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Ensino Médio
ANGLO
Manual do Professor • Matemática
7
ª- série2
296061_CAPA_EM_CA_MP_REGULAR_Mat.indd 1 4/12/17 18:37
Manual
do Professor
Matemática 
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)
EM_REG_01a03_MAT_MP7_Iniciais.indd 1 13/04/17 09:01
Direção de inovação e conteúdo: Guilherme Luz
Direção executiva de integração: Irina Bullara Martins Lachowski
Direção editorial: Renata Mascarenhas
Gestão pedagógica e gestão de projeto editorial: Henrique Braga 
e Rodolfo Marinho
Coordenação pedagógica: Fábio Aviles
Supervisão da disciplina: Roberto Teixeira Cardoso
Gestão de área: Viviane Carpegiani e Pietro Ferrari
Edição: Tadeu Nestor Neto
Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga
Fluxo de produção: Paula Godo (coord.), Fabiana Manna e 
Paula P. O. C. Kusznir
Revisão: Hélia Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques (coord.), 
Rosângela Muricy (coord.), Danielle Modesto, 
Marília Lima, Marina Saraiva, Tayra Alfonso e Vanessa Lucena
Edição de arte: Daniela Amaral (coord.) e Antonio Cesar Decarli
Diagramação: Casa de Tipos
Iconografia e licenciamento de texto: Sílvio Kligin (superv.); 
Denise Durand Kremer (coord.); Claudia Bertolazzi,  
Claudia Cristina Balista, Ellen Colombo Finta, Jad Silva, 
Karina Tengan e Sara Plaça (pesquisa iconográfica); Liliane Rodrigues e 
Thalita Corina da Silva (licenciamento de textos)
Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin
Ilustrações: Casa de Tipos e Avits
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Foto de capa: Keith Ladzinski/National Geographic Creative/Getty Images
Projeto gráfico de miolo: Talita Guedes da Silva
Editoração eletrônica: Casa de Tipos
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© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Rosso Junior, Antonio Carlos 
 Ensino médio : matemática : cadernos de 5 a 8 : manual do 
professor / Antonio Carlos Rosso Junior, Glenn Albert Jacques van 
Amson, Roberto Teixeira Cardoso (Robby). -- 1. ed. -- São Paulo : 
SOMOS Sistemas de Ensino, 2017.
 1. Matemática (Ensino médio) I. Amson, Glenn Albert Jacques van. 
II. Cardoso, Roberto Teixeira. III. Título.
16-08085 CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio 510.7
2017
ISBN 978 85 4680 382 8 (PR)
Código da obra 826251317
1a edição
1a impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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Sumário
Matemática ............................................................................................................................................................ 4
Setor A ...................................................................................................................................................................... 5
Aulas 37 e 38 – Princípios básicos de contagem .................................................................................................. 5
Aulas 39 e 40 – Princípios básicos de contagem: exercícios ................................................................................ 5
Aulas 41 e 42 – Arranjo simples e fatorial ............................................................................................................... 6
Aulas 43 e 44 – Permutações .................................................................................................................................. 7
Aulas 45 e 46 – Permutações circulares ................................................................................................................. 7
Aulas 47 e 48 – Combinação simples ................................................................................................................... 8
Aulas 49 e 50 – Combinações simples e números binominais ............................................................................ 8
Aulas 51 e 52 – Probabilidade: conceitos fundamentais ...................................................................................... 9
Aulas 53 e 54 – Probabilidade condicional e multiplicação de probabilidades ................................................ 9
Setor B .................................................................................................................................................................... 1 0
Aulas 25 e 26 – Introdução à geometria do espaço: conceitos iniciais e 
posições relativas entre duas retas ............................................................................................ 10
Aulas 27 e 28 – Introdução à geometria do espaço: posições relativas 
entre reta e plano e entre dois planos ...................................................................................... 11
Aulas 29 e 30 – Poliedros........................................................................................................................................ 1 2
Aulas 31 e 32 – Prismas .......................................................................................................................................... 1 3
Aulas 33 e 34 – Prismas: paralelepípedo reto-retângulo e cubo ....................................................................... 1 4
Aulas 35 e 36 – Prismas regulares ........................................................................................................................ 1 5
Atividades Interdisciplinares .............................................................................................................................. 16
Respostas – Caderno de Exercícios 4 ............................................................................................................... 17
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Matemática
Caderno 7
Neste Caderno, temos algumas mudanças importantes nos temas que estudaremos tanto no setor A como no setor B. 
No setor A do Caderno 6, trabalhamos com o eixo Álgebra, números e funções. Já no Caderno 7, trabalharemos com o eixo Trata-
mento da informação. Iniciaremos com o estudo de análise combinatória e terminaremos o Caderno com uma parte do estudo que 
faremos sobre probabilidade.
É importante que isso fique claro para os alunos, pois as habilidades de interpretação de texto e modelagem matemática são geral-
mente mais exigidas nesse momento do curso. E é fundamental que sejam apresentados os conteúdos desses temas a partir de situações 
concretas, pois, sem isso, esse estudo deixa de ser significativo para o aluno do Ensino Médio.
O setor B é inteiramente dedicado à Geometria do espaço, e o iniciaremos com quatro aulas dedicadas à introdução do tema. Este 
é o momento em que apresentamos uma construção axiomática da Geometria. Contudo, é importante que os alunos já percebam 
a importância de reconhecer movimentações no espaço tridimensional. Em seguida, teremos duas aulas sobre poliedros, seguidas de 
seis aulas sobre prismas, deixando para o Caderno 8 o estudo sobre pirâmides, cilindros e cones. 
Vale a pena destacar uma pequena mudança em relação ao estudo dos prismas: optamos por duas aulas introdutórias e em seguida 
duas aulas para o estudo específico dos paralelepípedos e dos cubos. O mais comum é tratar desses dois sólidos e depois falar de pris-
mas, porém escolhemos esse outro percurso por entender que é melhor mostrar a noção geral de prisma e depois os casos particulares, 
como os prismas regulares, que finalizam este Caderno.
4
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Setor A
aulas 37 e 38
Princípios básicos de contagem
Objetivos
Apresentar o princípio da adição e o princípio da multiplicação 
(Princípio Fundamental da Contagem).
Encaminhamento
Inicie a aula com a explicação de que as principais finalidades 
da análise combinatória são estudar modos de agrupar objetos, 
pessoas, procedimentos, etc. e estudar modos de fazer contagensdo número de maneiras possíveis de formar esses agrupamentos. 
Em seguida, apresente os dois princípios, usando os exemplos do 
resumo de aula, e depois mostre que o princípio da adição se as-
socia a “OU” (da união de conjuntos disjuntos) e o PFC associa-se 
a “E” (do produto cartesiano). É extremamente importante que os 
alunos, em cada exercício, em cada discussão, fixem pelo menos 
três exemplos antes de partir para as contas; trata-se de uma das 
técnicas de contagem mais práticas.
Explique como um baralho clássico de 52 cartas é formado 
(item 2.1, capítulo 2, Unidade 12 do Livro-texto 4) e que, em situa-
ções que apresentam algum tipo de restrição, pode ser conveniente 
fazer a contagem começando pelas restrições. Vamos a um exem-
plo: quantos são os números pares de quatro algarismos?
? ? ? ?
450 opções
9 10 10 5
   
? ? ?
5
Para a primeira casa, a das dezenas de milhares, temos 9 opções, 
pois nela o algarismo não pode ser o 0 (zero). Para a última casa, a 
das unidades, temos 5 opções: os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8.
A quantidade de exercícios resolvidos pelos alunos pode ser 
decisiva para o entendimento desta e das próximas aulas, e talvez 
seja conveniente mostrar a eles uma diferença entre as duas per-
guntas a seguir:
1. Tendo 5 pessoas à disposição, quantas filas de 3 pessoas po-
dem ser formadas?
2. Tendo 5 pessoas à disposição, de quantas maneiras pode-se 
formar uma fila de 3 pessoas?
Na primeira pergunta, a resposta é 1, pois com 5 pessoas é 
impossível formar duas ou mais filas de 3 pessoas. E, na segunda 
pergunta, a resposta é 60 (5 5 ? 4 ? 3) maneiras.
Sugestão de exercícios extras
1. Desde 1992, o Código de Endereço Postal (CEP) brasileiro 
é uma sequência de 8 dígitos da forma #####-###. 
Os códigos da Grande São Paulo vão de 01000-000 
a 09999-999. Sendo assim, qual é o total de códigos 
reservado para a Grande São Paulo?
Resposta:
9 000 000
2. Com um baralho comum de 52 cartas, de quantas 
maneiras pode-se formar uma sequência de duas 
cartas de naipes diferentes?
Resposta:
2 028
3. Com um baralho comum de 52 cartas, de quantas 
maneiras pode-se formar um conjunto de duas cartas 
de naipes diferentes?
Resposta:
1 014
4. Em uma listagem dos números inteiros de 1 a 100, 
quantas vezes o algarismo 7 aparece?
Resposta:
20
5. Em um salão de festa que tem 10 portas, de quantos 
modos se pode manter aberta pelo menos uma delas?
Resposta:
1 023
aulas 39 e 40
Princípios básicos de contagem: 
exercícios
Objetivos
Resolver exercícios de contagem que envolvem o princípio da 
adição e o da multiplicação.
Encaminhamento
Inicie com a resolução dos exercícios de aula. É importante 
analisar eventuais erros cometidos, pois estes são essenciais no 
processo de aprendizagem da análise combinatória. 
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Em cada exercício apresente pelo menos três exemplos antes 
de realizar as resoluções.
Sugestão de exercícios extras
1. Determinado modelo de automóvel é oferecido com 
várias opções. Pode-se escolher uma cor entre cinco, 
entre câmbio automático ou mecânico, entre motor 
2.0 ou 3.5 e um entre quatro tipos de acabamento do 
interior. Ao todo, quantas opções tem um cliente para 
adquirir um carro desses?
Resposta:
80
2. Em uma competição de Fórmula 1, há 25 pilotos. Os 
primeiros três colocados subirão em um pódio, que 
tem três níveis: campeão, vice-campeão e terceiro 
colocado. Não havendo empates, de quantas maneiras 
esse pódio pode ser formado?
Resposta:
13 800
3. Em uma pizzaria, o cliente pode escolher entre massa 
fina ou grossa, borda simples ou recheada e um entre 
os 10 tipos de recheio disponíveis.
a) De quantos modos um cliente pode encomendar 
uma pizza?
Resposta:
40
b) De quantos modos um cliente pode encomendar 
duas pizzas?
Resposta:
1 600
4. Em uma pizzaria, o cliente pode escolher entre massa 
fina ou grossa, borda simples ou recheada e, no máximo, 
dois entre os 10 tipos de recheio. De quantos modos um 
cliente pode encomendar uma pizza?
Resposta:
220
5. Quantos números naturais pares podem ser formados 
com três algarismos distintos?
Resposta:
328
aulas 41 e 42
Arranjo simples e fatorial
Objetivos
Apresentar o conceito de arranjo simples e o conceito de 
fatorial de um número natural. 
Encaminhamento
Explique que o arranjo é uma sequência e que, portanto, a 
ordem dos seus elementos é fundamental: “ABC” é um arranjo 
que difere de “ACB” e de “CAB”. Mostre que a aplicação principal 
do conceito de fatorial é indicar resultados numéricos maiores. 
Assim, como raramente calculamos 230, por exemplo, também 
não é comum calcular 30!. Apresente para os alunos, por meio da 
definição, que 1! 5 1 e 0! 5 1 e esclareça que se trata de um recurso 
para manter o padrão em fórmulas matemáticas.
Sugestão de exercícios extras
1. Em uma corrida de Fórmula 1 haverá 22 participantes, 
sendo que os 10 primeiros colocados ganharão pontos. 
Supondo que não haja empates, de quantas maneiras 
pode-se formar a listagem dos primeiros 10 colocados?
 ca) 22!
12!
b) 22!
10!
c) 12!
10!
d) 22!
e) 10!
Resolução:
Trata-se de um arranjo simples de 22 elementos to-
mados 10 a 10. O número de arranjos é dado por 
( )
A 22!
22 10 !
22!
12!22, 10
5
2
5 .
2. De quantos modos uma pessoa pode entrar por uma 
porta e sair por outra, em um salão que tem ao todo 10 
portas?
Resposta:
90
3. Em um ônibus há 36 lugares, exatamente um para cada 
passageiro. O número de maneiras possíveis que dois 
passageiros podem se acomodar nesses lugares é
a) 1 296.
 cb) 1 260.
c) 72.
d) 38.
e) 36.
4. Entre 2 000 e 8 000 existem exatamente n números inteiros 
cujos algarismos são pares e, dois a dois, distintos. 
Podemos afirmar corretamente que n é igual a
 ca) 72.
b) 96.
c) 192.
d) 256.
e) 1 875.
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aulas 43 e 44
Permutações
Objetivos
Apresentar o conceito de permutação (com elementos mu-
tuamente distintos ou não) e mostrar como calcular o número 
de permutações possíveis em dadas condições.
Encaminhamento
Use os exemplos do resumo de aula e mostre que uma per-
mutação simples de n elementos corresponde a um arranjo de 
n elementos tomados n a n. Assim, o número de permutações 
simples de n elementos pode ser dado por 
( )
P A
n!
n n !
n n, n
5 5
2
. 
Como, de modo conveniente, 0! é definido como 1, temos 
P
n!
1n
5 , ou seja, P
n
 5 n!.
Faça os exercícios 1 e 2 da aula, para, depois, voltar ao exemplo 
dos anagramas da palavra “AMOR”. Dado que a palavra “AMOR” 
tem 24 anagramas, pode-se deduzir que “AMAR” tem 12 anagramas: 
24
2
, ou seja, 4!
2!
.
Do mesmo modo a palavra “AMORE” tem 5! (5 120) anagramas, 
enquanto “AMARA” tem apenas 5!
3!
 (5 20) anagramas.
Sugestão de exercícios extras
1. Em uma exposição de moda há 5 modelos masculinos e 
5 modelos femininos. Essas 10 pessoas deverão desfilar, 
uma por vez, não podendo haver duas pessoas do 
mesmo sexo seguidas. De quantas maneiras isso poderá 
acontecer?
a) 120
b) 240
c) 14 400
 cd) 28 800
e) 207 360 000
Resolução:
• Começando com um modelo masculino, temos se-
quências da forma:
(h1, m1, h2, m2, h3, m3, h4, m4, h5, m5)
5! ? 5! 5 14 400
• Começando com um modelo feminino, temos sequên-
cias da forma:
(m1, h1, m2, h2, m3, h3, m4, h4, m5, h5)
5! ? 5! 5 14 400
Total: 14 400 1 14 400 5 28 800
2. Quantos anagramas que começam com a letra C tem 
a palavra CORRETO?
Resposta:
180
3. Quantos anagramas que não começam com a letra C 
tem a palavra CORRETO?
Resposta:
1 080
aulas 45 e 46
Permutações circulares
Objetivos
Rever o cálculo de permutações com alguns elementos iguais, 
resolver problemas representativos e apresentar o conceito de per-
mutação circular.
Encaminhamento
Comece com o primeiro exemplo e as resoluções das primeiras 
quatro questões de aula. A sequência das questões 2, 3 e 4, nesta 
ordem, é fundamental, pois com ela poderemos contornar a difi-
culdadede apresentar formalmente o conceito de combinações 
com elementos repetidos. 
Defina o conceito de arranjo com elementos repetidos ao usar 
o conceito de sequência, pois em uma sequência pode haver ter-
mos iguais.
Use os conceitos de conjunto e subconjunto para definir o de 
combinação simples. 
Para definir o conceito de combinação com elementos repe-
tidos, não é possível usar o conceito de conjunto. Pelo conceito 
formal, temos, por exemplo, {a, a, a, b, b, a} 5 {a, b}, pois dois con-
juntos (não vazios) são iguais se, e somente se, eles têm os mesmos 
elementos. Alguns autores criam uma extensão do conceito de 
conjunto, mas isso pode criar outras dificuldades.
Apresente o conceito de permutação circular, explique o segun-
do exemplo do resumo de aula e resolva a questão 5. 
Sugestão de exercício extra
Os 5 040 anagramas da palavra CADERNO foram listados em 
ordem alfabética, e, vendo a lista, uma pessoa fez as seguintes afir-
mações:
 I. O terceiro anagrama é ACDEONR.
 II. O penúltimo anagrama é RONEDCA.
 III. O anagrama CADERNO ocupa a 725a posição.
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Pedro fez alguns cálculos e concluiu corretamente que
a) as três afirmações são falsas.
b) as três afirmações são verdadeiras.
 cc) apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
d) apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
e) apenas a afirmação III é falsa.
Resolução:
posição anagrama
1 ACDENOR
2 ACDENRO
3 ACDEONR
... ...
CADERNO
... ...
5 039 RONEDAC
5 040 RONEDCA
A afirmação I é verdadeira e a II é falsa.
Todos os anagramas que começam com A vêm antes 
da palavra CADERNO.
Número de anagramas que começam com A: 720 (5 6!).
Vejamos, em ordem alfabética, os anagramas que co-
meçam com CADE:
CADENOR 11
CADENRO 12
CADEONR 13
CADEORN 14
CADERNO 15
CADERON 16
A posição do anagrama CADERNO é dada por 
720 1 5 5 725.
A afirmação III é verdadeira.
aulas 47 e 48
Combinação simples
Objetivos
Apresentar o conceito de combinação simples, mostrar como 
calcular o número de combinações possíveis e estudar alguns ca-
sos representativos que envolvem combinação complementar e 
bipartição de um conjunto.
Encaminhamento
Siga o resumo de aula com os alunos e resolva os exercícios de 
aula na sequência. Se achar conveniente, explique o exemplo do 
item 3, capítulo 3, Unidade 11 do Livro-texto 4.
Sugestão de exercícios extras
1. Sabemos que dois pontos distintos determinam uma 
reta. Considerando 12 pontos, sem que haja 3 deles em 
uma mesma reta, quantas retas são determinadas?
Resposta:
66
2. Quantas diagonais tem um dodecágono convexo?
Resposta:
54
3. Considerando 12 pontos, sem que haja 3 deles em uma 
mesma reta, quantos são os triângulos com vértices 
nesses pontos?
Resposta:
220
4. Com um baralho comum de 52 cartas, de quantas 
maneiras pode-se formar um conjunto de 5 cartas de 
ouros?
Resposta:
1 287
aulas 49 e 50
Combinações simples e 
números binomiais
Objetivos
Apresentar os números binomiais, o triângulo de Pascal e algu-
mas propriedades notáveis de combinações simples.
Encaminhamento
Siga o resumo de aula e, em seguida, resolva os exercícios. Se 
achar conveniente, apresente o exemplo do item 4, capítulo 3, 
Unidade 11 do Livro-texto 4.
Sugestão de exercícios extras
1. Para quais valores naturais de p tem-se 






20
p
 5 






20
16
?
Resposta:
4 e 16
2. No desenvolvimento de ( )x 1x
6
1 , qual é o termo 
independente de x?
Resposta:
20
8
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aulas 51 e 52
Probabilidade: conceitos fundamentais
Objetivos
Apresentar os conceitos e as propriedades fundamentais de 
probabilidade.
Encaminhamento
Siga a sequência do resumo de aula, com os exemplos, e expli-
que o que é um espaço amostral equiprovável. Somente após esse 
conceito apresente a regra:
número de casos favoráveis
número total de casos possíveis
Muitos autores começam o tópico por essa regra sem definir o 
que é um espaço equiprovável, o que resulta em uma circularidade: 
para saber o que é probabilidade, deve-se saber o que significa ter 
a mesma probabilidade (eventos equiprováveis).
Sugestão de exercícios extras
1. No lançamento de uma moeda e um dado, a 
probabilidade de se obter coroa e o número 6 é 
1
12
. 
Qual é a probabilidade de se obter cara ou um número 
menor que 6?
Resolução:
Sendo A o evento de obter coroa e o número 6, o com-
plementar de A corresponde ao evento de se obter cara 
ou um número menor que 6 (A). 
Como P(A) 5 21 P(A) , temos A 11
12
5 .
2. Considere um lançamento de dois dados convencionais.
a) Qual é a probabilidade de o produto dos pontos ser 
igual a 12?
b) Dado que a soma dos pontos é 7, qual é a probabi-
lidade de o produto deles ser igual a 12?
Resolução:
a) Entre os 36 resultados possíveis, temos os 4 pares 
(2, 6), (3, 4), (4, 3) e (6, 2), em que o produto dos 
termos é 12. Logo, a probabilidade é 4
36
, ou seja, 1
9
.
b) Com a soma dos pontos igual a 7, temos os 6 pares 
possíveis (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) e (6, 1). O 
produto é 12 apenas nos pares (3, 4) e (4, 3). Logo, a 
probabilidade é 
2
6
, ou seja, 
1
3
.
aulas 53 e 54
Probabilidade condicional e 
multiplicação de probabilidades
Objetivos
Apresentar os conceitos de probabilidade condicional e de even-
tos independentes, bem como a “regra do E” (da multiplicação e 
probabilidades).
Encaminhamento
Inicie com a sequência do resumo de aula, com os exemplos. 
Após ter explicado o primeiro exemplo, compare a situação com 
uma moeda (balanceada) e com um casal que tem dois ou mais 
filhos. 
Sugestão de exercícios extras
1. Uma moeda balanceada deu cara nas duas vezes em 
que ela foi lançada. Qual é a probabilidade de resultar 
cara em um terceiro lançamento dessa moeda?
Resposta:
1
2
2. Uma moeda balanceada é lançada três vezes seguidas. 
Qual é a probabilidade de resultar cara nos três 
lançamentos?
Resposta:
1
8
3. A senha de um cartão de crédito é um código que 
consiste em uma sequência de 4 algarismos, de 0 a 9, 
seguida por uma sequência de 3 letras maiúsculas. Qual 
é a probabilidade de uma pessoa acertar a senha na 
primeira tentativa, digitando aleatoriamente um código 
desse formato?
Resposta:
1
26 100003 ?
4. Você tem três cédulas de R$ 2,00, três de R$ 5,00 e três 
de R$ 10,00. Se você pega duas delas aleatoriamente, 
qual é a probabilidade de que a soma dos seus valores 
seja R$ 12,00?
Resposta:
1
4
9
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Setor B
aulas 25 e 26
Introdução à geometria do espaço: 
conceitos iniciais e posições relativas 
entre duas retas
Objetivos
Discutir as noções primitivas, alguns postulados e teoremas da 
geometria do espaço, além de analisar no espaço tridimensional as 
posições relativas entre duas retas. 
Encaminhamento
Como são as primeiras aulas sobre esse tema, é importante 
explicar aos alunos que neste momento serão explorados os fun-
damentos teóricos estruturantes da geometria do espaço. Explique 
também que alguns desses fundamentos já foram abordados de 
modo intuitivo no Ensino Fundamental.
Aproveite a estrutura da geometria do espaço apresentada nes-
tas aulas para mostrar aos alunos como uma teoria matemática é 
estruturada. Explique que a partir de conceitos primitivos e postula-
dos obtêm-se os teoremas, resultados que podem ser demonstrados.
Para facilitar a compreensão, aborde os postulados e teoremas 
sempre apoiados em exemplos visuais. Uma estratégia que costuma 
render bons resultados durante a apresentação da teoria é usar 
materiais simples, como varetas e placas de isopor para represen-
tar as retas e os planos. Esse recurso também pode ser usado na 
resolução dos exercícios. 
Com essa abordagem dos conteúdos, muitas vezes é possível 
evitar as demonstrações que levam boa parcela da turma à distra-
ção. Quando elas forem inevitáveis, nossa sugestão é que sejam 
feitas, no máximo, uma ouduas demonstrações durante as aulas.
Sugestão de exercícios extras
1. (UEM-PR) No espaço tridimensional, considere um plano 
p e as retas r, s e t, distintas duas a duas, de modo que 
r e s são perpendiculares ao plano p e a reta t não 
possua qualquer ponto em comum com o plano p e 
seja concorrente com as retas s e r. Sobre a situação 
descrita, assinale o que for correto. 
(01) As retas r e s são paralelas.
(02) As retas s e t são reversas.
(04) A reta t é paralela ao plano p.
(08) A reta s é perpendicular a qualquer reta do plano p 
concorrente a ela.
(16) Se A e B são pontos distintos de r, e P e Q são pon-
tos distintos de s, então os triângulos APQ e BPQ 
possuem a mesma área.
Dê como resposta a soma dos números associados às 
afirmações corretas.
Resposta: 01 1 04 1 08 1 16 5 29.
2. (EsPcex-SP) O sólido geométrico abaixo é formado pela 
justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, 
com uma face em comum. Na figura estão indicados 
os vértices, tanto do bloco quanto do prisma.
A
B
C
I
J
D
K
L
F
G
E
H
Considere os seguintes pares de retas definidas por pon-
tos dessa figura: as retas LB e GE, as retas AG e HI, e as 
retas AD e GK. As posições relativas desses pares de 
retas são, respectivamente, 
a) concorrentes; reversas; reversas.
b) reversas; reversas; paralelas.
c) concorrentes; reversas; paralelas.
d) reversas; concorrentes; reversas.
 ce) concorrentes; concorrentes; reversas.
3. (Cefet-CE) Observe as afirmações:
 I. O espaço é o conjunto de todos os pontos.
 II. Dois pontos distintos determinam uma reta.
 III. Três pontos não pertencentes a uma mesma reta 
definem um plano.
É correto concluir que: 
a) somente I é verdadeira.
b) apenas I e II são verdadeiras.
c) apenas II e III são verdadeiras.
d) todas são falsas.
 ce) todas as afirmações são verdadeiras.
10
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4. (Unifesp) Dois segmentos dizem-se reversos quando 
não são coplanares. Neste caso, o número de pares 
de arestas reversas num tetraedro, como o da figura, é:
A
B
C
D
a) 6
 cb) 3
c) 2
d) 1
e) 0
5. (UEL-PR) Considere uma reta s, contida em um plano a, 
e uma reta r perpendicular a s. Então, necessariamente:
a) r é perpendicular a a.
 cb) r e s são coplanares.
c) r é paralela a a.
d) r está contida em a.
e) Todas as retas paralelas a r interceptam s.
aulas 27 e 28
Introdução à geometria do espaço: 
posições relativas entre reta e plano 
e entre dois planos
Objetivos
Apresentar alguns teoremas da geometria do espaço e analisar 
as posições relativas entre reta e plano e entre dois planos.
Encaminhamento
Inicie a aula relembrando com os alunos as noções estudadas 
na aula anterior e esclarecendo eventuais dúvidas da tarefa.
Ao trabalhar com as posições relativas entre dois planos, co-
mente também como se dá a intersecção entre três ou mais planos. 
Para isso, use novamente o recurso visual das placas de isopor e 
das varetas. 
Nestas aulas optamos por explorar também algumas noções de 
projeção de pontos do espaço no plano, habilidade que vem sendo 
sistematicamente cobrada nas avaliações de larga escala como o 
Enem. Discuta e mostre as projeções de algumas figuras planas sobre 
um plano. Uma estratégia é começar perguntando aos alunos como 
eles imaginam que sejam as projeções dessas figuras no plano. Dê 
especial atenção à circunferência. É possível que muitos não per-
cebam que sua projeção no plano pode ser um segmento de reta. 
Sugestão de exercícios extras
1. (UEM-PR) Sobre as posições relativas entre pontos, retas 
e planos no espaço, assinale o que for correto. 
(01) Duas retas r e s são ortogonais quando são reversas 
e existe uma reta t, paralela a s e perpendicular a r.
(02) Se um plano a é paralelo a uma reta r, então todas 
as retas do plano a são paralelas a r.
(04) É possível ter retas paralelas contidas em planos 
que não sejam paralelos.
(08) Se um plano a intercepta os planos b e γ forman-
do um ângulo de 90o, então os planos b e γ são 
paralelos.
(16) Considere as retas r, s e t. Se r é reversa a s e a reta 
s é concorrente a t, então r e t são reversas.
Dê como resposta a soma dos números associados às 
afirmações corretas.
Resposta: 01 1 04 5 05.
2. (Cefet-MG) No contexto da Geometria Espacial, 
afirma-se:
 I. Se uma reta é paralela a um plano, então ela está 
contida nesse plano.
 II. Duas retas sem ponto comum são paralelas ou 
reversas.
 III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um 
deles é paralela ao outro.
 IV. Duas retas distintas paralelas a um plano são para-
lelas entre si.
São corretas apenas as afirmativas 
a) I e II.
b) I e III.
 cc) II e III.
d) II e IV.
e) III e IV.
3. (Fatec-SP) A reta r é a intersecção dos planos a 
e b, perpendiculares entre si. A reta s, contida 
em a, intercepta r no ponto P. A reta t, perpendicular 
a b, intercepta-o no ponto Q, não pertencente a r. 
Nessas condições, é verdade que as retas 
a) r e s são perpendiculares entre si.
b) s e t são paralelas entre si.
c) r e t são concorrentes.
d) s e t são reversas.
 ce) r e t são ortogonais.
11
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4. (Fatec-SP) Na figura a seguir tem-se: o plano a 
definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si; a 
reta b, perpendicular a a em A, com A [ c; o ponto B, 
intersecção de c e d. Se X é um ponto de b, X î a, então 
a reta s, definida por X e B,
BA c
b
d
α
a) é paralela à reta c.
b) é paralela à reta b.
c) está contida no plano a.
 cd) é perpendicular à reta d.
e) é perpendicular à reta b.
aulas 29 e 30
Poliedros
Objetivos
Definir poliedros, seus elementos e planificações. Estudar os 
poliedros convexos e suas principais propriedades.
Encaminhamento
Inicie conceituando sólido geométrico e mais especificamente 
os poliedros e os poliedros convexos. Para auxiliar nesta abordagem, 
use modelos concretos de poliedros que facilitam a visualização 
dos elementos e algumas propriedades desses sólidos. Caso não 
disponha desses modelos, pode-se também utilizar imagens no 
computador ou ainda alguns softwares de geometria.
Explique aos alunos como verificar se um poliedro é convexo e 
a validade da relação de Euler para esses poliedros. Uma estratégia 
é discutir alguns exemplos em que a relação de Euler é válida e 
mostrar um exemplo de um poliedro não convexo para o qual 
ela não é válida. 
Como sugestão, faça pelo menos um exercício resolvido para 
mostrar como aplicar a relação de Euler. Para isso, aproveite o pri-
meiro exercício extra que apresentamos logo a seguir.
Para finalizar, mostre que a nomenclatura de um poliedro é 
dada pelo número de faces e apresente os poliedros regulares e 
suas características.
Reserve um tempo para que os alunos façam os exercícios da 
aula e corrija-os em seguida.
Sugestão de exercícios extras
1. (UPE) Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, todas 
triangulares. Nestas condições, assumindo que tal poliedro 
exista, o número esperado de vértices para este será:
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
 ce) 6
2. (UFC-CE) O número de faces de um poliedro convexo 
com 20 vértices e com todas as faces triangulares é 
igual a: 
a) 28
b) 30
c) 32
d) 34
 ce) 36
3. (UPF-RS) O poliedro representado na figura (octaedro 
truncado) é construído a partir de um octaedro regular, 
cortando-se, para tal, em cada vértice, uma pirâmide 
regular de base quadrangular. A soma dos ângulos 
internos de todas as faces do octaedro truncado é: 
 
a) 2 160o
b) 5 760o
 cc) 7 920o
d) 10 080o
e) 13 680o
4. (FMP-RJ) A figura mostra uma peça metálica que tem 
a forma de um octaedro regular, cujas arestas medem 
1 metro.
A
B
1m
A medida da distância entre os vértices A e B, em me-
tros, é:
a) 1
b) 2
2
c) 2
d) 3
2
 ce) 2
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aulas 31 e 32
Prismas
Objetivos
Estudar os prismas e seus elementos. Reconhecer o prisma 
como um poliedro e determinar a área da superfície de um pris-
ma e seu volume. 
EncaminhamentoInicie a aula retomando o conceito de poliedro e defina prisma. 
Apresente os elementos de um prisma, suas secções e algumas de 
suas planificações, mostrando aos alunos como elas podem auxiliar 
nos cálculos da área da superfície de um prisma.
Em seguida discuta o cálculo do volume de um prisma a partir 
do volume do paralelepípedo e do princípio de Cavalieri. 
Faça alguns exemplos e reserve um tempo para que os alunos 
trabalhem com as questões da aula.
Sugestão de exercícios extras
1. (Cefet-MG) Uma caixa sem tampa no formato de um 
cubo, cuja aresta mede 3 metros, está sobre uma 
superfície plana e com água até uma altura de 2 metros 
em relação à sua base, conforme mostra a FIG. 1.
FIG. 1 FIG. 2
A
30°
B
D
C
A
B
D
C
A caixa será inclinada de tal forma que a aresta AB 
ficará totalmente em contato com a superfície plana e 
haverá perda no volume de água, conforme a FIG. 2.
Sabendo-se que o ângulo formado, após a inclinação, 
entre a face ABCD e a superfície plana é de 30° e, des-
prezando-se a espessura das faces da caixa, a quanti-
dade de água que sobrará na caixa, em m3, é de 
a) 9.
b) 18.
c) 4 3 .
 cd) 
9 3
2
.
e) 17 3
4
.
2. (Vunesp) Uma chapa retangular de alumínio, de 
espessura desprezível, possui 12 metros de largura e 
comprimento desconhecido (figura 1). Para a fabricação 
de uma canaleta vazada de altura x metros são feitas 
duas dobras, ao longo do comprimento da chapa 
(figura 2).
12 m
Figura 2
Figura 1
12 m
x
x
x
x
x
A
B
D
C
x
x
Se a área da secção transversal (retângulo ABCD) da 
canaleta fabricada é igual a 18 m2, então, a altura dessa 
canaleta, em metros, é igual a 
a) 3,25.
b) 2,75.
c) 3,50.
d) 2,50.
 ce) 3,00.
3. (UFRGS-RS) No cubo de aresta 10, da figura abaixo, 
encontra-se representado um sólido sombreado com 
as alturas indicadas no desenho.
7
7
3
3
O volume do sólido sombreado é:
a) 300
b) 350
 cc) 500
d) 600
e) 700
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aulas 33 e 34
Prismas: paralelepípedo reto-retângulo e cubo
Objetivos
Estudar o paralelepípedo reto-retângulo e reconhecer o cubo como um paralelepípedo reto-retângulo com todas as faces quadradas. 
Encaminhamento
Inicie a aula retomando a definição de prisma e discuta as características do paralelepípedo reto-retângulo e do cubo, enfatizando 
que esses sólidos são prismas cujas faces são retângulos. 
Mostre como determinar a medida da diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo. Faça alguns exemplos antes de solicitar aos 
alunos que trabalhem nos exercícios da aula.
Sugestão de exercícios extras
1. (UEG-GO)
A B
C
3
3
D
7
A figura acima representa um paralelepípedo retângulo. As medidas das arestas são AB 5 3 cm, BC 5 7 cm e 
CD 5 3 cm. O perímetro do triângulo ACD mede 
a) 6 2 cm.
 cb) 12 cm.
c) 13 cm.
d) 14 cm.
2. (Vunesp) Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de 
duas faces opostas, como indica a figura.
3 cm
4 cm
1 cm
Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total 
necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de 
a) 42%.
b) 36%.
c) 32%.
 cd) 26%.
e) 28%.
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3. (Imed-RS) Após a limpeza de um aquário, que tem o 
formato de um paralelepípedo, com dimensões internas 
de 1,20 m de comprimento, 1 m de largura e 50 cm de 
profundidade, constatou-se que o nível da água atingiu 
80% de sua altura máxima. Nessa situação, a quantidade 
de água que falta para encher completamente o 
aquário, em litros, corresponde a: 
a) 80
b) 100
 cc) 120
d) 240
e) 480
aulas 35 e 36
Prismas regulares
Objetivos
Definir prisma regular e prisma regular reto. Determinar a área 
da superfície lateral desses prismas. 
Encaminhamento
Nestas aulas finalizamos o caderno 7 e o estudo dos prismas 
conceituando prisma regular e prisma regular reto. Retome com os 
alunos os conceitos estudados nas aulas anteriores sobre prismas e 
aproveite para determinar a área da superfície lateral dos prismas retos. 
Uma estratégia para esta aula é focar na resolução de diversos 
exercícios sobre prismas, esclarecendo eventuais dúvidas, uma vez 
que neste momento é esperado que os alunos já estejam familia-
rizados com o tema.
Sugestão de exercícios extras
1. (UFSM-RS) Os produtos de plástico são muito úteis na 
nossa vida, porém causam muitos danos ao meio 
ambiente. Algumas empresas começaram a investir 
em alternativas para evitar a poluição causada pelo 
plástico. Uma dessas alternativas é a utilização do 
bioplástico na fabricação de embalagens, garrafas, 
componentes de celulares e autopeças.
Uma embalagem produzida com bioplástico tem a for-
ma de um prisma hexagonal regular com 10 cm de 
aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em 
cm3, dessa embalagem?
a) 150 3
b) 1 500
 cc) 900 3
d) 1 800
e) 1 800 3
2. (Mack-SP) O sólido da figura I foi obtido, retirando-se, de 
um prisma triangular regular, três prismas iguais, também 
triangulares regulares, cada um deles representado 
pela figura II. Se d 5 5
8
x e o volume de cada prisma 
retirado é 3, então o volume desse sólido é igual a:
3
figura I
figura IIx
x
d
d
d
d
2
x
2
x
a) 12 3
b) 14 3
 cc) 15 3
d) 16 3
e) 19 3
3. (UPF-RS) Uma empresa especializada em embalagens 
para presentes produz mensalmente 100 embalagens 
retangulares com altura de 10 cm e base com 
dimensões 15 cm 3 20 cm, levando-se em conta 100% de 
aproveitamento do material utilizado. Num determinado 
mês, foi feito um pedido especial para embalagens 
com a base em forma de prisma hexagonal regular, 
com altura da caixa de 10 cm e com lado da base do 
polígono de 15 cm. Como a empresa dispõe de estoque 
apenas para a produção habitual e levando-se em 
conta que, para esse pedido especial, serão consumidos 
20% a mais de papelão do que o calculado, para o 
acabamento da caixa, será possível confeccionar, 
aproximadamente, 
(Obs.: considere que 3 5 1,73)
a) 32 embalagens.
b) 42 embalagens.
 cc) 52 embalagens.
d) 62 embalagens.
e) 72 embalagens.
15
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Atividades Interdisciplinares
Nestas atividades interdisciplinares, vamos explorar as relações do sistema nervoso com o sistema sensorial e a sua integração com 
o ambiente, analisando os aspectos biológicos e químicos dessas relações. A proposta, que tem a Biologia como tema orientador, 
está centrada na relação do sistema nervoso com o meio, intermediada pelo sistema sensorial.
A aula de Biologia (que pode ser utilizada como uma complementação do estudo do sistema nervoso realizado na Fisiologia 
Animal) está organizada em torno da discussão de um texto que possibilita a resolução de uma questão discursiva e duas objetivas. 
A primeira parte do texto destaca a importância do sistema sensorial para a sobrevivência ao fornecer as informações do meio, 
necessárias para a resposta eficiente e a integração com o ambiente. A questão discursiva associada ao texto discute a relação entre 
a ação do sistema sensorial e a seleção natural, examinando a importância dessa ação no processo evolutivo humano. A resposta 
fornecida no gabarito da questão possibilita estabelecer a discussão sobre o papel dos sentidos no processo evolutivo dos hominídeos 
e mostrar como visão, audição e olfato, principalmente, foram fundamentais no processo de exploração do ambiente, fornecendo 
informações para um cérebro progressivamente mais complexo.
A segunda parte do texto discute o processo de plasticidade dos neurônios cerebrais. “A plasticidade cerebral se refere à capacidade 
do sistema nervoso para alterar a sua estrutura e o seu funcionamento ao longo de sua vida, como reação à diversidade do entorno. 
Ainda que este termo seja usado hoje em dia em Psicologia e Neurociência, não é fácil dedefinir. Habitualmente se refere às mudanças 
de diferentes níveis do sistema nervoso, desde eventos moleculares, como as mudanças na expressão gênica, ao comportamento.” 
(Kolb, B.; Mohamed, A.; Gibb, R. A busca dos fatores subjacentes à plasticidade cerebral no cérebro normal e no danificado, 
Revista de Transtornos da Comunicação (2010).
Este trecho possibilita apresentar aos alunos que a plasticidade neuronal é muito maior do que aquela que se supunha há vinte 
anos; dados atuais sugerem que, de acordo com a lesão e as terapias disponíveis, pode-se observar a regeneração de neurônios 
em algumas regiões cerebrais e sensoriais. As terapias atuais possibilitam ainda que, após uma lesão cerebral, os neurônios sejam 
treinados para realizar funções às quais não estavam originalmente configurados. Isso significa dizer que os neurônios sensoriais 
podem se adaptar para interpretar estímulos diferentes dos relacionados à sua configuração original (questão no 2 – plasticidade 
do córtex visual adaptado para responder a estímulos táteis) e também que podem processar estímulos de fontes diferentes para 
reforçar a velocidade ou a intensidade de resposta (questão no 3 – neurônios visuais utilizam estímulos sonoros para potencializar 
sua resposta). 
Os exercícios 4 a 6 cobram conceitos químicos envolvidos nos processos de transmissão nervosa. 
A questão 4 recorda os conceitos de concentração de solução e sistemas eletrolíticos. Vale ressaltar para os alunos que as soluções, 
mesmo eletrolíticas, são neutras em sua totalidade, ou seja, a soma de cargas positivas deve ser “anulada” pelas negativas (item a). 
Desse modo, o total de cargas positivas provenientes do sódio, do potássio e do cálcio deve ser anulado pelos ânions cloreto.
A questão 5 retoma conceitos de polaridade.
Como os compostos orgânicos que compõem as membranas apresentam caráter predominantemente apolar, os íons, de caráter 
polar, não conseguem atravessar essas membranas fora dos canais específicos.
Finalizamos a atividade na questão 6, recordando algumas funções orgânicas importantes e retomando o caráter ácido dos fenóis 
e básico das aminas. 
Caso haja tempo, recorde que os ácidos carboxílicos e sulfônicos também apresentam tendência em liberar íons H1, ou seja, são 
ácidos.
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capítulo 1
Princípios básicos de contagem
Unidade 11
Análise combinatória
1. C
2. D
3. A
4. B
5. B
6. C
7. D 
8. B
9. C
10. B
11. A
12. D 
13. B
14. D
15. B
16. D
17. C
18. D
19. A
20. D
21. E
22. D
23. A
24. C
25. A
26. B
27. D
capítulo 2
Arranjos, fatorial e permutações 
1. B
2. D
3. D
4. A
5. B
6. B
7. D
8. B
9. A
10. C
11. B
12. E
13. B
14. D
15. C
16. B
17. E
18. E
19. E
20. C
21. D
22. A
23. D
24. D
25. C
26. C 
27. A
28. C
29. B
30. A
31. D
32. D
Respostas – Caderno de Exercícios 4
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33. D
34. A
35. B
36. D
37. A
38. B
39. C
40. B
capítulo 3
Combinações simples e números binomiais
1. D
2. A
3. B
4. D
5. E
6. C
7. C
8. E
9. A
10. B
11. A
12. E
13. B
14. D
15. B
16. E
17. A
18. C
19. E
20. C
21. C
22. E
23. C
24. E
25. C
26. E
27. E
28. D 
Unidade 12
Probabilidades
capítulo 1
Conceitos básicos
1. E
2. A
3. C
4. D
5. D
6. A
7. B
8. A
9. A
10. E
11. C
12. E
13. D
14. C
15. C
capítulo 2
Adição e multiplicação de probabilidades
1. B
2. A
3. D
4. C
5. A
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7. B
8. B
9. D
10. B
11. B
12. A
13. E
14. B
15. C
16. A
17. A
18. A
19. B
20. B
21. C
22. B
capítulo 3
Repetições de um experimento com 
apenas dois resultados possíveis
1. A
2. B
3. E
4. E
5. A
6. E
7. B
8. E
9. B
10. A
11. E
12. B 
13. C
14. A
15. B
Unidade 13
Números complexos e polinômios
capítulo 1
Números complexos
1. A
2. C
3. B
4. D
5. B
6. A
7. E
8. E
9. C
10. C
11. D
12. E
13. A
14. B
15. A
16. D
17. D
18. E
19. E
20. B
21. D
22. B
23. A
24. B
25. B
26. E
27. E 
28. A
29. A
30. C
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31. E
32. C
33. E
34. B
35. B
capítulo 2
Polinômios e equações polinomiais
1. A
2. B
3. A
4. D
5. C
6. D
7. B
8. A
9. C
10. B
11. C
12. A
13. B
14. B
15. B
16. B
17. D
18. A
19. C
20. E
21. A
22. E
23. C
24. B
25. A
26. D
27. D
28. E
29. B
30. B
31. B
32. D
33. E
34. E
35. A
36. C
37. D
38. E
39. B
40. C
41. E
42. C
43. D
44. D
45. B
46. B
47. E
48. A
49. B
50. B
51. A
52. E
53. C
54. C
55. A
56. D
57. C
58. E
59. A
60. A
61. C
62. A
63. A
64. A
65. E
66. C
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67. B
68. D
69. B
70. E
71. D
72. D
73. A
74. C
75. B
76. C
77. B
78. C
79. A
80. D
81. B
82. D
83. D
84. D
85. C
86. B
87. B
88. D
89. A
90. B
91. D
92. C
93. D
94. E
95. D
96. C
97. B
98. E
99. D
100. D
101. A
102. C
103. B
Unidade 14
 Posições, formas e medidas no espaço
capítulo 1
Introdução à Geometria do espaço
1. B
2. C
3. D
4. A
5. D
6. B
7. A
8. C
9. E
10. C
11. A
12. D
13. D
14. B
15. A
16. E
17. B
18. E
19. D
20. C
21. A
22. C
23. E
24. C
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capítulo 2
Poliedros
1. A
2. C
3. E
4. C
5. A
6. B
7. C
8. B
9. D
10 D
11. A
12. B
13. B
14. D
15. A
16. B
17. A
18. B
capítulo 3
Prismas
1. D
2. E
3. B
4. C
5. A
6. A
7. D
8. D
9. A
10. C
11. D
12. A
13. A
14. B
15. B
16. B
17. D
18. D
19. D
20. E
21. C
22. D
23. E
24. E
25. D
26. B
27. D
28. B
29. B
30. D
31. 120°
32. 24 105,6 m3
33. A
34. D
35. C
capítulo 4
Pirâmides
1. E
2. D
3. B
4. D
5. E
6. E
7. D
8. B
9. C
10. E
11. C
12. A
13. D
14. B
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15. B
16. E
17. A
18. A
19. B
20. C
21. E
22. D
23. D
24. A
25. D
26. C
27. D
28. B
29. A
30. D
capítulo 5
Corpos redondos
1. E
2. B
3. A
4. B
5. D
6. C
7. A
8. B
9. D
10. A
11. A
12. A
13. E
14. A
15. C
16. A
17. C
18. B
19. A
20. B
21. D
22. D
23. E
24. B
25. C
26. A
27. D
28. B
29. E
30. C
31. E
32. C
33. B
34. C
35. D
36. C
37. A
38. D
39. E
40. D
41. B
42. E
43. A
44. E
45. D
capítulo 6
Sólidos semelhantes
1. E
2. A
3. B
4. B
5. B
6. A
7. D
8. E
9. A
10. A
11. D
12. A
13. C
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prof.:
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aula 44
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aula 40
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 AD TM TC 
aula 42
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 AD TM TC 
aula 43
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 AD TM TC 
Índice-controle 
deestudo
aula 50
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aula 51
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 AD TM TC 
aula 52
P.126
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aula 53
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 AD TM TC 
aula 54
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Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)Matemática Setor A
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aulas 37 e 38
Enem: Conhecimentos numéricos
Princípios básicosde contagem
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nestas aulas
Princípio da adição
Sejam A e B conjuntos finitos e disjuntos. Se n(A) é o número de opções para escolher um elemento de A e n(B) é o número de 
opções para escolher um elemento de B, então o número de opções para escolher um único elemento da união de A com B é n(A) 1 n(B).
Exemplo:
Da escola à casa do Pedro há 2 caminhos que passam pelo parque principal da cidade. Há, também, 3 caminhos, da escola a sua 
casa, que não passam por esse parque. 
2opções
3 opções
passa pelo parque
não passa pelo parque
1
 
 







Podemos afirmar que há 5 opções de caminhos diferentes que vão da escola à casa do Pedro.
Princípio da multiplicação (ou princípio fundamental da contagem – PFC) 
Sejam A e B conjuntos finitos. Se n(A) é o número de opções para escolher um elemento de A e n(B) é o número de opções 
para escolher um elemento de B, então o número de opções para formar um par ordenado (a, b), com a [ A e b [ B, é n(A) ? n(B).
Exemplo:
Se João tem 7 camisas sociais e 5 gravatas, então ele tem 35 maneiras de combinar uma dessas camisas com uma das gravatas, isto é:
5
   
?
1 camisa 1 gravata
35 opções7 opções 5 opções
Arranjos com repetição (ou arranjos completos)
Seja A 5 {a
1
, a
2
, a
3
, É, a
n
} um conjunto com n elementos. Dado um número natural p, chamamos de arranjo de n elementos to-
mados p a p a cada sequência de p elementos escolhidos entre os n elementos de A. 
Tratando-se de sequências, dois arranjos são iguais se, e somente se, eles têm os mesmos elementos e na mesma ordem. Assim, por 
exemplo, (7, 1, 7) 5 (x, y, z) se, e somente se, x 5 7, y 5 1 e z 5 7. Note, também, que (7, 1, x) Þ (1, 7, y), para quaisquer valores de x e y.
O número de arranjos com p elementos escolhidos entre n elementos é dado pelo produto de p fatores, todos iguais a n, isto é, np.
Exemplo:
O total de siglas que contém 3 letras é dado por 26 ? 26 ? 26, ou seja, 263.
5
  
? ?
1 letra 1 letra 1 letra
26 opções26 26 26
3
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em classe
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1. Sejam A, B e C três cidades. Há somente 2 estradas que ligam A a B, 3 que ligam B a C e 2 que ligam A a C, sem passar 
por B. Obtenha o número de rotas que ligam
a) A a C passando por B;
Número de opções de A para B: 2
Número de opções de B para C: 3
5
   
?
A para B B para C
6 opções2 3
Portanto, o número de rotas de A a C, passando por B, é 6. (PFC)
b) A a C.
Número de rotas de A a C, passando por B, é 6.
Número de rotas de A a C, não passando por B, é 2.
6 opções
2 opções
passa por B
não passa por B
1
  
  







Portanto, o número de rotas que ligam A a C é 6 1 2 5 8.
2. De 1969 a 1999, em alguns estados do Brasil, os veículos motorizados, com mais que três rodas, eram identificados por 
um sistema de placas com uma sequência de 2 letras seguidas de 4 algarismos, em que pelo menos um algarismo 
não é nulo.
Nesse sistema, qual era o número máximo de veículos que podiam ser identificados?
a) 6 760 000
b) 6 759 999
 c c) 6 759 324
d) 10 676
e) 10 675
Para as duas letras, o número de opções é 26 ? 26, ou seja, 676.
Para a parte dos algarismos, o número de opções é 9 999 (de 0001 a 9 999).
5 ?
   
? ?
1letra 1letra 4 algarismos
676 9999 opções26 26 9 999
Logo, o número máximo de veículos que podiam ser identificados é dado por:
676 ? 9 999 5 6 759 324
H2
R
E
P
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D
U
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em casa
Consulte:
Livro-texto 4 – Unidade 11
Caderno de Exercícios 4 – Unidade 11
Tarefa Mínima
Aula 37
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 1 a 4, cap. 1.
Aula 38
• Faça os exercícios 5 a 8, cap. 1.
Tarefa Complementar
Aula 37
• Leia o capítulo 1.
• Faça os exercícios 9 a 11, cap. 1.
Aula 38
• Leia o item 1, cap. 2.
• Faça os exercícios 12 a 14, cap. 1.
• Faça os exercícios 1 e 2 da seção Rumo ao Enem.
3. Com as letras A, B, C, D e E, quantas siglas de 2 letras distintas em ordem alfabética podem ser formadas?
Iniciando com a letra A, temos 4 siglas: AB, AC, AD e AE.
Iniciando com a letra B, temos 3 siglas: BC, BD e BE.
Iniciando com a letra C, temos 2 siglas: CD e CE.
Iniciando com a letra D, temos 1 sigla: DE.
Total de siglas: 4 1 3 1 2 1 1 5 10 (princípio da adição)
4. Quantos são os números inteiros positivos e pares de dois algarismos?
1o modo:
Na sequência 11, 12, 13, 14, 15, 16, ..., 97, 98 há 88 (5 98 2 10) números, sendo a metade deles números pares. Logo, há 44 números pares nessa 
sequência. Como o número 10 tem dois algarismos e é par, há, no total, 45 números inteiros positivos e pares de dois algarismos.
2o modo: 
Sendo "du" um número inteiro positivo de 2 algarismos, temos 5 possibilidades para o algarismo u das unidades: 0, 2, 4, 6 e 8, pois o número dado 
é par. Para cada uma dessas 5 possibilidades, há 9 possibilidades para o algarismo d das dezenas, pois ele não pode ser 0 (zero).
Logo, o total de números nessas condições é dado por 5 ? 9 5 45.
5. Quantos são os números inteiros positivos e pares de dois algarismos distintos?
10, 20, 30, ..., 90 são 9 números inteiros positivos e pares de dois algarismos distintos.
Sendo "du", com u Þ 0, um número inteiro positivo e par de dois algarismos distintos, podemos afirmar que há 4 opções para u: 2, 4, 6, e 8. 
Para cada uma dessas 4 opções, há 8 opções para d, pois d Þ 0 e d Þ u.
Logo, há 4 ? 8, ou seja, 32 números inteiros positivos e pares de dois algarismos distintos. 
No total, há 41 (5 9 1 32) números inteiros positivos e pares de dois algarismos distintos.
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aulas 39 e 40
Enem: Conhecimentos numéricos
Princípios básicos de contagem: exercícios
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Princípio da adição
Sendo A e B conjuntos finitos e disjuntos, então o número de opções para 
escolher um único elemento da união de A com B é n(A) 1 n(B).
Princípio da multiplicação (ou princípio fundamental da contagem – PFC) 
Sendo A e B conjuntos finitos, o número de opções para formar um par 
ordenado (a, b), com a [ A e b [ B, é n(A) ? n(B).
Arranjos com repetição (ou arranjos completos)
Seja A 5 {a
1
, a
2
, a
3
, É, a
n
} um conjunto com n elementos. Dado um número natural p, chamamos de arranjo de n elementos to-
mados p a p a cada sequência de p elementos escolhidos entre os n elementos de A. 
O número de arranjos com p elementos escolhidos entre n elementos é dado 
pelo produto de p fatores, todos iguais a n, isto é, np.
nestas aulas
em classe
TexTo para as quesTões 1 a 3
Considere três cidades A, B e C tais que existam 4 estradas que ligam A a B, 3 estradas que ligam B a C e 2 estradas que ligam A a C, 
sem passar por B. Considere ainda que todas as rotas entre essas cidades passam apenas por essas 9 estradas. A figura a seguir ilustra 
essa situação.
Cidade A
Cidade B
Cidade C
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1. Quantas são as rotas possíveis de A para C?
De A para C, passando por B, o número de opções é 12 (princípio 
multiplicativo):
   
?
A para B B para C
12 opções4 3 5
De A para C, não passando por B, o número de opções é 2.
Temos:
12 opções
2 opções
passa por B
não passa por B
1
  
  







Logo, de A a C, o número total de opções é 14 (princípio da adição).
2. Quantas são as rotas possíveis que saem de A, levam 
até C e voltam para A?
Pelo exercício 1 temos que:
• O número de rotas de A para C é 14.
• O número de rotas de C para A é 14.
Portanto, o número de rotas que saem de A, levam a C e voltam para 
A é dado por 14 ? 14 5 196. 
3. Quantas são as rotas possíveis que saem deA, levam 
até C, voltam para A e não passam duas vezes pela 
mesma estrada?
1o caso:
ida (ABC): 12 opções (5 4 ? 3)
volta (CBA): 6 opções (5 2 ? 3)
Total de opções: ABC-CBA: 12 ? 6 5 72.
2o caso:
ida (ABC): 12 opções (5 4 ? 3)
volta (CA): 2 opções
Total de opções: ABC-CA: 12 ? 2 5 24.
3o caso:
ida (AC): 2 opções 
volta (CBA): 12 opções (5 3 ? 4)
Total de opções: AC-CBA: 2 ? 12 5 24.
4o caso:
ida (AC): 2 opções 
volta (CA): 1 opção 
Total de opções: AC-CA: 2 ? 1 5 2.
Total de rotas que saem de A, levam até C, voltam para A e não passam 
duas vezes pela mesma estrada é dado por 72 1 24 1 24 1 2 5 122.
4. Em uma sala existem 5 luminárias que são acionadas 
de forma independente uma da outra por interrupto-
res diferentes. A sala é considerada iluminada quando 
pelo menos uma das luminárias está ligada. Nessas 
condições, de quantas maneiras, usando apenas essas 
luminárias, podemos deixar a sala iluminada? 
O número de opções para ligar ou não cada uma das cinco luminárias é
    
? ? ? ?
? ? ? ? ?
32 opções2 2 2 2 2 5
Contudo, para que a sala fique iluminada pelo menos uma delas deve 
estar ligada.
Assim, o número de situações em que a sala fica iluminada é 
32 2 1 5 31, ou seja, 31 maneiras.
5. Responda os itens a seguir:
a) Dado que A 5 {1, 2, 3}, obtenha o número de subcon-
juntos de A.
Ao formarmos um subconjunto de A, devemos decidir para cada 
elemento de A qual fará parte ou não. Assim, temos, no total, 
  
? ?
? ? ?
8 opções2 2 2 5 de formar um subconjunto. 
Logo, o número de subconjuntos de A é 8.
Os subconjuntos de A são [, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} e 
{1, 2, 3}.
Observação: Todo conjunto finito com n elementos contém 2n 
subconjuntos.
b) Sendo o número de subconjuntos de B igual a 128, 
obtenha o número de elementos de B.
2n 5 128 ⇔ n 5 7
Logo, B tem 7 elementos.
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113
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6. O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de conta-
dor. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número e, em seguida, colocar a lista de números em 
ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, 
foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é
a) 24
b) 31
c) 32
d) 88
 c e) 89
Usando apenas algarismos ímpares (1, 3, 5, 7, 9), temos:
7
7 5
7 5 9 1 3
1
3
5
3 ∙ 4! 5 72
2 ∙ 3! 5 12
2 ∙ 2! 5 4
ou
ou
ou
1
1
1
1, 3
1, 3
5 1
89
O candidato que tiver recebido o número 75 913 terá ordem de chamada igual a 89.
em casa
Consulte:
Livro-texto 4 – Unidade 11
Caderno de Exercícios 4 – Unidade 11
Tarefa Mínima
Aula 39
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 15 a 18, cap. 1.
Aula 40
• Faça os exercícios 19 e 22, cap. 1.
Tarefa Complementar
Aula 39
• Faça os exercícios 23 a 25, cap. 1.
Aula 40
• Faça os exercícios 26 e 28, cap. 1.
• Faça os exercícios 3 e 4 da seção Rumo ao Enem.
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aulas 41 e 42
Enem: Conhecimentos numéricos
Arranjo simples e fatorial
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nestas aulas
Arranjo simples
Seja A 5 {a
1
, a
2
, a
3
, É, a
n
} um conjunto com n elementos. Dado um número natural p, com p < n, chamamos de arranjo simples de 
n elementos tomados p a p a cada sequência de p elementos distintos escolhidos entre os n elementos de A. 
O número de arranjos simples é dado por:
A n n 1 n 2 n p 1n, p
produto de exatamente fatoresp
5 ? 2 ? 2 ? ? 2 1
  
( ) ( ) ( )…
Exemplo:
O total de siglas que pode ser formado com 3 letras, tomando duas a duas distintas, é dado por A
26, 3
 5 26 ? 25 ? 24.
1 letra 1 letra 1 letra
15600 opções26 25 24 5? ?
  
Fatorial de um número natural
Sendo n um número natural, define-se o fatorial de n, denotado 
por n!, do seguinte modo:
• se n > 2, então n! n n 1 n 2 2 1
fatoresn
5 ? 2 ? 2 ? ? ?
  
( ) ( ) …
• 1! 5 1 e 0! 5 1
Exemplos:
• 2! 5 2 ? 1 5 2
• 3! 5 3 ? 2 ? 1 5 6
• 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24
• 5! 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120
Arranjo simples e fatorial
O número de arranjos simples de n elementos tomados 
p a p é dado por A
n!
n p !
n, p ( )
5
2
.
Exemplo:
A
26, 3
 5 26 ? 25 ? 24 5 
26!
(26 3)!
26!
23!2
5 (Lê-se: arranjo de 26 elementos tomados 3 a 3.)
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115
M
a
te
m
‡
ti
c
a
1. Quantos são os números inteiros e positivos de 4 alga-
rismos ímpares dois a dois distintos?
Sendo "mcdu" um número inteiro e positivo de 4 algarismos ímpares 
distintos, temos:
• 5 opções para o algarismo m dos milhares, pois m [ {1, 3, 5, 7, 9}.
• 4 opções para o algarismo c das centenas, pois c Þ m.
• 3 opções para o algarismo d das dezenas, pois d Þ c Þ m.
• 2 opções para o algarismo u das unidades, pois u Þ d Þ c Þ m.
Assim:
 
m c d u
120 opções5 4 3 2 5? ? ?
Portanto, o total de números inteiros positivos com 4 algarismos ím-
pares que podem ser formados é 120.
2. Quantos são os números inteiros e positivos de 4 alga-
rismos dois a dois distintos?
Sendo "mcdu" um número inteiro e positivo de 4 algarismos distin-
tos, temos:
• 9 opções para o algarismo m dos milhares, pois m Þ 0.
• 9 opções para o algarismo c das centenas. Note que podemos ter 
c 5 0.
• 8 opções para o algarismo d das dezenas.
• 7 opções para o algarismo u das unidades.
O total de opções é dado por 9 ? 9 ? 8 ? 7 5 4 536.
3. Simplifique:
a) 
100!
98!
100!
98!
100 99 98!
98!
100 99 99005 ? ? 5 ? 5
b) 
n!
n 2 !( )2
 com n [ ℕ, n > 2.
n!
n 2 !
n n 1 n 2 !
n 2 !
n n 1
( )
( )( )
( )
( )
2
5
? 2 2
2
5 2
4. O modelo do carro apresentado na foto era composto 
de oito lugares para transportar passageiros. De quantos 
modos cinco passageiros podiam escolher seus lugares?
a) 8
b) 16
c) 64
 c d) 6 720
e) 32 768
A
8, 5
 5 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 5 6 720
H2
R
E
P
R
O
D
U
Ç
Ã
O
/V
O
L
K
S
W
A
G
E
N
 M
E
D
IA
 S
E
R
V
IC
E
S
em classe
em casa
Consulte:
Livro-texto 4 – Unidade 11
Caderno de Exercícios 4 – Unidade 11
Tarefa Mínima
Aula 41
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 1 a 4, cap. 2.
Aula 42
• Faça os exercícios 5 a 8, cap. 2.
Tarefa Complementar
Aula 41
• Leia os itens 2 a 4, cap. 2.
• Faça os exercícios 9 a 11, cap. 2.
Aula 42
• Faça os exercícios 12 a 14, cap. 2.
• Faça os exercícios 6 a 8 da seção Rumo ao Enem.
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aulas 43 e 44
Enem: Conhecimentos numéricos
Permutações
116
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
nestas aulas
Permutações simples e fatorial
Seja A 5 {a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
} um conjunto com n elementos. Chama-
mos de permutação simples de n elementos a cada sequência de 
n elementos distintos formada com os elementos de A; as permu-
tações simples são arranjos simples de n elementos tomados n a n.
O número de permutações simples é dado por:
P n n 1 n 2 2 1 n!n
produto de exatamente fatoresn
5 ? 2 ? 2 ? ? ? 5
  
( ) ( ) …
Ou seja, o número de permutações simples de n elementos 
é igual a n!.
Exemplo:
Chama-se de anagrama qualquer palavra obtida mediante a 
alteração da ordem (permutação) das letras de uma palavra dada. 
Por exemplo, o número de anagramas da palavra AMOR, incluindo 
a própria palavra, é dado por 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24.
Permutações com alguns elementos iguais
O número de permutações de n elementos em que:
• r
1
 elementos são iguais a a
1
,
• r
2
 elementos são iguais a a
2
,
:
• r
k
 elementos são iguais a a
k
,
com r
1
 1 r
2
 1 ... 1 r
k
 5 n, é dado por 
P
n!
r ! r ! r !
.n
r ,  r , . . . , r
1 2 k
1 2 k
5
? ? ?…
 
Exemplo:
O número de anagramas da palavra FALAR é dado por 
P
5!
2!
60.5
2
5 5
em classe
1. Consideremos a palavra PERNAMBUCO. Obtenha, dessapalavra, o número de
a) anagramas;
Temos 10 letras sem repetições; então:
P
10
 5 10!
b) anagramas que começam pela letra A;
A _ _ _ _ _ _ _ _ _
P
9
 5 9!
c) anagramas que começam por ABC;
A B C _ _ _ _ _ _ _
P
7
 5 7!
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117
M
a
te
m
‡
ti
c
a
d) anagramas em que as letras A, B e C estão juntas e nesta ordem;
Permutações de P, E, R, N, M, U, O, e ABC:
P
8
 5 8!
e) anagramas em que as letras A, B e C estão juntas.
Permutações de P, E, R, N, M, U, O, e ABC: P
8
 5 8!
Como ABC podem variar as posições entre si, temos uma nova permutação: P
3
 5 3! 5 6.
Portanto, o total de anagramas é dado por 3! ? 8!, ou seja, 6 ? 8!.
2. Oito amigas vão fazer uma viagem de avião e ocuparão os oito assentos de uma mesma fileira da classe econômica. 
Duas delas, Ana e Bruna, ficarão nos assentos laterais, próximo das janelas. De quantas maneiras elas podem escolher 
seus assentos?
a) 720
 c b) 1 440
c) 2 880
d) 5 040
e) 40 320
Como Ana e Bruna ocupam os assentos das janelas e não existem restrições para as demais amigas, o número de opções para as 6 amigas se 
sentarem é 6!. 
Além disso, Ana e Bruna podem trocar de assento entre elas. Assim, para cada permutação entre as demais amigas existem 2 possibilidades.
Desse modo, o total de possibilidades é 2 ⋅ 6! 5 1 440 possibilidades.
H4
X
A
V
IE
R
 M
A
R
C
H
A
N
T
/S
H
U
T
T
E
R
S
T
O
C
K
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118
M
a
te
m
á
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ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
3. Considerando a palavra MALA, responda às questões a seguir.
a) Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MALA?
Total de letras: 4
Repetições: A letra A ocorre 2 vezes. 
Logo,
P
4!
2!
12
4
2
5 5
b) Quantos anagramas começam por uma consoante?
Existem duas opções para começar por consoante: M e L
Como existem duas letras A, o número de permutações para as demais letras é P
3!
2!
3.
3
2
5 5
Assim, o total de anagramas nessas condições é 6 (5 2 ⋅ 3).
c) Em quantos anagramas as vogais aparecem juntas?
As possibilidades são: AALM, AAML, LAAM, MAAL, LMAA e MLAA, ou seja, existem 6 anagramas nessas condições.
d) Se organizássemos os anagramas em ordem alfabética, qual seria a posição da palavra LAMA?
Antes da palavra LAMA ficam:
(1) Todos os anagramas que começam por A: 6 anagramas.
(2) O anagrama LAAM: 1 anagrama.
Desse modo a posição da palavra LAMA seria 8.
H2
em casa
Consulte:
Livro-texto 4 – Unidade 11
Caderno de Exercícios 4 – Unidade 11
Tarefa Mínima
Aula 43
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 15 a 18, cap. 2.
Aula 44
• Faça os exercícios 19 e 22, cap. 2.
Tarefa Complementar
Aula 43
• Leia os itens 5 e 6, cap. 2.
• Faça os exercícios 23 a 25, cap. 2.
Aula 44
• Faça os exercícios 26 a 28, cap. 2.
• Faça o exercício 9 da seção Rumo ao Enem.
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aulas 45 e 46
Enem: Conhecimentos numéricos
Permutações circulares
119
M
a
te
m
‡
ti
c
a
nestas aulas
Permutações com alguns elementos iguais
O número de permutações de n elementos em que 
r
1
 elementos são iguais a a
1
,
r
2
 elementos são iguais a a
2
,
:
r
k
 elementos são iguais a a
k
,
com r
1
 1 r
2
 1 ... 1 r
k
 5 n, é dado por 
É
P
n!
r ! r ! r !
.n
r ,  r , . . . ,r
1 2 k
1 2 k
5
? ? ?
Exemplo:
O número de anagramas da palavra SOMOS é dado por P
5!
2! 2 !
30.5
2 , 2
5
?
5 São 5 letras, das quais 2 são iguais a S e 2 são iguais a O.
Permutações circulares
O número de permutações circulares (PC) de n elementos é igual a 
n!
n
, ou seja, (n – 1)!.
Exemplo:
O número de maneiras possíveis de fazer uma pequena roda de 3 crianças é igual a (3 2 1)!, ou seja, 2.
em classe
1. Quantos anagramas tem a palavra ARARAQUARA?
A palavra tem 10 letras, sendo 5 iguais a A, 3 iguais a R, 1 igual a Q e 
1 igual a U. Assim, temos:
P
10!
5! 3!
5040
10
5,3
5
?
5
2. Com 7 marcas iguais a • e 2 marcas iguais a /, pode-
mos formar um número finito de sequências compostas 
dessas 9 marcas. Como exemplos, temos (•/•••/•••) e 
(//•••••••). Quantas dessas sequências podem ser 
formadas?
P
9!
7! 2!
36
9
7, 2
5
?
5
Portanto, podem ser formadas 36 sequências com as 9 marcas dadas.
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120
M
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Te
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g
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em casa
Consulte:
Livro-texto 4 – Unidade 11
Caderno de Exercícios 4 – Unidade 11
Tarefa Mínima
Aula 45
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 29 a 32, cap. 2.
Aula 46
• Faça os exercícios 33 a 36, cap. 2.
Tarefa Complementar
Aula 45
• Leia os itens 7 e 8, cap. 2.
• Faça os exercícios 37 e 38, cap. 2.
Aula 46
• Faça os exercícios 39 e 40, cap. 2.
• Faça os exercícios 10 e 11 da seção Rumo ao Enem.
3. O número de ternos ordenados (x, y, z) de números naturais tais que x 1 y 1 z 5 7 é igual a:
a) 21
b) 28
c) 31
d) 35
 c e) 36
4. Em uma floricultura há rosas vermelhas, amarelas e brancas. De quantas maneiras pode-se formar um conjunto com 
exatamente uma dúzia dessas flores?
a) 36
b) 72
 c c) 91
d) 120
e) 144
5. Theo, Rafaela e mais quatro amigos vão se sentar em uma mesa circular com seis cadeiras. 
a) De quantas maneiras eles podem escolher seus lugares?
PC
6
 5 (6 2 1)! 5 120
Portanto, há 120 maneiras possíveis.
b) De quantas maneiras eles podem escolher seus lugares, considerando que Theo e Rafaela devem ficar juntos, 
sendo ela à direita dele?
Considerando a dupla (Theo, Rafaela) como uma única pessoa, temos: 
PC
5
 5 (5 2 1)! 5 24
Portanto, há 24 maneiras possíveis.
Cada solução pode ser identificada por uma sequência de 9 marcas; 7 iguais a • e 2 iguais a /. Exemplos:
• (1, 3, 3) corresponde a (•/•••/•••)
• (3, 3, 1) corresponde a (•••/•••/•)
• (0, 0, 7) corresponde a (//•••••••)
O total de ternos ordenados (x, y, z), nas condições dadas, é dado por P
9!
7! 2!
36
9
7, 2
5
?
5 .
Seja, x, y e z, nessa ordem, o número de rosas vermelhas, amarelas e brancas. 
Temos x 1 y 1 z 5 12. 
Cada solução pode ser identificada por uma sequência de 14 marcas; 12 iguais a • e 2 iguais a /.
O total possível de conjuntos é dado por P
14!
12! 2!
91
14
12, 2
5
?
5 .
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aulas 47 e 48
Enem: Conhecimentos numéricos
Combinação simples
121
M
a
te
m
‡
ti
c
a
Combinação simples
Seja A 5 {a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
} com n elementos. Dado um número 
natural p, com p < n, chamamos de combinação simples de n 
elementos tomados p a p qualquer subconjunto de A com p 
elementos. 
O número de combinações de n elementos tomados p a p 
é denotado por C
n, p
.
Temos C
n, p
 5 
A
p!
n, p
 e, como A
n, p
 5 
n!
n p !( )2 , segue que 
C
n, p
 5 
n!
p! n p !( )2
Exemplo:
O número de comissões que podem ser formadas escolhendo 
3 alunos dentre 26 é dado por C
26, 3
. 
Temos C
26, 3
 5 
26!
3! 23!?
 5 2 600.
Note que escolher 3 alunos de 26 para participar de uma co-
missão equivale a escolher 23 alunos para não participar. Isto é, 
C
26, 3
 5 C
26, 23
 
26!
23! 3!
.




5
?
 Assim, da igualdade C
26, x
 5 C
26, 3
, segue 
que x 5 3 ou x 5 23.
Com n e p nas condições estabelecidas acima, podemos 
afirmar que, se C
n, x
 5 C
n, p
, então x 5 p ou x 5 n 2 p.
nestas aulas
em classe
1. Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H, dois a dois distintos, pertencem a uma circunferência λ. 
A
H
G
F
E
λ
D
C
B
Obtenha:
a) o número de retas determinadas por esses pontos.
C
8, 2
 5 
8!
2! 6!?
 5 28
b) o número de triângulos determinados por esses pontos.
C
8, 3
 5 
8!
3! 5!?
 5 56
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122
M
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te
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s 
Te
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ia
s
2. A Mega-Sena é um jogo em que a aposta mais simples consiste em escolher 6 números distintos de 1 a 60 e marcar 
em uma cartela como a ilustrada abaixo. Um apostador ganha na Mega-Sena quando sua aposta contém os 6 nú-
meros sorteados. A ordem de escolha é irrelevante. Considerando essa situação, quantasapostas diferentes desse 
tipo podem ser feitas sabendo-se que, dos 6 números a serem escolhidos, três devem ser ímpares e os demais pares?
a) 31 ? 292 ? 7 ? 5 ? 32 ? 2
b) 292 ? 72 ? 52 ? 22
c) 292 ? 72 ? 52 ? 23
 c d) 292 ? 72 ? 52 ? 24
e) 294 ? 74 ? 54 ? 28
Dos 60 números, 30 são ímpares e 30 são pares.
• Número de maneiras de escolher 3 números ímpares: 
C
30, 3
 5 
30!
3!27!
 5 29 ? 7 ? 5 ? 22.
• Número de maneiras de escolher 3 números pares: 
C
30, 3
 5 29 ? 7 ? 5 ? 22.
• Número de maneiras de escolher 3 números ímpares e 3 números pares: (29 ? 7 ? 5 ? 22)2, ou seja, 292 ? 72 ? 52 ? 24.
3. Responda aos itens a seguir.
a) De quantas maneiras pode-se formar um grupo de duas pessoas escolhidas em uma turma de seis?
C
6, 2
 5 15
Há 15 maneiras para se formar o grupo.
b) De quantas maneiras pode-se formar um grupo de quatro pessoas escolhidas em uma turma de seis?
C
6, 4
 5 15
Há 15 maneiras para se formar o grupo.
H3
M
A
R
C
E
L
O
 F
O
N
S
E
C
A
/F
O
L
H
A
P
R
E
S
S
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123
M
a
te
m
‡
ti
c
a
4. De quantas maneiras pode-se dividir um grupo de seis pessoas em dois grupos com três pessoas em cada um?
A cada escolha de 3 pessoas (entre 6) para formar um grupo, as 3 pessoas não escolhidas formam um outro grupo. Suponhamos que {a, b, c, d, e, f} 
represente o grupo de 6 pessoas. Na escolha de {a, b, c}, as pessoas não escolhidas formam o grupo {d, e, f} e, na escolha de {d, e, f}, forma-se, 
também, o grupo {a, b, c}. Logo, o número de maneiras é dado por:
C
1
2
6!
3!(6 3)!
1
2
10
6, 3
? 5
2
? 5
Portanto, há 10 maneiras de montar os dois grupos compostos de três pessoas.
5. De quantas maneiras pode-se dividir um grupo de seis pessoas em dois grupos, um formado por duas pessoas e o 
outro por quatro?
A cada escolha de 2 pessoas (entre 6) para formar um grupo, as 4 pessoas não escolhidas formam um outro grupo. Suponhamos que {a, b, c, d, 
e, f} represente o grupo de 6 pessoas. Na escolha de {a, b}, as pessoas não escolhidas formam o grupo {c, d, e, f}.
Portanto, o número de maneiras é dado por C
6, 2
 5 15.
(Note que C
6, 4
 5 15.)
em casa
Consulte:
Livro-texto 4 – Unidade 11
Caderno de Exercícios 4 – Unidade 11
Tarefa Mínima
Aula 47
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 1 a 4, cap. 3.
Aula 48
• Faça os exercícios 5 a 8, cap. 3.
Tarefa Complementar
Aula 47
• Leia os itens 1 a 3, cap. 3.
• Faça os exercícios 9 a 11, cap. 3.
Aula 48
• Faça os exercícios 12 a 14, cap. 3.
• Faça o exercício 12 da seção Rumo ao Enem.
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aulas 49 e 50
Enem: Conhecimentos numéricos
Combinações simples e números binomiais 
124
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
• Sendo n e p números naturais, com p < n, temos o número binomial dado por 
n
p





 5 
n!
p! n p !
.( )2 Isto é, 
n
p





 5 Cn, p.
• O triângulo de Pascal consiste em uma disposição gráfica dos números binomiais:
p 5 0 1 2 3 4 ... 0 1 2 3 4 ...
n 5 0 C
0, 0
0 1
1 C
1, 0
C
1, 1
1 1 1
2 C
2, 0
C
2, 1
C
2, 2
2 1 2 1
3 C
3, 0
C
3, 1
C
3, 2
C
3, 3
3 1 3 3 1
4 C
4, 0
C
4, 1
C
4, 2
C
4, 3
C
4, 4
4 1 4 6 4 1
... ...
• Todas as linhas começam com o número 1, pois C n!
0!n!
1n, 0 5 5 .
• Na linha n, o segundo número binomial será igual a n, C n!
1! n 1 !
n.n, 1 ( )5 2 5
• Todas as linhas terminam com o número 1, pois C n!
n!0!
1.n, n 5 5
• Todas as linhas apresentam uma simetria; em cada linha, dois números binomiais “equidistantes dos extremos” são iguais. Portanto, 
se p 1 q 5 n, então C
n, p
 5 C
n, q
. Assim, por exemplo, temos C
4, 1
 5 C
4, 3
, pois ambos são iguais a 
4!
2 !3!
.
• Na linha n, a soma de dois números binomiais consecutivos C
n, p
 e C
n, p 1 1
 fornece o número binomial da linha n 1 1 e coluna 
p 1 1. Isto é, C
n, p
 1 C
n, p 1 1
 5 C
n 1 1, p 1 1
. Essa igualdade é conhecida como a relação de Stifel, e com ela podemos “avançar” no 
triângulo de Pascal. Assim, por exemplo, a formação da linha n 5 5, a partir da linha n 5 4:
p 5 0 1 2 3 4 5
n 5 4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
• Os números binomiais da linha n correspondem aos coeficientes da forma desenvolvida do binômio de Newton (x 1 a)n. Assim, 
temos:
• (x 1 a)0 5 1
• (x 1 a)1 5 1x 1 1a
• (x 1 a)2 5 1x2 1 2xa 1 1a2
• Na linha n, a soma dos números binomiais é igual a 2n. Assim, temos:
1 5 20
1 1 1 5 21
1 1 2 1 1 5 22
1 1 3 1 3 1 1 5 23
1 1 4 1 6 1 4 1 1 5 16 5 24
nestas aulas
EM_REG_107a136_MAT_A_CA7.indd 124 4/12/17 18:08
125
M
a
te
m
‡
ti
c
a
1. Desenvolva (x 1 y)3, (x 1 y)4 e (x 1 y)5.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Com o triângulo de Pascal construído, temos:
• (x 1 a)3 5 1x3 1 3x2a 1 3xa2 1 1a3
• (x 1 a)4 5 1x4 1 4x3a 1 6x2a2 1 4xa3 1 1a4
• (x 1 a)5 5 1x5 1 5x4a 1 10x3a2 1 10x2a3 1 5xa4 1 1a5
2. Desenvolva (x 2 2)4.
(x 1 a)4 5 1x4 1 4x3a 1 6x2a2 1 4xa3 1 1a4
Com a 5 22, temos:
(x 2 2)4 5 1x4 1 4x3(22) 1 6x2(22)2 1 4x(22)3 1 1(22)4
(x 2 2)4 5 1x4 2 8x3 1 24x2 2 32x 1 16 
3. Na igualdade C
10, 2
 1 C
10, 3
 5 C
11, p
, a soma dos possíveis valores de p é igual a:
a) 3
b) 5
c) 8
 c d) 11
e) 13
De C
10, 2
 1 C
10, 3
 5 C
11, p
, e pela relação de Stifel, temos que C
11, 3
 5 C
11, p
; portanto, p 5 3 ou p 5 8. Logo, a soma dos possíveis valores de p é 11.
em classe
em casa
Consulte:
Livro-texto 4 – Unidade 11
Caderno de Exercícios 4 – Unidade 11
Tarefa Mínima
Aula 49
• Leia o resumo de aula.
• Faça os exercícios 15 a 18, cap. 3.
Aula 50
• Faça os exercícios 19 a 22, cap. 3.
Tarefa Complementar
Aula 49
• Leia o item 4, cap. 3.
• Faça os exercícios 23 a 25, cap. 3.
Aula 50
• Faça os exercícios 26 a 28, cap. 3.
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aulas 51 e 52
Enem: Conhecimentos de estatística e probabilidade
Probabilidade: conceitos fundamentais
126
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
Probabilidade
Seja E um espaço amostral associado a um experimento. Para todo evento A de E é associado um 
único número P(A), chamado de probabilidade de A, com as seguintes condições:
• c
1
: 0 < P(A) < 1
• c
2
: P(E) 5 1
• c
3
: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é, A > B 5 [, então P(A ∪ B) 5 P(A) 1 P(B)
Probabilidade do evento complementar
Se A denota o evento complementar de A, temos A < A 5  E e A > A 5 [. 
Logo, P(A) 1 P(A) 5 1, ou seja, P(A) 5 1 2 P(A). Sendo [ o evento complementar de 
E, segue que P([) 5 0.
Exemplo:
No lançamento de uma moeda, o espaço amostral é E 5 {c, k}; c corresponde a coroa e k corresponde a cara. Sendo A o evento em 
que “o resultado é cara”, temos A 5 {k} e A 5 {c}.
• A probabilidade de obter cara ou coroa é 100%: P(E) 5 1.
• A probabilidade de obter cara e coroa é 0: P([) 5 0.
Se a probabilidade de obter cara é 70% (moeda não balanceada), então a probabilidade de obter coroa é 30%: 
P(A) 5 0,7 ⇒ P(A) 5 0,3, pois P(A) 1 P(A) 5 1.
Probabilidade com espaço amostral finito e equiprovável
Um espaço amostral E 5 {x
1
, x
2
, ..., x
n
} é dito equiprovável se, e somente se, todos os seus eventos elementares 
têm a mesma probabilidade. Assim, se P({x
1
}) 5 P({x
2
}) 5 ... 5 P({x
n
}) 5 p, temos n ? p 5 1, ou seja, p 5 
1
n
. Com 
um espaço amostral finito e equiprovável, temos:
• a probabilidade de cada evento elementar é igual a 1
número de elementos de E
.
• a probabilidade de um evento A é número de elementos de A
número de elementos de E
; na prática, 
número de casos favoráveis
número total de casos possíveis
.
Exemplos:
1. No lançamento de uma moeda (balanceada), a probabilidade de se obter cara é 50%.
2. No lançamento de um dado comum, o espaço amostral é E 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A probabilidade de se obter um resultado diferente 
de 6 é igual a 
5
6
.
nestas aulas
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127
M
a
te
m
‡
ti
c
a
Soma de probabilidades – a “regra do OU”
Sendo A e B eventos quaisquer, a probabilidade