TEORIA DOS JOGOS

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FERNANDO MORI – prof.fmori@gmail.com 
 
 
TEORIA DOS JOGOS 
FERNANDO MORI 
Fernando Mori 
Prof.fmori@gmail.com 
Resumo 
Breve introdução à teoria dos jogos para o curso de engenharia de produção 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
1 
 
 
TEORIA DOS JOGOS 
Introdução 
 
 A Teoria dos Jogos foi desenvolvida com a finalidade de analisar situações 
competitivas que envolvessem interesses conflitantes. Nessas situações, existem duas ou 
mais pessoas com objetivos diferentes, sendo que a ação de cada uma influência, mas não 
determina completamente o resultado do jogo. Além disso, admite-se que cada jogador 
sabe os objetivos de seu oponente. A Teoria dos Jogos fornece um resultado para este 
jogo, admitindo que cada um dos jogadores deseja maximizar seus ganhos. 
 A maioria dos jogos recreativos, como jogo da velha, damas, xadrez e outros, podem ser 
analisados como jogos de estratégia. Os jogos de azar, como roleta e dados não são jogos de 
estratégia, uma vez que uma pessoa ao jogar fica na dependência da sorte e não de análises 
racionais. 
 Existem várias situações como não são exatamente jogos e que podem ser analisadas pela 
teoria dos jogos. Chamamos de jogos a situações que envolvam interações entre agentes 
racionais que se comportam estrategicamente. 
 A seguir são dadas definições importantes para o entendimento da teoria dos jogos: 
- um jogo é um modelo formal de uma situação de interação estratégica ; 
- interações são as ações de cada jogador, que afetam todos os participantes; 
- jogador é qualquer indivíduo, ou grupo de indivíduos, com capacidade de decisão e que 
se utiliza da racionalidade para agir. 
- racionalidade é o uso dos meios mais adequados aos objetivos que se pretendem 
alcançar. 
- comportamento estratégico é o fato de cada jogador, ao tomar sua própria decisão, leva 
em consideração o fato de que os jogadores interagem entre si, e que, portanto, sua 
decisão terá consequências sobre os demais jogadores, assim como as decisões do 
demais jogadores terão consequências sobre ele. 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
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Exemplo: Jogo de Votação da Diretoria 
 
Imagine que a diretoria de uma empresa hipotética vai se reunir para definir, por meio de 
votação, os planos da empresa para o ano seguinte. 
 
Vamos supor que há apenas três decisões possíveis: 
- investir na construção de uma nova fábrica (Investir) 
- ampliar a fábrica já existente (Ampliar) 
- aplicar os recursos no sistema financeiro (Aplicar) 
 
Vamos supor também que, para facilitar a decisão, os diretores decidem votar em dois turnos: 
- Turno I: votam se Investem ou Ampliam 
- Turno II: decidem entre a escolha vitoriosa do Turno I e Aplicar 
 
A ordem de preferências dos diretores são as seguintes: 
Diretor 1 Diretor 2 Diretor 3 
Investir Aplicar Ampliar 
Aplicar Investir Investir 
Ampliar Ampliar Aplicar 
 
 
Caso não haja interação estratégica, o resultado da votação será o seguinte: 
1o. Turno: Investir ou Ampliar 
 Diretor 1: Investir 
 Diretor 2: Investir 
 Diretor 3: Ampliar 
 Escolha Vencedora: Investir 
 
2o. Turno: Investir ou Aplicar 
 Diretor 1: Investir 
 Diretor 2: Aplicar 
 Diretor 3: Investir 
 Escolha Vencedora: Investir 
 
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3 
 
 
Caso o Diretor 2 resolvesse agir estrategicamente, conhecendo as preferências dos outros 2: 
1o. Turno: Investir ou Ampliar 
 Diretor 1: Investir 
 Diretor 2: Ampliar 
 Diretor 3: Ampliar 
 Escolha Vencedora: Ampliar 
 
2o. Turno: Ampliar ou Aplicar 
 Diretor 1: Aplicar 
 Diretor 2: Aplicar 
 Diretor 3: Ampliar 
 Escolha Vencedora: Aplicar (que era a preferência inicial do Diretor 2) 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESTRATÉGIAS 
 Estratégia é uma descrição completa de como uma pessoa deverá agir sob quaisquer 
circunstâncias possíveis. 
 Quando não há dúvida sobre como o jogador deve agir dizemos tratar-se de uma estratégia 
pura e quando as decisões se baseiam em probabilidades estamos diante de uma estratégia 
mista. 
Descrição de um jogo 
Considere o jogo descrito a seguir: 
Temos uma mesa com quatro quadrados 1,2 3 e 4. 
 
 
 
 
Dois jogadores participam do jogo: Jogador I tem o movimento de abertura em que ele escolhe 
um dos quadrados. Em vezes sucessivas cada um dos jogadores vai escolhendo cada um dos 
quadrados segundo as regras: 
1) Um quadrado é escolhido se não foi escolhido anteriormente por outro jogador. 
2) O quadrado 4 não pode ser escolhido se o 2 ou o 3 foi escolhido anteriormente. 
3) O jogo termina quando o quadrado 1 for escolhido. O jogador que escolher o 
quadrado 1 perde o jogo. 
Uma descrição gráfica deste jogo é: 
 
 
 
Cada círculo é uma decisão do jogador. Este jogo está na forma extensiva. 
1 
4 3 
2 
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Jogos com movimentos probabilísticos 
No jogo anterior, a transição de um estado peara outro foi feita por ações tomadas pelos 
jogadores. Tal modelo é apropriado para jogos de xadrez por exemplo, mas para jogos de 
cartas isso não ocorre. É possível pensarmos em situações em que as transições de um estado 
para outro dependem de outros fatores tais como, o tempo, as oscilações de índices de 
mercado, etc.. 
Exemplo: Considere um jogo em que o jogador I tem a opção de escolher entre a ação a, que 
leva ao fim do jogo com prêmio (0,0) e a ação b que leva a um movimento probabilístico em A. 
Em A temos uma loteria (moeda) com probabilidade ½ de cara ou coroa levando ao estado B. 
No estado B o jogador II escolhe entre a ação f levando ao fim do jogo com prêmio (2,0) e a 
ação levando ao estado D o qual é um movimento aleatório. No estado C o jogador escolhe 
entre a ação g levando ao fim do jogo com prêmio (1,1) e a ação h levando ao vértice com 
movimento aleatório E. 
 
 
 
Se tivermos estratégias para o jogo, escolhidas pelos jogadores I e II tais que: 
 
( ) ( )
( )
I I
II
S R b S C h
S B f
= =
=
 
Os seguintes resultados podem ocorrer: 
 
1
(2,0) com probabilidade 
2
1 1 1
(0,2) com probabilidade .
2 4 8
1 1 1
( 1,1) com probabilidade 
2 2 4
1 1 1
(1,1) com probabilidade 
4 2 8
R A B
R A C E
R A C E
R A C E
→ → →
→ → → → =
→ → → → − =
→ → → → =
 
 
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Jogos com informação imperfeita 
Uma das propriedades mais importantes dos jogos é que em cada estágio do jogo cada jogador 
tem conhecimento perfeito do desenvolvimento do jogo anterior a este estágio. Ele conhece 
exatamente as ações executadas pelos outros jogadores e se existem movimentos 
probabilísticos quais resultados possíveis de ocorrer. 
Um jogo deste tipo é chamado de jogo com informação perfeita. 
Podemos ter jogos em que a informação não é perfeita como no exemplo: 
Exemplo: Considere o jogo em que cada jogador escolhe o lado de uma moeda (cara ou coroa) 
da seguinte forma: cada jogador coloca em um envelope um pedaço de papel no qual a 
escolha foi escrita. O envelope é fechado e entregue a um juiz. Se ambos escolherem o mesmo 
lado da moeda, o jogador II paga 1 real ao jogador I. Se eles escolherem lados opostos das 
moedas, o jogador I paga um real ao jogador II. 
 
 
Quando o jogador II faz a escolha entre h e t ele não sabe se o jogo está no vértice A ou vértice 
B pois ele não conhece a escolha do jogador I. 
Este é um jogo com informação imperfeita. 
Os vértices A e B formam um conjunto de informações do jogador II. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Jogos na forma estratégica. 
Exemplo: Considere o jogo pedra, papel, tesoura em que cada um dos jogadores escolhe uma 
ação a partir de 3 alternativas: pedra, papel e tesoura. A ação é selecionada pelos jogadores 
simultaneamente com a dominação circular entre as três alternativas:pedra esmaga tesoura, 
que corta papel, que embrulha pedra. 
O jogo na forma extensiva fica: 
 
 
 
Atribuindo o prêmio do jogador como sendo 1 para ganhar e -1 para perder e 0 para empate 
temos o jogo na forma estratégica dado abaixo: 
 
 Jogador II 
 
Jogador I 
 
 
Em cada célula da figura o numero a esquerda representa o prêmio do jogador I e o do lado 
direito o prêmio do jogador II. 
 
 
 
 
 
 pedra papel tesoura 
pedra (0,0) (1,-1) (1,-1) 
papel (1,-1) (0,0) (-1,1) 
tesoura (-1,1) (-1,1) (0,0) 
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Dominação 
Uma primeira busca da solução do jogo: eliminando estratégias estritamente dominadas 
Em alguns casos, os jogadores têm uma ou mais opções de estratégia que proporcionam 
resultados melhores do que alguma outra estratégia, não importando o que os demais 
jogadores façam. 
 
Exemplo 1: Considere a seguinte situação de interação estratégica. 
A empresa de sabão em pó Limpo tem de decidir se lança, ou não, uma marca biodegradável 
para competir com o produto biodegradável de sua concorrente, a empresa Bonito. Esta última, 
por sua vez, tem de decidir se aumenta, ou não, os gastos de propaganda com o seu produto. 
Os lucros de cada empresa estão apresentados de forma estratégica a seguir, em milhões de 
reais. 
 
 Bonito 
Limpo Aumentar os gastos com 
publicidade 
Não aumentar os gastos com 
publicidade 
Lançar o produto 
biodegradável 
5,5 7,3 
Não lançar o produto 
biodegradável 
2,4 2,7 
 
Observar que não importa o que a empresa Bonito decida, é sempre melhor para a empresa 
Limpo lançar seu produto biodegradável. 
 
Utilizando os termos empregados pela Teoria dos Jogos, no caso do jogador Limpo, a estratégia 
{Lançar o Produto Biodegradável} domina a estratégia {Não lançar o produto biodegradável}. 
 
Podemos dizer que o jogador Limpo possui uma estratégia estritamente dominante sobre outra 
dominada. 
 
Note que todas as recompensas da estratégia {Lançar o produto biodegradável} são 
estritamente maiores do que as recompensas da estratégia (não lançar o produto 
biodegradável}. Nesse caso diz-se que a primeira estratégia é estritamente dominante em 
relação à outra. 
 
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Mas, além de estratégias estritamente dominantes, também podemos ter casos em que uma 
estratégia é melhor do que a outra em pelo menos uma situação, sendo no restante das vezes 
apenas tão boa quanto esta outra. 
 
Veja o exemplo anterior ligeiramente reformulado: 
 
 Bonito 
Limpo Aumentar os gastos com 
publicidade 
Não aumentar os gastos com 
publicidade 
Lançar o produto 
biodegradável 
2,5 7,3 
Não lançar o produto 
biodegradável 
2,4 2,7 
 
Aqui, para a empresa Limpo, a estratégia {Lançar o produto biodegradável} é fracamente 
dominante em relação à estratégia {Não lançar o produto biodegradável}. 
Eliminação Iterativa de Estratégias Estritamente Dominadas 
O método mais simples para se determinar o resultado de um jogo simultâneo é a chamada 
eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas. 
Situação Hipotética: 
Duas, empresas, X e Y, competem no mercado automobilístico. A empresa Y já tem seu carro 
utilitário, que é um sucesso, enquanto a empresa X ainda não oferece nenhum modelo 
utilitário. 
 
A empresa X tem 3 opções: 
- importar o utilitário de sua matriz estrangeira; 
- produzir o utilitário nacionalmente; 
- permanecer fora do segmento de utilitários. 
 
A empresa Y pode responder às escolhas de X de três formas: 
- mantendo o preço de seu modelo; 
- diminuindo o preço de seu modelo; 
- lançando uma nova versão dos eu modelo. 
 
Vamos supor que as empresas tomam suas decisões ao mesmo tempo, no momento de finalizar 
seu planejamento anual, sem conhecer as decisões uma da outra. 
 
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Como são empresas experientes no mercado e que já competiram entre si em outras 
oportunidades, conhecem o comportamento dos consumidores e fazem uma estimativa 
bastante razoável dos seus lucros e dos lucros da rival em cada situação. 
 
 Empresa Y 
Empresa X Lançar Nova Versão Manter Preço Reduzir Preço 
Lançar Modelo 
Próprio 
1,4 4,1 1,3 
Importar da Matriz 2,2 2,1 2,3 
Não Competir com a 
Empresa Y 
1,1 0,6 1,0 
 
Como se pode observar, a Empresa Y não possui estratégia estritamente dominante. 
 
Para a Empresa X, a estratégia {Não Competir com a Empresa Y} sempre resulta em uma 
recompensa pior do que {Importar da Matriz}, independentemente da escolha que a Empresa Y 
faça, ou seja, {Não Competir com a Empresa Y} é estritamente dominada por {Importar da 
Matriz}. 
 
Portanto Eliminação Iterativa da 1a. Estratégia Estritamente Dominada. 
 
 Empresa Y 
Empresa X Lançar Nova Versão Manter Preço Reduzir Preço 
Lançar Modelo 
Próprio 
1,4 4,1 1,3 
Importar da Matriz 2,2 2,1 2,3 
Não Competir com a 
Empresa Y 
1,1 0,6 1,0 
 
 
 
 
 
 
Estratégia Estritamente Dominada 
(recompensa sempre pior que as 
demais estratégias) 
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Exemplo: Considere um jogo de 2 jogadores no qual o jogador I escolhe uma linha e o jogador 
II escolhe coluna. 
 Jogador II 
 
Jogador I 
 
 
Se o jogador I joga T o prêmio do jogador II usando a estratégia M é 2, comparando com 
somente 1 sob a estratégia R. 
Se o jogador I joga B, o prêmio do jogador II sob a estratégia M é 1 comparado com 0 sob a 
estratégia R. 
Vemos que independente da estratégia do jogador I, a estratégia M sempre fornece um 
prêmio maior ao jogador II que a estratégia R. 
 
Hipótese: Um jogador racional não irá escolher uma estratégia que seja totalmente dominada. 
No jogo em questão dizemos que a estratégia R é estritamente dominada pela estratégia M. 
Assim eliminamos a estratégia R. 
Jogador II 
 Jogador I 
 
 
A estratégia B é estritamente dominada pela estratégia T para o jogador I. 
Assim eliminamos a estratégia B: 
 
 Jogador II 
 Jogador I 
 
 
O jogador II escolhe M com prêmio 2. 
 
 
 
 L M R 
T (1,0) (1,2) (0,1) 
B (0,3) (0,1) (2,0) 
 L M 
T (1,0) (1,2) 
B (0,3) (0,1) 
 L M 
T (1,0) (1,2) 
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Exemplo: Dilema do prisioneiro 
Duas pessoas que cometeram um crime sério são presas. Na falta de evidencias que 
incriminem estas pessoas, a polícia pode obter indiciamento convencendo um (ou ambos) 
prisioneiros a confessar o crime. Os policiais dão a cada um dos prisioneiros, ambos em celas 
separadas e sem comunicação as seguintes escolhas: 
1) Se você confessar e seu amigo recusar a confessar você será solto. 
2) Se você recusar a confessar e seu amigo confessar, você recebe a pena máxima (10 
anos) pelo crime. 
3) Se ambos recusarem confessar, serão acusados com um ano de prisão cada. 
4) Se ambos confessarem, a pena será reduzida para 6 anos de prisão cada. 
A situação é um jogo estratégico com duas estratégias confessar (C ) o crime e não confessar 
(NC) o crime. Os prêmios da tabela estão em anos de prisão. 
 
 Jogador II 
 
 Jogador I 
 
Lembrando do conceito de utilidade já visto anteriormente, podemos representar o problema 
em termos de utilidade para o tomador de decisão: 
U(solto) = 5 , U(um ano de prisão) = 4 , U(6 anos de prisão) = 1 , U(10 anos de prisão) = 0. 
Em termos da utilidade nossa tabela de prêmios fica: 
 
 Jogador II 
 
 Jogador ISe o jogador I começar então ele escolhe a estratégia C que domina a estratégia NC. Em 
seguida o jogador II escolhe C que domina NC. 
Se o jogador II começa então ele escolhe a estratégia C que domina NC, em seguida o jogador I 
escolhe C que domina sobre NC. A melhor estratégia é que ambos confessem C e C com 
prêmio (1,1). 
O que torna o jogo interessante é que se ambos os jogadores escolhem estratégia C, o prêmio 
que eles recebem é (4,4), o que é preferível para ambos. O par de estratégias (NC,C) é instável 
porque cada jogador pode desviar e ganhar um prêmio maior que 0. 
 
 
 C NC 
C (6,6) (0,10) 
NC (10,0) (1,1) 
 C NC 
C (1,1) (5,0) 
NC (0,5) (4,4) 
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Exemplo: Podemos ter casos em que não existem estratégias estritamente dominadas, mas 
estratégias fracamente dominadas. 
Considere o jogo com a matriz de prêmios: 
 
 Jogador II 
 
 Jogador I 
 
Não existe estratégia dominada neste jogo. 
No entanto a estratégia B garante um prêmio maior para I em relação e estratégia T, em 
especial se o jogador II escolher a estratégia L, B é estritamente melhor que T. 
Neste caso dizemos que B domina fracamente a estratégia T. 
 
Quando estratégias estritamente dominadas estão envolvidas em um processo de eliminação 
iterada, o resultado é independente da ordem em que as estratégias são eliminadas. Na 
eliminação iterada de estratégias fracamente dominadas o resultado pode ser sensível a 
ordem de eliminação. 
Exemplo: 
 Jogador II 
 
 Jogador I 
 
 
Consideremos três procedimentos de eliminação de estratégias dominadas conforme dadas a 
seguir: 
1) Jogador I elimina T, jogador II elimina R, jogador I elimina B e jogador II elimina C. O 
resultado será M,L com prêmio (2,2) . 
2) Jogador I elimina B, jogador II elimina L, jogador I elimina T e jogador II elimina C. O 
resultado será M,R com prêmio (3,2). 
 
Como não existem estratégias estritamente dominantes, a ordem de eliminação de 
estratégias fracamente dominadas leva a resultados distintos para o jogo. 
 
 
 
 L R 
T (1,2) (2,3) 
B (2,2) (2,0) 
 L C R 
T (1,2) (2,3) (0,3) 
M (2,2) (2,1) (3,2) 
B (2,1) (0,0) (1,0) 
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ESTABILIDADE: Equilíbrio de Nash 
 
A dominância é um conceito importante que nos leva diretamente ao conceito de estabilidade 
em um jogo, ou seu equilíbrio de Nash. 
Um jogador que conhece as estratégias usadas por outros jogadores está em efeito jogando 
um jogo no qual ele deve escolher uma estratégia. Se este jogador for racional ele irá escolher 
a melhor resposta possível a estratégia usada por outros jogadores. 
O Equilíbrio de Nash representa uma situação em que, em um jogo envolvendo dois ou mais 
jogadores, nenhum jogador tem a ganhar mudando sua estratégia unilateralmente. 
Para melhor compreender esta definição, suponha que há um jogo com n participantes. No 
decorrer deste jogo, cada um dos n participantes seleciona sua estrategia ótima, ou seja, aquela 
que lhe traz o maior benefício. Então, se cada jogador chegar à conclusão que ele não tem como 
melhorar sua estratégia dadas as estratégias escolhidas pelos seus n-1 adversários (estratégias 
dos adversários não podem ser alteradas), então as estratégias escolhidas pelos participantes 
deste jogo definem um "equilíbrio de Nash". 
Dois jogadores A e B estão em um Equilíbrio de Nash se a estratégia adotada por A é a melhor 
dada à estratégia adotada por B e a estratégia adotada por B é a estratégia ótima dada a adotada 
por A. Ou seja, nenhum dos jogadores pode aumentar seu ganho alterando, de forma unilateral, 
sua estratégia. 
Exemplo: Equilíbrio de Nash no Dilema dos Prisioneiros 
Prisioneiro 1 
Prisioneiro 2 
Coopera Trai 
Coopera -1 . -1 -6 , 0 
Trai 0 , -6 -3 , -3 
 
O dilema dos prisioneiros possui somente um par de ações configurando um equilíbrio de Nash: 
(trai, trai) é um equilíbrio de Nash, pois dado que o jogador 2 escolheu trair a melhor 
escolha para o jogador 1 é trair, já que essa alternativa oferece um pagamento maior 
que cooperar. Além disso, dado que o jogador 1 escolheu trair, o jogador 2 não possui 
nenhuma escolha melhor que trair também. 
(coopera, coopera) não é um equilíbrio de Nash, pois se o jogador 1 escolher cooperar 
o pagamento que o jogador 2 receberá ao escolher trair é maior que escolher cooperar. 
(coopera, trai) não é um equilíbrio de Nash, pois dado que o jogador 2 escolhe trair, o 
jogador 1 teria um pagamento maior escolhendo trair também. 
(trai, coopera) não é um equilíbrio de Nash, pois dado que o jogador 1 escolhe trair, o 
jogador 2 teria um pagamento maior escolhendo trair também. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/John_Forbes_Nash
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Prisioneiro 1 
Prisioneiro 2 
Coopera Trai 
Coopera -1 . -1 -6 , 0 -3,5 
Trai 0 , -6 -3 , -3 -1,5 
 -3,5 -1,5 
 
Aplicado na Teoria dos Jogos, o Equilíbrio de Nash (ou Equilíbrio Cooperativo) representa uma 
situação em que nenhum jogador pode melhorar a sua situação dada a estratégia seguida pelo 
jogador adversário. Um par de estratégias EA e EB, em que EA é a estratégia seguida pelo jogador 
A e EB é a estratégia seguida pelo jogador B diz-se um Equilíbrio de Nash se não for possível a 
nenhum dos jogadores melhorar a sua situação dada a estratégia do outro jogador. 
 
 
Definição matemática para o Equilíbrio de Nash: 
Deixe (S, f) ser um jogo com n participantes, onde Si é o conjunto de estratégias possíveis para o 
participante i, S=S1 X S2 … X Sn é o conjunto de estratégias que especificam todas as ações em 
um jogo (somente uma estratégia por participante) e f=(f1(x), …, fn(x)) é a função do premio. 
Deixe x − i ser o conjunto de estratégias de todos os jogadores com exceção do jogador i. Quando 
cada jogador i {1, …, n} seleciona sua estratégia xi resultando no conjunto de estratégias x = 
(x1, …, xn) então o jogador i obtém o payoff fi(x). Note que o premio depende da estratégia 
selecionada pelo jogador i e também pelas estratégias escolhidas pelos seus adversários. Um 
conjunto de estratégias x* S é um equilíbrio de Nash caso nenhuma alteração unilateral da 
estratégia é rentável para este jogador, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.notapositiva.com/dicionario_economia/teoriadojogos.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Payoff
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Exemplo 1: 
 
 
 
 Jogador II 
 
 Jogador I 
 
Se o jogador II sabe que o jogador I escolherá T, ele escolherá L que é sua melhor resposta 
a T. 
Se o jogador I sabe que o jogador II escolherá L, então ele escolherá M, que é sua melhor 
resposta a L. 
Se o jogador II sabe que o jogador I escolherá M, ele escolherá C que é sua melhor 
resposta a M. 
Se o jogador I sabe que o jogador II escolherá C, ele escolherá T que é sua melhor resposta 
a C. 
Se o jogador II sabe que o jogador I escolherá B, então ele escolhe R que é sua melhor 
resposta a B. 
Se o jogador I sabe que o jogador II escolhe R, ele escolherá B que é sua melhor resposta a 
R.O par de estratégias B,R satisfaz uma propriedade de estabilidade: cada estratégia neste 
par é a resposta a outra estratégia. 
Supondo que os jogadores escolhem B,R nenhum deles tem um desvio lucrativo, ou seja 
nenhum deles tem uma estratégia que garante um prêmio maior que B,R. 
Esta propriedade de estabilidade é chamada de equilíbrio de Nash. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 L C R 
T (0,6) (6,0) (4,3) 
M (6,0) (0,6) (4,3) 
B (3,3) (3,3) (5,5) 
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Exemplo 2: Batalha dos sexos 
Umcasal está tentando planejar o que fazer no fim de semana. As alternativas são ir a um 
concerto (C ) ou assistir a uma partida de futebol (F) . O homem prefere o futebol, e a 
mulher o concerto, mas ambos querem ficar juntos. A matriz de prêmios para este jogo é: 
 
 
 Mulher 
 Homem 
 
 
Temos dois pontos de equilíbrio F,F com prêmio (2,1) e C,C com prêmio (1,2). 
O homem prefere F,F e a mulher prefere C,C. 
Exemplo: Temos duas firmas que estão decidindo no mesmo instante entre duas 
estratégias que são fazer propaganda ou não fazer propaganda, com a matriz de prêmios 
dada abaixo: 
 
 Firma B 
 Firma A 
 
 
Determine o equilíbrio de Nash se houver. 
1) A escolhe F e B escolhe F. 
2) B escolhe F e A escolhe F. 
São estratégias dominantes e portanto o equilíbrio de Nash ocorre em F,F com prêmio 
(10,5). 
 
 
 
 
 
 
 
 F C 
F (2,1) (0,0) 
C (0,0) (1,2) 
 Fazer Não fazer 
Fazer (10,5) (15,0) 
Não fazer (6,8) (10,2) 
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Exemplo 3: Suponha que duas operadoras do setor de turismo estão decidindo 
simultaneamente qual pacote de turismo (C ou D) irão lançar de acordo com a obtenção 
de lucros. Determine se houver o equilíbrio de Nash. 
 Operadora B 
Operadora A 
 
 
Não existe equilíbrio de Nash para este jogo. 
 
 
 
 
Exemplo 4: Considerando a matriz abaixo com seus ganhos, se (A,E) é um equilíbrio de 
Nash, que relações devem ser satisfeitas? 
 Operadora 2 
Operadora 1 
 
 
Para a operadora 1 : a > e , c > g. 
Para a operadora 2: b > d, f > h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 C D 
C (2,3) (3,2) 
D (4,2) (1,5) 
 esquerda direita 
alto (a,b) (c,d) 
baixo (e,f) (g,h) 
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 Exemplo 5: Supondo o seguinte jogo entre dois jogadores cada qual com três estratégias 
possíveis (A,B,C) com seus respectivos prêmios. 
 Jogador2 
 
Jogador 1 
 
 
a). Determine as estratégias dominantes e dominadas. 
b). Os equilíbrios de Nash. 
 
a) Não existe estratégia estritamente dominante para nenhum jogador. 
Para o jogador 1 a estratégia B1 é dominada por A1 e C1 mas C1 não domina A1. 
Para o jogador 2 a estratégia B2 é estritamente dominada por A2 e C2 porem C2 não 
domina A2. 
b) Os equilíbrios de Nash: Se o jogador I começa então ele elimina B1, o jogador II elimina 
B2. A seguir o jogador I pode escolher A1 ou C1 pois nenhuma domina a outra. Se ele 
escolher A1 então o jogador II escolhe A2 e a solução é o ponto (4,1). Se ele escolher C1 
então o jogador II escolhe C2 e o ponto (1.5,3) é solução. 
Se o jogador II começa então ele elimina B2, o jogador I elimina B1, o jogador II pode 
escolher A2 ou C2. Se ele escolhe A2 então o jogador I escolhe A1 e o ponto (4,1) é solução 
do jogo. Se ele escolhe C2, então o jogador I escolhe C1 e a solução é (1.5,3). 
Os pontos (4,1) e (1.5,3) são equilíbrios de Nash. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A2 B2 C2 
A1 (4,1) (9,0) (1,0.5) 
B1 (2,3) (7,2) (0.5,2.5) 
C1 (3,2) (8,1.5) (1.5,3) 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
20 
 
 
 
Exemplo 6: De acordo com o jogo abaixo, onde duas firmas estão decidindo, no mesmo 
instante, entre duas estratégias, que são Fazer Propaganda ou Não Fazer Propaganda, 
determine: 
 Firma B 
 Fazer Não Fazer 
 Firma A Fazer 10 ; 5 15 ; 0 
 Não Fazer 6 ; 8 10 ; 2 
 
a) o equilíbrio de Nash e o equilíbrio com estratégias dominantes, apontando quais são as 
estratégias dominantes e dominadas para cada uma das firmas; 
b) os novos equilíbrios de Nash e com estratégia dominante; se os ganhos para cada firma, 
quando não fizerem propaganda fossem (20;10) em vez de (10;2). Qual a conclusão que se 
obtêm em relação ao Equilíbrio de Nash? 
 a) o equilíbrio com estratégias dominantes e o de Nash é: (10; 5); as estratégias dominantes 
para ambas firmas são Fazer Propaganda, e as dominadas para ambas são Não Fazer; b) os 
equilíbrios de Nash serão: (10; 5) e (20; 10); mas não existirá estratégia dominante para 
nenhuma firma; c) todo equilíbrio com estratégias dominantes é um equilíbrio de Nash, mas 
nem todo equilíbrio de Nash é um equilíbrio com estratégias dominantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
21 
 
Exemplo 7: Supondo que um mercado está sendo disputado por duas firmas (F1 e F2), sendo 
F1 a firma que está operando no mercado e F2 a entrante em potencial. As estratégias para cada 
firma são as seguintes: para F1 cobrar preço alto, sendo os lucros do mercado iguais a $100, ou 
cobrar preço baixo, com lucros de mercado iguais a $40; e para F2 entrar no mercado ou não 
entrar. Sabendo ainda que para entrar no mercado a F2 tem que investir $40 na construção de 
uma fabrica e que ambas dividirão os lucros do mercado, determine: 
a) a representação desse jogo na forma normal e encontre o equilíbrio de Nash; 
b) a representação desse jogo na forma extensiva e encontre sua solução; 
c) se a estratégia da F1 de cobrar preço baixo, para desencorajar a entrada de F2l pode interferir 
na decisão dela. 
 
a) A representação do jogo é : 
 
 F1 
 
F2 
 
 
 a) os equilíbrios de Nash é: (50;10); b) o equilíbrio de Nash será: (50;10); c) a F1 não consegue 
interferir na decisão da F2, e o equilíbrio permanece o mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Entrar Não entrar 
Preço alto (50,10) (100,0) 
Preço baixo (20,-20) (40,0) 
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22 
 
 
Exemplo 8: Suponha dois vendedores que veem, simultaneamente, entrar um cliente em 
uma loja. Ambos estão perto do cliente. Se um deles aborda o cliente, ele marca um ponto na 
sua avaliação com o gerente da loja, o que pode lhe render uma promoção ao fim do mês, 
enquanto o outro que não abordou perde um ponto, pois não mostrou iniciativa, e muito 
provavelmente perde a promoção. E nenhum dos dois aborda o cliente, nenhum deles marca 
ponto com o cliente. Mas, se os dois abordam o cliente, ele fica irritado e vai embora, e, cada 
um dos dois perde um ponto com o gerente. Modele esse jogo, na foram estratégicas, supondo 
que nenhum dos dois tem tempo de perceber o que o outro irá fazer. 
 
 
Resolução: 
Jogo Simultâneo 
 V 2 
V1 Aborda Não Aborda 
Aborda -1,-1 1,-1 
Não Aborda -1,1 0,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
23 
 
 
 
Exemplo 9: Determine o equilíbrio a partir da forma estratégica dos jogadores A 
(linhas) e B (colunas) a seguir, utilizando a eliminação iterativa de estratégias 
estritamente dominadas. 
 B(1) B(2) B(3) B(4) 
A(1) 3,0 1,1 5,4 0,2 
A(2) 1,1 3,2 6,0 2,-1 
A(3) 0,2 4,4 7,2 3,0 
 
 
 Resolução: 
 
 B(1) B(2) B(3) B(4) 
A(1) 3,0 1,1 5,4 0,2 
A(2) 1,1 3,2 6,0 2,-1 
A(3) 0,2 4,4 7,2 3,0 
 
 2) B(2) x B(1) 
1) B(3) x B(4) 
 5) B(2) x B(3) 
Resposta: Combinação de Estratégias A(3) com B(2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
24 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS JOGOS 
 Jogos de soma zero e jogos de soma não-zero 
 Os jogos de soma zero são aqueles em que os interesses dos participantes são 
diametralmente opostos. O ganho de um jogador necessariamente corresponde a uma perda 
de igual magnitude de outro jogador. Dessa forma não há a criação de riqueza, apenas a 
transferência de riqueza de um jogador para outro.Quando o que um jogador perde pode não ser necessariamente o que o outro jogador ganha, 
ou seja, quando ambos podem ganhar ou ambos perder, temos um jogo de soma não zero. 
 Os jogos de soma zero podem ser analisados mais facilmente, pois o objetivo de cada jogador 
é claramente obter o máximo de recompensa e, portanto, prejudicar ao máximo o oponente. Já 
nos jogos de soma não zero existem possibilidades que devem ser conhecidas anteriormente, 
como a intenção em cooperar. 
 A matriz de um jogo de soma zero apresenta números opostos em cada célula e por isso 
podemos indicar apenas as recompensas do jogador das linhas, já as recompensas do jogador 
das colunas são as mesmas com os sinais trocados. 
 
 jogador 2 
jogador 1 
estratégia c estratégia d 
estratégia a 3,-3 1,-1 
estratégia b -2,2 -2,2 
 
 jogador 2 
jogador 1 
estratégia c estratégia d 
estratégia a 3 1 
estratégia b -2 -2 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
25 
 
 
2 – Jogos simultâneos e jogos sequenciais 
 Jogos simultâneos são aqueles em que as escolhas das estratégias acontecem ao mesmo 
tempo, ou se eles não se movem simultaneamente, ao menos os jogadores desconhecem 
previamente as ações de seus adversários. 
 Jogos sequenciais são aqueles que se desenvolvem em etapas sucessivas, assim os jogadores 
tomam suas decisões baseados nas decisões anteriores dos adversários. 
 
3 – Jogos cooperativos e jogos não-cooperativos 
 Os jogos cooperativos são aqueles em que a comunicação prévia é permitida entre os 
jogadores, antes de decidirem as estratégias que irão ser adotadas, sendo que dessa forma os 
jogadores podem combinar estratégias e dessa forma dizemos que estão cooperando. 
 Na situação oposta, ou seja, quando os jogadores não têm oportunidade para estabelecer 
estratégias comuns, visando o bem geral, são chamados de jogos não-cooperativos. 
 
4 – Jogos de informação perfeita e jogos de informação imperfeita 
 Um jogo é de informação perfeita quando todos os jogadores conhecem todas as 
informações importantes antes de tomarem suas decisões. Se algum jogador, em algum 
momento do jogo, tem de tomar uma decisão sem conhecer alguma informação importante, o 
jogo é de informação imperfeita. 
 
5 – Jogos simétricos e jogos assimétricos 
 Um jogo é simétrico quando a posição do jogador não é importante, nenhum jogador possui 
vantagem por ocupar determinada posição no jogo. Caso contrário o jogo é assimétrico. 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
26 
 
6 – Jogos repetitivos 
 São aqueles em que se realizam em etapas sucessivas em que as opções de estratégias não 
mudam, de forma que em cada etapa cada jogador deve decidir se mantêm ou altera suas 
opções 
 
MÉTODOS DE SOLUÇÕES DE JOGOS 
 
 
1 – Estratégia dominante 
 Se uma das estratégias de um jogador for sempre melhor que as demais, independente das 
estratégias adotadas pelos oponentes, será escolhida pelo jogador. 
2 – Minimax e Maximin 
 Bastante útil na solução de jogos estritamente competitivos. Um dos jogadores tenta impor 
a maior perda possível ao outro (o mínimo dos máximos disponíveis ao adversário) e este tenta 
se defender garantindo a menor perda possível ( o máximo dos mínimos de que dispõe). 
Neste critério, o jogador 1 deve escolher uma estratégia cujo prêmio mínimo seja o maior, ao 
passo que o jogador 2 deve escolher aquela cujo prêmio máximo para o jogador 1 fosse o menor 
possível. Esta é a estratégia do mínimo máximo para o jogador 1 e estratégia 2 é a estratégia do 
máximo mínimo para o jogador 2 
 Quando um jogador possuir informações de que seu opositor tentará lhe infligir o maior 
prejuízo possível talvez seja conveniente analisar a situação escolhendo o máximo entre os 
mínimos disponíveis. 
 Quando um jogador pretende infligir o maior prejuízo possível a seu adversário pode 
escolher o mínimo entre as maiores recompensas que o outro possui. 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
27 
 
 
Exemplo 1: Resolva o jogo usando a estratégia maxmin. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como A pensa que B será o mais desagradável possível e por isso se escolher M, B escolherá Q, 
que é o pior para A. Se escolher N ou P, B escolherá R. Dentre os piores resultados de que dispõe 
o jogador A escolherá a estratégia M, que corresponde a recompensa 4, que é o máximo dos 
mínimos (maxmin). 
 Como B pensa que A será o mais desagradável possível e por isso se escolher Q, A escolherá 
P, que é o pior para B. Se escolher R, A escolherá N. Então B prefere escolher Q, que corresponde 
a recompensa de 4, que é o máximo dos mínimos (maxmin) 
 Quando se opta pelo maxmin diz-se que os jogadores estão utilizando o “nível de segurança” 
que significa que estão agindo com precaução, mas isso sugere muito pessimismo na análise. 
 Vamos utilizar esta estratégia em um jogo de soma zero, onde é mais útil, por ser 
estritamente competitivo. A matriz a seguir contém apenas as recompensas do jogador das 
linhas. 
 A solução pode ser encontrada escolhendo o maior entre os menores resultados das linhas 
(jogada do jogador das linhas) e o menor entre os maiores resultados das colunas (jogada do 
jogador das colunas). 
 
 
 
 jogador B 
jogador A 
Q R 
M 4,5 5,9 
N 3,6 2,3 
P 2,4 1,10 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
28 
 
 
 
 
Exemplo 2: Resolva o jogo entre as empresas pela estratégia maxmin 
 
 
 Dessa forma a empresa A escolherá a estratégia A2 enquanto que a empresa B escolherá a 
estratégia B2. 
 
 
Exemplo 3: 
O conceito de equilíbrio não descreve sempre o comportamento esperado dos jogadores 
racionais, mesmo em casos em que um ponto de equilíbrio existe e é único: 
 Jogador 2 
 
Jogador 1 
 
 
Um equilíbrio de Nash neste jogo é (B,R) com prêmio (3,3). 
 empresa B 
empresa A 
B1 B2 B3 B4 Min Linha 
A1 10 0 11 -1 -1 
A2 8 7 8 10 7 
A3 0 6 -7 7 -7 
Max Coluna 10 7 11 10 
 L R 
T (2,1) (2,-20) 
M (3,0) (-10,1) 
B (-100,2) (3,3) 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
29 
 
Este é um resultado provável, mas podemos imaginar o jogador hesitando para escolher B, se o 
jogador 2 escolher L? Se o resultado (B,L) for catastrófico para o jogador I ele pode escolher a 
estratégia T, garantindo um prêmio de somente 2 (comparando com o prêmio de equilíbrio de 
3), mas também evitando que ele possa ter -100 ao invés. 
Se o jogador II estiver consciente desta hesitação, e acreditar que existe chance do jogador I 
escolher T para se proteger, ele também irá hesitar em escolher R ( e se arriscando a um prêmio 
de -20) e irá escolher L ao invés disso. Isto aumenta a chance do jogador I escolher T. 
O jogo com a estratégia maxmin e valores de segurança fica: 
 
 
 
 
 
 
Temos assim que o (2,0) é o pior caso possível. 
 
O valor maxmin do jogador I é 2 e a estratégia que garante este valor é L. Se os 2 jogadores 
escolherem suas estratégias maxmin, o resultado é (T,L) com prêmio (2,1) no qual o prêmio do 
jogador II é 1 que é maior do que seu valor maxmin. 
Um jogador pode ter várias estratégias maxmin. 
 
 
 
 
 
 
 
 L R Min1 
T (2,1) (2,-20) 2 
M (3,0) (-10,1) -10 
B (-100,2) (3,3) -100 
Min2 0 -20 (2,0) 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
30 
 
 
 
Exemplo 4: 
Considere o jogo 
 Jogador 2 
 
Jogador 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 L R Min1 
T (3,1) (0,4) 0 
B (2,3) (1,1) 1 
Min2 1 1 (1,1) 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
31 
 
 
 
Exemplo 5: 
Duas empresas A e B, fabricantes de computadores estão planejando comercializar sistemas 
de rede para processamento de informações administrativas. Cada empresa pode desenvolver 
tanto um sistema rápido e de alta qualidade (A) como um sistema mais lento e de baixaqualidade (B). Determine, de posse dos lucros resultantes de cada uma das estratégias, são 
aqueles que se encontram na seguinte matriz de prêmios: 
 Firma B 
 A B 
 Firma A A 30 ;30 50 ;35 
 B 40 ; 60 20 ;20 
 
 
 
a) Se ambas firmas tomarem decisões simultaneamente e usarem estratégias de maximin 
qual será o resultado? 
b) Suponha que as duas empresas estejam procurando maximizar os lucros, mas que a 
empresa A tenha iniciado antes o planejamento e tenha condições de se comprometer 
em primeiro lugar. Qual será a solução mais provável? Qual seria o resultado se a 
empresa B tivesse iniciado seu planejamento primeiro do que a empresa A. 
c) Considere agora o jogo em duas etapas, no qual, em primeiro lugar, cada uma das 
empresas terá que decidir qual valor que estará disposta a investir para acelerar seu 
planejamento e, em segundo, cada uma terá que anunciar qual produto (A ou B) 
produzirá. Qual das empresas investiria mais para acelerar seu planejamento? Quanto 
ela deveria investir? Será que a outra deve fazer algum investimento para acelerar seu 
planejamento? Explique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
32 
 
 
 
 Método da eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas 
 Uma estratégia é dita estritamente dominada quando não possui nenhuma recompensa 
maior que as correspondentes de outra estratégia. 
 O jogador sendo racional não escolherá uma estratégia dominada e portanto na análise do 
jogo podemos elimina-la. Este tipo de análise possibilita a resolução de um certo número de 
jogos. 
 
 jogador B 
jogador A 
estratégia 3 estratégia 4 
estratégia 1 2,3 3,1 
estratégia 2 1,5 2,1 
 
 Equilíbrio de Nash 
 É uma situação em que nenhum jogador poderia melhorar sua posição escolhendo uma 
estratégia alternativa disponível, sem que isso implique que a melhor escolha feita 
particularmente por cada pessoa levará a um resultado ótimo. 
 Estando numa posição de equilíbrio de Nash nenhum jogador tem incentivo para mudar de 
estratégia, de forma que a situação é estável 
 jogador B 
jogador A 
esquerda direita 
alto 2,3 0,1 
baixo 1,2 3,0 
 
 A opção alto/esquerda corresponde a um equilíbrio de Nash pois o jogador A não tem 
incentivo a mudar de estratégia ( o que corresponde a trocar 2 por 1 ) e nem o jogador B ( o que 
corresponde a trocar 3 por 1). 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
33 
 
 Observe que este jogo não poderia ser resolvido por eliminação de estratégias dominadas 
Jogos de Soma Zero 
 
O equilíbrio de Nash e o max min são dois conceitos diferentes que refletem diferentes 
aspectos do comportamento: o primeiro é uma expressão de estabilidade e o segundo é uma 
noção de segurança. Apesar das raízes diferentes dos 2 conceitos existem casos em que ambos 
levam aos mesmos resultados. Um caso especial é no caso de jogos de 2 jogadores de soma 
zero. 
Exemplo: 
 Jogador 2 
 
Jogador 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 L C R Min1 
T (3,-3) (-5,5) (-2,2) -5 
M (1,-1) (4,-4) (1,-1) 1 
B (6,-6) (-3,3) (-5,5) -5 
Min2 -6 -4 -1 (1,-1) 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
34 
 
 
Exemplo 6: Duas empresas AF1 e AF2 competem pelas vendas de duas linhas de produtos 
igualmente lucrativas. Em ambos os casos o volume o volume de vendas de AF2 é o triplo do 
volume de AF1. Devido a melhorias tecnológicas, os dois fabricantes podem realizar melhorias 
substanciais as duas linhas de produtos, mas eles não estão certos de qual desenvolvimento e 
estratégia de comercialização eles deverão adotar. 
Se as melhorias aos dois produtos forem feitas ao mesmo tempo, nenhum fabricante terá o 
produto pronto para a venda em menos de 12 meses. Uma alternativa é executar um 
programa intensivo para primeiro desenvolver um dos produtos e tentar comercializá-lo antes 
que o competidor o faça. Se este for o caso, AF2 pode ter o produto pronto para a venda em 9 
meses, enquanto AF1 precisa de 10 meses (devido a contratos anteriores). Cada um deles 
pode ter o segundo produto pronto após outro período de 9 meses. 
Para cada linha de produto, se ambos os fabricantes comercializam o modelo melhorado, 
estima-se que AF1 aumenta sua porcentagem de vendas futuras deste produto em 8% do total 
(de 25% para 33%). Da mesma forma AF1 pode aumentar sua venda total em 20, 30 e 40% do 
total se comercializar o produto 2,6 e 8 meses antes de AF2 o fazer. Além disso AF1 pode 
perder 4, 10,12 e 14% do total se AF2 conseguir comercializar o produto 1,3,7 e 10 meses 
antes, respectivamente. Formule este problema como um jogo de soma zero com 2 jogadores 
e estabeleça a estratégia que as empresas devem adotar de acordo com o critério MinMax. 
 
 AF2 
 
 
 
 
AF1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Melhoria 
Simultânea 
Prod1-12meses 
Prod2- 12 meses 
Programa 
Intensivo 
Prod1- 9 meses 
Prod2-18 meses 
Programa 
Intensivo 
Prod1- 18 meses 
Prod2-9 meses 
 
Melhoria 
Simultânea 
Prod1-12meses 
Prod2- 12 meses 
 
Programa 
Intensivo 
Prod1- 10 meses 
Prod2-19 meses 
 
Programa 
intensivo 
Prod1-19 meses 
Prod2- 10 meses 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
35 
 
Exemplo 7: Duas empresas comercializam produtos dividindo o mercado. Cada empresa 
atualmente detém 50% do mercado. Como recentemente os produtos passaram por 
modificações, ambas empresas pretendem lançar uma campanha de propaganda. Se nenhuma 
delas anunciar, a parcela de mercado entre elas permanece a mesma. Se uma lançar uma 
campanha mais poderosa que a outra, esta última perde uma porcentagem de seus clientes. 
Pesquisas de mercado indicam que é possível alcançar 50% dos potenciais consumidores pela 
TV, 30% por revistas e 20% pelo rádio. 
a)Construa a matriz de prêmios deste jogo e analise a estratégia Maxmin. 
b)Obtenha o valor do jogo se cada empresa operar com estratégia pura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
36 
 
 
Exercícios Resolvidos 
Resolva os jogos a seguir: 
1 – 
 jogador B 
jogador A 
par ímpar 
par 2,3 0,1 
ímpar 1,2 3,0 
 
Usando a estratégia maxmin e supondo que A escolha primeiro, A escolherá impar e B escolherá 
par. 
Se B escolher primeiro, então ele escolhe par e A escolhe impar. 
2 – 
 
 jogador B 
jogador A 
esquerda centro direita 
alto 2,1 1,3 2,3 
médio superior 4,1 3,2 3,2 
médio inferior 5,0 4,1 1,4 
baixo 2,2 3,4 2,3 
 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
37 
 
 
3 – 
 
 Jog B 
jogador A 
B1 B2 B3 B4 
A1 3,3 2,2 4,3 3,4 
A2 2,0 1,3 0,2 2,0 
A3 3,4 4,2 2,2 0,3 
A4 4,3 2,1 3,1 4,2 
 
4 – Duas lojas concorrentes, loja A e loja B estão analisando estratégias de preços, e tem a 
seguinte matriz de prêmios. Decida qual estratégia deve ser adotado pelos lojistas usando o 
critério maxmin, o critério cooperativo e verifique se existe equilíbrio de Nash. 
 
 B 
A 
descontar 20% manter o preço aumentar 10% aumentar 20% 
descontar 10% 3,0 1,1 5,4 0,2 
manter o preço 1,1 3,2 6,0 2,0 
aumentar 10% 0,2 4,4 7,2 3,0 
 
 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
38 
 
 
 
 
5 – 
 D 
C 
investe em propaganda reduz os preços não reage tenta acordo 
reduz os preços 3,2 3,2 0,3 0,4 
tenta acordo 2,0 0,1 3,0 1,1 
 
 
 
6 – 
 
 bonito 
limpo 
aumentar gastos com 
publicidade 
não aumentar gasto com 
publicidade 
lançar o produto 
biodegradável 
5,5 7,3 
não lançar o produto 
biodegradável 
2,4 2,7 
 
 
 
 
 
7 – 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori39 
 
 
 carro novo 
novo auto 
lançar nova versão manter o preço reduzir o preço 
lançar modelo 
próprio 
1,4 4,1 1,3 
importar da matriz 2,2 2,1 2,3 
não competir 1,1 0,6 1,0 
 
 
 
8 – 
 
 comboio japonês 
forças aliadas 
rota sul rota norte 
busca na rota sul 3, – 3 1, – 1 
busca na rota norte 2, – 2 2, – 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
40 
 
9 – Duas empresas operam no mercado de chocolate, podendo optar entre produzir um 
chocolate de alta qualidade (A) ou um de baixa qualidade (B). Os lucros resultantes de cada 
estratégia encontram-se apresentados na matriz de prêmios: 
 Empresa 2 
 
 Empresa 1 
 
a) Quais resultados (se houver) são equilíbrios de Nash? 
b) Se os administradores de ambas as empresas forem pessoas conservadoras e 
empregarem a estratégia maxmin, qual será o resultado? 
c) Qual é o resultado cooperativo? 
d) Qual das duas empresas seria mais beneficiada em decorrência de um resultado 
cooperativo? Quanto esta empresa estaria disposta a oferecer a outra para persuadi-la 
e entrar em conluio. 
Resposta: 
 
10 – Duas importantes emissoras estão concorrendo entre si para obter índices de audiência no 
horário entre 20 e 21 horas e entre 21 e 22 horas em uma determinada noite da semana. Cada 
uma delas, preparando-se para a disputa, conta com dois programas para preencher este 
horário. Eles poderão veicular seu programa principal no primeiro horário (20-21h) ou no 
segundo horário (21-22h). As possíveis combinações de decisões levam aos seguintes resultados 
em termos de pontos de audiência: 
 
 Emissora 2 
 
 
Emissora 1 
 
 baixa alta 
baixa -20,-30 900,600 
alta 100,800 50,50 
 Primeiro horário Segundo horário 
Primeiro horário 18,18 23,20 
Segundo horário 4,23 16,16 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
41 
 
a) Encontre o equilíbrio de Nash supondo que ambas emissoras tomem suas decisões 
simultaneamente. 
b) Se as duas empresas forem avessas ao risco e decidirem empregar uma estratégia 
maxmin, qual será o equilíbrio resultante? 
c) Qual será o resultado se a emissora 1 fizer sua escolha antes da sua concorrente? E se a 
emissora 2 fizer sua escolha antes? 
d) Suponha que os administradores das duas empresas se reúnam para coordenar suas 
programações e a emissora 1 prometa apresentar seu programa principal no primeiro 
horário. Essa promessa é crível? Qual é o resultado mais provável? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
42 
 
 
JOGOS COM MAIS DE UM EQUILÍBRIO DE NASH 
 
 Considere que duas empresas de tecnologia são concorrentes no mercado de programas para 
computador. A empresa Alfa possui um programa anti-vírus e a empresa Beta não possui. A 
empresa Beta está decidindo se desenvolve ou não um anti-vírus e a empresa Alfa está 
decidindo se investe em outra versão ou não. Consideremos que a matriz de recompensas seja 
a seguinte: 
JOGO DO PADRÃO TECNOLÓGICO 
 
 Beta 
Alfa 
desenvolve não desenvolve 
investe 2, 1 – 1,– 2 
não investe 0,– 1 1, 2 
 
 Existem dois equilíbrios de Nash: investe/desenvolve e não investe/não desenvolve. Nesse 
caso qual das duas situações irá se concretizar? A resposta não pode ser encontrada apenas com 
estes dados, vai depender da situação real em as empresas se encontram. Acomodar pode ser 
uma boa opção pois não há custos, mas esta opção incentiva possíveis concorrentes a entrarem 
no mercado, pois dá a impressão de que as empresas ou não possuem condições de investir ou 
que seus administradores são acomodados, sem visão. Quando a concorrência é muito acirrada, 
como tem sido atualmente, o mais provável é que ambas empresas invistam, ou seja, a solução 
ficaria sendo investe/desenvolve. Esta situação faz com que as empresas acabem investindo 
mais do que o necessário em alguns setores, como por exemplo em ativos específicos 
(máquinas, equipamentos de produção mas que não são facilmente utilizáveis em outros 
empreendimentos e por isso possuem valor de revenda baixo). 
 
 Vamos ver outro jogo com dois equilíbrios de Nash. Imagine duas empresas, que dominam o 
mercado, decidindo se adotam campanhas publicitárias agressivas. 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
43 
 
JOGO DA CAMPANHA PUBLICITÁRIA 
 
 Ambev 
Schin 
 
adota campanha agressiva 
não adota campanha 
agressiva 
adota campanha agressiva – 5, – 5 2, – 2 
não adota campanha 
agressiva 
– 2, 2 0, 0 
 
 Há dois equilíbrios de Nash: “adota/não adota” e “não adota/adota”. Ou seja, a melhor 
resposta diante do concorrente que investe em campanha agressiva é não responder e a melhor 
resposta diante do concorrente que não investe em campanha agressiva é investir. O problema 
é saber qual das empresas irá ceder a iniciativa da campanha agressiva para a outra e dada o 
risco de se perder espaço no mercado, inclusive pela entrada de outras concorrentes, corre-se 
o risco de que as duas empresas decidam adotar campanhas agressivas maximizando seus 
prejuízos. 
 Nestes dois exemplos não se pode exigir que o equilíbrio de Nash corresponda realmente à 
solução da situação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
44 
 
 
Estratégias Mistas 
 
1) Considere o jogo de 2 jogadores conforme a matriz de prêmios dada a seguir: 
 Jogador II 
Jogador I 
 
 
 
O nível de segurança do jogador I é 2, se ele jogar B ele garante um prêmio de pelo menos 
2. A segurança do jogador II é 3, se ele jogar R ele garante um prêmio de no máximo 3. Não 
existem estratégias ótimas. 
Pode um jogador garantir um prêmio melhor? 
Supor que o jogador I jogue uma moeda de parâmetro ¼ (cara ¼ e coroa ¾ ). Supor que I 
joga T se o resultado for cara e B se o resultado for coroa. Esta é uma estratégia mista. 
Os prêmios agora deixam de ser determinísticos e passam a ser probabilísticos. Se esses 
prêmios forem utilidades de um jogador, então a função utilidade do jogador I a partir 
desta loteria é 
1 3 5
(4) (2)
4 4 2
+ = . 
Se o jogador II joga R o resultado da loteria é 
1 3
(1), (3)
4 4
 
 
 
 .Neste caso o prêmio será: 
1 3 5
(1) (3)
4 4 2
+ = . 
 
Se II joga L então 
1 3
(4), (2)
4 4
 
 
 
 
 
Se II joga R então 
1 3
(1), (2)
4 4
 
 
 
 
 
O prêmio (=utilidade) do jogador de uma loteria é o valor esperado do prêmio para aquela 
loteria. Com esta definição do prêmio, o jogador I pode garantir não importa o que 
aconteça seu prêmio esperado será pelo menos 5/2, ao invés de um prêmio de 2 se ele 
não basear sua estratégia no sorteio da moeda. 
 L R min 
T 4 1 1 
B 2 3 2 
max 4 3 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
45 
 
 
2) Considere o jogo de par ou ímpar: 
Dois jogadores (linha e coluna) escolhem simultaneamente dois números de dedos (1 ou 
2). Se a soma dos dedos dos jogadores é ímpar então o jogador linha ganha 1 de coluna. Se 
a soma dos dedos for par então o jogador da coluna ganha 1 de linha. 
 
 Jogador colunas 
 Jogador linhas
1 dedo 2 dedos
1 dedo 1 1
2 dedos 1 1
− +
+ −
 
 
Se tivermos a probabilidade de um jogador escolher uma estratégia? 
 
3) Considere o jogo a seguir e encontre o equilíbrio em estratégias mistas. 
 
 Jogador II 
 
 Jogador I 
 
 
 
4) Uma moeda é jogada e o resultado é mostrado apenas ao jogador I. Ele deveentão 
decidir se aposta ou passa. Se ele decidir passar então ele paga $1,00 ao jogador II e o 
jogo termina. Se ele decidir apostar então o jogador II (que não conhece o resultado da 
moeda) pode passar ou pagar a aposta. Se o jogador II decidir passar então ele paga 
$1,00 ao jogador I e o jogo termina. Se ele decidir pagar a aposta então o jogador I 
deve mostrar o resultado do sorteio. Se o resultado for cara então o jogador II paga ao 
jogador I a quantia de $2,00, se o resultado for coroa então o jogador I paga ao 
jogador II a quantia de $2,00. 
 
 
 
 
 
 L M R 
T 2 5 -1 
B 1 -2 5 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
46 
 
 
 
As estratégias do jogador I são: 
Cara Coroa 
P P Passa em cara, passa em coroa 
A P Aposta em cara, passa em coroa 
P A Passa em cara, aposta em coroa 
A A Aposta em cara, aposta em coroa 
 
 
 
 
Podemos resumir as estratégias mistas da seguinte forma: 
As principais características de um jogo são: 
1) Dois ou mais tomadores de decisão estão envolvidos. 
2) As consequências (resultados) dependem das ações tomadas por todos os tomadores 
de decisão. 
3) Os objetivos não coincidem. 
Existe uma característica importante em um jogo: todos os jogadores devem tomar uma 
decisão sem saber o que os outros estão decidindo. Toda vez que um movimento é 
realizado o resultado é que o jogador perde ou ganha. O jogo pode ser repetido ao 
gerarmos movimentos sucessivos. Um jogo tem características similares a um problema de 
decisão, mas a natureza e seus estados aleatórios são transformados em um outro jogador 
que toma decisões sempre pensando no que o oponente está decidindo. 
Um jogo de dois componentes pode ser representado na forma tabular 2 x 2. No caso de n 
jogadores seria uma matriz n x n. 
 
 Jogador B 
 Jogador A ( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 11, 11 12 12
2 21 21 22 22
,
, ,
b b
a a b a b
a a b a b
 
 
 
 
 
 
 
O jogador A pode escolher entre as alternativas 
1a e 2a enquanto o jogador B pode 
escolher entre 
1b e 2b . Dependendo da escolha feita o resultado será uma das células da 
matriz. Se o jogador A escolhe a estratégia 
ia e o jogador B decide a estratégia jb o 
resultado será o pagamento ija para o jogador A e o pagamento ijb para o jogador B. 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
47 
 
Se o jogo for de soma zero (um jogador ganha e o outro perde) é representado por: 
 Jogador B 
 Jogador A ( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 11, 11 12 12
2 21 21 22 22
,
, ,
b b
a a a a a
a a a a a
 
 
− − 
 
− − 
 
 
 
Neste caso a tabela é simplificada supondo que os valores contidos nas células implicam 
em ganho para o jogador das linhas (jogador A) e perdas para o jogador das colunas 
(jogador B). 
 Jogador B 
 Jogador A 
1 2
1 11 12
2 21 22
b b
a a a
a a a
 
 
 
  
 
 
Se o jogo tem um ponto de equilíbrio ele pode ser resolvido pelo método minmax: cada 
jogador escolhe uma alternativa que fornece a melhor alternativa entre os possíveis 
resultados: 
 Jogador B 
 Jogador A
 
 
   
1 2
1 11 12 11 12
2 21 22 21 22
11 21 12 22
max ,
max ,
max , max ,
b b
a a a a a
a a a a a
a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
O jogador A escolhe     11 12 21 22max min , ;min ,a a a a . 
O jogador B escolhe     11 21 12 22min max , ;max ,a a a a . 
 
Se os dois jogadores escolhem o mesmo valor e vem da mesma célula, então temos um 
jogo de estratégia pura de soma zero, ou seja, existe um ponto de equilíbrio em que 
nenhum jogador tem interesse em deixar. Portanto o jogador mante sua decisão mesmo 
quando conhece qual decisão o oponente irá tomar. Se vários movimentos são feitos e os 
jogadores não modificam suas decisões então o valor do jogo (o pagamento médio por 
movimento) permanece constante e igual ao valor da célula selecionada. 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
48 
 
Se o valor escolhido for diferente o jogo não tem ponto de equilíbrio porque o jogador tem 
interesse em mudar sus decisão ao tomar conhecimento da decisão de seu oponente. 
Neste caso eles devem adotar a estratégia mista definida como um conjunto de 
probabilidades de escolha para cada alternativa. Este conjunto pode ser resolvido 
algebricamente se a matriz for 2 x 2. No caso 3 x 3 já temos um modelo de programação 
linear. 
Considerando o caso 2 x 2: 
 
 
 
 Jogador B 
 Jogador A
1 2
1 11 12
2 21 22 1
1
b b
a a a p
a a a p
q q
 
 
 
 −
 
− 
 
 
Onde p é a probabilidade com a qual o jogador A deve escolher a alternativa 
1a e q é a 
probabilidade do jogador B escolher a alternativa 
1b . 
Se ambos os jogadores selecionam essas alternativas com essas probabilidades em 
momentos sucessivos, o valor do jogo (pagamento médio por movimento) é a soma dos 
valores de cada célula multiplicada pela probabilidade. 
 ( ) ( ) ( )( )11 21 12 22. . 1 . . . 1 1 1V a p q a p q a p q a p q= + − + − + − − 
Para determinar sua estratégia o jogador A considera que a probabilidade p é tal que ela 
lhe assegura que o jogador obtenha um valor do jogo que não mude não importa o que 
seu oponente faça. Para resolver isso uma equação é obtida que iguala o valor do jogo não 
importando a escolha do oponente. Assim se o jogador B escolhe 
1b o valor do jogo para o 
jogador A será ( )11 21. 1V a p a p= + − , se o jogador B escolher 2b o valor do jogo para o 
jogador A será ( )12 22. . 1V a p a p= + − . Queremos que haja estabilidade, ou seja não 
importando a escolha de B deveremos ter para o jogador A o mesmo prêmio: 
 ( )11 21 12 221 (1 )V a p a p a p a p= + − = + − 
Resolvendo essa equação podemos encontrar o valor de p. 
O jogador B considera o mesmo para as escolhas de A que podem ser 
1 2,a a : 
 ( ) ( )11 12 21 221 1V a q a q a q a q= + − = + − 
Resolvendo essa equação encontramos o valor de q. 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
49 
 
 
Se a dimensão do jogo for maior que 2 x 2 o problema se transforma em um problema de 
programação linear. 
Considerando um jogo 3 x 3: 
 
 
 Jogador B 
 Jogador A 
1 2 3
1 11 12 13 1
2 21 22 23 2
3 31 32 33 3
1 2 3
b b b
a a a a p
a a a a p
a a a a p
q q q
 
 
 
 
 
 
  
 
 
O jogador A pode construir um modelo de PL aplicando os mesmos conceitos que no caso 
2 x 2, ou seja o jogador A deseja jogar com um conjunto de probabilidades de forma que o 
valor do jogo seja mentido, não importando o conjunto de probabilidades do jogador B. 
Os seguintes passos devem ser seguidos: 
 
1) Eliminar valores negativos na matriz somando um valor K em todas as células. 
2) Escreva as desigualdades e alternativas para o jogador A não importando a escolha do 
jogador B. 
 
 
11 1 21 2 31 3
12 1 22 2 32 3
13 1 23 2 33 3
a p a p a p V
a p a p a p V
a p a p a p V
+ + 

+ + 
 + + 
 
3) Dividir as desigualdades por V: 
 
31 2
11 21 31
31 2
12 22 32
31 2
13 23 33
pp p V
a a a
V V V V
pp p V
a a a
V V V V
pp p V
a a a
V V V V

+ + 


+ + 


+ + 

 
4) Mude a variável: i i
p
x
V
= 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
50 
 
 
11 1 21 2 31 3
12 1 22 2 32 3
13 1 23 2 33 3
1
1
1
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
+ + 

+ + 
 + + 
 
 
 
 
 
 
5) Construímos a função objetivo usando a condição de soma de probabilidades: 
 
1 2 3
1 2 3
1
1
p p p
x x x
V
+ + =
+ + =
 
Como o jogador A quer maximizar seu prêmio, ele deve então minimizaro inverso: 
 
1 2 3
1
min
z
V
z x x x
=
= + +
 
6) Formule o problema de PL: 
 
 
1 2 3
11 1 21 2 31 3
12 1 22 2 32 3
13 1 23 2 33 3
1 2 3
min
1
1
1
0, 0, 0
z x x x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
x x x
= + +

+ + 


+ + 
 + + 

   
 
7) Resolva o problema de PL encontrando os valores de  1 2 3, ,x x x . 
8) Obtenha as probabilidades  1 2 3, ,p p p . 
 
1 2 3
i
i
x
p
x x x
=
+ +
 
9) Obtenha o valor do jogo (subtraído o valor somado nas células): 
 
 
1 2 3
1
V K
x x x
= −
+ +
 
O jogador B realiza calculo idêntico para  1 2 3, ,q q q e neste caso ele deve minimizar o 
valor do jogo. 
 
Exemplos: 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
51 
 
1) Dois jogadores escolhem independentemente um número 1, 2 ou 3. Se os 
números forem os mesmos o jogador 1 paga ao jogador 2 esta quantia. Se não for 
o mesmo número então o jogador 2 paga ao jogador 1 uma quantia igual a que o 
jogador 1 escolhe. Determine o valor do jogo e as estratégias ótimas que ambos 
jogadores devem seguir. 
 
 
 
Matriz de prêmios 
 
 
 Jogador 2 
 Jogador 1
1 2 3
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
 
 
−
 
 −
 
− 
 
 
Não existe dominância neste jogo, sendo, portanto, um jogo de estratégia mista. 
 
 
1
2
3
0,0641
0,1026
0,1154
y
y
y
=
=
=
 
Como temos 1 2 3
1
0,2821 3,5448
0,5448
y y y u
u
V u K
+ + = = → =
= − =
 
 
As probabilidades para o jogador 2 será: 
 
1 1
2 2
3 3
. (0,0641).(3,5448) 0,23
. (0,1026).(3,5448) 0,36
. (0,1154).(3,5448) 0,41
p y u
p y u
p y u
= = =
= = =
= = =
 
A estratégia ótima para o jogador 2 será as seguintes probabilidades: 
  0,23(1);0,36(2);0,41(3) 
Prêmio esperado por jogada (perda): 0,5448V = . 
 
2) Duas pessoas estão nos lados opostos de uma construção. Ambas estão 
interessadas em se encontrar de forma que elas caminham em direção a um dos 
cantos. 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
52 
 
 
 A 
 
 
 
 B 
Os jogadores têm 3 possibilidades: mover para a direita (R), mover para a esquerda (L) ou 
permanecer no mesmo lugar. 
Consideremos que os jogadores se encontram se os seus movimentos os levam ao mesmo 
canto ou em cantos contíguos. Qual a melhor estratégia de forma a maximizar as 
probabilidades de se encontrarem? 
 
 Jogador B 
 Jogador A 
1
2
3
1 2 3
0 1 1
1 0 1
1 1 0
R L O
R p
L p
O p
q q q
 
 
3) As equipes UA e DU estão estabelecendo suas estratégias para o campeonato 
nacional de basquete. Avaliando as forças de seus bancos de reservas cada um dos 
treinadores estabelece quatro estratégias para a troca dos jogadores durante o 
jogo. A capacidade da equipe em converter lances de 2 pontos, 3 pontos e lances 
livres é um fator determinante para o placar final do jogo. A matriz seguinte 
fornece o número liquido de pontos que a equipe UA marcará por posse de bola 
como função de diferentes estratégias disponíveis para cada equipe. Resolva o 
jogo e determine a estratégia para o campeonato. 
 
 
 
1 2 3 4
1 3 2 1 2
2 2 3 3 0
3 1 2 2 2
4 1 2 4 1
DU DU DU DU
UA
UA
UA
UA
−
−
− −
− −
 
 
 
 
Vamos usar K = 3 para eliminar os negativos. 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
53 
 
 
 
1
2
3
4
1 2 3 4
1 6 1 4 5
2 5 6 0 3
3 2 5 1 5
4 2 1 7 4
DU DU DU DU
UA p
UA p
UA p
UA p
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos | Fernando Mori 
 
54 
 
 
 
 
	Exemplo: Jogo de Votação da Diretoria
	ESTRATÉGIAS
	Eliminação Iterativa de Estratégias Estritamente Dominadas
	CLASSIFICAÇÃO DOS JOGOS
	MÉTODOS DE SOLUÇÕES DE JOGOS
	1 – Estratégia dominante
	2 – Minimax e Maximin
	Método da eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas
	Equilíbrio de Nash
	Jogos de Soma Zero
	Exercícios Resolvidos
	JOGOS COM MAIS DE UM EQUILÍBRIO DE NASH
	JOGO DO PADRÃO TECNOLÓGICO
	JOGO DA CAMPANHA PUBLICITÁRIA