F2 FLuidos

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CEFET - RJ
Uned Angra dos Reis
Ementa do curso
1. Esta´tica dos fluidos
• Propriedades dos fluidos
• Pressa˜o num fluido e equilı´brio de forc¸as; fluidos num campo gravitacional
• Aplicac¸o˜es: princı´pio de Arquimedes e variac¸a˜o da pressa˜o com a altura
• exercı´cios
2. Noc¸o˜es de hidrodinaˆmica
• Me´todos de descric¸a˜o de regimes de escoamento
• Conservac¸a˜o da massa e a equac¸a˜o da continuidade
• Forc¸as num fluido em movimento
• Equac¸a˜o de Bernoulli
• Aplicac¸o˜es: circulac¸a˜o, e viscosidade
• Exercı´cios
3. O oscilador harmoˆnico
• Introduc¸a˜o a oscilac¸o˜es harmoˆnicas
• Movimentos harmoˆnicos simples (MHS): exemplos e aplicac¸o˜es
• Relac¸a˜o entre MHS e MCU
• Superposic¸a˜o de MHSs
• Exercı´cios
4. Oscilac¸o˜es amortecidas e forc¸adas
• Oscilac¸o˜es amortecidas; ana´lise das condic¸o˜es de contorno
• Oscilac¸o˜es forc¸adas e ressonaˆnica
• Oscilac¸o˜es amortecidas e forc¸adas
• O balanc¸o de energia
• *Oscilac¸o˜es acopladas - soluc¸o˜es computacionais
5. Ondas
• Definic¸a˜o
• Ondas unidimensionais
• Equac¸o˜es das cordas vibrantes
• Intensidade de uma onda
• Interfereˆncia de ondas
• Estudo das condic¸o˜es de contorno: reflexa˜o de ondas, modos normais de vibrac¸a˜o e movimento geral
de uma onda
6. Som
1
• Relac¸a˜o entre pressa˜o, deslocamento e velocidade e a equac¸a˜o diferencial do som
• Ondas sonoras harmoˆnicas e intensidade; ondas sonoras altura e timbre
• Ondas em mais dimenso˜es e o princı´pio de Huygens para a reflexa˜o e refrac¸a˜o de ondas (sonoras)
• Interfereˆncia em mais dimenso˜es; cone de Mach
• Exercı´cios
7. Temperatura
• Introduc¸a˜o; equilı´brio te´rmico e lei zero da termodinaˆmica
• Temperatura
• O termoˆmetro de ga´s a volume constante
• Dilatac¸a˜o te´rmica
• Exercı´cios
8. Calor e a primeira lei da termidinaˆmica
• A natureza do calor; calor transferido e conduc¸a˜o de calor
• O equivalente mecaˆnico da caloria e a primeira lei da termodinaˆmica
• Exemplos de processos reversı´veis
• Exercı´cios
9. Propriedades fı´sicas dos gases
• Equac¸a˜o de estado dos gases ideais e a energia interna de um ga´s ideal
• Capacidades te´rmicas molares de gases ideais; processos adiaba´ticos em um ga´s ideal
• Exercı´cios
10. Irreversibilidade: a segunda lei da termodinaˆmica
• Introduc¸a˜o; enunciados de Klaus e Kelvin da segunda lei da termodinaˆmica
• Motor te´rmico, refrigerador e a equivaleˆnica entre os enunciados de Klaus e Kelvin. O ciclo de Carnot
• A escala termodinaˆmica da temperatura; o teorema de Clausius
• Entropia. Processos reversı´veis
• A variac¸a˜o da entropia em processos irreversı´veis
• O princı´pio do aumento da entropia e a seta do tempo
• Exercı´cios
1 Esta´tica de fluidos
FLuidos:
1. O que sa˜o?
2. Pra que estudar isso - ou pra que serve?
3. Como funciona?
2
1.1 Propriedades dos fluidos
Fluidos, assim como corpos rı´gidos, sa˜o distribuic¸o˜es contı˜nuas de mate´ria, entretanto a distaˆncia entre dois pontos
em um fluido na˜o e´ necessariamente constante. O que ocorre de fato e´ que um fluido se ajusta de acordo com as
superfı´cies rı´gidas que esta˜o em contato com ele; por isso se pode dizer que as superfı´cies de fluidos admitem for-
mas livres e em contato com a atmosfera. Grac¸as a essa possibilidade de se moldar em qualquer forma necessa´ria
- de acordo com qualquer interac¸a˜o fı´sica - os fluidos teˆm a propriedade de escoamento, ou seja, de fluir
Uma maneira fisicamente precisa de classificac¸a˜o de materiais entre so´lidos e lı´quidos e´ feita a partir da reac¸a˜o
a diferentes formas de forc¸as que atuam sobre um material. Aplicando uma forc¸a sobre a superfı´cie de um material,
podemos prever seus efeitos atrave´s da forc¸a por unidade de a´rea que atua no material; a forc¸a por unidade de a´rea
e´ definida como tensa˜o. As tenso˜es podem ser classificadas entre tenso˜es normais e tangenciais. Os fluidos se
diferem dos corpos rı´gidos na forma de reac¸a˜o a`s tenso˜es de cisalhamento: enquanto um so´lido deforma a sua
superfı´cie ate´ o ponto em que as forc¸as internas do corpo se equilibram com a tensa˜o externa de cisalhamento, o
fluido jamais sera´ capaz de equilibrar as forc¸as tangenciais internas com a tensa˜o de cisalhamento
Figure 1: Perfil degral de cisalhamento devido a forc¸as externas tangenciais. A interac¸a˜o e´ transmitida a`s camadas
adjascentes e a deformac¸a˜o final depende da forma de resisteˆncia do material a esse tipo de forc¸a
De fato ocorre que uma forc¸a arbitrariamente pequena em um fluido causa uma deformac¸a˜o arbitrariamente
grande desde que a forc¸a atue durante algum tempo suficiente. Assim, enquanto em so´lidos a resisteˆncia a esforc¸os
tangenciais depende da deformac¸a˜o - que em grande parte e´ ela´stica -, em um fluido a resisteˆncia do fluido
vai depender da velocidade de deformac¸a˜o; observa-se que forc¸as muito pequenas podem fazer deformac¸o˜es
realmente grandes em superfı´cies de fluidos desde que atuem por grandes intervalos de tempo
Ha´ muitos materiais que apresentam propriedades fı´sicas intermedia´rias entre so´lidos e fluidos, dependendo
de diversos fatores fı´sicos como temperatura, pressa˜o, e da escala de tempo em questa˜o para que se observe os
efeitos de escoamento sob ac¸a˜o de forc¸as tangenciais: massa de pa˜o, chiclete, gelatina, asfalto, vidro, ...
1.2 Pressa˜o em um fluido
Estudamos efeitos dinaˆmicos em uma partı´cula atrave´s de forc¸as que eram aplicadas a ela; vimos que as treˆs leis
de Newton eram suficuentes para tratar uma variedade quase infinita de problemas. Mas, em um fluido, tem-se que
ha´ um nu´mero muito grande de partı´culas mesmo em escalas milime´tricas, quem dira´ em escalas macrosco´picas.
Os efeitos estudados em escalas atoˆmico/moleculares sa˜o extremamente complicados e dependem de uma fı´sica
muito mais apurada para encontrar efeitos macrosco´picos atrave´s de interac¸o˜es microsco´picas1; um elemento de
volume ∆V =∆x∆y∆z na ordem de 10−3m3 pode ser considerado um bom elemento infinitesimal, pois as variac¸o˜es
de propriedades fı´sicas como densidade, pressa˜o e outros, sofrem variac¸o˜es ridı´culas em intervalos dessa ordem
Desta forma, define-se a densidade ρ em um ponto P de um fluido como
ρ = lim
∆V→0
(
∆m
∆V
)
=
dm
dV
(1)
1Essa parte e´ deixada a uma a´rea da fı´sica chamada de Mecaˆnica Estatı´stica.
3
onde ∆m e´ o elemento de massa de um volume ∆V que envolve as adjasceˆncias de um ponto P. O limite e´ aplicado
levando em conta que as variac¸o˜es podem ser tratadas como contı´nuas e suaves. A unidade fı´sica de medida da
densidade ρ e´ de kg/m3
Figure 2: Porc¸a˜o de um fluido em equilı´brio dentro de um recipiente
Definic¸a˜o: Um fluiudo esta´ em equilı´brio quando todas as porc¸o˜es desse fluido esta˜o em equilı´brio; isso e´
consequeˆncia de que todas as forc¸as que atuam nesse fluido se anulam. As forc¸as que atuam em um fluido podem
ser classificadas em forc¸as volume´tricas e forc¸as superficiais: as forc¸as volume´tricas normalmente sa˜o forc¸as de
campos como a gravidade; as forc¸as superficiais esta˜o relacionadas a contato com alguma superfı´ce.
Por exemplo, no caso da gravidade, a forc¸a gravitacional que atua em um elemento de massa ∆m e´ da forma
∆F = ∆mg
= ρg∆V (2)
Um exemplo de forc¸a superficial e´ o de uma superfı´cie interna de um balde em contato com a´gua em seu
interior. A forc¸a superficial e´ proporcional ao elemento de a´rea ∆s e a forc¸a por unidade de a´rea corresponde a`
tensa˜o. A tensa˜o resultante pode depender da direc¸a˜o de inclinac¸a˜o da superfı´cie. Nos casos de um fluido em
equilı´brio, os quais nos interessam, a forc¸a superficial sobre um elemento de superfı´cie dS corresponde a uma
pressa˜o p, da forma
dF = −pnˆdS, (3)
onde e´ definido que a pressa˜o
p =
∣∣∣∣dFdS
∣∣∣∣ (4)
e´ sempre positiva e o sinal negativo indica que a pressa˜o aponta sempre no sentidocontra´rio da forc¸a aplicada.
Observa-se que a pressa˜o p dentro de um fluido na˜o depende da direc¸a˜o, dependendo enta˜o apenas da posic¸a˜o. A
unidade de medida da pressa˜o e´ o Pascal, que equivale a um Newton por metro quadrado. Ha´ tambe´m outras que
sa˜o de interesse industriais
Aula 2
1. Equilı´brio num campo de forc¸as
2. Fluidos incompressı´veis em um campo gravitacional
3. Fluido em um balde girando em torno de um eixo de simetria
4. Vasos comunicantes e o princı´pio de Pascal
4
1.3 Equilı´brio em um campo de forc¸as
Aqui e´ considerado o caso de um fluido em um campo de forc¸a; como exemplo, pode-se pensar em alguma porc¸a˜o
de a´gua dentro de um balde sob ac¸a˜o da forc¸a gravitacional. Enta˜o
∆F = f∆V (5)
e´ a porc¸a˜o de forc¸a que atua em um elemento de volume ∆V do fluido atrave´s de uma densidade de forc¸a f que, no
caso em que essa forc¸a e´ a gravitacional, ela seria igual a ρg. Um tipo de forc¸a geral que atua nesse fluido interage
com ele por uma superfı´cie especı´fica ∆S e, por isso, pra ficar mais fa´cil de entender, vamos tratar primeiro o caso
gravitacional e depois o caso geral; nesse caso especı´fico, a forc¸a tem apenas a direc¸a˜o vertical zˆ que atua sobre o
elemento de volume ∆V = ∆S∆z
Figure 3: Comportamento da pressa˜o em um cilindro infinitesimal de secc¸a˜o de a´rea constante A e de altura
∆z = z2− z1 de um fluido de densidade ρ em um campo gravitacinoal
Lembrando da segunda lei de Newton, a forc¸a total que age sobe o cilı´ndro e´
Fz = (p(x,y,z2)− p(x,y,z1))∆S
≡ lim
∆z→0
(
p(x,y,z2)− p(x,y,z1)
∆z
)
∆S∆z
=
∂
∂ z
p(x,y,z)∆V
(6)
o que leva a
Fz
∆V
= fz =
∂
∂ z
p(x,y,z). (7)
5
Como a porc¸a˜o infinitesimal de fluido contido no volume dV , que e´ dada por dm = ρdV , tem acelerac¸a˜o dada por
−g, enta˜o
fz =
d p
dz
=−ρg. (8)
No caso geral, para um campo de forc¸a que atuaria em qualquer uma das direc¸o˜es, ter-se-a´2
f = grad p (9)
1.3.1 Especificidades sobre fluidos incompressı´veis em um campo gravitacional
Os mecaˆnicos de retı´fica de motores de automo´veis ja´ sabem muito bem que na˜o adianta tentar comprimir uma
porc¸a˜o qualquer de a´gua nem mesmo com o poderoso metal dos motores: o calc¸o hidra´ulico3 ocorre quando uma
certa quantidade de a´gua entra no sistema de combusta˜o do motor, em forma de vapor e, quando a a´gua retorna
a seu estado lı´quido - depois que o motor do carro foi desligado e deu tempo de esfriar - ela se aloja perto dos
pisto˜es. Ocorre que o lugar onde os pisto˜es se movem e´ extremamente apertado para garantir maior poteˆncia ao
motor. Dessa forma, a a´gua, quando pressionada pelo movimento do pista˜o, na˜o se comprime, causando uma
ruptura na parede do motor. Este exemplo mostra na pra´tica uma informac¸a˜o interessante sobre a densidade da
a´gua: ela aumenta apenas em torno de ≈ 0,5% quando a sua pressa˜o varia de 1atm para 100 atm: isso e´ um bom
exemplo de fluido incompressı´vel! Na teoria, a densidade ρ volume´trica de massa e´ constante
Assim, usando essa informac¸a˜o na equac¸a˜o (8), pode-se integrar ambos os lados para encontrar que4
p(z)− p(z0) = −ρg(z− z0), (10)
mostrando que se, por exemplo, z e´ a posic¸a˜o de uma superfı´cie livre de um fluido em contato com a atmosfera,
enta˜o p(z0) ≈ p0 que e´ a pressa˜o atmosfe´rica e z0− z = h e a profundidade do fluido abaixo da superfı´cie livre;
dessa forma, em termos da profundidade h, tem-se
p = p0 +ρgh (11)
que e´ a lei de Stevin: a pressa˜o o interior de um fluido aumenta linearmente com a profundidade.
Podemos tambe´m lembrar da disciplina de fı´sica 1 onde encontramos que a relac¸a˜o entre forc¸a peso e o
potencial gravitacional e´ dado por
F = −zˆ∂zU, (12)
enta˜o podemos concluir que uma superfı´cie equipotencial e´ tambe´m uma superfı´ce isoba´rica. De fato, pois a
superfı´cie de um lı´quido em contato com a atmosfera tem todos os seus pontos com a mesma pressa˜o, que e´ a
pressa˜o atmosfe´rica; isso significa que a superfı´cie livre de um lı´quido em equilı´brio no campo gravitacinoal e´
uma superfı´cie equipotencial desse campo. Assim, as superfı´cies dos oceanos formam uma superfı´cie esfe´rica
com centro no centro da Terra. Como estamos na superfı´cie da Terra, a energia potencial de uma massa m e´
mg(z− z0) de forma que a densidade de energia u potencial de um fluido de densidade ρ e´ dada por
u = ρg(z− z0) (13)
e a superfı´cie livre de um lı´quido em equilı´brio - como a a´gua em um balde - e´ uma superfı´cie horizontal com
altura constante dada por z− z0. Assim, pode-se escrever a equac¸a˜o (10) como
p(z) = −ρgz+ cte (14)
ou, em termos de densidades de energias, por
p(z) = −u+ cte (15)
6
Figure 4: Um lı´quido esta´ em um balde em rotac¸a˜o constante
1.3.2 Exemplo: deformac¸a˜o na superfı´cie de um fluido em recipiente em rotac¸a˜o
Neste exemplo consideramos um fluido em um balde que gira uniformemente a uma velocidade angular ω em
relac¸a˜o a um ixo vertical que passa pelo centro de massa do balde. Esta situac¸a˜o fica mais fa´cil de ser tratada
quando o balde e o fluido giram todos a` mesma velocidade angular, o que assegura que o fluido esta´ em equilı´brio.
Nessa situac¸a˜o, ale´m da forc¸a, vai ser exercida uma forc¸a centrı´fuga; esta forc¸a e´ capaz de alterar a forma da
suerfı´cie do fluido
A porc¸a˜o de forc¸a centrı´fuga ∆Fc sobre uma porc¸a˜o de massa ∆m e´ ada por
∆Fc = ∆mrω2rˆ (16)
apontando na direc¸a˜o normal rˆ a` suerfı´cie lateral do balde. A densidade volume´trica de forc¸a centrı´fuga que atua
em cada porc¸a˜o do do fluido incompressı´vel e de densidade ρ e´
∆Fc = ρ∆Vω2r
⇒ ∆Fc
∆V
= ρω2r (17)
que, pela equac¸a˜o (9), e´
⇒−du
dr
= ρω2r. (18)
Ok, mas e daı´? E daı´ e´ que podemos encontrar a forma de u que nos representaria a densidade de energia potencial
de rotac¸a˜o; ela seria o resultado de u da equac¸a˜o em (18), que e´
uc = −12ρω
2r2 (19)
e, na equac¸a˜o da energia total do sistema (15), isso da´
p(z) = −
(
−1
2
ρω2r2
)
−ρgz+ cte. (20)
2MT pira!
3https://www.youtube.com/watch?v=bRdfoqhcdzc
4Isso da´ aquela famosa p = p0 +ρgh
7
Tomando a origem do sistema como o ponto mais baixo da superfı´cie do fluido em rotac¸a˜o, ainda temos que
naquele ponto a pressa˜o p(z) = p0; isso ocorre, de fato, em toda a superfı´cie do fluido. Assim, na superfı´cie, a
equac¸a˜o para a energia total resulta, enta˜o, em
1
2
ρω2r2 = ρgz
⇒ z = ω
2r2
2g
, (21)
que e´ uma equac¸a˜o de uma para´bola com concavidade para cima.
1.4 Aplicac¸o˜es
As aplicac¸o˜es sobre hidrosta´tica, apesar dos conceitos na˜o passarem de uma idealizac¸a˜o de conservac¸a˜o de energia
- mas pela primeira vez voceˆs devem ter visto que e´ uma conservac¸a˜o de densidades de massas e de energias, na˜o
necessariamente das partı´culas em si - ja´ sa˜o suficientes para diversas aplicac¸o˜es em va´rias a´reas da civilizac¸a˜o
1.4.1 Princı´pio de Pascal
Figure 5: Vasos comunicantes
Pela lei de Stevin (10), se um lı´quido homogeˆneo - densidade constante - em equilı´brio tem dois pontos cujas
diferenc¸as de pressa˜o e´ constante, a diferenc¸a de pressa˜o vai depender apenas do desnı´vel z−z0 entre esses pontos.
Ale´m do mais, se for produzida uma variac¸a˜o de pressa˜o sobre um ponto no fluido, essa variac¸a˜o se transmite a
todo o lı´quido: todos os pontos do fluido sentira˜o a mesma variac¸a˜o de pressa˜o. Este e´ o princı´pio de Pascal. Ele
e´ enunciado por “Considere o caso de um recipiente fechado cheio de a´gua que tem duas aberturas onde uma
delas e´ cem vezes maior que a outra: colocando um pista˜o bem justo em cada uma dessas aberturas, um homem
empurrando o pista˜o pequeno igualara´ a forc¸a de cem homens empurrando o pista˜o cem vezes maior... e qualquer
que seja a proporc¸a˜o das aberturas, estara˜o em equilı´brio”. Na pra´tica, se F1 e F2 sa˜o magnitudes de forc¸as sobre
pisto˜es de a´reasA1 e A2, respectivamente, tem-se que F1/A1 = F2/A2
1.4.2 Vasos comunicantes
Seja o caso de um recipiente que e´ formado por diversos vasos que se “comunicam” entre si; se nesse sistema
temos apenas um tipo de fluido, nestes casos observa-se que a superfı´cie livre dos fluidos teˆm as mesmas alturas,
formando assim superfı´cies horizontais das mesmas alturas, conforme a Figura (6(a)). Em outras palavras, o fluido
ocupara´ a mesma altura h em cada um dos tubos. Ale´m disso, a pressa˜o p = ρgh tera´ o mesmo valor para pontos
de diferentes alturas h - ou profundidades - em cada um dos ramos, independentemente de suas formas. Por outro
lado, se os vasos comunicantes tiverem, por exemplo, dois fluidos de densidades ρ1 6= ρ2 e - muito importante: -
8
(a) Vasos Comunicantes com um mesmo fluido (b) Tubo em U com ρ1 6= ρ2
na˜o se misturam, eles subira˜o alturas diferentes com relac¸a˜o a uma linha horizontal. Se p e´ a pressa˜o nos pontos
(1) e (2), que esta˜o na mesma altura, enta˜o, elas valem
p1 = p2
ρ1gh1 = ρ2gh2
de modo que
ρ2
ρ1
=
h1
h2
(22)
Aula 3
1. Pressa˜o atmosfe´rica, manoˆmetros
2. Princı´pio de Arquimedes
3. Variac¸a˜o da pressa˜o atmosfe´rica com a altura
1.4.3 Pressa˜o atmosfe´rica e manoˆmetros
Figure 6: Movimento na˜o ao va´cuo
A suposic¸a˜o de que a Na-
tureza tem horror ao va´cuo
era a grande tentativa de ex-
plicar o efeito que acontece em
uma bomba aspirante, onde um
eˆmbolo e´ puxado gerando uma
succ¸a˜o do lı´quido. Segundo
eles, o lı´quido subia para que
na˜o fosse criado va´cuo, um
espac¸o vazio
Ocorreu ainda na e´poca de
Galieu, onde um construtor
projetou uma bomba aspirante
muito alta; entretanto, foi ver-
ificado que a a´gua na˜o poderia
9
ser aspirada a uma altura maior
que 10,0m. Quem deu a re-
sposta para o problema foi um
estudante de Galieu, Evangelista Torricelli, o qual foi sucessor de Galileu na Academia de Florenc¸a. Torricelli
afirmou: “Vivemos no fundo de um oceano de ar, que, conforme mostra a experieˆncia, sem du´vida tem peso”,
devendo, portanto, exercer sobre os corpos uma pressa˜o atmosfe´rica
Essa pressa˜o era, enta˜o, suficiente para levantar uma coluna de a´gua a uma altura de aproximadamente 10
metros; desta forma, Torricelli foi capaz de prever que essa pressa˜o seria capaz de elevar uma coluna de mercu´rio
- que e´ em torno de 13,6 vezes mais denso que a a´gua - ate´ uma altura de aproximadamente 10m/13,6≈ 76cm.
Figure 7: A pressa˜o atmosfe´rica e´ capaz de levantar uma coluna de mercu´rio dentro de um tubo evacuado
O experimento foi realizado em 1643 por Vicenzo Vivani que, uilizando um tubo de vidro de aproximadamente
um metro de comprimento, fechado em uma das extremidades, foi invertido em uma tuba de mercu´rio, tampando
antes a extremidade aberta. A coluna de mercu´rio baixou ate´ que que se manteve a uma altura de 76cm com
relac¸aˆo ao nı´vel da pressa˜o atmosfe´rica. Ocorre que de fato o baroˆmetro de mercu´rio e´ um bom equipamento para
leitura da pressa˜o.
Usando esse mesmo conceito, Pascal indagou que no topo de uma montanha observaria-se que, como a pressa˜o
atmosfe´rica seria menor, enta˜o o tamanho da coluna de mercu´rio tambe´m seria. Para verificar isso, em 1648 Pascal
pediu a um querido cunhado que subisse ao cume de uma montanha de 1000 metros de altitude. Observou-se que
o efeito da altitude foi a diminuic¸a˜o do tamanho da coluna de mercu´rio em 8 centı´metros, concordando com todas
as expectativas
Em 1654 foi realizada uma das mais espetaculares experieˆncias que comprovariam os efeitos da pressa˜o at-
mosfe´rica: Otto Von Guericke, burgomestre de Magdeburgo, conseguiu produzir um excelente va´cuo em um vol-
ume formado por dois hemisfe´rios. Em seguida, colocou 16 cavalos, emparelhados 8 a 8 de cada lado, puxando
os dois hemisfe´rios na tentativa de abrı´-los, sem sucesso.
10
Figure 8: Duas parelhas de oito cavalos cada puxando dois hemisfe´rios ligados apenas a va´cuo em 1654
Uma outra aplicac¸a˜o direta e´ o manoˆmetro de tubo aberto que consiste em um tubo na forma de U que conte´m
um fluido com propriedades bem conhecidas pelo experimentador. Uma das extremidades fica aberta, em contato
com a pressa˜o atmosfe´rica, enquanto a outra extremidade entra em contato com o recipiente onde se quer aferir a
pressa˜o pA. A pressa˜o nos pontos B e C, conforme a Figura (1.4.3) sa˜o iguais:

pC = p0 +ρmangh2
⇒ pA− p0 = g(ρh1−ρmanh2)
pB = pA +ρgh1
(23)
1.5 Princı´pio de Arquimedes
Este princı´pio relaciona qual a forc¸a que um objeto sofre ao submergir em um fluido. Pra isso, vamos considerar
um corpo so´lido com forma de um cilindro circular reto, com a´rea da base A e de altura h; supo˜e-se que o objeto
11
Figure 9: Empuxo sofrido por um corpo cilı´ndrico submerso em um fluido de densidade ρ; a condic¸a˜o necessaria
para o caso esta´tico e´ de que o sistema esteja em equilı´brio - ou seja, que o cilindro esteja parado - e que o fluido
ja´ tenha se estabilizado, entrando em equilı´brio.
esteja totalmente imerso no fluido, como na FIgura (1.5). Note que as forc¸as que atuam nas laterais do cilindro
se anulam, entretanto, como as alturas do topo e da base do cilindro sa˜o diferentes, exercem valores diferentes de
pressa˜o:
pB− pA = ρgh, (24)
implicando assim que as forc¸as resultantes E que atuam sobre o cilindro sa˜o dadas por
E = (pb− pa)S
= ρghA
= ρ(hA =V )g
= ρV g
= mρg (25)
onde mρ e´ a massa do fluido deslocado, o qual tem volume igual ao do cilindro. A forc¸a resultante em (25) e´
definida como o empuxo.
O mais interessante do empuxo E e´ que, na verdade, ele nem depende da forma do objeto, ele sempre vai ser
igual e contra´rio a´ forc¸a peso da massa de fluido deslocado pela submersa˜o do objeto.
E se a densidade do objeto for menor que a do fluido, o que aocntece? Ocorre que o objeto, supostamete de
massa mo = ρoVo ira´ afundar ate´ que a massa do fluido deslocado crie o empuxo m f g para se igualar ao peso
mog do objeto. Dessa forma, como as massas sa˜o iguais, tem-se que o volume de fluido deslocado sera´ dado por
ρoVo = ρ fVf ⇒Vf =Voρo/ρ f . O resultado disso e´ que o objeto ficara´, enta˜o, flutuando. Assim, podemos enunciar
o princı´pio de Arquimedes: Um corpo total, ou parcialmente, imerso num fluido recebe do fluido um empuxo igual
e contra´rio da forc¸a peso da porc¸a˜o do fluido deslocado; essa forc¸a e´ aplicada ao centro de gravidade da porc¸a˜o.
12
1.6 Variac¸a˜o da pressa˜o atmosfe´rica com a altura
Voltamos a` equac¸a˜o (8) que vale para qualquer fluido incompressı´vel em um campo gravitacional, por exemplo, a
fluidos a` base de a´gua. Outros fluidos na˜o sa˜o ta˜o incompressı´veis, como os gases: prendendo uma bexiga cheia
pela saı´da e apertando-a, pode-se medir a variac¸a˜o do volume dela; observa-se tambe´m a variac¸a˜o do volume
de gases com variac¸o˜es de temperauras: assim sa˜o os gases da atmosfera. A situac¸a˜o agora e´: como calcular a
variac¸a˜o da pressa˜o atmosfe´rica com a variac¸a˜o da altura?
Para tentar resolver esse problema, e´ necessa´rio fazer va´rias considerac¸o˜es como, por exemplo, supor que a
atmosfera e´, em me´dia, um fluido em equilı´brio e que se comporta como um ga´s ideal5 e, por isso, obedece a`s
equac¸o˜es de estado de gases ideais:
PV = nRT.
Lembrando que m = ρV ⇒V = m/ρ , o que permite escrever a equac¸a˜o dos gases ideais como
p
ρ
=
nRT
m
.
Por outro lado, para variac¸o˜es de temperatura devidas a variac¸o˜es de altura na ordem de 1km sa˜o desprezı´veis;
assim, estamos assumindo que a atmosfera e´ aproximadamente isote´rmica. Dessa forma, temos que para duas
alturas diferentes:
ρ(z)
p(z)
=
ρ(0)
p(0)
1
p(z)
=
ρ(0)
p(0)ρ
(26)
onde a marca z = 0 e´ tomada para o nı´vel do mar. Dessa forma, podemos escrever a relac¸a˜o entre pressa˜o e
densidade de energia (8) por
d p
p
= −ρgdz ρ(0)
p(0)ρ
=
ρ0g
p0
dz= −λdz, (27)
pois
ρ0g
p0
dz = λ e´ uma constante. Assim, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial acima e´ uma integrac¸a˜o simples que
resulta em
p(z) = p0e−λ z, (28)
mostrando que este modelo da´ um comportamento para a pressa˜o como uma func¸a˜o que decresce exponencial-
mente com o aumento da altura. Se considerarmos que a temperatura seja de 15o com p0 = 1atm = 1,013×
105N/m2, a densidade do ar e´ de aproximadamente ρ0 ≈ 1,226kg/m3. Isso implica que para z = 1/λ = p0/(ρ0g)
terı´amos 1/λ ≈ 8,4km, que e´ a ordem de grandeza para a troposfera, que e´ o tamanho da camada mais baixa da
atmosfera.
2 Noc¸o˜es de hidrodinaˆmica ba´sica
Como foi visto na sec¸a˜o anterior, um fluido e´ considerado como uma distribuic¸a˜o contı´nua de mate´ria. A descric¸a˜o
dinaˆmica de todo o fluido, enta˜o, poderia partir da considerac¸a˜o de cada elemento infinitesimal do fluido e o
movimento geral poderia ser uma distribuic¸a˜o estatı´stica dos movimentos de cada porc¸a˜o.
Felizmente, na˜o precisaremos de todo esse trabalho para descrever os processos dinaˆmicos mais elementares
dos fluidos; isso grac¸as a Euler, que sugeriu a ana´lise dos vetores velocidade v de cada ponto r do fluido: essa
5Isso e´ um conteu´do a ser definido com mais rigor nos conteu´dos da u´ltima prova
13
Figure 10: Fluxo em um tubo irregular
foi a Introduc¸a˜o ao conceito de campos de velocidade. Uma maneira interessante de visualizar o que seriam
os campos de velocidade seria quando se considera que alguns pontos no fluido pudessem soltar tinta em uma
pequena quantidade; logo depois dessa tinta comec¸ar a soltar, a velocidade do fluido seria a mesma da tinha e
assim poderia se ver os trac¸os do fluxo; cada trac¸o daria o valor da velocidade naquele ponto desde que se saiba a
durac¸a˜o de tempo envolvido
Define-se a linha de corrente como a tangente a cada ponto ao vetor velocidade v desse ponto; veremos em
Fı´sica 3 um conceito muito parecido ao descrever as linhas de forc¸a de um campo magne´tico, as quais podem ser
literalmente visualizadas com limalhas de ferro
Define-se um tubo de corrente a superfı´cie formada, num determinado instante, por todas as linhas de corrente
que passam pelos pontos de uma dada curva C fechada que e´ hipoteticamente construı´da dentro do fluido. No caso
geral, ha´ variac¸o˜es de velocidade em func¸a˜o do tempo e, por isso, as linhas - e consequentemente, os tubos - de
corrente variam a cada instante
Definimos um escoamento estaciona´rio6 e´ definido como aquele onde a velocidade em um dado ponto na˜o
varia com o tempo, ou seja:
v = v(r). (29)
Atenc¸a˜o com a definic¸a˜o: ela diz que uma velocidade em um ponto na˜o varia em um escoamento estaciona´rio, mas
ela na˜o diz que a velocidade do escoamento e´ a mesma para diferentes pontos. Isso na pra´tica implica que a cada
ponto, podemos ter velocidades diferentes de escoamento. Na pra´tica, temos que o escoamento de a´gua em baixas
velocidades em por uma torneira pode ser bem descrito como um escoamento estaciona´rio. Observe tambe´m que
duas linhas de fluxo jamais devem se cruzar, pois isso permitiria que em um escoamento estaciona´rio se teria
duas velocidades diferentes7. Essa idealizac¸a˜o tambe´m permite que podemos considerar partes do escoamento
como tubos de corrente: se as linhas de corrente em um fluxo estaciona´rio na˜o podem se cruzar, enta˜o elas jamais
poderiam atravessar as linhas paralelas, exatamente como se o escoamento fosse em um tubo de paredes rı´gidas
de uma canaliac¸a˜o. No limite oposto de um escoamento estacinoa´rio, as linhas de corrente variam fortemente no
tempo e, por isso, na˜o coincidem com a tajeto´ria do fluxo; no caso extremo, o escoamento pode ser chamado de
turbulento, como aquele de uma torneira bastante aberta
6Quando eu estava na graduac¸a˜o e via frases paradoxais como essa tinha vontade de arrancar a minha garganta fora; uma definic¸a˜o dessas,
agora como professor, me da´ amigdalite
7E´, aqui a gente ja´ comec¸a a usar os conceitos de campos vetoriais; veremos em Fı´sica 3 que duas linhas de campo ele´trico - por exemplo
- jamais podem se cruzar pois cada uma delas daria um valor para aquele ponto, mas na pra´tica e´ impossı´vel se ter dois valores de campo para
um mesmo ponto no espac¸o
14
Figure 11: Fluxo laminar vs fluxo turbulento
2.1 Conservac¸a˜o da massa e equac¸a˜o da continuidade
Os principais resultados que vamos encontrar nesses assuntos de dinaˆmica de fluidos estaciona´rios partem de
leis ba´sicas de conservac¸a˜o, como a da conservac¸a˜o da massa e da energia; ambos os conceitos aplicados ao
movimento do fluido
Figure 12: Fluxo laminar vs fluxo turbulento
Consideramos um elemento cilindrico de fluido em um escoamento estaciona´rio de comprimento dl = v(r)dt,
15
onde a velocidade e´ paralela a` direc¸a˜o normal da secc¸a˜o de a´rea A atravessada pelo fluido em um intervalo de
tempo dt. A massa dm que atravessa a secc¸a˜o de a´rea A sera´ igual a do fluido de densidade ρ que ocupa o cilı´ndro
de volume V = A ·dl = Avdt, ou seja
dm = ρAV dt (30)
Agora precisamos levar outro fato em considerac¸a˜o: vamos assumir que o fluido seja incompressı´vel, ou seja,
a densidade e´ constante em todo o escoamento, independentemente da forma do duto. Isso vale, na pra´tica, muito
bem para lı´quidos, mas na˜o para gases, exceto quando eles sejam ta˜o rarefeitos que a variac¸a˜o de densidade seja
desprezı´vel
Figure 13: Conservac¸a˜o da massa
Agora vamos considerar o caso de um escoamento estaciona´rio de uma porc¸a˜o de massa dm de fluido que
passa por duas sec¸o˜es transversais diferentes, de a´reas A1 e A2. Em cada um desses ramos, as velocidades do
fluido incompressı´vel sa˜o v1 e v2. Note agora que como o escoamento e´ estaciona´rio, enta˜o a massa que passa por
unidade de tempo por A1 deve ser a mesma que passa por A2 no mesmo intervalo de tempo, ou seja
dm1 = dm2
ρ1A1v1dt = ρ2A2v2dt
⇒ A1v1 = A2v2 (31)
o que significa que o produto Av e´ constante em um escoamento estacinoa´rio; Av tem unidades de m3/s e mede a
quantidade de volume de fluido que passa pela a´rea A por unidade de tempo, tambe´m chamada de vaza˜o. Observe
tambe´m que quanto maior a a´rea do escoamento, menor deve ser a velocidade do fluido naquele ponto; e, tambe´m,
quanto menor a a´rea, maior sera´ a velocidade naquele ponto. Veja a Figura (13); ali, A1 > A2 e por isso as linhas
de velocidade esta˜o mais espac¸adas em A1 e mais pro´ximas entre si em A2; essa informac¸a˜o nos da´ uma maneira
de descric¸a˜o visual onde as linhas de campo mais pro´ximas indicam maior intensidade daquele vetor e, neste caso,
quanto mais pro´ximas as linhas em A2, maior a velocidade do fluido com relac¸a˜o a A1
O caso mais geral, onde o fluido e´ compressı´vel, na˜o pode ser tratado com o auxı´lio da interpretac¸a˜o de tubos
de corrente. Para isso, precisamos levar em conta a massa de um volume fixo V que e´ limitado por uma superfı´cie
fechada S. Apesar das complicac¸o˜es matema´ticas envolvendo produtos escalares entre cada elemento de a´rea
com o vetor velocidade de cada posic¸a˜o; dos volumes escoados em cada elemento de superfı´cie; das variac¸o˜es de
16
Figure 14: Conservac¸a˜o da massa
densidade; a maneira mais imples e´ considerar a Figura (34): a diferenc¸a entre a quantidade de fluido que entra e
a que sai e´ a variac¸a˜o de massa com relac¸a˜o ao tempo. Agora, levando em conta que a massa total M e´ dada por
M =
∫
V
ρdV, (32)
Por outro lado, a perda de massa −dm que passa por essa superfı´cie e´ a soma - integral! -de todos os elementos
de massa que passa por cada elemento de a´rea dS da superfı´cie, onde cada elemento de massa dm com densidade
ρ que passa com uma velocidade v por uma superfı´cie orientada dS em um intervalo de tempo dt, na forma
−dm =
∮
S
ρv ·dSdt (33)
enta˜o podemos verificar que
dm
dt
= −
∮
S
ρv ·dS
17
que, em (32), depois dederivar com relac¸a˜o ao tempo, resulta em
d
dt
∫
V
ρdV = −
∮
S
ρv ·dS (34)
A equac¸a˜o (34) e´ conhecida como a equac¸a˜o da continuidade; ela expressa uma das leis mais inviola´veis da
natureza, que e´ a da conservac¸a˜o da massa. Ela tambe´m pode ser usada para fluxos de ele´trons, onde chegaremos
a outra lei universal que e´ a da conservac¸a˜o da carga ele´trica
Uma outra curiosidade a respeito da equac¸a˜o (34) e´ que se ela for aplicada a um tubo de escoamento com a´reas
diferentes para um fluido compressı´vel como um ga´s, por exemplo, chegaremos em
ρ1v1A1 = ρ2v2A2 (35)
2.2 Forc¸as em um fluido em movimento
As forc¸as que atuam em um fluido em equilı´brio, como vimos na sec¸a˜o anterior, sa˜o as volume´tricas - aquelas
que atingem cada porc¸a˜o do fuido da mesma maneira, como a gravitacional - e as superfı´ciais, que sa˜o aquelas
devidas a contatos e ate´ a` pro´pria viscosidade. A viscosidade dos fluidos e´ tema de grande interesse tecnolo´gico
pois a reduc¸a˜o desse efeito acarreta a economias reduc¸a˜o de perdas devido a atrito, os quais tem como resultados
diversos como desgastes de pec¸as e aumento de temperatura em motores, por exemplo; em carros mais novos sa˜o
usados o´leos de motores com viscosidades mais baixas devido ao grande ajuste nas pec¸as, mas em carros mais
usados e´ necessa´rio usar o´leos mais viscosos para diminuir os vazamentos entre as juntas; por isso, carros mais
velhos tendem a consumir mais combustı´vel
Fluidos podem ter coeficientes de viscosidades realmente baixos, mas jamais iguais a zero; deixar de levar
esses efeitos em conta podem ser pensados quando os efeitos sa˜o reduzidos e, por isso, fluidos com viscosidade
nula sa˜o chamados de fuidos ideais
No caso geral, uma porc¸a˜o de massa ∆m de fluido sob ac¸a˜o de forc¸as volue´tricas e superficiais, tem-se
∆FV
∆V
+
∆FS
∆V
= f− d p
dz
(36)
onde ∆FV/∆V e ∆FS/∆V sa˜o as densidades de forc¸a volume´trica e superficial que atua no elemento de massa ∆m.
Pela segunda lei de Newton, todas essas forc¸as atuam na massa, inferindo-lhe uma acelerac¸a˜o a, tal que
ρa = f− d p
dz
(37)
e, para o caso em que a forc¸a volume´trica que atinge o fluido, tem-se que f = ρgdz, encontra-se que
ρa =
d
dz
(p+ρgz) (38)
Observe que para os casos em equilı´brio, a = 0, volta-se aos casos da hidrosta´tica.
2.3 Conservac¸a˜o de energia e equac¸a˜o de Bernoulli
A situac¸a˜o inicial a ser considerada e´ to-
talmente ideal: o fluido e incompressı´vel,
o escoamento e´ estaciona´rio e, ainda, o
fluido e´ perfeito, ou seja, tem viscosi-
dade zero. Apesar dessas idealizac¸o˜es, im-
pressionantemente e´ possı´vel obter resul-
tados muito pro´ximos da realidade em di-
versas situac¸o˜es a serem consideradas com
cuidado
18
Considere o tubo da Figura (2.3), o qual
tem dois pontos diferentes, com a´reas A1
e A2 a alturas h1 e h2 onde uma mesma
quanidade de fluido dm passa pelos pontos
a velocidades v1 e v2, respectivamente. O
tubo tambe´m deve ser suficientemente estreito para que na˜o ocorram variac¸o˜es aprecia´veis das quantidades fı´sicas
descritas acima e, por isso, esse tubo e´ chamado de filete de corrente
A massa dm1 no trecho 1 e´ dada por
dm1 = ρA1v1dt
que, pela conservac¸a˜o da massa, deve vai ocupar o volume na regia˜o 2 com
dm2 = ρA2v2dt;
a conservac¸a˜o da massa assegura que dm1 = dm2 de modo que podemos encontrar que
ρA1v1dt = ρA2v2dt.
Observe que ha´ variac¸a˜o de altura, mostrando que a forc¸a peso realiza trabalho no movimento. A variac¸a˜o de
energia cine´tica no trecho e´
dT1→2 =
1
2
dm2v22−
1
2
dm1v21 (39)
que, pelo teorema do trabalho e energia cine´tica, e´ igual ao trabalho realizado pelo peso e pelas forc¸as de pressa˜o.
As forc¸as de pressa˜o que atuam do lado esquerdo dos cilindros em 1 e em 2 teˆm sentidos contra´rios aos das
forc¸as de pressa˜o que atuam do lado direito; dessa forma, o trabalho total das forc¸as de pressa˜o e´ dado pela
diferenc¸a
dWp,1→2 = p1A1v1dt− p2A2v2dt. (40)
Enquanto isso, a variac¸a˜o de energia potencial gravitacional - que e´ igual e contra´ria ao trabalho realizado pela
forc¸a peso de 1 a 2 - e´ dada por
dWg,1→2 = −gdm2h2 +gdm1h1. (41)
Pelo teorema do trabalho e energia cine´tica, temos
dT1→2 = dWp,1→2 +dWg,1→2
de modo que
1
2
dm2v22−
1
2
dm1v21 = (p1A1v1dt− p2A2v2dt)+(−gdm2h2 +gdm1h1) . (42)
Pela conservac¸a˜o da massa, temos que dm1 = dm2, simplificando muito a equac¸a˜o para
1
2
v21 + p1
A1v1dt
dm
+gh2 =
1
2
v22 + p2
A2v2dt
dm
+gh2
e, lembrando que dm = ρdV ⇒ 1/ρ = dV/dm e que dV = Avdt, encontra-se que
1
2
v21 +
p1
ρ
+gh2 =
1
2
v22 +
p2
ρ
+gh2. (43)
Note que esta equac¸a˜o exibe apenas a conservac¸a˜o da densidade de energia entre os trechos 1 e 2 de um escoamento
ideal, perfeito. Outra coisa importante e´ que essa equac¸a˜o so´ serve para fluidos incompressı´veis pois, no caso dos
compressı´veis, sabemos que ha´ variac¸a˜o da energia interna com a variac¸a˜o do volume ocupado, causando assim
19
variac¸a˜o de temperatura e consequentemente variac¸a˜o da viscosidade. Observe, tambe´m, que as quantidades
em cada lado da equac¸a˜o expressa˜o uma quantidade invaria´vel por trecho, que seria a densidade de energia.
Multiplicando ambos os lados por ρ encontramos a conhecida como equac¸a˜o de Bernoulli:
1
2
ρv2 + p+ρgh =C (44)
a qual expressa que a densidade de energia e´ constante em tudo o fluxo do filete. A rigor, o valor de C deve
ser diferente para cada filete de corrente, mas na pra´tica, aplica-se a equac¸a˜o de Bernoulli para o escoamento
estaciona´rio de um lı´quido que flui de um grande reservato´rio e cuja superfı´cie livre esta´ em contato com a
atmosfera; as linhas de corrente tem origem na superfı´cie livre do reservato´rio, que e´ horizontal, e se mante´m
quase inalterada apesar do escoamento, se o reservato´rio for suficientemente grande, implicando que na superfı´cie
do reservato´rio p = p0 e h = h0 = cte, sendo que a velocidade v2 e´ desprezı´vel, resultando em
C = p0 +ρgz0 (45)
que tem o mesmo valor para todas as linhas de corrente imagina´rias da superfı´cie do reservato´rio, ou seja, para
todo o escoamento. Pode-se tambe´m recuperar a hidrosta´tica ao fazer v→ 0 em todo o reservato´rio.
2.4 Aplicac¸o˜es
As aplicac¸o˜es sa˜o ta˜o impressionantes que a`s vezes nem parecem ser desse planeta: os que mais me impressionam
sa˜o os efeitos Magnus e Venturi. Um outro caso impressionante e´ de um me´todo de propulsa˜o de navios usando o
efeito magnus em grandes cilindros girantes de dimenso˜es proporcionais ao tamanho do navio; isso por conta do
peso do navio e da necessidade de vencer o atrito com a a´gua
Figure 15: E-Ship: Magnus sailing
20
2.4.1 Fo´rmula de Torricelli
Considera-se o caso de um reservato´rio com superfı´cie superior aberta e em sua lateral ha´ pequenos orifı´cios
circulares por onde o lı´quido pode vazar; assumiremos que esses vazamentos podem ser considerados como es-
coamento laminares. E´ observado nesses casos - pode conferir na torneira de casa - que a largura da veia do fluido,
apo´s escapar do recipiente, sofre uma contrac¸a˜o ate´ assumir uma forma cilindrica num ponto bem pro´ximo a`
parede para depois se curvar sob a ac¸a˜o da gravidade, gerando um jato parabo´lico. Como o orifı´cio e´ considerado
muito pequeno, assume-se que o nı´vel do reservato´rio na˜o tenha variac¸a˜o aprecia´vel do nı´vel, podendo assumir
que a velocidade do fluido na superfı´cie e´ desprezı´vel. Aplicando a equac¸a˜o de Bernoulli para um veio do fluido
que inicia na superfı´cie do fluido e passa por um dos orifı´cios, temos
gz+
v2
2
+
p0
ρ
= gz0 +
p0
ρ
(46)
e, como z− z0 e´ a altura da coluna de fluido, obte´m-se que
v =
√
2gh, (47)
mostrando que a velocidade de saı´da do fluido e´ a mesma que se ele estivessem em queda livre de uma altura h.
Esseresultado foi obtido por Torricelli em 1636
Experimentalmente, contudo, o resultado ainda tem alguns detalhes pra´ticos: nos orifı´cios do reservato´rio,
observa-se dieferentes valores de pressa˜o se medidos dentro ou fora do reservato´rio; ao lado de dentro, o valor da
pressa˜o leva em conta a forc¸a de contato do peso da coluna de fluido ate´ aquele ponto, mas fora do reservato´rio, a
pressa˜o que se leva em conta e´ somente a atmosfe´rica; essa diferenc¸a de pressa˜o causa um estreitamento da coluna
lı´quida no lado de fora do orifı´cio de modo que a velocidade do fluido aumenta e, como consequeˆncia, a a´rea
formada pela veia lı´quida se retrai, causando o efeito conhecido como fator de contrac¸a˜o da veia lı´quida; este
fator varia entre 0,61 a 0,64
2.4.2 Tubo de Pitot
Para medir a pressa˜o ou a velocidade de um fluido em movimento e´ necessa´rio introduzir algum instrumento de
medida que acaba interferindo no escoamento. Na˜o sa˜o raros os casos onde e´ necesa´rio saber a forma de interac¸a˜o
da medida com o experimento. Assim, o escoamento de um fluido descrito atrave´s de um campo de velocidades v
ira´ interagir com qualquer corpo de prova capaz de medir a velocidade do fluido; os efeitos sa˜o cada vez menores
quando a aerodinaˆmica do material de medida e´ mais eficiente.
21
Figure 16: Tubo de Pitot real
Um instrumento que consegue medir a real velocidade de um fluido com perturbac¸a˜o mı´nima possı´vel e´ o tubo
de Pitot. Nele, as llinhas de campo de velocidade se desviam do equipamento por conta do formato aerodinaˆmico
da pec¸a; entretanto, a linha que se encontra com o ponto de tomada de pressa˜o tem sua velocidade reduzida para
zero e, por isso, esse ponto e´ chamado de ponto de estagnac¸a˜o. Usando Bernoulli, se na linha de campo acima da
linha que acaba no ponto de estagnac¸a˜o a velocidade do fluido e´ v e a pressa˜o e´ po e como a diferenc¸a de pressa˜o
entre esses essas duas linhas e´ desprezı´vel, temos que a equac¸a˜o de Bernoulli entre esses pontos resulta em
po = p+
1
2
ρv2 (48)
A pressa˜o no ponto de estagnac¸a˜o 0 se eleva para po, que e´ a chamada pressa˜o dinaˆmica em raza˜o do freamento
do fluido
Para encontrar a velocidade do fluido nas condic¸o˜es ditas acima, e´ muito comum se acoplar a ele um manoˆmetro,
no qual e´ possı´vel medir a diferenc¸a de pressa˜o p− po; este instrumento e´ chamado de Tubo de Pitot: se a den-
sidade do fluido no namoˆmetro, que e´ um tubo em forma de U que conte´m um fluido de densidade ρ e que as
colunas se desnivelam de uma altura h, enta˜o a diferenc¸a de pressa˜o pode ser medida como
p− p0 = 12ρv
2 = ρ0gh (49)
a qual permite encontrar a velocidade relativa do fluido pelo desnı´vel
v =
√
2
ρ0gh
ρ
(50)
22
Os tubos de Pitot sa˜o muito usados nos avio˜es de modo que podem usar o desnı´vel h, medido eletronicamente,
para medir a velocidade do avia˜o com relac¸a˜o ao ar e, tambe´m, a altura do avia˜o com relac¸a˜o ao solo. Apesar
do fato das equac¸o˜es acima serem verdadeiras rigorosamente apenas para fluidos incompressı´veis, o instrumento
acerta as velocidades com erros da ordem de 2%, permitindo que os pilotos e controladores ignorem efeitos de
atrito, variac¸a˜o da temperatura, variac¸a˜o de densidade do ar e outros. Os tubos de Pitot nos avio˜es normalmente
na˜o chamam muita atenc¸a˜o dos leigos, mas sa˜o de extrema importaˆncia para a navegac¸a˜o: imagine os problemas
de se voar sem ter os dados reais de velocidade e de altitude de um Airbus? O congelamento do tubo de Pitot no
Airbus A3308 causou um estrago irreversivel, vitimando 228 pessoas em 2009. O relato´rio final considerou que:
”Foi determinado por nosso grupo de especialistas que o acidente se deveu a` perda de controle do avia˜o
causada pela reac¸a˜o inapropriada da tripulac¸a˜o apo´s a auseˆncia momentaˆnea das indicac¸o˜es de velocidade”
2.5 Fenoˆmeno de Venturi
Considera-se um escoamento estaciona´rio de um fluido incompressı˜vel em uma canaliac¸a˜o horizontal de
secc¸a˜o transversal que varia para um intervalo da tubulac¸a˜o. Sejam A1 e A2 as a´reas das secc¸o˜es transversais
nos pontos 1 e 2, de velocidades e presso˜es dadas por p1,v1 e p2,v2, respectivamente; considera-se tambe´m que
as dimenso˜es do tubo sa˜o tais que possamos ignorar os efeitos de variac¸a˜o de energia potencial entre os pontos 1
e 2. A equac¸a˜o de Bernoulli para os pontos 1 e 2 da´
p1 +
1
2
ρv21 = p2 +
1
2
ρv22. (51)
Ale´m disso, temos que levar em conta a conservac¸a˜o da massa do fluido, ou seja: v1A1 = v2A2 tal que
v2 = v1
A1
A2
; (52)
observe que essa u´ltima equac¸a˜o, aplicada na equac¸a˜o de Bernoulli, implica que pontos de maior pressa˜o nos
fluidos observa-se menores velocidades; equivalentemente, pontos de estrangulamento, onde a velocidade tem
que ser maior, sa˜o pontos de menores valores de pressa˜o.
Observe tambe´m que a pressa˜o no ponto 2 e´ aquela capaz de fazer uma coluna do fluido, de densidade ρ subir
uma coluna de altura h2 naquele ponto, como mostra a Figura (2.5); equivalentemente, a coluna de altura h1 e´
levantada por conta da pressa˜o em 1. Desta forma, pode-se calcular as presso˜es nos pontos 1 e 2 por
p1 = p0 +ρgh1
(53)
p2 = p0 +ρgh2
8http://g1.globo.com/mundo/noticia/2014/05/acidente-da-air-france-foi-causado-por-reacao-inapropriada-da-tripulacao.html
23
de tal forma que a diferenc¸a de pressa˜o entre os pontos pode ser dada por
p1− p2 = ρg(h1−h2) (54)
e isso nos permite encontrar a velocidade do fluido no ponto 1: da equac¸ao de Bernoulli (51), com o auxı´lio da
conservac¸a˜o de massa (52) e da diferenc¸a de pressa˜o (54):
p1− p2 = −12ρv
2
1 +
1
2
ρ
(
v1
A1
A2
)2
⇒ ρg(h1−h2) = 12ρv
2
1
(
A21
A22
−1
)
dando finalmente que
v1 = A2
√
2g(h1−h2)
A21−A22
(55)
Exercı´cios
1. Um tubo condutor de 100mm de diaˆmetro tem uma descarga de 61/s. Qual a velocidade me´dia de escoa-
mento?
2. Calcular o diaˆmetro de uma canalizac¸a˜o para conduzir uma vaza˜o de 1001/s, com velocidade me´dia do
lı´quido em seu interior de 2m/s.
3. Um tanque de grandes proporc¸o˜es conte´m a´gua a uma altura de 1,0m e tem em sua base um orifı´cio circular
de 1,0 cm de diaˆmetro. Observou-se que o fator de contrac¸a˜o da veia lı´quda e´ de 0,7. Deseja-se alimentar o
tanque de modo que seu nı´vel na˜o se altere e, pra isso, despeja-se a´gua continuamente em sua parte superior.
Calcule a vaza˜o da alimentac¸a˜o de a´gua para manter o nı´vel do reservato´rio
4. No dispositivo mostrado na Figura (2.4.1), encontre qual e´ a altura z do furo que maximiza o alcance
horizontal x do lı´quido
5. Um reservato´rio conte´m a´gua ate´ 0,5 m de altura e, sobre a a´gua, existe uma camada de um o´leo com
densidade de 0,7g/cm3, tambe´m com 0,5m de altura. Abre-se um pequeno orifı´cio na base do reservato´rio.
Qual e´ a velocidade de escoamento da a´gua?
24