REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

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ADM 250 Matemática Financeira
III
Regime de Capitalização Composta
Introdução
O Regime de Capitalização Composta (RCC), 
também conhecido como juros sobre juros, é 
caracterizado pela capitalização dos 
rendimentos, formando um novo valor para 
cálculo de rendimentos no período seguinte.
Ou seja, 
nesse regime, apenas no fim do primeiro período 
os juros são calculados sobre o capital 
inicialmente aplicado; nos períodos seguintes, a 
partir do segundo, os juros incidem sobre o 
montante constituído no período anterior.
Cálculo dos Juros, Montante e Capital
Se um capital (VP) for aplicado a uma taxa (i) 
dada para certo período de tempo , os montantes 
(VF) constituídos no fim de cada um dos n 
períodos em que o capital ficar aplicado serão, 
respectivamente:
VF1 = VP (1 + i)
VF2 = VF1 (1 + i) = VP (1 + i)2
...
VFn = VFn-1 (1 + i) = VP (1 + i)n
VF1 = VP (1 + i)
VF2 = VF1 (1 + i) = VP (1 + i)2
...
VFn = VFn-1 (1 + i) = VP (1 + i)n
Cálculo dos Juros, Montante e Capital
Montante (VF): é o valor do capital inicial 
(VP) somado aos juros acumulados (J) no 
decorrer do período, como descrito nas 
seguintes fórmulas:
Cálculo dos Juros, Montante e Capital
Por meio das fórmulas básicas de valor futuro 
podemos extrair outras fórmulas para facilitar o 
cálculo de outras variáveis, como: 
n=
Log (VFVP )
Log (1+i )Valor Presente
Número de Períodos Taxa de Juros
Cálculo dos Juros, Montante e Capital
Exemplo:
Qual o montante produzido por um capital de 
R$ 250.000,00 que ficou aplicado durante 
um ano e dois meses à taxa de 7,5% a.m. de 
juros compostos?
Resolução:
VF = VP (1 + i)n = 250.000 . (1,0075)14 = 
VF = R$ 688.111,01
Cálculo dos juros 
para número não inteiro de períodos
Quando o número de períodos em que o 
capital fica empregado não é inteiro e a 
taxa é dada para esse período, existem duas 
formas de se capitalizarem os juros 
correspondentes à parte fracionária do 
período: pela convenção linear, usando 
regime de juros simples, ou pela 
convenção exponencial, usando regime de 
juros compostos.
Cálculo dos juros 
para número não inteiro de períodos
Ou então, 
quando o cálculo dos juros da parte 
inteira do período é feito no regime de 
juros compostos e o da parte fracionária 
é feito no regime de juros simples, diz-se 
que o montante correspondente foi 
calculado com capitalização mista.
Cálculo dos juros 
para número não inteiro de períodos
Exemplo:
Calcular no regime de capitalização mista e 
composta, o montante do capital de R$ 
150.000,00, aplicado a 8,4% a.m., durante 6 
meses e 17 dias.
Resolução:
VF = VP (1 + i)n = 150.000 (1,084)6 = 243.369,95
a) Mista: 
VF = VP (1 + in) = 243.369,95 (1 + 0,084. ) = 254.954,36
b) Composta:
VF = VP (1 + i)n = 243.369,65 (1 + 0,084) = 254.751,58
Taxas Proporcionais
Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas 
em unidades de tempo diferentes que, ao serem 
aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo 
prazo, produzem um mesmo montante acumulado 
no final daquele prazo, no regime de capitalização 
simples (RCS).
Por exemplo, quando se tem uma taxa ao ano, e o 
período do problema é em meses, basta dividir a 
taxa por 12, ou seja, um (1) ano tem doze (12) 
meses.
•i= 12% a.a.  1% a.m. 
•i= 8% a.s.  1,33% a.m.
Taxas Proporcionais
No Regime de Capitalização Composta 
(RCC), embora as taxas sejam 
proporcionais (24% a.a., 12% a.s., 2% 
a.m.), quando forem aplicadas sobre 
capitais iguais, por prazos iguais, 
produzirão montantes diferentes, sendo 
tanto maior o montante quanto maior for 
o número de capitalizações ocorridas 
durante o ano.
Taxas Equivalentes
O cálculo de taxas equivalentes, no RCC, 
não se restringe a uma simples proporção, 
como ocorre no RCS.
Portanto, taxas equivalentes são taxas de 
juros fornecidas em unidades de tempo 
diferentes que ao serem aplicadas a um 
mesmo principal durante um mesmo prazo 
produzem um mesmo montante acumulado 
no final daquele prazo.
Exemplo:
O capital de R$ 10.000,00 aplicado à taxa de 10% 
a.m. produziu o montante de R$ 31.384,28 no fim 
de um ano. Qual a taxa semestral capaz de fazer 
esse mesmo capital produzir esse mesmo montante 
nesse mesmo espaço de tempo?
Resolução:
VF = VP (1 + i)n 31.384,28 = 10.000 (1 + i)2
i = = 0,7716
R: A taxa é 77,16% a.s. 
Como no dia-a-dia os períodos a que se referem às taxas que se tem e taxas 
que se quer são os mais variados, vamos apresentar uma fórmula genérica, que 
possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja:
 
Para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue:
iq = taxa para o prazo que eu quero
it = taxa para o prazo que eu tenho
q = prazo que eu quero
t = prazo que eu tenho
 
Vejamos alguns exemplos:
 
6) Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano:
 
i183 = (1 + 0,65)183/360 – 1 = 28,99%
 
7) Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês:
 
i491 = (1 + 0,05)491/30 – 1 = 122,23%
 
8) Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre:
 
i27 = (1 + 0,13)27/90 – 1 = 3,73%
Taxa Nominal e Efetiva
A taxa de juros contratada numa operação 
financeira chama-se taxa nominal.
 
Essa taxa nem sempre é igual à taxa efetiva, 
que é a taxa de rendimento que a operação 
financeira proporciona efetivamente. 
Isto acontece em razão de existirem obrigações, 
taxas e impostos que comprometem ou oneram 
os pagamentos de juros.
Taxa Nominal e Efetiva
No RCC é costume indicar uma taxa para 
um período com capitalizações em período 
distinto. Assim, é comum falar em taxa de 
60% a.a.capitalizada trimestralmente ou taxa 
de 100% a.s. capitalizada mensalmente etc. 
Neste caso, deve-se tomar a taxa 
proporcional correspondente como taxa 
efetiva e considerar a taxa dada como taxa 
nominal.
Exemplo:
Eduardo tomou um empréstimo de 
R$10.000,00 para pagar após três meses 
de juros de 18% a.a. capitalizados 
mensalmente. Na data da liberação do 
empréstimo pagou uma taxa de serviço de 
2,5% sobre o valor do empréstimo. Qual a 
taxa efetiva mensal paga pelo tomador ? 
Resolução:
Taxa mensal efetiva: 
2,5% de 10.000,00 = 250,00
Empréstimo efetivo: 10.000-250 = 9.750,00
Pagamento final:
VF = VP (1 + i)n VF = 10.000 (1 + 0,015)3 
VF = 10.466,78
Taxa efetiva mensal: 
i = 0,0236
R: A taxa efetiva mensal é 2,36% a.m. 
Desconto Composto
A operação de desconto ocorre quando um título 
ou dívida é liquidado antecipadamente. Os 
descontos podem ser racionais ou comerciais.
Assim como os juros, os descontos também 
podem ser considerados como uma sucessão de 
descontos simples, calculados período por 
período. 
Na prática, os descontos compostos tem pouca 
aplicação. O racional é utilizado para equivalência 
de capitais com juros compostos e o comercial é 
utilizado em uma técnica de depreciação.
Desconto Racional
O valor nominal (VF) e o valor atual (VP) do 
título ou dívida pode ser calculado através das 
seguintes fórmulas:
 
 
Desconto Comercial
O valor nominal (VF) e o valor atual (VP) do 
título ou dívida pode ser calculado através das 
seguintes fórmulas:
 
 
No RCC, dois (ou mais) capitais são equivalentes, 
com uma taxa dada, se seus valores, calculados em 
qualquer data (data focal), com essa taxa, forem 
iguais.
Para equivalência feita com juros compostos, tem-se:
Para equivalência feita com desconto comercial, tem-se: 
Equivalência de Capitais
VF1 (1 + i)-n1= VF2 (1 + i)-n2VF1 (1 + i)-n1= VF2 (1 + i)-n2
VF1 (1 - i)-n1= VF2 (1 - i)-n2VF1 (1 - i)-n1= VF2 (1 - i)-n2
Exemplo
Um título de R$ 100.000,00 para 62 dias vai ser 
trocado por outrode R$ 150.000,00. Qual será o 
prazo desse novo título, se a troca será feita com 
desconto racional composto à taxa de 12% a.m.?
Resolução:
VF1 (1 + i)-n1= VF2 (1 + i)-n2 
100.000 . 1,004-62 = 150.000 . 1,004-n
1,004-n = 0,5275 n= n=169,3
R: O prazo será de 169 dias.
 
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