F2 FLuidos
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F2 FLuidos

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CEFET - RJ
Uned Angra dos Reis

Ementa do curso

1. Esta´tica dos fluidos

• Propriedades dos fluidos
• Pressa˜o num fluido e equilı´brio de forc¸as; fluidos num campo gravitacional
• Aplicac¸o˜es: princı´pio de Arquimedes e variac¸a˜o da pressa˜o com a altura
• exercı´cios

2. Noc¸o˜es de hidrodinaˆmica

• Me´todos de descric¸a˜o de regimes de escoamento
• Conservac¸a˜o da massa e a equac¸a˜o da continuidade
• Forc¸as num fluido em movimento
• Equac¸a˜o de Bernoulli
• Aplicac¸o˜es: circulac¸a˜o, e viscosidade
• Exercı´cios

3. O oscilador harmoˆnico

• Introduc¸a˜o a oscilac¸o˜es harmoˆnicas
• Movimentos harmoˆnicos simples (MHS): exemplos e aplicac¸o˜es
• Relac¸a˜o entre MHS e MCU
• Superposic¸a˜o de MHSs
• Exercı´cios

4. Oscilac¸o˜es amortecidas e forc¸adas

• Oscilac¸o˜es amortecidas; ana´lise das condic¸o˜es de contorno
• Oscilac¸o˜es forc¸adas e ressonaˆnica
• Oscilac¸o˜es amortecidas e forc¸adas
• O balanc¸o de energia
• *Oscilac¸o˜es acopladas - soluc¸o˜es computacionais

5. Ondas

• Definic¸a˜o
• Ondas unidimensionais
• Equac¸o˜es das cordas vibrantes
• Intensidade de uma onda
• Interfereˆncia de ondas
• Estudo das condic¸o˜es de contorno: reflexa˜o de ondas, modos normais de vibrac¸a˜o e movimento geral

de uma onda

6. Som

1

• Relac¸a˜o entre pressa˜o, deslocamento e velocidade e a equac¸a˜o diferencial do som
• Ondas sonoras harmoˆnicas e intensidade; ondas sonoras altura e timbre
• Ondas em mais dimenso˜es e o princı´pio de Huygens para a reflexa˜o e refrac¸a˜o de ondas (sonoras)
• Interfereˆncia em mais dimenso˜es; cone de Mach
• Exercı´cios

7. Temperatura

• Introduc¸a˜o; equilı´brio te´rmico e lei zero da termodinaˆmica
• Temperatura
• O termoˆmetro de ga´s a volume constante
• Dilatac¸a˜o te´rmica
• Exercı´cios

8. Calor e a primeira lei da termidinaˆmica

• A natureza do calor; calor transferido e conduc¸a˜o de calor
• O equivalente mecaˆnico da caloria e a primeira lei da termodinaˆmica
• Exemplos de processos reversı´veis
• Exercı´cios

9. Propriedades fı´sicas dos gases

• Equac¸a˜o de estado dos gases ideais e a energia interna de um ga´s ideal
• Capacidades te´rmicas molares de gases ideais; processos adiaba´ticos em um ga´s ideal
• Exercı´cios

10. Irreversibilidade: a segunda lei da termodinaˆmica

• Introduc¸a˜o; enunciados de Klaus e Kelvin da segunda lei da termodinaˆmica
• Motor te´rmico, refrigerador e a equivaleˆnica entre os enunciados de Klaus e Kelvin. O ciclo de Carnot
• A escala termodinaˆmica da temperatura; o teorema de Clausius
• Entropia. Processos reversı´veis
• A variac¸a˜o da entropia em processos irreversı´veis
• O princı´pio do aumento da entropia e a seta do tempo
• Exercı´cios

1 Esta´tica de fluidos

FLuidos:

1. O que sa˜o?

2. Pra que estudar isso - ou pra que serve?

3. Como funciona?

2

1.1 Propriedades dos fluidos

Fluidos, assim como corpos rı´gidos, sa˜o distribuic¸o˜es contı˜nuas de mate´ria, entretanto a distaˆncia entre dois pontos
em um fluido na˜o e´ necessariamente constante. O que ocorre de fato e´ que um fluido se ajusta de acordo com as
superfı´cies rı´gidas que esta˜o em contato com ele; por isso se pode dizer que as superfı´cies de fluidos admitem for-
mas livres e em contato com a atmosfera. Grac¸as a essa possibilidade de se moldar em qualquer forma necessa´ria
- de acordo com qualquer interac¸a˜o fı´sica - os fluidos teˆm a propriedade de escoamento, ou seja, de fluir

Uma maneira fisicamente precisa de classificac¸a˜o de materiais entre so´lidos e lı´quidos e´ feita a partir da reac¸a˜o
a diferentes formas de forc¸as que atuam sobre um material. Aplicando uma forc¸a sobre a superfı´cie de um material,
podemos prever seus efeitos atrave´s da forc¸a por unidade de a´rea que atua no material; a forc¸a por unidade de a´rea
e´ definida como tensa˜o. As tenso˜es podem ser classificadas entre tenso˜es normais e tangenciais. Os fluidos se
diferem dos corpos rı´gidos na forma de reac¸a˜o a`s tenso˜es de cisalhamento: enquanto um so´lido deforma a sua
superfı´cie ate´ o ponto em que as forc¸as internas do corpo se equilibram com a tensa˜o externa de cisalhamento, o
fluido jamais sera´ capaz de equilibrar as forc¸as tangenciais internas com a tensa˜o de cisalhamento

Figure 1: Perfil degral de cisalhamento devido a forc¸as externas tangenciais. A interac¸a˜o e´ transmitida a`s camadas
adjascentes e a deformac¸a˜o final depende da forma de resisteˆncia do material a esse tipo de forc¸a

De fato ocorre que uma forc¸a arbitrariamente pequena em um fluido causa uma deformac¸a˜o arbitrariamente
grande desde que a forc¸a atue durante algum tempo suficiente. Assim, enquanto em so´lidos a resisteˆncia a esforc¸os
tangenciais depende da deformac¸a˜o - que em grande parte e´ ela´stica -, em um fluido a resisteˆncia do fluido
vai depender da velocidade de deformac¸a˜o; observa-se que forc¸as muito pequenas podem fazer deformac¸o˜es
realmente grandes em superfı´cies de fluidos desde que atuem por grandes intervalos de tempo

Ha´ muitos materiais que apresentam propriedades fı´sicas intermedia´rias entre so´lidos e fluidos, dependendo
de diversos fatores fı´sicos como temperatura, pressa˜o, e da escala de tempo em questa˜o para que se observe os
efeitos de escoamento sob ac¸a˜o de forc¸as tangenciais: massa de pa˜o, chiclete, gelatina, asfalto, vidro, ...

1.2 Pressa˜o em um fluido

Estudamos efeitos dinaˆmicos em uma partı´cula atrave´s de forc¸as que eram aplicadas a ela; vimos que as treˆs leis
de Newton eram suficuentes para tratar uma variedade quase infinita de problemas. Mas, em um fluido, tem-se que
ha´ um nu´mero muito grande de partı´culas mesmo em escalas milime´tricas, quem dira´ em escalas macrosco´picas.
Os efeitos estudados em escalas atoˆmico/moleculares sa˜o extremamente complicados e dependem de uma fı´sica
muito mais apurada para encontrar efeitos macrosco´picos atrave´s de interac¸o˜es microsco´picas1; um elemento de
volume ∆V =∆x∆y∆z na ordem de 10−3m3 pode ser considerado um bom elemento infinitesimal, pois as variac¸o˜es
de propriedades fı´sicas como densidade, pressa˜o e outros, sofrem variac¸o˜es ridı´culas em intervalos dessa ordem

Desta forma, define-se a densidade ρ em um ponto P de um fluido como

ρ = lim
∆V→0

(
∆m
∆V

)
=

dm
dV

(1)

1Essa parte e´ deixada a uma a´rea da fı´sica chamada de Mecaˆnica Estatı´stica.

3

onde ∆m e´ o elemento de massa de um volume ∆V que envolve as adjasceˆncias de um ponto P. O limite e´ aplicado
levando em conta que as variac¸o˜es podem ser tratadas como contı´nuas e suaves. A unidade fı´sica de medida da
densidade ρ e´ de kg/m3

Figure 2: Porc¸a˜o de um fluido em equilı´brio dentro de um recipiente

Definic¸a˜o: Um fluiudo esta´ em equilı´brio quando todas as porc¸o˜es desse fluido esta˜o em equilı´brio; isso e´
consequeˆncia de que todas as forc¸as que atuam nesse fluido se anulam. As forc¸as que atuam em um fluido podem
ser classificadas em forc¸as volume´tricas e forc¸as superficiais: as forc¸as volume´tricas normalmente sa˜o forc¸as de
campos como a gravidade; as forc¸as superficiais esta˜o relacionadas a contato com alguma superfı´ce.

Por exemplo, no caso da gravidade, a forc¸a gravitacional que atua em um elemento de massa ∆m e´ da forma

∆F = ∆mg
= ρg∆V (2)

Um exemplo de forc¸a superficial e´ o de uma superfı´cie interna de um balde em contato com a´gua em seu
interior. A forc¸a superficial e´ proporcional ao elemento de a´rea ∆s e a forc¸a por unidade de a´rea corresponde a`
tensa˜o. A tensa˜o resultante pode depender da direc¸a˜o de inclinac¸a˜o da superfı´cie. Nos casos de um fluido em
equilı´brio, os quais nos interessam, a forc¸a superficial sobre um elemento de superfı´cie dS corresponde a uma
pressa˜o p, da forma

dF = −pnˆdS, (3)
onde e´ definido que a pressa˜o

p =
∣∣∣∣dFdS

∣∣∣∣ (4)
e´ sempre positiva e o sinal negativo indica que a pressa˜o aponta sempre no sentido