IND1035_JOGOS_AULA_02

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TEORIA 
DOS JOGOS 
 
IND1035 
 
Aula 2 
Prof. Fabrício Mello 
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Jogos Estratégicos 
• DEFINIÇÃO PRELIMINAR: Um perfil de 
ações é uma lista das ações escolhidas 
por cada TD numa situação específica. 
• Exemplo: João e Maria jogam pedra-
papel-tesoura. João escolhe a "pedra" e 
Maria, "papel". Um perfil de ações onde 
a ação de João é a primeira na lista e a 
de Maria a segunda seria, neste caso: 
(pedra, papel). 
• Quantos perfis de ações são possíveis 
nesse jogo de pedra-papel-tesoura? 
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Jogos Estratégicos 
• Num jogo com 𝑛 TDs indexados, o 
perfil de ações será representado 
assim: (𝑎1, … , 𝑎𝑛). 
• Um perfil de ações que difere do 
anterior apenas pela ação do 
jogador 𝑖 será representado pela 
notação: (𝑏𝑖 , 𝑎−𝑖) 
• A acima notação significa: todos 
os jogadores escolheram as suas 
respectivas ações especificadas 
em (𝑎1, … , 𝑎𝑛), exceto o 𝑖-ésimo 
jogador, que escolheu outra ação, 
representada por 𝑏𝑖. 
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Jogos Estratégicos 
• DEFINIÇÃO: Um jogo estratégico (com 
preferências ordinais) consiste em: 
 Um conjunto de jogadores. 
 Para cada jogador, um conjunto de ações. 
 Para cada jogador, preferências sobre o 
conjunto de perfis de ações possíveis. 
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Exemplos 
• Numa situação de concorrência entre firmas, 
elas são os jogadores. As ações podem ser os 
preços que elas estabelecem para os seus 
produtos. As preferências referem-se ao lucro. 
• Numa eleição, os jogadores são os candidatos. 
As ações podem ser os gastos com campanha. 
As preferências refletem as probabilidades de 
cada candidato de vencer a eleição. 
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Características do modelo 
• Assim como no modelo de escolha racional com 
um TD, também especificamos as preferências dos 
jogadores através de funções ordinais de ganho. 
• No jogo estratégico não existe tempo. As jogadas 
são escolhidas simultaneamente, no sentido de 
que nenhum jogador, ao escolher a sua ação, tem 
informação sobre a escolha de nenhum outro. 
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O Dilema dos Prisioneiros 
• É o jogo mais famoso e mais estudado em 
Teoria dos Jogos. 
• Criado por Merrill Flood e Melvin Desher, 
matemáticos da RAND Corporation, em 1950. 
• A formalização mais conhecida do jogo, bem 
como o seu nome, foram concebidos pelo 
matemático Albert Tucker (que foi orientador 
de doutorado de John Nash em Princeton). 
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O Dilema dos Prisioneiros 
• Dois suspeitos de um grande crime estão 
presos em celas distintas. 
• Há provas para processar ambos por um crime 
menor, mas não pelo crime maior, a não ser 
que um deles testemunhe contra o outro. 
• Se nenhum trair o outro, os dois passarão um 
ano na cadeia, pelo crime menor. 
• Se um deles delatar o outro, será liberado e o 
outro passará quatro anos encarcerado. 
• Se os dois delatarem-se um ao outro, ambos 
passarão três anos na cadeia. 
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O Dilema dos Prisioneiros 
• A situação do dilema pode ser facilmente 
modelada como um jogo estratégico: 
– Jogadores: Os dois suspeitos. 
– Ações: Para cada suspeito, o conjunto de ações 
é {C, D}, onde "C" representa calar-se e "D" 
representa delatar o outro suspeito. 
– Preferências: 
• Para o suspeito 1, os perfis de ações 
ordenados do mais preferido ao menos 
preferido são (D,C), (C,C), (D,D) e (C,D). 
• Para o suspeito 2, os perfis de ações 
ordenados do mais preferido ao menos 
preferido são (C,D), (C,C), (D,D) e (D,C). 
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O Dilema dos Prisioneiros 
• Jogos estratégicos entre dois jogadores podem ser 
representados através de matrizes. É a chamada 
forma normal. 
• Abaixo, a forma normal do dilema de prisioneiros, com 
funções ordinais de ganho para os dois suspeitos. 
• Nos slides do curso, o primeiro número em cada célula 
da forma normal será o ganho do jogador que joga nas 
linhas. O segundo número, o ganho do jogador que 
joga nas colunas. 
2,2 0,3 
3,0 1,1 
Cala 
Suspeito 2 
Delata 
Cala 
Delata 
Suspeito 1 
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Possíveis "Dilemas de Prisioneiros" 
• Monografia de conclusão de curso a dois: cada 
estudante preferiria trabalhar menos enquanto o 
outro trabalha muito no projeto. 
• Duopólio: cada firma gostaria de descontar o 
preço de sua mercadoria se a outra firma cobra 
o preço mais caro acertado entre elas. 
• Corrida armamentista: cada país gostaria de 
possuir um arsenal maior do que o país rival. 
• Pastos comuns: cada criador de ovelhas gostaria 
de permitir que os seus animais pastassem ao 
máximo (cf. "The Tragedy of the Commons" 
[1968], de Garrett Hardin). 
 
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Aula 2 
Teste 
• Verifique se os jogos abaixo correspondem 
a dilemas de prisioneiros. 
• Cada jogador dispõe das ações "X" e "Y". 
3,3 1,5 
5,1 0,0 
Jogo 1: 
Y 
X 
Y 
2,1 0,5 
3,-2 1,-1 
X Y 
X 
Y 
Jogo 2: 
X 
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Batalha dos Sexos 
• Outro jogo que modela situações sociais comuns. 
• No jogo, um casal de namorados tem preferências 
diferentes: ela quer ir a um concerto de Bach; ele, 
a um de Stravinsky. 
• Para ambos, o pior desfecho possível é irem a 
concertos separados um do outro, mesmo que 
seja o seu concerto preferido. 
2,1 0,0 
0,0 1,2 
B 
Ela 
S 
B 
S 
Ele 
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Aula 2 
Possíveis "Batalhas dos Sexos" 
• Dois senadores do mesmo partido decidindo 
qual posição assumir com relação a um 
mesmo projeto de lei. 
• Duas firmas num processo de fusão decidindo 
qual padrão de base dados adotarão, dentre 
os dois padrões diferentes usados em cada 
uma, antes da fusão. 
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Aula 2 
Jogo das Moedas 
• Este jogo é estritamente competitivo. 
• Cada jogador escolhe se mostra ao outro 
a cara (K) ou a coroa (C) de uma moeda 
que tem em sua mão. 
• Se os dois mostram a mesma face das 
moedas, o jogador 1 ganha R$ 1,00 do 
jogador 2. Se as faces reveladas forem 
diferentes, o pagamento se inverte. 
1,-1 -1,1 
-1,1 1,-1 
K 
Jogador 2 
C 
K 
C 
Jogador 1 
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Aula 2 
Jogo das Moedas 
• Este jogo pode modelar a escolha de 
apresentação de um novo produto 
(celular, relógio, tênis, etc.) por duas 
firmas, uma com reputação bem 
estabelecida no mercado, a outra 
recém-chegada. 
• A firma recém-chegada prefere que os 
produtos das duas sejam parecidos, 
para neutralizar a reputação da outra. 
• A firma tradicional tem preferência 
diametralmente oposta. 
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Aula 2 
Caça ao Cervo 
• Modelo alternativo ao dilema de prisioneiros para 
a corrida armamentista (dilema de segurança). 
• Baseado numa passagem do Discurso sobre a 
origem e fundações da desigualdade entre os 
homens (1755), de Jean-Jacques Rousseau. 
• Diversos caçadores estão vigiando o surgimento 
de um cervo, que alimentará a todos. Terão 
sucesso em caçá-lo se todos ficarem atentos. 
• Cada caçador sente tentação de abandonar seu 
posto para caçar uma lebre, suficiente para 
alimentar apenas a ele próprio. 
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Aula 2 
Caça ao Cervo 
• Jogadores: Oscaçadores. 
• Ações: Para cada caçador, o conjunto de 
ações é {C, L}, onde "C" representa vigiar 
pelo cervo e "L" perseguir uma lebre. 
• Preferências: Para cada jogador, o perfil 
de ações em que todos escolhem "C" é o 
mais preferido, seguido por qualquer 
outro perfil em que ele escolhe "L", 
seguido por qualquer outro perfil em que 
ele escolhe "C" e um ou mais dos outros 
caçadores escolhe "L" (nesse caso, ele fica 
de mãos vazias). 
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Aula 2 
Caça ao Cervo 
• A versão com dois caçadores pode ser facilmente 
representada na forma normal. 
• Abaixo, um exemplo com função de ganho ordinal. 
• Qual é a diferença entre esse jogo e o dilema de 
prisioneiros? 
2,2 0,1 
1,0 1,1 
C 
Caçador 2 
L 
C 
L 
Caçador 1 
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Aula 2 
Equilíbrio de Nash 
• Quais ações serão escolhidas pelos jogadores 
num jogo específico, supondo racionalidade? 
• Para escolher a melhor ação para si, cada 
jogador deve formar uma crença a respeito de 
como cada um dos outros jogará. 
• Para a definição do equilíbrio do jogo, supomos 
implicitamente que os jogadores formaram suas 
crenças a respeito das jogadas dos outros com 
base em experiência passada. 
• Alternativamente, poderíamos supor que cada 
jogador conhece as preferências dos outros. 
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Aula 2 
Equilíbrio de Nash 
• O equilíbrio de Nash, definido em seguida, é 
um conceito de solução de jogos estratégicos. 
• Ele tem dois componentes: 
1. Cada jogador escolhe a sua ação de acordo com o 
modelo da escolha racional, dada a sua crença a 
respeito das ações dos outros jogadores. 
2. A crença de cada jogador sobre as ações dos 
outros jogadores é correta. 
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Aula 2 
Equilíbrio de Nash 
DEFINIÇÃO: Um perfil de ações 𝑎∗ em um jogo 
estratégico com preferências ordinais é um 
equilíbrio de Nash se, para cada jogador 𝑖 e 
cada ação 𝑎𝑖 do jogador 𝑖, 𝑎
∗ é pelo menos tão 
bom quanto outro perfil (𝑎𝑖 , 𝑎−𝑖
∗ ) , segundo as 
preferências do jogador 𝑖. 
ALTERNATIVAMENTE: Um perfil de ações 𝑎∗ em 
um jogo estratégico com preferências ordinais é 
um equilíbrio de Nash se, para cada jogador 𝑖 
e cada ação 𝑎𝑖 do jogador 𝑖: 𝑢𝑖(𝑎
∗) ≥ 𝑢𝑖(𝑎𝑖 , 𝑎−𝑖
∗ ) 
Se a desigualdade acima for estrita (>), dizemos 
que se trata de um equilíbrio de Nash estrito. 
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Aula 2 
Teste 
• Usando as definições do slide 
anterior, verifique que: 
1. O dilema dos prisioneiros tem 
um equilíbrio de Nash. 
2. A batalha dos sexos tem dois 
equilíbrios de Nash. 
3. O jogo das moedas não tem 
um equilíbrio de Nash. 
4. A caça ao cervo com dois 
caçadores tem dois equilíbrios 
de Nash. 
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Aula 2 
Teste: Jogo de Coordenação 
• Suponha que no jogo batalha dos sexos, os dois 
jogadores preferem o concerto de Bach: 
 
 
 
 
• Verifique que esse jogo tem dois equilíbrios de Nash, 
mas um deles é preferido pelos dois jogadores. 
• Este é um exemplo de "jogo de coordenação". Ele 
tem implicações para adoção de tecnologia menos 
avançada (Apple x IBM, VHS x Beta, etc.) 
2,2 0,0 
0,0 1,1 
B 
Ela 
S 
B 
S 
Ele 
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Aula 2 
Teste 
• Verifique se o jogo abaixo tem um ou 
mais equilíbrios de Nash e classifique-
o(s) como um equilíbrio estrito ou não. 
1,1 1,0 0,1 
1,0 0,1 1,0 
L 
T 
B 
M R 
Slide 26 IND1035 
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Aula 2 
Função de Melhor Resposta 
• É fácil encontrar os equilíbrios de Nash 
que há em jogos simples como os 
anteriores, onde cada jogador dispõe 
de poucas ações. 
• Em muitos jogos, porém, os jogadores 
dispõem de um número muito grande 
de ações. Por vezes até infinitas, a 
exemplo de firmas que escolhem os 
preços de seus produtos. 
• A busca pelo equilíbrio nesses jogos é 
facilitada pela função de melhor 
resposta, definida a seguir. 
Slide 27 IND1035 
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Aula 2 
Função de Melhor Resposta 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Isto é: qualquer ação em 𝐵𝑖(𝑎−𝑖) é pelo menos 
tão boa para o jogador 𝑖 quanto qualquer outra, 
se os outros jogam segundo 𝑎−𝑖. 
DEFINIÇÃO: Seja 𝑎−𝑖 o conjunto das ações dos 
jogadores que não são o jogador 𝑖 . Seja 𝐴𝑖 o 
conjunto de ações possíveis para o jogador 𝑖. A 
função de melhor resposta do jogador 𝑖 é: 
 
𝐵𝑖 𝑎−𝑖 = 𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖: 𝑢𝑖 𝑎𝑖 , 𝑎−𝑖 ≥ 𝑢𝑖 𝑎𝑖
′, 𝑎−𝑖 ∀ 𝑎𝑖
′ ∈ 𝐴𝑖 
 
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Aula 2 
Função de Melhor Resposta 
• É possível redefinir o equilíbrio de Nash em 
termos da função de melhor resposta: 
 
DEFINIÇÃO: Um perfil de ações 𝑎∗ em um jogo 
estratégico com preferências ordinais é um 
equilíbrio de Nash se e apenas se a ação de 
cada jogador é uma melhor resposta para as 
ações dos outros jogadores. Ou seja, para todo 
jogador 𝑖, vale: 
𝑎𝑖
∗ ∈ 𝐵𝑖(𝑎−𝑖
∗ ) 
 
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Aula 2 
Função de Melhor Resposta 
• Para encontrar equilíbrios de 
Nash através das funções de 
melhor resposta: 
1. Encontre a função de melhor 
resposta para cada jogador. 
2. Encontre os perfis de ação que 
satisfazem a definição anterior 
do equilíbrio de Nash. 
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Aula 2 
Exemplo 
• Verifique que os números com asterisco indicam as 
melhores respostas dos jogadores. 
• O jogo tem então dois equilíbrios de Nash, nas 
células em que os dois números estão marcados. 
1,2* 2*,1 1*,0 
2*,1* 0,1* 0,0 
0,1 0,0 1*,2* 
L 
T 
M 
B 
C R 
Jogador 2 
Jogador 1 
Slide 31 IND1035 
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Aula 2 
Testes 
1. Usando o conceito de função de melhor resposta, 
busque novamente os equilíbrios de Nash dos 
jogos: dilema de prisioneiros, batalha dos sexos, 
jogo das moedas e caça ao cervo. 
2. Encontre o(s) equilíbrio(s) de Nash do jogo abaixo, 
através da função de melhor resposta: 
2,2 1,3 0,1 
3,1 0,0 0,0 
1,0 0,0 0,0 
L 
T 
M 
B 
C R 
Jogador 2 
Jogador 1 
Slide 32 IND1035 
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Aula 2 
Exemplo: Infinitas ações possíveis 
• Dois indivíduos estão numa relação de sinergia. 
• Se ambos devotam mais esforço para a relação, 
ambos ganham mais. 
• Para cada dado esforço do indivíduo 𝑗, o retorno 
para o indivíduo 𝑖 primeiro aumenta, depois diminui. 
• Representa-se o nível de esforço por um número 
real não negativo. 
• As preferências do indivíduo 𝑖 são representadas 
pela função de ganho: 
𝑎𝑖 × 𝑐 + 𝑎𝑗 − 𝑎𝑖 , 𝑖 = 1,2, 𝑗 = 3 − 𝑖 
onde 𝑎𝑖 é o nível de esforço de 𝑖 e 𝑐 é uma constante. 
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Aula 2 
Exemplo (continuação) 
• Como cada jogador tem infinitas ações possíveis 
(seus níveis de esforço), não podemos 
representar o jogo através de uma matriz. 
• Logo, para encontrar o(s) equilíbrio(s) de Nash do 
jogo, devemos usar a função de melhor resposta, 
que pode ser representada graficamente. 
• Dado 𝑎2, a preferência do jogador 1 atinge 
máximo em: 𝑏1 𝑎2 = (𝑐 + 𝑎2) ÷ 2. 
• Por simetria, a preferência do jogador 2 é 
máxima em: 𝑏2 𝑎1 = (𝑐 + 𝑎1) ÷ 2. 
• Essas são as funções de melhor resposta, 
representadas no gráfico aa seguir. 
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Aula 2 
Exemplo (continuação) 
a1 
a2 
c 
c c/2 
c/2 
b2(a1) 
b1(a2) 
Equilíbrio 
de Nash 
Cada ponto no plano 
ao lado corresponde a 
um dos infinitos perfis 
de ações possíveis. 
As duas retas 
inclinadas contêm osperfis em que um 
jogador responde 
otimamente a uma 
ação qualquer do 
outro jogador. 
O equilíbrio de Nash é 
o ponto único em que 
as retas cruzam-se. 
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Aula 2 
Dominância 
• Tanto nos jogos quanto na vida, frequentemente 
há situações em que uma ação disponível para 
um jogador é inferior a outra independentemente 
do que os outros jogadores escolham. 
• Exemplo: Você dirige seu carro rumo a um sinal 
de trânsito que se encontra fechado. Na pista da 
direita, à frente, já há um carro parado no sinal. 
A pista da esquerda está livre. Tanto faz se o 
motorista parado no sinal pretende seguir 
adiante ou virar à direita na esquina: para você, 
é melhor tomar a pista da esquerda. 
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Aula 2 
Dominância 
• Em qualquer jogo, uma ação de um jogador 
domina estritamente outra ação dele se 
ela é superior, independentemente do que 
os outros jogadores façam. 
 DEFINIÇÃO: Em um jogo estratégico com 
preferências ordinais, a ação 𝑎𝑖
′′ do jogador 𝑖 
domina estritamente a sua ação 𝑎𝑖
′ se 
 
𝑢𝑖 𝑎𝑖
′′, 𝑎−𝑖 > 𝑢𝑖 𝑎𝑖
′, 𝑎−𝑖 
 
para cada lista 𝑎−𝑖 de ações dos outros 
jogadores. Dizemos neste caso que a 
jogada 𝑎𝑖
′ é estritamente dominada. 
Slide 37 IND1035 
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Aula 2 
Exemplo 
• Examine novamente o dilema de prisioneiros. 
• Observe que, para cada jogador, a ação de 
delatar domina estritamente a ação de calar. 
• Seja o que for que o outro escolha, cada 
jogador está melhor delatando do que calando. 
2,2 0,3 
3,0 1,1 
Cala 
Suspeito 2 
Delata 
Cala 
Delata 
Suspeito 1 
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Aula 2 
Dominância 
• Uma ação estritamente dominada não pode ser a 
melhor resposta de um jogador para qualquer ação 
dos outros jogadores. 
• Como um equilíbrio de Nash consiste em ações que 
são melhores respostas, podemos concluir que: 
 
 
 
 
• Consequentemente, quando buscamos equilíbrios 
de um jogo, podemos desconsiderar todas as ações 
estritamente dominadas. 
 
 
Uma ação estritamente dominada não é 
usada em nenhum equilíbrio de Nash. 
 
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Aula 2 
Dominância 
• Observe que uma ação estritamente dominada 
é incompatível com qualquer estado 
estacionário (i.e., equilíbrio) de um jogo. 
• Além disso, ela é incompatível também com 
um comportamento racional de um jogador 
que joga pela primeira vez. 
• Um jogador racional não deveria escolher 
ações estritamente dominadas. 
 
Slide 40 IND1035 
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Aula 2 
Teste 
• Nos jogos abaixo, apenas o ganho 
ordinal do jogador que joga nas 
linhas é mostrado. 
• Verifique se há ações estritamente 
dominadas para esse jogador. 
1 0 
2 1 
1 3 
T 
M 
L 
B 
R 
1 0 
2 1 
3 2 
T 
M 
L 
B 
R 
Slide 41 IND1035 
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Aula 2 
Dominância Fraca 
• Uma ação de um jogador domina fracamente outra 
ação dele se ela é pelo menos tão boa quanto a outra, 
independentemente do que os outros jogadores façam, 
e é superior, para algumas ações dos outros jogadores. 
 
DEFINIÇÃO: Em um jogo estratégico com preferências 
ordinais, a ação 𝑎𝑖
′′ domina fracamente a ação 𝑎𝑖
′ se 
 
𝑢𝑖 𝑎𝑖
′′, 𝑎−𝑖 ≥ 𝑢𝑖 𝑎𝑖
′, 𝑎−𝑖 
 
para cada lista 𝑎−𝑖 de ações dos outros jogadores e 
 
𝑢𝑖 𝑎𝑖
′′, 𝑎−𝑖 > 𝑢𝑖 𝑎𝑖
′, 𝑎−𝑖 
 
para alguma lista 𝑎−𝑖 de ações dos outros jogadores. 
Dizemos então que 𝑎𝑖
′ é fracamente dominada. 
Slide 42 IND1035 
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Aula 2 
Exemplo 
• No jogo ao lado, apenas 
o ganho ordinal do 
jogador que joga nas 
linhas é mostrado. 
• Verifique que: 
1. M domina fracamente T 
2. B domina fracamente M 
3. B domina estritamente T 
1 0 
2 0 
2 1 
T 
M 
L 
B 
R 
Slide 43 IND1035 
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Aula 2 
Exemplo 
• Uma ação fracamente dominada 
pode ser encontrada em um 
equilíbrio de Nash não estrito. 
• Nos dois jogos abaixo, B domina 
fracamente C, mas há um equilíbrio 
de Nash em (C,C). Também há um 
equilíbrio em (B,B). 
1,1 0,0 
0,0 0,0 
B C 
B 
C 
1,1 2,0 
0,2 2,2 
B C 
B 
C 
Slide 44 IND1035 
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Aula 2 
Teste 
• Verifique, para cada jogador, 
se há jogadas fracamente ou 
estritamente dominadas. 
• Encontre os equilíbrios de 
Nash, determinando se 
qualquer um deles é estrito. 
0,0 1,0 1,1 
1,1 1,1 3,0 
1,1 2,1 2,2 
L 
T 
M 
B 
C R 
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Exemplo: Eleições 
• Dois candidatos, A e B, disputam 
numa eleição um cargo público. 
• A eleição será decidida por maioria 
simples de votos dos eleitores, que 
são em número ímpar. 
• A maioria dos eleitores prefere o 
candidato A. 
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Aula 2 
Exemplo: Eleições 
• Jogadores: Os eleitores. 
• Ações: Para cada eleitor, o conjunto de 
ações é {A, B}, onde "A" representa votar 
no candidato A, e "B" representa votar no 
candidato B. 
• Preferências: 
– Todos os jogadores são indiferentes entre todos os 
perfis nos quais a maioria vota em A. 
– Todos os jogadores são indiferentes entre todos os 
perfis nos quais a maioria vota em B. 
– Alguns jogadores (a maioria) preferem os perfis do 
primeiro tipo. Outros (a minoria) preferem os perfis 
do segundo tipo. 
 
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Aula 2 
Exemplo: Eleições 
• Observe que, para cada eleitor, votar no 
candidato que ele não prefere é uma ação 
fracamente dominada pela ação de votar 
no seu candidato preferido. 
• No jogo eleitoral há equilíbrios de Nash 
nos quais as ações de alguns eleitores, ou 
até de todos, são fracamente dominadas. 
• Exemplo: o perfil de ações em que todos 
os eleitores votam no candidato B é um 
equilíbrio de Nash. A mudança de voto de 
qualquer um dos eleitores não altera o 
resultado da eleição. 
 
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Aula 2 
Jogos Simétricos 
DEFINIÇÃO: Em um jogo estratégico de dois 
jogadores com preferências ordinais é simétrico se 
os conjuntos de ações disponíveis aos jogadores são 
iguais e as preferências dos jogadores são 
representadas por funções 𝑢1 e 𝑢2 para as quais 
𝑢1 𝑎1, 𝑎2 = 𝑢2 𝑎2, 𝑎1 , para todo par 𝑎1, 𝑎2 
 
DEFINIÇÃO: Um perfil de ações 𝑎∗ em um jogo 
estratégico com preferências ordinais no qual cada 
jogador dispõe do mesmo conjunto de ações que os 
outros é um equilíbrio de Nash simétrico se ele é 
um equilíbrio de Nash e 𝑎𝑖
∗ é a mesma para todo 
jogador 𝑖. 
Slide 49 IND1035 
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Aula 2 
Exemplo 
• Os dois jogos abaixo são simétricos. 
• O jogo da esquerda tem dois 
equilíbrios de Nash simétricos. 
• O jogo da direita tem dois 
equilíbrios de Nash, mas eles não 
são simétricos. 
1,1 0,0 
0,0 1,1 
X Y 
X 
Y 
0,0 1,1 
1,1 0,0 
X Y 
X 
Y