Matrizes e Sistemas Lineares

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Sistemas de equações lineares
Aplicações
Matrizes 
É um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas. Se a tabela tiver m linhas e n colunas, dizemos que a matriz e retangular do tipo ( ou de ordem) m x n ( lê – se m por n).As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para a direita. Podendo ser usado colchetes [ ] ou parênteses ( ) para sua notação e sua indicação e feita por uma letra maiúscula do alfabeto. 
Os elementos de uma matriz costumam ser representados por meio de uma letra minúscula do alfabeto juntamente com dois índices: o primeiro indica a linha e o segundo, a coluna à qual pertence o elemento. 
 a11 a12 ... a1n 
 A = a21 a22 ... a2n 
 
 am1 am2 ... amn 
Genericamente, uma matriz de ordem m x n pode ser escrita: 
A = (aij)m x n com 1 < = i < = m e 1< = j < = n 
Exemplo: 
A = é matriz do tipo 2 x 3, 
B = é matriz do tipo 3 x 2, 
C = é matriz do tipo 2 x 2. 
D = ( 1 4 2 1) é matriz linha 
 1
 E = 0 é matriz coluna 
 1 
Matriz quadrada 
É toda matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Ao número de linhas ( ou de colunas) damos o nome de ordem da matriz. 
Exemplo: uma matriz de ordem 3 pode ser indicada por 
 A11 A12 A13 
 A21 A22 A23 
 A31 A32 A33 
Matriz Nula
É aquela em que todos os elementos são nulos. 
Exemplo: 0 0 
0 
Igualdade de Matrizes 
Duas matrizes A e B do mesmo tipo (com mesmo número de colunas e linhas) são iguais quando seus elementos correspondentes ( aqueles com o mesmo par ordenado de índices) são iguais. 
Exemplo: 
 30 31 = 1 3
 32 33 9 27 
Matriz Simétrica e Anti – Simétrica 
Matriz simétrica: é aquela na qual os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais. 
Exemplo: 6 2 10 
 2 4 -7 
 10 -7 9 
Anti – Simétrica: é aquela na qual são nulos os elementos da diagonal principal, e opostos os elementos dispostos simetricamente em relação a ela. 
Exemplo: 0 -5 6 
 5 0 10 
 -6 -10 0 
Matriz diagonal 
Toda matriz quadrada cujos elementos que não pertencem à diagonal principal valem zero. 
Exemplo: 2 0 0 2 0
 0 1 0 e 0 0
 0 0 3
 
Matriz Identidade 
São toda matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal valem 1 e os elementos restantes valem 0. Uma matriz identidade de ordem n é indicada por In. 
Exemplo: 
 I2 = 1 0
1 
Transposta de uma matriz 
Seja A uma matriz do tipo m x n. chamamos de transposta de A, e indicamos por At, a matriz cujas colunas são ordenadamente iguais às linhas de A. 
Exemplo: 
A matriz transposta de A = 2 3 4 é a matriz At = 2 5
 5 7 9 3 7
 4 9 
Diagonal Principal e diagonal secundária 
Dada a matriz quadrada de ordem n, A = (aij)n x n , chamamos diagonal principal os elementos aij em que i = j . Para o caso dos elementos aij em que i + j = n + 1, temos a diagonal secundária. 
 
 A11 A12 A13 
 A = A21 A22 A23 
 A31 A32 A33 
 Diagonal secundária Diagonal principal 
Diagonal principal: A11 ; A22 ; A33 
Diagonal secundária: A13; A22; A31 
Adição de matrizes 
A soma de duas matrizes A = (aij) e B = (bij), de mesma ordem, é uma matriz C = (cij) tal que cij = aij + bij. Indica – se a soma de duas matrizes A e B por A + B. 
Exemplos: 
2 3 + 1 5 = 3 8 
1 4 9 8 10 12
Diferença de duas matrizes 
Dada duas matrizes A e B do mesmo tipo, chamamos de diferença entre A e B ( e indicamos por A – B ) a soma da matriz A com a oposta de B. Isto é 
 A – B = A + (-B) 
Exemplo: 
2 1 - 3 -2 = 2 1 + -3 2 = -1 3
5 -6 -1 6 5 -6 1 -6 6 - 12 
Multiplicação de matriz por um número real. 
Se α é um escalar, o produto de uma matriz A= (aij) por esse escalar é uma matriz B = (bij) tal que bij = αaij. 
Exemplo: Dada a matriz A, encontre a matriz 3A. 
A = 2 1 
 4 3 
3*A = 3 * 2 1 = 3* 2 3*1 = 6 3 
 4 3 3*4 3*3 12 9 
Propriedade da multiplicação de uma matriz por um escalar. 
Para α e β escalares quaisquer e A e B matrizes de mesma ordem, tem se: 
(αβ)A = α(βA) 
(α + β)A = αA + βA 
(α – β)A = αA – βA 
α(A + B) = αA + αB 
Produto de uma matriz por outra. 
Dada duas matrizes A = (aij)m x n e B =(bij)n x p, Chama – se produto das matrizes A e B ( A x B) a matriz C = (cij)m x p,na qual cij é obtido multiplicando – se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B, adicionando em seguida os produtos obtidos. ( Observação: só é possível efetuar o produto de duas matrizes quando o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda A m x n * B n x p = C m x p). 
Exemplo: Efetue a multiplicação: 
1 2 1 1 0 1*1 + 2 *2 + 1 * 4 1 * 0 + 2 * 1 + 1 * 1 
4 5 2 * 2 1 = 4 * 1 + 5 * 2 + 2 * 4 4 * 0 + 5 * 1 + 2 * 1 
7 8 1 4 1 7 * 1 + 8 * 2 + 1 * 4 7 * 0 + 8* 1 + 1 * 1 
 1 + 4 + 4 0 + 2 + 1 9 3
 = 4 + 10 + 8 0 + 5 + 2 = 22 7
 7 + 16 + 4 0 + 8 + 1 27 9 
Determinantes: 
   A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Determinante de 1ª ordem
   
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:
det M =Ia11I = a11
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.
Exemplo:
	M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5
	M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3
 Determinante de 2ª ordem 
   Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por: 
    Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.
   
                        
Menor complementar 
   Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij .
   Vejamos como determiná-lo pelosexemplos a seguir:
a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:
Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:
b) Sendo , de ordem 3, temos: 
	
	
Cofator
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que  Aij = (-1)i+j . MCij .
   Veja:
a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:
	
	
b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:
	
	
	
Teorema de Laplace
   O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn  pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.
   Assim, fixando , temos:
em que  é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, . 
Regra de Sarrus
   O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominadoregra de Sarrus.
   Acompanhe como aplicamos essa regra para .
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):
Assim:
Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.
 
Determinante de ordem n > 3
   Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.
 
Sistemas de Equações Lineares 
Equação Linear – Chamamos de equação linear nas incógnitas x1 + x2,..., xn toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, em que a1, a2, ... an são números quaisquer chamados coeficientes e b é um número chamado termo independente. 
Sistema linear – É um conjunto de equações lineares nas mesmas incógnitas. 
Exemplo: 
 X + 2Y + 3Z = 14 
 X – 2Y + Z = 1 
 3X + 4Y – Z = 7 
Solução de um Sistema Linear 
Exemplo: Encontre os valores de X e Y que satisfazem a igualdade 
 X + Y = 7 
 X – Y = 3 
 
Resolução: 
 X + Y = 7 
 X – Y = 3 
 2X = 10 
 X = 5
Substituindo X em uma da equações do sistema, temos: 
 X + Y = 7 (5) + Y = 7 Y = 7 – 5 Y = 2 
Então os valores de X e Y, são respectivamente 5 e 2 
 
Classificação dos Sistemas Lineares 
Sistema compatível – admite solução, ou seja quando tem raízes. Pode ser: 
Determinado: Quando admite uma única solução 
Indeterminado: Quando admite mais de uma solução (na verdade, admite infinitas soluções). 
Sistema incompatível – Quando não admite soluções 
Sistema Linear Homogêneo – Quando num sistema de equações lineares os termos independentes são todos nulos. 
Sistemas Equivalentes – dois sistemas de equações Lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução. 
Regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais. 
Exemplo: Calcule os valores de x, y e z do sistema de equações, utilizando a regra de cramer. 
 
X – 2y – 2z = - 1 
X – y + Z = - 2 
 2x + y + 3z = 1 
Resolução:
X = Dx / D = -8 / -8 = 1 
Y = Dy / D = -16 / -8 = 2 
Z = Dz / D = 8 / -8 = -1 
O conjunto de soluções são x = 1, y = 2 e z = -1 
Sistema Escalonado 
Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.
   Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. 
   Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
 a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.
 b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.
 c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
 
     
Exemplo:
    
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:
	 Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:   
          
	 Trocamos  a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:
           
	Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:
           
2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação:
	Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:
           
Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.
-2z=-6 z=3
Substituindo z=3 em (II):
-7y - 3(3)= -2  -7y - 9 = -2  y=-1
Substituindo z=3 e y=-1 em (I):
x + 2(-1) + 3= 3 x=2
Então, x=2, y=-1 e z=3