Analogia Entre Sistemas Elétricos e Mecânicos

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO - UNIAN ENGENHARIA ELÉTRICA
MODELAGEM, ANÁLISE DE SISTEMAS
Analogia Entre Sistemas Elétricos e Mecânicos
OSASCO
2017
Os Sistemas de Controlo Automático são entidades fundamentais numa sociedade industrializada. 
Para se introduzir os primeiros conceitos considere-se o Exemplo 2.1. 
Exemplo 2.1: 
A regulação da temperatura dum forno pode-se esquematizar, simplificadamente, pela 
Fig.1.1. 
potência
referência
Interior 
do 
forno
saída
Elemento de 
realimentação
_
+
actuação
 
Fig.1.1 – Diagrama de blocos para um sistema de regulação de temperatura de um forno. 
A partir deste exemplo apresentam-se alguns conceitos: 
Sistema: conjunto de componentes que interactuando realizam determinada 
função que não é possível de ser realizada por uma das partes isoladamente. 
Entrada (de referencia) – sinal de entrada do sistema global, uma ou várias. 
Saída – saída ou resposta do sistema (uma ou várias). 
Actuação – sinal de controlo, actua directamente no processo.
 
Sistema em malha aberta: saídas não afectam as entradas não influenciando 
assim o desempenho do sistema. 
Existência de sensores (modificam as entradas como resultado do valor da saída) 
 ↓ 
 Efeito de realimentação 
Sistema de malha fechada: saídas têm efeito nas entradas contribuindo para a 
regulação do funcionamento do sistema. 
O exemplo acabado de apresentar pode ser estendido às mais diversas áreas do conhecimento encontradas no quotidiano. É de interesse indiscutível a compreensão, caracterização e modificação do comportamento dos fenómenos físicos e não só, como por exemplo: 
Estudo de um canal de comunicação entre um satélite e uma estação terrestre 
Comportamento de um robot 
Evolução do consumo de energia eléctrica numa dada cidade 
Funcionamento de um motor eléctrico 
Reacção química de um processo industrial 
Actividade cerebral humana 
Inflação verificada na economia de determinado país 
Evolução do número de indivíduos num determinado ecossistema 
Resposta de um circuito eléctrico montado no laboratório de Análise de Circuitos ... ... ... 
Então, o controlo de sistemas tem aplicação uniformizada a um grande número de áreas diversas tais como: 
Engª Electrotécnica 
Engª Química o Eng. Aeronáutica o Eng. Mecânica o Eng. Ambiente o Economia 
Politica 
Ecologia ... ... ... 
Os Sistema de Controlo facultam o desenvolvimento formal de técnicas analíticas unificadas que permitem a Concepção de Sistemas dos quais os anteriormente apresentados são exemplos. 
Assim, podem-se apresentar as seguintes etapas principais para a concepção de um sistema [1]: 
Especificação: dizer como se quer que o sistema funcione. 
Modelação: abstracção da realidade física, extracção da informação relevante, simplificação da realidade física, utilização da linguagem matemática. 
Análise: objectivo principal da 1ª e maior parte da disciplina; observação e descrição do comportamento do sistema. 
Verificação das especificações: Analisado o sistema, será que ele funciona de acordo com pretendido? 
Síntese ou projecto: realização ou modificação do sistema com vista ao 
funcionamento deste cumprindo as especificações. 
EXEMPLOS DE MODELAÇÃO E REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DE SISTEMAS 
Para se chegar a uma representação uniformizada de sistemas recorre-se à apresentação de alguns exemplos de sistemas de diferentes naturezas físicas. 
A obtenção de modelos matemáticos de sistemas pode seguir duas abordagens diferentes: 
Tradução matemática das leis que governam o sistema. 
Identificação de sistemas. 
Vai ser adoptado o ponto 1, sendo que, as leis que governam cada sistema em estudo serão apresentadas sem explicação adicional. 
Por vezes, o conhecimento que se tem de um dado sistema poderá ser incompleto. Noutros casos, as leis que o governam poderão conduzir a modelos computacionalmente muito pesados; ou ainda as suas propriedades poderão variar de um modo imprevisível; em todas estas situações a abordagem do ponto 1 torna-se inviável, existindo como alternativa aquela referida no ponto 2. Identificação de sistemas. 
Dentro do universo de todos os sistemas que podem ser estudados, esta disciplina debruçase apenas sobre os sistemas lineares e invariantes no tempo (SLIT), estes sistemas, obviamente, verificam o princípio da linearidade e da invariância no tempo, tal como se define de seguida. 
Princípio da linearidade: 
Sejam y1 e y2 as saídas de um dado sistema A quando as entradas são respectivamente x1 e x2. Então, A diz-se linear sse: 
a entrada x = x1 + x2 faz com que a saída seja y = y1 + y2 . 
a entrada kx1 faz com que a saída seja ky1 . 
Generalizando, verifica-se o princípio da sobreposição. Seja n um número arbitrário de entradas x1, x2, ... xn para as quais o sistema responde com as respectivas n saídas y1, y2, ... yn ; então, se a entrada for X uma combinação linear das n entradas, X = k x1 1 + k x2 2 +...+ k xn n , a saída será Y uma combinação linear, com os mesmos coeficientes, das respectivas saídas: Y = k y1 1 + k y2 2 +...+ k yn n . 
Invariância no tempo: 
Um sistema diz-se invariante no tempo quando a relação entre a entrada e a saída é independente do instante em que se aplica a entrada. 
Seja y t( ) a saída do sistema quando à entrada é colocado o sinal x(t). Então o sistema será invariante no tempo sse a entrada atrasada x(t −t0 ) origina uma saída com igual atraso: y t( −t0 ) . 
2.1 	SISTEMAS ELÉCTRICOS 
Relembra-se que os elementos básicos de um circuito (sistema) eléctrico são a resistência, a bobine e o condensador. 
A análise de sistemas eléctricos recorre às leis que governam estes subsistemas elementares. O estabelecimento de tais leis recorre às grandezas físicas: intensidade de corrente eléctrica i que percorre o elemento e tensão v aos terminais do mesmo. 
Semelhantemente ao que acontece com outras variáveis de sistemas de outras naturezas, a corrente i e a tensão v designam-se respectivamente por variável através do elemento e variável entre terminais do elemento. 
O conhecimento das leis físicas que governam os elementos básicos permitem estabelecer as relações no tempo, e as respectivas transformadas de Laplace, conforme se apresentam na Tab.2.1. 
	 
Esquema 
 
 
	 
i t( )	R 
 
v t( ) 
	 
i t( )	L 
v t( )
	 
i t( ) C 
v t( )
	Relação no tempo 
	v t( )= Ri t( ) 
	di
	v t( ) = L	( )t 
dt
	dv
	i t( ) = C	( )t 
dt
	Transformada de Laplace 
	V s( )= RI s( ) 
	V s( )= LsI s( ) 
	I ( )s = CsV s( ) 
Tab.2.1 – Sistemas eléctricos elementares. 
As constantes R, L e C são respectivamente: 
R – resistência eléctrica, mede-se em Ohm (Ω ). 
L – indutância da bobine, mede-se em Henry (H). 
C – capacidade do condensador, mede-se em Farad (F). 
Um sistema eléctrico mais complexo é, por exemplo, obtido interligando os subsistemas elementares apresentados. Uma análise de tal sistema recorre às leis de Kirchoff: 
Lei de Kirchoff do equilíbrio das tensões: a soma algébrica das quedas das tensões ao longo de um circuito fechado é nula. 
Lei de Kirchoff do equilíbrio das correntes: a soma algébrica das correntes que atravessam uma superfície fechada é nula. 
2.2 	SISTEMAS MECÂNICOS 
São considerados 2 tipos de sistemas mecânicos consoante o tipo de movimento executado pelos seus componentes: 
Sistema mecânico translaccional: os movimentos das componentes fazem-se segundo um determinado vector. 
Sistema mecânico rotacional: os movimentos das componentes fazem-se em torno de um determinado eixo de rotação. 
A descrição de sistemas mecânicos recorre às leis de Newton, segundo as quais: 
Lei fundamental da dinâmica: A soma das forças que actuam num determinado corpo é directamente proporcional à aceleração que este adquire. 
Princípio da acção-reacção: Para toda a forçade acção aplicada a um corpo corresponde a uma força de reacção com a mesma direcção e módulo e sentido 
contrário. 
Como se verá na sequência, as leis acabadas de formular para sistemas mecânicos translaccionais têm correspondência directa para sistemas mecânicos rotacionais. 
2.2.1 Sistemas mecânicos translaccionais 
Paralelamente ao que aconteceu com o estudo de sistemas eléctricos, os sistemas mecânicos vão ser abordados a partir de sub-sistemas básicos: massa, mola e atrito. 
A massa é um elemento que armazena energia cinética. O estabelecimento de um modelo matemático para este elemento recorre à lei fundamental da dinâmica, anteriormente apresentada. 
Suponha-se que uma dada massa, sujeita a uma força f (t) , desloca-se segundo um eixo X conforme se ilustra na Fig.1.2. 
 
Fig.1.2 – Massa. 
Então, a lei fundamental da dinâmica estabelece a expressão(2.1). 
 
d x t2 ( )
	f t( ) = M	2 	(2.1) 
dt
em que: 
f a resultante das forças aplicadas, mede-se em Newton [N], x posição da massa, mede-se em metro [m], 
M valor da massa, mede-se em kilograma [Kg]. 
A mola elástica é um elemento mecânico que armazena energia potencial elástica. De acordo com a lei de Hooke para uma mola em hélice linear (não deformada) as forças aplicadas são directamente proporcionais às variações de comprimento produzidas, a constante de proporcionalidade, K, denomina-se constante da mola e mede-se em Nm−1. 
A representação esquemática da mola apresenta-se na Fig.1.3. 
 
Fig.1.3 – Mola. 
Designando por f a força de restituição da mola, atendendo à lei de Hooke, pode-se estabelecer o modelo matemático dado pela expressão (2.2). 
	f ( )t =−Kx t( ) 	(2.2) 
O atrito é a força que se opõe ao movimento de 2 corpos pelo facto de estarem em contacto. A força de atrito gerada em cada corpo tem sentido oposto ao seu movimento relativamente ao outro corpo. 
Nos sistemas mecânicos o atrito é como a resistência nos sistemas eléctricos, elemento dissipador de energia, inevitável, mas nem sempre desvantajoso. 
Trata-se de um elemento não linear podendo-se considerar dividido em 3 tipos: atrito de Coulomb, atrito estático e atrito viscoso. 
Por questões de simplificação apenas se irá considerar o termo linear do atrito viscoso cuja representação esquemática se apresenta na Fig.1.4. 
O modelo matemático para este elemento mecânico é estabelecido sabendo-se que a força de atrito desenvolvida é proporcional à velocidade de um corpo relativamente ao outro, em contacto, conforme a expressão (2.3). 
dx(t)
	f t( ) =−B	 	(2.3) 
dt
A constante de proporcionalidade B é conhecida por coeficiente de atrito viscoso e mede-se em Nsm−1. 
 
Fig.1.4 – Atrito. 
Tal como aconteceu com os sistemas eléctricos, sistemas mecânicos mais complexos obtêm-se por ligação dos sub-sistemas mais simples, como os acabados de apresentar, considere-se o Exemplo 2.2. 
Exemplo 2.2 
Considere-se um veículo de massa M que se desloca por acção de uma força f sobre uma dada superfície, Fig.1.5. A força é aplicada ao veículo por uma mola interposta de constante K; entre o veículo e a superfície desenvolve-se uma força de atrito de constante de proporcionalidade B. 
 
Fig.1.5 – Sistema constituído por massa mola e atrito. 
Pretende-se determinar um conjunto de equações que descreve o modelo do sistema; para tal, é comum representá-lo recorrendo aos símbolos elementares, obtendo-se a Fig.1.6. 
 
Fig.1.6 – Representação do sistema recorrendo aos símbolos. 
Tendo em conta o eixo X, seja x2 a posição da massa M e x1 o ponto de aplicação da força na mola. 
A soma das forças aplicadas à massa M é igual a aceleração provocada nesta. Verifica-se que existem 2 forças aplicadas a esta massa, a força de atrito fa, e a força de restituição da 
mola fK dadas pelas expressões (2.4). 
	fa ( )t =−B dxdt2(t) ,	 fk ( )t = K x t( 1( )− x2(t)) 	(2.4) 
d x t2 ( )
Sabendo-se que a aceleração é dada por M	 , então entrando-se com (2.4) pode-se 
dt2
estabelecer a equação (2.5). 
	−B dxdt2( )t	K x t( 1( )− x2( )t ) = M d2x22( )t 	(2.5) 
+
dt
Voltando à Fig.1.6 verifica-se que a lei aplicada teve em conta apenas a posição x2 da massa, existe contudo outro ponto x1 onde é necessário aplicar a lei do equilíbrio para que o sistema fique completamente caracterizado. 
A partir do princípio da acção-reacção a soma das forças que convergem para um ponto deve-se anular. Assim, para o ponto x1 a força externa f deve equilibrar-se com a força de restituição da mola fK dada pelas expressões (2.4), pode-se então estabelecer (2.6). 
	f t( ) = K x( 1( )t − x2( )t ) 	(2.6) 
O modelo matemático do sistema em estudo é constituído pelas equações (2.5) e (2.6). 
De forma análoga ao que se obteve para os sistemas eléctricos, trata-se de um sistema de 2 equações diferenciais lineares de 2ª ordem de coeficientes constantes com 2 variáveis x1 e x2. A perturbação externa (força f) pode ser considerada a entrada do sistema e cada uma, ou ambas, as variáveis x1 e x2 podem ser tomadas como saídas. 
Substituindo (2.6) em (2.5) para que nesta última figure f; passando as saídas (variáveis dependentes) para o 1º membro e colocando-as por ordem decrescente de diferenciação, (2.5) e (2.6) resultam no sistema (2.7). 
	⎧	d x2 2 ( )t	dx2 ( )t
⎪⎪M	dt2	+ B	dt	= f ( )t
⎨
⎪	x1 ( )t − x2 ( )t = 1 f t( )
⎪⎩	K
	 	(2.7) 
O sistema acabado de estudar ainda é suficientemente simples para que seja necessária uma metodologia de análise mais estruturada. Contudo, essa metodologia existe e pode ser particularmente útil para a análise de sistemas mais complexos. 
As equações diferenciais que modelam um sistema mecânico podem ser determinadas recorrendo-se à rede ou circuito mecânico. 
Uma rede mecânica é uma representação em rede onde nos ramos figuram os elementos mecânicos; cada nó corresponde os pontos do sistema sujeitos ao mesmo deslocamento. 
Voltando ao exemplo em estudo, Fig.1.6, deduz-se que a rede mecânica deverá ter 3 nós: nó de referência, x1 e x2. 
nó de referência: superfície onde se move o veiculo; corresponde ao referencial em relação ao qual se definem as posições x1 e x2. x1: posição do ponto de aplicação da força externa. x2: posição da massa ou posição da ligação entre a massa e a mola. 
Desta forma, a rede mecânica correspondente ao sistema da Fig.1.6 apresenta-se na Fig.1.7. 
 
Fig.1.7 – Rede mecânica para o sistema massa, mola e atrito. 
Aplicando a lei do equilíbrio das forças a ambos os nós (x1 e x2), obtêm-se as equações (2.5) e (2.6). 
Neste momento convém fazer o ponto da situação. Foram estudados sistemas físicos de naturezas diferentes, eléctrica e mecânica, para os quais se obtiveram os respectivos modelos. Embora diferentes, tais modelos têm em comum o facto de serem: 
CONJUNTOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE COEFICIENTES CONSTANTES 
Pode-se então colocar as seguintes questões: 
Obtido um modelo para um dado sistema, existirão outros sistemas para os quais esse modelo seja adequado? 
Se sim, esse(s) outro(s) sistema(s) poderão ser de uma natureza distinta do sistema inicial? 
Como se irá provar na sequência, as respostas a ambas as questões são positivas! Ou seja, encontrado um modelo para um dado sistema, é possível encontrar outro sistema, de natureza diferente, que também admita como seu esse modelo. Neste contexto caminha-se para uma representação de sistemas acima do nível físico facultando um estudo uniformizado com todas as vantagens que daí resultam. 
Até agora apenas se estudaram sistemas de 2 naturezas distintas: eléctrica e mecânica. Então, sem perda de generalidade, na abordagem que se segue parte-se de cada modelo de cada componente elementar mecânica, procurando-se a analogia com alguma componente elementar eléctrica. 
Para se iniciar este estudo considere-se a analogia apresentada na Tab.2.2. 
	Sistema eléctrico 
	Sistema mecânico 
	Corrente 
	Força 
Tab.2.2 – Analogia corrente – força. 
Repare-se que ambas as grandezas físicas agem como entradas ou perturbações para os sistemas respectivos. Tanto aforça como a corrente propagam-se através dos elementos, mecânicos e eléctricos respectivamente, sugerindo semelhante colocação dos respectivos aparelhos de medida (dinamómetro e amperímetro), em série. Assim, na procura de uma modelação uniformizada de sistemas assuma-se que o papel da corrente num circuito eléctrico é análogo ao papel da força num sistema mecânico. 
No que toca às potenciais saídas dos sistemas repare-se que a velocidade e a tensão são grandezas que são medidas em relação a uma referência. Velocidade de um corpo em relação à terra, tensão num nó de um circuito em relação ao nó de referência; ambas são grandezas medidas aos terminais dos respectivos elementos, assim pode-se estabelecer a analogia que se apresenta na Tab.2.3. 
	Sistema eléctrico 
	Sistema mecânico 
	Tensão 
	Velocidade 
Tab.2.3 – Analogia tensão – velocidade. 
Recordem-se os modelos do condensador, Tab.2.1, e da massa, expressão (2.1), respectivamente: i t( ) = C dv( )t e 	f t( ) = M dv( )t †. Assim, assumindo as analogias dt	dt
estabelecidas nas Tab.2.2 e Tab.2.3 verifica-se que o modelo de uma massa de valor M é formalmente idêntico ao modelo de um condensador de valor C = M . 
 
† Cuidado! No modelo da massa, v representa a velocidade e não a tensão, como no modelo do condensador. 
Considere-se agora os modelos da bobine, Tab.2.1, e da mola, expressão (2.2), respectivamente: v t( ) = L di( )t e f ( )t = Kx t( ) ‡. Derivando ambos os membros do modelo dt
da mola obtém-se (2.8). 
df ( )t
	= Kv t( ) 	(2.8) 
dt
O modelo da bobine pode ser escrito de acordo com (2.9). di( )t	1
= v t( ) 	(2.9) dt	L
A observação de (2.8) e (2.9) permite estabelecer que o modelo de uma mola de constante 
K é formalmente idêntico ao modelo de uma bobina de indutância L = 1 . 
K
Por último, considerem-se os modelos da resistência, Tab.2.1, e do atrito, expressão (2.3), 
v t( ) = Ri t( ) e f ( )t = B dx(t) = Bv t( )2. Reorganizando os termos e respectivamente: dt
lembrando as analogias das Tab.2.2 e Tab.2.3, conclui-se que o modelo do atrito de constante B é formalmente idêntico ao modelo de uma resistência de valor R = 1 . 
B
A análise acabada de fazer considerou a representação temporal dos modelos, semelhante estudo poderia ter sido feito a partir das respectivas transformadas de Laplace. 
Feitas estas analogias, partindo-se da rede mecânica da Fig.1.7, pode-se determinar a rede eléctrica análoga que se apresenta da Fig.1.8. 
 
‡ A ausência do sinal negativo relativamente ao que se apresenta na expressão (2.2), deve-se ao facto de agora, não se estar a considerar a força de restituição da mola mas sim a força externa que se deve aplicar para que a mola produza um alongamento x. 
2 Semelhantemente ao que se passou com a mola, a ausência do sinal negativo deve-se ao facto de agora se considerar não a força de reacção mas sim a força externa para vencer o atrito. Neste caso v representa a velocidade e não a tensão. 
L
C
R
()
it
v
2
v
1
 
Fig.1.8 – Rede análoga eléctrica para o sistema mecânico massa, mola e atrito da Fig.1.7. 
De acordo com as analogias estabelecidas, impondo-se aos componentes eléctricos os seguintes valores (2.10): 
R ⇔ 1
B
	L ⇔ 1 	(2.10) 
K
C ⇔ M
obter-se-á um modelo do sistema eléctrico idêntico ao modelo do sistema mecânico do de partida (2.7). Para se provar tal facto, vai-se analisar o circuito da Fig.1.8 utilizando a lei do equilíbrio das correntes aplicada aos 2 nós, v2 e v1; obtendo-se as equações (2.11) e (2.12) respectivamente. 
	v2 ( )t	dv2 ( )t
	+C	= i t( ) 	(2.11) 
	R	dt
di(t)
	v1 −v2 = L	 	(2.12) 
dt
Substituindo os valores dos componentes eléctricos de acordo com (2.10), as equações (2.11) e (2.12) resultam no sistema de equações (2.13). 
	⎧	dv2 ( )t
	⎪Bv2( )t + M	 = i t( )
	⎪	dt
	⎨	 	(2.13) 
	⎪	v1 −v2 = 1 di( )t
	⎪⎩	K	dt
Repare-se agora no sistema (2.7); derivando a 2ª equação e lembrando que a velocidade dx( )t	v t( ) = obtém-se o sistema (2.14). [1: Para este sistema v representa a velocidade. ]
dt
	⎧	dv2 ( )t
	⎪Bv2 ( )t + M	 = f t( )
	⎪	dt
	⎨	 	(2.14) 
	⎪	v1 −v2 = 1 df ( )t
	⎪⎩	K	dt
Tendo em conta as tabelas de analogias Tab.2.2 (corrente - força) e Tab.2.3 (tensão - velocidade) conclui-se que os sistemas (2.13) e (2.14) são formalmente idênticos. 
Recapitulando, partiu-se de 2 realidades físicas de naturezas distintas obteve-se a mesma realidade matemática. 
2.2.2 Sistemas mecânicos rotacionais 
Como referido anteriormente, neste tipo de sistemas as componentes executam movimento de rotação em torno de um dado eixo. 
Existe grande paralelismo relativamente aos sistemas mecânicos translaccionais como se salienta na Tab.2.4. 
	Sistemas mecânicos translaccionais 
	Sistemas mecânicos rotacionais 
	Força 
	F 
	Binário 
	T 
	Posição 
	x 
	Posição angular 
	θ 
	Velocidade 
	v 
	Velocidade angular 
	ω 
	Aceleração 
	a 
	Aceleração angular 
	α 
Tab.2.4 – Analogias nos sistemas mecânicos, translaccional e rotacional. 
A lei de Newton utilizada para a análise de sistemas mecânicos rotacionais escreve-se como (2.15). 
	T t( ) = Jα( )t 	(2.15) 
em que: 
T é a resultante dos binários aplicados ao corpo Fig.1.9, mede-se em [N.m], 
α é a aceleração angular do corpo4, mede-se em [rad 2 ], s
J é o momento de inércia do corpo relativo ao centro de massa, mede-se em 
[Kg.m2]. 
		 
Fig.1.9 – Momento de inércia. 
Os 3 elementos fundamentais num sistema rotacional são o momento de inércia, a mola e o 
atrito. 
 
	dω	d 2θ
4 Recordar que: α =	=	2 , sendo ω e θ , a velocidade e aceleração angulares, respectivamente dt	dt
medidas em rad/s e rad. 
Os modelos encontrados para estes elementos seguem de perto os correspondentes para os sistemas translaccionais, tomando as analogias da Tab.2.4 e considerando que, para estes sistemas, a massa M é substituída pelo momento de inércia J. 
Uma mola Fig.1.10 à qual é aplicada uma torção por acção de um binário T, apresenta um binário de reacção dado por (2.16), proporcional à diferença das posições angulares dos seus extremos, a constante de proporcionalidade K designa-se por constante da mola e mede-se em N m. rad . 
		 
Fig.1.10 – Mola de torção. 
	T t( ) = Kθ( )t 	(2.16) 
Por último, o atrito Fig.1.11 que se gera quando 2 corpos estão em contacto provoca um binário de reacção T, (2.17), que é proporcional à velocidade angular relativa ω de ambos; a constante de proporcionalidade representa-se por B, designa-se por coeficiente de atrito e mede-se em N m s rad. . . −1. 
			 
Fig.1.11 – Atrito de rotação. 
	T t( ) = Bω( )t 	(2.17) 
Paralelamente às analogias estabelecidas entre as grandezas eléctricas e mecânicas translaccionais, Tab.2.2 e Tab.2.3, podem-se considerar análogas as grandezas que se apresentam na Tab.2.5. 
	Sistema eléctrico 
	Sistema mecânico rotacional 
	Corrente 
	Binário 
	Tensão 
	Velocidade angular 
Tab.2.5 – Analogias eléctricas - mecânicas rotacionais. 
Assumindo as analogias da Tab.2.5, partindo-se dos modelos das componentes elementares (expressões (2.15), (2.16) e (2.17)) e seguindo-se o raciocínio utilizado nos sistemas translaccionais, podem-se estabelecer as correspondentes relações de analogia para os sistemas rotacionais (2.18). 
R ⇔ 1
B
	L ⇔ 1 	(2.18) 
K
C ⇔ J
A análise e modelação de sistemas mais complexos recorrem aos modelos acabados de definir para os elementos fundamentais mais simples. Para se ilustrar tal análise [2] considere-se o Exemplo 2.3. 
Exemplo 2.3 
Considere um sistema rotacional, Fig.1.12, composto por 2 cilindros com momentos de inércia J1 e J2 que se movimentam sobre uma superfície desenvolvendo-se binários de reacção cujos coeficientes de atrito são B1 e B2 respectivamente; entre os 2 cilindros gera-se atrito com coeficiente B3. O sistema é posto em movimento por acção de um binário T. 
 
Fig.1.12 – Sistema rotacional do Exemplo2.3 
Pretende-se determinar um conjunto de equações diferenciais que modelem o sistema. 
Comece-se por representar a rede mecânica; assim, verifica-se que existe 3 deslocamentos angulares independentes: θ1, θ2, θ3 . Considerando o nó de referência conclui-se que a rede mecânica tem 4 nós como se esquematiza na Fig.1.13. 
 
Fig.1.13 – Rede mecânica do Exemplo 2.3. 
Aplicando a lei do equilíbrio dos binários a cada nó e tendo em conta os modelos elementares, (expressões (2.15), (2.16) e (2.17)), obtêm-se 3 equações (3 nós) a 3 incógnitas, θ1, θ2, θ3 . 
Nó θ1 : 
	T = K1(θ −θ1	2) 	(2.19) 
Nó θ2 : 
	••	•	•	•
	K1(θ −θ1	2) = J1 θ +2	B1θ +2	B3 ⎜⎛θ −θ2	3 ⎞⎟ 	(2.20) 
	⎝	⎠
Nó θ3 : 
	B3 ⎛⎜θ• 2−θ• 3 ⎞⎟ = J2θ••3+ B2θ• 3+ K2 3θ 	(2.21) 
	⎝	⎠
Reorganizando os termos obtém-se o sistema (2.22). [2: Incógnitas no 1º membro e variáveis independentes no 2º membro; da esquerda para a direita os termos devem-se dispor por ordem crescente dos índices e ordem decrescente da derivação. ][3: Como se verá no seguimento da matéria poderá ser útil apresentar a transformada de Laplace deste sistema na forma matricial. ]
⎧K1 1θ − K1 2θ =T
	⎪⎪	••	•	•
	⎨K1 1θ − J1 θ −2 (B1 + B3)θ −2	K1 2θ + B3 θ3 = 0 	(2.22) 
	⎪	•	••	•
	⎪⎩B3 θ −2	J2 θ −3 (B3 + B2)θ −3	K2 3θ = 0
As expressões (2.15) a (2.17) ou alternativamente o sistema (2.22) constituem conjuntos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes que modelam o sistema mecânico rotacional em estudo. Conforme já foi provado, existe um sistema eléctrico para o qual este modelo também serve. Tal sistema eléctrico obtém-se recorrendo às analogias (2.18) e apresenta-se na Fig.1.14. 
L
1
C
1
R
1
()
it
v
2
v
1
R
3
C
2
R
2
L
2
v
3
 
Fig.1.14 – Rede eléctrica análoga do Exemplo 2.3. 
Se se atribuir aos componentes do circuito da Fig.1.14 os valores: L1=1/K1, C1=J1, R1=1/B1, 
L2= 1/K2, C2=J2, R2=1/B2 e R3=1/B3; então o modelo que se obtém é idêntico ao sistema (2.22) desde que se considerem análogas as grandezas físicas da Tab.2.5. [4: Faça-se! Revisão de Análise de Circuitos. ]
2.3 	SISTEMAS TÉRMICOS 
Os sistemas térmicos são aqueles que trabalham com o fluxo e armazenamento de calor, a modelação de tais sistemas recorre aos princípios da termodinâmica. Os sistemas térmicos surgem como sub-sistemas de enúmeros instrumentos de uso comum, como por exemplo: forno, frigorífico, sistema de refrigeração de um automóvel, sistema de aquecimento de água, termómetro, etc. 
Os sistemas térmicos são em geral sistemas de parâmetros distribuídos, consequentemente, as suas discrições matemáticas utilizam de equações diferenciais com derivadas parciais. Contudo, a abordagem à análise e modelação de sistemas do presente capítulo considera SLIT de parâmetros concentrados. Assim, o estudo de sistemas térmicos vai considerar aproximações tais que esses sistemas possam ser modelados por equações diferenciais lineares de coeficientes constantes, como tem vindo a acontecer com os sistemas anteriormente estudados. Para que tal hipótese simplificativa possa ser adoptada deve-se assumir que a temperatura de um corpo é considerada uniforme, esta hipótese é tanto mais válida quanto menores forem as dimensões do corpo; tratando-se de fluidos (ex: ar, água) considera-se que se encontram homogeneizados. 
O estabelecimento de modelos para este tipo de sistemas resulta da aplicação da lei do equilíbrio segundo a qual calor adicionado ao sistema é igual ao calor armazenado somado com o calor dissipado. As variáveis físicas utilizadas na modelação de sistemas térmicos são: 
θ: temperatura, mede-se em Kelvin [K] ou graus Celsius [ºC]. [5: K = ºC+273.15 ]
q: taxa de variação de fluxo de calor, mede-se em Joule/segundo=Watt [W]. 
A temperatura de um dado corpo é uma medida da energia térmica nele armazenado. Designando-se por qi e qo as taxas de variação de fluxo de calor de entrada e saída respectivamente, a temperatura θ num determinado instante t, (t ≥ t0) é dada pela expressão (2.23). 
t
	θ( )t =θ(t0 )+ C1 t∫0 qi ( )τ −qo ( )τ dτ 	(2.23) 
• 	C: designa-se por capacidade térmica e mede-se em [J/ºC]. 
Derivando ambos os membros de (2.23) pode-se estabelecer (2.24). 
dθ( )t
	q ti ( )−qo ( )t = C	 	(2.24) 
dt
A expressão (2.24) relaciona a taxa de variação de temperatura de um corpo com valor instantâneo do fluxo de calor transmitido ao corpo. 
No que se refere ao fluxo de calor entre distintas regiões de um dado corpo podem-se considerar 3 mecanismos: condução, convexão e radiação. No presente estudo apenas se vai considerar o fluxo de calor por condução, segundo o qual, o fluxo de calor entre 2 corpos é proporcional à diferença de temperaturas θ1 e θ2 dos mesmos (2.25). 
θ θ1 ( )t − 2 ( )t
	q t( ) =	 	(2.25) 
R
• 	R: designa-se por resistência térmica do condutor e exprime-se em ºK/W. 
As expressões (2.24) e (2.25) constituem os modelos dos elementos básicos de um sistema térmico, que, juntamente com a lei do equilíbrio anteriormente enunciada permitem estabelecer os modelos matemáticos de sistemas mais complexos. 
Tal como ficou provado na secção 2.2 (recorrendo a exemplos), também para cada modelo de um dado sistema térmico poder-se-á encontrar um sistema de outra natureza para o qual tal modelo seja adequado. Desta forma vai-se definir de seguida analogias eléctricas para as expressões (2.24) e (2.25). 
A capacidade térmica de um dado corpo mede a quantidade de calor que esse corpo pode armazenar; a analogia para com a capacidade eléctrica de um condensador é directa. Assim, assumindo-se as analogias da Tab.2.6, tendo em conta a relação tensão corrente num condensador, Tab.2.1, bem como a expressão (2.24) para sistemas térmicos, facilmente se conclui que as capacidades eléctrica e térmica são análogas podendo-se, inclusivamente, representar pelo mesmo símbolo. 
	Sistema eléctrico
	Sistema térmico 
	Corrente 
	Fluxo de calor 
	Tensão 
	Temperatura 
Tab.2.6 – Analogias eléctricas - térmicas. 
Utilizando os mesmos pressupostos mas tendo em atenção a expressão (2.25) conclui-se que as resistências eléctrica e térmica são análogas e representáveis pelo mesmo símbolo. 
A análise de sistemas térmicos pode então recorrer à representação de uma rede térmica em que cada nó é um ponto do sistema sujeitos a uma mesma temperatura. 
Para se ilustrar a modelação de sistemas térmicos considere-se o Exemplo 2.4. 
Exemplo 2.4 
Considere-se um termómetro de mercúrio comum em que o mercúrio está envolvido pela protecção de vidro de capacidade e resistência térmicas Cg e Rg, respectivamente. A capacidade e resistência térmicas do mercúrio são, respectivamente, Cm e Rm. 
Num determinado instante o termómetro é submetido a um fonte de calor à temperatura θ0 ; pretende-se determinar um conjunto de equações diferenciais que descrevem o sistema. 
A análise pretendida pode recorrer à representação da rede térmica (idêntica à análoga eléctrica). Para tal, considera-se tantos nós quantos os valores independentes de temperatura, ou seja: 
θ0 : temperatura da fonte de calor imposta ao sistema. 
θs : temperatura da superfície da protecção de vidro em contacto com o mercúrio. 
θm : temperatura do mercúrio. 
Sabe-se que a fonte de calor vai aquecer a protecção de vidro condicionada à sua resistência térmica. O vidro, por sua vez, acumula calor com capacidade térmica C e transmite-o ao mercúrio. Desta forma, a rede térmica pode-se representar na Fig.1.15. 
R
m
C
g
0
θ
R
g
C
m
+
−
s
θ
m
θ
 
Fig.1.15 – Rede térmica para o termómetro de mercúrio. 
A lei de equilíbrio segundo a qual o fluxo de calor adicionado é igual ao calor armazenado, (2.24), somado com o calor dissipado, (2.25), permite estabelecer 2 equações para os 2 nós incógnita: θs e θm †. 
Nó θs : 
	θ0 −θg	• θg −θm
 = Cgθg + 	(2.26) Rg	Rm
Nó θm : 
	θg −θm	•
	 = Cmθm 	(2.27) 
Rm
Utilizando a convenção anteriormente apresentada5 para arrumação dos termos pode-se chegar ao sistema de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes (2.28). 
	⎪⎨
⎪
⎪
⎩
		R	R	R
	⎝	m	g ⎠	m
θg	Cmθ• m −θm = 0 −
Rm	Rm
	Rg 
	(2.28) 
⎧Cgθ• g +⎛⎜⎜ 1 + 1 ⎞⎟⎟θg −θm = θ0
⎪
João Miguel G. P. B. Lima 	Capítulo 2 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS 
	2	 
	20	 
 
† A analogia para com a lei dos nós é total. 
O sistema de equações (2.28), ou alternativamente as 2 equações de nós que o antecedem, constitui o modelo do termómetro de mercúrio em estudo. 
2.4 	SISTEMAS FLUÍDICOS 
Esta secção debruça-se sobre sistemas onde há fluxo de líquidos geralmente incompressíveis. Estes sistemas podem ser encontrados em processos químicos, actuadores, motores de alimentação de sistemas de manufactura, etc. 
As variáveis relevantes no estudo deste tipo de sistemas vão ser apresentadas considerando-se o processo de enchimento e escoamento de um determinado reservatório, Fig.1.16; para que se obtenha um modelo linear vai-se assumir que o escoamento do fluído é laminar. 
 
Fig.1.16 – Enchimento e escoamento de um reservatório. 
A observação da Fig.1.16 mostra que este tipo de sistemas é constituído por 2 classes de elementos fundamentais: reservatórios onde se verifica a acumulação de fluidos, e válvulas por onde passam os fluidos de entrada, de saída para o exterior do sistema, ou de ligação entre reservatórios. 
Repare-se que sendo os reservatórios indeformáveis, o volume de fluído acumulado num dado reservatório depende da área A da secção transversal (constante) e da altura h (nível) do mesmo; assim, a caracterização de sistemas como o que se apresenta deve ter em conta as seguintes variáveis: 
h: nível de fluído, mede-se em [m]. 
q: caudal, volume de fluido transferido por unidade de tempo, mede-se em [m3/s]. 
Pode-se dizer que o caudal acumulado num reservatório é directamente proporcional à derivada do nível de fluido, (2.29), sendo a constante de proporcionalidade a área A. 
	q t( ) = A dh( )t 	(2.29) 
dt
Na passagem de fluidos por uma válvula de comunicação entre 2 reservatórios com níveis h1 e h2, dever-se-á ter em conta a resistência hidráulica R definida como a variação na diferença de níveis que conduz a uma variação unitária de caudal. Assim, pode-se dizer que o fluxo através duma válvula de resistência R que liga 2 reservatórios; é directamente proporcional à diferença de níveis e inversamente proporcional à resistência R, (2.30). A resistência R mede-se em s/m2. 
h t( )
	q t( ) =	 	(2.30) 
R
Para este tipo de sistemas deve-se ter em conta que o fluido que entra num reservatório é igual ao fluido que sai somado com o fluido acumulado. Sendo que, o estabelecimento de modelos para este tipo de sistemas resulta da aplicação desta lei conjuntamente com as relações (2.29) e (2.30). 
Tal como, recorrendo a exemplos, ficou provado na secção 2.2, também para cada modelo de um dado sistema fluidico poder-se-á encontrar um sistema de outra natureza para o qual tal modelo seja adequado. Desta forma vai-se definir de seguida analogias eléctricas para as expressões (2.29) e (2.30). [6: Lembre-se que muitos textos introdutórios à electricidade recorrem a analogias fluidicas para definir os conceitos. ]
Repare-se que a carga eléctrica acumulada num condensador tem correspondência para com o fluido acumulado num reservatório. Assim, pode-se considerar que a capacidade eléctrica C de um condensador é análoga à área A da secção transversal de um reservatório; semelhante consideração pode-se tomar no que respeita à resistência eléctrica e a resistência hidráulica de uma válvula. 
Assim, assumindo-se as analogias da Tab.2.7, tendo em conta a relação tensão corrente num condensador, Tab.2.1, bem como a expressão (2.29) para sistemas fluídicos, facilmente se conclui que a capacidade eléctrica é análoga à área A da secção transversal de um recipiente. 
	Sistema eléctrico
	Sistema fluidito 
	Corrente 
	Caudal 
	Tensão 
	Altura 
Tab.2.7 – Analogias eléctricas - fluidicas. 
Utilizando os mesmos pressupostos mas tendo em atenção a expressão (2.30) conclui-se que as resistências eléctrica e fluidica são análogas e representáveis pelo mesmo símbolo. 
A análise de sistemas fluidicos pode então recorrer à representação de uma rede fluidica em que cada nó é um ponto do sistema sujeitos a um mesmo nível. 
Para se ilustrar a modelação de sistemas fluidicos considere-se o Exemplo 2.5. 
Exemplo 2.5 
Considere o sistema fluídico da Fig.1.17. 
 
Fig.1.17 – Sistema fluidico do Exemplo 2.5 
Pretende-se determinar as equações diferenciais que descrevem o sistema. 
As incógnitas são os níveis dos 2 reservatórios: h1 e h2. Então a rede fluidica/análoga eléctrica tem 2 nós. 
A análise do sistema pode ser feita directamente aplicando a lei do equilíbrio a cada reservatório utilizando-se o esquema e respectivos parâmetros da Fig.1.17, ou recorrendo à rede fluidica/análoga eléctrica. 
Nas condições do problema, a rede fluidica/análoga eléctrica está representada na Fig.1.18. 
A
1
=
C
1
i
q
i
≡
R
1
A
2
=
C
2
R
2
1
1
h
v
≡
2
2
h
v
≡
 
Fig.1.18 – Rede fluidica/análoga eléctrica do Exemplo 2.5 
As 2 equações linearmente independentes obtêm-se aplicando a lei do equilíbrio a cada nó. 
Utilizando os parâmetros do sistema fluidico obtêm-se as expressões (2.31) e (2.32). 
Nó h1 : 
	qi = h1 −h2 + A h1 • 1 	(2.31) 
R1
Nó h2 : 
	h1 −h2 = h2 + A h2 • 2 	(2.32) 
	R1	R2
Utilizando a convenção anteriormente apresentada5 para arrumação dos termos pode-se chegar ao sistema de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes (2.33). 
⎧⎪⎪A h1 • 1 + R11 h1 − R11 h2 = qi
	⎨	 	(2.33) 
⎪⎩⎪− R11 h1 + A h2 • 2 +⎝⎜⎛ R11 + R12 ⎠⎟⎞h2 = 0
O sistema de equações (2.33), ou alternativamente as 2 equações de nós que o antecedem, constitui o modelo do sistema em estudo. 
Analogamente, pode-se aplicar a lei dos nós à rede da Fig.1.18 com os parâmetros eléctricos; tendo em conta a tabela de analogias (Tab.2.7) obtém-se7 o modelo (2.33). 
2.5 	FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
Os exemplos estudados até agora, constituem uma pequena amostra da enorme variedade de situações que podem ser modeladas na perspectiva da teoria dos sistemas, objecto de estudo da presente disciplina. Tais exemplos debruçaram-se sobre sistemas de natureza distinta sendo a sua dinâmica definida em tempo contínuo (t). 
As secções anteriores tiveram como objectivo a definição de uma representação uniformizada que possibilite a análise e controlo de sistemas independentemente da sua natureza. Nesta perspectiva, pode-se generalizar que os SLIT são representados por: 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE COEFICIENTES CONSTANTES 
Assim sendo, a forma uniformizada encontrada para representação de SLIT vai ser utilizada independentemente da natureza do sistema que a originou. Deste modo, (e sem perda de generalidade) considere-se um sistema com uma entrada r e uma saída y esquematizado na Fig.1.19. 
r
SISTEMA
y
 
Fig.1.19 – Sistema com entrada 
r
 e saída 
y
. 
Sem perda de generalidade, considere-se que o sistema pode ser caracterizado pela equação diferencial (2.34). 
	••	•
y t0 ( )( )n +a y t1 ( )(n−1) + +...	an−2 y t( )+an−1 y t( )+a y tn ( ) = ...
	 	(2.34) 
	••	•
r t0 ( )( )m +br t1 ( )(m−1) + +... bm−2 r t( )+bm−1 r t( )+b r tm ( )
Calculando-se a transformada de Laplace de ambos os membros tem-se (2.35). 
	a s Y s0 n ( )+a s1 n−1Y s( )+ +...	an−2s Y s2 ( )+an−1sY s( )+a Y sn ( ) =
	 	(2.35) 
= b s R s0 m ( )+b s1 m−1R s( )+ +... bm−2s R s2 ( )+bm−1sR s( )+b R sm ( )
Nesta fase introduz-se a definição de Função de transferência. 
A função de transferência de um SLIT contínuo é a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada, considerando-se a hipótese de condições iniciais nulas. 
Y s( ) Para a situação em estudo define-se a função de transferência G s( ) =	 ; entrando-se R( )s
com a expressão (2.35) obtém-se (2.36). 
	G s( ) = Y sR( )(s) = b sa s0 mn ++b sa s11 mn−−11 ++......++bamn−−22ss22 ++bamn−−11ss++abmn 	(2.36) 
0
Esta forma uniformizadade representação de sistemas permite que sejam feitas algumas considerações: 
Não depende da evolução da entrada do sistema nem das suas condições iniciais. 
Trata-se de uma função racional complexa de variável complexa. 
Tal como a representação por equações diferenciais, caracteriza completamente um SLIT do ponto de vista de entrada-saída. 
À ordem n do termo de maior grau do denominador D(s) denomina-se ordem do 
SLIT. 
Se para um dado sistema a função de transferência for desconhecida, esta poderá ser avaliada perturbando o sistema com uma entrada conhecida e estudando a respectiva saída. A razão das transformadas de Laplace da entrada e da saída corresponde à função de transferência. 
Para se ilustrar a determinação de uma função de transferência, considere-se o Exemplo 
2.6. 
Exemplo 2.6 
Considere o sistema fluidico do Exemplo 2.5, Fig.1.17. Assumindo como entrada o caudal qi e como saída o nível de fluido no reservatório 2, pretende-se determinar a função de transferência respectiva. 
Na secção 2.4 determinou-se a descrição matemática do sistema em causa chegando-se às equações (2.31) e (2.32), ou alternativamente, ao sistema de equações (2.33). 
Pretende-se agora determinar a razão entre as transformadas de Laplace da entrada qi e da 
saída h2: G s( ) = H2( )s . Q si ( )
Na resolução do Exemplo 2.5 chegou-se à conclusão de que o modelo para o sistema em estudo consiste num sistema de 2 equações a duas incógnitas (h1 e h2); por se tratarem de equações linearmente independentes, tal sistema é possível e determinado. A função de transferência que agora se pede resulta da solução do sistema (2.33), tomada a transformada de Laplace de ambas as equações, em ordem à variável h2. [7: Agora percebe-se a vantagem da regra para organização dos termos5 que conduziu ao sistema (2.33), relativamente às equações (2.31) e (2.32). ]
A partir de (2.33) tem-se: 
	⎧⎪AsH1	1 ( )s + R11 H1 ( )s − R11 H2 ( )s = Q si ( )
⎪
	⎨	 	(2.37) 
	⎪⎪− R11 H1 ( )s + A sH2	2 ( )s +⎛⎜ R11 + R12 ⎞⎟⎠H2 ( )s = 0
	⎩	⎝
O sistema (2.37) pode ser escrito na forma matricial: 
	⎡As1 + 1
⎢	R1
⎢
⎢	1
⎢	− R1
⎣
		1	⎤
−	1	⎥ ⎡H1 ( )s ⎤	⎡Qi ( )s ⎤ R
A s2 + 1 + ⎥⎥ ⎢⎣H2 ( )s ⎥⎦ = ⎣⎢ 0 ⎥⎦ 1 ⎥
	R1	R2 ⎦
	(2.38) 
Desta forma a solução H2( )s é dada pelo cociente de determinantes (2.39). [8: A resolução do sistema pode recorrer a qualquer outro método. ]
	H2 ( )s = 	(2.39) ( )
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
0
1
1
1
1
i
As
Q
s
R
R
As
R
R
A s
2
1
R
R
R
+
−
+
−
−
+
+
	Feitas as contas conclui-se (2.40). 
	
	H ( )s	R G s( ) = 2 = 2 2 
	(2.40) 
	Qi ( )s	A A R R s1	2	1	2	+(A R1	2 + A R1 1 + A R2	2 )s +1
A observação do grau do polinómio do denominador de G2 (s) permite concluir que se trata do um sistema de 2ª ordem. 
N s( ) Seja uma função de transferência genérica G s( ) =	 . Então, D(s) denomina-se D s( )
polinómio característico. As soluções complexas da equação D s( )= 0 denominam-se pólos do sistema e as soluções complexas de N s( )= 0 denominam-se zeros do sistema. 
Como se verá na sequência o posicionamento no plano complexo de tais soluções condiciona o comportamento do sistema. 
2.6 	SISTEMAS ELECTROMECÂNICOS 
O sistema electromecânico que vai ser estudado nesta secção é o motor DC. Tal sistema pode ser visto como um amplificador de potência tal que, a potência necessária para excitar o circuito de campo é inferior à potência do circuito de armadura. Desta forma, este motor serve para ceder energia a uma carga mecânica, utilizando para esse fim a conversão de energia eléctrica em energia mecânica rotacional. 
As características deste tipo de motores faz com que sejam utilizados numa vasta gama de aplicações tais como: manipuladores, passadeiras para transporte de mercadorias, equipamentos informáticos tais como comandos de discos ou impressoras, máquinas ferramenta controladas numericamente etc. 
A Fig.1.20 apresenta o esquema electromecânico do motor DC [4]. 
a
V
b
V
f
i
a
i
θ
,
JB
 
Fig.1.20 – Motor DC. 
Este sistema é constituído por 2 sub-sistemas fundamentais, circuito de campo e circuito de armadura, definindo-se 2 modos de funcionamento: 
Mantendo a corrente de campo if constante e regulando a tensão aplicada à armadura. 
Mantendo a corrente de armadura ia constante e regulando a tensão aplicada ao campo. 
O fluxo induzido na armadura é proporcional à corrente de campo (2.41) : 
	Φ( )t = k if	f (t) 	(2.41) 
O binário desenvolvido pelo motor relaciona-se com a corrente da armadura e com o fluxo de acordo com (2.42). 
	Tm ( )t = Φk1 (t i) ( )a t De (2.41) e (2.42) conclui-se que: 
	(2.42) 
		Tm ( )t = k k i1	f	f ( )t ia ( )t 
	(2.43) 
A última expressão (2.43) mostra que para que haja uma relação de linearidade deve verificar-se uma das duas correntes (if (t) ou 	ia (t)) constante, conduzindo alternativamente a cada modo de funcionamento anteriormente mencionado. 
Considere-se o controlo por corrente de campo implicando constante a corrente de armadura ia ( )t = Ia ; então, o binário é proporcional à corrente de campo, (2.44), designando-se por constante do motor km = k k I1 f a . 
	Tm ( )t = k im f (t) 	(2.44) 
A expressão (2.44) relaciona 2 grandezas físicas de naturezas diferentes: corrente do circuito de campo e binário desenvolvido pelo motor. 
Tratando-se de um controlo por corrente de campo, pretende-se finalmente uma relação entre a tensão aplicada ao circuito de campo Vf e a posição angular da carga mecânica θ. [9: Função de transferência. ]
Aplicando a lei do equilíbrio das tensões ao circuito de campo obtém-se, em termos da transformada de Laplace, (2.45). 
	Vf ( )s = R If	f ( )s + L sIf	f ( )s 	(2.45) 
Do lado do circuito da armadura pode-se dizer que o binário do motor é transferido para a carga Tm=TL . Atendendo aos parâmetros (J e B) da carga obtém-se (2.46). [10: Corresponde a uma aproximação pois, para além do binário da carga, há a considerar binários devido a perturbações externas que na presente análise se consideram desprezáveis. ]
	Tm ( )s = Js2θ(s)+ Bsθ(s) 
Eliminando Tm em (2.44) e (2.46) obtém-se (2.47). 
	(2.46) 
	Js2θ( )s + Bsθ( )s = kmI f ( )s 
	(2.47) 
Resolvendo (2.45) em ordem a If e substituindo em (2.47) pode-se chegar à função de transferência G(s). 
	G s( ) = 	(2.48) 
	⎛	⎛()
()
m
f
f
f
k
JL
s
V
s
R
B
ss
s
θ
=
⎞
⎞
+
+
	⎜	J ⎟⎠⎜⎜⎝	Lf ⎟⎟⎠
⎝
Considere-se agora o controlo pela armadura. Nestas circunstâncias é a corrente de campo que se mantém constante, if (t)= I f ; a expressão (2.43) pode ser escrita na forma (2.49). 
	Tm ( )t = k im a (t);	km = k k I1 f	f 	(2.49) 
Pretende-se determinar uma relação12 entre a tensão de armadura Va e a posição angular θ da carga mecânica. 
Nestas circunstâncias o fluxo (2.41), constante, induz na armadura uma força contra-electromotriz Vb que é proporcional à velocidade angular da carga (2.50). 
d
	vb ( )t = kb θ( )t 
dt
Aplicando a lei do equilíbrio das tensões ao circuito da armadura obtém-se (2.51). 
	(2.50) 
	d va ( )t = R ia a ( )t + La	ia ( )t +vb ( )t 
	(2.51) 
dt
Nesta última equação substituindo vb pela definição (2.50) e calculando a transformada de 
Laplace obtém-se Ia (s) dada por (2.52). 
Va ( )s −k sb θ( )s
	Ia ( )s =	 	(2.52) 
Ra + L sa
Considere-se agora a transformada de Laplace de (2.49): Tm (s) = k Im a (s) . Substituindo Tm 
	por (2.46) e Ia por (2.52) obtém-se a função de transferência G(s) pretendida. 
	
		θ( )s	k
	G s( )=	=	m	 
	(2.53) 
	Va ( )s	s⎡⎣(Ra + L sa )(B+ Js)+k kb	m ⎤⎦
 
 
Referências 
M. I. Ribeiro, Análise de Sistemas Lineares, IST Press. 
John J. D'Azzo e Constantine H. Houpis, Linear Control Systems Analysis and Design, 3ª ed., McGraw-Hill, 1988. 
J. Martins de Carvalho, Dynamical Systems and Automatic Control, Prentice Hall, 
1993. 
Richard C. Dorf and Robert H. Bishop, Modern Control Systems, 7ª ed., Addison 
Wesley, 1995. 
Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, 2ª ed., Prentice-Hall, 1990. 
Chi-TsongChen, Analog and Digital Control Systems Design: Transfer-function, state-space and algebraic methods, Saunders College Publishing, 1993. 
Bahram Shahian, Control Systems Design using Matlab, Prentice-Hall, 1993. 
Duane C. Hanselman e Benjamin Kuo, Matlab Tools for Control Systems Analysis and Design, Prentice-Hall, 1995.