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Universidade Federal de Lavras 2 a Prova de GEX108 - Cálculo III Nome: N o de matrícula: Turma: Data: 30.09.2011 Questões Notas 1 a 2 a 3 a 4 a Total Observações: • Verifique se sua prova contém 4 (quatro) questões; • Leia com atenção cada questão; • Justifique todas as suas respostas. 1. Calcule ∮ C y dx− x dy, onde C é a círculo x2 + y2 = 4, orientado no sentido anti-horário. 2. Considere o campo vetorial ~F (x, y) = 2xy3~i+ 3x2y2~j. (a) Mostre que a integral ∫ (1,0) (2,1) ~F . d~r é independente do caminho. (b) Calcule a função potencial φ tal que ~F = ∇φ = ( ∂φ ∂x , ∂φ ∂y ) . (c) Calcule o valor da integral ∫ (1,0) (2,1) ~F . d~r. 3. Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças ~F (x, y) = (x2 − y2)~i + x~j, numa partícula que se move ao longo do círculo x2 + y2 = 9, no sentido anti-horário. 4. Calcule a integral de superfície ∫∫ σ f(x, y, z) dS, onde f(x, y, z) = x − z e σ é a porção do plano x+ y = 1 no primeiro octante entre z = 0 e z = 1. obs:∫∫ σ f(x, y, z) dS = ∫∫ R f(~r(u, v)) ∥∥∥∥∂~r∂u × ∂~r∂v ∥∥∥∥ dA 1
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