Aula 02 Fluxo Enlaçado, Indutâncias Proprias e Mútuas, Coef. Acoplamento

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02/08/2018
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Universidade Federal de Itajubá
ISEE – Instituto de Sistemas Elétricos e Energia
ELE 401 – CIRCUITOS MAGNÉTICOS
2º Semestre 2018
1. Fluxo Enlaçado, Indutâncias Próprias e Mútuas, 
Coeficiente de Acoplamento
Prof. Gustavo Paiva Lopes
1. Conceitos Básicos
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1.4 Fluxo Enlaçado
 Considere uma barra de ferro envolvida por uma bobina com “N” espiras,
formando um eletroímã, conforme figura a seguir.
 De outra forma: um eletroímã consiste em uma bobina enrolada sobre um
núcleo ferromagnético que tem como objetivo concentrar as linhas de
campo.
i
N
O
a b
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1. Conceitos Básicos
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1.4 Fluxo Enlaçado
 Para uma corrente “i” injetada no terminal “a” da bobina, obtém-se o fluxo
“ϕ”.
 Este fluxo enlaça ou concatena as “N” espiras da bobina. O termo enlaçar
significa encadear, juntar ou ligar.
 Portanto:
 Onde:
ߣ = fluxo enlaçado.
ܰ = número de espiras.
∅ = fluxo magnético produzido no material. i
N
O
a b
ߣ ൌ ܰ	߶
1. Conceitos Básicos
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1.4 Fluxo Enlaçado
 Qual a unidade para o fluxo enlaçado (ߣ)?
 Outros exemplos de fluxo enlaçado:
 Basta verificar o número de espiras que o fluxo enlaça.
ߣ ൌ ܹܾ݁݁ݎ · ݁ݏ݌݅ݎܽ ൌ ሾܹܾ · ݁ݏ݌ሿ
(1)
(3)
(2)
(4)
o o1 2
ߣଵ 	ൌ?
ߣଶ 	ൌ?
ߣଷ 	ൌ?
ߣସ 	ൌ?
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1.4 Fluxo Enlaçado
 Considere a bobina a seguir, que possui 3 espiras. Qual o valor da tensão
induzida “e”?
 Portanto, para uma bobina de “N” espiras, tem-se:
e1 e2 e3
a be
N=3

 Cada vez que um fluxo variável no tempo
atravessa uma espira, este produz uma
tensão induzida.
݁ ൌ ݁ଵ ൅ ݁ଶ ൅ ݁ଷ
݁ ൌ െ݀∅݀ݐ െ
݀∅
݀ݐ െ
݀∅
݀ݐ ൌ െ3
݀∅
݀ݐ
݁ ൌ െܰ݀∅݀ݐ
1. Conceitos Básicos
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1.4 Fluxo Enlaçado
 Podemos escrever também:
 Portanto, quando temos um fluxo “ϕ” que atravessa um conjunto de “N”
espiras, este recebe o nome de fluxo enlaçado, “ߣ”.
݁ ൌ െ݀ߣ݀ݐ݁ ൌ െܰ
݀∅
݀ݐ ൌ െ
݀ሺܰ	∅ሻ
݀ݐ
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1.5 Indutância Própria
 Considere uma bobina de “N” espiras conforme figura a seguir:
 Qual a relação existente entre o fluxo enlaçado “ߣ” e a corrente “i” injetada
no terminal “a”?
 Se o meio é linear, o fluxo enlaçado “ߣ” é proporcional à corrente “i”.
N
a b
i
ߣ ∝ ݅
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1.5 Indutância Própria
 A constante de proporcionalidade entre o fluxo enlaçado e a corrente é
denominada “indutância própria da bobina”, representada pela letra “L”.
 Esta indutância depende das dimensões, do número de espiras e do meio
onde se encontra a bobina.
 Um circuito ou parte de um circuito que contém uma indutância é
denominado indutor. Em outras palavras, um indutor é um elemento
passivo projetado para armazenar energia em seu campo magnético.
ߣ ൌ ܮ	݅
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1.5 Indutância Própria
 Podemos definir a indutância “L” de um indutor como a razão entre o fluxo
enlaçado “ߣ” e a corrente “i” através do indutor.
 Dimensão da indutância própria:
ߣ ൌ ܮ	݅
ܰ߶ ൌ ܮ	݅
ܮ ൌ ܰ߶݅
ܮ ൌ ܹܾ݁݁ݎ · ݁ݏ݌݅ݎܽሾܣ݉݌èݎ݁ሿ ൌ ܪ݁݊ݎݕ ൌ ሾܪሿܮ ൌ
ߣ
݅
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1.5 Indutância Própria
 Se a corrente “i” injetada for variável no tempo, esta produzirá um fluxo
enlaçado também variável no tempo. Desta forma, temos:
 Através da Lei de Lenz-Faraday:
 Portanto:
ߣ ൌ ܮ	݅ ݀ߣ݀ݐ ൌ ܮ	
݀݅
݀ݐ
݁ ൌ െܰ݀∅݀ݐ ݁ ൌ െ
݀ߣ
݀ݐ
െ݁ ൌ ܮ ݀݅݀ݐ ݁ ൌ െܮ
݀݅
݀ݐ
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1.5 Indutância Própria
 Portanto, conclui-se que existe uma queda de tensão na bobina como
efeito de sua indutância própria.
 De outra forma, a indutância consiste na propriedade de uma bobina se
opor a qualquer variação de corrente.
݁ ൌ െܮ	 ݀݅݀ݐ
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1.5 Indutância Própria
1.5.1 Fatores de Influência da Indutância
 Embora a indutância “L” de um indutor seja a razão entre o fluxo enlaçado
e a corrente injetada em seus terminais, esta indutância depende de suas
características construtivas.
 É importante observar também que a indutância não é linear no caso de
materiais ferromagnéticos onde, devido a saturação, a indutância pode
apresentar valores variáveis com a corrente.
ܮ ൌ ߣሺ݅ሻ݅
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1.5 Indutância Própria
1.5.1 Fatores de Influência da Indutância
 Por exemplo, para o indutor apresentado a seguir, também conhecido
como eletroímã ou solenoide, temos os seguintes fatores de influência:
1) Número de espiras – N:
2) Área da seção – A:
3) Comprimento – l:
4) Permeabilidade do material do núcleo – ߤ:
ܮ ∝ ܰଶ
ܮ ∝ 1݈
ܮ ∝ ߤ
ܮ ∝ ܣ
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1.5 Indutância Própria
1.5.1 Fatores de Influência da Indutância
 Portanto, a equação para o cálculo da indutância em um solenoide em
função das características construtivas:
Onde:
ܮ = indutância em henrys (H).
ܣ = área da seção transversal do indutor (solenoide) em (m2).
ܰ = número de espiras.
݈ = comprimento do solenoide em metros (m).
ߤ = permeabilidade do material do núcleo (H/m).
ܮ ൌ ߤ ܣ	ܰ
ଶ
݈
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1.6 Indutância Mútua
 A indutância mútua retrata o efeito de uma bobina com corrente sobre uma
ou mais bobinas adjacentes.
 Quando dois ou mais circuitos com ou se contato entre eles se afetam por
meio dos campos magnéticos, diz-se que estão acoplados
magneticamente.
 Pode-se concluir até o presente momento que todos os equipamentos
elétricos citados como exemplos de circuitos magnéticos possuem
indutâncias próprias e a grande maioria deles também apresentam
indutâncias mútuas.
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1.6 Indutância Mútua
 As indutâncias mútuas são bastante comuns em linhas de transmissão que
percorrem a mesma faixa de servidão, influenciando diretamente nos
estudos que envolvem a proteção de sistemas elétricos.
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1.6 Indutância Mútua
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1.6 Indutância Mútua
 Para entender o significado da indutância mútua, considere a configuração
com duas bobinas apresentada na figura a seguir:
 A corrente “I1” passando pela bobina (1) de “N1” espiras origina um fluxo
próprio “ϕ11” e um fluxo enlaçado com a bobina (2) de “N2” espiras, “ϕ21”.
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1.6 Indutância Mútua
 Neste caso tem-se:
߶ଵଵ = fluxo próprio da bobina (1).
߶ଶଵ = fluxo na bobina (2) produzido pela corrente da bobina (1).
ଵܰ = número de espiras da bobina (1).
ଶܰ = número de espiras da bobina (2).
ܫଵ = corrente injetada na bobina (1).
߶ଵ = fluxo total na bobina (1).
߶ଵ ൌ ߶ଵଵ ൅ ߶ଶଵ
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1.6 Indutância Mútua
 Podemos escrever a equação para o fluxo enlaçado na bobina (2):
 Em condições lineares existe uma proporcionalidade entre a corrente “I1” e
a o fluxo enlaçado “ߣଶଵ”:
 Onde:
ܯଶଵ = constante de proporcionalidade denominada indutância mútua entre
as bobinas (1) e (2).
ߣ ൌ ܰ	߶ ߣଶଵ ൌ ଶܰ	߶ଶଵ
ܮ ൌ ߣ݅ ܯ ൌ
ߣ
݅ ܯଶଵ ൌ
ߣଶଵ
݅ଵ
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1.6 Indutância Mútua
 Considerando que:
 Tem-se:
 Esta é a equação para o cálculo da indutância mutua entre as bobinas (1) e
(2), que depende do número de espiras da bobina (2) e da corrente que
circula através da bobina (1).
ߣ ൌ ܰ	߶ ൌ ܮ	݅
ܰ	߶ ൌ ܮ	݅ ଶܰ	߶ଶଵ ൌ ܯଶଵ	݅ଵ ܯଶଵ ൌ ଶܰ	߶ଶଵ݅ଵ
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1.6 Indutância Mútua
 Se considerarmos que a corrente “I1” é variável no tempo, esta produzirá
um fluxo enlaçado “ߣଶଵ” também variável no tempo:
 Através da Lei de Lenz-Faraday:
 Portanto:
ߣଶଵ ൌ ܯଶଵ	݅ଵ ݀ߣଶଵ
݀ݐ ൌ ܯଶଵ
݀݅ଵ
݀ݐ
݁ ൌ െܰ݀∅݀ݐ ݁ଶଵ ൌ െ ଶܰ
݀߶ଶଵ
݀ݐ
െ݁ଶଵ ൌ ܯଶଵ ݀݅ଵ݀ݐ ݁ଶଵ ൌ െܯଶଵ
݀݅ଵ
݀ݐ
݁ଶଵ ൌ െ݀ߣଶଵ݀ݐ
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1.6 Indutância Mútua
 Portanto,há uma tensão induzida na bobina (2) devido à circulação de uma
corrente variável na bobina (1). Esta tensão induzida depende da
indutância mútua entre as duas bobinas (M21).
 A indutância mútua entre duas bobinas adjacentes depende da distância
entre elas, suas dimensões físicas, número de espiras e meio considerado.
 Dimensão da indutância mútua:
݁ଶଵ ൌ െܯଶଵ ݀݅ଵ݀ݐ
ܯ ൌ ܹܾ݁݁ݎ · ݁ݏ݌݅ݎܽሾܣ݉݌èݎ݁ሿ ൌ ܪ݁݊ݎݕ ൌ ሾܪሿܮ ൌ
ߣ
݅ ܯଶଵ ൌ
ߣଶଵ
݅ଵ
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1.7 Coeficiente (fator) de Acoplamento
 Considere novamente as bobinas (1) e (2) conforme a seguir:
 A corrente “I1” estabelece na bobina (1) um fluxo total “ϕ1”. Parte deste fluxo
atravessa a bobina (2), denominado “ϕ21”. A relação entre a parcela “ϕ21” e
o fluxo total “ϕ1” é denominada coeficiente de acoplamento “k”.
߶ଵ ൌ ߶ଵଵ ൅ ߶ଶଵ
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1.7 Coeficiente (fator) de Acoplamento
 De acordo com a definição de “k”, temos:
 Portanto, “k” é uma medida do acoplamento magnético entre as duas
bobinas.
0 ൑ ݇ ൑ 1
݇ ൌ ߶ଶଵ߶ଵ ൌ
߶ଵଶ
߶ଶ
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1.7 Coeficiente (fator) de Acoplamento
 A indutância mútua entre duas bobinas pode ser calculada também em
função do coeficiente de acoplamento “k” através da seguinte equação:
 Onde:
ܯ = indutância mútua entre as bobinas em (Henry).
݇ = coeficiente de acoplamento, adimensional.
ܮଵ, ܮଶ = indutâncias próprias das bobinas em (Henry).
0 ൑ ݇ ൑ 1ܯ ൌ ݇	 ܮଵ · ܮଶ
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1.7 Coeficiente (fator) de Acoplamento
 Quando temos k = 1?
 Cite um exemplo de k ≈ 1? Como estão montadas as bobinas neste caso?
 Quando temos k ≈ 0? Como estão montadas as bobinas neste caso?
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1.7 Coeficiente (fator) de Acoplamento
 Portanto, devemos considerar configurações que apresentem fator de
acoplamento (k) próximo de 1.
Tensão 
inferior (BT)
Tensão 
superior (AT)
Tensão 
superior (AT)
Exemplo de montagens típicas do enrolamentos.