, 3 } e Im(f) = { 3, 4, 5} 
5) Não é função 
6) È função ; D(f) = {5, 6, 7, 8, 9} e Im(f) = {3} 
7) É função ; D(f) = { 2 } e Im(f) = { 3 } 
 
06) Construa o gráfico das funções: 
a) f(x) = 3x b) g ( x ) = – 
2
1
 x 
c) h ( x ) = 5x + 2 d) i ( x ) = 
2
5
x
3
2
+ 
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e) y = – x 
 
Solução: 
 
07) Uma função f, definida por f ( x ) = 2x – 1, tem 
domínio D(f ) = { x Є lR | –1 ≤ x ≤ 2} Determine 
o conjunto-imagem 
 
Solução: 
Desenhamos o gráfico de f e o projetamos sobre o 
eixo 0x 
 
x y O segmento AB é o gráfico de f; sua 
projeção sobre o eixo 0y nos dá: 
Im ( f ) = [ – 3 , 3 ] 
–1 
2 
–3 
3 
 
 
08) Classifique as seguintes funções lineares em 
crescentes ou decrescentes: 
a) y = f ( x ) = – 2x – 1 
b) y = g ( x ) = – 3 + x 
c) y = h ( x ) = 
2
1
x – 5 
d) y = t ( x ) = – x 
 
Respostas: 
a) decrescente b) crescente 
c) crescente d) decrescente 
 
09) Fazer o estudo da variação do sinal das funções: 
1) y = 3x + 6 6) y = 5x – 25 
2) y = 2x + 8 7) y = –9x –12 
3) y = –4x + 8 8) y = –3x –15 
4) y = –2x + 6 9) y = 2x + 10 
5) y = 4x – 8 
 
Respostas: 
1) x > –2 ⇒ y > 0; x = –2 ⇒ y = 0; x < –2 ⇒ y < 0 
2) x > –4 ⇒ y > 0; x = –4 ⇒ y = 0; x < –4 ⇒ y < 0 
3) x > 2 ⇒ y < 0; x = 2 ⇒ y = 0; x < 2 ⇒ y > 0 
4) x > 3 ⇒ y < 0; x = 3 ⇒ y = 0; x < 3 ⇒ y > 0 
5) x > 2 ⇒ y > 0; x = 2 ⇒ y = 0; x < 2 ⇒ y < 0 
6) x > 5 ⇒ y > 0; x = 5 ⇒ y = 0; x < 5 ⇒ y < 0 
7) x > –
3
4
⇒ y < 0; x = –
3
4
⇒ y = 0; x < – 
3
4
⇒ y > 0 
8) x > –5 ⇒ y < 0; x = –5 ⇒ y = 0; x < –5 ⇒ y > 0 
9) x > –5 ⇒ y > 0; x = –5 ⇒ y = 0; x < –5 ⇒ y < 0 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
Princípio fundamental da contagem (PFC) 
Se um primeiro evento pode ocorrer de m maneiras 
diferentes e um segundo evento, de k maneiras diferen-
tes, então, para ocorrerem os dois sucessivamente,existem m . k maneiras diferentes. 
 
Aplicações 
1) Uma moça dispõe de 4 blusas e 3 saias. De 
quantos modos distintos ela pode se vestir? 
 
Solução: 
A escolha de uma blusa pode ser feita de 4 manei-
ras diferentes e a de uma saia, de 3 maneiras diferen-
tes. 
 
Pelo PFC, temos: 4 . 3 = 12 possibilidades para a 
escolha da blusa e saia. Podemos resumir a resolução 
no seguinte esquema; 
 
Blusa saia 
 
 
 
 4 . 3 = 12 modos diferentes 
 
2) Existem 4 caminhos ligando os pontos A e B, e 
5 caminhos ligando os pontos B e C. Para ir de 
A a C, passando pelo ponto B, qual o número 
de trajetos diferentes que podem ser realiza-
dos? 
 
Solução: 
Escolher um trajeto de A a C significa escolher um 
caminho de A a B e depois outro, de B a C. 
 
Como para cada percurso escolhido de A a B temos 
ainda 5 possibilidades para ir de B a C, o número de 
trajetos pedido é dado por: 4 . 5 = 20. 
 
Esquema: 
Percurso 
AB 
Percurso 
BC 
 
 
 4 . 5 = 20 
 
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3) Quantos números de três algarismos podemos 
escrever com os algarismos ímpares? 
 
Solução: 
Os números devem ser formados com os algaris-
mos: 1, 3, 5, 7, 9. Existem 5 possibilidades para a esco-
lha do algarismo das centenas, 5 possibilidades para o 
das dezenas e 5 para o das unidades. 
 
Assim, temos, para a escolha do número, 5 . 5 . 5 = 
125. 
algarismos 
da centena 
algarismos 
da dezena 
algarismos 
da unidade 
 
 
 5 . 5 . 5 = 125 
 
4) Quantas placas poderão ser confeccionadas se 
forem utilizados três letras e três algarismos pa-
ra a identificação de um veículo? (Considerar 26 
letras, supondo que não há nenhuma restrição.) 
 
Solução: 
Como dispomos de 26 letras, temos 26 possibilida-
des para cada posição a ser preenchida por letras. Por 
outro lado, como dispomos de dez algarismos (0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), temos 10 possibilidades para cada 
posição a ser preenchida por algarismos. Portanto, pelo 
PFC o número total de placas é dado por: 
 
5) Quantos números de 2 algarismos distintos po-
demos formar com os algarismos 1, 2, 3 e 4? 
 
Solução: 
Observe que temos 4 possibilidades para o primeiro 
algarismo e, para cada uma delas, 3 possibilidades 
para o segundo, visto que não é permitida a repetição. 
Assim, o número total de possibilidades é: 4 . 3 =12 
 
Esquema: 
 
 
6) Quantos números de 3 algarismos distintos po-
demos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8 e 9? 
 
Solução: 
Existem 9 possibilidades para o primeiro algarismo, 
apenas 8 para o segundo e apenas 7 para o terceiro. 
Assim, o número total de possibilidades é: 9 . 8 . 7 = 
504 
 
Esquema: 
 
7) Quantos são os números de 3 algarismos distin-
tos? 
 
Solução: 
Existem 10 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
Temos 9 possibilidades para a escolha do primeiro 
algarismo, pois ele não pode ser igual a zero. Para o 
segundo algarismo, temos também 9 possibilidades, 
pois um deles foi usado anteriormente. 
 
Para o terceiro algarismo existem, então, 8 possibi-
lidades, pois dois deles já foram usados. O numero 
total de possibilidades é: 9 . 9 . 8 = 648 
 
Esquema: 
 
8) Quantos números entre 2000 e 5000 podemos 
formar com os algarismos pares, sem os 
repetir? 
 
Solução: 
Os candidatos a formar os números são : 0, 2, 4, 6 e 
8. Como os números devem estar compreendidos entre 
2000 e 5000, o primeiro algarismo só pode ser 2 ou 4. 
Assim, temos apenas duas possibilidades para o 
primeiro algarismo e 4 para o segundo, três para o 
terceiro e duas paia o quarto. 
 
O número total de possibilidades é: 2 . 4 . 3 . 2 = 48 
Esquema: 
 
Exercícios 
1) Uma indústria automobilística oferece um determi-
nado veículo em três padrões quanto ao luxo, três 
tipos de motores e sete tonalidades de cor. Quan-
tas são as opções para um comprador desse car-
ro? 
2) Sabendo-se que num prédio existem 3 entradas 
diferentes, que o prédio é dotado de 4 elevadores e 
que cada apartamento possui uma única porta de 
entrada, de quantos modos diferentes um morador 
pode chegar à rua? 
3) Se um quarto tem 5 portas, qual o número de ma-
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neiras distintas de se entrar nele e sair do mesmo 
por uma porta diferente da que se utilizou para en-
trar? 
4) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à 
cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma 
pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. 
Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar 
na viagem de ida e volta, sem utilizar duas vezes a 
mesma linha? 
5) Quantas placas poderão ser confeccionadas para a 
identificação de um veículo se forem utilizados du-
as letras e quatro algarismos? (Observação: dis-
pomos de 26 letras e supomos que não haverá ne-
nhuma restrição) 
6) No exercício anterior, quantas placas poderão ser 
confeccionadas se forem utilizados 4 letras e 2 al-
garismos? 
7) Quantos números de 3 algarismos podemos formar 
com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 
8) Quantos números de três algarismos podemos 
formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5? 
9) Quantos números de 4 algarismos distintos pode-
mos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 
10) Quantos números de 5 algarismos não repetidos 
podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 
e 7? 
11) Quantos números, com 4 algarismos distintos, po-
demos formar com os algarismos ímpares? 
12) Quantos números, com 4 algarismos distintos, po-
demos formar com o nosso sistema de numera-
ção? 
13) Quantos números ímpares com 3 algarismos distin-
tos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 
e 6? 
14) Quantos números múltiplos de 5 e com 4 algaris-
mos podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5 
e 7, sem os repetir? 
15) Quantos números pares, de 3 algarismos distintos, 
podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 
e 7? E quantos ímpares? 
16) Obtenha o total de números de 3 algarismos distin-
tos, escolhidos entre os elementos do conjunto (1, 
2, 4, 5, 9), que contêm 1 e não contêm 9. 
17) Quantos números compreendidos entre 2000 e 
7000 podemos escrever com os algarismos ímpa-
res, sem os repetir? 
18) Quantos números de 3 algarismos distintos possu-
em o zero como algarismo de dezena? 
19) Quantos números de 5 algarismos distintos possu-
em o zero como algarismo das dezenas e come-
çam por um algarismo ímpar? 
20) Quantos números de 4 algarismos diferentes tem 
o algarismo da unidade de milhar igual a 2? 
21) Quantos números se podem escrever com os alga-
rismos ímpares, sem os repetir, que estejam com-
preendidos entre 700 e 1 500? 
22) Em um ônibus há cinco lugares vagos. Duas pes-
soas tomam o ônibus. De quantas maneiras dife-
rentes elas podem ocupar os lugares? 
23) Dez times participam de um campeonato de fute-
bol. De quantas formas se podem obter os três 
primeiros colocados? 
24) A placa de um automóvel é formada por duas letras 
seguidas e um número de quatro algarismos. Com 
as letras A e R e os algarismos pares, quantas pla-
casdiferentes podem ser confeccionadas, de modo 
que o número não tenha nenhum algarismo repeti-
do? 
25) Calcular quantos números múltiplos de 3 de quatro 
algarismos distintos podem ser formados com 2, 3, 
4, 6 e 9. 
26) Obtenha o total de números múltiplos de 4 com 
quatro algarismos distintos que podem ser forma-
dos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
 
ARRANJOS SIMPLES 
 
Introdução: 
Na aplicação An,p, calculamos quantos números de 2 
algarismos distintos podemos formar com 1, 2, 3 e 4. 
Os números são : 
12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43 
 
Observe que os números em questão diferem ou 
pela ordem dentro do agrupamento (12 ≠ 21) ou pelos 
elementos componentes (13 ≠ 24). Cada número se 
comporta como uma sequência, isto é : 
 (1,2) ≠ (2,1) e (1,3) ≠ (3,4) 
 
A esse tipo de agrupamento chamamos arranjo 
simples. 
 
Definição: 
Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se ar-
ranjo simples dos n elementos de /, tomados p a p, a 
toda sequência de p elementos distintos, escolhidos 
entre os elementos de l ( P ≤ n). 
 
O número de arranjos simples dos n elementos, 
tomados p a p, é indicado por An,p 
 
Fórmula: 
 
 
 
 
 
Aplicações 
1) Calcular: 
a) A7,1 b) A7,2 c) A7,3 d) A7,4 
Solução: 
a) A7,1 = 7 c) A7,3 = 7 . 6 . 5 = 210 
b) A7,2 = 7 . 6 = 42 d) A7,4 = 7 . 6 . 5 . 4 = 840 
 
2) Resolver a equação Ax,3 = 3 . Ax,2. 
 
Solução: 
x . ( x - 1) . ( x – 2 ) = 3 . x . ( x - 1) ⇒ 
⇒ x ( x – 1) (x –2) - 3x ( x – 1) =0 
∴ x( x – 1)[ x – 2 – 3 ] = 0 
 
x = 0 (não convém) 
ou 
x = 1 ( não convém) 
ou 
x = 5 (convém) 
 S = { }5 
 
3) Quantos números de 3 algarismos distintos 
A n ,p = n . (n -1) . (n –2) . . . (n – (p – 1)), 
 { } IN n p, e ⊂≤ np 
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podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8 e 9? 
 
Solução: 
Essa mesma aplicação já foi feita, usando-se o prin-
cipio fundamental da contagem. Utilizando-se a fórmu-
la, o número de arranjos simples é: 
A9, 3 =9 . 8 . 7 = 504 números 
 
Observação: Podemos resolver os problemas sobre 
arranjos simples usando apenas o principio fundamen-
tal da contagem. 
 
Exercícios 
1) Calcule: 
a) A8,1 b) A8,2 c ) A8,3 d) A8,4 
 
2) Efetue: 
a) A7,1 + 7A5,2 – 2A4,3 – A 10,2 b) 
1,102,5
4,72,8
AA
AA
−
+
 
 
3) Resolva as equações: 
a) Ax,2 = Ax,3 b) Ax,2 = 12 c) Ax,3 = 3x(x – 1) 
 
FATORIAL 
 
Definição: 
• Chama-se fatorial de um número natural n, n ≥ 
2, ao produto de todos os números naturais de 1 
até n. Assim : 
• n ! = n( n - 1) (n - 2) . . . 2 . 1, n ≥ 2 (lê-se: n 
fatorial) 
• 1! = 1 
• 0! = 1 
 
Fórmula de arranjos simples com o auxílio de 
fatorial: 
 
 
 
 
Aplicações 
1) Calcular: 
a) 5! c) 
! 6
! 8
 e) 
2)! - (n
! n
 
b) 
! 4
! 5
 d) 
! 10
! 10 ! 11 +
 
 
Solução: 
a) 5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 
b) 5
! 4
! 4 5
 
! 4
! 5
=
⋅
= 
c) 56
! 6
! 6 7 8
! 6
! 8
=
⋅⋅
= 
d) ( ) 12
! 10
111! 10
!10
! 10 ! 10 11
! 10
! 10 ! 11
=
+
=
+⋅
=
+
 
e) ( ) ( )( ) nn
n
−=
⋅
=
2
! 2 -n 
! 2 -n 1 -n 
2)! -(n 
!n 
 
 
2) Obter n, de modo que An,2 = 30. 
 
Solução: 
Utilizando a fórmula, vem : 
∴=⇒= 30
2)! - (n
! 2) - n ( 1) - n ( n30
2)! - (n
! n
 
 n = 6 
 n2 – n – 30 = 0 ou 
n = –5 ( não convém) 
 
3) Obter n, tal que: 4 . An-1,3 = 3 . An,3. 
 
Solução: 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ∴⋅=
⋅
⇒⋅=
⋅
! 1 - n 
! n3
! 4 - n 
! 3 - n 4
! 3 - n 
! n3
! 4 - n 
! 1 - n 4
 
 
( )( )
( )
( )
( )
21n n312n4
! 1 - n 
! 1 - n n3
! 4 - n 
! 4 - n 3 - n 4
=∴=−∴
⋅=
⋅
 
 
4) Obter n, tal que : 4
! n
! ) 1n ( - ! ) 2 n (
=
++
 
 
Solução: 
 ∴=
⋅+⋅++ 4
! 
! n ) 1 n ( - !n ) 1n ( ) 2 n (
n
 
 
 
[ ] 4
! 
 1- 2 n ) 1 n ( !n 
 =
+⋅+
⇒
n
 
 
n + 1 = 2 ∴n =1 
∴ (n + 1 )2 = 4 
n + 1 = –2 ∴ n = –3 (não 
convém ) 
 
Exercícios 
1) Assinale a alternativa correta: 
a) 10 ! = 5! + 5 ! d) 
! 2 
! 10
 = 5 
b) 10 ! = 2! . 5 ! e) 10 ! =10. 9. 8. 7! 
c) 10 ! = 11! -1! 
 
2) Assinale a alternativa falsa; 
a) n! = n ( n-1)! d) ( n –1)! = (n- 1)(n-2)! 
b) n! = n(n - 1) (n - 2)! e) (n - 1)! = n(n -1) 
c) n! = n(n – 1) (n - 2) (n - 3)! 
 
3) Calcule: 
a) 
! 10
! 12
 c) 
! 4 ! 3
! 7
 
b) 
! 5
! 5 ! 7 +
 d) 
! 5
! 6 - ! 8
 
 
4) Simplifique: 
a) 
! 1) - n ( 
! n
 d) 
! 1) - n ( n 
! n
 
 
b) ( )( )[ ]2 ! 1 n 
! n ! 2 n 
+
+
 e) 
! M
! ) 1 - M ( 2 - ! 5M
 
( ) { } lN np, e n p ,! pn 
! nA P,N ⊂≤
−
= 
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c) 
! n
! ) 1 n ( ! n ++
 
 
5) Obtenha n, em: 
a) 10
! n
1)!(n
=
+
 b) n!+( n - 1)! = 6 ( n - 1)! 
c) 6
2)! - (n
1)! - (n n
= d) (n - 1)! = 120 
 
6) Efetuando 
1)! (n
n
 
! n
1
+
− , obtém-se: 
a) 
 ! 1)(n
1
+
 d) 
 ! 1)(n
1 2n
+
+
 
b) 
! n
1
 e) 0 
c) 
1 - n
! 1) n ( ! n +
 
 
7) Resolva as equações: 
a) Ax,3 = 8Ax,2 b) Ax,3 = 3 . ( x - 1) 
 
8) Obtenha n, que verifique 8n! = 
1 n
! 1) (n ! 2) (n
+
+++
 
 
9) O número n está para o número de seus 
arranjos 3 a 3 como 1 está para 240, obtenha n. 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES 
 
Introdução: 
Consideremos os números de três algarismos 
distintos formados com os algarismos 1, 2 e 3. Esses 
números são : 123 132 213 231 312 321 
 
A quantidade desses números é dada por A3,3= 6. 
 
Esses números diferem entre si somente pela posi-
ção de seus elementos. Cada número é chamado de 
permutação simples, obtida com os algarismos 1, 2 e 3. 
Definição: 
Seja I um conjunto com n elementos. Chama-se 
permutação simples dos n elementos de l a toda a se-
quência dos n elementos. 
 
O número de permutações simples de n elementos 
é indicado por Pn. 
 
OBSERVA ÇÃO: Pn = An,n . 
 
Fórmula: 
Aplicações 
1) Considere a palavra ATREVIDO. 
a) quantos anagramas (permutações simples) 
podemos formar? 
b) quantos anagramas começam por A? 
c) quantos anagramas começam pela sílaba TRE? 
d) quantos anagramas possuem a sílaba TR E? 
e) quantos anagramas possuem as letras T, R e E 
juntas? 
f) quantos anagramas começam por vogal e 
terminam em consoante? 
 
Solução: 
a) Devemos distribuir as 8 letras em 8 posições 
disponíveis. 
Assim: 
 
Ou então, P8 = 8 ! = 40.320 anagramas 
 
b) A primeira posição deve ser ocupada pela letra A; 
assim, devemos distribuir as 7 letras restantes em 7 
posições, Então: 
 
c) Como as 3 primeiras posições ficam ocupadas 
pela sílaba TRE, devemos distribuir as 5 letras restan-
tes em 5 posições. Então: 
 
d) considerando a sílaba TRE como um único 
elemento, devemos permutar entre si 6 elementos, 
 
e) Devemos permutar entre si 6 elementos,tendo 
considerado as letras T, R, E como um único elemento: 
 
 
Devemos também permutar as letras T, R, E, pois 
não foi especificada a ordem : 
 
Para cada agrupamento formado, as letras T, R, E 
podem ser dispostas de P3 maneiras. Assim, para P6 
agrupamentos, temos 
P6 . P3 anagramas. Então: 
P6 . P3 = 6! . 3! = 720 . 6 = 4 320 anagramas 
 
f) A palavra ATREVIDO possui 4 vogais e 4 
consoantes. Assim: 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 17
 
Exercícios 
1) Considere a palavra CAPITULO: 
a) quantos anagramas podemos formar? 
b) quantos anagramas começam por C? 
c) quantos anagramas começam pelas letras C, A 
e P juntas e nesta ordem? 
d) quantos anagramas possuem as letras C, A e P 
juntas e nesta ordem? 
e) quantos anagramas possuem as letras C, A e P 
juntas? 
f) quantos anagramas começam por vogal e ter-
minam em consoante? 
2) Quantos anagramas da palavra MOLEZA 
começam e terminam por vogal? 
3) Quantos anagramas da palavra ESCOLA 
possuem as vogais e consoantes alternadas? 
4) De quantos modos diferentes podemos dispor 
as letras da palavra ESPANTO, de modo que as 
vogais e consoantes apareçam juntas, em 
qualquer ordem? 
5) obtenha o número de anagramas formados com 
as letras da palavra REPÚBLICA nas quais as 
vogais se mantenham nas respectivas posições. 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES, COM ELEMENTOS RE-
PETIDOS 
 
Dados n elementos, dos quais : 
1α são iguais a 
 
2α são iguais a 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
 rα são iguais a 
 
 sendo ainda que: r2 1 . . . ααα +++ = n, e indicando-
se por ) . . . , ,(p r21n ααα o número das permutações 
simples dos n elementos, tem-se que: 
 
 
Aplicações 
1) Obter a quantidade de números de 4 algarismos 
formados pelos algarismos 2 e 3 de maneira 
que cada um apareça duas vezes na formação 
do número. 
 
Solução: 
os números são 



3223 3232 3322
2332 2323 2233
 
 
A quantidade desses números pode ser obtida por: 
 
( ) números 6
1 2 ! 2
! 2 3 4
! 2 ! 2
! 4P 2,24 =
⋅⋅
⋅⋅
== 
 
2) Quantos anagramas podemos formar com as 
letras da palavra AMADA? 
solução: 
Temos: 
 
 Assim: 
 
 
( ) anagramas 20 
! 3
! 3 4 5
 
! 1 ! 1 ! 3
! 5
 p 1,1,35 =
⋅⋅
== 
 
3) Quantos anagramas da palavra GARRAFA 
começam pela sílaba RA? 
 
Solução: 
Usando R e A nas duas primeiras posições, restam 
5 letras para serem permutadas, sendo que: 
 
 
Assim, temos: 
( ) anagramas 60 
! 2
! 2 3 4 5
 p 1,1,25 =
⋅⋅⋅
= 
 
Exercícios 
1) O número de anagramas que podemos formar 
com as letras da palavra ARARA é: 
a) 120 c) 20 e) 30 
b) 60 d) 10 
 
2) O número de permutações distintas possíveis 
com as oito letras da palavra PARALELA, 
começando todas com a letra P, será de ; 
a) 120 c) 420 e) 360 
b) 720 d) 24 
 
3) Quantos números de 5 algarismos podemos 
formar com os algarismos 3 e 4 de maneira que 
o 3 apareça três vezes em todos os números? 
a) 10 c) 120 e) 6 
b) 20 d) 24 
 
4) Quantos números pares de cinco algarismos 
podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 
2, 2 e 3, respeitadas as repetições 
apresentadas? 
a) 120 c) 20 e) 6 b) 24 d) 12 
 
5) Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA 
terminam pela sílaba MA? 
a) 10 800 c) 5 040 e) 40 320 
b) 10 080 d) 5 400 
 
COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
Introdução: 
Consideremos as retas determinadas pelos quatro 
pontos, conforme a figura. 
1 13
D M A A,,A
 
{{{
1121
F R AA, G
1
11 11 a ., . . , a ,a a
α
→
2
2222 a , . . . ,a ,a a
α
→
r
rrrr a , . . . ,a ,a a
α
→
! . . . ! ! 
! n) . . . , ,(p
r1
r21n ααα
ααα = 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 18
 
Só temos 6 retas distintas ,CD ,BC ,AB( 
)AD e BD ,AC porque , . . . ,BA e AB DC e CD represen-
tam retas coincidentes. 
 
Os agrupamentos {A, B}, {A, C} etc. constituem 
subconjuntos do conjunto formado por A, B, C e D. 
 
Diferem entre si apenas pelos elementos 
componentes, e são chamados combinações simples 
dos 4 elementos tomados 2 a 2. 
 
O número de combinações simples dos n elementos 
tomados p a p é indicado por Cn,p ou 





p
n
. 
 
OBSERVAÇÃO: Cn,p . p! = An,p. 
 
Fórmula: 
 
Aplicações 
1) calcular: 
a) C7,1 b) C7,2 c) C7,3 d) C7,4 
 
Solução: 
a) C7,1 = 7! 6
! 6 7
! 6 ! 1
! 7
=
⋅
= 
b) C7,2 = 21! 5 1 2
! 5 6 7
! 5 ! 2
! 7
=
⋅⋅
⋅⋅
= 
c) C7,3 = 35! 4 1 2 3
! 4 5 6 7
! 4 ! 3
! 7
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
= 
d) C7,4= 35
 1 2 3 ! 4
! 4 5 6 7
! 3 ! 4
! 7
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
= 
 
2) Quantos subconjuntos de 3 elementos tem um 
conjunto de 5 elementos? 
ossubconjunt 10
1 2 ! 3
! 3 4 5
! 2 ! 3
! 5
 C5,3 =
⋅⋅
⋅⋅
== 
 
3) obter n, tal que 
3
4
C
C
n,2
n,3
= 
Solução: 
∴=⋅⇒=
3
4
! n
! ) 2- n ( ! 2
 ) 3 - n ( ! 3 
! n
 
3
4
! ) 2 - n ( ! 2
! n
! ) 3 - n ( ! 3
! n
 
42-n 
3
4
! ) 3 - n ( 2 3
! ) 3 - n ( ) 2 - n ( 2 
=∴=
⋅⋅
⋅
∴ 
 
 convém 
 
 
4) Obter n, tal que Cn,2 = 28. 
 
Solução: 
∴=
−
⇒= 56
! )2(
! ) 2 -n ( ) 1 -n ( 28)! 2 -n ( ! 2
!n 
n
n
 
 
n = 8 
n2 – n – 56 = 0 
 
 n = -7 (não convém) 
 
5) Numa circunferência marcam-se 8 pontos, 2 a 2 
distintos. Obter o número de triângulos que po-
demos formar com vértice nos pontos indicados: 
 
Solução: 
Um triângulo fica identificado quando escolhemos 3 
desses pontos, não importando a ordem. Assim, o nú-
mero de triângulos é dado por: 
 56
! 5 . 2 3
! 5 . 6 7 8
! 5 ! 3
! 8C8,3 =
⋅
⋅⋅
== 
 
6) Em uma reunião estão presentes 6 rapazes e 5 
moças. Quantas comissões de 5 pessoas, 3 ra-
pazes e 2 moças, podem ser formadas? 
 
Solução: 
Na escolha de elementos para formar uma 
comissão, não importa a ordem. Sendo assim : 
• escolher 3 rapazes: C6,3 = ! 3 ! 3
! 6
= 20 modos 
• escolher 2 moças: C5,2= 3! 2!
! 5
 = 10 modos 
 
Como para cada uma das 20 triplas de rapazes te-
mos 10 pares de moças para compor cada comissão, 
então, o total de comissões é C6,3 . C5,2 = 200. 
 
7) Sobre uma reta são marcados 6 pontos, e sobre 
uma outra reta, paralela á primeira, 4 pontos. 
a) Quantas retas esses pontos determinam? 
b) Quantos triângulos existem com vértices em 
três desses pontos? 
Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se combi-
nação simples dos n elementos de /, tomados p a p, a 
qualquer subconjunto de p elementos do conjunto l. 
n = 6 
lN } n p, { e np ,
! ) p - n ( ! p
! n
 C p, n ⊂≤= 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 19
 
Solução: 
a) C10,2 – C6,2 – C4,2 + 2 = 26 retas onde 
 
C6,2 é o maior número de retas possíveis de serem 
determinadas por seis pontos C4,2 é o maior número 
de retas possíveis de serem determinadas por 
quatro pontos . 
 
b) C10,3 – C6,3 – C4,3 = 96 triângulos onde 
 
C6,3 é o total de combinações determinadas por três 
pontos alinhados em uma das retas, pois pontos 
colineares não determinam triângulo. 
C4,3 é o total de combinações determinadas por três 
pontos alinhados da outra reta. 
 
8) Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. 
De quantos modos é possível tirar 7 bolas das 
quais pelo menos 4 sejam pretas? 
 
Solução: 
As retiradas podem ser efetuadas da seguinte 
forma: 
4 pretas e 3 brancas ⇒ C6,4 . C10,3 = 1 800 ou 
5 pretas e 2 brancas ⇒ C6,5 . C10,2 = 270 ou 
6 pretas e1 branca ⇒ C6,6 . C10,1 = 10 
 
Logo. 1 800 + 270 + 10 = 2 080 modos 
 
Exercícios 
1) Calcule: 
a) C8,1 + C9,2 – C7,7 + C10,0 
b) C5,2 +P2 – C5,3 
c) An,p . Pp 
 
2) Obtenha n, tal que : 
a) Cn,2 = 21 
b) Cn-1,2 = 36 
c) 5 . Cn,n - 1 + Cn,n -3 = An,3 
 
3) Resolva a equação Cx,2 = x. 
 
4) Quantos subconjuntos de 4 elementos possui 
um conjunto de 8 elementos? 
 
5) Numa reunião de 7 pessoas, quantas 
comissões de 3 pessoas podemos formar? 
 
6) Um conjunto A tem 45 subconjuntos de 2 
elementos. Obtenha o número de elementos de 
A 
 
7) Obtenha o valor de p na equação: 12
C
A
4,p
3,p
= . 
 
8) Obtenha x na equação Cx,3 = 3 . Ax , 2. 
 
9) Numa circunferência marcam-se 7 pontos 
distintos. Obtenha: 
a) o número de retas distintas que esses 
pontos determinam; 
b) o número de triângulos com vértices nesses 
pontos; 
c) o número de quadriláteros com vértices 
nesses pontos; 
d) o número de hexágonos com vértices 
nesses pontos. 
 
10) A diretoria de uma firma é constituída por 7 dire-
tores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comis-
sões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser 
formadas? 
 
11) Uma urna contém 10 bolas brancas e 4 bolas 
pretas. De quantos modos é possível tirar 5 bo-
las, das quais duas sejam brancas e 3 sejam 
pretas? 
 
12) Em uma prova existem 10 questões para que os 
alunos escolham 5 delas. De quantos modos is-
to pode ser feito? 
 
13) De quantas maneiras distintas um grupo de 10 
pessoas pode ser dividido em 3 grupos conten-
do, respectivamente, 5, 3 e duas pessoas? 
 
14) Quantas diagonais possui um polígono de n la-
dos? 
 
15) São dadas duas retas distintas e paralelas. So-
bre a primeira marcam-se 8 pontos e sobre a 
segunda marcam-se 4 pontos. Obter: 
a) o número de triângulos com vértices nos 
pontos marcados; 
b) o número de quadriláteros convexos com 
vértices nos pontos marcados. 
 
16) São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5, 
e somente 5, estão alinhados. Quantos triângu-
los distintos podem ser formados com vértices 
em três quaisquer dos 12 pontos? 
 
17) Uma urna contém 5 bolas brancas, 3 bolas pre-
tas e 4 azuis. De quantos modos podemos tirar 
6 bolas das quais: 
a) nenhuma seja azul 
b) três bolas sejam azuis 
c) pelo menos três sejam azuis 
 
18) De quantos modos podemos separar os 
números de 1 a 8 em dois conjuntos de 4 
elementos? 
 
19) De quantos modos podemos separar os 
números de 1 a 8 em dois conjuntos de 4 
elementos, de modo que o 2 e o 6 não estejam 
no mesmo conjunto? 
 
20) Dentre 5 números positivos e 5 números 
negativos, de quantos modos podemos escolher 
quatro números cujo produto seja positivo? 
 
21) Em um piano marcam-se vinte pontos, não 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 20
alinhados 3 a 3, exceto cinco que estão sobre 
uma reta. O número de retas determinadas por 
estes pontos é: 
a) 180 
b) 1140 
c) 380 
d) 190 
e) 181 
 
22) Quantos paralelogramos são determinados por 
um conjunto de sete retas paralelas, 
interceptando um outro conjunto de quatro retas 
paralelas? 
a) 162 
b) 126 
c) 106 
d) 84 
e) 33 
 
23) Uma lanchonete que vende cachorro quente o-
ferece ao freguês: pimenta, cebola, mostarda e 
molho de tomate, como tempero adicional. 
Quantos tipos de cachorros quentes diferentes 
(Pela adição ou não de algum tempero) podem 
ser vendidos? 
a) 12 
b) 24 
c) 16 
d) 4 
e) 10 
 
24) O número de triângulos que podem ser traçados 
utilizando-se 12 pontos de um plano, não ha-
vendo 3 pontos em linha reta, é: 
a) 4368 
b) 220 
c) 48 
d) 144 
e) 180 
25) O time de futebol é formado por 1 goleiro, 4 de-
fensores, 3 jogadores de meio de campo e 3 a-
tacantes. Um técnico dispõe de 21 jogadores, 
sendo 3 goleiros, 7 defensores, 6 jogadores de 
meio campo e 5 atacantes. De quantas manei-
ras poderá escalar sua equipe? 
a) 630 
b) 7 000 
c) 2,26 . 109 
d) 21000 
e) n.d.a. 
 
26) Sendo 5 . Cn, n - 1 + Cn, n - 3, calcular n. 
 
27) Um conjunto A possui n elementos, sendo n ≥ 
4. O número de subconjuntos de A com 4 
elementos é: 
a) [ ] ) 4 - n (24
! n
 c) ( n – 4 ) ! e) 4 ! 
b) ) 4 - n (
! n
 d) n ! 
 
28) No cardápio de uma festa constam 10 diferentes 
tipos de salgadinhos, dos quais apenas 4 serão 
servidos quentes. O garçom encarregado de ar-
rumar a travessa e servi-la foi instruído para que 
a mesma contenha sempre só dois tipos dife-
rentes de salgadinhos frios e dois diferentes dos 
quentes. De quantos modos diversos pode o 
garçom, respeitando as instruções, selecionar 
os salgadinhos para compor a travessa? 
a) 90 d) 38 
b) 21 e) n.d.a. 
c) 240 
 
29) Em uma sacola há 20 bolas de mesma dimen-
são: 4 são azuis e as restantes, vermelhas. De 
quantas maneiras distintas podemos extrair um 
conjunto de 4 bolas desta sacola, de modo que 
haja pelo menos uma azul entre elas? 
a) 
! 12
! 16
! 16
! 20
− d) 





−⋅
! 12
! 16
! 16
! 20
 
! 4
1
 
b) 
! 16 ! 4
! 20
 e)n.d.a. 
c) 
! 16
! 20
 
 
30) Uma classe tem 10 meninos e 9 meninas. 
Quantas comissões diferentes podemos formar 
com 4 meninos e 3 meninas, incluindo obrigato-
riamente o melhor aluno dentre os meninos e a 
melhor aluna dentre as meninas? 
a) A10,4 . A9,3 c) A9,2 – A8,3 e) C19,7 
b) C10,4 - C9, 3 d) C9,3 - C8,2 
 
31) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 
será selecionado para uma excursão, De quan-
tas maneiras distintas o grupo pode ser forma-
do, sabendo que dos dez estudantes dois são 
marido e mulher e apenas irão se juntos? 
a) 126 b) 98 c) 115 d)165 e) 122 
 
RESPOSTAS 
 
Principio fundamental da contagem 
1) 63 
2) 12 
3) 20 
4) 72 
5) 6 760 000 
6) 45 697 600 
7) 216 
8) 180 
9) 360 
10) 2 520 
11) 120 
12) 4 536 
13) 60 
14) 24 
15) 90 pares e 120 ím-
pares 
16) 18 
17) 48 
18) 72 
19) 1 680 
20) 504 
21) 30 
22) 20 
23) 720 
24) 48 
25) 72 
26) 96 
 
Arranjos simples 
1) a) 8 c) 336 
 b) 56 d) 1680 
 
2) a) 9 b) 89,6 
 
3) a) s = {3} b) S = {4} c) S = {5} 
 
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APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Raciocínio Lógico Quantitativo AOpção Certa Para a Sua Realização 21
Fatorial 
1) e 2) e 
3) a) 132 b) 43 c) 35 d) 330 
4) a) n b) 
1n
2n
+
+
 c) n + 2 d) 1 e)
M
2M5 −
 
5) n = 9 b) n = 5 c) n = 3 d) n = 6 
 
6) a 
 
7) a) S = {10} b) S = {3} 
 
8) n = 5 
 
9) n = 17 
 
Permutações simples 
1) a) 40 320 d) 720 
b) 5 040 e) 4 320 
c) 120 f) 11 520 
2) 144 
3) 72 
4) 288 
5) 120 
 
Permutações simples com elementos repetidos 
1) d 2) c 3) a 4) d 5) b 
 
Combinações simples 
1) a) 44 c) )!pn(
!p!n
−
 
b) 2 
2) a) n = 7 b) n = 10 
c) n = 4 
3) S = {3} 
4) 70 
5) 35 
6) 10 
7) p=5 
8) S={20} 
9) a) 21 c) 35 
b) 35 d) 7 
10) 140 
11) 180 
12) 252 
13) 2 520 
14) 
2
)3n(n −
 
15) a) 160 b) 168 
16) 210 
17) a) 28 c) 252 
b) 224 
18) 70 
19) 55 
20) 105 
21) e 
22) b 
23) c 
24) b 
25) d 
26) n =4 
27) a 
28) a 
29) d 
30) d 
31) b 
 
 
PROBABILIDADE 
 
ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO 
Suponha que em uma urna existam cinco bolas ver-
melhas e uma bola branca. Extraindo-se, ao acaso, uma 
das bolas, é mais provável que esta seja vermelha. Isto 
irão significa que não saia a bola branca, mas que é 
mais fácil a extração de uma vermelha. Os casos possí-
veis seu seis: 
 
Cinco são favoráveis á extração da bola vermelha. 
Dizemos que a probabilidade da extração de uma bola 
vermelha é 
6
5
 e a da bola branca, 
6
1
 . 
 
Se as bolas da urna fossem todas vermelhas, a ex-
tração de uma vermelha seria certa e de probabilidade 
igual a 1. Consequentemente, a extração de uma bola 
branca seria impossível e de probabilidade igual a zero. 
 
Espaço amostral: 
Dado um fenômeno aleatório, isto é, sujeito ás leis do 
acaso, chamamos espaço amostral ao conjunto de todos 
os resultados possíveis de ocorrerem. Vamos indica-lo 
pela letra E. 
 
EXEMPLOS: 
Lançamento de um dado e observação da face 
voltada para cima: 
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Lançamento de uma moeda e observação da face 
voltada para cima : 
E = {C, R}, onde C indica cara e R coroa. 
 
Lançamento de duas moedas diferentes e 
observação das faces voltadas para cima: 
E = { (C, C), (C, R), (R, C), (R, R) } 
 
Evento: 
Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço 
amostral. Tomemos, por exemplo, o lançamento de um 
dado : 
• ocorrência do resultado 3: {3} 
• ocorrência do resultado par: {2, 4, 6} 
• ocorrência de resultado 1 até 6: E (evento certo) 
• ocorrência de resultado maior que 6 : φ (evento 
impossível) 
 
Como evento é um conjunto, podemos aplicar-lhe as 
operações entre conjuntos apresentadas a seguir. 
• União de dois eventos - Dados os eventos A e B, 
chama-se união de A e B ao evento formado pe-
los resultados de A ou de B, indica-se por A ∪ B. 
 
• Intersecção de dois eventos - Dados os eventos 
A e B, chama-se intersecção de A e B ao evento 
formado pelos resultados de A e de B. Indica-se 
por A ∩ B. 
 
Se A ∩ B =φ , dizemos que os eventos A e B são mu-
tuamente exclusivos, isto é, a ocorrência de um deles eli-
mina a possibilidade de ocorrência do outro. 
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• Evento complementar – Chama-se evento comple-
mentar do evento A àquele formado pelos resulta-
dos que não são de A. indica-se por A . 
 
Aplicações 
1) Considerar o experimento "registrar as faces 
voltadas para cima", em três lançamentos de 
uma moeda. 
a) Quantos elementos tem o espaço amostral? 
b) Escreva o espaço amostral. 
 
Solução: 
a) o espaço amostral tem 8 elementos, pois para 
cada lançamento temos duas possibilidades e, 
assim: 2 . 2 . 2 = 8. 
b) E = { (C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, 
R,C), (R, C, R), (C, R, R), (R, R, R) } 
 
2) Descrever o evento "obter pelo menos uma cara 
no lançamento de duas moedas". 
 
Solução: 
Cada elemento do evento será representado por um 
par ordenado. Indicando o evento pela letra A, temos: A 
= {(C,R), (R,C), (C,C)} 
3) Obter o número de elementos do evento "soma 
de pontos maior que 9 no lançamento de dois 
dados". 
 
Solução: 
O evento pode ser tomado por pares ordenados com 
soma 10, soma 11 ou soma 12. Indicando o evento pela 
letra S, temos: 
S = { (4,6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} ⇒ 
⇒ n(S) = 6 elementos 
 
4) Lançando-se um dado duas vezes, obter o nú-
mero de elementos do evento "número par no 
primeiro lançamento e soma dos pontos igual a 
7". 
 
Solução: 
Indicando o evento pela letra B, temos: 
B = { (2, 5), (4, 3), (6, 1)} ⇒ n(B) = 3 elementos 
 
Exercícios 
1) Dois dados são lançados. O número de 
elementos do evento "produto ímpar dos pontos 
obtidos nas faces voltadas para cima" é: 
a) 6 b) 9 c) 18 d) 27 e) 30 
 
2) Num grupo de 10 pessoas, seja o evento ''esco-
lher 3 pessoas sendo que uma determinada este-
ja sempre presente na comissão". Qual o número 
de elementos desse evento? 
a) 120 b) 90 c) 45 d) 36 e) 28 
 
3) Lançando três dados, considere o evento "obter 
pontos distintos". O número de elementos desse 
evento é: 
a) 216 b) 210 c) 6 d) 30 e) 36 
 
4) Uma urna contém 7 bolas brancas, 5 vermelhas 
e 2 azuis. De quantas maneiras podemos retirar 
4 bolas dessa urna, não importando a ordem em 
que são retiradas, sem recoloca-las? 
a) 1 001 d) 6 006 
b) 24 024 e) 
! 2 ! 5 ! 7
! 14
 
c) 14! 
 
PROBABILIDADE 
Sendo n(A) o número de elementos do evento A, e 
n(E) o número de elementos do espaço amostral E ( A 
⊂ E), a probabilidade de ocorrência do evento A, que se 
indica por P(A), é o número real: 
 
OBSERVAÇÕES: 
1) Dizemos que n(A) é o número de casos favoráveis 
ao evento A e n(E) o número de casos possíveis. 
2) Esta definição só vale se todos os elementos do 
espaço amostral tiverem a mesma probabilidade. 
3) A é o complementar do evento A. 
 
Propriedades: 
 
 Aplicações 
4) No lançamento de duas moedas, qual a 
probabilidade de obtermos cara em ambas? 
 
Solução: 
Espaço amostral: 
E = {(C, C), (C, R), (R, C), (R,R)} ⇒ n(E).= 4 
 
Evento A : A = {(C, C)}⇒ n(A) =1 
Assim: 
4
1
) E ( n
) A ( n
 ) A ( P == 
 
5) Jogando-se uma moeda três vezes, qual a 
probabilidade de se obter cara pelo menos uma 
vez? 
 
Solução: 
E = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, 
C), (R, C, R), (C, R, R), (R. R, R)} ⇒ n(E)= 8 
A = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, 
C), (R, C, R), (C, R, R) ⇒ n(A) = 7 
) E ( n
) A ( n
 ) A ( P = 
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8
7P(A) ) E ( n
) A ( n
 ) A ( P =⇒= 
 
6) (Cesgranrio) Um prédio de três andares, com 
dois apartamentos por andar, tem apenas três 
apartamentos ocupados. A probabilidade de que 
cada um dos três andares tenha exatamente um 
apartamento ocupado é : 
a) 2/5 c) 1/2 e) 2/3 
b) 3/5 d) 1/3 
 
Solução: 
O número de elementos do espaço amostral é dado 
por : n(E) = C6,3 = ! 3 ! 3
! 6
 = 20 
 
O número de casos favoráveis é dado por n (A) = 2 . 
2 . 2 = 8, poisem cada andar temos duas possibilidades 
para ocupa-lo. Portanto, a probabilidade pedida é: 
5
2
20
8
) E ( n
) A ( n
 ) A ( P === (alternativa a) 
 
7) Numa experiência, existem somente duas 
possibilidades para o resultado. Se a 
probabilidade de um resultado é 
3
1
 , calcular a 
probabilidade do outro, sabendo que eles são 
complementares. 
 
Solução: 
Indicando por A o evento que tem probabilidade 
3
1
, 
vamos indicar por A o outro evento. Se eles são 
complementares, devemos ter: 
P(A) + P( A ) = 1 
3
1
 ⇒ + P( A ) = 1 ∴ 
 
8) No lançamento de um dado, qual a probabilidade 
de obtermos na face voltada para cima um 
número primo? 
 
Solução: 
Espaço amostral : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(E) = 6 
Evento A : A = {2, 3, 5} ⇒ n(A) = 3 
Assim: 
2
1)A(P
6
3
) E ( n
) A ( n
 ) A ( P =⇒== 
 
9) No lançamento de dois dados, qual a 
probabilidade de se obter soma dos pontos igual 
a 10? 
 
Solução: 
Considere a tabela, a seguir, indicando a soma dos 
pontos: 
 A 
 B 
 
 1 
 
 2 
 
 3 
 
 4 
 
 5 
 
 6 
1 2 3 4 5 6 7 
2 3 4 5 6 7 8 
3 4 5 6 7 8 9 
4 5 6 7 8 9 10 
5 6 7 8 9 10 11 
6 7 8 9 10 11 12 
 
Da tabela: n(E) = 36 e n(A) = 3 
Assim: 
12
1
36
3
) E ( n
) A ( n
 ) A ( P === 
 
Exercícios 
1) Jogamos dois dados. A probabilidade de obtermos 
pontos iguais nos dois é: 
a) 
3
1
 c) 
6
1
 e) 
36
7
 
b) 
36
5
 d) 
36
1
 
 
2) A probabilidade de se obter pelo menos duas 
caras num lançamento de três moedas é; 
a) 
8
3
 c) 
4
1
 e) 
5
1
 
b) 
2
1
 d) 
3
1
 
 
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES 
Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral E, 
tem-se que: 
 
"A probabilidade da união de dois eventos A e B é i-
gual á soma das probabilidades de A e B, menos a pro-
babilidade da intersecção de A com B." 
 
Justificativa: 
Sendo n (A ∪ B) e n (A ∩ B) o número de 
elementos dos eventos A ∪ B e A ∩ B, temos que: 
n( A ∪ B) = n(A) +n(B) – n(A ∩ B)⇒ 
 
∴
∩
−+=
∪
⇒ )E(n
)BA(n
)E(n
)B(n
)E(n
)A(n
)E(n
)BA(n
 
 ∴P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
 
OBSERVA ÇÃO: 
Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é: 
A ∩ B =φ , então, P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 
 
Aplicações 
1) Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 
azuis. Retirando-se uma bola da urna, qual a 
probabilidade de que ela seja branca ou verde? 
 
P(A ∪ B) = P (A) + P(B) – P(A ∩ B) 
3
2)A(P = 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 24
Solução: 
Número de bolas brancas : n(B) = 2 
Número de bolas verdes: n(V) = 3 
Número de bolas azuis: n(A) = 4 
 
A probabilidade de obtermos uma bola branca ou 
uma bola verde é dada por: 
P( B ∪ V) = P(B) + P(V) - P(B ∩ V) 
 
Porém, P(B ∩ V) = 0, pois o evento bola branca e o 
evento bola verde são mutuamente exclusivos. 
 
Logo: P(B ∪ V) = P(B) + P(V), ou seja: 
P(B ∪ V) = 
9
5)VB(P
9
3
9
2
=∪⇒+ 
 
2) Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se 
obter o número 4 ou um número par? 
 
Solução: 
O número de elementos do evento número 4 é n(A) = 
1. 
 
O número de elementos do evento número par é n(B) 
= 3. 
 
Observando que n(A ∩ B) = 1, temos: 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)⇒ 
 
⇒ P(A ∪ B) = 
2
1)BA(P
6
3
6
1
6
3
6
1
=∪∴=−+ 
 
3) A probabilidade de que a população atual de um 
pais seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A 
probabilidade de ser 110 milhões ou menos é 
8%. Calcular a probabilidade de ser 110 milhões. 
 
Solução: 
Temos P(A) = 95% e P(B) = 8%. 
 
A probabilidade de ser 110 milhões é P(A ∩ B). 
Observando que P(A ∪ B) = 100%, temos: 
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) ⇒ 
⇒ 100% = 95% + 8% - P(A ∩ B) ∴ 
(A ∩ B) = 3% 
 
Exercícios 
1) (Cescem) Uma urna contém 20 bolas numeradas 
de 1 a 20. Seja o experimento "retirada de uma 
bola" e considere os eventos; 
A = a bola retirada possui um número múltiplo de 
2 
B = a bola retirada possui um número múltiplo de 
5 
Então a probabilidade do evento A ∪ B é: 
 a) 
20
13
 c) 
10
7
 e) 
20
11
 
 b) 
5
4
 d) 
5
3
 
 
2) (Santa casa) Num grupo de 60 pessoas, 10 são 
torcedoras do São Paulo, 5 são torcedoras do 
Palmeiras e as demais são torcedoras do Corin-
thians. Escolhido ao acaso um elemento do gru-
po, a probabilidade de ele ser torcedor do São 
Paulo ou do Palmeiras é: 
a) 0,40 c) 0,50 e) n.d.a. 
b) 0,25 d) 0,30 
 
3) (São Carlos) S é um espaço amostral, A e B e-
ventos quaisquer em S e P(C) denota a probabi-
lidade associada a um evento genérico C em S. 
Assinale a alternativa correta. 
a) P(A ∩ C) = P(A) desde que C contenha A 
 
b) P(A ∪ B) ≠ P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
c) P(A ∩ B) < P(B) 
d) P(A) + P(B) ≤ 1 
e) Se P(A) = P(B) então A = B 
 
4) (Cescem) Num espaço amostral (A; B), as 
probabilidades P(A) e P(B) valem 
respectivamente 
3
1
 e 
3
2
 Assinale qual das 
alternativas seguintes não é verdadeira. 
a) S BA =∪ d) A ∪ B = B 
b) A ∪ B = φ e) (A ∩ B) ∪ (A ∪ B) = S 
c) A ∩ B = BA ∩ 
 
5) (PUC) Num grupo, 50 pessoas pertencem a um 
clube A, 70 a um clube B, 30 a um clube C, 20 
pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes A e 
C, 18 aos clubes B e C e 10 pertencem aos três 
clubes. Escolhida ao acaso uma das pessoas 
presentes, a probabilidade de ela: 
a) Pertencer aos três Clubes é 
5
3
 ; 
b) pertencer somente ao clube C é zero; 
c) Pertencer a dois clubes, pelo menos, é 60%; 
d) não pertencer ao clube B é 40%; 
e) n.d.a. 
 
6) (Maringá) Um número é escolhido ao acaso entre 
os 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o 
número escolhido ser primo ou quadrado perfeito 
é: 
a) 
5
1
 c) 
25
4
 e) 
5
3
 
b) 
25
2
 d) 
5
2
 
 
 PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Muitas vezes, o fato de sabermos que certo evento 
ocorreu modifica a probabilidade que atribuímos a outro 
evento. Indicaremos por P(B/A) a probabilidade do even-
to B, tendo ocorrido o evento A (probabilidade condicio-
nal de B em relação a A). Podemos escrever: 
 
 
 
 
Multiplicação de probabilidades: 
A probabilidade da intersecção de dois eventos A e B 
)A( n
)BA( n)A/B(P ∩= 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) 
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é igual ao produto da probabilidade de um deles pela 
probabilidade do outro em relação ao primeiro. 
 
Em símbolos: 
 
Justificativa: 
⇒
∩
= )A( n
)BA( n)A/B(P ∴
∩
=
)E(n
)A( n
)E(n
)BA( n
)A/B(P 
)A( P
)BA( P)A/B(P ∩=∴ 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) 
 
Analogamente: 
P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B) 
 
Eventos independentes: 
Dois eventos A e B são independentes se, e somente 
se: P(A/B) = P(A) ou P(B/A) = P(B) 
 
Da relação P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A), e se A e B 
forem independentes, temos: 
 
Aplicações: 
1) Escolhida uma carta de baralho de 52 cartas e 
sabendo-se que esta carta é de ouros, qual a 
probabilidade de ser dama?Solução: 
Um baralho com 52 cartas tem 13 cartas de ouro, 13 
de copas, 13 de paus e 13 de espadas, tendo uma dama 
de cada naipe. 
 
Observe que queremos a probabilidade de a carta 
ser uma dama de ouros num novo espaço amostral mo-
dificado, que é o das cartas de ouros. Chamando de: 
• evento A: cartas de ouros 
• evento B: dama 
• evento A ∩ B : dama de ouros 
 
Temos: 
 
 
 
 
2) Jogam-se um dado e uma moeda. Dê a 
probabilidade de obtermos cara na moeda e o 
número 5 no dado. 
 
Solução: 
Evento A : A = {C} ⇒ n(A) = 1 
Evento B : B = { 5 } ⇒ n ( B ) = 1 
 
Sendo A e B eventos independentes, temos: 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B) ⇒ P(A ∩ B) = ∴⋅
6
1
2
1
 
P(A ∩ B) = 
12
1
 
 
3) (Cesgranrio) Um juiz de futebol possui três cartões 
no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho, 
e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do 
outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao 
acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. A 
probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e 
de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é: 
a) 
2
1
 b) 
5
2
 c) 
5
1
 d) 
3
2
 e ) 
6
1
 
 
Solução: 
Evento A : cartão com as duas cores 
Evento B: face para o juiz vermelha e face para o 
jogador amarela, tendo saído o cartão de duas cores 
 
Temos: 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A), isto é, P(A ∩ B) =
2
1
 
3
1
⋅ 
P(A ∩ B) = 
6
1
 (alternativa e) 
Respostas: 
 
Espaço amostral e evento 
1) b 2) d 3) b 4) a 
 
Probabilidade 
1) c 2) b 
 
Adição de probabilidades 
1) d 2) b 3) a 4) b 5) b 6) e 
 
GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO. 
PERÍMETRO. 
 
1.POSTULADOS 
a) A reta é ilimitada; não tem origem nem 
extremidades. 
b) Na reta existem infinitos pontos. 
c) Dois pontos distintos determinam uma única reta 
(AB). 
 
2. SEMI-RETA 
Um ponto O sobre uma reta divide-a em dois 
subconjuntos, denominando-se cada um deles semi-
reta. 
 
3. SEGMENTO 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B) 
13
1
)A( n
)BA( n)A/B(P =∩=
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Sejam A e B dois pontos distintos sobre a reta AB . 
Ficam determinadas as semi-retas: AB e BA . 
 
 
 
 
A intersecção das duas semi-retas define o 
segmento AB . 
 
 
4. ÂNGULO 
A união de duas semi-retas de mesma origem é um 
ângulo. 
 
 
5. ANGULO RASO 
É formado por semi-retas opostas. 
 
6. ANGULOS SUPLEMENTARES 
São ângulos que determinam por soma um ângulo 
raso. 
 
7. CONGRUÊNCIA DE ÂNGULOS 
O conceito de congruência é primitivo. Não há 
definição. lntuitivamente, quando imaginamos dois 
ângulos coincidindo ponto a ponto, dizemos que 
possuem a mesma medida ou são congruentes (sinal 
de congruência: ≅ ). 
 
 
8. ÂNGULO RETO 
Considerando ângulos suplementares e con-
gruentes entre si, diremos que se trata de ângulos 
retos. 
 
 
9. MEDIDAS 
1 reto ↔ 90° (noventa graus) 
1 raso ↔ 2 retos ↔ 180° 
 
1° ↔ 60' (um grau - sessenta minutos) 
1' ↔ 60" (um minuto - sessenta segundos) 
 
As subdivisões do segundo são: décimos, 
centésimos etc. 
 
 
 
 
10. ÂNGULOS COMPLEMENTARES 
São ângulos cuja soma é igual a um ângulo reto. 
 
 
11. REPRESENTAÇÃO 
x é o ângulo; (90° – x) seu complemento e 
(180° – x) seu suplemento. 
 
12. BISSETRIZ 
É a semi-reta que tem origem no vértice do ângulo e 
o divide em dois ângulos congruentes. 
 
 
13. ANGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 
São ângulos formados com as semi-retas apostas 
duas a duas. 
 
 
 
 
ABBAAB =∩
 
90o = 89o 59’ 60” 
Ângulos apostos pelo vértice são congruentes 
(Teorema). 
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14. TEOREMA FUNDAMENTAL SOBRE RETAS 
PARALELAS 
Se uma reta transversal forma com duas retas de 
um plano ângulos correspondentes congruentes, então 
as retas são paralelas. 
 







≅
≅
≅
≅
qd
pc
nb
ma
))
))
))
))
ângulos correspondentes congruentes 
 
Consequências: 
a) ângulos alternos congruentes: 
externos) qb internos) 180mc
(alternos pa (alternos 180
0
0
))))
))))
≅=≅
≅=≅ nd
 
 
b) ângulos colaterais suplementares: 
internos) s(colaterai
180
180 m d
) (
180
180 q a
o
o




=+
=+




=+
=+
o
o
nc
externoscolaterais
pb
))
))
))
))
 
 
15. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) Determine o complemento de 34°15'34". 
Resolução: 
89° 59' 60" 
 - 34° 15' 34" 
 55° 44' 26" 
Resp.: 55° 44' 26" 
2) As medidas 2x + 20° e 5x – 70° são de ângulos 
opostos pelo vértice. Determine-as. 
Resolução: 
2x + 20° = 5x – 70° ⇔ 
⇔ + 70° + 20° = 5x – 2x ⇔ 
⇔ 90° = 3x ⇔ 
 
 
 
Resp. : os ângulos medem 80º 
 
3) As medidas de dois ângulos complementares 
estão entre si como 2 está para 7. Calcule-as. 
Resolução: Sejam x e y as medidas de 2 
ângulos complementares. Então: 
⇔





+=+
=+
⇔





=
=+
1
7
2
 1 
y
x
90 y x 
 
7
2
y
x
 
90 y x o o
 





=
=+
⇔





=
+
=+
7
990
y
90 y x 
 
 
7
9
 
y
 yx 
90 y x 
o
oo
 
 
⇒ x = 20° e y = 70° 
Resp.: As medidas são 20° e 70°. 
 
4) Duas retas paralelas cortadas por uma 
transversal formam 8 ângulos. Sendo 320° a 
soma dos ângulos obtusos internos, calcule os 
demais ângulos. 
 
 
Resolução: 
De acordo com a figura seguinte, teremos pelo 
enunciado: 
 
â + â = 320° ⇔ 2â = 320° ⇔ 
 
Sendo b a medida dos ângulos agudos, vem: 
a
)
 + b
)
 = 180° ou 160° + b
)
 = 180° ⇒ b
)
= 20° 
Resp.: Os ângulos obtusos medem 160° e os 
agudos 20°. 
 
5) Na figura, determine x. 
 
 
Resolução: Pelos ângulos alternos internos: 
 
x + 30° = 50° ⇒ 
 
16. TRIÂNGULOS 
16.1 – Ângulos 
externos angulos são C ;B ;A
internos ângulos são C ;B ;A
lados os são ;BC ;
BC AB ABC 
exexex
)))
)))
CAAB
CA∪∪=∆
 
 
 
LEI ANGULAR DE THALES: 
 
 
 
x = 30° 
â = 160° 
x = 20° 
°=++ 180 C B 
)))
A 
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Consequências: 
C B 
180 C B A
180 A ex )))
)))
))
+=⇒




°=++
°=+
exA
A
 
 
Analogamente: 
 
 
 
 
 
Soma dos ângulos externos: 
 
 
 
16.2 – Classificação 
 
Obs. : Se o triângulo possui os 3 ângulos menores 
que 90°, é acutângulo; e se possui um dos seus 
ângulos maior do que 90°, é obtusângulo. 
 
16.3 - Congruência de triângulos 
Dizemos que dois triângulos são congruentes 
quando os seiselementos de um forem congruentes 
com os seis elementos correspondentes do outro. 
 






≅
≅
≅






≅
≅
≅
C'A' AC
'C'B BC
B'A' AB
 e 
'C C
'B B
 'A A
))
))
))
 
C'B'A' ∆≅∆⇔ ABC 
 
16.4 - Critérios de congruência 
 
LAL: Dois triângulos serão congruentes se pos-
suírem dois lados e o ângulo entre eles 
congruentes. 
LLL: Dois triângulos serão congruentes se pos-
suírem os três lados respectivamente con-
gruentes. 
ALA : Dois triângulos serão congruentes se pos-
suírem dois ângulos e o lado entre eles 
congruentes. 
LAAO : Dois triângulos serão congruentes se pos-
suírem dois ângulos e o lado oposto a um 
deles congruentes. 
 
16.5 - Pontos notáveis do triângulo 
a) O segmento que une o vértice ao ponto médio 
do lado oposto é denominado MEDIANA. 
O encontro das medianas é denominado 
BARICENTRO. 
 
G é o baricentro 
Propriedade: AG = 2GM 
 BG = 2GN 
 CG = 2GP 
 
b) A perpendicular baixada do vértice ao lado 
oposto é denominada ALTURA. 
O encontro das alturas é denominado 
ORTOCENTRO. 
 
c) INCENTRO é o encontro das bissetrizes in-
ternas do triângulo. (É centro da circunferência 
inscrita.) 
d) CIRCUNCENTRO é o encontro das mediatrizes 
dos lados do triângulo, lÉ centro da 
circunferência circunscrita.) 
 
16.6 – Desigualdades 
A B C
C A 
ex
)))
)))
+=
+=exB
 
°=++ 360 C B A exexex
)))
 
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Teorema: Em todo triângulo ao maior lado se opõe 
o maior ângulo e vice-Versa. 
 
Em qualquer triângulo cada lado é menor do que a 
soma dos outros dois. 
 
16.7 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) Sendo 8cm e 6cm as medidas de dois lados de 
um triângulo, determine o maior número inteiro 
possível para ser medida do terceiro lado em 
cm. 
 
Resolução: 
 
 
 x < 6 + 8 ⇒ x < 14 
 6 < x + 8 ⇒ x > – 2 ⇒ 2 < x < 14 
8 < x + 6 ⇒ x > 2 
 
Assim, o maior numero inteiro possível para medir o 
terceiro lado é 13. 
 
2) O perímetro de um triângulo é 13 cm. Um dos 
lados é o dobro do outro e a soma destes dois 
lados é 9 cm. Calcule as medidas dos lados. 
 
Resolução: 
 
a + b + c = 13 
 a = 2b 3b = 9 
a + b = 9 
 
e 
 
Portanto: 
 
As medidas são : 3 cm; 4 cm; 6 cm 
 
3) Num triângulo isósceles um dos ângulos da 
base mede 47°32'. Calcule o ângulo do vértice. 
 
Resolução: 
 
 
x + 47° 32' + 47° 32' = 180° ⇔ 
x + 94° 64' = 180° ⇔ 
x + 95° 04' = 180° ⇔ 
x = 180° – 95° 04' ⇔ 
x = 84° 56' 
rascunho: 
 179° 60' 
– 95° 04' 
 84° 56' 
 
Resp. : O ângulo do vértice é 84° 56'. 
 
4) Determine x nas figuras: 
a) 
 
b) 
 
 
Resolução: 
a) 80° + x = 120° ⇒ x = 40° 
b) x + 150° + 130° = 360° ⇒ x = 80° 
 
5) Determine x no triângulo: 
Resolução: 
 
Sendo ABC∆ isósceles, vem: C 
))
≅B e portanto: 
°=≅ 50 C 
))
B , pois °=++ 180 C B 
)))
A . 
 
Assim, x = 80° + 50° ⇒ x = 130° 
 
17. POLIGONOS 
b = 3 a = 6 
c = 4 
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O triângulo é um polígono com o menor número de 
lados possível (n = 3), 
 
De um modo geral dizemos; polígono de n lados. 
 
17.1 - Número de diagonais 
 
 
 
 ( n = número de lados ) 
 
De 1 vértice saem (n – 3) diagonais. 
 
De n vértices saem n . (n – 3) diagonais; mas, cada 
uma é considerada duas vezes. 
Logo ; 
2
)3 -n (n 
 =d 
 
17.2 - Soma dos ângulos internos 
 
 
 
17.3 - Soma dos ângulos externos 
 
 
 
17.4 – Quadriláteros 
a) Trapézio: 
"Dois lados paralelos". 
 DC // AB 
 
 
b) Paralelogramo: 
 “Lados opostos paralelos dois a dois”. 
BC // AD e DC // AB 
 
 
Propriedades: 
1) Lados opostos congruentes. 
2) Ângulos apostos congruentes. 
3) Diagonais se encontram no ponto médio 
 
c) Retângulo: 
"Paralelogramo com um ângulo reto". 
 
Propriedades: 
1) Todas as do paralelogramo. 
2) Diagonais congruentes. 
 
d) Losango: 
"Paralelogramo com os quatro lados congruentes". 
 
Propriedades: 
1) Todas as do paralelogramo. 
2) Diagonais são perpendiculares. 
3) Diagonais são bissetrizes internas. 
 
e) Quadrado: 
"Retângulo e losango ao mesmo tempo". 
 
Obs: um polígono é regular quando é equiângulo e 
equilátero. 
 
SEMELHANÇAS 
 
1. TEOREMA DE THALES 
Um feixe de retas paralelas determina sobre um 
feixe de retas concorrentes segmentos cor-
respondentes proporcionais. 
 
2
)3 -n (n 
 =d 
Si = 180° ( n – 2 ) 
 
Se = 360° 
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etc... 
... 
NP
MP
 
FG
EG
 
BC
AC
... 
PQ
MN
 
GH
EF
 
===
===
CD
AB
 
 
2. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
Dada a correspondência entre dois triângulos, 
dizemos que são semelhantes quando os ângulos 
correspondentes forem congruentes e os lados 
correspondentes proporcionais. 
 
3. CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA 
a) (AAL) Dois triângulos possuindo dois ângulos 
correspondentes congruentes são 
semelhantes. 
b) (LAL) Dois triângulos, possuindo dois 
lados proporcionais e os ângulos entre 
eles formados congruentes, são seme-
lhantes. 
c) (LLL) Dois triângulos, possuindo os 
três lados proporcionais, são 
semelhantes. 
 
Representação: 
k 
C'A'
AC
 
C'B'
BC
 
B'A'
AB
 
e 
'C C
'B B
 'A 
 C'B'A' ~ 
===





≅
≅
≅
⇔∆∆
))
))
))
A
ABC
 
 
 razão de semelhança 
 
Exemplo: calcule x 
 
Resolução : 
 
6 x 
6
9
 
4
x
 
MC
AC
 
MN
AB
 MNC ~ 
=∴=⇒=
⇔∆∆ABC
 
4. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO 
 
Na figura: 
 
 
A é vértice do ângulo reto (Â = 90° ) 
°=+ 90 C 
))
B 
 
m = projeção do cateto c sobre a hipotenusa a 
n = projeção do cateto b sobre a hipotenusa a 
H é o pé da altura AH = h. 
4.1 – Relações 
a) 
 HB 
CB
AB
 CAB ~ AHB
2
⋅=⇔
⇔⇔⇔∆∆
CBAB
AB
HB
 
 ou (I)
 
HCBCAC
AC
HC
⋅=⇔
⇔=⇔∆∆
2
BC
AC
 BAC~ AHC
 
 
ou (II) 
 
 
 
 
 
b) 
HBCHAH
HA
HBAHB
⋅=⇔
⇔=⇔∆∆
2
CH
AH
 CHA ~ 
 
 
ou (III) 
 
 
 
 
Consequências: 
 
(I) + (II) vem: 
 
 
 
 
 
4.2 - TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
 
 
Exemplo: 
Na figura, M é pontomédio de BC , Â = 90° 
e Mˆ = 90°. Sendo AB = 5 e AC = 2, calcule Al. 
c2 = a . m 
b2 = a . n 
Cada cateto é média proporcional entre a 
hipotenusa e a sua projeção sobre a mesma. 
 
h2 = m . n 
A altura é média proporcional entre os seg-
mentos que determina sobre a hipotenusa 
 a2 + b2 = c2 
( )
222
22
 22 b 
abc
nmabc
anamc
a
=+⇔
⇔+=+⇔
⇔+=+
 
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Resolução: 
 
a) Teorema de Pitágoras: 
⇒+=⇒+= 2 22222 2 5 BC AC AB BC 
 
 e 38,529 ≅=⇒ BC 
 
 
b) ou ~
BI
BC
MB
ABMBIABC =⇔∆∆ 
 
9,2
10
2929
2
29
5
==⇔= BI
BI
 
Logo, sendo AI = AB - BI, teremos: 
 
AI = 5 - 2,9 ⇒ 
 
5. RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO 
 
Nas figuras valem as seguintes relações: 
2δ =PA . PB=PM . PN 
 
o número 2δ é denominado Potência do ponto 
 
P em relação à circunferência. 
 
2δ = 22 Rd − 
6. POLÍGONOS REGULARES 
a) Quadrado: 
 
 
AB = lado do quadrado ( l 4) 
OM = apótema do quadrado (a4) 
OA = OB = R = raio do círculo 
 
Relações: 
• ⇒+= 222 RRAB 
• ⇒= 
2
ABOM 
 
• Área do quadrado: 
 
 
b) Triângulo equilátero: 
 
AC = 3l (lado do triângulo) 
OA = R (raio do círculo) 
OH = a (apótema do triângulo) 
 
Relações: 
 
• AC2 = AH2 + HC2 ⇒ 
 
 
 (altura em função do lado) 
 
 
• AO = 2 OH ⇒ 
 (o raio é o dobro do apótema) 
 
 
 
 
 
• (lado em função do raio) 
 
 
• Área: 
 
 
(área do triângulo equilátero em função do lado) 
 
c) Hexágono regular: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados dos catetos. 
2
29
=MB 
AI = 2,1 
2
4
4
l
=a 
2
44 l=S 
2
33l
=h 
R = 2a 
33 R=l 
4
323l
=S 
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AB = 6l (lado do hexágono) 
OA = OB = R (raio do círculo) 
OM = a (apótema) 
 
Relações: 
• ∆ OAB é equilátero ⇒ 
 
• OM é altura ∆ OAB ⇒ 
 
• Área: 
 
 ABCSS ∆⋅= 6 ⇒ 
 
 
7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) Num triângulo retângulo os catetos medem 9 cm 
e 12 cm. Calcule as suas projeções sobre a 
hipotenusa. 
Resolução: 
 
 
a) Pitágoras: a2 = b2 + c2 ⇒ 
 
⇒ a2 =122 + 92⇒ 
 
b) C2 = a . m ⇒ 92 = 15 . m ⇒ 
 
 
c) b2 = a . n ⇒ 122 = 15 . n ⇒ 
 
2) As diagonais de um losango medem 6m e 8m. 
Calcule o seu perímetro: 
Resolução: 
 
 ⇒+= 222 34l 
 
 
O perímetro é: 
 
3) Calcule x na figura: 
 
 
Resolução: 
PA . PB = PM . PN ⇒ 2. ( 2 + x ) = 4 X 10 
⇔ 
4 + 2 x = 40 ⇔ 2 x = 36 ⇔ 
 
⇔ 
 
4) Calcule a altura de um triângulo equilátero cuja 
área é 39 m2: 
Resolução: 
∴=⇒=
4
339
4
3 22 llS 
 ∴=⇒=
2
36
2
3 hh l 
32
222
2
22
642
422
RRRV
RRRA
RRRA
T
pipi
pipipi
pipi
=⋅=
=+⋅=
=⋅=
l
 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
Relembrando: Triângulo retângulo é todo triângulo 
que possui um ângulo interno reto. ( = 90º) 
 
 
 
Obs: Num triângulo retângulo o lado oposto ao ân-
gulo reto é chamado hipotenusa e os lados adjacentes 
ao ângulo reto são chamados catetos. 
Teorema de Pitágoras 
Enunciado: Num triângulo retângulo, o quadrado da 
medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados 
das medidas dos catetos. 
 
Exemplo: 
 
 
Exemplo numérico: 
2
3R
a = 
2
33 2RS = 
a = 15 cm 
m = 5,4 
cm 
n = 9,6 
cm 
m 5=l 
P = 4 X 5 m = 20 m 
x=18 
m 6=l
m h 33=
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Exercícios: 
1) Num triângulo retângulo os catetos medem 8 cm 
e 6 cm; a hipotenusa mede: 
 
 
a) 5 cm 
b) 14 cm 
c) 100 cm 
d) 10 cm 
 
 
2) Num triângulo retângulo os catetos medem 5 cm 
e 12 cm. A hipotenusa mede: 
a) 13cm b) 17 cm c) 169 cm d) 7 cm 
3) O valor de x na figura abaixo é: 
 
Respostas: 1) d 2) a 3) x = 3 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO TRIÂNGU-
LO RETÂNGULO 
Vamos observar o triângulo retângulo ABC (reto em 
A). 
 
 
Nos estudos que faremos nesta unidade, se faz ne-
cessário diferenciar os dois catetos do triângulo. Usa-
mos para isso a figura que acabamos de ver. 
 
Tomando como referência o ângulo E. dizemos que: 
• AC é o cateto oposto de B: 
• AB é o cateto adjacente ao ângulo B. 
 
 
Tomando como referência o ângulo C, dizemos que: 
• AC o cateto adjacente ao ângulo C; 
• AB é o cateto oposto ao ângulo C. 
 
Razões trigonométricas 
Num triângulo retângulo, chama-se seno de um ân-
gulo agudo o número que expressa a razão entre a 
medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da 
hipotenusa. 
 
O seno de um ângulo o indica-se por sen α. 
 
a
b
 B sen 
hipotenusa da medida
B a oposto cateto do medida
 B sen =⇒= 
 
a
c
 Csen 
hipotenusa da 
C a oposto cateto do medida
 Csen =⇒=
medida
 
 
Num triângulo retângulo, chama-se cos-
seno de um ângulo agudo o número que 
expressa a razão entre a medida do cateto 
adjacente ao ângulo e a medida da hipote-
nusa. 
 
O cosseno de um ângulo a indica-se por cos α. 
 
a
c
 B cos 
hipotenusa da medida
B a adjacente cateto do medida
 B cos =⇒= 
 
a
b
 C cos 
hipotenusa da medida
C a adjacente cateto do medida
 C cos =⇒= 
 
Num triângulo retângulo chama-se tangente de um 
ângulo agudo o número que expressa a razão entre a 
medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacen-
te a esse ângulo. 
 
A tangente de um ângulo a indica-se por tg α 
b
c
 C tg 
C a adjacente 
C a oposto cateto
 C tg =⇒=
cateto
. 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂN-
GULO QUALQUER 
 
No triângulo da figura destacamos: 
• h1 : medida de altura relativa ao lado BC: 
• h2 : medida da altura relativa ao lado AB, 
 
no ∆ retângulo ABH1 ( H1 é reto): 
B sen ch 
c
h
 B sen 11 ⋅=⇒= 
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No ∆ retângulo ACH1 ( H1 é reto): 
C h 
b
h
 Csen 11 senb ⋅=⇒= 
 
Comparando 1 e 2. temos: 
 c . sen B = b . sen C 
B sen
b
C sen
c
 =⇒ 
 
No ∆ retângulo BCH2 ( H é reto): 
 sen B = 22 h a
h
⇒ = a . sen B 
 
No ∆ retângulo ACH2 (H é reto): 
sen A = 22 h b
h
⇒ = b . sen A 
 
Comparando 4 e 5, temos: 
 a . sen B = b . sen A 
B sen
b
 Asen
a=⇒ 
 
Comparando 3 e 5. temos: 
C sen
c
B sen
b
 Asen
a
 == 
 
 Observação: A expressão encontrada foi desen-
volvida a partir de um triângulo acutângulo. No entanto, 
chegaríamos à mesma expressão se tivéssemos parti-
do de qualquer triângulo. Daí temos a lei dos senos: 
C sen
c
B sen
b
 Asen
a
 == 
 
Exemplo: No triângulo da figura calcular a medida x: 
 
 
Resolução: 
Pela lei dos senos: 
2
3
x
2
2
8
 
60 sen
x
45 sen
8
 =⇒
°
=
°
 
 
2
2
.
2
38
2
2
2
38
=⇒=⇒ x
x
 
 6 4 x 
2
68
 x ` =⇒=⇒ 
 
LEI DOS COSENOS 
1. No triângulo acutângulo ABC, temos b2 = a2 + 
c2 - 2am 
 
No triângulo retângulo ABH. temos: cos B = 
c
m
 ⇒ 
m = C . cos b 
 
Substituindo 2 em 1: b2 = a2 + c2 - 2ac . cos B 
 
A expressão foi mostrada para um triângulo acutân-
gulo. Vejamos, agora, como ela é válida, também. para 
os triângulos obtusângulos: 
 
No triângulo obtusângulo ABC, temos: b2 = a2 + c2 
+ 2am 
 
 
No triângulo retângulo AHB. temos: cos ( 180º – B) 
= 
c
m
 
 
Como cos (180º – B) = – cos B, por uma propriedade 
não provada aqui, temos que: 
– cos B = 
c
m
 ⇒ m = – c . cos B 
 
Substituindo 2 em 1, temos: 
 b2 = a2 + c2 + 2 . a .( –c . cos B ) 
 
b2 = a2 + c2 – 2 a c . cos B 
 
Dai a lei dos cosenos: 
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a2 = b2 + c2 – 2 b . c . cos A 
b2 = a2 + c2 – 2 a . c . cos B 
c2 = a2 + b2 – 2 a . b . cos C 
 
Exemplo: 
No triângulo abaixo calcular a medida de b 
 
Resolução: Aplicando ao triângulo dado a lei dos 
cosenos: 
b2 = 102 + 62 – 2 . 10 . 6 . cos 60º 
b2 = 100 + 36 – 120 . 
2
1
 
b2 = 76 ⇒ b = 76 ⇒ b = 192 
 
Exercícios 
Resolva os seguintes problemas: 
 
1) Num triângulo ABC, calcule b e c, sendo Aˆ = 30º, 
Bˆ = 45º e a = 2cm 
 
2) Num triângulo ABC, calcule Aˆ e Cˆ , sendo Bˆ = 
105º, b = 
2
2
 cm e c = 
2
26 −
 cm. 
 
3) Calcule o perímetro do triângulo abaixo: 
 
 
4) Calcule x na figura: 
 
5) Calcule Aˆ e Cˆ num triângulo ABC onde b = 1, c 
= 3 +1 e Bˆ = 15º. 
 
6) Calcule a num triângulo ABC, onde b = 4 cm, c = 
3 cm e Aˆ = 30º. 
 
7) Calcule as diagonais de um paralelogramo cujos 
lados medem 6cm e 2 cm e formam um ângulo de 
45º. 
 
8) Calcule a área de um triângulo ABC, sabendo 
que o lado AB mede 2cm, o lado BC mede 5cm e que 
esses lados formam entre si um ângulo de 30º. 
 
9) Calcule a medida da diagonal maior do losango 
da figura abaixo: 
 
 
Respostas 
1) b = 2 2 cm, c = 6 + 2 cm 
2) Aˆ = 30º ; Cˆ = 45º 
3) ( 2 3 + 6 – 2 ) cm 
4) x = 100 2 cm 
5) Cˆ = 45º; Aˆ = 120º 
6) a = 7 cm 
7) d1 = 26 ; d2 = 50 
8) 2,5 cm2 
9) 108 cm 
 
ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 
 
RETÂNGULO 
 
A = b . h 
 
A = área b = base h = altura 
 
Perímetro: 2b + 2h 
Exemplo 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual a área de um retângulo cuja altura é 2 cm e 
seu perímetro 12 cm? 
Solução: A = b. h 
 
 h = 2 cm 
 2 + b + 2 + b = 12 
 2 b + 4 = 12 
 2b = 12 - 4 
 
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2b = 8 
 b = 8 ÷ 2=4 
 b =4cm 
A = 4 . 2 
A = 8 cm2 
 
QUADRADO 
 
PERÍMETRO: L + L + L + L = 4L 
Área do quadrado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
Qual a área do quadrado de 5 cm de lado? 
Solução: A = l2 
 l = 5 cm 
 A = 52 
 A = 25 cm2 
 
PARALELOGRAMO 
 
A = área do paralelogramo: 
 
 
 
 
 
 
Perímetro: 2b + 2h 
 
Exemplo 3 
A altura de um paralelogramo é 4 cm e é a 
metade de sua base. Qual é suá área ? 
Solução: A = b .h 
 h = 4cm 
 b = 2 . h 
 b = 2 . 4 = 8cm 
 A = 8 . 4 A = 32 m2 
 
TRIÂNGULO 
 
Perímetro: é a soma dos três lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área do triângulo: 
 
 
 
 
Exemplo 4: 
A altura de um triângulo é 8 cm e a sua base é a 
metade da altura. Calcular sua área. 
Solução: A = b h
2
⋅
 
 h = 8cm 
 b = h
2
8
2
4= = cm 
 
2
4 8
 = 
⋅A 
 A = 16 m2 
 
TRAPÉZIO 
 
Perímetro: B + b + a soma dos dois lados. 
 
Área do trapézio: 
B = base maior 
b = base menor 
h = altura 
 
Exemplo 5: 
Calcular a área do trapézio de base maior de 6 cm, 
base menor de 4 cm. e altura de 3 cm. 
Solução: 
( )
2
 b +B
 =A 
h⋅
 
B = 6 cm 
b = 4 cm 
h = 3 cm 
( )A = 6 + 4 ⋅ 3
2
 
A = 15 cm2 
 
LOSANGO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D= diagonal maior 
d = diagonal menor 
Perímetro = é a soma dos quatro lados. 
 Área do losango: 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: 
 
A = = 2 l l l⋅ 
A = B . H 
A = b h
2
⋅
 
A = D d
2
⋅
 
 
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Calcular a área do losango de diagonais 6 cm 
e 5 cm. 
Solução: A = D d
2
⋅
 
 A = 6 5
2
⋅
 
 A = 15 cm2 
 
CIRCULO 
 
Área do círculo: 
 
 
 
 
A = área do círculo 
R = raio 
pi = 3,14 
 
Exemplo 7 
O raio de uma circunferência é 3 cm. Calcular a sua 
área. 
A = R2pi 
A = 3,14 . 32 
A = 3,14 . 9 
A = 28,26 cm2 
 
Geometria no Espaço 
 
1. PRISMAS 
 
São sólidos que possuem duas faces apostas 
paralelas e congruentes denominadas bases. 
 
l
a = arestas laterais 
 h = altura (distância entre as bases) 
 
 
 
Cálculos: 
bA = área do polígono da base. 
l
A = soma das áreas laterais. 
 
 (área total). 
 
 
 (volume) 
 
1.1 – Cubo 
 
O cubo é um prisma onde todas as faces são 
quadradas. 
 
 (área total) 
 
 
 (volume) 
 
a = aresta 
 
 
Para o cálculo das diagonais teremos: 
 
 (diagonal de uma face) 
 
 
 (diagonal do cubo) 
 
 
1.2 - Paralelepípedo reto retângulo 
 
 
dimensões a, b, c 
 (área total) 
 
 
(volume) 
 
 (diagonal) 
 
 
2. PIRÂMIDES 
São sólidos com uma base plana e um vértice fora 
do plano dessa base. 
 
 
Para a pirâmide temos: 
bA = área da base 
l
A = álea dos triângulos faces laterais 
 
 
(área total) 
A = R2pi 
bT AAA 2+= l 
V = Ab . h 
AT = 6 . a2 
V = a3 
2ad = 
3aD = 
AT = 2 ( ab + ac + bc ) 
V = abc 
222 cbaD ++= 
bT AAA += l 
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 (volume) 
 
 
 
 
2.1 - Tetraedro regular 
 
É a pirâmide onde todas as faces são triângulos 
equiláteros. 
 
 
Tetraedro de aresta a : 
 
 
 ( altura ) 
 
 
 
(área total) 
 
 
 ( volume ) 
 
 
 
3. CILINDRO CIRCULAR RETO 
 
As bases são paralelas e circulares; possui uma 
superfície lateral. 
 
 
 
 ( área da base) 
 
 
 
 ( área lateral ) 
 
 
 ( área total ) 
 
 
 
 ( volume ) 
 
 
 
3.1 - Cilindro equilátero 
 
Quando a secção meridiana do cilindro for 
quadrada, este será equilátero. 
 
Logo: 
 
32
222
2
22
642
422
RRRV
RRRA
RRRA
T
pipi
pipipi
pipi
=⋅=
=+⋅=
=⋅=
l
 
 
 
4. CONE CIRCULAR RETO 
 
 g é geratriz. 
 
 ∆ ABC é secção meridiana. 
 
 
g2 = h2 + R2 
RgA pi=
l
 (área lateral) 
2RA b pi= (área da base) 
 
bT AAA += l (área total) 
 
 
(volume) 
 
 
4.1 - Cone equilátero 
 
Se o ∆ ABC for equilátero, o cone será deno- 
minado equilátero. 
hAV b ⋅= 3
1
 
3
6ah = 
32aA T = 
12
23aV = 
2RA b pi= 
hRA ⋅= pi2
l
 
l
AAA bT += 2 
hAV b ⋅= 
hAv b ⋅⋅= 3
1
 
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3Rh = (altura) 
2RA b pi= (base) 
222 RRRA pipi =⋅=
l
(área lateral) 
23 RA T pi= (área total) 
 
 (volume)
 
 
 
 
5. ESFERA 
 
 
 
 
 
Perímetro do círculo maior: 2pi R 
 
Área da superfície: 4pi R2 
 
 
Volume: 
 
 
 
Área da secção meridiana: pi R2. 
 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS 1 
 
1) Os 3/4 do valor do suplemento de um angulo de 
60° são: 
a) 30° b) 70º c) 60º d) 90º e) 100º 
 
2) A medida de um ângulo igual ao dobro do seu 
complemento é: 
a) 60° b) 20º c) 35º d) 40º e) 50° 
 
3) O suplemento de 36°12'28" é: 
a) 140º 27’12” b) 143°47'32" 
c) 143°57'42" d) 134°03'03" 
e) n.d.a. 
 
4) número de diagonais de um polígono convexo de 
7 lados é: 
a) 6 b) 8 c) 14 d) 11 e) 7 
 
5) O polígono que tem o número de lados igual ao 
número de diagonais é o: 
a) quadrado b) pentágono 
c) hexágono d) de15 lados 
e) não existe 
 
6) O número de diagonais de um polígono convexo é 
o dobro do número de vértices do mesmo. Então o 
número de lados desse polígono é: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7 
 
7) A soma dos ângulos internos de um pentágono é 
igual a: 
a) 180° b) 90° c) 360° 
d) 540° e) 720° 
 
8) Um polígono regular tem 8 lados; a medida de um 
dos seus ângulos internos é: 
a) 135° b) 45° c) 20° 
d) 90° e) 120° 
 
9) O encontro das bissetrizes internas de um 
triângulo é o: 
a) bicentro 
b) baricentro 
c) incentro 
d) metacentro 
e) n.d.a. 
 
10) As medianas de um triângulo se cruzam num 
ponto, dividindo-se em dois segmentos tais que 
um deles é: 
a) o triplo do outro 
b) a metade do outro 
c) um quinto do outro 
d) os 
3
2 do outro 
e) n.d.a. 
 
11) Entre os.critérios abaixo, aquele que não garante a 
congruência de triângulos é: 
a) LLL b) ALA c) LAAO d) AAA 
e) LAL 
 
12) O menor valor inteiro para o terceiro lado de um 
triângulo, cujos outros dois medem 6 e 9, será: 
a) 4 b) 10 c) 6 d) 7 e) 1 
 
13) Num paralelogramo de perímetro 32cm e um dos 
lados10cm, a medida para um dos outros lados é: 
a) 6 cm b) 12 cm c) 20 cm 
d) 22 cm e) 5 cm 
 
RESPOSTAS AOS EXERCICIOS PROPOSTOS 
1) d 
2) a 
6) e 
7) d 
11) d 
12) a 
3
3
1 3RV pi= 
3
3
4 Rpi 
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3) b 
4) c 
5) b 
8) a 
9) c 
10) b 
 
13) a 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2 
 
 
 
1) Na figura 
AB = 4 cm BC = 6 cm MN = 8 cm 
Então, NP vale: 
a) 10 cm b) 8 cm c) 1 2 cm d) 6 cm 
e) 9 cm 
 
2) Com as retas suportes dos lados (AD e BC) não 
paralelos do trapézio ABCD, construímos o ∆ ABE. 
Sendo AE = 12 cm; AD = 5 cm; BC = 3 cm. O valor de 
BE é: 
a) 6,4cm b) 7,2 cm c) 3,8 cm d) 5,2 cm e) 8,2cm 
 
3) O lado AB de um ∆ ABC mede 16 cm. Pelo ponto D 
pertencente ao lado AB, distante 5 cm de A, constrói-
se paralela ao lado BC que encontra o lado AC em E 
a 8 cm de A. A medida de AC é: 
a) 15,8 cm b) 13,9 cm c) 22,6 cm 
d) 25,6 cm e) 14 cm 
 
4) A paralela a um dos lados de um triângulo divide os 
outros dois na razão 3/4. Sendo 21cm e 42 cm as 
medidas desses dois lados. O maior dos segmentos 
determinado pela paralela mede: 
a) 9cm b) 12cm c) 18 cm 
d) 25 cm e) 24 cm 
 
5) Num trapézio os lados não paralelos prolongados 
determinam um triângulo de lados 24 dm e 36 dm. O 
menor dos lados não paralelos do trapézio mede 10 
dm. O outro lado do trapézio mede: 
a) 6 dm b) 9 dm c) 10 dm 
d) 13 dm e) 15 dm 
 
6) Num triângulo os lados medem 8 cm; 10 cm e 15 cm. 
O lado correspondente ao menor deles, num segundo 
triângulo semelhante ao primeiro, mede 16cm. O 
perímetro deste último triângulo é: 
a) 60 cm b) 62 cm c) 66 cm 
d) 70 cm e) 80 cm 
 
7) Dois triângulos semelhantes possuem os seguintes 
perímetros: 36 cm e 108 cm. Sendo 12 cm a medida 
de um dos lados do primeiro, a medida do lado 
correspondente do segundo será: 
a) 36 cm b) 48 cm c) 27 cm 
d) 11 cm e) 25 cm 
 
8) A base e a altura de um retângulo estão na razão 
5
12
 
. Se a diagonal mede 26cm, a base medida será: 
a) 12 cm b) 24 cm c) 16 cm 
d) 8 cm e) 5 cm 
 
9) A altura relativa à hipotenusa de um triângulo mede 
14,4 dm e a projeção de um dos catetos sobre a 
mesma 10,8 dm. O perímetro do triângulo é: 
a) 15 dm b) 32 dm c) 60 dm 
d) 72 dm e) 81 dm 
 
10) A altura relativa à hipotenusa de um triângulo 
retângulo de catetos 5 cm e 12 cm, mede: 
a) 4,61cm b) 3,12 cm c) 8,1 cm 
d) 13,2 cm e) 4 cm 
 
11) Duas cordas se cruzam num círculo. Os segmentos 
de uma delas medem 3 cm e 6 cm; um dos 
segmentos da outra mede 2 cm. Então o outro 
segmento medirá: 
a) 7 cm b) 9 cm c) 10 cm 
d) 11 cm e) 5 cm 
 
RESPOSTAS AOS EXERCICIOS PROPOSTOS 
1) c 
2) b 
3) d 
4) e 
5) e 
6) c 
7) a 
8) b 
9) d 
10) a 
11) b 
 
TRIGONOMETRIA 
O papel da Trigonometria 
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gre-
gos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu 
significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim atra-
vés do estudo da Trigonometria podemos calcular as medi-
das dos elementos do triângulo (lados e ângulos). 
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular 
distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura 
de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, 
largura de um rio, entre outras. 
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que 
além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo 
de fenômenos físicos, Eletricidade,Mecânica, Música, Topo-
grafia, Engenharia entre outros. 
PONTO MÓVEL SOBRE UMA CURVA 
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um 
ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente di-
zemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mes-
ma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado 
sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel. 
Um ponto móvel localiza-
do sobre uma circunferência, 
partindo de um ponto A pode 
percorrer esta circunferência 
em dois sentidos opostos. Por 
convenção, o sentido anti-
horário (contrário aos pontei-
ros de um relógio) é adotado 
como sentido positivo. 
 
Arcos da circunferência 
Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e 
parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem 
do arco e M é a extremidade do arco. 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 42
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco 
é denominado arco orientado e simplesmente pode ser deno-
tado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA 
quando o sentido de percurso for de B para A. 
Quando não consideramos a orientação dos arcos forma-
dos por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos 
dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades. 
 
Medida de um arco 
A medida de um arco de circunferência é feita por compa-
ração com um outro arco da mesma circunferência tomado 
como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento 
unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de ve-
zes que o arco u cabe no arco AB. 
Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a 
medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por 
m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u). 
A medida de um arco 
de circunferência é a mes-
ma em qualquer um dos 
sentidos. A medida algébri-
ca de um arco AB desta 
circunferência, é o compri-
mento deste arco, associa-
do a um sinal positivo se o 
sentido de A para B for 
anti-horário, e negativo se 
o sentido for horário. 
 
O número pi 
Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o di-
âmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra 
grega pi, que é um número irracional, isto é, não pode ser 
expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma a-
proximação para o número pié dada por: 
pi = 3,1415926535897932384626433832795... 
Unidades de medida de arcos 
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional 
(SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos 
técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito 
comum. 
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo compri-
mento que o raio da circunferência na qual estamos medindo 
o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento 
igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos 
por 1 rad. 
 
 
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do ar-
co completo da circunferência na qual estamos medindo o 
arco. 
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco 
completo da circunferência na qual estamos medindo o arco. 
Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um 
arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência 
de raio medindo 8 cm, fazemos, 
m(AB)= 
comprimento do arco(AB) 
 
comprimento do raio 
= 
12 
 
8 
Portanto m(AB)=1,5 radianos 
Arcos de uma volta 
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma 
circunferência, a medida do arco é igual a C=2pir, então: 
m(AB)= 
comprimento do arco(AB) 
 
comprimento do raio 
= 
2pir 
 
r 
= 2pi 
Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 
2pi rad, isto é, 
2pi rad=360 graus 
Podemos estabelecer os resultados seguintes 
Desenho 
 
 
 
 
Grau 90 180 270 360 
Grado 100 200 300 400 
Radiano pi/2 pi 3pi/2 2pi 
0 graus = 0 grado = 0 radianos 
MUDANÇA DE UNIDADES 
Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta 
medida corresponde a G graus. A relação entre estas medi-
das é obtida pela seguinte proporção, 
2 pirad …………… 360 graus 
 R rad …………… G graus 
Assim, temos a igualdade R/2pi=G/360, ou ainda, 
R 
 
 
= 
G 
 
180 
Exemplos 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 43
Para determinar a medida em radianos de um arco de medi-
da 60 graus, fazemos 
R 
 
 pi 
= 
60 
 
180 
Assim R=pi/3 ou 60 graus=pi/3 rad 
Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 
radiano, fazemos: 
1 
 
pi 
= 
G 
 
180 
Asim 1 rad=180/pi graus. 
TRIGONOMETRIA: EXERCÍCIOS SOBRE ELEMENTOS 
GERAIS 
Um arco AB de uma circunferência tem comprimento L. Se o 
raio da circunferência mede 4 cm, qual a medida em ra-
dianos do arco AB, se: 
(a) L=6cm (b) L=16cm (c) L=22cm (d) L=30cm 
Resposta: 
A medida em radianos de um arco AB é dada por 
m(AB)= 
comprimento do arco(AB) 
 
comprimento do raio 
(a) m(AB) = ( 6cm)/( 4cm) = 1,5 rad 
(b) m(AB) = (16cm)/(4cm) = 4 rad 
(c) m(AB) = (22cm)/(4cm) = 5,5 rad 
(d) m(AB) = (28cm)/(4cm) = 7 rad 
Em uma circunferência de raio R, calcule a medida de um 
arco em radianos, que tem o triplo do comprimento do 
raio. 
Resposta: 
m(AB)= 
comprimento do arco(AB) 
 
comprimento do raio 
Assim, como o comprimento do arco é o triplo do com-
primento do raio 
m(AB) = 3R/R = 3rad 
Um atleta percorre 1/3 de uma pista circular, correndo sobre 
uma única raia. Qual é a medida do arco percorrido em 
graus? E em radianos? 
Resposta: 
Uma volta inteira na pista equivale a 360 graus, assim 
1/3 de 360 graus é 120 graus. 
Uma volta inteira na pista equivale a 2pi radianos, então o 
atleta percorreu (2/3) pi. 
Em uma pista de atletismo circular com quatro raias, a medi-
da do raio da circunferência até o meio da primeira raia 
(onde o atleta corre) é 100 metros e a distância entre ca-
da raia é de 2 metros. Se todos os atletas corressem até 
completar uma volta inteira, quantos metros cada um dos 
atletas correria? 
 
Resposta: 
Para simplificar os resultados supomos pi=3,1415 e e-
numeramos as raias de dentro para fora como C1, C2, 
C3, C4 e C5. 
A primeira raia C1 tem raio de medida 10 m, então: 
m(C1)=2pi100=200pi=200 x 3,1415=628,3 metros 
A raia C2 tem raio de medida 12 m, então: 
m(C2)=2pi102=204pi=204 x 3,1415=640,87 metros 
A raia C3 tem raio de medida 14 m, então: 
m(C3)=2pi104=208pi=208 x 3,1415=653,43 metros 
A raia C4 tem raio de medida 16 m, então: 
m(C4)=2pi106=212pi=212 x 3,1415=665,99 metros 
Qual é a medida (em graus) de três ângulos, sendo que a 
soma das medidas do primeiro com o segundo é 14 
graus, a do segundo com o terceiro é 12 graus e a soma 
das medidas do primeiro com o terceiro é 8 graus. 
 
Resposta: 
Sejam a, b e c os três ângulos, assim 
m(a)+m(b)=14 graus 
m(b)+m(c)=12 graus 
m(a)+m(c)= 8 graus 
resolvendo o sistema de equações, obtemos: 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização44
m(a)=5 graus 
m(b)=9 graus 
m(c)=3 graus 
Qual é a medida do ângulo que o ponteiro das horas de um 
relógio descreve em um minuto? Calcule o ângulo em 
graus e em radianos. 
Resposta: 
O ponteiro das horas percorre em cada hora um ângulo 
de 30 graus, que corresponde a 360/12 graus. Como 1 
hora possui 60 minutos, então o ângulo percorido é igual 
a a=0,5 graus, que é obtido pela regra de três: 
60 min ………………… 30 graus 
1 min ………………… a graus 
Convertemos agora a medida do ângulo para radianos, 
para obter a=pi/360 rad, através da regra de três: 
180graus ………………… pirad 
0,5 graus ………………… a rad 
Os dois ponteiros de um relógio se sobrepoem à 0 horas. Em 
que momento os dois ponteiros coincidem pela primeira 
vez novamente? 
Resposta: 
O ponteiro dos minutos percorre 360° enquanto o pontei-
ro das horas percorre 360°/12=30º. Até 1:00h os pontei-
ros não se encontraram, o que ocorrerá entre 1:00h e 
2:00h. 
 
Consideraremos a situação original à 1:00h, deste instan-
te até o momento do encontro o ponteiro dos minutos des-
locou aº e o ponteiro das horas deslocou (a-30)º, como 
está na figura, assim: 
Ponteiro dos minutos ponteiro das horas 
360º 30º 
aº (a-30)º 
Pela tabela, tem-se que: 360(a-30)=30.a, de onde segue 
que 330a=10800e assim podemos concluir que 
a=32,7272º 
O ponteiro dos minutos deslocou 32,7272º após 1:00h, 
mas ainda precisamos verificar quantos minutos corres-
ponde este ângulo. 
5 min ………………… 30 graus 
x min …………… 32,7272 graus 
A regra de três fornece x=5,4545'=5'27,27''. Assim, os 
ponteiros coincidem novamente após às 12:00h à 1 ho-
ra,5 minutos e 27,27 segundos 
Calcular o menor ângulo formado pelos ponteiros de um 
relógio que marca 12h e 20minutos. 
Resposta: 
O ponteiro das horas 
percorre em cada hora um 
ângulo de 360/12 graus = 
30 graus. Em vinte minutos 
ele percorre o ângulo a 
60 min ……… 30 graus 
20 min ……… a graus 
 
A regra de três fornece a=10 graus, logo o ângulo forma-
do entre os números 12 e 4 é de 120 graus, então o ân-
gulo entre os ponteiros é 120-10=110 graus. 
Em um polígono regular um ângulo externo mede pi/14 rad. 
Quantos lados tem esse polígono? 
28 lados 
Escreva o ângulo a=12°28' em radianos. 
Resposta: 
Usando o fato de que 1 grau possui 60 minutos, temos 
1 grau …………… 60 minutos 
x graus …………… 28 minutos 
A regra de três garante que x=28/60=0,4666 grause des-
se modo segue que 12° 
28'=(12+28/60)°=12+0,4666=12,4666° 
Representando por M a medida do ângulo em radianos, 
temos 
180°……………pi rad 
12,4666°……………M rad 
e da regra de três segue que: 
M=12,4666. pi/180=0,2211 rad 
Escreva o ângulo a=36°12'58" em radianos. 
Resposta: 
Usando o fato de que 1 minuto possui 60 segundos, te-
mos 
1 min ……………60 segundos 
x min ……………58 segundos 
x=58/60=0,967 min, logo 
36°12'58''=36°(12+0,967)'=36°12,967' 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 45
Como 1 grau corresponde a 60', então: 
1 grau ……………60 minutos 
x graus ……………12,967 minutos 
x=12,967/60=0,2161° e 
36°12'58''=(36+0,2161)°=36,2161° 
A medida M do ângulo em radianos, é 
M=36,2161°.pi/180=0,6321 rad, que foi obtida como solu-
ção da regra de três: 
180° ……………pi rad 
36,2161° ……………M rad 
Dados os ângulos x=0,47623rad e y=0.25412rad, escreva-os 
em graus, minutos e segundos. 
Resposta: 
(a)Considere a seguinte regra de três, 
180°…………………pi rad 
x……………0,47623 rad 
Assim: x=0,47623 . 180/pi 
=27,2911°=27°17,466'=27°17'27'' 
(b) Analogamente obtemos: 
y=0.25412×180/pi=14,56°=14°33,6'=14°33'36'' 
Em uma circunferência de raio r, calcular a medida do arco 
subtendido pelo ângulo A em cada caso: 
 
a. A=0°17'48" r = 6,2935cm 
b. A=121°6'18" r = 0,2163cm 
Resposta: 
(a) Primeiro convertemos o ângulo para radianos para 
obter: 
a=0°17'48''=0°(17+48/60)'=(0+17,8)'=(0+17,8/60)°=0,296
7° 
Com a regra de três: 
180°……………pi rad 
0,2967°………… a rad 
obtemos a=0,2967. pi/180=0,0051778 rad e como a me-
dida do arco é dada pela medida do ângulo(rad) x medi-
da do raio, temos que medida do ar-
co=0,0051778×6,2935 = 0,03286cm 
(b) Analogamente, a = 121° 6' 18'' =121,105°. Em radia-
nos, a medida do ângulo se torna a=121,105 
pi/180=2,1137rad 
Assim, a medida do arco= 
2,1137×0,2163=0,4572cm 
Em uma circunferência de centro O e raio r, calcule a medida 
do ângulo AÔB subtendido pelo arco AB nos seguintes 
casos. 
a. AB = 0,16296 cm 
 r = 12,587cm. 
b. AB = 1,3672cm 
 r = 1,2978cm. 
 
Resposta: 
(a) A medida do ângulo AÔB é dada pelo comprimento 
de AB dividido pelo comprimento do raio, assim 
m(AÔB)=0,16296/12,587=0,012947 rad = 0° 44' 30'' 
(b) Analogamente: 
m(AÔB)=1,3672/1,2978=1,0535rad=60,360°=60°21,6'=6
0°21'35'' 
Em uma circunferência, dado o comprimento do arco AB e o 
ângulo AÔB subtendido a este arco, calcule a medida do 
raio. 
AÔB=0°44'30" AB=0,032592cm 
AÔB=60°21'6" AB=0,4572cm 
Resposta: 
a. Primeiramente devemos exprimir o ângulo em radia-
nos. 
AÔB = 0° 44' 30''=0,7417° = 0,7417 x pi/180 = 0,01294 
rad 
A medida do raio é dada pelo comprimento de AB dividi-
do por m(AÔB), logo: 
comprimento do raio = 0,032592/0,01294 = 2,518 cm 
b. Analogamente, 
AÔB=60°21'6''=60,3517°=60,3517× /180=1,0533rad 
comprimento do raio = 
0,4572/1,0533=0,4340cm 
Círculo Trigonométrico 
Considere uma circunferência de raio unitário com centro 
na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto 
A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos 
orientados nesta circunferência e o sentido positivo conside-
rado será o anti-horário. A região contendo esta circunferên-
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cia e todos os seus pontos interiores, é denominada círculo 
trigonométrico 
. 
Nos livros de língua inglesa, a palavra círculo se refere à 
curva envolvente da região circular enquanto circunferência 
de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência 
é a curva que envolve a região circular. 
Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico 
em quatro quadrantes que são enumerados como segue: 
2º. quadrante 
abscissa: negativa 
ordenada: positiva 
90º<ângulo<180º 
 
1º. quadrante 
abscissa: positiva 
ordenada: positiva 
0º<ângulo<90º 
3º. quadrante 
abscissa: negativa 
ordenada: negati-
va 
180º<ângulo<270º 
4º. quadrante 
abscissa: positiva 
ordenada: negati-
va 
270º<ângulo<360º 
Os quadrantes são usados para localizar pontos e a ca-
racterização de ângulos trigonométricos. Por convenção, os 
pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um 
dos quadrantes. 
Arcos com mais de uma volta 
Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar 
arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Por exem-
plo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma cir-
cunferência no sentido anti-horário e para em um ponto M, 
ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) 
poderá ser menor ou igual a 360º ou ser maior do que 360º. 
Se esta medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este 
arco está em sua primeira determinação. 
 
Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunfe-
rênciauma ou mais vezes em um determinado sentido, antes 
de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 
360º ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade 
de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto 
A e cuja extremidade é o ponto M. 
Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida 
igual a m. Um ponto móvel que parte de A e pare em M, pode 
ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso. 
 
Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferên-
cia trigonométrica será extremidade de uma infinidade de 
arcos positivos de medidas 
m, m+2pi, m+4pi, m+6pi, ... 
Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de 
uma infinidade de arcos negativos de medidas algébricas 
m-2pi, m-4pi, m-6pi, ... 
e temos assim uma coleção infinita de arcos com extremi-
dade no ponto M. 
Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira 
determinação positiva do arco AM, podemos representar as 
medidas destes arcos por: 
µ(AM) = m + 2kpi 
onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto 
Z={...,-2,-3,-1,0,1,2,3,...}. 
Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto 
de todos os arcos com ponto inicial em A e extremidade em 
M. 
Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A 
e extremidade em M, com a primeira determinação positiva 
medindo 2pi/3, então os arcos desta família {AM}, medem: 
Determinações positivas (sentido anti-horário) 
k=0 µ(AM)=2pi/3 
k=1 µ(AM)=2pi/3+2pi=8pi/3 
k=2 µ(AM)=2pi/3+4pi=14pi/3 
k=3 µ(AM)=2pi/3+6pi=20pi/3 
... ... 
k=n µ(AM)=2pi/3+2npi=(2+6n) pi/3 
 
Determinações negativas (sentido horário) 
k=-1 µ(AM)=2pi/3-2pi=-4pi/3 
k=-2 µ(AM)=2pi/3-4pi=-6pi/3 
k=-3 µ(AM)=2pi/3-6pi=-16pi/3 
k=-4 µ(AM)=2pi/3-8pi=-22pi/3 
... ... 
k=-n µ(AM)=2pi/3-2npi=(2-6n) pi/3 
Arcos côngruos e Ângulos 
Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença 
de suas medidas é um múltiplo de 2pi. 
Exemplo: Arcos de uma mesma família são côngruos. 
Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de 
arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vez que a 
cada arco AM da circunferência trigonométrica corresponde a 
um ângulo central determinado pelas semi-retas OA e OM. 
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Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângu-
los orientados um positivo (sentido anti-horário) com medida 
algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo 
(sentido horário) com medida b=a-2pi correspondente ao arco 
AM. 
Existem também ângulos com 
mais de uma volta e as mesmas 
noções apresentadas para arcos 
se aplicam para ângulos. 
 
Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo 
OX 
Sejam os arcos AM e 
AM' na circunferência trigo-
nométrica, com A=(1,0) e 
os pontos M e M' simétricos 
em relação ao eixo horizon-
tal OX. Se a medida do 
arco AM é igual a m, então 
a medida do arco AM' é 
dada por: µ(AM')=2pi-m. 
 
Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e 
extremidades em M, têm medidas iguais a 2kpi+m, onde k é 
um número inteiro e os arcos da família {AM'} têm medidas 
iguais a 2kpi-m, onde k é um número inteiro. 
Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo 
OY 
Sejam os arcos AM e AM' 
na circunferência trigonomé-
trica com A=(1,0) e os pontos 
M e M' simétricos em relação 
ao eixo vertical OY. Se a 
medida do arco AM for igual a 
m, então a medida do arco 
AM' será dada pela expressão 
µ(AM')= pi-m. 
Os arcos da família {AM'}, isto é, aqueles com origem em 
A e extremidade em M', medem 2kpi+pi-m=(2k+1) pi-m onde k 
é um número inteiro. 
Arcos com a mesma origem e extremidades simétricas 
em relação à origem 
Sejam os arcos AM e AM' na 
circunferência trigonométrica com 
A=(1,0) e os pontos M e M' simé-
tricos em relação a origem (0,0). 
Se a medida do arco AM é i-
gual a m, então a medida do arco 
AM' é dada por: µ(AM')= pi+m. 
Arcos genéricos com origem em A 
e extremidade em M' medem: 
 
 
µ(AM') = 2k pi+ pi+ m = (2k+1) pi + m 
Trigonometria: Exercícios sobre o círculo trigonométri-
co 
Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de ar-
cos de mesma extremidade que o arco A de medida: 
A= 810 graus. 
Resposta: 
Para o arco de 810° devemos obter quantas voltas com-
pletas este arco tem pois 810°>360°. Dividindo 810 por 
360, obteremos: 
810 360 
90 2 
Este resultado significa que precisaremos dar duas voltas 
completas e mais 90° para completarmos o arco de 810°. 
Assim a primeira determinação positiva será 90°. 
Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de ar-
cos de mesma extremidade que o arco A de medida A=-
2000 graus. 
Resposta: 
 
 
Para o arco de medida -2000° 
devemos obter quantas voltas 
completas este arco tem pois 
2000°>360°. Dividindo 2000° por 
360° teremos. 
 
2000 360 
20 5 
Como a orientação é negativa, o ponto móvel se desloca 
no sentido horário. O resultado da divisão significa que o 
ponto móvel percorre a circunferência 5 vezes mais um arco 
de 20° no sentido horário, como pode ser observado na figura 
ao lado. 
A 1a. determinação positiva é dada por 360°-20°=340°. 
Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de ar-
cos de mesma extremidade que o arco de medida 38pi/3 
Respota: 
Como 2pi=6pi/3=6.( pi/3) e 38pi/3=38.( pi/3), então dividindo 
38 por 6, obtemos 6 voltas inteiras mais o resto que é 2 
Multiplicando o resto 2 por pi/3, dá a medida do ângulo 
procurado A=2pi/3 
Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de ar-
cos de mesma extremidade que o arco de medida: 
(a) A=1620° (b) A=-37pi/3 (c)A=-600° (d) A=125pi/11 
Respota: 
a) 180 graus 
b) 5pi/3rad 
c) 336 graus 
d) 14pi/11rad 
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Unindo as extremidades dos arcos da forma (3n+2) pi/6, para 
n=0,1,2,..., obtém-se qual dos polígonos regulares? 
(a) Quadrado (b) Hexágono (c) Octógono 
Respota: 
O correto é o ítem a: Quadrado, pois tomando An como 
os arcos para n=0,1,2,..., teremos: 
A0= 5pi/6, A1= 8pi/6, A2=11pi/6, A3=14pi/6, 
A4=17pi/6=5pi/6+2pi. 
Isto quer dizer que para n=4 temos a segunda determina-
ção do arco 5pi/6 e para n>4 os arcos coincidem com os ar-
cos determinados anteriomente. 
Além disso, estes 4 pontos 
dividem a circunferência em 4 
partes iguais pois eles estão 
3pi/6=pi/2 (rad) distantes um do 
outro. 
Assim as extremidades dos 
arcos determinam um quadrado. 
 
Verifique se os arcos de medidas 7pi/3 e 19pi/3 são arcos 
côngruos? 
Respota: 
Como a diferença entre as medidas de dois arcos dados 
é: 
d=19pi/3-7pi/3=4pi 
que é um múltiplo de 2pi, então os arcos são côngruos. 
Marcar no círculo trigonométrico as extremidades dos arcos 
de medidas x=2kpi/3, onde k é um número inteiro. 
Respota: 
 
Para para cada k: x0, x1, 
x2, ... são as medidas dos 
arcos, logo: 
x0 = 0 
 x1 =2pi/3 
 x2 =4pi/3 
 x3 =6pi/3=2pi 
Marcar no círculo trigonométrico as extremidades dos arcos 
de medidas x=pi/4+2kpi/3, onde k é um número inteiro. 
Respota: 
 
Para para cada k: x0, x1, x2, ... são as medidas dos arcos, 
logo: 
x0=pi/4 
x1=pi/4+2pi/3=11pi/12 
x3=pi/4+4pi/3=19pi/12 
x4=pi/4+6pi/3=pi/4+2piSeno e cosseno 
Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto 
A=(1,0) e um número real x, existe sempre um arco orientado 
AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corres-
ponde a x radianos. 
Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunfe-
rência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja 
M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primei-
ro quadrante, este ponto determina um arco AM que corres-
ponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M 
sobre o eixo OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção 
ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto 
B=(0,y'). 
A medida do segmento 
OB coincide com a ordena-
da y' do ponto M e é defini-
da como o seno do arco 
AM que corresponde ao 
ângulo a, denotado por 
sen(AM) ou sen(a). 
 
Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, 
escreveremos 
sen(AM)=sen(a)=sen(a+2kpi)=y' 
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, es-
creveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x 
radianos. 
Cosseno: O cosseno do 
arco AM correspondente ao 
ângulo a, denotado por 
cos(AM) ou cos(a), é a 
medida do segmento 0C, 
que coincide com a abscis-
sa x' do ponto M. 
 
Como antes, existem várias determinações para este ân-
gulo, razão pela qual, escrevemos 
cos(AM) = cos(a) = cos(a+2kpi) = x' 
Tangente 
Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no 
ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. A reta 
que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência inter-
secta a reta tangente t no ponto T=(1,t'). 
A ordenada deste ponto 
T, é definida como a tan-
gente do arco AM corres-
pondente ao ângulo a. 
Assim a tangente do 
ângulo a é dada pelas suas 
várias determinações: 
 
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tan(AM) = tan(a) = tan(a+kpi) = µ(AT) = t' 
Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para 
cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a 
tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positi-
vos. 
Um caso particular importante é quando o ponto M está 
sobre o eixo horizontal OX. Neste caso: 
cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0 
Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros qua-
drantes 
Ângulos no segundo quadrante 
Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M 
no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o 
segmento OM pertence ao intervalo pi/2<a<pi. Do mesmo 
modo que no primeiro quadrante, o cosseno está relacionado 
com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste 
ponto. Como o ponto M=(x,y) possui abscissa negativa e 
ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo 
quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a 
tangente do ângulo a é negativa. 
 
Outro caso particular importante é quando o ponto M está 
sobre o eixo vertical OY e neste caso: 
cos(pi/2)=0 e sen(pi/2)=1 
A tangente não está definida, pois a reta OM não intercep-
ta a reta t, pois elas são paralelas. 
Ângulos no terceiro quadrante 
O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o 
que significa que o ângulo pertence ao intervalo: pi<a<3pi/2. 
Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro 
quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que 
tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O 
seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são 
negativos e a tangente é positiva. 
 
 
Em particular, se a=pi radianos, temos que 
cos(pi)=-1, sen(pi)=0 e tan(pi)=0 
Ângulos no quarto quadrante 
O ponto M está no quar-
to quadrante, 3pi/2<a< 2pi. 
O seno de ângulos no quar-
to quadrante é negativo, o 
cosseno é positivo e a 
tangente é negativa. 
 
Quando o ângulo mede 3pi/2, a tangente não está definida 
pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são paralelas. 
Quando a=3pi/2, temos: 
cos(3pi/2)=0, sin(3pi/2)=-1 
Simetria em relação ao eixo OX 
 
Em uma circunferência 
trigonométrica, se M é um 
ponto no primeiro quadran-
te e M' o simétrico de M em 
relação ao eixo OX, estes 
pontos M e M' possuem a 
mesma abscissa e as or-
denadas possuem sinais 
opostos. 
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo 
correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao 
arco AM', obtemos: 
sen(a) = -sen(b) 
cos(a) = cos(b) 
tan(a) = -tan(b) 
Simetria em relação ao eixo OU 
Seja M um ponto da cir-
cunferência trigonométrica 
localizado no primeiro qua-
drante, e seja M' simétrico a M 
em relação ao eixo OY, estes 
pontos M e M' possuem a 
mesma ordenada e as abscis-
sa são simétricas. 
 
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo 
correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao 
arco AM'. Desse modo: 
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sen(a) = sen(b) 
cos(a) = -cos(b) 
tan(a) = -tan(b) 
Simetria em relação à origem 
Seja M um ponto da cir-
cunferência trigonométrica 
localizado no primeiro qua-
drante, e seja M' simétrico 
de M em relação a origem, 
estes pontos M e M' possu-
em ordenadas e abscissas 
simétricas. 
 
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo 
correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao 
arco AM'. Desse modo: 
sen(a) = -sen(b) 
cos(a) = -cos(b) 
tan(a) = tan(b) 
Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis 
Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de al-
guns ângulos que aparecem com muita frequência em exer-
cícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é 
através de simples observação no círculo trigonométrico. 
 
Primeira relação fundamental 
Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza 
um papel muito importante em todas as áreas da Matemática 
e também das aplicações é: 
sin²(a) + cos²(a) = 1 
que é verdadeira para todo ângulo a. 
Necessitaremos do conceito de distância entre dois pon-
tos no plano cartesiano, que nada mais é do que a relação de 
Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x',y') e B=(x",y"). 
 
Definimos a distância entre A e B, denotando-a por 
d(A,B), como: 
D(A, B) = ( ) ( )2"2" y'yx'x −+− 
Se M é um ponto da 
circunferência trigonomé-
trica, cujas coordenadas 
são indicadas por 
(cos(a),sen(a)) e a distân-
cia deste ponto até a 
origem (0,0) é igual a 1. 
Utilizando a fórmula da 
distância, aplicada a estes 
pontos, d(M,0) = [(cos(a)-
0)²+(sen(a)-0)²]1/2, de 
onde segue que 
 1=cos²(a)+sin²(a). 
 
Segunda relação fundamental 
Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes 
tomada como a definição da função tangente, é dada por: 
tan(a) = 
sen(a) 
 
cos(a) 
Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido 
quando o denominador não se anular. 
Se a=0, a=pi ou a=2pi, temos que sen(a)=0, implicando 
que tan(a)=0, mas se a=pi/2 ou a=3pi/2, segue que cos(a)=0 e 
a divisão acima não tem sentido, assim a relação 
tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos 
valores de a. 
Para a ≠ 0, a ≠ pi, a ≠ 2pi, a ≠ pi/2 e a ≠ 3pi/2, considere no-
vamente a circunferência trigonométrica na figura seguinte. 
 
Os triângulos OMN e 
OTA são semelhantes, 
logo: 
AT 
 
MN 
= 
OA 
 
ON 
 
Como AT=|tan(a)|,MN=|sen(a)|, OA=1 e ON=|cos(a)|, pa-
ra todo ângulo a, 0<a<2pi com a ≠ pi/2 e a ≠ 3pi/2 temos 
tan(a) = 
sen(a) 
 
cos(a) 
Forma polar dos números complexos 
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Um número complexo não nulo z=x+yi, pode ser repre-
sentado pela sua forma polar: 
z = r [cos(c) + i sen(c)] 
onde r=|z|=R[x²+y²], i²=-1 e c é o argumento (ângulo for-
mado entre o segmento Oz e o eixo OX) do número comple-
xo z. 
 
A multiplicação de dois números complexos na forma po-
lar: 
A = |A| [cos(a)+isen(a)] 
B = |B| [cos(b)+isen(b)] 
é dada pela Fórmula de De Moivre: 
AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)] 
Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas 
formas trigonométricas, devemos multiplicar os seus módulos 
e somar os seus argumentos. 
Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 
e |B|=1, e nesse caso 
A = cos(a) + i sen(a) 
B = cos(b) + i sen(b) 
Multiplicando A e B, obtemos 
AB = cos(a+b) + i sen(a+b) 
Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída 
a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para todo número com-
plexo z e também para todo número real z: 
eiz = cos(z) + i sen(z) 
Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de 
Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra forma para re-
presentar números complexos unitários A e B, como: 
A = eia = cos(a) + i sen(a) 
B = eib = cos(b) + i sen(b) 
onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. As-
sim, 
ei(a+b) = cos(a+b)+isen(a+b) 
Por outro lado 
ei(a+b) = eia . eib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)] 
e desse modo 
ei(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) 
+ i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)] 
Para que dois números complexos sejam iguais, suas par-
tes reais e imaginárias devem ser iguais, logo 
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) 
sen(a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a) 
Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fór-
mulas da soma 
cos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b) 
sen(a+(-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a) 
para obter 
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) 
sen(a-b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b) 
Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença 
Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b 
com 0a2pi e 0b2pi, a>b, então; 
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b) 
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) 
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos: 
tan(a+b)= 
sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) 
 
cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b) 
Dividindo todos os quatro termos da fração por 
cos(a)cos(b), segue a fórmula: 
tan(a+b)= 
tan(a)+tan(b) 
 
1-tan(a)tan(b) 
Como 
sen(a-b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b) 
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) 
podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para 
obter: 
tan(a-b)= 
tan(a)-tan(b) 
 
1+tan(a)tan(b) 
Trigonometria: Exercícios sobre seno, cosseno e tan-
gente 
Determine o valor de sen(4290°). 
Solução: 
Dividindo 4290 por 360, obtemos: 
4290 360 
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690 
330 
11 
Assim, 4290=11.360+330, isto é, os arcos de medidas 
4290° e 330° são côngruos. Então: sen(4290°)=sen(330°)=-
1/2. 
 
Determine os valores de cos(3555°) e de sen(3555°). 
Solução: 
Dividindo 3555 por 360, obtemos 
3555 360 
315 9 
Assim, 3555=9.360+315 e isto quer dizer que os arcos de 
medidas 3555° e 315° são côngruos, logo: 
cos(3555°)=cos(315°)= 2 /2 
sen(3555°)=sen(315°)=- 2 /2 
Determine o valor de sen(-17pi/6). 
Solução: 
Como 
sen(-17pi/6)=sen(-17pi/6+4pi)=sen(7pi/6) 
Então 
sen(-17pi/6)=-1/2 
Determine o valor de cos(9pi/4). 
Solução: 
Como 
cos(9pi/4)=cos(9pi/4-2pi)=cos(pi/4) 
Então 
cos(9pi/4)= 2 /2 
Determine o valor de tan(510°). 
Solução: 
Como 
tan(510°)=tan(510°-360°)=tan(150°) 
Então 
tan(510°) = - 3 /3 
Determine o valor de tan(-35pi/4). 
Solução: 
Como 
tan(-35pi/4)=tan(-35pi/4+5.2pi)=tan(5pi/4) 
Portanto 
tan(-35pi/4)=1 
Se x está no segundo quadrante e cos(x)=-12/13, qual é o 
valor de sen(x)? 
Solução: 
Como sen²(x)+cos²(x)=1, então: 
sen²(x)+(-12/13)²=1 
sen²(x)=1-(144/169) 
sen²(x)=25/169 
Como o ângulo x pertence ao segundo quadrante, o 
sen(x) deve ser positivo, logo: 
sen(x)=5/13 
Quais são os valores de y que satisfazem a ambas as igual-
dades: 
sen(x)=(y+2)/y e cos(x)=(y+1)/y 
Solução: 
Como sen²(x)+cos²(x)=1, segue que: 
[(y+2)/y]²+[(y+1)/y]²=1 
(y²+4y+4)/y²+(y²+2y+1)/y²=1 
y²+6y+5=0 
y=3 e y=-1 
Quais são os valores de m que satisfazem à igualdade 
cos(x)=2m-1? 
Solução: 
Para que a igualdade cos(x)=2m-1 seja satisfeita, deve-
mos ter 
-1 < 2m-1 < 1 
 0 < 2m < 2 
 0 < m < 1 
Quais são os valores de m que satisfazem à igualdade 
sen(x)=2m-5? 
Solução: 
Para que a igualdade sen(x)=2m-5 seja satisfeita, deve-
mos ter 
-1 < 2m-5 < 1 
4 < 2m < 6 
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2 < m < 3 
Mostre que a função definida por f(x)=cos(x) é par, isto é, 
cos(-a)=cos(a), para qualquer a real. 
Solução: 
cos(-a) = cos(2pi-a) 
 = cos(2pi).cos(a) + sen(2pi).sen(a) 
 = 1.cos(a) + 0.sen(a) 
 = cos(a) 
Mostre que a função definida por f(x)=sen(x) é ímpar, isto é, 
sen(-a)=-sen(a), para qualquer a real. 
Solução: 
sen(-a) = sen(2pi-a) 
 = sen(2pi).cos(a) - cos(2pi).sen(a) 
 = 0 . cos(a) - 1 . sen(a) 
 = -sen(a) 
Mostre que a função definida por f(x)=tan(x) é ímpar, isto é, 
tan(-a)=-tan(a), para qualquer a real, tal que cos(a) 0. 
Solução: 
tan(-a)=sen(-a)/cos(-a)=-sen(a)/cos(a)=-tan(a) 
Se x está no terceiro quadrante e tan(x)=3/4, calcular o valor 
de cos(x). 
Solução: 
Se tan(x)=3/4, então sen(x)/cos(x)=3/4, logo: 
sen(x)=(3/4)cos(x) 
Substituindo este último resultado na relação fundamental 
da trigonometria: sen²(x)+cos²(x)=1, obtemos: 
(9/16)cos²(x)+cos²(x)=1 
Como x pertence ao terceiro quadrante, cos(x) é negativo 
e resolvendo esta equação do segundo grau, segue que: 
cos(x)=-4/5. 
Se x pertence ao segundo quadrante e sen(x)=1/ 26 , calcu-
lar o valor de tan(x). 
Solução: 
Seja sen(x)=1/ 26 . Substituindo este dado na relação 
fundamental da trigonometria: sen²(x)+cos²(x)=1, obte-
mos: 
(1/ 26 )²+cos²(x)=1 
Como x pertence ao segundo quadrante, cos(x) é negati-
vo e resolvendo a equação do segundo grau, segue que: 
cos(x)=-5/ 26 
tan(x)=(1/ 26 )/(-5/ 26 )=-1/5 
Cotangente 
Seja a reta s tangente à 
circunferência trigonométri-
ca no ponto B=(0,1). Esta 
reta é perpendicular ao 
eixo OY. A reta que passa 
pelo ponto M e pelo centro 
da circunferência intersecta 
a reta tangente s no ponto 
S=(s',1). 
A abscissa s' deste ponto, é definida como a cotangente 
do arco AM correspondente ao ângulo a. 
Assim a cotangente do ângulo a é dada pelas suas várias 
determinações 
cot(AM) = cot(a) = cot(a+2kpi) = µ(BS) = s' 
Os triângulos OBS e ONMsão semelhantes, logo: 
BS 
 
OB 
= 
ON 
 
MN 
Como a circunferência é unitária |OB|=1 
cot(a)= 
cos(a) 
 
sen(a) 
que é equivalente a 
cot(a)= 
1 
 
tan(a) 
A cotangente de ângulos do primeiro quadrante é positiva. 
Quando a=0, a cotangente não existe, pois as retas s e 
OM são paralelas. 
Ângulos no segundo quadrante 
Se o ponto M está no 
segundo quadrante, de 
modo que o ângulo perten-
ce ao intervalo pi/2<a<pi, 
então a cotangente de a é 
negativa. Quando a=pi/2, 
tem-se que cot(pi/2)=0. 
Ângulos no terceiro quadrante 
Se o ponto M está no 
terceiro quadrante, o ângu-
lo está no intervalo 
pi<a<3pi/2 e nesse caso, a 
cotangente é positiva. 
Quando a=pi, a cotangente 
não existe, as retas que 
passam por OM e BS são 
paralelas. 
Ângulos no quarto quadrante 
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Se o ponto M está 
no quarto quadrante, o 
ângulo a pertence ao 
intervalo 3pi/2<a<2pi, 
assim a cotangente de 
a é negativa. Se 
a=3pi/2, cot(3pi/2)=0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Secante e cossecante 
Seja a reta r tangente à 
circunferência trigonométri-
ca no ponto M=(x',y'). Esta 
reta é perpendicular à reta 
que contém o segmento 
OM. A interseção da reta r 
com o eixo OX determina o 
ponto V=(v,0). A abscissa 
do ponto V, é definida co-
mo a secante do arco AM 
correspondente ao ângulo 
a. 
 
Assim a secante do ângulo a é dada pelas suas várias de-
terminações: 
sec(AM) = sec(a) = sec(a+2kpi) = µ(OV) = v 
A interseção da reta r com o eixo OY é o ponto U=(0,u). A 
ordenada do ponto U, é definida como a cossecante do arco 
AM correspondente ao ângulo a. Então a cossecante do 
ângulo a é dada pelas suas várias determinações 
csc(AM) = csc(a) = csc(a+2kpi) = µ(OU) = u 
Os triângulos OMV e Ox'M são semelhantes, deste modo, 
OV 
 
OM 
= 
OM 
 
Ox' 
que pode ser escrito como 
sec(a)= 
1 
 
cos(a) 
se cos(a) é diferente de zero. 
Os triângulos OMU e Ox'M são semelhantes, logo: 
OU 
 
OM 
= 
OM 
 
x'M 
que pode ser escrito como 
csc(a)= 
1 
 
sen(a) 
desde que sen(a) seja diferente de zero. 
Algumas propriedades da secante e da cossecante 
Observando as representações geométricas da secante e 
da cossecante, podemos constatar as seguintes proprieda-
des. 
Como os pontos U e V sempre estão no exterior da circunfe-
rência trigonométrica, as suas distâncias até o centro da 
circunferência é sempre maior ou igual à medida do raio 
unitário. Daí segue que: 
sec(a)<-1 ou sec(a)>1 
csc(a)<-1 ou csc(a)>1 
O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do 
cosseno, positivo no 1o. e no 4o. quadrantes e negativo 
no 2o. e no 3o. quadrantes. 
O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do 
seno, positivo no 1o. e no 2o. quadrantes e negativo no 
3o. e no 4o. quadrantes. 
Não existe a secante de ângulos da forma a=pi/2+kpi, onde k é 
um número inteiro, pois nesses ângulos o cosseno é ze-
ro. 
Não existe a cossecante de ângulos da forma a=kpi, onde k é 
um número inteiro, pois são ângulos cujo seno é zero. 
Relações trigonométricas com secante e cossecante 
Valem as seguintes relações trigonométricas 
sec²(a) = 1 + tan²(a) 
csc²(a) = 1 + cot²(a) 
Estas fórmulas são justificadas como segue 
1+tan²(a)=1+ 
sen²(a) 
 
cos²(a) 
= 
1 
 
cos²(a) 
=sec²(a) 
 
1+cot²(a)=1+ 
cos²(a) 
 
sen²(a) 
= 
1 
 
sen²(a) 
=csc²(a) 
Trigonometria: Exercícios sobre cotangente, secante 
e cossecante 
Calcular: 
(a) sec(405°) (b) csc(-150°) (c) cot(19pi/3) 
Solução: 
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a) sec(405°)= 
 sec(405°-360°)= 
 sec(45°)=2/ 2 = 2 
b) csc(-150°)= 
 csc(-150°+360°)= 
 1/sen(210°)=1/-sen(30°)=-2 
c) cot(19pi/3)=cot(pi/3)= 
 cos(pi/3)/sen(pi/3)=(1/2)/( 3 /2)=1/ 3 
Mostre que: 
sen²(x)+2 cos²(x) 
 
sen(x)cos(x) 
= tan(x)+2cot(x) 
 
 
 
 
Solução: 
sen²(x)+2cos²(x) 
 
sen(x)cos(x) 
= 
sen²(x) 
 
sen(x)cos(x) 
+ 
2cos²(x) 
 
sen(x)cos(x) 
 = 
sen(x) 
 
cos(x) 
+ 
2cos(x) 
 
sen(x) 
 = tan(x)+2cot(x) 
Mostre que: 
tan(x)+cot(x) = csc(x) 
cos(x) 
Solução: 
tan(x)+cot(x) = sen(x) + cos(x) 
cos(x) sen(x) 
 
 
 
 
 
= 
sen²(x)+cos²(x) 
 sen(x)cos(x) 
 
 
 = 
1 
sen(x)cos(x) 
 
 
 = 
csc(x) 
cos(x) 
Verifique que 
sen4(x)-cos4(x) = sen²(x) - cos²(x) 
Solução: 
Sen4(x)-cos4(x) = [sen²(x)-cos²(x)].[sen²(x)+cos²(x)] 
 = [sen²(x)-cos²(x)].1 
 = sen²(x)-cos²(x) 
Fazendo a substituição x=5 cos(t), com t no primeiro qua-
drante, demonstre que 
(25-x²)1/2 = 5 sen(t) 
Solução: 
[25-x²]1/2 = [25-(5cos(t))²]1/2 
 = [25-25cos²(t)]1/2 
 = [25(1-cos²(t))]1/2 
 = [25sen²(t)]1/2 
 = 5|sen(t)| 
Como t é um ângulo do primeiro quadrante sen(t)>0 en-
tão 5|sen(t)|=5sen(t). 
Fazendo a substituição x=2 tan(t), com t no quarto qua-
drante, demonstre que 
1/(4+x²)1/2 = cos(t)/2 
Solução: 
[4+x²]1/2 = [4-(2tan t)²]1/2 
 = [4-4tan²(t)]1/2 
 = [4(1+tan²(t))]1/2 
 = [4sec²(t)]1/2 
 = 2|sec(t)| 
Como t é um ângulo do quarto quadrante, então cos(t)>0, 
logo: 
2|sec(t)|=2|1/cos(t)|=2/cos(t). 
Assim: 
1/(4+x²)1/2=cos(t)/2 
Fórmulas de arco duplo, arco triplo e arco metade 
Conhecendo-se as relações trigonométricas de um arco 
de medida a, podemos obter estas relações trigonométriuca 
para arcos de medidas 2a, 3a e a/2, que são consequências 
imediatas das fórmulas de soma de arcos. 
Fórmulas de arco duplo 
Como: 
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b) 
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) 
dividindo a primeira expressão pela segunda, obtemos: 
tan(a+b) = sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) 
cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b) 
Dividindo todos os 4 termos da fração por cos(a)cos(b), 
segue a fórmula: 
tan(a+b) = tan(a)+tan(b) 
1-tan(a)tan(b) 
Tomando b=a, obtemos algumas fórmulas do arco duplo: 
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sen(2a)= 
sen(a)cos(a)+cos(a)sen(a)= 
2sen(a)cos(a) cos(2a)= 
cos(a)cos(a)-sen(a)sen(a)= 
cos²(a)-sin²(a) 
de onde segue que 
tan(2a)= 
tan(a)+tan(a) 
 
1-tan(a)tan(a) 
= 
2tan(a) 
 
1-tan²(a) 
Substituindo sin²(a)=1-cos²(a) nas relações acima, obte-
mos uma relação entre o cosseno do arco duplo com o cos-
seno do arco: 
cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) 
 = cos²(a) - (1-cos²(a) 
 = 2 cos²(a) - 1 
Substituindo cos²(a)=1-sin²(a) nas relações acima, obte-
mos uma relação entre o seno do arco duplo com o seno do 
arco: 
cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) 
 = 1 - sin²(a) - sin²(a)) 
 = 1 - 2sin²(a) 
Fórmulas de arco triplo 
Se b=2a em 
sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b), então 
sen(3a)= sen(a+2a) 
 = sen(a)cos(2a) + cos(a)sen(2a) 
 = sen(a)[1-2sin²(a)]+[2sen(a)cos(a)]cos(a) 
 =sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)cos²(a)) 
 = sen(a)[1-2sin²(a)]+2sen(a)[1-sin²(a)] 
 = sen(a)-2sin³(a))+2sen(a)-2sin²(a)) 
 = 3 sen(a) - 4 sin³(a) 
Se b=2a em 
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b), então 
cos(3a)= cos(a+2a) 
 = cos(a)cos(2a) - sen(a)sen(2a) 
 = cos(a)[2cos²(a)-1]-sen(a)[2sen(a)cos(a)] 
 = cos(a)[2cos²(a)-1]-2sen²(a)cos(a) 
 = cos(a)[2cos²(a)-1-2(1-cos²(a))] 
 = cos(a)[2cos²(a)-3+2cos²(a)] 
 = cos(a)[4cos²(a)-3] 
 = 4 cos³(a) - 3 cos(a) 
As fórmulas do arco triplo são 
sen(3a) = 3sen(a)-4sin³(a) 
cos(3a) = 4cos³(3a)-3cos(a) 
Fórmulas de arco metade 
Partindo das fórmulas do arco duplo 
cos(2a) = 2cos²(a) – 1 
cos(2a) = 1 - 2sin²(a) 
e substituindo 2a=c, obtemos: 
cos(c) = 2cos²(c/2) – 1 
 
cos(c) = 1 - 2sin²(c/2) 
Assim 
sen²(c/2) = 1-cos(c) 
2 
 
cos²(c/2) = 1+cos(c) 
2 
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos a 
tangente da metade do arco, dada por: 
tan²(c/2)= 
1-cos(c) 
 
1+cos(c) 
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obte-
mos uma fórmula que expressa a tangente da metade do 
arco em função do cosseno do arco. 
Trigonometria: Exercícios sobre adição e subtra-
ção de arcos 
Se cos(a)=3/5 e sen(b)=1/3, com a pertencente ao 3o. qua-
drante e b pertencente ao 2o. quadrante, calcular: 
a) sen(a+b) 
b) sen(a-b) 
c) csc(a+b) 
d) csc(a-b) 
Solução: 
Sabemos que 
sen(a±b)=sen(a)cos(b)±sen(b)cos(a) e que vale a relação 
fundamental cos²(x)+sen²(x)=1, para todo x real, assim: 
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sen²(a)=1-(3/5)²=4/5 e cos²(b)=1-(1/3)²=8/9 
Com a notação R[x], para a raiz quadrada de x>0, segue: 
sen(a)=-2/R[5] (a pertence ao 3º quadrante) 
cos(b)=-2R[2]/3 (b pertence ao 2º quadrante) 
Assim: 
sen(a+b)=(-2/R[5])(-2R[2]/3)+(1/3)(3/5)= 
4R[10]/15+1/5sen(a-b) = 
(-2/R[5])(-2R[2]/3)-(1/3)(3/5)= 
4R[10]/15-1/5 csc(a+b) = 
1/sen(a+b) = 15/(4R[10]+3)csc(a-b) = 
1/sen(a-b) = 15/(4R[10]-3) 
Se sen(a)=2/3 e cos(b)=3/4, com a pertencente ao 2o. qua-
drante e b pertencente ao 1o. quadrante, calcular: 
a) sen(a+b) 
b) sen(a-b) 
c) cos(a+b) 
d) cos(a-b) 
Solução: Temos que 
sen(a±b)=sen(a)cos(b)±sen(b)cos(a), 
que vale a relação fundamental 
cos²(x)+sen²(x)=1, para todo x real e: 
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b) 
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b) 
Calcularemos agora os valores de sen(b) e de cos(a). 
sen²(b)=1-(2/3)²=5/9 e cos²(a)=1-(3/4)²=7/16 
Usando a notação R[x] para a raiz quadrada de x>0, obte-
remos: 
sen(b)=R[5]/3 (a pertence ao 2º quadrante) 
cos(a)=R[7]/4 (b pertence ao 1º quadrante) 
Assim, 
sen(a+b)= 
(2/3)(3/4)+(R[5]/3)(R[7]/4)= 
R[35]/12+1/2sen(a-b)= 
(2/3)(3/4)-(R[5]/3)(R[7]/4)= 
1/2-R[35]/12 cos(a+b)= 
(R[7]/4)(3/4)-(2/3)(R[5]/3)= 
3R[7]/16-2R[5]/9cos(a-b)= 
(R[7]/4)(3/4)+(2/3)(R[5]/3)= 
3R[7]/16+2R[5]/9 
Dado o ângulo de medida a=pi/12 radianos, determinar: 
sen(a) (b) cos(a) (c) tan(a) 
Solução: 
Como pi/3 e pi/4 são arcos notáveis, escreva pi/12=pi/3-pi/4, 
basta utilizar as fórmulas do seno e do cosseno da dife-
rença de dois ângulos: 
sen(pi/12)= 
sen(pi/3-pi/4)= 
sen(pi/3)cos(pi/4)-sen(pi/4)cos(pi/3)= 
cos(pi/12)=cos(pi/3-pi/4)= 
cos(pi/3)cos(pi/4)-sen(pi/4)sen(pi/3)=... 
tan(pi/12)=sen(pi/12)/cos(pi/12)=... 
Dado o ângulo de medida a=15 graus, determinar: 
a) sen(a) 
b) cos(a) 
c) tan(a) 
Solução: Como 45º e 30º são ângulos notáveis, escreva 
15º=45º-30º e utilize as fórmulas: 
sen(15°)=sen(45°-30°)= 
sen(45°)cos(30°)-sen(30°)cos(45°)= 
cos(15°)=cos(45°-30°)= 
cos(45°)cos(30°)-sen(30°)sen(45°)= 
tan(15°)=sen(15°)/cos(15°)=... 
 Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
ALGUMAS NOÇÕES DE LÓGICA 
António Aníbal Padrão 
Introdução 
Todas as disciplinas têm um objecto de estudo. O objeto 
de estudo de uma disciplina é aquilo que essa disciplina es-
tuda. Então, qual é o objecto de estudo da lógica? O que é 
que a lógica estuda? A lógica estuda e sistematiza a validade 
ou invalidade da argumentação. Também se diz que estuda 
inferências ou raciocínios. Podes considerar que argumentos, 
inferências e raciocínios são termos equivalentes. 
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Muito bem, a lógica estuda argumentos. Mas qual é o in-
teresse disso para a filosofia? Bem, tenho de te lembrar que 
a argumentação é o coração da filosofia. Em filosofia temos a 
liberdade de defender as nossas ideias, mas temos de sus-
tentar o que defendemos com bons argumentos e, é claro, 
também temos de aceitar discutir os nossos argumentos. 
Os argumentos constituem um dos três elementos cen-
trais da filosofia. Os outros dois são os problemas e as teori-
as. Com efeito, ao longo dos séculos, os filósofos têm procu-
rado resolver problemas, criando teorias que se apoiam em 
argumentos. 
Estás a ver por que é que o estudo dos argumentos é im-
portante, isto é, por que é que a lógica é importante. É impor-
tante, porque nos ajuda a distinguir os argumentos válidos 
dos inválidos, permite-nos compreender por que razão uns 
são válidos e outros não e ensina-nos a argumentar correc-
tamente. E isto é fundamental para a filosofia. 
O que é um argumento? 
Um argumento é um conjunto de proposições que utiliza-
mos para justificar (provar, dar razão, suportar) algo. A pro-
posição que queremos justificar tem o nome de conclusão; as 
proposições que pretendem apoiar a conclusão ou a justifi-
cam têm o nome de premissas. 
Supõe que queres pedir aos teus pais um aumento da 
"mesada". Como justificas este aumento? Recorrendo a ra-
zões, não é? Dirás qualquer coisa como: 
Os preços no bar da escola subiram; 
como eu lancho no bar da escola, o lanche 
fica me mais caro. Portanto, preciso de um 
aumento da "mesada". 
Temos aqui um argumento, cuja conclusão é: "preciso de 
um aumento da 'mesada'". E como justificas esta conclusão? 
Com a subida dos preços no bar da escola e com o facto de 
lanchares no bar. Então, estas são as premissas do teu ar-
gumento, são as razões que utilizas para defender a conclu-
são. 
Este exemplo permite-nos esclarecer outro aspecto dos 
argumentos, que é o seguinte: embora um argumento seja 
um conjunto de proposições, nem todos os conjuntos de 
proposições são argumentos. Por exemplo, o seguinte con-
junto de proposições não é um argumento: 
Eu lancho no bar da escola, mas o João não. 
A Joana come pipocas no cinema. 
O Rui foi ao museu. 
Neste caso, não temos um argumento, porque não há ne-
nhuma pretensão de justificar uma proposição com base nas 
outras. Nem há nenhuma pretensão de apresentar um con-
junto de proposições com alguma relação entre si. Há apenas 
uma sequência de afirmações. E um argumento é, como já 
vimos, um conjunto de proposições em que se pretende que 
uma delas seja sustentada ou justificada pelas outras — o 
que não acontece no exemplo anterior. 
Um argumento pode ter uma ou mais premissas, mas só 
pode ter uma conclusão. 
Exemplos de argumentos com uma só premissa: 
Exemplo 1 
Premissa: Todos os portugueses são europeus. 
Conclusão: Logo, alguns europeus sãoportugueses. 
Exemplo 2 
Premissa: O João e o José são alunos do 11.º ano. 
Conclusão: Logo, o João é aluno do 11.º ano. 
Exemplos de argumentos com duas premissas: 
Exemplo 1 
Premissa 1: Se o João é um aluno do 11.º ano, então es-
tuda filosofia. 
Premissa 2: O João é um aluno do 11.º ano. 
Conclusão: Logo, o João estuda filosofia. 
Exemplo 2 
Premissa 1: Se não houvesse vida para além da morte, 
então a vida não faria sentido. 
Premissa 2: Mas a vida faz sentido. 
Conclusão: Logo, há vida para além da morte. 
Exemplo 3: 
Premissa 1: Todos os minhotos são portugueses. 
Premissa 2: Todos os portugueses são europeus. 
Conclusão: Todos os minhotos são europeus. 
É claro que a maior parte das vezes os argumentos 
não se apresentam nesta forma. Repara, por exemplo, no 
argumento de Kant a favor do valor objectivo da felicida-
de, tal como é apresentado por Aires Almeida et al. 
(2003b) no site de apoio ao manual A Arte de Pensar: 
"De um ponto de vista imparcial, cada pessoa é um fim 
em si. Mas se cada pessoa é um fim em si, a felicidade de 
cada pessoa tem valor de um ponto de vista imparcial e 
não apenas do ponto de vista de cada pessoa. Dado que 
cada pessoa é realmente um fim em si, podemos concluir 
que a felicidade tem valor de um ponto de vista imparcial." 
Neste argumento, a conclusão está claramente identifica-
da ("podemos concluir que..."), mas nem sempre isto aconte-
ce. Contudo, há certas expressões que nos ajudam a perce-
ber qual é a conclusão do argumento e quais são as premis-
sas. Repara, no argumento anterior, na expressão "dado 
que". Esta expressão é um indicador de premissa: ficamos a 
saber que o que se segue a esta expressão é uma premissa 
do argumento. Também há indicadores de conclusão: dois 
dos mais utilizados são "logo" e "portanto". 
Um indicador é um articulador do discurso, é uma palavra 
ou expressão que utilizamos para introduzir uma razão (uma 
premissa) ou uma conclusão. O quadro seguinte apresenta 
alguns indicadores de premissa e de conclusão: 
Indicadores de premis-
sa 
Indicadores de conclu-
são 
pois 
porque 
dado que 
como foi dito 
visto que 
devido a 
por isso 
por conseguinte 
implica que 
logo 
portanto 
então 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 59
a razão é que 
admitindo que 
sabendo-se que 
assumindo que 
daí que 
segue-se que 
pode-se inferir que 
consequentemente 
É claro que nem sempre as premissas e a conclusão são 
precedidas por indicadores. Por exemplo, no argumento: 
O Mourinho é treinador de futebol e ganha mais de 100000 
euros por mês. Portanto, há treinadores de futebol que ga-
nham mais de 100000 euros por mês. 
A conclusão é precedida do indicador "Portanto", mas as 
premissas não têm nenhum indicador. 
Por outro lado, aqueles indicadores (palavras e expres-
sões) podem aparecer em frases sem que essas frases se-
jam premissas ou conclusões de argumentos. Por exemplo, 
se eu disser: 
Depois de se separar do dono, o cão nunca mais foi o 
mesmo. Então, um dia ele partiu e nunca mais foi visto. 
Admitindo que não morreu, onde estará? 
O que se segue à palavra "Então" não é conclusão de ne-
nhum argumento, e o que segue a "Admitindo que" não é 
premissa, pois nem sequer tenho aqui um argumento. Por 
isso, embora seja útil, deves usar a informação do quadro de 
indicadores de premissa e de conclusão criticamente e não 
de forma automática. 
Proposições e frases 
Um argumento é um conjunto de proposições. Quer as 
premissas quer a conclusão de um argumento são proposi-
ções. Mas o que é uma proposição? 
Uma proposição é o pensamento que uma frase 
declarativa exprime literalmente. 
Não deves confundir proposições com frases. Uma frase 
é uma entidade linguística, é a unidade gramatical mínima de 
sentido. Por exemplo, o conjunto de palavras "Braga é uma" 
não é uma frase. Mas o conjunto de palavras "Braga é uma 
cidade" é uma frase, pois já se apresenta com sentido grama-
tical. 
Há vários tipos de frases: declarativas, interrogativas, im-
perativas e exclamativas. Mas só as frases declarativas ex-
primem proposições. Uma frase só exprime uma proposição 
quando o que ela afirma tem valor de verdade. 
Por exemplo, as seguintes frases não exprimem proposi-
ções, porque não têm valor de verdade, isto é, não são ver-
dadeiras nem falsas: 
1. Que horas são? 
2. Traz o livro. 
3. Prometo ir contigo ao cinema. 
4. Quem me dera gostar de Matemática. 
Mas as frases seguintes exprimem proposições, porque 
têm valor de verdade, isto é, são verdadeiras ou falsas, ainda 
que, acerca de algumas, não saibamos, neste momento, se 
são verdadeiras ou falsas: 
1. Braga é a capital de Portugal. 
2. Braga é uma cidade minhota. 
3. A neve é branca. 
4. Há seres extraterrestres inteligentes. 
A frase 1 é falsa, a 2 e a 3 são verdadeiras. E a 4? Bem, 
não sabemos qual é o seu valor de verdade, não sabemos se 
é verdadeira ou falsa, mas sabemos que tem de ser verdadei-
ra ou falsa. Por isso, também exprime uma proposição. 
Uma proposição é uma entidade abstracta, é o pensa-
mento que uma frase declarativa exprime literalmente. Ora, 
um mesmo pensamento pode ser expresso por diferentes 
frases. Por isso, a mesma proposição pode ser expressa por 
diferentes frases. Por exemplo, as frases "O governo demitiu 
o presidente da TAP" e "O presidente da TAP foi demitido 
pelo governo" exprimem a mesma proposição. As frases 
seguintes também exprimem a mesma proposição: "A neve é 
branca" e "Snow is white". 
Ambiguidade e vagueza 
Para além de podermos ter a mesma proposição expres-
sa por diferentes frases, também pode acontecer que a 
mesma frase exprima mais do que uma proposição. Neste 
caso dizemos que a frase é ambígua. A frase "Em cada dez 
minutos, um homem português pega numa mulher ao colo" é 
ambígua, porque exprime mais do que uma proposição: tanto 
pode querer dizer que existe um homem português (sempre o 
mesmo) que, em cada dez minutos, pega numa mulher ao 
colo, como pode querer dizer que, em cada dez minutos, um 
homem português (diferente) pega numa mulher ao colo (a 
sua). 
Por vezes, deparamo-nos com frases que não sabemos 
com exactidão o que significam. São as frases vagas. Uma 
frase vaga é uma frase que dá origem a casos de fronteira 
indecidíveis. Por exemplo, "O professor de Filosofia é calvo" é 
uma frase vaga, porque não sabemos a partir de quantos 
cabelos é que podemos considerar que alguém é calvo. Qui-
nhentos? Cem? Dez? Outro exemplo de frase vaga é o se-
guinte: "Muitos alunos tiveram negativa no teste de Filosofia". 
Muitos, mas quantos? Dez? Vinte? Em filosofia devemos 
evitar as frases vagas, pois, se não comunicarmos com exac-
tidão o nosso pensamento, como é que podemos esperar que 
os outros nos compreendam? 
Validade e verdade 
A verdade é uma propriedade das proposições. A valida-
de é uma propriedade dos argumentos. É incorrecto falar em 
proposições válidas. As proposições não são válidas nem 
inválidas. As proposições só podem ser verdadeiras ou fal-
sas. Também é incorrecto dizer que os argumentos são ver-
dadeiros ou que são falsos. Os argumentos não são verda-
deiros nem falsos. Os argumentos dizem-se válidos ou inváli-
dos. 
Quando é que um argumento é válido? Por agora, referirei 
apenas a validade dedutiva. Diz-se que um argumento dedu-
tivo é válido quando é impossível que as suas premissas 
sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Repara que, para um 
argumento ser válido, não basta que as premissas e a con-
clusão sejam verdadeiras. É precisoque seja impossível que 
sendo as premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa. 
Considera o seguinte argumento: 
Premissa 1: Alguns treinadores de futebol ganham mais 
de 100000 euros por mês. 
Premissa 2: O Mourinho é um treinador de futebol. 
Conclusão: Logo, o Mourinho ganha mais de 100000 
euros por mês. 
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Neste momento (Julho de 2004), em que o Mourinho é 
treinador do Chelsea e os jornais nos informam que ganha 
muito acima de 100000 euros por mês, este argumento tem 
premissas verdadeiras e conclusão verdadeira e, contudo, 
não é válido. Não é válido, porque não é impossível que as 
premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Podemos 
perfeitamente imaginar uma circunstância em que o Mourinho 
ganhasse menos de 100000 euros por mês (por exemplo, o 
Mourinho como treinador de um clube do campeonato regio-
nal de futebol, a ganhar 1000 euros por mês), e, neste caso, 
a conclusão já seria falsa, apesar de as premissas serem 
verdadeiras. Portanto, o argumento é inválido. 
Considera, agora, o seguinte argumento, anteriormente 
apresentado: 
Premissa: O João e o José são alunos do 11.º ano. 
Conclusão: Logo, o João é aluno do 11.º ano. 
Este argumento é válido, pois é impossível que a pre-
missa seja verdadeira e a conclusão falsa. Ao contrário do 
argumento que envolve o Mourinho, neste não podemos 
imaginar nenhuma circunstância em que a premissa seja 
verdadeira e a conclusão falsa. Podes imaginar o caso em 
que o João não é aluno do 11.º ano. Bem, isto significa 
que a conclusão é falsa, mas a premissa também é falsa. 
Repara, agora, no seguinte argumento: 
Premissa 1: Todos os números primos são pares. 
Premissa 2: Nove é um número primo. 
Conclusão: Logo, nove é um número par. 
Este argumento é válido, apesar de quer as premissas 
quer a conclusão serem falsas. Continua a aplicar-se a noção 
de validade dedutiva anteriormente apresentada: é impossí-
vel que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. 
A validade de um argumento dedutivo depende da conexão 
lógica entre as premissas e a conclusão do argumento e não 
do valor de verdade das proposições que constituem o argu-
mento. Como vês, a validade é uma propriedade diferente da 
verdade. A verdade é uma propriedade das proposições que 
constituem os argumentos (mas não dos argumentos) e a 
validade é uma propriedade dos argumentos (mas não das 
proposições). 
Então, repara que podemos ter: 
Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclu-
são verdadeira; 
Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão fal-
sa; 
Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão 
verdadeira; 
Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e con-
clusão verdadeira; 
Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e con-
clusão falsa; 
Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão 
falsa; e 
Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão 
verdadeira. 
Mas não podemos ter: 
Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclu-
são falsa. 
Como podes determinar se um argumento dedutivo é vá-
lido? Podes seguir esta regra: 
Mesmo que as premissas do argumento não sejam verda-
deiras, imagina que são verdadeiras. Consegues imaginar 
alguma circunstância em que, considerando as premissas 
verdadeiras, a conclusão é falsa? Se sim, então o argumento 
não é válido. Se não, então o argumento é válido. 
Lembra-te: num argumento válido, se as premissas forem 
verdadeiras, a conclusão não pode ser falsa. 
Argumentos sólidos e argumentos bons 
Em filosofia não é suficiente termos argumentos válidos, 
pois, como viste, podemos ter argumentos válidos com con-
clusão falsa (se pelo menos uma das premissas for falsa). 
Em filosofia pretendemos chegar a conclusões verdadeiras. 
Por isso, precisamos de argumentos sólidos. 
Um argumento sólido é um argumento válido 
com premissas verdadeiras. 
Um argumento sólido não pode ter conclusão falsa, pois, 
por definição, é válido e tem premissas verdadeiras; ora, a 
validade exclui a possibilidade de se ter premissas verdadei-
ras e conclusão falsa. 
O seguinte argumento é válido, mas não é sólido: 
Todos os minhotos são alentejanos. 
Todos os bracarenses são minhotos. 
Logo, todos os bracarenses são alenteja-
nos. 
Este argumento não é sólido, porque a primeira premissa 
é falsa (os minhotos não são alentejanos). E é porque tem 
uma premissa falsa que a conclusão é falsa, apesar de o 
argumento ser válido. 
O seguinte argumento é sólido (é válido e tem premissas 
verdadeiras): 
Todos os minhotos são portugueses. 
Todos os bracarenses são minhotos. 
Logo, todos os bracarenses são portugue-
ses. 
Também podemos ter argumentos sólidos deste tipo: 
Sócrates era grego. 
Logo, Sócrates era grego. 
(É claro que me estou a referir ao Sócrates, filósofo grego 
e mestre de Platão, e não ao Sócrates, candidato a secretário 
geral do Partido Socialista. Por isso, a premissa e a conclu-
são são verdadeiras.) 
Este argumento é sólido, porque tem premissa verdadeira 
e é impossível que, sendo a premissa verdadeira, a conclu-
são seja falsa. É sólido, mas não é um bom argumento, por-
que a conclusão se limita a repetir a premissa. 
Um argumento bom (ou forte) é um argumento válido per-
suasivo (persuasivo, do ponto de vista racional). 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 61
Fica agora claro por que é que o argumento "Sócrates era 
grego; logo, Sócrates era grego", apesar de sólido, não é um 
bom argumento: a razão que apresentamos a favor da con-
clusão não é mais plausível do que a conclusão e, por isso, o 
argumento não é persuasivo. 
Talvez recorras a argumentos deste tipo, isto é, argumen-
tos que não são bons (apesar de sólidos), mais vezes do que 
imaginas. Com certeza, já viveste situações semelhantes a 
esta: 
— Pai, preciso de um aumento da "mesa-
da". 
— Porquê? 
— Porque sim. 
O que temos aqui? O seguinte argumento: 
Preciso de um aumento da "mesada". 
Logo, preciso de um aumento da "mesada". 
Afinal, querias justificar o aumento da "mesada" (conclu-
são) e não conseguiste dar nenhuma razão plausível para 
esse aumento. Limitaste-te a dizer "Porque sim", ou seja, 
"Preciso de um aumento da 'mesada', porque preciso de um 
aumento da 'mesada'". Como vês, trata-se de um argumento 
muito mau, pois com um argumento deste tipo não conse-
gues persuadir ninguém. 
Mas não penses que só os argumentos em que a conclu-
são repete a premissa é que são maus. Um argumento é mau 
(ou fraco) se as premissas não forem mais plausíveis do que 
a conclusão. É o que acontece com o seguinte argumento: 
Se a vida não faz sentido, então Deus não 
existe. 
Mas Deus existe. 
Logo, a vida faz sentido. 
Este argumento é válido, mas não é um bom argumento, 
porque as premissas não são menos discutíveis do que a 
conclusão. 
Para que um argumento seja bom (ou forte), as premissas 
têm de ser mais plausíveis do que a conclusão, como acon-
tece no seguinte exemplo: 
Se não se aumentarem os níveis de exigência de estudo e de 
trabalho dos alunos no ensino básico, então os alunos conti-
nuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino 
secundário. 
Ora, não se aumentaramos níveis de exigência de estudo e 
de trabalho dos alunos no ensino básico. 
Logo, os alunos continuarão a enfrentar dificuldades quando 
chegarem ao ensino secundário. 
Este argumento pode ser considerado bom (ou forte), 
porque, além de ser válido, tem premissas menos discutíveis 
do que a conclusão. 
As noções de lógica que acabei de apresentar são ele-
mentares, é certo, mas, se as dominares, ajudar-te-ão a fazer 
um melhor trabalho na disciplina de Filosofia e, porventura, 
noutras. 
Proposições simples e compostas 
As proposições simples ou atômicas são assim caracteri-
zadas por apresentarem apenas uma idéia. São indicadas 
pelas letras minúsculas: p, q, r, s, t... 
As proposições compostas ou moleculares são assim ca-
racterizadas por apresentarem mais de uma proposição co-
nectadas pelos conectivos lógicos. São indicadas pelas letras 
maiúsculas: P, Q, R, S, T... 
Obs: A notação Q(r, s, t), por exemplo, está indicando que 
a proposição composta Q é formada pelas proposições sim-
ples r, s e t. 
Exemplo: 
Proposições simples: 
p: O número 24 é múltiplo de 3. 
q: Brasília é a capital do Brasil. 
r: 8 + 1 = 3 . 3 
s: O número 7 é ímpar 
t: O número 17 é primo 
Proposições compostas 
P: O número 24 é divisível por 3 e 12 é o dobro de 24. 
Q: A raiz quadrada de 16 é 4 e 24 é múltiplo de 3. 
R(s, t): O número 7 é ímpar e o número 17 é primo. 
 
Noções de Lógica 
Sérgio Biagi Gregório 
 
1. CONCEITO DE LÓGICA 
 
Lógica é a ciência das leis ideais do pensamento e a arte 
de aplicá-los à pesquisa e à demonstração da verdade. 
 
Diz-se que a lógica é uma ciência porque constitui um sis-
tema de conhecimentos certos, baseados em princípios uni-
versais. Formulando as leis ideais do bem pensar, a lógica se 
apresenta como ciência normativa, uma vez que seu objeto 
não é definir o que é, mas o que deve ser, isto é, 
as normas do pensamento correto. 
 
A lógica é também uma arte porque, ao mesmo tempo 
que define os princípios universais do pensamento, estabele-
ce as regras práticas para o conhecimento da verdade (1). 
 
2. EXTENSÃO E COMPREENSÃO DOS CONCEITOS 
 
Ao examinarmos um conceito, em termos lógicos, deve-
mos considerar a sua extensão e a sua compreensão. 
 
Vejamos, por exemplo, o conceito homem. 
 
A extensão desse conceito refere-se a todo o conjunto de 
indivíduos aos quais se possa aplicar a designação homem. 
 
A compreensão do conceito homem refere-se ao conjun-
to de qualidades que um indivíduo deve possuir para ser 
designado pelo termo homem: animal, vertebrado, mamífero, 
bípede, racional. 
 
Esta última qualidade é aquela que efetivamente distingue 
o homem dentre os demais seres vivos (2). 
 
 3. JUÍZO E O RACIOCÍNIO 
 
Entende-se por juízo qualquer tipo de afirmação ou nega-
ção entre duas idéias ou dois conceitos. Ao afirmarmos, por 
exemplo, que “este livro é de filosofia”, acabamos de formu-
lar um juízo. 
 
O enunciado verbal de um juízo é denomina-
do proposição ou premissa. 
 
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Raciocínio - é o processo mental que consiste em coor-
denar dois ou mais juízos antecedentes, em busca de um 
juízo novo, denominado conclusão ou inferência. 
 
Vejamos um exemplo típico de raciocínio: 
1ª) premissa - o ser humano é racional; 
2ª) premissa - você é um ser humano; 
conclusão - logo, você é racional. 
 
O enunciado de um raciocínio através da linguagem fala-
da ou escrita é chamado de argumento. Argumentar signifi-
ca, portanto, expressar verbalmente um raciocínio (2). 
 
4. SILOGISMO 
 
Silogismo é o raciocínio composto de três proposições, 
dispostas de tal maneira que a terceira, chamada conclusão, 
deriva logicamente das duas primeiras, chamadas premissas. 
 
Todo silogismo regular contém, portanto, três proposi-
ções nas quais três termos são comparados, dois a dois. 
Exemplo: toda a virtude é louvável; ora, a caridade é uma 
virtude; logo, a caridade é louvável (1). 
 
5. SOFISMA 
 
Sofisma é um raciocínio falso que se apresenta com apa-
rência de verdadeiro. Todo erro provém de um raciocínio 
ilegítimo, portanto, de um sofisma. 
 
O erro pode derivar de duas espécies de causas: 
das palavras que o exprimem ou das idéias que o constituem. 
No primeiro, os sofismas de palavras ou verbais; no segun-
do, os sofismas de idéias ou intelectuais. 
 
Exemplo de sofisma verbal: usar mesma palavra com 
duplo sentido; tomar a figura pela realidade. 
 
Exemplo de sofisma intelectual: tomar por essencial o 
que é apenas acidental; tomar por causa um simples ante-
cedente ou mera circunstância acidental (3). 
 
 
LÓGICA 
 
Lógica - do grego logos significa “palavra”, “expressão”, 
“pensamento”, “conceito”, “discurso”, “razão”. Para Aristóte-
les, a lógica é a “ciência da demonstração”; Maritain a define 
como a “arte que nos faz proceder, com ordem, facilmente e 
sem erro, no ato próprio da razão”; para Liard é “a ciência das 
formas do pensamento”. Poderíamos ainda acrescentar: “É a 
ciência das leis do pensamento e a arte de aplicá-las corre-
tamente na procura e demonstração da verdade. 
 
A filosofia, no correr dos séculos, sempre se preocupou 
com o conhecimento, formulando a esse respeito várias 
questões: Qual a origem do conhecimento? Qual a sua es-
sência? Quais os tipos de conhecimentos? Qual o critério da 
verdade? É possível o conhecimento? À lógica não interessa 
nenhuma dessas perguntas, mas apenas dar as regrasdo 
pensamento correto. A lógica é, portanto, uma disciplina 
propedêutica. 
 
Aristóteles é considerado, com razão, o fundador da lógi-
ca. Foi ele, realmente, o primeiro a investigar, cientificamente, 
as leis do pensamento. Suas pesquisas lógicas foram reuni-
das, sob o nome de Organon, por Diógenes Laércio. As leis 
do pensamento formuladas por Aristóteles se caracterizam 
pelo rigor e pela exatidão. Por isso, foram adotadas pelos 
pensadores antigos e medievais e, ainda hoje, são admitidas 
por muitos filósofos. 
 
O objetivo primacial da lógica é, portanto, o estudo da in-
teligência sob o ponto de vista de seu uso no conhecimento. 
É ela que fornece ao filósofo o instrumento e a técnica ne-
cessária para a investigação segura da verdade. Mas, para 
atingir a verdade, precisamos partir de dados exatos e racio-
cinar corretamente, a fim de que o espírito não caia em con-
tradição consigo mesmo ou com os objetos, afirmando-os 
diferentes do que, na realidade, são. Daí as várias divisões 
da lógica. 
 
Assim sendo, a extensão e compreensão do conceito, o 
juízo e o raciocínio, o argumento, o silogismo e o sofisma são 
estudados dentro do tema lógica. O silogismo, que é um 
raciocínio composto de três proposições, dispostos de tal 
maneira que a terceira, chamada conclusão, deriva logica-
mente das duas primeiras chamadas premissas, tem lugar de 
destaque. É que todos os argumentos começam com uma 
afirmação caminhando depois por etapas até chegar à con-
clusão. Sérgio Biagi Gregório 
 
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 
1. Introdução 
Desde suas origens na Grécia Antiga, especialmente de 
Aristóteles (384-322 a.C.) em diante, a lógica tornou-se um 
dos campos mais férteis do pensamento humano, particular-
mente da filosofia. Em sua longa história e nas múltiplas 
modalidades em que se desenvolveu, sempre foi bem claro 
seu objetivo: fornecer subsídios para a produção de um bom 
raciocínio. 
Por raciocínio, entende-se tanto uma atividade mental 
quanto o produto dessaatividade. Esse, por sua vez, pode 
ser analisado sob muitos ângulos: o psicólogo poderá estudar 
o papel das emoções sobre um determinado raciocínio; o 
sociólogo considerará as influências do meio; o criminólogo 
levará em conta as circunstâncias que o favoreceram na 
prática de um ato criminoso etc. Apesar de todas estas pos-
sibilidades, o raciocínio é estudado de modo muito especial 
no âmbito da lógica. Para ela, pouco importam os contextos 
psicológico, econômico, político, religioso, ideológico, jurídico 
ou de qualquer outra esfera que constituam o “ambiente do 
raciocínio”. 
Ao lógico, não interessa se o raciocínio teve esta ou aque-
la motivação, se respeita ou não a moral social, se teve influ-
ências das emoções ou não, se está de acordo com uma 
doutrina religiosa ou não, se foi produzido por uma pessoa 
embriagada ou sóbria. Ele considera a sua forma. Ao consi-
derar a forma, ele investiga a coerência do raciocínio, as 
relações entre as premissas e a conclusão, em suma, sua 
obediência a algumas regras apropriadas ao modo como foi 
formulado etc. 
Apenas a título de ilustração, seguem-se algumas defini-
ções e outras referências à lógica: 
“A arte que dirige o próprio ato da razão, ou seja, nos per-
mite chegar com ordem, facilmente e sem erro, ao próprio ato 
da razão – o raciocínio” (Jacques Maritain). 
“A lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para 
distinguir o raciocínio correto do incorreto” (Irving Copi). 
“A lógica investiga o pensamento não como ele é, mas 
como deve ser” (Edmundo D. Nascimento). 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 63
“A princípio, a lógica não tem compromissos. No entanto, 
sua história demonstra o poder que a mesma possui quando 
bem dominada e dirigida a um propósito determinado, como o 
fizeram os sofistas, a escolástica, o pensamento científico 
ocidental e, mais recentemente, a informática” (Bastos; Kel-
ler). 
1.1. Lógica formal e Lógica material 
Desde Aristóteles, seu primeiro grande organizador, os es-
tudos da lógica orientaram-se em duas direções principais: a 
da lógica formal, também chamada de “lógica menor” e a da 
lógica material, também conhecida como “lógica maior”. 
A lógica formal preocupa-se com a correção formal do 
pensamento. Para esse campo de estudos da lógica, o con-
teúdo ou a matéria do raciocínio tem uma importância relati-
va. A preocupação sempre será com a sua forma. A forma é 
respeitada quando se preenchem as exigências de coerência 
interna, mesmo que as conclusões possam ser absurdas do 
ponto de vista material (conteúdo). Nem sempre um raciocí-
nio formalmente correto corresponde àquilo que chamamos 
de realidade dos fatos. 
No entanto, o erro não está no seu aspecto formal e, sim, 
na sua matéria. Por exemplo, partindo das premissas que 
(1) todos os brasileiros são europeus 
e que 
(2) Pedro é brasileiro, 
formalmente, chegar-se-á à conclusão lógica que 
(3) Pedro é europeu. 
Materialmente, este é um raciocínio falso porque a experi-
ência nos diz que a premissa é falsa. 
No entanto, formalmente, é um raciocínio válido, porque a 
conclusão é adequada às premissas. É nesse sentido que se 
costuma dizer que o computador é falho, já que, na maioria 
dos casos, processaformalmente informações nele previa-
mente inseridas, mas não tem a capacidade de verificar o 
valor empírico de tais informações. 
Já, a lógica material preocupa-se com a aplicação das o-
perações do pensamento à realidade, de acordo com a natu-
reza ou matéria do objeto em questão. Nesse caso, interessa 
que o raciocínio não só seja formalmente correto, mas que 
também respeite a matéria, ou seja, que o seu conteúdocor-
responda à natureza do objeto a que se refere. Neste caso, 
trata-se da correspondência entrepensamento e realidade. 
Assim sendo, do ponto de vista lógico, costuma-se falar de 
dois tipos de verdade: a verdade formal e a verdade material. 
A verdade formal diz respeito, somente e tão-somente, à 
forma do discurso; já a verdade material tem a ver com a 
forma do discurso e as suas relações com a matéria ou o 
conteúdo do próprio discurso. Se houver coerência, no pri-
meiro caso, e coerência e correspondência, no segundo, tem-
se a verdade. 
Em seu conjunto, a lógica investiga as regras adequadas à 
produção de um raciocínio válido, por meio do qual visa-se à 
consecução da verdade, seja ela formal ou material. Relacio-
nando a lógica com a prática, pode-se dizer que é importante 
que se obtenha não somente uma verdade formal, mas, tam-
bém, uma verdade que corresponda à experiência. Que seja, 
portanto, materialmente válida. A conexão entre os princípios 
formais da lógica e o conteúdo de seus raciocínios pode ser 
denominada de “lógica informal”. Trata-se de uma lógica 
aplicada ao plano existencial, à vida quotidiana. 
1.2. Raciocínio e Argumentação 
Três são as principais operações do intelecto humano: a 
simples apreensão, os juízos e o raciocínio. 
A simples apreensão consiste na captação direta (através 
dos sentidos, da intuição racional, da imaginação etc) de uma 
realidade sobre a qual forma-se uma idéia ou conceito (p. ex., 
de um objeto material, ideal, sobrenatural etc) que, por sua 
vez, recebe uma denominação (as palavras ou termos, p. 
ex.: “mesa”, “três” e “arcanjo”). 
O juízo é ato pelo qual os conceitos ou idéias são ligadas 
ou separadas dando origem à emissão de um “julgamento” 
(falso ou verdadeiro) sobre a realidade, mediante proposições 
orais ou escritas. Por exemplo: “Há três arcanjos sobre a 
mesa da sala” 
O raciocínio, por fim, consiste no “arranjo” intelectual dos 
juízos ou proposições, ordenando adequadamente os conte-
údos da consciência. No raciocínio, parte-se de premissas 
para se chegar a conclusões que devem ser adequadas. 
Procedendo dessa forma, adquirem-se conhecimentos novos 
e defende-se ou aprofunda-se o que já se conhece. Para 
tanto, a cada passo, é preciso preencher os requisitos da 
coerência e do rigor. Por exemplo: “Se os três arcanjos estão 
sobre a mesa da sala, não estão sobre a mesa da varanda” 
Quando os raciocínios são organizados com técnica e arte 
e expostos de forma tal a convencer a platéia, o leitor ou 
qualquer interlocutor tem-se a argumentação. Assim, a ativi-
dade argumentativa envolve o interesse da persuasão. Ar-
gumentar é o núcleo principal da retórica, considerada a arte 
de convencer mediante o discurso. 
Partindo do pressuposto de que as pessoas pensam aquilo 
que querem, de acordo com as circunstâncias da vida e as 
decisões pessoais (subjetividade), um argumento conseguirá 
atingir mais facilmente a meta da persuasão caso as idéias 
propostas se assentem em boas razões, capazes de mexer 
com as convicções daquele a quem se tenta convencer. Mui-
tas vezes, julga-se que estão sendo usadas como bom argu-
mento opiniões que, na verdade, não passam de preconcei-
tos pessoais, de modismos, de egoísmo ou de outras formas 
de desconhecimento. Mesmo assim, a habilidade no argu-
mentar, associada à desatenção ou à ignorância de quem 
ouve, acaba, muitas vezes, por lograr a persuasão. 
Pode-se, então, falar de dois tipos de argumentação: boa 
ou má, consistente/sólida ou inconsistente/frágil, lógica ou 
ilógica, coerente ou incoerente, válida ou não-válida, fraca ou 
forte etc. 
De qualquer modo, argumentar não implica, necessaria-
mente, manter-se num plano distante da existência humana, 
desprezando sentimentos e motivações pessoais. Pode-se 
argumentar bem sem, necessariamente, descartar as emo-
ções, como no caso de convencer o aluno a se esforçarnos 
estudos diante da perspectiva de férias mais tranqüilas. En-
fim, argumentar corretamente (sem armar ciladas para o 
interlocutor) é apresentar boas razões para o debate, susten-
tar adequadamente um diálogo, promovendo a dinamização 
do pensamento. Tudo isso pressupõe um clima democrático. 
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1.3. Inferência Lógica 
Cabe à lógica a tarefa de indicar os caminhos para um ra-
ciocínio válido, visando à verdade. 
Contudo, só faz sentido falar de verdade ou falsidade 
quando entram em jogo asserções nas quais se declara algo, 
emitindo-se um juízo de realidade. Existem, então, dois tipos 
de frases: as assertivas e as não assertivas, que também 
podem ser chamadas de proposições ou juízos. 
Nas frases assertivas afirma-se algo, como nos exemplos: 
“a raiz quadrada de 9 é 3” ou “o sol brilha à noite”. Já, nas 
frases não assertivas, não entram em jogo o falso e o verda-
deiro, e, por isso, elas não têm “valor de verdade”. É o caso 
das interrogações ou das frases que expressam estados 
emocionais difusos, valores vivenciados subjetivamente ou 
ordens. A frase “toque a bola”, por exemplo, não é falsa nem 
verdadeira, por não se tratar de uma asserção (juízo). 
As frases declaratórias ou assertivas podem ser combina-
das de modo a levarem a conclusões conseqüentes, constitu-
indo raciocínios válidos. Veja-se o exemplo: 
(1) Não há crime sem uma lei que o defina; 
(2) não há uma lei que defina matar ET’s como crime; 
(3) logo, não é crime matar ET’s. 
Ao serem ligadas estas assertivas, na mente do interlocu-
tor, vão sendo criadas as condições lógicas adequadas à 
conclusão do raciocínio. Esse processo, que muitas vezes 
permite que a conclusão seja antecipada sem que ainda 
sejam emitidas todas as proposições do raciocínio, chamase 
inferência. O ponto de partida de um raciocínio (as premis-
sas) deve levar a conclusões óbvias. 
1.4. Termo e Conceito 
Para que a validade de um raciocínio seja preservada, é 
fundamental que se respeite uma exigência básica: as pala-
vras empregadas na sua construção não podem sofrer modi-
ficações de significado. Observe-se o exemplo: 
Os jaguares são quadrúpedes; 
Meu carro é um Jaguar 
logo, meu carro é um quadrúpede. 
O termo “jaguar” sofreu uma alteração de significado ao 
longo do raciocínio, por isso, não tem validade. 
Quando pensamos e comunicamos os nossos pensamen-
tos aos outros, empregamos palavras tais como “animal”, 
“lei”, “mulher rica”, “crime”, “cadeira”, “furto” etc. Do ponto de 
vista da lógica, tais palavras são classificadas como termos, 
que são palavras acompanhadas de conceitos. Assim sendo, 
o termo é o signo lingüístico, falado ou escrito, referido a um 
conceito, que é o ato mental correspondente ao signo. 
Desse modo, quando se emprega, por exemplo, o termo 
“mulher rica”, tende-se a pensar no conjunto das mulheres às 
quais se aplica esse conceito, procurando apreender uma 
nota característica comum a todos os elementos do conjunto, 
de acordo com a ‘intencionalidade’ presente no ato mental. 
Como resultado, a expressão “mulher rica” pode ser tratada 
como dois termos: pode ser uma pessoa do sexo feminino 
cujos bens materiais ou financeiros estão acima da média ou 
aquela cuja trajetória existencial destaca-se pela bondade, 
virtude, afetividade e equilíbrio. 
Para que não se obstrua a coerência do raciocínio, é pre-
ciso que fique bem claro, em função do contexto ou de uma 
manifestação de quem emite o juízo, o significado dos termos 
empregados no discurso. 
1.5. Princípios lógicos 
Existem alguns princípios tidos como conditio sine qua non 
para que a coerência do raciocínio, em absoluto, possa ocor-
rer. Podem ser entendidos como princípios que se referem 
tanto à realidade das coisas (plano ontológico), quanto ao 
pensamento (plano lógico), ou seja, se as coisas em geral 
devem respeitar tais princípios, assim também o pensamento 
deve respeitá-los. São eles: 
a) Princípio da identidade, pelo qual se delimita a reali-
dade de um ser. Trata-se de conceituar logicamente qual é a 
identidade de algo a que se está fazendo referência. Uma vez 
conceituada uma certa coisa, seu conceito deve manter-se ao 
longo do raciocínio. Por exemplo, se estou falando de um 
homem chamado Pedro, não posso estar me referindo a 
Antônio. 
b) Princípio da não-contradição. Se algo é aquilo que é, 
não pode ser outra coisa, sob o mesmo aspecto e ao mesmo 
tempo. Por exemplo, se o brasileiro João está doente agora, 
não está são, ainda que, daqui a pouco possa vir a curar-se, 
embora, enquanto João, ele seja brasileiro, doente ou são; c) 
Princípio da exclusão do terceiro termo. Entre o falso e o 
verdadeiro não há meio termo, ou é falso ou é verdadeiro. Ou 
está chovendo ou não está, não é possível um terceiro termo: 
está meio chovendo ou coisa parecida. 
A lógica clássica e a lógica matemática aceitam os três 
princípios como suas pedras angulares, no entanto, mais 
recentemente, Lukasiewicz e outros pensadores desenvolve-
ram sistemas lógicos sem o princípio do terceiro excluído, 
admitindo valor lógico não somente ao falso e ao verdadeiro, 
como também ao indeterminado. 
2. Argumentação e Tipos de Raciocínio 
Conforme vimos, a argumentação é o modo como é ex-
posto um raciocínio, na tentativa de convencer alguém de 
alguma coisa. Quem argumenta, por sua vez, pode fazer uso 
de diversos tipos de raciocínio. Às vezes, são empregados 
raciocínios aceitáveis do ponto de vista lógico, já, em outras 
ocasiões, pode-se apelar para raciocínios fracos ou inválidos 
sob o mesmo ponto de vista. É bastante comum que raciocí-
nios desse tipo sejam usados para convencer e logrem o 
efeito desejado, explorando a incapacidade momentânea ou 
persistente de quem está sendo persuadido de avaliar o valor 
lógico do raciocínio empregado na argumentação. 
Um bom raciocínio, capaz de resistir a críticas, precisa ser 
dotado de duas características fundamentais: ter premissas 
aceitáveis e ser desenvolvido conforme as normas apropria-
das. Dos raciocínios mais empregados na argumentação, 
merecem ser citados a analogia, a indução e a dedução. Dos 
três, o primeiro é o menos preciso, ainda que um meio bas-
tante poderoso de convencimento, sendo bastante usado 
pela filosofia, pelo senso comum e, particularmente, nos 
discursos jurídico e religioso; o segundo é amplamente em-
pregado pela ciência e, também, pelo senso comum e, por 
fim, a dedução é tida por alguns como o único raciocínio 
autenticamente lógico, por isso, o verdadeiro objeto da lógica 
formal. 
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A maior ou menor valorização de um ou de outro tipo de 
raciocínio dependerá do objeto a que se aplica, do modo 
como é desenvolvido ou, ainda, da perspectiva adotada na 
abordagem da natureza e do alcance do conhecimento. 
Às vezes, um determinado tipo de raciocínio não é ade-
quadamente empregado. Vejam-se os seguintes exemplos: o 
médico alemão Ludwig Büchner (1824-1899) apresentou 
como argumento contra a existência da alma o fato de esta 
nunca ter sido encontrada nas diversas dissecações do corpo 
humano; o astronauta russo Gagarin (1934-1968) afirmou 
que Deus não existe pois “esteve lá em cima” e não o encon-
trou.Nesses exemplos fica bem claro que o raciocínio induti-
vo, baseado na observação empírica, não é o mais adequado 
para os objetos em questão, já que a alma e Deus são de 
ordem metafísica, não física. 
2.1. Raciocínio analógico 
Se raciocinar é passar do desconhecido ao conhecido, é 
partir do que se sabe em direção àquilo que não se sabe, a 
analogia (aná = segundo, de acordo + lógon = razão) é um 
dos caminhos mais comuns para que isso aconteça. No ra-
ciocínio analógico, compara-se uma situação já conhecida 
com uma situação desconhecida ou parcialmente conhecida, 
aplicando a elas as informações previamente obtidas quando 
da vivência direta ou indireta da situação-referência. 
Normalmente, aquilo que é familiar é usado como ponto de 
apoio na formação do conhecimento, por isso, a analogia é 
um dos meios mais comuns de inferência. Se, por um lado, é 
fonte de conhecimentos do dia-a-dia, por outro, também tem 
servido de inspiração para muitos gênios das ciências e das 
artes, como nos casos de Arquimedes na banheira (lei do 
empuxo), de Galileu na catedral de Pisa (lei do pêndulo) ou 
de Newton sob a macieira (lei da gravitação universal). No 
entanto, também é uma forma de raciocínio em que se come-
tem muitos erros. Tal acontece porque é difícil estabelecer-
lhe regras rígidas. A distância entre a genialidade e a falha 
grosseira é muito pequena. No caso dos raciocínios analógi-
cos, não se trata propriamente de considerá-los válidos ou 
não-válidos, mas de verificar se são fracos ou fortes. Segun-
do Copi, deles somente se exige “que tenham alguma proba-
bilidade” (Introdução à lógica, p. 314). 
A força de uma analogia depende, basicamente, de três 
aspectos: 
a) os elementos comparados devem ser verdadeiros e im-
portantes; 
b) o número de elementos semelhantes entre uma situa-
ção e outra deve ser significativo; 
c) não devem existir divergências marcantes na compara-
ção. 
No raciocínio analógico, comparam-se duas situações, ca-
sos, objetos etc. semelhantes e tiram-se as conclusões ade-
quadas. Na ilustração, tal como a carroça, o carro a motor é 
um meio de transporte que necessita de um condutor. Este, 
tanto num caso quanto no outro, precisa ser dotado de bom 
senso e de boa técnica para desempenhar adequadamente 
seu papel. 
Aplicação das regras acima a exemplos: 
a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e re-
levantes, não imaginários ou insignificantes.tc 
"a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e re-
levantes, não imaginários ou insignificantes." 
Analogia forte - Ana Maria sempre teve bom gosto ao 
comprar suas roupas, logo, terá bom gosto ao comprar as 
roupas de sua filha. 
Analogia fraca - João usa terno, sapato de cromo e per-
fume francês e é um bom advogado; 
Antônio usa terno, sapato de cromo e perfume francês; lo-
go, deve ser um bom advogado. 
b) O número de aspectos semelhantes entre uma situação 
e outra deve ser significativo.tc "b) O número de aspectos 
semelhantes entre uma situação e outra deve ser significati-
vo." 
Analogia forte - A Terra é um planeta com atmosfera, 
com clima ameno e tem água; em Marte, tal como na Terra, 
houve atmosfera, clima ameno e água; na Terra existe vida, 
logo, tal como na Terra, em Marte deve ter havido algum tipo 
de vida. 
Analogia fraca - T. Edison dormia entre 3 e 4 horas por 
noite e foi um gênio inventor; eu dormirei durante 3 1/2 horas 
por noite e, por isso, também serei um gênio inventor. 
c) Não devem existir divergências marcantes na compara-
ção.tc "c) Não devem existir divergências marcantes na com-
paração.." 
Analogia forte - A pescaria em rios não é proveitosa por 
ocasião de tormentas e tempestades; 
a pescaria marinha não está tendo sucesso porque troveja 
muito. 
Analogia fraca - Os operários suíços que recebem o salá-
rio mínimo vivem bem; a maioria dos operários brasileiros, tal 
como os operários suíços, também recebe um salário míni-
mo; logo, a maioria dos operários brasileiros também vive 
bem, como os suíços. 
Pode-se notar que, no caso da analogia, não basta consi-
derar a forma de raciocínio, é muito importante que se avalie 
o seu conteúdo. Por isso, esse tipo de raciocínio não é admi-
tido pela lógica formal. Se as premissas forem verdadeiras, a 
conclusão não o será necessariamente, mas possivelmente, 
isto caso cumpram-se as exigências acima. 
Tal ocorre porque, apesar de existir uma estrutura geral do 
raciocínio analógico, não existem regras claras e precisas 
que, uma vez observadas, levariam a uma conclusão neces-
sariamente válida. 
O esquema básico do raciocínio analógico é: 
A é N, L, Y, X; 
B, tal como A, é N, L, Y, X; 
A é, também, Z 
logo, B, tal como A, é também Z. 
Se, do ponto de vista da lógica formal, o raciocínio analó-
gico é precário, ele é muito importante na formulação de 
hipóteses científicas e de teses jurídicas ou filosóficas. Con-
tudo, as hipóteses científicas oriundas de um raciocínio ana-
lógico necessitam de uma avaliação posterior, mediante pro-
cedimentos indutivos ou dedutivos. 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 66
Observe-se o seguinte exemplo: John Holland, físico e pro-
fessor de ciência da computação da Universidade de Michi-
gan, lançou a hipótese (1995) de se verificar, no campo da 
computação, uma situação semelhante à que ocorre no da 
genética. Assim como na natureza espécies diferentes po-
dem ser cruzadas para obter o chamado melhoramento gené-
tico - um indivíduo mais adaptado ao ambiente -, na informá-
tica, também o cruzamento de programas pode contribuir 
para montar um programa mais adequado para resolver um 
determinado problema. “Se quisermos obter uma rosa mais 
bonita e perfumada, teremos que cruzar duas espécies: uma 
com forte perfume e outra que seja bela” diz Holland. “Para 
resolver um problema, fazemos o mesmo. Pegamos um pro-
grama que dê conta de uma parte do problema e cruzamos 
com outro programa que solucione outra parte. Entre as vá-
rias soluções possíveis, selecionam-se aquelas que parecem 
mais adequadas. Esse processo se repete por várias gera-
ções - sempre selecionando o melhor programa - até obter o 
descendente que mais se adapta à questão. É, portanto, 
semelhante ao processo de seleção natural, em que só so-
brevivem os mais aptos”. (Entrevista ao JB, 19/10/95, 1º cad., 
p. 12). 
Nesse exemplo, fica bem clara a necessidade da averi-
guação indutiva das conclusões extraídas desse tipo de ra-
ciocínio para, só depois, serem confirmadas ou não. 
2.2. Raciocínio Indutivo - do particular ao geral 
Ainda que alguns autores considerem a analogia como 
uma variação do raciocínio indutivo, esse último tem uma 
base mais ampla de sustentação. A indução consiste em 
partir de uma série de casos particulares e chegar a uma 
conclusão de cunho geral. Nele, está pressuposta a possibili-
dade da coleta de dados ou da observação de muitos fatos e, 
na maioria dos casos, também da verificação experimental. 
Como dificilmente são investigados todos os casos possíveis, 
acaba-se aplicando o princípio das probabilidades. 
Assim sendo, as verdades do raciocínio indutivo depen-
dem das probabilidades sugeridas pelo número de casos 
observados e pelas evidências fornecidas por estes. A enu-
meração de casos deve ser realizada com rigor e a conexão 
entre estes deve ser feita com critérios rigorosos para que 
sejam indicadores da validade das generalizações contidas 
nas conclusões. 
O esquema principal do raciocínio indutivo é o seguinte: 
B é A e é X; 
C é A e também é X; 
D é A e também é X; 
E éA e também é X; 
logo, todos os A são X 
No raciocínio indutivo, da observação de muitos casos par-
ticulares, chega-se a uma conclusão de cunho geral. 
Aplicando o modelo: 
A jararaca é uma cobra e não voa; 
A caninana é uma cobra e também não voa; 
A urutu é uma cobra e também não voa; 
A cascavel é uma cobra e também não voa; 
logo, as cobras não voam. 
Contudo, 
Ao sair de casa, João viu um gato preto e, logo a seguir, 
caiu e quebrou o braço. Maria viu o mesmo gato e, alguns 
minutos depois, foi assaltada. Antonio também viu o mesmo 
gato e, ao sair do estacionamento, bateu com o carro. Logo, 
ver um gato preto traz azar. 
Os exemplos acima sugerem, sob o ponto de vista do valor 
lógico, dois tipos de indução: a indução fraca e a indução 
forte. É forte quando não há boas probabilidades de que um 
caso particular discorde da generalização obtida das premis-
sas: a conclusão “nenhuma cobra voa” tem grande probalida-
de de ser válida. Já, no caso do “gato preto”, não parece 
haver sustentabilidade da conclusão, por se tratar de mera 
coincidência, tratando-se de uma indução fraca. Além disso, 
há casos em que 
uma simples análise das premissas é suficiente para de-
tectar a sua fraqueza. 
Vejam-se os exemplos das conclusões que pretendem ser 
aplicadas ao comportamento da totalidade dos membros de 
um grupo ou de uma classe tendo como modelo o comporta-
mento de alguns de seus componentes: 
1. Adriana é mulher e dirige mal; 
Ana Maria é mulher e dirige mal; 
Mônica é mulher e dirige mal; 
Carla é mulher e dirige mal; 
logo, todas as mulheres dirigem mal. 
2. Antônio Carlos é político e é corrupto; 
Fernando é político e é corrupto; 
Paulo é político e é corrupto; 
Estevão é político e é corrupto; 
logo, todos os políticos são corruptos. 
A avaliação da suficiência ou não dos elementos não é ta-
refa simples, havendo muitos exemplos na história do conhe-
cimento indicadores dos riscos das conclusões por indução. 
Basta que um caso contrarie os exemplos até então colhidos 
para que caia por terra uma “verdade” por ela sustentada. Um 
exemplo famoso é o da cor dos cisnes. Antes da descoberta 
da Austrália, onde foram encontrados cisnes pretos, acredita-
va-se que todos os cisnes fossem brancos porque todos os 
até então observados eram brancos. Ao ser visto o primeiro 
cisne preto, uma certeza de séculos caiu por terra. 
2.2.1. Procedimentos indutivos 
Apesar das muitas críticas de que é passível o raciocínio 
indutivo, este é um dos recursos mais empregados pelas 
ciências para tirar as suas conclusões. Há dois procedimen-
tos principais de desenvolvimento e aplicação desse tipo de 
raciocínio: o da indução por enumeração incompleta suficien-
te e o da indução por enumeração completa. 
a. Indução por enumeração incompleta suficiente 
Nesse procedimento, os elementos enumerados são tidos 
como suficientes para serem tiradas determinadas conclu-
sões. É o caso do exemplo das cobras, no qual, apesar de 
não poderem ser conferidos todos os elementos (cobras) em 
particular, os que foram enumerados são representativos do 
todo e suficientes para a generalização (“todas as cobras...”) 
b. Indução por enumeração completa 
Costuma-se também classificar como indutivo o raciocínio 
baseado na enumeração completa. 
Ainda que alguns a classifiquem como tautologia, ela ocor-
re quando: 
b.a. todos os casos são verificados e contabilizados; 
b.b. todas as partes de um conjunto são enumeradas. 
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Exemplos correspondentes às duas formas de indução por 
enumeração completa: 
b.a. todas as ocorrências de dengue foram investigadas e 
em cada uma delas foi constatada uma característica própria 
desse estado de morbidez: fortes dores de cabeça; obteve-
se, por conseguinte, a conclusão segura de que a dor de 
cabeça é um dos sintomas da dengue. 
b.b. contam-se ou conferem-se todos as peças do jogo de 
xadrez: ao final da contagem, constata-se que são 32 peças. 
Nesses raciocínios, tem-se uma conclusão segura, poden-
do-se classificá-los como formas de indução forte, mesmo 
que se revelem pouco criativos em termos de pesquisa cientí-
fica. 
O raciocínio indutivo nem sempre aparece estruturado nos 
moldes acima citados. Às vezes, percebe-se o seu uso pela 
maneira como o conteúdo (a matéria) fica exposta ou orde-
nada. Observem-se os exemplos: 
- Não parece haver grandes esperanças em se erradicar a 
corrupção do cenário político brasileiro. 
Depois da série de protestos realizados pela população, 
depois das provas apresentadas nas CPI’s, depois do vexa-
me sofrido por alguns políticos denunciados pela imprensa, 
depois do escárnio popular em festividades como o carnaval 
e depois de tanta insistência de muitos sobre necessidade de 
moralizar o nosso país, a corrupção parece recrudescer, 
apresenta novos tentáculos, se disfarça de modos sempre 
novos, encontrando-se maneiras inusitadas de ludibriar a 
nação. 
- Sentia-me totalmente tranqüilo quanto ao meu amigo, 
pois, até então, os seus atos sempre foram pautados pelo 
respeito às leis e à dignidade de seus pares. Assim, enquanto 
alguns insinuavam a suaculpa, eu continuava seguro de sua 
inocência. 
Tanto no primeiro quanto no segundo exemplos está sen-
do empregando o método indutivo porque o argumento prin-
cipal está sustentado pela observação de muitos casos ou 
fatos particulares que, por sua vez, fundamentam a conclu-
são. No primeiro caso, a constatação de que diversas tentati-
vas de erradicar a corrupção mostraram-se infrutíferas con-
duzem à conclusão da impossibilidade de sua superação, 
enquanto que, no segundo exemplo, da observação do com-
portamento do amigo infere-se sua inocência. 
Analogia, indução e probabilidade 
Nos raciocínios analógico e indutivo, apesar de boas 
chances do contrário, há sempre a possibilidade do erro. Isso 
ocorre porque se está lidando com probabilidades e estas 
não são sinônimas de certezas. 
Há três tipos principais de probabilidades: a matemática, a 
moral e a natural. 
a) A probabilidade matemática é aquela na qual, partin-
do-se dos casos numerados, é possível calcular, sob forma 
de fração, a possibilidade de algo ocorrer – na fração, o de-
nominador representa os casos possíveis e o numerador o 
número de casos favoráveis. Por exemplo, no caso de um 
sorteio usando uma moeda, a probabilidade de dar cara é de 
50% e a de dar coroa também é de 50%. 
b) A probabilidade moral é a relativa a fatos humanos 
destituídos de caráter matemático. É o caso da possibilidade 
de um comportamento criminoso ou virtuoso, de uma reação 
alegre ou triste etc. 
Exemplos: considerando seu comportamento pregresso, é 
provável que Pedro não tenha cometido o crime, contudo... 
Conhecendo-se a meiguice de Maria, é provável que ela o 
receba bem, mas... 
c) A probabilidade natural é a relativa a fenômenos natu-
rais dos quais nem todas as possibilidades são conhecidas. A 
previsão meteorológica é um exemplo particular de probali-
dade natural. A teoria do caos assenta-se na tese da imprevi-
sibilidade relativa e da descrição apenas parcial de alguns 
eventos naturais. 
Por lidarem com probabilidades, a indução e a analogia 
são passíveis de conclusões inexatas. 
Assim sendo, deve-se ter um relativo cuidado com as suas 
conclusões. Elas expressam muito bem a necessidade hu-
mana de explicar e prever os acontecimentos e as coisas, 
contudo, também revelam as limitações humanas no que diz 
respeito à construção do conhecimento. 
2.3. Raciocínio dedutivo - do geral ao particularO raciocínio dedutivo, conforme a convicção de muitos es-
tudiosos da lógica, é aquele no qual são superadas as defici-
ências da analogia e da indução. 
No raciocínio dedutivo, inversamente ao indutivo, parte-se 
do geral e vai-se ao particular. As inferências ocorrem a partir 
do progressivo avanço de uma premissa de cunho geral, para 
se chegar a uma conclusão tão ou menos ampla que a pre-
missa. O silogismo é o melhor exemplo desse tipo de raciocí-
nio: 
Premissa maior: Todos os homens são mamíferos. univer-
sal 
Premissa menor: Pedro é homem. 
Conclusão: Logo, Pedro é mamífero. Particular 
No raciocínio dedutivo, de uma premissa de cunho geral 
podem-se tirar conclusões de cunho particular. 
Aristóteles refere-se à dedução como “a inferência na qual, 
colocadas certas coisas, outra diferente se lhe segue neces-
sariamente, somente pelo fato de terem sido postas”. Uma 
vez posto que todos os homens são mamíferos e que Pedro 
é homem, há de se inferir, necessariamente, que Pedro é um 
mamífero. De certo modo, a conclusão já está presente nas 
premissas, basta observar algumas regras e inferir a conclu-
são. 
2.3.1. Construção do Silogismo 
A estrutura básica do silogismo (sýn/com + lógos/razão) 
consiste na determinação de uma premissa maior (ponto de 
partida), de uma premissa menor (termo médio) e de uma 
conclusão, inferida a partir da premissa menor. Em outras 
palavras, o silogismo sai de uma premissa maior, progride 
através da premissa menor e infere, necessariamente, uma 
conclusão adequada. 
Eis um exemplo de silogismo: 
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Todos os atos que ferem a lei são puníveis Premissa Maior 
A concussão é um ato que fere a lei Premissa Menor 
Logo, a concussão é punível Conclusão 
O silogismo estrutura-se por premissas. No âmbito da lógi-
ca, as premissas são chamadas de proposições que, por sua 
vez, são a expressão oral ou gráfica de frases assertivas ou 
juízos. O termo é uma palavra ou um conjunto de palavras 
que exprime um conceito. Os termos de um silogismo são 
necessariamente três: maior, médio e menor. O termo maior 
é aquele cuja extensão é maior (normalmente, é o predicado 
da conclusão); o termo médio é o que serve de intermediário 
ou de conexão entre os outros dois termos (não figura na 
conclusão) e o termo menor é o de menor extensão (normal-
mente, é o sujeito da conclusão). No exemplo acima, punível 
é o termo maior, ato que fere a lei é o termo médio e concus-
são é o menor. 
2.3.1.1. As Regras do Silogismo 
Oito são as regras que fazem do silogismo um raciocínio 
perfeitamente lógico. As quatro primeiras dizem respeito às 
relações entre os termos e as demais dizem respeito às rela-
ções entre as premissas. São elas: 
2.3.1.1.1. Regras dos Termos 
 
1) Qualquer silogismo possui somente três termos: maior, 
médio e menor. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todos os gatos são mamíferos. 
Termo Médio: Mimi é um gato. 
Termo Menor: Mimi é um mamífero. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Toda gata(1) é quadrúpede. 
Termo Médio: Maria é uma gata(2). 
Termo Menor: Maria é quadrúpede. 
O termo “gata” tem dois significados, portanto, há quatro 
termos ao invés de três. 
 
2) Os termos da conclusão nunca podem ser mais exten-
sos que os termos das premissas. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todas as onças são ferozes. 
Termo Médio: Nikita é uma onça. 
Termo Menor: Nikita é feroz. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Antônio e José são poetas. 
Termo Médio: Antônio e José são surfistas. 
Termo Menor: Todos os surfistas são poetas. 
“Antonio e José” é um termo menos extenso que “todos os 
surfistas”. 
 
3) O predicado do termo médio não pode entrar na conclu-
são. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. 
Termo Médio: Pedro é homem. 
Termo Menor: Pedro pode infringir a lei. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. 
Termo Médio: Pedro é homem. 
Termo Menor: Pedro ou é homem (?) ou pode infringir a 
lei. 
A ocorrência do termo médio “homem” na conclusão é ino-
portuna. 
 
4) O termo médio deve ser tomado ao menos uma vez em 
sua extensão universal. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todos os homens são dotados de habilida-
des. 
Termo Médio: Pedro é homem. 
Termo Menor: Pedro é dotado de habilidades. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Alguns homens são sábios. 
Termo Médio: Ora os ignorantes são homens 
Termo Menor: Logo, os ignorantes são sábios 
O predicado “homens” do termo médio não é universal, 
mas particular. 
 
2.3.1.1.2. Regras das Premissas 
5) De duas premissas negativas, nada se conclui. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: Nenhum gato é mamífero 
Premissa Menor: Lulu não é um gato. 
Conclusão: (?). 
6) De duas premissas afirmativas, não se tira uma conclu-
são negativa. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser deseja-
dos. 
Premissa Menor: Ajudar ao próximo é um bem moral. 
Conclusão: Ajudar ao próximo não (?) deve ser desejado. 
7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. A 
premissa mais fraca é sempre a de caráter negativo. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: As aves são animais que voam. 
Premissa Menor: Alguns animais não são aves. 
Conclusão: Alguns animais não voam. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: As aves são animais que voam. 
Premissa Menor: Alguns animais não são aves. 
Conclusão: Alguns animais voam. 
8) De duas premissas particulares nada se conclui. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: Mimi é um gato. 
Premissa Menor: Um gato foi covarde. 
Conclusão: (?) 
http://www.guiadoconcursopublico.com.br/apostilas/24_12
0.pdf 
 
 
LÓGICA SENTENCIAL E DE PRIMEIRA ORDEM 
 
Elementos de Lógica sentencial 
1. A diferença entre a lógica sentencial e a lógica de pre-
dicados 
 
A lógica divide-se em lógica sentencial e lógica de predi-
cados. A lógica sentencial estuda argumentos que não de-
pendem da estrutura interna das sentenças. Por exemplo: 
 
(1) 
Se Deus existe, então a felicidade eterna é possível. 
Deus existe. 
Logo, a felicidade eterna é possível. 
 
A validade do argumento (1) depende do modo pelo qual 
as sentenças são conectadas, mas não depende da estrutura 
interna das sentenças. A forma lógica de (1) deixa isso claro: 
(1a) 
Se A, então B. 
A. 
Logo, B. 
 
Diferentemente, a lógica de predicados estuda argumen-
tos cuja validade depende da estrutura interna das senten-
ças. Por exemplo: 
(2) 
Todos os cariocas são brasileiros. 
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Alguns cariocas são flamenguistas. 
Logo, alguns brasileiros são flamenguistas. 
A forma lógica de (2) é a seguinte: 
(2a) 
Todo A é B. 
Algum A é C. 
Logo, algum B é A. 
 
A primeira premissa do argumento (2) diz que o conjunto 
dos indivíduos que são cariocas está contido no conjunto dos 
brasileiros. A segunda, diz que ‘dentro’ do conjunto dos cario-
cas, há alguns indivíduos que são flamenguistas. É fácil con-
cluir então que existem alguns brasileiros que são flamen-
guistas, poisesses flamenguistas que são cariocas serão 
também brasileiros. Essa conclusão se segue das premissas. 
 
Note, entretanto, que as sentenças ‘todos os cariocas são 
brasileiros’ e ‘alguns cariocas são flamenguistas’ têm uma 
estrutura diferente da sentença ‘se Deus existe, a felicidade 
eterna é possível’. Esta última é formada a partir de duas 
outras sentenças ‘Deus existe’ e ‘a felicidade eterna é possí-
vel’, conectadas pelo operador lógico se...então. Já para 
analisar o argumento (2) precisamos analisar a estrutura 
interna das sentenças, e não apenas o modo pelo qual sen-
tenças são conectadas umas às outras. O que caracteriza a 
lógica de predicados é o uso dos quantificadores todo, algum 
e nenhum. É por esse motivo que a validade de um argumen-
to como o (2) depende da estrutura interna das sentenças. A 
diferença entre a lógica sentencial e a lógica de predicados 
ficará mais clara no decorrer desta e da próxima unidade. 
 
Usualmente o estudo da lógica começa pela lógica sen-
tencial, e seguiremos esse caminho aqui. Nesta unidade 
vamos estudar alguns elementos da lógica sentencial. Na 
próxima unidade, estudaremos elementos da lógica de predi-
cados. 
 
2. Sentenças atômicas e moleculares 
Considere-se a sentença 
(1) Lula é brasileiro. 
 
A sentença (1) é composta por um nome próprio, ‘Lula’, e 
um predicado, ‘... é brasileiro’. Em lógica, para evitar o uso de 
‘...’, usamos uma variável para marcar o(s) lugar(es) em que 
podemos completar um predicado. Aqui, expressões do tipo x 
é brasileiro designam predicados. Considere agora a senten-
ça (2) Xuxa é mãe de Sasha. 
 
A sentença (2) pode ser analisada de três maneiras dife-
rentes, que correspondem a três predicados diferentes que 
podem ser formados a partir de (2): 
(2a) x é mãe de Sasha; 
(2b) Xuxa é mãe de x; 
(2c) x é mãe de y. 
 
Do ponto de vista lógico, em (2c) temos o que é chamado 
de um predicado binário, isto é, um predicado que, diferente-
mente de x é brasileiro, deve completado por dois nomes 
próprios para formar uma sentença. 
 
As sentenças (1) e (2) acima são denominadas sentenças 
atômicas. Uma sentença atômica é uma sentença formada 
por um predicado com um ou mais espaços vazios, sendo 
todos os espaços vazios completados por nomes próprios. 
Sentenças atômicas não contêm nenhum dos operadores 
lógicos e, ou, se...então etc., nem os quantificadores todo, 
nenhum, algum etc. 
 
Sentenças moleculares são sentenças formadas com o 
auxílio dos operadores sentenciais. Exemplos de sentenças 
moleculares são 
(3) Lula é brasileiro e Zidane é francês, 
(4) Se você beber, não dirija, 
(5) João vai à praia ou vai ao clube. 
 
3. A interpretação vero-funcional dos operadores senten-
ciais 
Os operadores sentenciais que estudaremos aqui são as 
partículas do português não, ou, e, se...então, se, e somente 
se. A lógica sentencial interpreta esses operadores como 
funções de verdade ou vero-funcionalmente. Isso significa 
que eles operam apenas com os valores de verdade dos 
seus operandos, ou em outras palavras, o valor de verdade 
de uma sentença formada com um dos operadores é deter-
minado somente pelos valores de verdade das sentenças que 
a constituem. 
 
Os operadores sentenciais se comportam de uma manei-
ra análoga às funções matemáticas. Estas recebem números 
como argumentos e produzem números como valores. Os 
operadores sentenciais são funções porque recebem valores 
de verdade como argumentos e produzem valores de verda-
de. Considere-se a seguinte função matemática: 
(4) y =x + 1. 
 
Dizemos que y =f(x), isto é, ‘y é função de x’, o que signi-
fica que o valor de y depende do valor atribuído a x. 
Quando x =1, y =2; 
x =2, y =3; 
x = 3, y =4, 
e assim por diante. Analogamente a uma função matemá-
tica, uma função de verdade recebe valores de verdade como 
argumentos e produz valores de verdade como valores. 
 
As chamadas tabelas de verdade mostram como os ope-
radores da lógica sentencial funcionam. 
 
No lado esquerdo da tabela de verdade temos as senten-
ças a partir das quais a sentença composta foi formada – no 
caso da negação, uma única sentença. O valor produzido 
pela função de verdade está na coluna da direita. As letras V 
e F representam os valores de verdade verdadeiro e falso. 
 
4. A negação 
Comecemos pelo operador sentencial mais simples, a ne-
gação. A tabela de verdade da negação de uma sentença A é 
A não A 
V F 
F V 
 
A negação simplesmente troca o valor de verdade da sen-
tença. Uma sentença verdadeira, quando negada, produz 
uma sentença falsa, e vice-versa. 
 
Há diferentes maneiras de negar uma sentença atômica 
em português. Considere a sentença verdadeira 
(5) Lula é brasileiro. 
 
As sentenças 
(6) Não é o caso que Lula é brasileiro, 
(7) Não é verdade que Lula é brasileiro 
e 
(8) É falso que Lula é brasileiro 
são diferentes maneiras de negar (5). Como (5) é uma 
sentença atômica, podemos também negar (5) por meio da 
sentença 
(9) Lula não é brasileiro. 
 
A negação em (9) é denominada negação predicativa, 
pois nega o predicado, ao passo que em (6) há uma negação 
sentencial porque toda a sentença é negada. No caso de 
sentenças atômicas, a negação predicativa é equivalente à 
negação sentencial, mas veremos que isso não ocorre com 
sentenças moleculares e sentenças com quantificadores. 
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Note que negar duas vezes uma sentença equivale a a-
firmar a própria sentença. A negação de 
(5) Lula é brasileiro 
é 
(9) Lula não é brasileiro, 
e a negação de (9), 
(10) Não é o caso que Lula não é brasileiro, é a negação 
da negação de (5), que é equivalente à própria sentença (5). 
 
5. A conjunção 
Uma sentença do tipo A e B é denominada uma conjun-
ção. Considere-se a sentença 
(11) João foi à praia e Pedro foi ao futebol. 
A sentença (1) é composta por duas sentenças, 
(12) João foi à praia 
e 
(13) Pedro foi ao futebol 
conectadas pelo operador lógico e. Na interpretação vero-
funcional do operador e, o valor de verdade de (11) depende 
apenas dos valores de verdade das sentenças (12) e (13). É 
fácil perceber que (11) é verdadeira somente em uma situa-
ção: quando (12) e (13) são ambas verdadeiras. A tabela de 
verdade de uma conjunção A e B é a seguinte: 
A B A e B 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Note que, na interpretação vero-funcional da conjunção, A 
e B é equivalente a B e A. Não faz diferença alguma afirmar-
mos (11) ou (14) Pedro foi ao futebol e João foi à praia. 
 
É importante observar que a interpretação vero-funcional 
da conjunção não expressa todos os usos da partícula e em 
português. A sentença 
(15) Maria e Pedro tiveram um filho e casaram não é e-
quivalente a 
(16) Maria e Pedro casaram e tiveram um filho. 
 
Em outras palavras, o e que ocorre em (15) e (16) não é 
uma função de verdade. 
 
6. A disjunção 
Uma sentença do tipo A ou B é denominada uma disjun-
ção. Há dois tipos de disjunção, a inclusiva e a exclusiva. 
Ambas tomam dois valores de verdade como argumentos e 
produzem um valor de verdade como resultado. Começarei 
pela disjunção inclusiva. Considere-se a sentença 
(17) Ou João vai à praia ou João vai ao clube, que é for-
mada pela sentenças 
(18) João vai à praia 
e 
(19) João vai ao clube combinadas pelo operador ou. A 
sentença (17) é verdadeira em três situações: 
(i) João vai à praia e também vai ao clube; 
(ii) João vai à praia mas não vai ao clube e 
(iii) João não vai à praiamas vai ao clube. 
 
A tabela de verdade da disjunção inclusiva é a seguinte: 
A B A ou B 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
No sentido inclusivo do ou, uma sentença A ou B é verda-
deira quando uma das sentenças A e B é verdadeira ou 
quando são ambas verdadeiras, isto é, a disjunção inclusiva 
admite a possibilidade de A e B serem simultaneamente 
verdadeiras. 
 
No sentido exclusivo do ou, uma sentença A ou B é ver-
dadeira apenas em duas situações: 
(i) A é verdadeira e B é falsa; 
(ii) B é verdadeira e A e falsa. 
 
Não há, na disjunção exclusiva, a possibilidade de serem 
ambas as sentenças verdadeiras. A tabela de verdade da 
disjunção exclusiva é 
A B A ou B 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Um exemplo de disjunção exnclusiva é 
(20) Ou o PMDB ou o PP receberá o ministério da saúde, 
que é formada a partir das sentenças: 
(21) o PMDB receberá o ministério da saúde; 
(22) o PP receberá o ministério da saúde. 
 
Quando se diz que um determinado partido receberá um 
ministério, isso significa que um membro de tal partido será 
nomeado ministro. Posto que há somente um ministro da 
saúde, não é possível que (21) e (22) sejam simultaneamente 
verdadeiras. O ou da sentença (20), portanto, é exclusivo. 
 
Na lógica simbólica, são usados símbolos diferentes para 
designar o ou inclusivo e o exclusivo. No latim, há duas pala-
vras diferentes, vel para a disjunção inclusiva e aut para a 
exclusiva. No português isso não ocorre. Na maioria das 
vezes é apenas o contexto que deixa claro se se trata de uma 
disjunção inclusiva ou exclusiva. 
 
Assim como ocorre com a conjunção, sentenças A ou B e 
B ou A são equivalentes. Isso vale tanto para o ou inclusivo 
quanto para o exclusivo. 
 
7. A condicional 
Uma condicional é uma sentença da forma se A, então B. 
A é denominado o antecedente e B o conseqüente da condi-
cional. 
 
Em primeiro lugar, é importante deixar clara a diferença 
entre um argumento (23) A, logo B e uma condicional (24) se 
A, então B. 
 
Em (23) a verdade tanto de A quanto de B é afirmada. No-
te que o que vem depois do ‘logo’ é afirmado como verdadei-
ro e é a conclusão do argumento. Já em (24), nada se diz 
acerca da verdade de A, nem de B. (24) diz apenas que se A 
é verdadeira, B também será verdadeira. Note que apesar de 
uma condicional e um argumento serem coisas diferentes 
usamos uma terminologia similar para falar de ambos. Em 
(23) dizemos que A é o antecedente do argumento, e B é o 
conseqüente do argumento. Em (24), dizemos que A é o 
antecedente da condicional, e B é o conseqüente da condi-
cional. 
 
Da mesma forma que analisamos o e e o ou como fun-
ções de verdade, faremos o mesmo com a condicional. Anali-
sada vero-funcionalmente, a condicional é denominada con-
dicional material. 
 
Quando analisamos a conjunção, vimos que a interpreta-
ção vero-funcional do operador sentencial e não corresponde 
exatamente ao uso que dela fazemos na linguagem natural. 
Isso ocorre de modo até mais acentuado com o operador 
se...então. Na linguagem natural, geralmente usamos 
se...então para expressar uma relação entre os conteúdos de 
A e B, isto é, queremos dizer que A é uma causa ou uma 
explicação de B. Isso não ocorre na interpretação do 
se...então como uma função de verdade. A tabela de verdade 
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da condicional material é a seguinte: 
A B se A, então B 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Uma condicional material é falsa apenas em um caso: 
quando o antecedente é verdadeiro e o conseqüente falso. 
 
A terceira e a quarta linhas da tabela de verdade da con-
dicional material costumam causar problemas para estudan-
tes iniciantes de lógica. Parece estranho que uma condicional 
seja verdadeira sempre que o antecedente é falso, mas ve-
remos que isso é menos estranho do que parece. 
 
Suponha que você não conhece Victor, mas sabe que 
Victor é um parente do seu vizinho que acabou de chegar da 
França. Você não sabe mais nada sobre Victor. Agora consi-
dere a sentença: 
(25) Se Victor é carioca, então Victor é brasileiro. 
 
O antecedente de (25) é (26) Victor é carioca e o conse-
qüente é (27) Victor é brasileiro. 
 
A sentença (25) é verdadeira, pois sabemos que todo ca-
rioca é brasileiro. Em outras palavras, é impossível que al-
guém simultaneamente seja carioca e não seja brasileiro. Por 
esse motivo, a terceira linha da tabela de verdade, que torna-
ria a condicional falsa, nunca ocorre. 
 
Descartada a terceira linha, ainda há três possibilidades, 
que correspondem às seguintes situações: 
(a) Victor é carioca. 
(b) Victor é paulista. 
(c) Victor é francês. 
 
Suponha que Victor é carioca. Nesse caso, o antecedente 
e o conseqüente da condicional são verdadeiros. 
 
Temos a primeira linha da tabela de verdade. Até aqui 
não há problema algum. 
 
Suponha agora que Victor é paulista. Nesse caso, o ante-
cedente da condicional (26) Victor é carioca é falso, mas o 
conseqüente (27) Victor é brasileiro é verdadeiro. 
 
Temos nesse caso a terceira linha da tabela de verdade 
da condicional. Note que a condicional (25) continua sendo 
verdadeira mesmo que Victor seja paulista, isto é, quando o 
antecedente é falso. 
 
Por fim, suponha que Victor é francês. Nesse caso, tanto 
(26) Victor é carioca quanto (27) Victor é brasileiro são falsas. 
Temos aqui a quarta linha da tabela de verdade da condicio-
nal material. Mas, ainda assim, a sentença (25) é verdadeira. 
 
Vejamos outro exemplo. Considere a condicional 
(28) Se Pedro não jogar na loteria, não ganhará o prêmio. 
 
Essa é uma condicional verdadeira. Por quê? Porque é 
impossível (em uma situação normal) o antecedente ser ver-
dadeiro e o conseqüente falso. Isto é, não é possível Pedro 
não jogar e ganhar na loteria. Fica como exercício para o 
leitor a construção da tabela de verdade de (28). 
 
Não é difícil perceber, em casos como (25) e (28) acima, 
por que uma condicional é verdadeira quando o antecedente 
é falso. O problema é que, sendo a condicional material uma 
função de verdade, coisas como (29) se 2 + 2 = 5, então a 
Lua é de queijo são verdadeiras. Sem dúvida, esse é um 
resultado contra-intuitivo. Note que toda condicional material 
com antecedente falso será verdadeira. Mas no uso corrente 
da linguagem normalmente não formulamos condicionais com 
o antecedente falso. 
 
Mas cabe perguntar: se a condicional material de fato não 
expressa todos os usos do se...então em português e, além 
disso, produz resultados contra-intuitivos como a sentença 
(29), por que ela é útil para o estudo de argumentos construí-
dos com a linguagem natural? A resposta é muito simples. O 
caso em que a condicional material é falsa, a segunda linha 
da tabela de verdade, corresponde exatamente ao caso em 
que, no uso corrente da linguagem, uma sentença se A, en-
tão B é falsa. Considere-se a sentença (30) Se Lula conse-
guir o apoio do PMDB, então fará um bom governo. 
 
Em (30), o ponto é que Lula fará um bom governo porque 
tem o apoio do PMDB. Há um suposto nexo explicativo e 
causal entre o antecedente e o conseqüente. Suponha, entre-
tanto, que Lula obtém o apoio do PMDB durante todo o seu 
mandato, mas ainda assim faz um mau governo. Nesse caso, 
em que o antecedente é verdadeiro e o conseqüente falso, 
(30) é falsa. 
 
Abaixo, você encontra diferentes maneiras de expressar, 
na linguagem natural, uma condicional se A, então B, todas 
equivalentes. 
Se A, B 
B, se A 
Caso A, BB, caso A 
 
As expressões abaixo também são equivalentes a se A, 
então B: 
A, somente se B 
Somente se B, A 
A é condição suficiente para B 
B é condição necessária para A,mas elas serão vistas 
com mais atenção na seção sobre condições necessárias e 
suficientes. 
 
8. Variantes da condicional material 
Partindo de uma condicional 
(31) Se A, então B 
podemos construir sua conversa, 
(32) Se B, então A 
sua inversa 
(33) Se não A, então não B e sua contrapositiva (34) Se 
não B, então não A. 
 
Há dois pontos importantes sobre as sentenças acima 
que precisam ser observados. Vimos que A e B e B e A, 
assim como A ou B e B ou A são equivalentes. Entretanto, se 
A, então B e se B então A NÃO SÃO EQUIVALENTES!!! 
 
Isso pode ser constatado facilmente pela construção das 
respectivas tabelas de verdade, que fica como exercício para 
o leitor. Mas pode ser também intuitivamente percebido. Con-
sidere as sentenças: (35) Se João é carioca, João é brasileiro 
e 
(36) Se João é brasileiro, João é carioca. 
 
Enquanto a sentença (35) é verdadeira, é evidente que 
(36) pode ser falsa, pois João pode perfeitamente ser brasilei-
ro sem ser carioca. 
 
Uma condicional se A, então B e sua contrapositiva se 
não B, então não A são equivalentes. Isso pode ser constata-
do pela construção da tabela de verdade, que fica como um 
exercício para o leitor. Mas note que a contrapositiva de (35), 
(37) Se João não é brasileiro, não é carioca, é verdadeira nas 
mesmas circunstâncias em que (35) é verdadeira. A diferença 
entre (35) e (37) é que (35) enfatiza que ser carioca é condi-
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ção suficiente para ser brasileiro, enquanto (37) enfatiza que 
ser brasileiro é condição necessária para ser carioca. Isso 
ficará mais claro na seção sobre condições necessárias e 
suficientes. 
 
9. Negações 
Agora nós vamos aprender a negar sentenças construí-
das com os operadores sentenciais. 
 
Negar uma sentença é o mesmo afirmar que a sentença é 
falsa. Por esse motivo, para negar uma sentença construída 
com os operadores sentenciais e, ou e se...então, basta afir-
mar a(s) linha(s) da tabela de verdade em que a sentença é 
falsa. 
 
9a. Negação da disjunção 
Comecemos pelos caso mais simples, a disjunção (inclu-
siva). Como vimos, uma disjunção A ou B é falsa no caso em 
que tanto A quanto B são falsas. Logo, para negar uma dis-
junção, nós precisamos dizer que A é falsa e também que B é 
falsa, isto é, não A e não B. Fica como exercício para o leitor 
a construção das tabelas de verdade de A ou B e não A e 
não B para constatar que são idênticas. 
(1) João comprou um carro ou uma moto. 
 
A negação de (1) é: 
(2) João não comprou um carro e não comprou uma moto, 
ou 
(3) João nem comprou um carro, nem comprou uma moto. 
 
Na linguagem natural, freqüentemente formulamos a ne-
gação de uma disjunção com a expressão nem...nem. Nem 
A, nem B significa o mesmo que não A e não B. 
(4) O PMDB receberá o ministério da saúde ou o PP re-
ceberá o ministério da cultura. 
A negação de (4) é: 
(5) Nem o PMDB receberá o ministério da saúde, nem o 
PP receberá o ministério da cultura. 
 
Exercício: complete a coluna da direita da tabela abaixo 
com a negação das sentenças do lado esquerdo. 
DISJUNÇÃO NEGAÇÃO 
A ou B não A e não B 
A ou não B 
não A ou B 
não A ou não B 
 
9b. Negação da conjunção 
Por um raciocínio análogo ao utilizado na negação da dis-
junção, para negar uma conjunção precisamos afirmar os 
casos em que a conjunção é falsa. Esses casos são a se-
gunda, a terceira e a quarta linhas da tabela de verdade. Isto 
é, A e B é falsa quando: 
(i) A é falsa, 
(ii) B é falsa ou 
(iii) A e B são ambas falsas. 
 
É fácil perceber que basta uma das sentenças ligadas pe-
lo e ser falsa para a conjunção ser falsa. A negação de A e B, 
portanto, é não A ou não B. Fica como exercício para o leitor 
a construção das tabelas de verdade de A e B e não A ou 
não B para constatar que são idênticas. 
 
Exemplos de negações de conjunções: 
(6) O PMDB receberá o ministério da saúde e o ministério 
da cultura. 
A negação de (6) é 
(6a) Ou PMDB não receberá o ministério da saúde, ou 
não receberá o ministério da cultura. 
(7) Beba e dirija. 
A negação de (7) é 
(7a) não beba ou não dirija. 
 
Fonte: http://abilioazambuja.sites.uol.com.br/1d.pdf 
Questões: 
Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ro-
naldo é carioca, traduzir para a linguagem corrente as seguin-
tes proposições: 
a) ~q 
b) p ^ q 
c) p v q 
d) p " q 
e) p " (~q) 
 
02. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposi-
ção Ricardo fala italiano traduzir para a linguagem simbólica 
as seguintes proposições: 
a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano. 
b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano. 
c) Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês. 
d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano. 
 
03. (UFB) Se p é uma proposição verdadeira, então: 
a) p ^ q é verdadeira, qualquer que seja q; 
b) p v q é verdadeira, qualquer que seja q; 
c) p ^ q é verdadeira só se q for falsa; 
d) p =>q é falsa, qualquer que seja q 
e) n.d.a. 
 
04. (MACK) Duas grandezas x e y são tais que "se x = 3 
então y = 7". Pode-se concluir que: 
a) se x 3 antão y 7 
b) se y = 7 então x = 3 
c) se y 7 então x 3 
d) se x = 5 então y = 5 
e) se x = 7 então y = 3 
 
05. (ABC) Assinale a proposição composta logicamente ver-
dadeira: 
a) (2 = 3) => (2 . 3 = 5) 
b) (2 = 2) => (2 . 3 = 5) 
c) (2 = 3) e (2 . 3 = 5) 
d) (2 = 3) ou (2 . 3 = 5) 
e) (2 = 3) e (~ ( 2= 2)) 
06. (UGF) A negação de x > -2 é: 
a) x > 2 
b) x #-2 
c) x < -2 
d) x < 2 
e) x #2 
 
07. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é: 
a) nenhum gato é pardo; 
b) existe gato pardo; 
c) existe gato não pardo; 
d) existe um e um só gato pardo; 
e) nenhum gato não é pardo. 
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08. (ABC) Se A negação de o gato mia e o rato chia é: 
a) o gato não mia e o rato não chia; 
b) o gato mia ou o rato chia; 
c) o gato não mia ou o rato não chia; 
d) o gato e o rato não chiam nem miam; 
e) o gato chia e o rato mia. 
 
09. Duas grandezas A e B são tais que "se A = 2 então B = 
5". Pode-se concluir que: 
a) se A 2 antão B 5 
b) se A = 5 então B = 2 
c) se B 5 então A 2 
d) se A = 2 então B = 2 
e) se A = 5 então B 2 
 
10. (VUNESP) Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma 
família. Das afirmações a seguir, referentes às pessoas reu-
nidas, a única necessariamente verdadeira é: 
a) pelo menos uma delas tem altura superior a 1,90m; 
b) pelo menos duas delas são do sexo feminino; 
c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês; 
d) pelo menos uma delas nasceu num dia par; 
e) pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro. 
 
Resolução: 
 
01. a) Paulo não é paulista. 
 b) Paulo é paulista e Ronaldo é carioca. 
 c) Paulo é paulista ou Ronaldo é carioca. 
 d) Se Paulo é paulista então Ronaldo é carioca. 
 e) Se Paulo é paulista então Ronaldo não é carioca. 
02. a) p ^ q 
 b) (~p) v p 
 c) q " p 
 d) (~p) ^ (~q) 
03. B 04. C 05. A 06. C 
07. C 08.C 09. C 10. C 
http://www.coladaweb.com/matematica/logica 
 
ESTRUTURAS LÓGICAS 
 
As questões de Raciocínio Lógico sempre vão ser com-
postas por proposições que provam, dão suporte, dão razão 
a algo, ou seja, são afirmações que expressam um pensa-
mento de sentindo completo. Essas proposições podem ter 
um sentindo positivo ou negativo. 
Exemplo 1: João anda de bicicleta. 
Exemplo 2: Maria não gosta de banana. 
Tanto o exemplo 1 quanto o 2 caracterizam uma afirma-
ção/proposição. 
A base das estruturas lógicas é saber o que é verdade 
ou mentira (verdadeiro/falso). 
Os resultados das proposições SEMPRE tem que dar 
verdadeiro. 
Há alguns princípios básicos: 
Contradição: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e 
falsa ao mesmo tempo. 
Terceiro Excluído: Dadas duas proposições lógicas con-
traditórias somente uma delas é verdadeira. Uma proposição 
ou é verdadeira ou é falsa, não há um terceiro valor lógico 
(“mais ou menos”, meio verdade ou meio mentira). 
Ex. Estudar é fácil. (o contrário seria: “Estudar é difícil”. 
Não existe meio termo, ou estudar é fácil ou estudar é difícil). 
Para facilitar a resolução das questões de lógica usam-se 
os Conectivos Lógicos, que são símbolos que comprovam a 
veracidade das informações e unem as proposições uma a 
outra ou as transformam numa terceira proposição. 
Veja abaixo: 
(~) “não”: negação 
(Λ) “e”: conjunção 
(V) “ou”: disjunção 
(→) “se...então”: condicional 
(↔) “se e somente se”: bicondicional 
Agora, vejamos na prática como funcionam estes conecti-
vos: 
Temos as seguintes proposições: 
O Pão é barato. O Queijo não é bom. 
A letra P, representa a primeira proposição e a letra Q, a 
segunda. Assim, temos: 
P: O Pão é barato. 
Q: O Queijo não é bom. 
NEGAÇÃO (símbolo ~): 
Quando usamos a negação de uma proposição inverte-
mos a afirmação que está sendo dada. Veja os exemplos: 
Ex1. : ~P (não P): O Pão não é barato. (É a negação lógi-
ca de P) 
~Q (não Q): O Queijo é bom. (É a negação lógica de Q) 
Se uma proposição é verdadeira, quando usamos a nega-
ção vira falsa. 
Se uma proposição é falsa, quando usamos a negação vi-
ra verdadeira. 
Regrinha para o conectivo de negação (~): 
 
P ~P 
V F 
F V 
 CONJUNÇÃO (símbolo Λ): 
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Este conectivo é utilizado para unir duas proposições for-
mando uma terceira. O resultado dessa união somente será 
verdadeiro se as duas proposições (P e Q) forem verdadei-
ras, ou seja, sendo pelo menos uma falsa, o resultado será 
FALSO. 
Ex.2: P Λ Q. (O Pão é barato e o Queijo não é bom.) Λ = 
“e” 
Regrinha para o conectivo de conjunção (Λ): 
P
ΛQ 
 
V
 
 
F 
 
F 
 
F 
 
DISJUNÇÃO (símbolo V): 
Este conectivo também serve para unir duas proposições. 
O resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposi-
ções for verdadeira. 
Ex3.: P V Q. (Ou o Pão é barato ou o Queijo não é bom.) 
V = “ou” 
Regrinha para o conectivo de disjunção (V): 
 
P
VQ 
V
V
V
F 
 
CONDICIONAL (símbolo →) 
Este conectivo dá a ideia de condição para que a outra 
proposição exista. “P” será condição suficiente para “Q” e “Q” 
é condição necessária para “P”. 
Ex4.: P → Q. (Se o Pão é barato então o Queijo não é 
bom.) → = “se...então” 
Regrinha para o conectivo condicional (→): 
 
P
→Q 
V 
F 
V 
V 
 
BICONDICIONAL (símbolo ↔) 
O resultado dessas proposições será verdadeiro se e so-
mente se as duas forem iguais (as duas verdadeiras ou as 
duas falsas). “P” será condição suficiente e necessária para 
“Q” 
Ex5.: P ↔ Q. (O Pão é barato se e somente se o Queijo 
não é bom.) ↔ = “se e somente se” 
Regrinha para o conectivo bicondicional (↔): 
 
P
↔Q 
V 
F 
F 
V 
 
 Fonte: http://www.concursospublicosonline.com/ 
 
TABELA VERDADE 
Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa 
é um tipo de tabela matemática usada em Lógica para 
determinar se uma fórmula é válida ou se um sequente é 
correto. 
As tabelas-verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege, 
Charles Peirce e outros da década de 1880, e tomaram a 
forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post e 
Ludwig Wittgenstein. A publicação do Tractatus Logico-
Philosophicus, de Wittgenstein, utilizava as mesmas para 
classificar funções veritativas em uma série. A vasta 
influência de seu trabalho levou, então, à difusão do uso de 
tabelas-verdade. 
Como construir uma Tabela Verdade 
Uma tabela de verdade consiste em: 
1º) Uma linha em que estão contidos todas as 
subfórmulas de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula 
¬((A∧B)→C) tem o seguinte conjuntos de subfórmulas: 
{ ¬((A∋B) ∧ ∧→C) , (A B)→C , A B , A , B , C} 
2º) l linhas em que estão todos possíveis valores que os 
termos podem receber e os valores cujas as fórmulas 
moleculares tem dados os valores destes termos. 
O número destas linhas é l = nt , sendo n o número de 
valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do Cálculo 
Proposicional Clássico) e t o número de termos que a fórmula 
contém. Assim, se uma fórmula contém 2 termos, o número 
de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: 
um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois 
casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e 
um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula 
contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a 
permutações entre estes será 8: um caso de todos termos 
serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos 
serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de 
apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) 
e um caso no qual todos termos são falsos (F F F). 
Tabelas das Principais Operações do Cálculo 
Proposicional Dei 
Negação 
A 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 75
A negação da proposição "A" é a proposição "~A", de 
maneira que se "A" é verdade então "~A" é falsa, e vice-
versa. 
Conjunção (E) 
A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos 
são verdadeiros 
A
^B 
V
F
F
F
Disjunção (OU) 
A disjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos 
forem falsos 
A
vB 
V
V
V
F
Condicional (Se... Então) [Implicação] 
A conjunção é falsa se, e somente se, o primeiro 
operando é verdadeiro e o segundo operando é falso 
A
→B 
V 
F 
V 
V 
Bicondicional (Se e somente se) [Equivalência] 
A conjunção é verdadeira se, e somente se, ambos 
operandos forem falsos ou ambos verdadeiros 
A
↔B 
V 
F 
F 
V 
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (OU... OU XOR) 
A conjunção é verdadeira se, e somente se, apenas um 
dos operandos for verdadeiro 
A
((((B 
F
V
V
F
Adaga de Quine (NOR) 
A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos 
são falsos 
A
((((B 
A
↓B 
V F
V F
V F
F V
Como usar tabelas para verificar a validade de 
argumentos 
Verifique se a conclusão nunca é falsa quando 
as premissas são verdadeiros. Em caso positivo, o 
argumento é válido. Em caso negativo, é inválido. 
Alguns argumentos válidos 
Modus ponens 
 
A
→B 
V 
F 
V 
V 
Modus tollens 
 
A B 
A
→B 
V 
F 
V 
V 
 
Silogismo HipotéticoA
→B 
B
→C 
A
→C 
V V V 
V F F 
F V V 
F V F 
V V V 
V F V 
V V V 
V V V 
Algumas falácias 
Afirmação do conseqüente 
Se A, então B. (A→B) 
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B. 
Logo, A. 
A
→B 
V 
F 
V 
V 
 
Comutação dos Condicionais 
A implica B. (A→B) 
Logo, B implica A. (B→A) 
A
→B 
B
→A 
V V 
F V 
V F 
V V 
Fonte: Wikipédia 
 
DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
História 
 
Para entender os diagramas lógicos vamos dar uma rápi-
da passada em sua origem. 
O suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) por volta de 1770, 
ao escrever cartas a uma princesa da Alemanha, usou os 
diagramas ao explicar o significado das quatro proposições 
categóricas: 
Todo A é B. 
Algum A é B. 
Nenhum A é B. 
Algum A não é B. 
 
Mais de 100 anos depois de Euler, o logicista inglês John 
Venn (1834 – 1923) aperfeiçoou o emprego dos diagramas, 
utilizando sempre círculos. Desta forma, hoje conhecemos 
como diagramas de Euler/Venn. 
 
Tipos 
 
Existem três possíveis tipos de relacionamento entre dois 
diferentes conjuntos: 
 
 
Indica que um con-
junto está ompleta-
mente contido no 
outro, mas o inverso 
não é verdadeiro. 
 
 
Indica que os dois 
conjuntos tem alguns 
elementos em co-
mum, mas não todos. 
 
 
Indica que não exis-
tem elementos co-
muns entre os con-
juntos. 
 
OBS: CONSIDERE QUE O TAMANHO DOS CÍRCULOS 
NÃO INDICA O TAMANHO RELATIVO DOS CONJUNTOS. 
 
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, 
INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES. 
 
1. Introdução 
Desde suas origens na Grécia Antiga, especialmente de 
Aristóteles (384-322 a.C.) em diante, a lógica tornou-se um 
dos campos mais férteis do pensamento humano, particular-
mente da filosofia. Em sua longa história e nas múltiplas 
modalidades em que se desenvolveu, sempre foi bem claro 
seu objetivo: fornecer subsídios para a produção de um bom 
raciocínio. 
Por raciocínio, entende-se tanto uma atividade mental 
quanto o produto dessa atividade. Esse, por sua vez, pode 
ser analisado sob muitos ângulos: o psicólogo poderá estudar 
o papel das emoções sobre um determinado raciocínio; o 
sociólogo considerará as influências do meio; o criminólogo 
levará em conta as circunstâncias que o favoreceram na 
prática de um ato criminoso etc. Apesar de todas estas pos-
sibilidades, o raciocínio é estudado de modo muito especial 
no âmbito da lógica. Para ela, pouco importam os contextos 
psicológico, econômico, político, religioso, ideológico, jurídico 
ou de qualquer outra esfera que constituam o “ambiente do 
raciocínio”. 
Ao lógico, não interessa se o raciocínio teve esta ou aque-
la motivação, se respeita ou não a moral social, se teve influ-
ências das emoções ou não, se está de acordo com uma 
doutrina religiosa ou não, se foi produzido por uma pessoa 
embriagada ou sóbria. Ele considera a sua forma. Ao consi-
derar a forma, ele investiga a coerência do raciocínio, as 
relações entre as premissas e a conclusão, em suma, sua 
obediência a algumas regras apropriadas ao modo como foi 
formulado etc. 
Apenas a título de ilustração, seguem-se algumas defini-
ções e outras referências à lógica: 
“A arte que dirige o próprio ato da razão, ou seja, nos 
permite chegar com ordem, facilmente e sem erro, ao próprio 
ato da razão – o raciocínio” (Jacques Maritain). 
“A lógica é o estudo dos métodos e princípios usados pa-
ra distinguir o raciocínio correto do incorreto” (Irving Copi). 
“A lógica investiga o pensamento não como ele é, mas 
como deve ser” (Edmundo D. Nascimento). 
“A princípio, a lógica não tem compromissos. No entanto, 
sua história demonstra o poder que a mesma possui quando 
bem dominada e dirigida a um propósito determinado, como o 
fizeram os sofistas, a escolástica, o pensamento científico 
ocidental e, mais recentemente, a informática” (Bastos; Kel-
ler). 
1.1. Lógica formal e Lógica material 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 77
Desde Aristóteles, seu primeiro grande organizador, os 
estudos da lógica orientaram-se em duas direções principais: 
a da lógica formal, também chamada de “lógica menor” e a 
da lógica material, também conhecida como “lógica maior”. 
A lógica formal preocupa-se com a correção formal do 
pensamento. Para esse campo de estudos da lógica, o con-
teúdo ou a matéria do raciocínio tem uma importância relati-
va. A preocupação sempre será com a sua forma. A forma é 
respeitada quando se preenchem as exigências de coerência 
interna, mesmo que as conclusões possam ser absurdas do 
ponto de vista material (conteúdo). Nem sempre um raciocí-
nio formalmente correto corresponde àquilo que chamamos 
de realidade dos fatos. No entanto, o erro não está no seu 
aspecto formal e, sim, na sua matéria. Por exemplo, partindo 
das premissas que 
(1) todos os brasileiros são europeus 
e que 
(2) Pedro é brasileiro, 
formalmente, chegar-se-á à conclusão lógica que 
(3) Pedro é europeu. 
Materialmente, este é um raciocínio falso porque a expe-
riência nos diz que a premissa é falsa. 
No entanto, formalmente, é um raciocínio válido, porque a 
conclusão é adequada às premissas. É nesse sentido que se 
costuma dizer que o computador é falho, já que, na maioria 
dos casos, processa formalmente informações nele previa-
mente inseridas, mas não tem a capacidade de verificar o 
valor empírico de tais informações. 
Já, a lógica material preocupa-se com a aplicação das 
operações do pensamento à realidade, de acordo com a 
natureza ou matéria do objeto em questão. Nesse caso, inte-
ressa que o raciocínio não só seja formalmente correto, mas 
que também respeite a matéria, ou seja, que o seu conteúdo 
corresponda à natureza do objeto a que se refere. Neste 
caso, trata-se da correspondência entre pensamento e reali-
dade. 
Assim sendo, do ponto de vista lógico, costuma-se falar 
de dois tipos de verdade: a verdade formal e a verdade mate-
rial. A verdade formal diz respeito, somente e tão-somente, à 
forma do discurso; já a verdade material tem a ver com a 
forma do discurso e as suas relações com a matéria ou o 
conteúdo do próprio discurso. Se houver coerência, no pri-
meiro caso, e coerência e correspondência, no segundo, tem-
se a verdade. 
Em seu conjunto, a lógica investiga as regras adequadas 
à produção de um raciocínio válido, por meio do qual visa-se 
à consecução da verdade, seja ela formal ou material. Rela-
cionando a lógica com a prática, pode-se dizer que é impor-
tante que se obtenha não somente uma verdade formal, mas, 
também, uma verdade que corresponda à experiência. Que 
seja, portanto, materialmente válida. A conexão entre os 
princípios formais da lógica e o conteúdo de seus raciocínios 
pode ser denominada de “lógica informal”. Trata-se de uma 
lógica aplicada ao plano existencial, à vida quotidiana. 
1.2. Raciocínio e Argumentação 
Três são as principais operações do intelecto humano: a 
simples apreensão, os juízos e o raciocínio. 
A simples apreensão consiste na captação direta (atra-
vés dos sentidos, da intuição racional, da imaginação etc) de 
uma realidade sobre a qual forma-se uma idéia ou conceito 
(p. ex., de um objeto material, ideal, sobrenatural etc) que, 
por sua vez, recebeuma denominação (as palavras ou ter-
mos, p. ex.: “mesa”, “três” e “arcanjo”). 
O juízo é ato pelo qual os conceitos ou idéias são ligadas 
ou separadas dando origem à emissão de um “julgamento” 
(falso ou verdadeiro) sobre a realidade, mediante proposições 
orais ou escritas. Por exemplo: “Há três arcanjos sobre a 
mesa da sala” 
O raciocínio, por fim, consiste no “arranjo” intelectual dos 
juízos ou proposições, ordenando adequadamente os conte-
údos da consciência. No raciocínio, parte-se de premissas 
para se chegar a conclusões que devem ser adequadas. 
Procedendo dessa forma, adquirem-se conhecimentos novos 
e defende-se ou aprofunda-se o que já se conhece. Para 
tanto, a cada passo, é preciso preencher os requisitos da 
coerência e do rigor. Por exemplo: “Se os três arcanjos estão 
sobre a mesa da sala, não estão sobre a mesa da varanda” 
Quando os raciocínios são organizados com técnica e ar-
te e expostos de forma tal a convencer a platéia, o leitor ou 
qualquer interlocutor tem-se a argumentação. Assim, a ativi-
dade argumentativa envolve o interesse da persuasão. Ar-
gumentar é o núcleo principal da retórica, considerada a arte 
de convencer mediante o discurso. 
Partindo do pressuposto de que as pessoas pensam aqui-
lo que querem, de acordo com as circunstâncias da vida e as 
decisões pessoais (subjetividade), um argumento conseguirá 
atingir mais facilmente a meta da persuasão caso as idéias 
propostas se assentem em boas razões, capazes de mexer 
com as convicções daquele a quem se tenta convencer. Mui-
tas vezes, julga-se que estão sendo usadas como bom argu-
mento opiniões que, na verdade, não passam de preconcei-
tos pessoais, de modismos, de egoísmo ou de outras formas 
de desconhecimento. Mesmo assim, a habilidade no argu-
mentar, associada à desatenção ou à ignorância de quem 
ouve, acaba, muitas vezes, por lograr a persuasão. 
Pode-se, então, falar de dois tipos de argumentação: boa 
ou má, consistente/sólida ou inconsistente/frágil, lógica ou 
ilógica, coerente ou incoerente, válida ou não-válida, fraca ou 
forte etc. 
De qualquer modo, argumentar não implica, necessaria-
mente, manter-se num plano distante da existência humana, 
desprezando sentimentos e motivações pessoais. Pode-se 
argumentar bem sem, necessariamente, descartar as emo-
ções, como no caso de convencer o aluno a se esforçar nos 
estudos diante da perspectiva de férias mais tranqüilas. En-
fim, argumentar corretamente (sem armar ciladas para o 
interlocutor) é apresentar boas razões para o debate, susten-
tar adequadamente um diálogo, promovendo a dinamização 
do pensamento. Tudo isso pressupõe um clima democrático. 
1.3. Inferência Lógica 
Cabe à lógica a tarefa de indicar os caminhos para um ra-
ciocínio válido, visando à verdade. 
Contudo, só faz sentido falar de verdade ou falsidade 
quando entram em jogo asserções nas quais se declara algo, 
emitindo-se um juízo de realidade. Existem, então, dois tipos 
de frases: as assertivas e as não assertivas, que também 
podem ser chamadas de proposições ou juízos. 
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Nas frases assertivas afirma-se algo, como nos exemplos: 
“a raiz quadrada de 9 é 3” ou “o sol brilha à noite”. Já, nas 
frases não assertivas, não entram em jogo o falso e o verda-
deiro, e, por isso, elas não têm “valor de verdade”. É o caso 
das interrogações ou das frases que expressam estados 
emocionais difusos, valores vivenciados subjetivamente ou 
ordens. A frase “toque a bola”, por exemplo, não é falsa nem 
verdadeira, por não se tratar de uma asserção (juízo). 
As frases declaratórias ou assertivas podem ser combina-
das de modo a levarem a conclusões conseqüentes, constitu-
indo raciocínios válidos. Veja-se o exemplo: 
(1) Não há crime sem uma lei que o defina; 
(2) não há uma lei que defina matar ET’s como crime; 
(3) logo, não é crime matar ET’s. 
Ao serem ligadas estas assertivas, na mente do interlocu-
tor, vão sendo criadas as condições lógicas adequadas à 
conclusão do raciocínio. Esse processo, que muitas vezes 
permite que a conclusão seja antecipada sem que ainda 
sejam emitidas todas as proposições do raciocínio, chamase 
inferência. O ponto de partida de um raciocínio (as premis-
sas) deve levar a conclusões óbvias. 
1.4. Termo e Conceito 
Para que a validade de um raciocínio seja preservada, é 
fundamental que se respeite uma exigência básica: as pala-
vras empregadas na sua construção não podem sofrer modi-
ficações de significado. Observe-se o exemplo: 
Os jaguares são quadrúpedes; 
Meu carro é um Jaguar 
logo, meu carro é um quadrúpede. 
O termo “jaguar” sofreu uma alteração de significado ao 
longo do raciocínio, por isso, não tem validade. 
Quando pensamos e comunicamos os nossos pensamen-
tos aos outros, empregamos palavras tais como “animal”, 
“lei”, “mulher rica”, “crime”, “cadeira”, “furto” etc. Do ponto de 
vista da lógica, tais palavras são classificadas como termos, 
que são palavras acompanhadas de conceitos. Assim sendo, 
o termo é o signo lingüístico, falado ou escrito, referido a um 
conceito, que é o ato mental correspondente ao signo. 
Desse modo, quando se emprega, por exemplo, o termo 
“mulher rica”, tende-se a pensar no conjunto das mulheres às 
quais se aplica esse conceito, procurando apreender uma 
nota característica comum a todos os elementos do conjunto, 
de acordo com a ‘intencionalidade’ presente no ato mental. 
Como resultado, a expressão “mulher rica” pode ser tratada 
como dois termos: pode ser uma pessoa do sexo feminino 
cujos bens materiais ou financeiros estão acima da média ou 
aquela cuja trajetóriaexistencial destaca-se pela bondade, 
virtude, afetividade e equilíbrio. 
Para que não se obstrua a coerência do raciocínio, é pre-
ciso que fique bem claro, em função do contexto ou de uma 
manifestação de quem emite o juízo, o significado dos termos 
empregados no discurso. 
1.5. Princípios lógicos 
Existem alguns princípios tidos como conditio sine qua 
non para que a coerência do raciocínio, em absoluto, possa 
ocorrer. Podem ser entendidos como princípios que se refe-
rem tanto à realidade das coisas (plano ontológico), quanto 
ao pensamento (plano lógico), ou seja, se as coisas em geral 
devem respeitar tais princípios, assim também o pensamento 
deve respeitá-los. São eles: 
a) Princípio da identidade, pelo qual se delimita a reali-
dade de um ser. Trata-se de conceituar logicamente qual é a 
identidade de algo a que se está fazendo referência. Uma vez 
conceituada uma certa coisa, seu conceito deve manter-se ao 
longo do raciocínio. Por exemplo, se estou falando de um 
homem chamado Pedro, não posso estar me referindo a 
Antônio. 
b) Princípio da não-contradição. Se algo é aquilo que é, 
não pode ser outra coisa, sob o mesmo aspecto e ao mesmo 
tempo. Por exemplo, se o brasileiro João está doente agora, 
não está são, ainda que, daqui a pouco possa vir a curar-se, 
embora, enquanto João, ele seja brasileiro, doente ou são; 
c) Princípio da exclusão do terceiro termo. Entre o fal-
so e o verdadeiro não há meio termo, ou é falso ou é verda-
deiro. Ou está chovendo ou não está, não é possível um 
terceiro termo: está meio chovendo ou coisa parecida. 
A lógica clássica e a lógica matemática aceitam os três 
princípios como suas pedras angulares, no entanto, mais 
recentemente, Lukasiewicz e outros pensadores desenvolve-
ram sistemas lógicos sem o princípio do terceiro excluído, 
admitindo valor lógico não somente ao falso e ao verdadeiro, 
como também ao indeterminado. 
2. Argumentaçãoe Tipos de Raciocínio 
Conforme vimos, a argumentação é o modo como é ex-
posto um raciocínio, na tentativa de convencer alguém de 
alguma coisa. Quem argumenta, por sua vez, pode fazer uso 
de diversos tipos de raciocínio. Às vezes, são empregados 
raciocínios aceitáveis do ponto de vista lógico, já, em outras 
ocasiões, pode-se apelar para raciocínios fracos ou inválidos 
sob o mesmo ponto de vista. É bastante comum que raciocí-
nios desse tipo sejam usados para convencer e logrem o 
efeito desejado, explorando a incapacidade momentânea ou 
persistente de quem está sendo persuadido de avaliar o valor 
lógico do raciocínio empregado na argumentação. 
Um bom raciocínio, capaz de resistir a críticas, precisa ser 
dotado de duas características fundamentais: ter premissas 
aceitáveis e ser desenvolvido conforme as normas apropria-
das. 
Dos raciocínios mais empregados na argumentação, me-
recem ser citados a analogia, a indução e a dedução. Dos 
três, o primeiro é o menos preciso, ainda que um meio bas-
tante poderoso de convencimento, sendo bastante usado 
pela filosofia, pelo senso comum e, particularmente, nos 
discursos jurídico e religioso; o segundo é amplamente em-
pregado pela ciência e, também, pelo senso comum e, por 
fim, a dedução é tida por alguns como o único raciocínio 
autenticamente lógico, por isso, o verdadeiro objeto da lógica 
formal. 
A maior ou menor valorização de um ou de outro tipo de 
raciocínio dependerá do objeto a que se aplica, do modo 
como é desenvolvido ou, ainda, da perspectiva adotada na 
abordagem da natureza e do alcance do conhecimento. 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 79
Às vezes, um determinado tipo de raciocínio não é ade-
quadamente empregado. Vejam-se os seguintes exemplos: o 
médico alemão Ludwig Büchner (1824-1899) apresentou 
como argumento contra a existência da alma o fato de esta 
nunca ter sido encontrada nas diversas dissecações do corpo 
humano; o astronauta russo Gagarin (1934-1968) afirmou 
que Deus não existe pois “esteve lá em cima” e não o encon-
trou. Nesses exemplos fica bem claro que o raciocínio induti-
vo, baseado na observação empírica, não é o mais adequado 
para os objetos em questão, já que a alma e Deus são de 
ordem metafísica, não física. 
2.1. Raciocínio analógico 
Se raciocinar é passar do desconhecido ao conhecido, é 
partir do que se sabe em direção àquilo que não se sabe, a 
analogia (aná = segundo, de acordo + lógon = razão) é um 
dos caminhos mais comuns para que isso aconteça. No ra-
ciocínio analógico, compara-se uma situação já conhecida 
com uma situação desconhecida ou parcialmente conhecida, 
aplicando a elas as informações previamente obtidas quando 
da vivência direta ou indireta da situação-referência. 
Normalmente, aquilo que é familiar é usado como ponto 
de apoio na formação do conhecimento, por isso, a analogia 
é um dos meios mais comuns de inferência. Se, por um lado, 
é fonte de conhecimentos do dia-a-dia, por outro, também 
tem servido de inspiração para muitos gênios das ciências e 
das artes, como nos casos de Arquimedes na banheira (lei do 
empuxo), de Galileu na catedral de Pisa (lei do pêndulo) ou 
de Newton sob a macieira (lei da gravitação universal). No 
entanto, também é uma forma de raciocínio em que se come-
tem muitos erros. Tal acontece porque é difícil estabelecer-
lhe regras rígidas. A distância entre a genialidade e a falha 
grosseira é muito pequena. No caso dos raciocínios analógi-
cos, não se trata propriamente de considerá-los válidos ou 
não-válidos, mas de verificar se são fracos ou fortes. Segun-
do Copi, deles somente se exige “que tenham alguma proba-
bilidade” (Introdução à lógica, p. 314). 
A força de uma analogia depende, basicamente, de três 
aspectos: 
a) os elementos comparados devem ser verdadeiros e 
importantes; 
b) o número de elementos semelhantes entre uma situa-
ção e outra deve ser significativo; 
c) não devem existir divergências marcantes na compara-
ção. 
No raciocínio analógico, comparam-se duas situações, 
casos, objetos etc. semelhantes e tiram-se as conclusões 
adequadas. Na ilustração, tal como a carroça, o carro a motor 
é um meio de transporte que necessita de um condutor. Este, 
tanto num caso quanto no outro, precisa ser dotado de bom 
senso e de boa técnica para desempenhar adequadamente 
seu papel. 
Aplicação das regras acima a exemplos: 
a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e re-
levantes, não imaginários ou insignificantes.tc 
"a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e 
relevantes, não imaginários ou insignificantes." 
Analogia forte - Ana Maria sempre teve bom gosto ao 
comprar suas roupas, logo, terá bom gosto ao comprar as 
roupas de sua filha. 
Analogia fraca - João usa terno, sapato de cromo e per-
fume francês e é um bom advogado; 
Antônio usa terno, sapato de cromo e perfume francês; 
logo, deve ser um bom advogado. 
b) O número de aspectos semelhantes entre uma situa-
ção e outra deve ser significativo.tc "b) O número de aspectos 
semelhantes entre uma situação e outra deve ser significati-
vo." 
Analogia forte - A Terra é um planeta com atmosfera, 
com clima ameno e tem água; em Marte, tal como na Terra, 
houve atmosfera, clima ameno e água; na Terra existe vida, 
logo, tal como na Terra, em Marte deve ter havido algum tipo 
de vida. 
Analogia fraca - T. Edison dormia entre 3 e 4 horas por 
noite e foi um gênio inventor; eu dormirei durante 3 1/2 horas 
por noite e, por isso, também serei um gênio inventor. 
c) Não devem existir divergências marcantes na compa-
ração.tc "c) Não devem existir divergências marcantes na 
comparação.." 
Analogia forte - A pescaria em rios não é proveitosa por 
ocasião de tormentas e tempestades; a pescaria marinha não 
está tendo sucesso porque troveja muito. 
Analogia fraca - Os operários suíços que recebem o sa-
lário mínimo vivem bem; a maioria dos operários brasileiros, 
tal como os operários suíços, também recebe um salário 
mínimo; logo, a maioria dos operários brasileiros também vive 
bem, como os suíços. 
Pode-se notar que, no caso da analogia, não basta consi-
derar a forma de raciocínio, é muito importante que se avalie 
o seu conteúdo. Por isso, esse tipo de raciocínio não é admi-
tido pela lógica formal. Se as premissas forem verdadeiras, a 
conclusão não o será necessariamente, mas possivelmente, 
isto caso cumpram-se as exigências acima. 
Tal ocorre porque, apesar de existir uma estrutura geral 
do raciocínio analógico, não existem regras claras e precisas 
que, uma vez observadas, levariam a uma conclusão neces-
sariamente válida. 
O esquema básico do raciocínio analógico é: 
A é N, L, Y, X; 
B, tal como A, é N, L, Y, X; 
A é, também, Z 
logo, B, tal como A, é também Z. 
Se, do ponto de vista da lógica formal, o raciocínio analó-
gico é precário, ele é muito importante na formulação de 
hipóteses científicas e de teses jurídicas ou filosóficas. Con-
tudo, as hipóteses científicas oriundas de um raciocínio ana-
lógico necessitam de uma avaliação posterior, mediante pro-
cedimentos indutivos ou dedutivos. 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 80
Observe-se o seguinte exemplo: John Holland, físico e 
professor de ciência da computaçãoda Universidade de 
Michigan, lançou a hipótese (1995) de se verificar, no campo 
da computação, uma situação semelhante à que ocorre no da 
genética. Assim como na natureza espécies diferentes po-
dem ser cruzadas para obter o chamado melhoramento gené-
tico - um indivíduo mais adaptado ao ambiente -, na informá-
tica, também o cruzamento de programas pode contribuir 
para montar um programa mais adequado para resolver um 
determinado problema. “Se quisermos obter uma rosa mais 
bonita e perfumada, teremos que cruzar duas espécies: uma 
com forte perfume e outra que seja bela” diz Holland. “Para 
resolver um problema, fazemos o mesmo. Pegamos um pro-
grama que dê conta de uma parte do problema e cruzamos 
com outro programa que solucione outra parte. Entre as vá-
rias soluções possíveis, selecionam-se aquelas que parecem 
mais adequadas. Esse processo se repete por várias gera-
ções - sempre selecionando o melhor programa - até obter o 
descendente que mais se adapta à questão. É, portanto, 
semelhante ao processo de seleção natural, em que só so-
brevivem os mais aptos”. (Entrevista ao JB, 19/10/95, 1º cad., 
p. 12). 
Nesse exemplo, fica bem clara a necessidade da averi-
guação indutiva das conclusões extraídas desse tipo de ra-
ciocínio para, só depois, serem confirmadas ou não. 
2.2. Raciocínio Indutivo - do particular ao geral 
Ainda que alguns autores considerem a analogia como 
uma variação do raciocínio indutivo, esse último tem uma 
base mais ampla de sustentação. A indução consiste em 
partir de uma série de casos particulares e chegar a uma 
conclusão de cunho geral. Nele, está pressuposta a possibili-
dade da coleta de dados ou da observação de muitos fatos e, 
na maioria dos casos, também da verificação experimental. 
Como dificilmente são investigados todos os casos possíveis, 
acaba-se aplicando o princípio das probabilidades. 
Assim sendo, as verdades do raciocínio indutivo depen-
dem das probabilidades sugeridas pelo número de casos 
observados e pelas evidências fornecidas por estes. A enu-
meração de casos deve ser realizada com rigor e a conexão 
entre estes deve ser feita com critérios rigorosos para que 
sejam indicadores da validade das generalizações contidas 
nas conclusões. 
O esquema principal do raciocínio indutivo é o seguinte: 
B é A e é X; 
C é A e também é X; 
D é A e também é X; 
E é A e também é X; 
logo, todos os A são X 
No raciocínio indutivo, da observação de muitos casos 
particulares, chega-se a uma conclusão de cunho geral. 
Aplicando o modelo: 
A jararaca é uma cobra e não voa; 
A caninana é uma cobra e também não voa; 
A urutu é uma cobra e também não voa; 
A cascavel é uma cobra e também não voa; 
logo, as cobras não voam. 
Contudo, 
Ao sair de casa, João viu um gato preto e, logo a seguir, 
caiu e quebrou o braço. Maria viu o mesmo gato e, alguns 
minutos depois, foi assaltada. Antonio também viu o mesmo 
gato e, ao sair do estacionamento, bateu com o carro. Logo, 
ver um gato preto traz azar. 
Os exemplos acima sugerem, sob o ponto de vista do va-
lor lógico, dois tipos de indução: a indução fraca e a indução 
forte. É forte quando não há boas probabilidades de que um 
caso particular discorde da generalização obtida das premis-
sas: a conclusão “nenhuma cobra voa” tem grande probalida-
de de ser válida. Já, no caso do “gato preto”, não parece 
haver sustentabilidade da conclusão, por se tratar de mera 
coincidência, tratando-se de uma indução fraca. Além disso, 
há casos em que uma simples análise das premissas é sufi-
ciente para detectar a sua fraqueza. 
Vejam-se os exemplos das conclusões que pretendem ser 
aplicadas ao comportamento da totalidade dos membros de 
um grupo ou de uma classe tendo como modelo o comporta-
mento de alguns de seus componentes: 
1. Adriana é mulher e dirige mal; 
Ana Maria é mulher e dirige mal; 
Mônica é mulher e dirige mal; 
Carla é mulher e dirige mal; 
logo, todas as mulheres dirigem mal. 
2. Antônio Carlos é político e é corrupto; 
Fernando é político e é corrupto; 
Paulo é político e é corrupto; 
Estevão é político e é corrupto; 
logo, todos os políticos são corruptos. 
A avaliação da suficiência ou não dos elementos não é ta-
refa simples, havendo muitos exemplos na história do conhe-
cimento indicadores dos riscos das conclusões por indução. 
Basta que um caso contrarie os exemplos até então colhidos 
para que caia por terra uma “verdade” por ela sustentada. Um 
exemplo famoso é o da cor dos cisnes. Antes da descoberta 
da Austrália, onde foram encontrados cisnes pretos, acredita-
va-se que todos os cisnes fossem brancos porque todos os 
até então observados eram brancos. Ao ser visto o primeiro 
cisne preto, uma certeza de séculos caiu por terra. 
2.2.1. Procedimentos indutivos 
Apesar das muitas críticas de que é passível o raciocínio 
indutivo, este é um dos recursos mais empregados pelas 
ciências para tirar as suas conclusões. Há dois procedimen-
tos principais de desenvolvimento e aplicação desse tipo de 
raciocínio: o da indução por enumeração incompleta suficien-
te e o da indução por enumeração completa. 
a. Indução por enumeração incompleta suficiente 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 81
Nesse procedimento, os elementos enumerados são tidos 
como suficientes para serem tiradas determinadas conclu-
sões. É o caso do exemplo das cobras, no qual, apesar de 
não poderem ser conferidos todos os elementos (cobras) em 
particular, os que foram enumerados são representativos do 
todo e suficientes para a generalização (“todas as cobras...”) 
b. Indução por enumeração completa 
Costuma-se também classificar como indutivo o raciocínio 
baseado na enumeração completa. 
Ainda que alguns a classifiquem como tautologia, ela o-
corre quando: 
b.a. todos os casos são verificados e contabilizados; 
b.b. todas as partes de um conjunto são enumeradas. 
Exemplos correspondentes às duas formas de indução 
por enumeração completa: 
b.a. todas as ocorrências de dengue foram investigadas e 
em cada uma delas foi constatada uma característica própria 
desse estado de morbidez: fortes dores de cabeça; obteve-
se, por conseguinte, a conclusão segura de que a dor de 
cabeça é um dos sintomas da dengue. 
b.b. contam-se ou conferem-se todos as peças do jogo de 
xadrez: ao final da contagem, constata-se que são 32 peças. 
Nesses raciocínios, tem-se uma conclusão segura, po-
dendo-se classificá-los como formas de indução forte, mesmo 
que se revelem pouco criativos em termos de pesquisa cientí-
fica. 
O raciocínio indutivo nem sempre aparece estruturado 
nos moldes acima citados. Às vezes, percebe-se o seu uso 
pela maneira como o conteúdo (a matéria) fica exposta ou 
ordenada. Observem-se os exemplos: 
- Não parece haver grandes esperanças em se erradicar a 
corrupção do cenário político brasileiro. 
Depois da série de protestos realizados pela população, 
depois das provas apresentadas nas CPI’s, depois do vexa-
me sofrido por alguns políticos denunciados pela imprensa, 
depois do escárnio popular em festividades como o carnaval 
e depois de tanta insistência de muitos sobre necessidade de 
moralizar o nosso país, a corrupção parece recrudescer, 
apresenta novos tentáculos, se disfarça de modos sempre 
novos, encontrando-se maneiras inusitadas de ludibriar a 
nação. 
- Sentia-me totalmente tranqüilo quanto ao meu amigo, 
pois, até então, os seus atos sempre foram pautados pelo 
respeito às leis e à dignidade de seus pares. Assim, enquanto 
alguns insinuavam a sua culpa,eu continuava seguro de sua 
inocência. 
Tanto no primeiro quanto no segundo exemplos está sen-
do empregando o método indutivo porque o argumento prin-
cipal está sustentado pela observação de muitos casos ou 
fatos particulares que, por sua vez, fundamentam a conclu-
são. No primeiro caso, a constatação de que diversas tentati-
vas de erradicar a corrupção mostraram-se infrutíferas con-
duzem à conclusão da impossibilidade de sua superação, 
enquanto que, no segundo exemplo, da observação do com-
portamento do amigo infere-se sua inocência. 
Analogia, indução e probabilidade 
Nos raciocínios analógico e indutivo, apesar de boas 
chances do contrário, há sempre a possibilidade do erro. Isso 
ocorre porque se está lidando com probabilidades e estas 
não são sinônimas de certezas. 
Há três tipos principais de probabilidades: a matemática, a 
moral e a natural. 
a) A probabilidade matemática é aquela na qual, partin-
do-se dos casos numerados, é possível calcular, sob forma 
de fração, a possibilidade de algo ocorrer – na fração, o de-
nominador representa os casos possíveis e o numerador o 
número de casos favoráveis. Por exemplo, no caso de um 
sorteio usando uma moeda, a probabilidade de dar cara é de 
50% e a de dar coroa também é de 50%. 
b) A probabilidade moral é a relativa a fatos humanos 
destituídos de caráter matemático. É o caso da possibilidade 
de um comportamento criminoso ou virtuoso, de uma reação 
alegre ou triste etc. 
Exemplos: considerando seu comportamento pregresso, é 
provável que Pedro não tenha cometido o crime, contudo... 
Conhecendo-se a meiguice de Maria, é provável que ela o 
receba bem, mas... 
c) A probabilidade natural é a relativa a fenômenos na-
turais dos quais nem todas as possibilidades são conhecidas. 
A previsão meteorológica é um exemplo particular de probali-
dade natural. A teoria do caos assenta-se na tese da imprevi-
sibilidade relativa e da descrição apenas parcial de alguns 
eventos naturais. 
Por lidarem com probabilidades, a indução e a analogia 
são passíveis de conclusões inexatas. 
Assim sendo, deve-se ter um relativo cuidado com as su-
as conclusões. Elas expressam muito bem a necessidade 
humana de explicar e prever os acontecimentos e as coisas, 
contudo, também revelam as limitações humanas no que diz 
respeito à construção do conhecimento. 
2.3. Raciocínio dedutivo - do geral ao particular 
O raciocínio dedutivo, conforme a convicção de muitos es-
tudiosos da lógica, é aquele no qual são superadas as defici-
ências da analogia e da indução. 
No raciocínio dedutivo, inversamente ao indutivo, parte-se 
do geral e vai-se ao particular. As inferências ocorrem a partir 
do progressivo avanço de uma premissa de cunho geral, para 
se chegar a uma conclusão tão ou menos ampla que a pre-
missa. O silogismo é o melhor exemplo desse tipo de raciocí-
nio: 
Premissa maior: Todos os homens são mamíferos. uni-
versal 
Premissa menor: Pedro é homem. 
Conclusão: Logo, Pedro é mamífero. Particular 
No raciocínio dedutivo, de uma premissa de cunho geral 
podem-se tirar conclusões de cunho particular. 
Aristóteles refere-se à dedução como “a inferência na 
qual, colocadas certas coisas, outra diferente se lhe segue 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 82
necessariamente, somente pelo fato de terem sido postas”. 
Uma vez posto que todos os homens são mamíferos e que 
Pedro é homem, há de se inferir, necessariamente, que Pe-
dro é um mamífero. De certo modo, a conclusão já está pre-
sente nas premissas, basta observar algumas regras e inferir 
a conclusão. 
2.3.1. Construção do Silogismo 
A estrutura básica do silogismo (sýn/com + lógos/razão) 
consiste na determinação de uma premissa maior (ponto de 
partida), de uma premissa menor (termo médio) e de uma 
conclusão, inferida a partir da premissa menor. Em outras 
palavras, o silogismo sai de uma premissa maior, progride 
através da premissa menor e infere, necessariamente, uma 
conclusão adequada. 
Eis um exemplo de silogismo: 
Todos os atos que ferem a lei são puníveis Premissa Mai-
or A concussão é um ato que fere a lei Premissa Menor 
Logo, a concussão é punível Conclusão 
O silogismo estrutura-se por premissas. No âmbito da ló-
gica, as premissas são chamadas de proposições que, por 
sua vez, são a expressão oral ou gráfica de frases assertivas 
ou juízos. O termo é uma palavra ou um conjunto de palavras 
que exprime um conceito. Os termos de um silogismo são 
necessariamente três: maior, médio e menor. O termo maior 
é aquele cuja extensão é maior (normalmente, é o predicado 
da conclusão); o termo médio é o que serve de intermediário 
ou de conexão entre os outros dois termos (não figura na 
conclusão) e o termo menor é o de menor extensão (normal-
mente, é o sujeito da conclusão). No exemplo acima, punível 
é o termo maior, ato que fere a lei é o termo médio e concus-
são é o menor. 
2.3.1.1. As Regras do Silogismo 
Oito são as regras que fazem do silogismo um raciocínio 
perfeitamente lógico. As quatro primeiras dizem respeito às 
relações entre os termos e as demais dizem respeito às rela-
ções entre as premissas. São elas: 
2.3.1.1.1. Regras dos Termos 
1) Qualquer silogismo possui somente três termos: maior, 
médio e menor. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todos os gatos são mamíferos. 
Termo Médio: Mimi é um gato. 
Termo Menor: Mimi é um mamífero. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Toda gata(1) é quadrúpede. 
Termo Médio: Maria é uma gata(2). 
Termo Menor: Maria é quadrúpede. 
O termo “gata” tem dois significados, portanto, há quatro 
termos ao invés de três. 
 
2) Os termos da conclusão nunca podem ser mais exten-
sos que os termos das premissas. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todas as onças são ferozes. 
Termo Médio: Nikita é uma onça. 
Termo Menor: Nikita é feroz. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Antônio e José são poetas. 
Termo Médio: Antônio e José são surfistas. 
Termo Menor: Todos os surfistas são poetas. 
 “Antonio e José” é um termo menos extenso que “todos 
os surfistas”. 
 
3) O predicado do termo médio não pode entrar na con-
clusão. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. 
Termo Médio: Pedro é homem. 
Termo Menor: Pedro pode infringir a lei. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. 
Termo Médio: Pedro é homem. 
Termo Menor: Pedro ou é homem (?) ou pode infringir a 
lei. 
A ocorrência do termo médio “homem” na conclusão é i-
noportuna. 
4) O termo médio deve ser tomado ao menos uma vez em 
sua extensão universal. 
Exemplo de formulação correta: 
Termo Maior: Todos os homens são dotados de habilida-
des. 
Termo Médio: Pedro é homem. 
Termo Menor: Pedro é dotado de habilidades. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Termo Maior: Alguns homens são sábios. 
Termo Médio: Ora os ignorantes são homens 
Termo Menor: Logo, os ignorantes são sábios 
O predicado “homens” do termo médio não é universal, 
mas particular. 
2.3.1.1.2. Regras das Premissas 
5) De duas premissas negativas, nada se conclui. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: Nenhum gato é mamífero 
Premissa Menor: Lulu não é um gato. 
Conclusão: (?). 
6) De duas premissas afirmativas, não se tira uma conclu-
são negativa. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser dese-
jados. 
Premissa Menor: Ajudar ao próximo é um bem moral. 
Conclusão: Ajudar ao próximo não (?) deve ser desejado.7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. A 
premissa mais fraca é sempre a de caráter negativo. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: As aves são animais que voam. 
Premissa Menor: Alguns animais não são aves. 
Conclusão: Alguns animais não voam. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: As aves são animais que voam. 
Premissa Menor: Alguns animais não são aves. 
Conclusão: Alguns animais voam. 
8) De duas premissas particulares nada se conclui. 
Exemplo de formulação incorreta: 
Premissa Maior: Mimi é um gato. 
Premissa Menor: Um gato foi covarde. 
Conclusão: (?) 
 Fonte: estudaki.files.wordpress.com/2009/03/logica-
argumentacao.pdf 
 
A FUNDAÇÃO DA LÓGICA 
Anthony Kenny 
Universidade de Oxford 
Muitas das ciências para as quais Aristóteles contribuiu 
foram disciplinas que ele próprio fundou. Afirma-o explicita-
mente em apenas um caso: o da lógica. No fim de uma das 
suas obras de lógica, escreveu: 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 83
No caso da retórica existiam muito es-
critos antigos para nos apoiarmos, mas no 
caso da lógica nada tínhamos absoluta-
mente a referir até termos passado muito 
tempo em laboriosa investigação. 
As principais investigações lógicas de Aristóteles incidiam 
sobre as relações entre as frases que fazem afirmações. 
Quais delas são consistentes ou inconsistentes com as ou-
tras? Quando temos uma ou mais afirmações verdadeiras, 
que outras verdades podemos inferir delas unicamente por 
meio do raciocínio? Estas questões são respondidas na sua 
obra Analíticos Posteriores. 
Ao contrário de Platão, Aristóteles não toma como ele-
mentos básicos da estrutura lógica as frases simples com-
postas por substantivo e verbo, como "Teeteto está sentado". 
Está muito mais interessado em classificar frases que come-
çam por "todos", "nenhum" e "alguns", e em avaliar as infe-
rências entre elas. Consideremos as duas inferências seguin-
tes: 
1) 
Todos os gregos são europeus. 
Alguns gregos são do sexo masculino. 
Logo, alguns europeus são do sexo masculino. 
2) 
Todas as vacas são mamíferos. 
Alguns mamíferos são quadrúpedes. 
Logo, todas as vacas são quadrúpedes. 
As duas inferências têm muitas coisas em comum. São 
ambas inferências que retiram uma conclusão a partir de 
duas premissas. Em cada inferência há uma palavra-chave 
que surge no sujeito gramatical da conclusão e numa das 
premissas, e uma outra palavra-chave que surge no predica-
do gramatical da conclusão e na outra premissa. Aristóteles 
dedicou muita atenção às inferências que apresentam esta 
característica, hoje chamadas "silogismos", a partir da palavra 
grega que ele usou para as designar. Ao ramo da lógica que 
estuda a validade de inferências deste tipo, iniciado por Aris-
tóteles, chamamos "silogística". 
Uma inferência válida é uma inferência que nunca conduz 
de premissas verdadeiras a uma conclusão falsa. Das duas 
inferências apresentadas acima, a primeira é válida, e a se-
gunda inválida. É verdade que, em ambos os casos, tanto as 
premissas como a conclusão são verdadeiras. Não podemos 
rejeitar a segunda inferência com base na falsidade das fra-
ses que a constituem. Mas podemos rejeitá-la com base no 
"portanto": a conclusão pode ser verdadeira, mas não se 
segue das premissas. 
Podemos esclarecer melhor este assunto se conceber-
mos uma inferência paralela que, partindo de premissas ver-
dadeiras, conduza a uma conclusão falsa. Por exemplo: 
3) 
Todas as baleias são mamíferos. 
Alguns mamíferos são animais terrestres. 
Logo, todas as baleias são animais terrestres. 
Esta inferência tem a mesma forma que a inferência 2), 
como poderemos verificar se mostrarmos a sua estrutura por 
meio de letras esquemáticas: 
4) 
Todo o A é B. 
Algum B é C. 
Logo, todo o A é C. 
Uma vez que a inferência 3) conduz a uma falsa conclu-
são a partir de premissas verdadeiras, podemos ver que a 
forma do argumento 4) não é de confiança. Daí a não valida-
de da inferência 2), não obstante a sua conclusão ser de 
facto verdadeira. 
A lógica não teria conseguido avançar além dos seus pri-
meiros passos sem as letras esquemáticas, e a sua utilização 
é hoje entendida como um dado adquirido; mas foi Aristóteles 
quem primeiro começou a utilizá-las, e a sua invenção foi tão 
importante para a lógica quanto a invenção da álgebra para a 
matemática. 
Uma forma de definir a lógica é dizer que é uma disciplina 
que distingue entre as boas e as más inferências. Aristóteles 
estuda todas as formas possíveis de inferência silogística e 
estabelece um conjunto de princípios que permitem distinguir 
os bons silogismos dos maus. Começa por classificar indivi-
dualmente as frases ou proposições das premissas. Aquelas 
que começam pela palavra "todos" são proposições univer-
sais; aquelas que começam com "alguns" são proposições 
particulares. Aquelas que contêm a palavra "não" são propo-
sições negativas; as outras são afirmativas. Aristóteles ser-
viu-se então destas classificações para estabelecer regras 
para avaliar as inferências. Por exemplo, para que um silo-
gismo seja válido é necessário que pelo menos uma premis-
sa seja afirmativa e que pelo menos uma seja universal; se 
ambas as premissas forem negativas, a conclusão tem de ser 
negativa. Na sua totalidade, as regras de Aristóteles bastam 
para validar os silogismos válidos e para eliminar os inváli-
dos. São suficientes, por exemplo, para que aceitemos a 
inferência 1) e rejeitemos a inferência 2). 
Aristóteles pensava que a sua silogística era suficiente 
para lidar com todas as inferências válidas possíveis. Estava 
enganado. De facto, o sistema, ainda que completo em si 
mesmo, corresponde apenas a uma fracção da lógica. E 
apresenta dois pontos fracos. Em primeiro lugar, só lida com 
as inferências que dependem de palavras como "todos" e 
"alguns", que se ligam a substantivos, mas não com as infe-
rências que dependem de palavras como "se…, então ", que 
interligam as frases. Só alguns séculos mais tarde se pôde 
formalizar padrões de inferência como este: "Se não é de dia, 
é de noite; mas não é de dia; portanto é de noite". Em segun-
do lugar, mesmo no seu próprio campo de acção, a lógica de 
Aristóteles não é capaz de lidar com inferências nas quais 
palavras como "todos" e "alguns" (ou "cada um" e "nenhum") 
surjam não na posição do sujeito, mas algures no predicado 
gramatical. As regras de Aristóteles não nos permitem deter-
minar, por exemplo, a validade de inferências que contenham 
premissas como "Todos os estudantes conhecem algumas 
datas" ou "Algumas pessoas detestam os polícias todos". Só 
22 séculos após a morte de Aristóteles esta lacuna seria 
colmatada. 
A lógica é utilizada em todas as diversas ciências que A-
ristóteles estudou; talvez não seja tanto uma ciência em si 
mesma, mas mais um instrumento ou ferramenta das ciên-
cias. Foi essa a ideia que os sucessores de Aristóteles retira-
ram das suas obras de lógica, denominadas "Organon" a 
partir da palavra grega para instrumento. 
A obra Analíticos Anteriores mostra-nos de que modo a 
lógica funciona nas ciências. Quem estudou geometria eucli-
diana na escola recorda-se certamente das muitas verdades 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a SuaRealização 84
geométricas, ou teoremas, alcançadas por raciocínio dedutivo 
a partir de um pequeno conjunto de outras verdades chama-
das "axiomas". Embora o próprio Euclides tivesse nascido 
numa altura tardia da vida de Aristóteles, este método axio-
mático era já familiar aos geómetras, e Aristóteles pensava 
que podia ser amplamente aplicado. A lógica forneceria as 
regras para a derivação de teoremas a partir de axiomas, e 
cada ciência teria o seu próprio conjunto especial de axio-
mas. As ciências poderiam ser ordenadas hierarquicamente, 
com as ciências inferiores tratando como axiomas proposi-
ções que poderiam ser teoremas de uma ciência superior. 
Se tomarmos o termo "ciência" numa acepção ampla, a-
firma Aristóteles, é possível distinguir três tipos de ciências: 
as produtivas, as práticas e as teóricas. As ciências produti-
vas incluem a engenharia e a arquitectura, e disciplinas como 
a retórica e a dramaturgia, cujos produtos são menos concre-
tos. As ciências práticas são aquelas que guiam os compor-
tamentos, destacando-se entre elas a política e a ética. As 
ciências teóricas são aquelas que não possuem um objectivo 
produtivo nem prático, mas que procuram a verdade pela 
verdade. 
Por sua vez, a ciência teórica é tripartida. Aristóteles no-
meia as suas três divisões: "física, matemática, teologia"; mas 
nesta classificação só a matemática é aquilo que parece ser. 
O termo "física" designa a filosofia natural ou o estudo da 
natureza (physis); inclui, além das disciplinas que hoje inte-
graríamos no campo da física, a química, a biologia e a psico-
logia humana e animal. A "teologia" é, para Aristóteles, o 
estudo de entidades superiores e acima do ser humano, ou 
seja, os céus estrelados, bem como todas as divindades que 
poderão habitá-los. Aristóteles não se refere à "metafísica"; 
de facto, a palavra significa apenas "depois da física" e foi 
utilizada para referenciar as obras de Aristóteles catalogadas 
a seguir à sua Física. Mas muito daquilo que Aristóteles es-
creveu seria hoje naturalmente descrito como "metafísica"; e 
ele tinha de facto a sua própria designação para essa disci-
plina, como veremos mais à frente. Anthony Kenny 
ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS 
Desidério Murcho 
É comum falar em argumentos dedutivos, opondo-os aos 
indutivos. Este artigo procura mostrar que há um conjunto de 
aspectos subtis que devem ser tidos em linha de conta, caso 
contrário será tudo muito confuso. 
Antes de mais: a expressão "argumento indutivo" ou "in-
dução" dá origem a confusões porque se pode ter dois tipos 
muito diferentes de argumentos: as generalizações e as pre-
visões. Uma generalização é um argumento como 
Todos os corvos observados até hoje são pretos. 
Logo, todos os corvos são pretos. 
Numa generalização parte-se de algumas verdades 
acerca de alguns membros de um dado domínio e genera-
liza-se essas verdades para todos os membros desse 
domínio, ou pelo menos para mais. 
Uma previsão é um argumento como 
Todos os corvos observados até hoje são pretos. 
Logo, o próximo corvo que observarmos será preto. 
Uma pessoa imaginativa e com vontade de reduzir 
coisas — uma síndrome comum em filosofia — pode que-
rer afirmar que podemos reduzir as previsões às generali-
zações via dedução: a conclusão da previsão acima se-
gue-se dedutivamente da conclusão da generalização an-
terior. Não acho que isto capta de modo algum a natureza 
lógica ou conceptual da previsão, mas isso não é relevan-
te neste artigo. O que conta é que, mesmo que a previsão 
seja redutível à generalização mais dedução, continua a 
ser um modo comum de falar e uma parte importante do 
nosso pensamento. 
Numa veia ainda reducionista, algumas pessoas pode-
rão querer dizer que todos os outros tipos de argumentos 
não dedutivos se reduzem à generalização e à previsão. 
Assim, não valeria a pena falar de argumentos de autori-
dade, por exemplo, que são argumentos como o seguinte: 
Einstein afirmou que não se pode viajar mais depressa do 
que a luz. 
Logo, não se pode viajar mais depressa do que a luz. 
Uma vez mais: pode ser que este tipo de argumentos seja 
redutível à generalização e à previsão. Mas é útil compreen-
der que este tipo de argumentos tem exigências próprias e 
portanto é útil falar deles explicitamente, ainda que se trate 
de um tipo de inferência redutível a qualquer outro tipo ou 
tipos. 
Dados estes esclarecimentos, importa agora esclarecer o 
seguinte: O que é um argumento dedutivo? E como se distin-
gue tal coisa de um argumento indutivo? 
Vou começar por dizer o modo como não se deve enten-
der estas noções. A primeira coisa a não fazer é pensar que 
um argumento dedutivo se caracteriza por ser impossível a 
sua conclusão ser falsa se as suas premissas forem verda-
deiras. Pensar isto provoca confusão porque significaria que 
não há argumentos dedutivos inválidos. Porquê? Porque só 
nos argumentos dedutivos válidos é impossível a conclusão 
ser falsa se as suas premissas forem verdadeiras; nos argu-
mentos dedutivos inválidos, nas falácias (como a afirmação 
da antecedente, por exemplo) é perfeitamente possível as 
premissas serem verdadeiras e a conclusão falsa. 
Em termos rigorosos, não há problem algum com esta op-
ção; significa apenas que estamos a dar ao termo "dedução" 
força factiva, como damos ao termo "demonstração". Do 
mesmo modo que não há demonstrações inválidas, também 
não há, de acordo com esta opção, deduções inválidas. Se é 
uma dedução, é válida; se é uma demostração, é válida. Uma 
"demonstração" inválida nada demonstra; uma "dedução" 
inválida nada deduz. 
O primeiro problema desta opção é exigir a reforma do 
modo como geralmente se fala e escreve sobre argumentos 
dedutivos — pois é comum falar de argumentos dedutivos 
inválidos, como as falácias formais (por oposição às infor-
mais). Este problema não é decisivo, caso não se levantasse 
outro problema: o segundo. 
O segundo problema é o seguinte: Dado que todos os ar-
gumentos são dedutivos ou não dedutivos (ou indutivos, se 
quisermos reduzir todo o campo da não dedução à indução), 
e dado que não faz muito sentido usar o termo "dedução" 
factivamente e o termo "indução" não factivamente, o resulta-
do bizarro é que deixa de haver argumentos inválidos. O 
termo "argumento" torna-se factivo tal como os termos "dedu-
ção" e "indução". E isto já é demasiado rebuscado; as pesso-
as não usam mesmo o termo deste modo, nunca; passamos 
a vida a falar de argumentos inválidos. E faz todo o sentido 
que o façamos, pois se adoptarmos o entendimento factivo 
do termo um "argumento" inválido não é de todo em todo um 
argumento: é apenas um conjunto de proposições. 
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É sem dúvida possível aceitar o resultado bizarro, e pas-
sar a usar o termo "argumento" factivamente. Mas se tiver-
mos a possibilidade de o evitar, de forma fundamentada e 
reflectida, estaremos a facilitar as coisas — sobretudo ao 
nível do ensino. 
E temos possibilidade de evitar este resultado bizarro, e 
manter o uso de "argumento" de tal modo que faça sentido 
falar de argumentos inválidos, de deduções inválidas e de 
induções inválidas. Para o fazer temos de distinguir cuidado-
samente a noção de argumento (dedutivo ou não) da noção 
de validade (dedutiva ou não). Podemos, claro, usar um ter-
mo diferente para a validade não dedutiva, e reservar o termo 
"validade" para a validade dedutiva, mas esta é uma mera 
opção terminológica: tanto faz. O que é crucial é poder dizer 
que um argumento é dedutivo, apesar deinválido, ou induti-
vo, apesar de inválido. E como se faz isso? 
Apresentando os argumentos dedutivos como argumentos 
cuja validade ou invalidade depende exclusivamente da sua 
forma lógica; e os argumentos não dedutivos como argumen-
tos cuja validade ou invalidade não depende exclusivamente 
da sua forma lógica. Evidentemente, isto não se aplica a 
todos os argumentos dedutivos, mas esta é uma complicação 
que esclareceremos dentro de momentos. Para já, vejamos 
alguns exemplos: 
Se Sócrates era ateniense, era grego. 
Sócrates era grego. 
Logo, era ateniense. 
Se Sócrates era ateniense, era grego. 
Sócrates era ateniense. 
Logo, era grego. 
O primeiro argumento é inválido. Mas qualquer argumento 
indutivo, ainda que válido, sofre deste tipo de invalidade de-
dutiva. Devemos então dizer que os argumentos dedutiva-
mente inválidos não se distinguem dos argumentos indutivos 
válidos? Claro que não, dado que eles se distinguem muito 
claramente uns dos outros. 
O primeiro argumento é dedutivamente inválido porque a 
sua invalidade pode ser explicada recorrendo unicamente à 
sua forma lógica. Mas seria uma enorme falta de sensibilida-
de lógica abandonar uma indução boa com base no facto de 
a sua forma lógica e a verdade das suas premissas não ga-
rantir a verdade da sua conclusão. 
Assim, um argumento é dedutivo ou indutivo em função 
da explicação mais adequada que tivermos para a sua vali-
dade ou invalidade. Um argumento dedutivo inválido explica-
se adequadamente recorrendo unicamente à sua forma lógi-
ca, no sentido em que a sua forma lógica é suficiente para 
distinguir os argumentos dedutivos inválidos dos válidos; o 
mesmo não acontece com os argumentos indutivos, pois a 
sua validade ou invalidade não depende exclusivamente da 
sua forma lógica. 
Deste modo, podemos manter a tradição de falar de ar-
gumentos dedutivos e indutivos; e podemos dizer que há 
argumentos dedutivos inválidos; e não somos forçados a 
aceitar que todo o argumento indutivo, por melhor que seja, é 
sempre um argumento dedutivo inválido. Isto não acontece 
porque os argumentos dedutivos nunca são indutivos, ainda 
que sejam inválidos. Porque o que conta é o tipo de explica-
ção adequada para a sua validade ou invalidade. 
Em termos primitivos, pois, o que conta é a validade e in-
validade; há diferentes tipos de validade e invalidade: a dedu-
tiva e a indutiva. E os argumentos são dedutivos ou indutivos 
consoante a sua validade ou invalidade for dedutiva ou indu-
tiva. 
É agora tempo de esclarecer que nem todos os argumen-
tos dedutivos dependem exclusivamente da sua forma lógica; 
há argumentos dedutivos de carácter conceptual, como "O 
João é casado; logo, não é solteiro". Não é difícil acomodar 
estas variedades de dedução não formal no esquema aqui 
proposto: tudo depende da melhor explicação disponível para 
a validade ou invalidade em causa. 
Podemos assim continuar a falar de argumentos deduti-
vos e indutivos, validos ou inválidos. E os argumentos deduti-
vos inválidos nunca são uma subclasse dos argumentos 
indutivos. 
 
DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
 
Prof Msc SANDRO FABIAN FRANCILIO DORNELLES 
 
Introdução 
 
Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários 
problemas. 
 
Uma situação que esses diagramas poderão ser usados, é na 
determinação da quantidade de elementos que apresentam 
uma determinada característica. 
 
 
Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 
que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto. Baseando-
se nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: 
 
Quantas pessoas têm no grupo ou quantas dirigem somente 
carro ou ainda quantas dirigem somente motos. 
Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que 
representam os motoristas de motos e motoristas de carros. 
 
Começaremos marcando quantos elementos tem a intersec-
ção e depois completaremos os outros espaços. 
 
 
 
Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo 
esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. 
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A partir dos valores reais, é que poderemos responder as 
perguntas feitas. 
 
 
 
 
a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas. 
b) Dirigem somente carros 33 motoristas. 
c) Dirigem somente motos 8 motoristas. 
No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência 
quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi apresentada a 
seguinte tabela: 
 
 
 
Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente 
montar os diagramas que representam cada conjunto. 
 
A colocação dos valores começará pela intersecção dos três 
conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por 
último às regiões que representam cada conjunto individual-
mente. 
 
Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo 
que indicará o conjunto universo da pesquisa. 
 
 
 
Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são 
leitores de nenhum dos três jornais. 
Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos. 
Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos. 
Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos. 
Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos. 
Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos. 
Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos. 
Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes 
elementos: 
 
 
 
Com essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas 
lêem apenas o jornal A. 
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Verificamos que 500 pessoas não lêem o jornal C, pois é a 
soma 205 + 30 + 115 + 150. 
Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é 
a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 
150. 
 
 
EXERCÍCIOS DE CONCURSOS 
Diagramas Lógicos 
 
1. De um total de 30 agentes administrativos sabe-se que: 
I. 18 gostam de cinema 
II. 14 gostam de teatro 
III. 2 não gostam de cinema, nem de teatro 
O número de agentes que gostam de cinema e de teatro 
corresponde a: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
 
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2. De um grupo de N auxiliares técnicos de produção, 44 
lêem jornal A, 42 o jornal B e 18 lêem ambos os jornais. sa-
bendo que todo auxiliar deste grupo é leitor de pelo menos 
um dos jornais, o número N de auxiliares é: 
 
 
3. Em uma turma, 45% dos alunos falam inglês e 33% falam 
francês. Se 25% dos alunos não falam nenhuma duas lín-
guas, a porcentagem de alunos que falam francês, mas não 
falam inglês é de: 
a) 3% 
b) 15% 
c) 27% 
d) 30% 
e) 33% 
 
4. Realizou-se uma pesquisa e verificou-se que, das pessoas 
consultadas, 200 ouviam a rádio A, 300 ouviam a rádio B, 20 
ouviam as duas rádios (A e B) e 220 não ouviam nenhuma 
das duas rádios. 
Quantas pessoas foram consultadas? 
a) 520 
b) 560 
c) 640 
d) 680 
e) 700 
 
5. Em uma pesquisa, foram entrevistados 100 telespectado-
res. 60 assistiam à televisão à noite e 50 assistiam à televi-
são de dia. Quantos assistiam à televisão de dia e de noite? 
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
e) 25 
 
6. Em uma pesquisa, foram entrevistadas 200 pessoas. 100 
delas iam regularmente ao cinema, 60 iam regularmente ao 
teatro e 50 não iam regularmente nem ao cinema nem ao 
teatro.Quantas 
dessas pessoas iam regularmente a ambos? 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 40 
e) 50 
 
7. (NCNB_02) Uma professora levou alguns alunos ao par-
que de diversões chamado Sonho. Desses alunos: 
 16 já haviam ido ao parque Sonho, mas nunca andaram de 
montanha russa. 
 6 já andaram de montanha russa, mas nunca haviam ido 
ao parque Sonho. 
 Ao todo, 20 já andaram de montanha russa. 
 Ao todo, 18 nunca haviam ido ao parque Sonho. 
Pode-se afirmar que a professora levou ao parque Sonho: 
a) 60 alunos 
b) 48 alunos 
c) 42 alunos 
d) 366alunos 
e) 32 alunos 
 
8. (ICMS_97_VUNESP) Em uma classe, há 20 alunos que 
praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que 
praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que 
praticam vôlei é 15. 
Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O nú-
mero de alunos da classe é: 
a) 30 
b) 35 
c) 37 
d) 42 
e) 44 
 
9. Suponhamos que numa equipe de 10 estudantes, 6 usam 
óculos e 8 usam relógio. O numero de estudantes que usa ao 
mesmo tempo, óculos e relógio é: 
a) exatamente 6 
b) exatamente 2 
c) no mínimo 6 
d) no máximo 5 
e) no mínimo 4 
 
10. Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias 
pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produ-
tos: A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 
 210 pessoas compram o produto A. 
 210 pessoas compram o produto N. 
 250 pessoas compram o produto C. 
 20 pessoas compram os três produtos. 
 100 pessoas não compram nenhum dos 3 produtos. 
 60 pessoas compram o produto A e B. 
 70 pessoas compram os produtos A eC. 
 50 pessoas compram os produtos B e C. 
Quantas pessoas foram entrevistadas: 
a) 670 
b) 970 
c) 870 
d) 610 
e) 510 
 
11. No problema anterior, calcular quantas pessoas compram 
apenas o produto A; apenas o produto B; apenas o produto 
C. 
a) 210;210;250 
b) 150;150;180 
c) 100;120;150 
d) 120;140;170 
e) n.d.a. 
 
12. (A_MPU_ESAF_04) Um colégio oferece a seus alunos à 
prática de um ou mais de um dos seguintes esportes: futebol, 
basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre,  20 alu-
nos praticam vôlei e basquete; 
 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 
 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; 
 o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao 
número dos alunos que praticam só vôlei; 
 17 alunos praticam futebol e vôlei; 
 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não 
praticam vôlei; 
O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é 
igual a: 
a) 93 
b) 114 
c) 103 
d) 110 
e) 99 
 
13. (ESAF_97) Uma pesquisa entre 800 consumidores - 
sendo 400 homens e 400 mulheres- mostrou os seguintes 
resultados: 
Do total de pessoas entrevistadas: 
 500 assinam o jornal X 
 350 têm curso superior 
 250 assinam o jornal X e têm nível superior 
Do total de mulheres entrevistadas: 
 200 assinam o jornal X 
 150 têm curso superior 
 50 assinam o jornal X e têm nível superior 
 
O número de homens entrevistados que não assinam o jornal 
X e não têm curso superior é, portanto, igual a: 
a) 100 
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b) 200 
c) 0 
d) 50 
e) 25 
 
14. No diagrama abaixo, considere os conjuntos A, B, C e U ( 
universo ). 
 
 
 
A região sombreada corresponde à seguinte operação:   
a) A ∪ B ∪ C 
b) (A ∪ B) ∩ C 
c) A ∩ B∩ C 
d) (A ∩ B) ∪ C 
 
QUESTÕES CERTO / ERRADO (CESPE / UNB) 
 
15. (UNB) Numa entrevista realizada pelo Departamento de 
Ciências Econômicas da UCG com 50 pessoas, da classe 
média de Goiânia, acerca de suas preferências por aplica-
ções de seus excedentes financeiros, obteve-se o seguinte 
resultado: 21 pessoas disseram que aplicam em fundos de 
renda fixa; 34 em cadernetas de poupança e 50 não aplicam 
em nenhuma dasmodalidades. Deste modo, 10 pessoas 
aplicam nas duas modalidades (obs.: uma mesma pessoa 
pode aplicar em mais de uma modalidade). 
 
16. (MPU_99UNB) Em exames de sangue realizados em 500 
moradores de uma região com péssimas condições sanitárias 
foi constatada a presença de três tipos de vírus: A, B, C . O 
resultado dos exames revelou que o vírus A estava presente 
em 210 moradores; o vírus B, em 230; os vírus A e B, em 80; 
os vírus A e C, em 90; e os vírus B e C, em 70. Além disso, 
em 5 moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e o 
numero de moradores infectados pelo vírus C era igual ao 
dobro dos infectados apenas pelo vírus B. 
Com base nessa situação, julgues os itens abaixo: 
I. O número de pessoas contaminadas pelo três vírus simul-
taneamente representa 9% do total de 
pessoas examinadas. 
II. O número de moradores que apresentam o vírus C é igual 
a 230. 
III. 345 moradores apresentam somente um dos vírus. 
IV. Mais de 140 moradores apresentaram pelo menos, dois 
vírus. 
V. O número de moradores que não foram contaminados 
pelos vírus B e C representa menos de 16% do total de pes-
soas examinadas. 
 
17. Pedro, candidato ao cargo de Escrivão de Polícia Federal, 
necessitando adquirir livros para se preparar para o concurso, 
utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma 
livraria virtual, especializada nas áreas de direito, administra-
ção e economia, que vende livros nacionais e importados. 
Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de adminis-
tração fazem parte dos produtos nacionais. Alem disso, não 
há livro nacional disponível de capa dura. Com base nas 
informações acima é possível que Pedro, em sua pesquisa, 
tenha: 
I. Encontrado um livro de administração de capa dura. 
II. Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa 
flexível. 
III. Selecionado para compra um livro nacional de direito de 
capa dura. 
IV. Comprado um livro importado de direito de capa flexível. 
 
Respostas exercícios: 1-C 2-A 3-A 4-B 5-B 
 
RESPOSTAS 
1.B 
2.C 
3.D 
4.E 
5.B 
6.A 
7.B 
8.E 
9.E 
10.D 
11.C 
12.E 
13.A 
14.C 
15.C (certo) 
16.C,E,C,C,E 
17.E,C,E,C 
 
EQUIVALÊNCIA LÓGICA 
 
Na lógica, as asserções p e q são ditas logicamente 
equivalentes ou simplesmente equivalentes, se p = q e q = 
p . 
 
Em termos intuitivos, duas sentenças são logicamente 
equivalentes se possuem o mesmo "conteúdo lógico". 
 
Do ponto de vista da teoria da demonstração, p e q são 
equivalentes se cada uma delas pode ser derivada a partir da 
outra. Semanticamente, p e q são equivalentes se elas têm 
os mesmos valores para qualquer interpretação. 
 
EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS NOTÁVEIS 
 
Negação da Negação (Dupla Negação) 
~(~p)  p 
 
p ~q ~(p) 
F V F 
V F V 
 
Como as tabelas-verdade são idênticas podemos dizer 
que ~(~p)⇔⇔⇔⇔ p. 
 
Exemplo: "Não é verdade que Mario não é estudioso" é 
logicamente equivalente a "Mario é estudioso". 
Exemplos: 
a) 
p: Não tem ninguém aqui. 
~p: Tem ninguém aqui. 
~(~p): Tem alguém aqui. 
 
Logicamente falando, "Não tem ninguém aqui" é equiva-
lente à "Tem alguém aqui". 
b) 
p: Não dá para não ler. 
~p: Dá para não ler. 
~(~p): Dá para ler. 
 
Logicamente falando, "Não dá para não ler" é equivalente 
à "Dá para ler". 
 
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ARGUMENTOS VÁLIDOS E INVÁLIDOS 
Eduardo O C Chaves 
 
Conceituação de ArgumentoUm argumento é um conjunto de enunciados -- mas não 
um conjunto qualquer de enunciados. Num argumento os 
enunciados têm que ter uma certa relação entre si e é neces-
sário que um deles seja apresentado como uma tese, ou uma 
conclusão, e os demais como justificativa da tese, ou premis-
sas para a conclusão. Normalmente argumentos são utiliza-
dos para provar ou disprovar algum enunciado ou para con-
vencer alguém da verdade ou da falsidade de um enunciado. 
 
Assim sendo, o seguinte conjunto de enunciados não é, 
na realidade, um argumento: 
1. Todos os metais se dilatam com o calor 
2. Todas os meses há pelo menos quatro domingos 
3. Logo, a UNICAMP é uma boa universidade. 
 
Neste caso, embora todos os enunciados sejam (pelo 
menos à primeira vista) verdadeiros, e embora eles se dispo-
nham numa forma geralmente associada com a de um argu-
mento (premissa 1, premissa 2, e conclusão, precedida por 
"logo"), não temos um argumento porque os enunciados não 
têm a menor relação entre si. Não devemos sequer afirmar 
que temos um argumento inválido aqui, porque mesmo num 
argumento inválido as premissas e a conclusão precisam ter 
uma certa relação entre si. 
 
Por outro lado, o seguinte é um argumento: 
4. Todos os homens são mortais 
5. Sócrates é homem 
6. Logo, Sócrates é mortal. 
 
Neste caso, temos um argumento válido, em que todas as 
premissas são verdadeiras e a conclusão também -- ou pelo 
menos assim parecem à primeira vista. 
 
A Forma de um Argumento 
Argumentos têm uma certa forma ou estrutura. O argu-
mento constituído pelo conjunto de enunciados (2) tem a 
seguinte forma: 
7. Todos os x são y 
8. z é x 
9. Logo, z é y. 
 
Imaginemos o seguinte argumento, que tem a mesma 
forma do argumento constituído pelo conjunto de enunciados 
4-6: 
10. Todos os homens são analfabetos 
11. Raquel de Queiroz é homem 
12. Logo, Raquel de Queiroz é analfabeta. 
Este argumento, diferentemente do argumento constituído 
pelos enunciados 4-6, tem premissas e conclusão todas fal-
sas. No entanto, tem exatamente a mesma forma ou estrutu-
ra do argumento anterior (forma explicitada nos enunciados 
7-9). Se o argumento anterior (4-6) é válido (e é), este (10-12) 
também é. 
 
Quando dois ou mais argumentos têm a mesma forma, se 
um deles é válido, todos os outros também são, e se um 
deles é inválido, todos os outros também são. Como o argu-
mento constituído pelos enunciados 4-6 é válido, e o argu-
mento constituído pelos enunciados 10-12 tem a mesma 
forma (7-9), este (1012) também é válido. 
 
A Forma de um Argumento e a Verdade das Premissas 
O último exemplo mostra que um argumento pode ser vá-
lido apesar de todas as suas premissas e a sua conclusão 
serem falsas. Isso é indicativo do fato de que a validade de 
um argumento não depende de serem suas premissas e sua 
conclusão efetivamente verdadeiras. 
 
Mas se esse é o caso, quando é um argumento válido? 
 
Argumentos Válidos e Inválidos 
Um argumento é válido quando, se todas as suas premis-
sas forem verdadeiras, a sua conclusão tiver que, necessari-
amente, ser verdadeira (sob pena de auto-contradição). 
 
Considere os dois argumentos seguintes, constituídos, 
respectivamente, pelos enunciados 13-15 e 16-18 
 
Primeiro: 
13. Se eu ganhar sozinho na Sena, fico milionário 
14. Ganhei sozinho na Sena 
15. Logo, fiquei milionário 
 
Segundo: 
16. Se eu ganhar sozinho na Sena, fico milionário 
17. Não ganhei sozinho na Sena 
18. Logo, não fiquei milionário 
 
Esses dois argumentos são muito parecidos. A forma do 
primeiro é: 
19. Se p, q 
20. p 
21. Logo, q 
A forma do segundo é: 
22. Se p, q 
23. não-p 
24. Logo, não-q 
 
O primeiro argumento é válido porque se as duas premis-
sas forem verdadeiras a conclusão tem que, necessariamen-
te, ser verdadeira. Se eu argumentar com 13 e 14, e concluir 
que não fiquei milionário, estou me contradizendo. 
 
O segundo argumento é inválido porque mesmo que as 
duas premissas sejam verdadeiras a conclusão pode ser 
falsa (na hipótese, por exemplo, de eu herdar uma fortuna 
enorme de uma tia rica). 
 
Falácias e Argumentos Sólidos ou Cogentes 
Argumentos da forma representada pelos enunciados 22-
24 são todos inválidos. Dá-se o nome de falácia a um argu-
mento inválido, mas não, geralmente, a um argumento válido 
que possua premissas falsas. 
 
A um argumento válido cujas premissas são todas verda-
deiras (e, portanto, cuja conclusão também é verdadeira) dá-
se o nome de um argumento cogente ou sólido. 
 
Argumentos, Convicção e Persuasão 
Um argumento cogente ou sólido deveria convencer a to-
dos, pois é válido e suas premissas são verdadeiras. Sua 
conclusão, portanto, segue das premissas. Contudo, nem 
sempre isso acontece. 
 
Em primeiro lugar, muitas pessoas podem não admitir que 
o argumento é cogente ou sólido. Podem admitir a verdade 
de suas premissas e negar sua validade. Ou podem admitir 
sua validade e negar a verdade de uma ou mais de suas 
premissas. 
 
Em segundo lugar, algumas pessoas podem estar certas 
da validade de um argumento e estar absolutamente convic-
tas de que a conclusão é inaceitável, ou falsa. Neste caso, 
podem usar o mesmo argumento para mostrar que pelo me-
nos uma de suas premissas tem que ser falsa. 
 
Um argumento inválido (falácia), ou um argumento válido 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 90
com premissas falsas, não deveria convencer ninguém. No 
entanto, muitas pessoas são persuadidas por argumentos 
desse tipo. 
 
A questão da validade ou não de um argumento é intei-
ramente lógica. 
 
A questão da cogência ou solidez de um argumento é ao 
mesmo tempo lógica (porque depende da sua validade) e 
epistemológica (porque depende de suas premissas serem 
verdadeiras). 
 
A questão da força persuasiva de um argumento é uma 
questão psicológica, ou psicossocial. 
Contradição 
Diz-se que há contradição quando se afirma e se nega 
simultaneamente algo sobre a mesma coisa. O princípio da 
contradição informa que duas proposições contraditórias 
não podem ser ambas falsas ou ambas verdadeiras ao 
mesmo tempo.Existe relação de simetria, não podem ter o 
mesmo valor de verdade. 
 
Por exemplo, imaginando-se que se tem um conjunto de 
bolas, a afirmação "Toda Bola é Vermelha" e a afirmação 
"Alguma Bola não é Vermelha" formam uma contradição, 
visto que: 
se "Toda Bola é Vermelha" for verdadeira, "Alguma Bola 
não é Vermelha" tem que ser falsa 
se "Toda Bola é Vermelha" for falsa, "Alguma Bola não é 
Vermelha" tem que ser verdadeira 
se "Alguma Bola não é Vermelha" for verdadeira, "Toda 
Bola é Vermelha" tem que ser falsa 
e 
se "Alguma Bola não é Vermelha" for falsa, "Toda Bola é 
Vermelha" tem que ser verdadeira 
 
Por outro lado, a afirmação "Toda Bola é Vermelha" e a 
afirmação "Nenhuma Bola é Vermelha", não formam uma 
contradição, visto que 
se "Toda Bola é Vermelha" for verdadeira, "Nenhuma Bola 
é Vermelha" tem que ser falsa 
mas 
se "Toda Bola é Vermelha" for falsa, "Nenhuma Bola é 
Vermelha" pode tanto ser verdadeira quanto falsa 
e 
se "Nenhuma Bola é Vermelha" for verdadeira, "Toda Bola 
é Vermelha" tem que ser falsa 
mas 
se "Nenhuma Bola é Vermelha" for falsa, "Toda Bola é 
Vermelha" pode tanto ser verdadeira quanto falsa 
 
E sendo uma negação total (ao nível da quantidade e da 
qualidade) a contraditória da afirmação "As contraditórias das 
grandes verdades são grandes verdades"seria: Algumas 
contraditórias das grandes verdades não são grandes 
verdades. 
 
A noção de contradição é, geralmente estudada sob a 
forma de um princípio: o «princípio de contradição» ou «prin-
cípio de não contradição». Com frequência, tal princípio é 
considerado um princípio ontológico e, neste sentido, enunci-
a-se do seguinte modo: 
«É impossível que uma coisa seja e não seja ao mesmo 
tempo, a mesma coisa». Outras vezes, é considerado como 
um princípio lógico, e então enunciado do modo seguinte: 
«não se pode ter p e não p», onde p é símbolo de um enun-
ciado declarativo. 
 
O primeiro pensador que apresentou este princípio de 
forma suficientemente ampla foi Aristóteles. Várias partes da 
sua obra estão consagradas a este tema, mas nem sempre o 
princípio é formulado do mesmo modo. Às vezes apresenta-o 
como uma das «noções comuns» ou «axiomas» que servem 
de premissa para a demonstração, sem poderem ser de-
monstradas. Noutras ocasiões, apresenta-o como uma «no-
ção comum», usada para a prova de algumas conclusões. 
Apresenta ainda este princípio como uma tese segundo a 
qual se uma proposição é verdadeira, a sua negação é falsa 
e se uma proposição é falsa, a sua negação é verdadeira, 
quer dizer, como a tese segundo a qual, duas proposições 
contraditórias não podem ser ambas verdadeiras ou ambas 
falsas. 
 
Estas formulações podem reduzir-se a três interpretações 
do mesmo princípio: ontológica, lógica e metalógica. No pri-
meiro caso o princípio refere-se à realidade; no segundo, 
converte-se numa formula lógica ou numa tautologia de lógi-
ca sequencial, que se enuncia do seguinte modo: 
 ¬(p Ù ¬p) 
e que se chama geralmente de lei de contradição. No ter-
ceiro caso, o princípio é uma regra que permite realizar infe-
rências lógicas. 
 
As discussões em torno do princípio de contradição têm 
diferido consoante se acentua o lado ontológico ou o lado 
lógico e metalógico. Quando se dá mais relevância ao lado 
ontológico, trata-se sobretudo de afirmar o princípio como 
expressão da estrutura constitutiva do real, ou de o negar 
supondo que a própria realidade é contraditória (Hereclito) ou 
que, no processo dialético da sua evolução, a realidade 
supera, transcende ou vai mais além do princípio de 
contradição (Hegel). Quando predomina o lado lógico e 
metalógico, trata-se então de saber se o princípio deve ser 
considerado como um axioma evidente por si mesmo ou 
como uma convenção da nossa linguagem que nos permite 
falar acerca da realidade. 
 
LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN 
1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é 
a interseção dos complementares desses conjuntos. 
 (A B)c = Ac Bc 
2. O complementar da reunião de uma coleção finita de 
conjuntos é a interseção dos complementares desses 
conjuntos. 
 (A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc 
3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e 
B é a reunião dos complementares desses conjuntos. 
 (A B)c = Ac Bc 
4. O complementar da interseção de uma coleção finita 
de conjuntos é a reunião dos complementares desses 
conjuntos. 
 (A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc 
 
Tautologia 
Na lógica proposicional, uma tautologia (do grego 
ταυτολογία) é uma fórmula proposicional que é verdadeira 
para todas as possíveis valorações de suas variáveis 
proposicionais. A negação de uma tautologia é uma 
contradição ou antilogia, uma fórmula proposicional que é 
falsa independentemente dos valores de verdade de suas 
variáveis. Tais proposições são ditas insatísfatíveis. 
Reciprocamente, a negação de uma contradição é uma 
tautologia. Uma fórmula que não é nem uma tautologia nem 
uma contradição é dita logicamente contingente. Tal 
fórmula pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores 
atribuídos para suas variáveis proposicionais. 
Uma propriedade fundamental das tautologias é que 
existe um procedimento efetivo para testar se uma dada 
fórmula é sempre satisfeita (ou, equivalentemente, se seu 
complemento é insatisfatível). Um método deste tipo usa as 
tabelas-verdade. O problema de decisão de determinar se 
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uma fórmula é satisfatível é o problema de satisfabilidade 
booleano, um exemplo importante de um problema NP-
completo na teoria da complexidade computacional. 
 
O SILOGISMO 
 
O silogismo é uma forma de inferência mediata, ou racio-
cínio dedutivo. São duas as espécies de silogismos que estu-
daremos aqui, que recebem a sua designação do tipo de 
juízo ou proposição que forma a primeira premissa: 
 
O silogismo categórico 
A natureza do silogismo, o elo de necessidade lógica que 
liga as premissas à conclusão, está bem patente no exemplo 
que daremos a seguir, e que servirá de ponto de partida para 
o nosso estudo desta forma de dedução: 
 
Se todos os homens são mortais e todos os franceses são 
homens, então todos os franceses são mortais. 
 
Em primeiro lugar, notemos que o silogismo categórico é 
composto de três proposições ou juízos: duas premissas – 
"Todos os homens são mortais" e "Todos os franceses são 
homens" – e uma conclusão – "Todos os franceses são mor-
tais". Neste caso as premissas e a conclusão são todas pro-
posições universais afirmativas (A), mas cada uma poderia 
em princípio ser de qualquer outro tipo: universal negativa 
(E), particular afirmativa (I) ou particular negativa (O). 
 
Em segundo lugar, nas três proposições entram unica-
mente três termos: "mortais", "homens" e "franceses". Um 
destes termos entra nas premissas mas não na conclusão: é 
o chamado termo médio, que simbolizaremos pela letra M. Os 
outros dois termos são o termo maior, que figura na primeira 
premissa, que por isso é também designada de premissa 
maior; e o termo menor, que figura na segunda premissa ou 
premissa menor. Estes dois termos são simbolizados res-
pectivamente pelas letras P e S. Assimilaremos melhor este 
simbolismo se tivermos em conta que, na conclusão, o termo 
maior, P, é predicado e o termo menor, S, é sujeito. 
 
Finalmente, embora a forma que utilizamos para apresen-
tar o silogismo seja a melhor para dar conta da ligação lógica 
entre as premissas e a conclusão e esteja mais de acordo 
com a formulação original de Aristóteles, existem outras duas 
formas mais vulgarizadas, uma das quais será aquela que 
utilizaremos com mais frequência. 
 
Todo o M é P. 
Todo o S é M. 
Logo todo o S é P. 
Todo o M é P. 
Todo o S é M. 
Todo o S é P. 
 
Regras do silogismo 
São em número de oito. Quatro referem-se aos termos e 
as outras quatro às premissas. 
 
Regras dos termos 
1. Apenas existem três termos num silogismo: maior, 
médio e menor. Esta regra pode ser violada facilmente quan-
do se usa um termo com mais de um significado: "Se o cão é 
pai e o cão é teu, então é teu pai." Aqui o termo "teu" tem 
dois significados, posse na segunda premissa e parentesco 
na conclusão, o que faz com que este silogismo apresente na 
realidade quatro termos. 
 
2. Nenhum termo deve ter maior extensão na conclu-
são do que nas premissas: "Se as orcas são ferozes e 
algumas baleias são orcas, então as baleias são ferozes." O 
termo "baleias" é particular na premissa e universal na con-
clusão, o que invalida o raciocínio, pois nada é dito nas pre-
missas acerca das baleias que não são orcas, e que podem 
muito bem não ser ferozes. 
 
3. O termo médio não pode entrar na conclusão. 
 
4. Pelo menos uma vez o termo médio deve possuir 
uma extensão universal:"Se os britânicos são homens e 
alguns homens são sábios, então os britânicos são sábios." 
Como é que podemos saber se todos os britânicos perten-
cem à mesma sub-classe que os homens sábios? É preciso 
notar que na primeira premissa "homens" é predicado e tem 
uma extensão particular. 
Regras das premissas 
 
5. De duas premissas negativas, nada se pode conclu-
ir: "Se o homem não é réptil e o réptil não é peixe, então..." 
Que conclusão se pode tirar daqui acerca do "homem" e do 
"peixe"? 
 
6. De duas premissas afirmativas não se pode tirar 
conclusão negativa. 
 
7. A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. 
A particular é mais fraca do que a universal e a negativa mais 
fraca do que a afirmativa. Isto significa que se uma das pre-
missas for particular, a conclusão sê-lo-á igualmente; o mes-
mo acontecendo se uma das premissas for negativa: "Se os 
europeus não são brasileiros e os franceses são europeus, 
então os franceses não são brasileiros." Que outra conclusão 
se poderia tirar? 
 
8. Nada se pode concluir de duas premissas particula-
res. De "Alguns homens são ricos" e "Alguns homens são 
sábios" nada se pode concluir, pois não se sabe que relação 
existe entre os dois grupos de homens considerados. Aliás, 
um silogismo com estas premissas violaria também a regra 4. 
 
Modo e figura do silogismo 
Consideremos os três silogismos seguintes, com os res-
pectivos esquemas: 
 
Nenhum asiático é europeu. (Nenhum M é P.) 
Todos os coreanos são asiáti-
cos. 
(Todo o S é M.) 
Portanto nenhum coreano é 
europeu. 
(Portanto nenhum S é 
P.) 
Ý 
Nenhum ladrão é sábio. (Nenhum P é M.) 
Alguns políticos são sábios. (Algum S é M.) 
Portanto alguns políticos não são 
ladrões. 
(Portanto algum S não 
é P.) 
Todos os jovens são alegres. (Todo o M é P.) 
Todos os jovens são travessos. (Todo o M é S.) 
Portanto alguns travessos são 
alegres. 
(Portanto algum S é 
P.) 
 
Estes silogismos são, evidentemente, diferentes, não 
apenas em relação às proposições concretas que os formam, 
mas igualmente em relação à quantidade e qualidade dessas 
proposições e à maneira como o termo médio nelas se apre-
senta, como no-lo indicam os esquemas que os acompa-
nham. Assim, no primeiro silogismo temos uma proposição 
universal negativa (E), uma universal afirmativa (A) e mais 
uma universal negativa (E); no segundo, temos a sequência 
E, I, O; no terceiro, A, A, I. Quanto à posição do termo médio, 
verificamos que no primeiro silogismo ele é sujeito na premis-
sa maior e predicado na premissa menor; no segundo, é 
predicado em ambas as premissas; e no terceiro silogismo é 
sujeito também tanto na maior como na menor. Fazendo 
variar todos estes factores de todas as maneiras possíveis 
obteremos provavelmente uma soma assustadora de silogis-
mos diferentes. 
 
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Modo do silogismo 
Assim, se considerarmos o modo do silogismo, que é a 
forma como os diferentes tipos de proposição – A, E, I, O – 
nele se dispõem, teremos 64 (sessenta e quatro) silogismos 
possíveis, número que é obtido quando fazemos todas as 
combinações possíveis das quatro letras em grupos de três, 
que é o número de proposições num silogismo categórico. 
 
Figura do silogismo 
Todavia, para além do modo, temos de ter em considera-
ção a figura, que é definida pelo papel, sujeito ou predicado, 
que o termo médio desempenha nas duas premissas. Exis-
tem quatro figuras possíveis: 1) sujeito-predicado, 2) predica-
do-predicado, 3) sujeito-sujeito e 4) predicado-sujeito, corres-
pondendo as três primeiras aos exemplos dados. Se combi-
narmos estas quatro figuras com os sessenta e quatro modos 
encontrados acima, obtemos o bonito produto de 256 silo-
gismos. Felizmente para nós muitos desses silogismos são 
repetições – por exemplo, o modo AEE equivale a EAE –, ou 
infringem diversas das regras do silogismo – por exemplo, o 
modo IIO compõe-se de duas premissas particulares, pelo 
que, pela regra 8, não é válido –, de maneira que não se 
conseguem mais do que dezanove silogismos concludentes. 
 
Modos válidos 
Assim, na primeira figura, em que o termo médio é sujeito 
na premissa maior e predicado na menor, apenas são válidos 
os modos seguintes: AAA, EAE, AII, EIO. Para memorizar 
melhor estes modos, os lógicos medievais associaram-nos a 
determinadas palavras, que se tornaram uma espécie de 
designação para os mesmos: são elas, respectivamente, 
Barbara, Celarent, Darii, Ferio. O primeiro exemplo que 
demos neste ponto, sobre os asiáticos e os coreanos, é um 
exemplo de silogismo na primeira figura, modo Celarent. Os 
modos válidos das outras figuras teriam também as suas 
designações mnemónicas próprias: 
2.ª figura: Cesare, Camestres, Festino, Baroco. 
3.ª figura: Darapti, Felapton, Disamis, Bocardo, Ferison. 
4.ª figura: Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison. 
 
Existe uma particularidade importante em relação às di-
versas figuras. Através de diversos procedimentos, dos quais 
o mais importante é a conversão, é possível reduzir silogis-
mos de uma figura a outra figura, ou seja, pegar, por exem-
plo, num silogismo na segunda figura e transformá-lo num 
silogismo na primeira figura. 
 
Nenhum ladrão é sábio. 
Alguns políticos são sábios. 
Portanto alguns políticos não são ladrões. 
 
Nenhum sábio é ladrão. 
Alguns políticos são sábios. 
Portanto alguns políticos não são ladrões. 
 
Aqui o primeiro silogismo tem o termo médio na posição 
de predicado das duas premissas. Trata-se portanto de um 
silogismo da segunda figura, modo Festino. Através da con-
versão da premissa maior – um processo simples neste caso, 
mas convém rever o que dissemos anteriormente sobre o 
assunto (cf. Inferência imediata ) –, transformámo-lo num 
silogismo categórico da primeira figura, em que o termo mé-
dio desempenha o papel de sujeito na premissa maior e pre-
dicado na menor. O modo do novo silogismo é Ferio. 
 
Tradicionalmente, a primeira figura tem sido considerada 
como a mais importante, aquela em que a evidência da de-
dução é mais forte. Reduzir os silogismos nas outras figuras 
a silogismos equivalentes na primeira figura seria uma manei-
ra de demonstrar a validade dos mesmos. A utilidade de 
decorar os diversos modos válidos é relativa, uma vez que a 
aplicação das regras do silogismo permitem perfeitamente 
definir se um qualquer silogismo é ou não válido. 
 
O silogismo hipotético 
No silogismo categórico, estão em causa dois termos, o 
maior e o menor, que são comparados com um terceiro ter-
mo, o médio, daí se chegando a uma conclusão acerca da 
relação existente entre os dois primeiros: "Se todos os lagar-
tos são répteis e alguns animais não são lagartos, então 
alguns animais não são répteis." No silogismo hipotético 
lidaremos, não com os termos, mas com as proposições em 
si. Vejamos um exemplo: 
 
Se João estuda então passa no exame; 
João estuda, 
Portanto passa no exame. 
 
Neste caso, a primeira premissa, ou premissa maior, é 
constituída por uma proposição composta por duas outras 
proposições: "João estuda" e "João passa no exame", ligadas 
entre si pelas partículas "se... então...", ou outras equivalen-
tes; poder-se-ia dizer também, com o mesmo sentido: "Estu-
dar implica, para João, passar no exame", ou "João passa no 
exame desde que estude". O importante é notarmos que uma 
das proposições surge como consequência da outra, constitu-
indo aquilo que designamos por juízo hipotético ou condicio-
nal: daí designarmosuma delas como antecedente – neste 
caso, "João estuda" – e a outra como consequente – "João 
passa no exame." A premissa menor limita-se a repetir, a 
afirmar, uma das proposições que compõem a primeira pre-
missa – neste caso, o antecedente –, mas é precisamente 
dessa afirmação que decorre logicamente a conclusão – que 
não é outra coisa senão o consequente. 
 
Se simbolizássemos a primeira proposição por "p" e a se-
gunda por "q", poderíamos reduzir o silogismo anterior a este 
esquema: 
Se p, então q; 
ora p; 
logo q. 
 
Numa formulação mais intuitiva, o que isto quer dizer é 
que, face a uma condição como a que é estabelecida na 
premissa maior, afirmar a verdade do antecedente é afirmar 
simultaneamente a verdade do consequente. Poderíamos 
substituir as letras "p" e "q" por outras proposições verdadei-
ras que o raciocínio continuaria válido. 
 
O silogismo hipotético possui duas figuras válidas ou mo-
dos: 
 
Modus ponens 
Modus ponens, que corresponde ao exemplo dado, e que 
poderíamos sintetizar nas seguintes regras: 
1. Num juízo hipotético, a afirmação do antecedente o-
briga à afirmação do consequente. 
2. Da afirmação do consequente nada se pode concluir. 
 
Modus tollens 
Modus tollens, que corresponde ao seguinte esquema: 
"se p, então q; ora não q; logo não p", e cuja mecânica pode-
ríamos sintetizar nas seguintes regras: 
1. Num juízo hipotético, a negação do consequente torna 
necessária a negação do antecedente. 
2. Da negação do antecedente nada se pode concluir. 
 
Formas muito vulgarizadas, mas não válidas, de si-
logismo hipotético, são aquelas que quebram as regras atrás 
expostas. Por exemplo, afirmar o consequente para afirmar o 
antecedente, como em: "Se chovesse, o chão estaria molha-
do; ora o chão está molhado, logo choveu." Evidentemente, é 
provável que o chão esteja molhado por causa da chuva, mas 
também o pode estar outros motivos, como o facto de alguém 
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o ter regado, etc. Outro exemplo: "Se Roberto tomasse vene-
no ficaria doente; ora Roberto não tomou veneno, portanto 
não ficou doente". Quem nos garante isso? Podia ter apa-
nhado uma gripe. 
 
 
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
 
Por meio do princípio fundamental da contagem, podemos 
determinar quantas vezes, de modo diferente, um 
acontecimento pode ocorrer. 
 
Se um evento (ou fato) ocorre em n etapas consecutivas e 
independentes, de maneira que o número de possibilidades: 
Na 1a etapa é k1, 
Na 2a etapa é k2, 
Na 33 etapa é k3, 
.......................... 
 
Na enésima etapa é kn, então o número total de 
possibilidades de ocorrer o referido evento é o produto k1, k2, 
k3 ... kn. 
 
O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre 
devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas 
que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computa-
dor, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de tecla-
dos, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU". Para saber o 
numero de diferentes possibilidades de computadores que 
podem ser montados com essas peças, somente multiplica-
mos as opções: 
3 x 4 x 2 x 3 = 72 
 
Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferen-
tes. 
 
Um problema que ocorre é quando aparece a palavra 
"ou", como na questão: 
Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um 
cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de 
feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrige-
rante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrige-
rante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de 
escolher uma opção de cada alimento? 
 
A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela co-
mida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes 
juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante 
pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas 
somar essas possibilidades: 
(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90 
 
Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de 
pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas 
disponíveis. 
 
Outro exemplo: 
No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é 
formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas 
onde o número formado pelos algarismos seja par, podem 
ser formadas? 
 
Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo, 
para que o numero formado seja par, teremos de limitar o 
ultimo algarismo à um numero par. Depois, basta multiplicar. 
26 x 26 x 26 = 17.567 -> parte das letras 
10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note que 
na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos 
um número par (0, 2 , 4 , 6 , 8). 
 
Agora é só multiplicar as partes: 17.567 x 5.000 = 
87.835.000 
 
Resposta para a questão: existem 87.835.000 placas on-
de a parte dos algarismos formem um número par. 
 
 PRINCÍPIO DA ADIÇÃO 
Suponhamos um procedimento executado em k fases. A 
fase 1 tem n1 maneiras de ser executada, a fase 2 possui n2 
maneiras de ser executada e a fase k tem nk modos de ser 
executada. As fases são excludentes entre si, ou seja, não é 
possível que duas ou mais das fases sejam realizadas em 
conjunto. Logo, todo o procedimento tem n1 + n2 + ... + nk 
maneiras de ser realizado. 
 
Exemplo 
Deseja-se fazer uma viagem para a cidade A ou para a 
cidade B. Existem 5 caminhos possíveis para a cidade A e 3 
possíveis caminhos para a cidade B. Logo, para esta viagem, 
existem no total 5 + 3 = 8 caminhos possíveis. 
 
 PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO 
Suponhamos um procedimento executado em k fases, 
concomitantes entre si. A fase 1 tem n1 maneiras de ser 
executada, a fase 2 possui n2 maneiras de ser executada e a 
fase k tem nk modos de ser executada. A fase 1 poderá ser 
seguida da fase 2 até a fase k, uma vez que são 
concomitantes. Logo, há n1 . n2 . ... . nk maneiras de 
executar o procedimento. 
 
Exemplo 
Supondo uma viagem para a cidade C, mas para chegar 
até lá você deve passar pelas cidades A e B. Da sua cidade 
até a cidade A existem 2 caminhos possíveis; da cidade A até 
a B existem 4 caminhos disponíveis e da cidade B até a C há 
3 rotas possíveis. Portanto, há 2 x 4 x 3 = 24 diferentes 
caminhos possíveis de ida da sua cidade até a cidade C. 
 
Os princípios enunciados acima são bastante intuitivos. 
Contudo, apresentaremos ainda alguns exemplos um pouco 
mais complexos de aplicação. 
 
Quantos números naturais pares de três algarismos 
distintos podemos formar? 
Inicialmente, devemos observar que não podemos colocar 
o zero como primeiro algarismo do número. Como os 
números devem ser pares, existem apenas 5 formas de 
escrever o último algarismo (0, 2, 4, 6, 8). Contudo, se 
colocamos o zero como último algarismo do número, nossas 
escolhas para distribuição dos algarismos mudam. Portanto, 
podemos pensar na construção desse número como um 
processo composto de 2 fases excludentes entre si. 
 
Fixando o zero como último algarismo do número, temos 
as seguintes possibilidades de escrever os demais 
algarismos: 
1º algarismo: 9 possibilidades (1,2,3,4,5,6,7,8,9) 
2º algarismo: 8 possibilidades (1,2,3,4,5,6,7,8,9), porém 
excluímos a escolha feita para o 1º algarismo; 
3º algarismo: 1 possibilidade (fixamos o zero). 
 
Logo, há 9 x 8 x 1 = 72 formas de escrever um número de 
três algarismos distintos tendo o zero como último algarismo. 
 
Sem fixar o zero, temos: 
3º algarismo: 4 possibilidades (2,4,6,8) 
1º algarismo:8 possibilidades (1,2,3,4,5,6,7,8,9), 
excluindo a escolha feita para o último algarismo; 
2º algarismo: 8 possibilidades (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) , porém 
excluindo as escolhas feitas para o primeiro e último 
algarismos. 
 
Portanto, temos 8 x 8 x 4 = 256 maneiras de escrever um 
número de três algarismos distintos sem zero no último 
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algarismo. 
 
Ao todo, temos 72 + 256 = 328 formas de escrever o 
número. 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
CONJUNTO 
Em matemática, um conjunto é uma coleção de 
elementos. Não interessa a ordem e quantas vezes os 
elementos estão listados na coleção. Em contraste, uma 
coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a 
ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. 
Conjuntos são um dos conceitos básicos da matemática. 
Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas 
de elementos. A notação padrão lista os elementos 
separados por vírgulas entre chaves (o uso de "parênteses" 
ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos: 
{1, 2, 3} 
{1, 2, 2, 1, 3, 2} 
{x : x é um número inteiro tal que 0<x<4} 
Os três exemplos acima são maneiras diferentes de 
representar o mesmo conjunto. 
É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes 
maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos 
pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus 
elementos. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e 
somente se cada elemento de um é também elemento do 
outro, não importando a quantidade e nem a ordem das 
ocorrências dos elementos. 
 Conceitos essenciais 
Conjunto: representa uma coleção de objetos, 
geralmente representado por letras maiúsculas; 
Elemento: qualquer um dos componentes de um 
conjunto, geralmente representado por letras minúsculas; 
Pertinência: é a característica associada a um elemento 
que faz parte de um conjunto; 
 Pertence ou não pertence 
Se é um elemento de , nós podemos dizer que o 
elemento pertence ao conjunto e podemos escrever 
. Se não é um elemento de , nós podemos 
dizer que o elemento não pertence ao conjunto e 
podemos escrever . 
 
1. Conceitos primitivos 
 
Antes de mais nada devemos saber que conceitos 
primitivos são noções que adotamos sem definição. 
 
Adotaremos aqui três conceitos primitivos: o de conjunto, 
o de elemento e o de pertinência de um elemento a um con-
junto. Assim, devemos entender perfeitamente a frase: de-
terminado elemento pertence a um conjunto, sem que te-
nhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que 
significa dizer que um elemento pertence ou não a um con-
junto. 
 
2 Notação 
 
Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a 
seguinte notação: 
 
os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A, B, C, 
... ; 
os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c, 
x, y, ... ; 
o fato de um elemento x pertencer a um conjunto C é 
indicado com x ∈ C; 
o fato de um elemento y não pertencer a um conjunto C é 
indicado y ∉ C. 
 
3. Representação dos conjuntos 
 
Um conjunto pode ser representado de três maneiras: 
 
por enumeração de seus elementos; 
por descrição de uma propriedade característica do 
conjunto; 
através de uma representação gráfica. 
Um conjunto é representado por enumeração quando 
todos os seus elementos são indicados e colocados dentro 
de um par de chaves. 
 
Exemplo: 
 
A = ( 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ) indica o conjunto formado 
pelos algarismos do nosso sistema de numeração. 
B = ( a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, z 
) indica o conjunto formado pelas letras do nosso alfabeto. 
Quando um conjunto possui número elevado de 
elementos, porém apresenta lei de formação bem clara, 
podemos representa-lo, por enumeração, indicando os 
primeiros e os últimos elementos, intercalados por 
reticências. Assim: C = ( 2; 4; 6;... ; 98 ) indica o conjunto 
dos números pares positivos, menores do que100. 
Ainda usando reticências, podemos representar, por 
enumeração, conjuntos com infinitas elementos que tenham 
uma lei de formação bem clara, como os seguintes: 
 
D = ( 0; 1; 2; 3; .. . ) indica o conjunto dos números 
inteiros não negativos; 
E = ( ... ; -2; -1; 0; 1; 2; . .. ) indica o conjunto dos números 
inteiros; 
F = ( 1; 3; 5; 7; . . . ) indica o conjunto dos números 
ímpares positivos. 
 
A representação de um conjunto por meio da descrição de 
uma propriedade característica é mais sintética que sua re-
presentação por enumeração. Neste caso, um conjunto C, de 
elementos x, será representado da seguinte maneira: 
 
C = { x | x possui uma determinada propriedade } 
 
que se lê: C é o conjunto dos elementos x tal que possui 
uma determinada propriedade: 
 
Exemplos 
 
O conjunto A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } pode ser 
representado por descrição da seguinte maneira: A = { x | x 
é algarismo do nosso sistema de numeração } 
 
O conjunto G = { a; e; i; o, u } pode ser representado por 
descrição da seguinte maneira G = { x | x é vogal do nosso 
alfabeto } 
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Raciocínio Lógico Quantitativo A Opção Certa Para a Sua Realização 95
 
O conjunto H = { 2; 4; 6; 8; . . . } pode ser representado 
por descrição da seguinte maneira: 
 
 H = { x | x é par positivo } 
 
A representação gráfica de um conjunto é bastante cômo-
da. Através dela, os elementos de um conjunto são represen-
tados por pontos interiores a uma linha fechada que não se 
entrelaça. Os pontos exteriores a esta linha representam os 
elementos que não pertencem ao conjunto. 
 
Exemplo 
 
 
 
Por esse tipo de representação gráfica, chamada 
diagrama de Euler-Venn, percebemos que x ∈ C, y ∈ C, z 
∈ C; e que a ∉ C, b ∉ C, c ∉ C, d ∉ C. 
 
4 Número de elementos de um conjunto 
 
Consideremos um conjunto C. Chamamos de número de 
elementos deste conjunto, e indicamos com n(C), ao número 
de elementos diferentes entre si, que pertencem ao conjunto. 
Exemplos 
 
O conjunto A = { a; e; i; o; u } 
é tal que n(A) = 5. 
O conjunto B = { 0; 1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } é tal que n(B) = 
10. 
O conjunto C = ( 1; 2; 3; 4;... ; 99 ) é tal que n (C) = 99. 
 
5 Conjunto unitário e conjunto vazio 
 
Chamamos de conjunto unitário a todo conjunto C, tal que 
n (C) = 1. 
 
Exemplo: C = ( 3 ) 
 
E chamamos de conjunto vazio a todo conjunto c, tal que 
n(C) = 0. 
 
Exemplo: M = { x | x2 = -25} 
 
O conjunto vazio é representado por { } ou por ∅ . 
 
Exercício resolvido 
 
Determine o número de elementos dos seguintes com 
juntos : 
 
A = { x | x é letra da palavra amor } 
B = { x | x é letra da palavra alegria } 
c é o conjunto esquematizado a seguir 
D = ( 2; 4; 6; . . . ; 98 ) 
E é o conjunto dos pontos comuns às relas r e s, 
esquematizadas a seguir : 
 
 
 
Resolução 
 
n(A) = 4 
n(B) = 6,'pois a palavra alegria, apesar de possuir dote 
letras, possui apenas seis letras distintas entre si. 
n(C) = 2, pois há dois elementos que pertencem a C: c e 
C e d e C 
observe que: 
2 = 2 . 1 é o 1º par positivo 
4 = 2 . 2 é o 2° par positivo 
6 = 2 . 3 é o 3º par positivo 
8 = 2 . 4 é o 4º par positivo 
 . .. . 
 . . 
98 = 2 . 49 é o 49º par positivo 
 
logo: n(D) = 49 
 
As duas retas, esquematizadas na figura, possuem 
apenas um ponto comum. 
Logo, n( E ) = 1, e o conjunto E é, portanto, unitário. 
 
6 igualdade de conjuntos 
 
Vamos dizer que dois conjuntos A e 8 são iguais, e indica-
remos com A = 8, se ambos possuírem os mesmos elemen-
tos. Quando isto não ocorrer, diremos que os conjuntos são 
diferentes e indicaremos com A ≠ B. Exemplos . 
 
a) {a;e;i;o;u} = {a;e;i;o;u} 
b) {a;e;i;o,u} = {i;u;o,e;a} 
c) {a;e;i;o;u} = {a;a;e;i;i;i;o;u;u} 
d) {a;e;i;o;u} ≠ {a;e;i;o} 
e) { x | x2 = 100} = {10; -10} 
f) { x | x2 = 400} ≠ {20} 
 
7 Subconjuntos de um conjunto 
 
Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um 
conjunto B se todo elemento, que pertencer a A, também 
pertencer a B. 
 
Neste caso, usando os diagramas de Euler-Venn, o 
conjunto A estará "totalmente dentro" do conjunto B : 
 
 
Indicamos que A é um subconjunto de B de duas 
maneiras: 
 
A ⊂ B; que deve ser lido : A é subconjunto de B ou A está 
contido em B ou A é parte de B; 
B ⊃ A; que deve ser lido: B contém A ou B inclui A. 
 
Exemplo 
 
Sejam os conjuntos A = {x | x é mineiro} e B = { x | x é 
brasileiro} ; temos então que A ⊂ B e que B ⊃ A. 
 
Observações: 
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Quando A não é subconjunto de B, indicamos com A ⊄ 
B ou B A. 
Admitiremos que o conjunto vazio está contido em 
qualquer conjunto. 
 
8 Número de subconjuntos de um conjunto dado 
Pode-se mostrar que, se um conjunto possui n elementos, 
então este conjunto terá 2n subconjuntos. Exemplo 
 
O conjunto C = {1; 2 } possui dois elementos; logo, ele 
terá 22 = 4 subconjuntos. 
 
Exercício resolvido: 
 
1. Determine o número de subconjuntos do conjunto C = 
(a; e; i; o; u ) . 
 
Resolução: Como o conjunto C possui cinco elementos, o 
número dos seus subconjuntos será 25 = 32. 
 
Exercícios propostas: 
 
2. Determine o número de subconjuntos do conjunto 
C = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } 
 
Resposta: 1024 
 
3. Determine o número de subconjuntos do conjunto 
C = 
1
2
1
3
1
4
2
4
3
4
3
5
; ; ; ; ;




 
 
Resposta: 32 
 
B) OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
1 União de conjuntos 
 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos união ou reunião 
de A com B, e indicamos com A ∩ B, ao conjunto constituído 
por todos os elementos que pertencem a A ou a B. 
 
Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando 
com hachuras a interseção dos conjuntos, temos: 
 
 
Exemplos 
 
{a;b;c} U {d;e}= {a;b;c;d;e} 
{a;b;c} U {b;c;d}={a;b;c;d} 
{a;b;c} U {a;c}={a;b;c} 
 
2 Intersecção de conjuntos 
 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de interseção de 
A com B, e indicamos com A ∩ B, ao conjunto constituído 
por todos os elementos que pertencem a A e a B. 
 
Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando 
com hachuras a intersecção dos conjuntos, temos: 
 
 
Exemplos 
a) {a;b;c} ∩ {d;e} = ∅ 
b) {a;b;c} ∩ {b;c,d} = {b;c} 
c) {a;b;c} ∩ {a;c} = {a;c} 
 
 
Quando a intersecção de dois conjuntos é vazia, como no 
exemplo a, dizemos que os conjuntos são disjuntos. 
 
Exercícios resolvidos 
 
Sendo A = ( x; y; z ); B = ( x; w; v ) e C = ( y; u; t ), 
determinar os seguintes conjuntos: 
a) A ∪ B f) B ∩ C 
b) A ∩ B g) A ∪ B ∪ C 
c) A ∪ C h) A ∩ B ∩ C 
d) A ∩ C i) (A ∩ B) U (A ∩ C) 
e) B ∪ C 
 
Resolução 
A ∪ B = {x; y; z; w; v } 
A ∩ B = {x } 
A ∪ C = {x; y;z; u; t } 
A ∩ C = {y } 
B ∪ C={x;w;v;y;u;t} 
B ∩ C= ∅ 
A ∪ B ∪ C= {x;y;z;w;v;u;t} 
A ∩ B ∩ C= ∅ 
(A ∩ B) ∪ u (A ∩ C)={x} ∪ {y}={x;y} 
 
2. Dado o diagrama seguinte, represente com hachuras 
os conjuntos: : 
 
a) A ∩ B ∩ C 
b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 
 
 
.Resolução 
 
 
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3. No diagrama seguinte temos: 
n(A) = 20 
n(B) = 30 
n(A ∩ B) = 5 
 
 
Determine n(A ∪ B). 
Resolução 
 
Se juntarmos, aos 20 elementos de A, os 30 elementos de 
B, estaremos considerando os 5 elementos de A n B duas 
vezes; o que, evidentemente, é incorreto; e, para corrigir este 
erro, devemos subtrair uma vez os 5 elementos de A n B; 
teremos então: 
 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) ou seja: 
 
n(A ∪ B) = 20 + 30 – 5 e então: 
 
n(A ∪ B) = 45. 
 
4 Conjunto complementar 
 
Dados dois conjuntos A e B, com B ⊂ A, chamamos 
de conjunto complementar de B em relação a A, e indicamos 
com CA B, ao conjunto A - B. 
Observação: O complementar é um caso particular de 
diferença em que o segundo conjunto é subconjunto do 
primeiro. 
 
Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando 
com hachuras o complementar de B em relação a A, temos: 
 
 
 
Exemplo: {a;b;c;d;e;f} - {b;d;e}= {a;c;f} 
 
Observação: O conjunto complementar de B em 
relação a A é formado pelos elementos que faltam para 
"B chegar a A"; isto é, para B se igualar a A. 
 
Exercícios resolvidos: 
 
4. Sendo A = { x; y; z } , B = { x; w; v } e C = { y; u; t 
}, determinar os seguintes conjuntos: 
 
A – B 
B – A 
C - A 
B – C 
A – C 
 
C – B 
 
Resolução 
 
A - B = { y; z } 
B - A= {w;v} 
A - C= {x;z} 
C – A = {u;t} 
B – C = {x;w;v} 
C – B = {y;u;t} 
 
 
PROVA SIMULADA 
 
1. Todos os marinheiros são republicanos. Assim sendo, 
 
(A) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos 
republicanos. 
(B) o conjunto dos republicanos contém o conjunto 
dos marinheiros. 
(C) todos os republicanos são marinheiros. 
(D) algum marinheiro não é republicano. 
(E) nenhum marinheiro é republicano. 
 
2. Assinale a alternativa que apresenta uma contra-
dição. 
 
(A) Todo espião não é vegetariano e algum vegetari-
ano é espião. 
(B) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano 
não é espião. 
(C) Nenhum espião é vegetariano e algum es pião 
não é vegetariano. 
(D) Algum espião é vegetariano e algum es pião não 
é vegetariano. 
(E) Todo vegetariano é espião e algum espião não é 
vegetariano. 
 
3. Todos os que conhecem João e Maria admiram 
Maria. Alguns que conhecem Maria não a admi-
ram. Logo, 
 
(A) todos os que conhecem Maria a admiram. 
(B) ninguém admira Maria. 
(C) alguns que conhecem Maria não conhecem João. 
(D) quem conhece João admira Maria. 
(E) só quem conhece João e Maria conhece Maria. 
 
4. Válter tem inveja de quem é mais rico do que ele. Ge-
raldo não é mais rico do que quem o inveja. Logo, 
 
(A) quem não é mais rico do que Válter é mais pobre 
do que Válter. 
(B) Geraldo é mais rico do que Válter. 
(C) Válter não tem inveja de quem não é mais rico do 
que ele. 
(D) Válter inveja só quem é mais rico do que ele. 
(E) Geraldo não é mais rico do que Válter. 
 
5. Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto de 
gasolina e a banca de jornal, e o posto de gasolina 
fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo, 
 
(A) a sapataria fica entre a banca de jornal e a pada-
ria. 
(B) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e 
a padaria. 
(C)