Livro de Fenômenos de Transporte

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FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE
PROF. PEDRO HENRIQUE VOLTERA 
PAULISTA
A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma 
ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
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CATÓLICA PAULISTA
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Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, salvo quando indicada a referência, 
sendo de inteira responsabilidade da autoria a emissão de conceitos.
Projeto Gráfico 
Hey!Design 
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO AOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE 6
14
27
CONCEITOS E EQUAÇÕES BÁSICAS DOS 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE 
FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE 
TRANSPORTES
ANÁLISE DIMENSIONAL 40
ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL, INCOMPRESSÍVEL E 
INFORMAÇÕES SOBRE FLUIDOS 47
TRANSPORTE DE MASSA 54
PRINCÍPIO DO TRANSPORTE DE CALOR E 
CONDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE 60
TRANSPORTE DE CALOR POR CONDUÇÃO EM 
REGIME VARIÁVEL 67
TRANSPORTE DE CALOR POR CONVECÇÃO E 
RADIAÇÃO 78
ESTÁTICA DOS FLUIDOS E PRESSÃO 85
VAZÃO E PERDAS DE CARGA 94
COLUNA PIEZOMÉTRICA E MANÔMETRO COM TUBO 
EM U 102
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 110
SUMÁRIO
FLUIDODINÂMICA 118
ANÁLISE DIFERENCIAL 125
MÁQUINAS DE FLUXO 131
CONCLUSÃO 136
REFERÊNCIAS 138
5
INTRODUÇÃO
Sejam muito bem-vindos(as) à disciplina de Fenômenos de Trans-
porte!
Esta é a primeira matéria de diversas outras que dão continuidade 
aos Fenômenos de Transporte. Dependendo do curso que você está 
fazendo, a continuação da matéria pode levar para diversos lados. Por 
isso, esta é muito importante. Os assuntos aqui abordados foram desen-
volvidos de uma forma bem didática, buscando relacionar a teoria com 
a prática, para não só fixar melhor o conhecimento, mas, para deixar as 
aulas mais agradáveis.
Serão apresentados diversos conteúdos, como os famigerados flui-
dos. Estes são divididos em líquidos e gases e possuem inúmeras pro-
priedades, como veremos a seguir. E, afinal: são importantes? A resposta 
é: sim! Você ficará surpreso ao ver quantas propriedades um fluido pos-
sui. Aqui, temos física, álgebra e muito mais aplicados à diversas situa-
ções do dia-a-dia. A ideia é levar o aluno ao entendimento das matérias, 
gerando um conhecimento básico destas. 
E este “Transporte”, do nome da disciplina, é o que você está pen-
sando? É o primeiro assunto que trataremos no livro. Assim como esse, 
diversos conceitos serão apresentados aqui, e esperamos que você 
aproveite ao máximo!
Então, vamos lá!
INTRODUÇÃO AOS 
FENÔMENOS DE 
TRANSPORTE
AULA 01
7
Primeiramente, o “transporte”, do nome da disciplina “Fenômenos de 
Transporte”, não está relacionado com a logística, como o transporte de 
carros, aviões, bicicletas etc. Não, pelo menos, diretamente. O objetivo 
aqui não é estudar a logística da coisa e sim os fenômenos físicos aplica-
dos. Este “transporte” está relacionado com o movimento, e, nesse caso, 
o movimento da matéria (massa ou calor), suas propriedades e como
estes se comportam perante diversas situações. 
O conceito de “transporte” surgiu com Heráclito de Éfeso (540 a.C. 
- 470 a.C.). O filósofo tinha um caráter de dignidade e melancolia, não
entrou na política, e desprezava antigos poetas e filósofos de sua época, 
sendo até contra a religião. Este acreditava que existia um “movimento” 
que dominava todo o universo. Os gregos não tinham as ferramentas 
matemáticas que possuímos hoje, porém, apenas observando a nature-
za, faziam diversas deduções. Heráclito, então, cria o conceito intitulado 
Panta Rei, cujo significado é “Tudo Flui”. A ideia consiste que o mundo 
está em movimento perpétuo.
8
Título: Heráclito de Éfeso
Fonte: https://pt.wikipedia.org/
Vindo agora para nossos tempos modernos, os Fenômenos de Trans-
porte basicamente se subdividem em três áreas de estudo da física apli-
cada:
• Mecânica dos Fluidos;
• Transporte de Calor;
• Transporte de Massa.
O Transporte de Calor consiste no estudo do transporte de energia, 
como a criação do vidro, que precisa que a matéria-prima seja fundida 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Heraclitus,_Johannes_Moreelse.jpg
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e depois resfriada. Um exemplo mais simples: esquentar aquela panela 
no fogão. Sim, é uma transferência de calor.
O Transporte de Massa, como o próprio nome diz, é quando a mas-
sa, seja sólida, líquida ou gasosa, é transferida de uma pra outra. Um 
exemplo bem simples é a preparação de um chá, onde há transferência 
da matéria do sachê do chá para a água, e essa transferência é acelerada 
agitando uma colher.
Já a Mecânica dos Fluidos é focada nos comportamentos físicos 
e nas leis que regem o fluido. Mas, o que é um fluido? Segundo Fox, 
McDonald, Pritchard e Mitchell (2018) é uma substância que se deforma 
continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento (uma 
interação do ambiente que “corta” a substância), não importa o quão 
pequena essa ação pode ser.
A fórmula da tensão é:
Onde:
F = Força;
A = Área.
E, qual é o fluido mais abundante e popular que existe? A água.
Os fluidos representam as fases líquidas e gasosas (ou vapor) das 
formas físicas da matéria. A diferença clara de um sólido e um fluido é 
que o primeiro não se deforma continuamente, como o líquido. O fluido 
https://edisciplinas.usp.br/mod/resource/view.php?id=870057
10
não desliza sobre a superfície que ele se encontra. Resumindo a histó-
ria: fluidos podem ser gases ou líquidos. Os sólidos, ao se deformarem, 
atingem uma nova forma, diferente dos fluidos.
Um líquido, quando colocado em um volume definido, ocupa o mes-
mo volume que ocuparia em qualquer recipiente, como colocar suco em 
uma jarra, este sempre terá o mesmo volume.
Já os gases se espalham pelo ambiente, independentemente de seu 
volume, podendo ter um volume menor que o suco, ou maior, depen-
dendo do recipiente que está retendo esse gás, como, por exemplo, 
encher uma bexiga pequena, com volume pequeno, ou encher uma 
bexiga grande, com um grande volume.
A importância de estudar os fluidos é que os meios de transpor-
te, por exemplo, aplicam a mecânica dos fluidos, como em máquinas 
terrestres, aeronaves, navios, etc. Hoje em dia existem, também, estudos 
de modelos (equações, cálculos) destinados à aerodinâmica de edifícios, 
estádios desportivos, chaminés e grandes shoppings, por exemplo. Outro 
exemplo é o sistema circulatório do corpo humano, que é basicamente 
um sistema de fluido: sangue, coração, pulmões, possuem o princípio 
da Mecânica dos Fluidos.
11
Título: O corpo humano é um sistema fluido
Fonte: https://pixabay.com/
A Mecânica dos Fluidos é utilizada desde o dimensionamento de 
bombas para o abastecimento de água até a aerodinâmica da asa de 
um avião em contato com o ar.
Vale ressaltar que fluido é diferente de fluído (com acento): Este últi-
mo vem do verbo fluir, que é o ato de jorrar no estado líquido. Já o fluido 
pode ser líquido ou gasoso.
https://pixabay.com/pt/photos/anatomia-homem-humano-corpo-pele-254129/
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Os Fenômenos de Transporte não são somente teóricos, pelo contrá-
rio: a disciplina é bastante prática e está diretamente relacionada, desde 
o cotidiano das pessoas até as mais modernas tecnologias.
Exemplo:
O fluido pode ser definido como dois estados da matéria. E quais 
seriam esses? 
R: Líquidos e gases. E não somente líquidos, como aparenta ser.
O simples fato de cozinhar envolve diversos elementos dos Fenômenos 
de Transporte, como o transporte de calor, de massa, etc. 
A tubulação hidráulica de sua casa também se enquadra nos Fenômenos 
de Transporte, mais especificamente na Mecânica dos Fluidos. A água per-
corre o caminho da caixa d’água ou da rua para suatorneira, chuveiro, etc.
A equipe de Fórmula 1 de Engenharia intitulada Petronas contratou uma 
jovem engenheira de Fluidos para sua equipe: Stephanie Traversa. O pro-
cesso seletivo contou com mais de 7.000 candidatos e aconteceram 5 eta-
pas à seleção.
A Mercedes já foi 5 vezes campeã mundial e a vitória não está só nas mãos 
do piloto: por trás deste há uma incrível equipe de Engenharia.
Interessante ser bom em Mecânica dos Fluidos e, consequentemente, em 
Fenômenos de Transporte, não?
Fonte: https://f1mania.lance.com.br/f1/apos-busca-global-por-talentos-pe-
tronas-apresenta-nova-engenheira-de-fluidos-para-a-formula-1/
https://f1mania.lance.com.br/f1/apos-busca-global-por-talentos-petronas-apresenta-nova-engenheira-de-fluidos-para-a-formula-1/
https://f1mania.lance.com.br/f1/apos-busca-global-por-talentos-petronas-apresenta-nova-engenheira-de-fluidos-para-a-formula-1/
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Os Fenômenos de Transporte são divididos em 3 partes, que são:
• Mecânica dos Fluidos;
• Transporte de Calor;
• Transporte de Massa.
Lembrem que fluido é diferente de fluído! Fluído vem do verbo fluir, e 
consiste em jorrar líquido. O fluido pode ser líquido ou gasoso.
CONCEITOS E EQUAÇÕES 
BÁSICAS DOS FENÔMENOS 
DE TRANSPORTE
AULA 02
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Este é um curso de engenharia e, sim, não dá para fugir dos cálcu-
los. Aqui, veremos as equações básicas da disciplina. A matemática não 
está presente só na engenharia, está presente na nossa vida. Desde o 
recebimento do salário até o pagamento das contas do mês. Por mais 
que você queira fugir da matemática, ela não foge de você. Então, vamos 
encará-la de uma forma firme!
Como falamos na aula anterior, o filósofo Heráclito de Éfeso apresen-
tou o conceito de que tudo se move, porém não havia uma explicação 
física na Antiguidade. Partindo dessa ideia, surgiram os modelos mate-
máticos. Modelos matemáticos são uma representação ou interpretação 
simplificada da realidade. São itens que tentam idealizar um fenômeno 
da natureza. Não ficou claro ainda? Modelos matemáticos são as famo-
sas equações, as fórmulas. Por exemplo:
F = m * a
Onde: 
F = força;
m = massa;
a = aceleração.
Esse é um modelo matemático bem simples. Os modelos têm como 
função resolver os problemas físicos, seja qual for e da forma como for, 
transformando uma questão real em equações matemáticas que cor-
respondam à situação física.
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A análise de qualquer problema de Fenômenos de Transporte come-
ça com uma dessas leis básicas, que podem ser aplicadas a qualquer 
fluido, que são:
1. A conservação da massa;
2. Segunda lei de Newton para o movimento;
3. O princípio da quantidade de movimento angular;
4. A primeira lei da termodinâmica;
5. A segunda lei da termodinâmica.
A conservação da massa
A Lei da Conservação das Massas foi publicada pela primeira vez em 
1760, em um ensaio de Mikhail Lomonosov. Entretanto, a obra não se 
popularizou na Europa Ocidental e o francês Antoine Lavoisier tornou 
essa teoria conhecida pelo mundo todo, o que chamamos hoje de Lei 
de Lavoisier.
Seja qual for o sistema fechado, físico ou químico, nunca se cria nem 
se elimina matéria, apenas é possível transformá-la de uma forma em 
outra. É daí que vem a famosa frase: “na natureza, nada se cria, nada se 
perde, tudo se transforma”.
Ou seja, você tem um cubo de gelo que derrete e vira água. Você não 
perdeu a matéria e, sim, ela foi modificada. Você bebe essa água. Ela vai 
para o seu corpo e lá tem a função de hidratar, e assim por diante. Ou 
seja, nada é perdido e, sim, as coisas vão sendo modificadas.
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Segunda lei de Newton para o movimento
A segunda lei de Newton é conhecida como o Princípio Fundamental 
da Dinâmica:
A mudança de movimento é proporcional à força motora impri-
mida e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força 
é aplicada.
Lembra da fórmula da força, citada anteriormente? Esta se aplica 
aqui:
F = m * a
Onde:
A unidade da força geralmente é em N (Newton) ou Kg.m/s²;
A unidade da massa geralmente é g (grama) ou Kg (kilograma);
A aceleração é m/s² (metros por segundo ao quadrado).
*Considerando o Sistema Internacional de Medidas*
Essa lei física diz que a aceleração é proporcional à força aplicada, ou 
seja, quanto mais forte eu empurro o carrinho de mercado, mais rápido 
ele vai andar. Porém, se esse carrinho tiver mais massa (estiver cheio), 
aí a aceleração deste será menor.
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Título: A aceleração produzida sobre um corpo tem a mesma direção e sentido da força 
resultante sobre ele e é inversamente proporcional à sua massa.
Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/
O princípio da quantidade de movimento 
angular
Imagine um carro em movimento. A partir daí, podemos citar as gran-
dezas de massa e velocidade do carro. Estes são fatores que interferem 
no desempenho se o carro frear, acelerar ou como este se comportaria 
diante de uma colisão. Isso é o conceito da Quantidade de Movimento.
Agora, pense no movimento da Terra girando em torno do Sol. Só 
que a Terra gira em torno dela mesma também (rotação), onde temos 
um corpo com determinada massa realizando um movimento, chamado 
de Velocidade Angular. A Velocidade Angular e uma massa geram um 
Momento Angular.
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/leis-newton.htm
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Título: Momento Angular
Fonte: Arquivo pessoal autor
Onde:
O Momento Angular (em Kg*m²/s):
 é o vetor raio entre o objeto e o eixo de rotação, em m;
m é a massa do objeto, em Kg;
 é o vetor velocidade linear do objeto, em m/s.
*Lembrando que essa seta em cima é o “vetor”, indicando a direção 
e o sentido da grandeza*
A primeira lei da termodinâmica
A 1ª Lei da Termodinâmica é o princípio da Conservação de Ener-
gia aplicada à termodinâmica. Mas, afinal, o que é termodinâmica? É a 
transformação de uma energia à outra. É o estudo do movimento da 
energia, e como a energia cria movimento. A termodinâmica surgiu da 
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necessidade das máquinas à vapor aumentarem sua eficiência, trans-
formando energia térmica (do calor) em energia mecânica.
Um sistema não pode criar ou consumir energia, e sim armazená-la 
ou transferi-la, ou até mesmo os dois ao mesmo tempo. Um bom exem-
plo disso é o Pêndulo de Newton, onde é demonstrada a quantidade 
de movimento e a energia mecânica, transferindo a energia de uma 
bola para a outra, que ficam se batendo por um bom tempo até estas 
perderem energia e pararem.
Título: Pêndulo de Newton demonstrando a quantidade de movimento e a energia me-
cânica
Fonte: https://visualhunt.com/photo2/7773/
Recebendo uma quantidade de calor representada por , esta poderá 
realizar um trabalho e aumentar a energia interna do sistema :
Onde:
https://visualhunt.com/photo2/7773/
21
 = Quantidade de calor, em Joule (J);
 = Trabalho realizado (uma espécie de “força térmica”, em Joule);
 = Energia interna, em Joule (J).
A segunda lei da termodinâmica
A segunda lei da termodinâmica é mais utilizada na construção de 
máquinas, pois corresponde ao rendimento das máquinas térmicas. Exis-
tem dois enunciados que ilustram bem a segunda lei da termodinâmica:
Um é o Enunciado de Clausius:
O calor não pode fluir, de forma espontânea, de um corpo de tem-
peratura menor, para um outro corpo de temperatura mais alta. 
Ou seja, o sentido natural do fluxo do calor é da temperatura mais 
alta para a mais baixa, e para que o fluxo seja o inverso, é preciso algum 
agente externo.
O outro é o Enunciado de Kelvin-Planck:
É impossível a construção de uma máquina que, operando em um 
ciclo termodinâmico, converta toda a quantidade de calor recebido 
em trabalho.
Na realidade, não existe um dispositivo térmico que tenha um 
rendimento 100%, ou seja, quando se converte energia sonora em im-
pulsos elétricos, nem tudo que será captado será transmitido.
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Equações fundamentais para os Fenômenos 
de transporte
Equações de Fluxo
Tendo em mente as equações: 
Onde:
 = Fluxo de calor propriedade;
 = Coeficiente Cinético;
 = Força termodinâmica ou forçamotriz.
A força F faz com que as coisas se movimentem. Aliando o F ao L, 
que é o Coeficiente Cinético, como o vento que atrapalha o trajeto de 
algo, temos o Fluxo.
Fluxo nada mais é do que algo sendo transportado em uma determi-
nada área em um determinado tempo. O fluxo é proporcional à força.
A equação acima possui algumas características como:
• Regime permanente, ou seja, não varia com o tempo. Se co-
meçou de um jeito, vai terminar do mesmo jeito, independen-
temente do tempo;
• Unidimensional, ou seja, tem sempre a mesma direção;
• Somente movimentação das moléculas (não tendo movimen-
tação dos fluidos);
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• Coeficiente cinético constante (L);
• Escoamento incompressível (pode comprimir que o volume
não irá variar, e nem a densidade);
• Sistemas binários A e B (considerando apenas 2 componen-
tes, do ponto A ao ponto B somente);
• Sem geração de energia externa (mexendo com uma colher
um suco, por exemplo).
Para o transporte da quantidade de movimento, o gradiente da velo-
cidade é = . Para o transporte de quantidade de calor, o gradiente 
de temperatura é = . Para o transporte de quantidade de massa, 
o gradiente de concentração é = .
Temos também a Equação de Fluxo de calor, abaixo:
Onde:
 = Fluxo de calor, em Watts/segundo (no Sistema Internacional de 
medidas);
 = Quantidade de calor, em Watts;
 = Tempo, em segundos.
Aplicando a Lei de Fourier, podemos determinar o fluxo de calor 
através de:
E temos:
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K = condutividade térmica, em w/m°C;
A = Área, em m²;
L = Espessura ou comprimento em m; 
 = Tempo, em segundos.
Equação de Balanço
Aqui, o funcionamento é bem similar à um salário e os gastos, toma-
mos essa ideia como exemplo:
Onde:
Trazendo isso para os Fenômenos de Transportes, temos a Taxa de 
Propriedade que entra igual à Taxa de Propriedade que sai, que é o 
Estado Permanente.
É chamado de sistema o objeto de estudo, e existe um Volume de 
Controle (que é o espaço onde o fluido escoa). Neste, vários materiais 
entram e saem como energia ou calor.
O calor é positivo quando entra no sistema, e é negativo quando 
sai. E o trabalho, é positivo quando sai do sistema (como uma turbina) 
e negativo quando entra (como uma “bomba” hidráulica).
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Essas são as leis básicas da física que iremos estudar em Fenômenos 
de Transportes.
Exemplo:
Uma mola tem sua temperatura elevada e gera uma quantidade de calor 
de 1500J. O tempo médio desta é de 40 segundos. Qual é a equação de Fluxo?
Será inaugurado o primeiro trem da América Latina movido à energia so-
lar. Uma verdadeira lição da termodinâmica! Capturar um tipo de energia 
(solar) e transformar em energia elétrica é algo que está sendo cada vez 
mais utilizado, porém desse jeito inusitado é algo novo!
A energia fotovoltaica não representa o futuro, já é o presente! O trem 
passará da Argentina até o Peru com energia renovável.
Fonte: http://www.ihu.unisinos.br/78-noticias/589266-trem-turistico-pa-
ra-240-passageiros-sera-movido-a-energia-solar-entre-argentina-e-peru
http://www.ihu.unisinos.br/78-noticias/589266-trem-turistico-para-240-passageiros-sera-movido-a-energia-solar-entre-argentina-e-peru
http://www.ihu.unisinos.br/78-noticias/589266-trem-turistico-para-240-passageiros-sera-movido-a-energia-solar-entre-argentina-e-peru
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O Pêndulo de Newton parece ser um simples brinquedo, ou enfeite, mas 
este apresenta extensos conceitos da física, como conservação de massa, 
distribuição de energia e muitos outros! É possível fazer o seu próprio, 
sabia? Com bolas de gude, assim deixando bem “conceitual” seu local de 
trabalho e estudo.
Como fazer: https://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/
pendulo-newton-no-ensino-mecanica.htm
F = m * a
Essa fórmula é muito importante, e comumente usada em diversos casos.
“Na natureza, nada se cria, nada se perde, tudo se transforma”.
Por mais clichê que pareça, não é! Essa lei é amplamente utilizada em 
diversas áreas da ciência. Indo mais à fundo, é utilizada na vida!
https://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/pendulo-newton-no-ensino-mecanica.htm
https://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/pendulo-newton-no-ensino-mecanica.htm
FUNDAMENTOS DOS 
FENÔMENOS DE 
TRANSPORTES
AULA 03
28
Já parou pra pensar que os conceitos são tão importantes para tudo 
na vida? Para você aprender a ler, precisa do entendimento da língua 
e, para isso, é preciso aprender o conceito das letras, palavras etc. Nos 
Fenômenos de Transportes não é diferente.
Um escoamento pode ser descrito graficamente através de algumas 
definições:
• Trajetória;
• Raia;
• Linha de Fluxo.
Aqui, começaremos a falar de Trajetória: É o caminho traçado por 
uma partícula de fluido em movimento.
Título: Trajetória
Fonte: Elaborado pelo autor
29
Raia: linha que une as partículas de um fluido que passaram por um 
certo ponto fixo do espaço.
 
Título: Raia
Fonte: Elaborado pelo autor
Linha de fluxo: linhas traçadas no campo de escoamento de tal forma 
que, em um determinado momento, elas são tangentes à direção do 
escoamento em todos os pontos no campo de escoamento. Esta pode 
variar de instante a instante se o escoamento for transiente (passageiro).
30
Título: Linha de Fluxo
Fonte: Elaborado pelo autor
Se o escoamento for permanente, Trajetória, Raia e Linhas de Fluxo 
são idênticas no campo de escoamento. Além do mais, as 3 linhas coin-
cidem em regime permanente (não se modificam ao longo do tempo).
A tensão de cisalhamento, tensão tangencial ou tensão cortante é 
uma deformação numa superfície a partir de uma tensão provocada por 
forças aplicadas em sentidos opostos, entretanto em direções iguais.
Pense em uma folha que você empurra (aplicando uma força F), 
causando uma deformação nesta. Os pontos que eram antes A e B se 
tornaram A’ e B’.
31
Título: Força de cisalhamento
Fonte: Elaborado pelo autor
Simplificando as coisas, a tensão nada mais é do que a força aplicada 
em uma área.
Onde:
= Tensão (Unidade em Pascal ou Pa, que é igual );
F = Força (Unidade em N);
A= Área (Unidade em m²).
A viscosidade é a propriedade física correspondente à resistência de 
um fluido ao escoamento. Ou seja, quanto mais viscoso este for, mais 
“lento” será. O mel é um exemplo clássico e eficaz de viscosidade.
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Obs: os líquidos quando deformados, voltam ao seu estado de ori-
gem, diferente dos sólidos.
Título: Mel e sua viscosidade
Fonte: https://www.pexels.com
Os líquidos são muito mais viscosos que os gases. Quando o es-
coamento varia com o tempo, é chamado de escoamento em estado 
transiente ou não estacionário. Quando não varia com o tempo, o es-
coamento é em estado permanente ou estacionário.
Sobre a direção do escoamento, este é dividido em três:
• Unidimensional = Em uma direção;
• Bidimensional = Em duas direções;
• Tridimensional = Em três direções.
O regime de escoamento pode ser separado em três tipos também:
• Escoamento laminar (A);
• Escoamento de transição (B);
• Escoamento turbulento (C).
https://www.pexels.com/photo/honey-on-white-bowl-33260/
33
Título: Regimes de Escoamento
Fonte: Elaborado pelo autor
O escoamento laminar é como se, ao abrir um pouco uma torneira, 
saísse aquele pequeno “filamento” de água. Quando o coeficiente de 
Reynolds é menor que 2.000, o escoamento é laminar. O escoamento de 
transição é como abrir razoavelmente a torneira. Quando o coeficiente 
de Reynolds for entre 2.000 e 3.000, é de transição. Já o escoamento 
turbulento é como abrir bastante a torneira, e a água sai “desgoverna-
da” lá de dentro. Quando Reynolds for maior que 3.000, o escoamento 
é turbulento.
Massa específica
Para efeito de estudo, os fluidos serão considerados um meio contí-
nuo e homogêneo, com propriedades médias definidas e que coincidam 
34
com as propriedades nos pontos. Ou seja, como se o fluido não tivesse 
nenhuma imperfeição e fosse completamente previsível.
A Massa Específica, de acordo com Brunetti (2008), é a massade 
fluido por unidade de volume.
Onde:
 = Massa específica, Kg / m³;
= Massa, em Kg;
V = Volume, em m³.
Peso específico
Já o Peso Específico é o peso do fluido por unidade de volume:
Onde:
= Peso específico, N / m³;
= Peso (Kg) multiplicado pela gravidade (m/s²), sendo o mesmo 
que N;
V = Volume, em m³.
A diferença entre Massa Específica e Peso Específico é que, no peso, a 
unidade é em Newton, porque leva-se em consideração a massa multipli-
cada pela aceleração, percentual da gravidade, em m/s². Como utiliza-se 
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para a gravidade da Terra 10 m/s², então multiplica-se por 10.
Por fator de curiosidade, da água é de 9810 N/m³ (T= 20ºC, P= 
1atm e g (gravidade) = 9,81 m/s²). Vale ressaltar, ainda, que 1l é o mesmo 
que 1kg.
Revisão do sistema de Unidades
As grandezas físicas são de extrema importância, não só para esta 
disciplina, mas em todo o curso. Então, é bom guardar as principais 
unidades do Sistema Internacional – SI (MKS na Tabela 1) e a conversão 
dessas unidades (Tabela 2):
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Tabela 1 – Unidades e Dimensões de Grandezas Físicas
Fonte: Universidade Federal do Pará - UFPA
https://www.pexels.com/photo/honey-on-white-bowl-33260/
37
Tabela 2 – Conversão de Unidades
Fonte: Universidade Federal do Pará - UFPA
https://www.pexels.com/photo/honey-on-white-bowl-33260/
38
Exemplo:
Supondo que um lutador de boxe dê um soco em um saco de areia, 
aplicando uma força de 3000N e a área aplicada é de 100cm². Qual é a 
tensão?
Onde:
F: 3000N;
A = 100cm² = 0,01m².
*As unidades de medida e suas conversões são fundamentais para 
encontrar o dado necessário*.
O escoamento é algo discutido, porém, na maioria das vezes, não levando 
em conta todos os seus detalhes. Em Curitiba, foi feito um sistema de 
travessia para garantir o escoamento da água pluvial (chuva), assim não 
causando alagamento nem danos às ruas, calçadas e até mesmo casas. 
Quando a chuva é muito forte, temos um escoamento turbulento. E que 
turbulência que é causada, muitas vezes!
Fonte: https://www.curitiba.pr.gov.br/noticias/prefeitura-faz-obra-para-
-melhorar-escoamento-da-agua-da-chuva-no-orleans/48130
https://www.curitiba.pr.gov.br/noticias/prefeitura-faz-obra-para-melhorar-escoamento-da-agua-da-chuva-no-orleans/48130
https://www.curitiba.pr.gov.br/noticias/prefeitura-faz-obra-para-melhorar-escoamento-da-agua-da-chuva-no-orleans/48130
39
A tensão de cisalhamento é muito importante e acontece muito em nosso 
dia-a-dia. Pegar uma tesoura e cortar um papel já é um exemplo. Case de 
estudo
- A tensão de cisalhamento, de um modo geral, é aplicar uma força sobre
uma área, não se esqueça!
- Os fluidos, quando deformados, voltam ao seu estado de origem, dife-
rente dos sólidos. Uma importante diferença entre eles.
- Toda vez que ver aquele mel escorrer, lembre-se da grande viscosidade
que este possui!
- Se Re (Reynolds) < 2000, então o escoamento é laminar;
- Se Re for > 2000 e < que 3000, então é escoamento de transição;
- Se Re > 3000, então o escoamento é turbulento.
- Massa Específica é a massa pelo volume, e o Peso Específico é quase igual,
só muda que, nesse, multiplica-se pela aceleração da gravidade!
- 1kg = 1l
ANÁLISE DIMENSIONAL
AULA 04
41
Acontece que, na maioria dos casos, os métodos analíticos não são 
suficientes para a resolução de “problemas da vida real”. E os trabalhos 
em laboratórios geralmente são demorados e caros.
A análise dimensional está aí para isso: obter o máximo de informa-
ções com o mínimo de experiências, ou seja, utilizar modelos matemá-
ticos, as famigeradas equações, condizentes com a realidade.
Segundo Brasil Escola (2019), para descrever um fenômeno físico, de-
vem ser construídas funções que interliguem grandezas, como espaço, 
tempo, velocidade, aceleração, força, massa, energia cinética, trabalho 
etc. A maioria dessas grandezas não são independentes, ou seja, estão 
interligadas pelas equações que descrevem as leis da física e suas de-
finições.
A análise dimensional consiste não só da observação dos fenôme-
nos físicos, suas ações e unidades, mas também da dedução destas, da 
possível explicação física. É válido tanto pegar uma fórmula existente 
quanto desenvolver seu próprio modelo. Depende de qual grandeza 
você quer encontrar.
Constata-se que existem somente três grandezas independentes 
(fundamentais) e que podem se relacionar com todas as outras, que 
é o FLT (força, comprimento e tempo) ou MLT (massa, comprimento e 
tempo), sendo que a preferível é a FLT. As outras grandezas, fora essas, 
são chamadas de grandezas derivadas, e podem se relacionar com as 
chamadas fundamentais.
42
Estas são as principais unidades do SI (Sistema internacional):
Grandeza Unidade (símbolo - nome)
Comprimento m - metro
Tempo s - segundo
Massa Kg - quilograma
Temperatura k - kelvin
Corrente elétrica A- Ampère
Título: Diagrama de Moody
Fonte: Universidade Federal de Campina Grande – UFCG
Análise dimensional de fórmulas
E, como funciona uma análise dimensional? É basicamente você rela-
cionar as grandezas. Em uma fórmula simples, como a velocidade média 
(deslocamento pelo tempo), funciona da seguinte maneira:
Parece óbvio e simples, mas este processo de definição de grandezas 
vai desde as equações mais simples, como a velocidade e pressão, até 
as mais complexas.
43
Então, tem-se:
Para encontrarmos a unidade da pressão, é necessário conhecer a 
sua força e, se não soubermos, esta deve ser calculada através da fór-
mula F = m * a.
Sabemos que a grandeza deve estar na unidade necessária para se 
trabalhar, e depois é necessário aplicar a álgebra: multiplicações, divi-
sões etc., simplificando-a o máximo que der.
Para se determinar o a calor específico, por exemplo, são utilizados 
cálculos de calorimetria:
Onde:
Q= quantidade de calor;
c = calor específico;
m = massa;
 = variação da temperatura.
Como o objetivo é achar o “c”, esta é arranjada da seguinte forma:
No Sistema Internacional de Medidas, as unidades seriam:
44
Já a unidade mais comum do calor específico é:
Em alguns casos é necessário determinar a unidade de medida por 
meio de grandeza fictícia.
Vamos supor que a unidade que queremos descobrir se chama Z 
e, para isso, queremos levar em conta a área (m²), a velocidade (m/s) 
divididos pela massa, então, teríamos:
Conversão de unidades por meio da análise 
dimensional
Utilizando a análise dimensional em diversos casos, nos deparamos 
com unidades diferentes que precisamos adaptar para as unidades que 
realmente serão utilizadas. Este é um conceito que veremos ao longo do 
curso, porém, é sempre importante ser reforçado. Por exemplo:
-1 km = 1000m;
-1h = 3600 s;
Exemplo:
Se temos 35km/h, transformando para m/s, teremos:
45
A análise dimensional, dependendo do conteúdo que você quer en-
contrar, pode ser bem complexa, porém, o básico é você observar o 
problema, quais grandezas este fornece e quais devemos encontrar!
O estudo de bombas hidráulicas é pura análise dimensional, devido à tan-
tos cálculos necessários para se construir uma. Três bancadas didáticas 
foram entregues pela equipe técnica da Soma, para as unidades de Forta-
leza, Sobral e Juazeiro do Norte. O equipamento foi projetado para fins di-
dáticos, construído em estrutura metálica, composto por um motor elétrico 
trifásico, acionado por inversor de frequência, bomba centrífuga (centro 
axial), bomba centrífuga (axial), bomba engrenagem e bomba submersa, 
tubulação de sucção e recalque em PVC, flanges, manômetros, rotâmetro, 
válvula de esfera, by-pass, registro de gaveta, reservatório graduado e re-
servatório de fluido (pulmão).
Complexo, não é? Pois é! Projetos nobres e grandiosos exigem muito tem-
po e investimento!
Fonte: https://www.soma.eng.br/entrega-de-bancada-de-estudo-de-bom-
bas-hidraulicas-para-senai-ceara/
A análise dimensional está muito presente em nossas vidas. Desde o di-
nheiro, convertendo os centavos em reais até fazer uma caminhada de 1,5 
Km, totalizando 1500 metros.Em quantos segundos você conseguiria fazer 1500 m? Assim você desco-
briria sua velocidade média!
https://www.soma.eng.br/entrega-de-bancada-de-estudo-de-bombas-hidraulicas-para-senai-ceara/
https://www.soma.eng.br/entrega-de-bancada-de-estudo-de-bombas-hidraulicas-para-senai-ceara/
46
É importante sempre analisar qual grandeza se quer saber e quais méto-
dos temos para chegar nesta, ou seja, qual fórmula preciso para encontrar 
meu resultado.
A conversão de unidades é um processo muitas vezes necessários antes 
de chegar no resultado, então, é sempre bom ficar atento à este detalhe! 
Os detalhes importam!
ESCOAMENTO 
COMPRESSÍVEL, 
INCOMPRESSÍVEL E 
INFORMAÇÕES SOBRE 
FLUIDOS
AULA 05
48
Vamos começar com: o que são fluidos compressíveis? Compressí-
veis não são compreensíveis, você não vai entendê-los, compreendê-los. 
Escoamentos em que as variações na massa específica são desprezíveis 
intitulam-se incompressíveis. Quando não é desprezada a variação na 
sua massa, chamam-se compressíveis.
O exemplo mais comum de escoamento compressível são os gases. 
Os líquidos podem, frequentemente, ser tratados como incompressí-
veis (mas nem sempre). Simplificando, quando se tem uma pressão e 
altera-se a densidade desta, é Compressível. Quando não se altera a 
densidade, é Incompressível.
Título: Gás compressível e líquido incompressível em baixa pressão
Fontes: https://pixabay.com
https://pixabay.com/pt/photos/abstract-aqua-fundo-blue-l%C3%ADquido-2384/
https://pixabay.com/pt/photos/fuma%C3%A7a-fundo-trabalho-art%C3%ADstico-69124/
49
Para diversos líquidos, a massa específica é minimamente afetada 
pela mudança de temperatura. Em baixas pressões, os líquidos podem 
ser considerados incompressíveis. Entretanto, em altas pressões, podem 
ser compressíveis. 
As mudanças de pressão e de massa específica em líquidos são rela-
cionadas pelo módulo de compressibilidade ou elasticidade:
Se o módulo de compressibilidade não depende da temperatura, a 
massa específica é uma função somente da pressão (o fluido é barotró-
pico). Falaremos mais sobre pressão adiante.
Abaixo você confere os valores do módulo de compressibilidade para 
os líquidos mais comuns:
50
Título: Propriedades Físicas de Líquidos Comuns a 20°C
Fonte: Introdução à Mecânica do Fluidos 5° Edição - Fox & MdDonald
Golpe de aríete e número de Mach
O golpe de aríete ou martelo hidráulico são exemplos de efeitos 
de compressibilidade nos escoamentos líquidos. Este golpe de aríete 
acontece quando há propagação e reflexão de ondas acústicas em um 
líquido confinado, como uma válvula quando é bruscamente fechada. 
Ou seja, quando você fecha um registro, este dá um “soco” na entrada 
ou saída da válvula, forçando toda a tubulação, danificando-a.
https://pixabay.com/pt/photos/abstract-aqua-fundo-blue-l%C3%ADquido-2384/
51
Título: Golpe de Aríete
Fonte: Universidade de São Paulo – Usp 
O escoamento de gases com transferência de calor desprezível tam-
bém pode ser considerado incompressível, desde que as velocidades do 
escoamento sejam pequenas comparadas com a velocidade do som.
A razão entre velocidade do escoamento (V) e a velocidade do som 
(c) é conhecido como o número Mach:
Para M < 0,3, a vazão máxima da massa específica é inferior a 5% e 
considerados incompressíveis. Já para M = 0,3 possuem velocidade de 
aproximadamente 100 m/s.
52
Resumindo, o número de Mach é quantas vezes o corpo atingiu a 
velocidade do som, utilizado para cálculo de aeronaves.
Na teoria de baixa velocidade (consideradas velocidades de até 400 
km/h ou 500 km/h), o ar sofre pouca compressão ao passar pelo avião, 
então, é considerado IMCOMPRESSÍVEL. Aviões a jato voam com veloci-
dades bem elevadas, nas quais o ar é considerado compressível. No ar, 
a velocidade do som depende da temperatura.
Nessa aula foram apresentadas propriedades dos fluidos como es-
coamento compressível e incompressível, módulo de compressibilidade, 
golpe de aríete e o número Mach.
Exemplo:
Um avião que possui velocidade de 900 Km/h, a 40.000 pés, se de-
para com a velocidade do som de 1063 Km/h. Qual é o número Mach?
53
O golpe de aríete é coisa séria, tanto é que, por causa deste, aconteceu um 
acidente em uma hidrelétrica na Rússia (semelhante a grandes hidrelétri-
cas brasileiras).
O acidente destruiu 5 unidades geradoras e deixou 76 mortos. A abertura 
da turbina foi bloqueada por um tronco de árvore, ultrapassando a grade 
de proteção. Não foi falha da barragem, mas, sim, um equipamento, prova-
velmente, mal projetado. Mas olha todo o transtorno que causou. Terrível!
Fonte: https://www.ilumina.org.br/acidente-em-hidreletrica-russa/
Na própria válvula hidra acontecem diversos golpes de aríete. Quando 
você vê algum banheiro e dá descarga na bacia sanitária, e esta dá aquele 
“golpe” que parece que vai derrubar a parede, provavelmente deve ser 
problema na válvula, ou seja, o golpe de aríete.
Fluidos incompressíveis são escoamentos em que as variações na massa 
específica são desprezíveis. Já os compressíveis são quando não é despre-
zada sua massa.
O exemplo mais comum de escoamento compressível são os gases. Os 
líquidos podem frequentemente ser tratados como incompressíveis. Mas 
nem sempre o são, como vimos aqui no capítulo. Porém em muitos casos, 
sim.
https://www.ilumina.org.br/acidente-em-hidreletrica-russa/
TRANSPORTE DE MASSA
AULA 06
55
O transporte de massa deve satisfazer o princípio da Conservação 
de Massa, ou seja: “nada se cria, nada se perde, tudo se transforma”.
Existem diversos processos da transferência ou transporte de massa. 
Veremos suas diferenças e seus conceitos.
Transporte de massa por difusão
Difusão no meio líquido
Primeiro, o que é difusão? Difusão é a passagem das moléculas do 
soluto, do local maior para o de menor concentração, até estabelecer 
um equilíbrio. É como jogar o pó de café (soluto) na água (solvente). Este 
vai se espalhar pela água até se estabilizar.
Título: Café como processo de difusão: Os grãos do café (soluto) e água (solvente)
Fonte: https://pixabay.com/
https://pixabay.com/pt/photos/coffe-bebida-copa-jovem-manh%C3%A3-1354786/
56
O termo concentração é comumente usado em Fenômenos de Trans-
porte e consiste na quantidade de matéria (também chamado de moles 
ou mol) que temos em um determinado fluido (líquido ou gasoso).
Onde:
= concentração, em g/mL ou g/L;
m = massa em g;
v = volume, em mL. 
Quanto a água, em contato com o café, formará uma película de 
café que é dissolvida. A capacidade máxima de absorção da água para o 
café é chamada de coeficiente de saturação. Todo café à mais não será 
absorvido pela água.
Difusão no meio gasoso
Imagine uma câmara com um gás A no lado direito e um gás B no 
lado esquerdo.
Título: Difusão no meio gasoso – 1
Fonte: Elaborado pelo autor
57
Caso ocorra a união dos gases, estes, primeiramente, ficarão deses-
tabilizados até que se estabilizem totalmente.
Título: Difusão no meio gasoso – 2
Fonte: Elaborado pelo autor 
A equação do Fluxo de gás A difundindo-se no gás B é:
E o contrário, o gás B difundindo-se no gás A é:
Existem líquidos de diluição infinita, ou seja, um líquido que se dilui 
à outra substância. Ambas podem ser líquidas, ou uma pode ser sólida 
e a outra líquida. Ou, ainda, pode haver um gás e um líquido.
O transporte de massa é amplamente utilizado em nosso dia-a-dia, 
não só na culinária, mas em obras, fábricas, através de substâncias, etc. 
Isso é mais comum do que se imagina!
58
Exemplo:
Uma solução foi preparada, e foi dissolvido 10,0 g de cloreto de sódio 
(NaCl) em 2,5 litros de água. Levando em conta que o volume da solução 
continuou 2,5 L, qual é a concentração final da solução?
As bebidas são uma prova prática de que uma difusão na dose certa pode 
fazer sucesso. 
Existem diversos concursos para eleger as melhores bebidas destiladas, 
como esse em Bruxelas. Para se fazer a bebida destilada, primeiro é ne-
cessário fermentá-la e, nesse processo,grãos de cevada são fermentados, 
depois os cereais ou frutas. Assim, os sucos extraídos são misturados a 
leveduras, açúcar, e por aí vai. Pois é, isso exige uma boa dose de ciência!
Fonte: https://prazeresdamesa.uol.com.br/colunas/concurso-mundial-bru-
xelas/
Fazer um suco de frutas exige a medida certa do sumo para que este não 
fique muito consistente (se assim você desejar) e, se adicionado muito 
açúcar, este atingirá o ponto de saturação do suco e o açúcar não se mis-
turará mais.
Além de muito açúcar fazer mal à saúde, ultrapassar seu coeficiente de 
saturação faz você gastar mais dinheiro!
https://prazeresdamesa.uol.com.br/colunas/concurso-mundial-bruxelas/
https://prazeresdamesa.uol.com.br/colunas/concurso-mundial-bruxelas/
59
A fórmula da concentração é bastante importante, lembre-se dela! 
PRINCÍPIO DO 
TRANSPORTE DE CALOR 
E CONDUÇÃO EM REGIME 
PERMANENTE 
AULA 07
61
O transporte de calor tem como base muito sólida o princípio da 
conservação de energia, ou a 1ª Lei da Termodinâmica. Aqui, possuímos 
três tipos de transporte de calor unidimensional, ou seja, somente em 
uma direção:
• Condução;
• Convecção;
• Radiação.
E cada equação dessas possuem seu coeficiente cinético.
O transporte de calor por condução é o seguinte: imagine você es-
quentando a comida com uma colher de aço inoxidável e, na ponta que 
está dentro da panela, a colher está quente. Consequentemente, a ponta 
que você está segurando esquentará também, porque a agitação das 
moléculas aquecidas faz as que não estão aquecidas se agitarem e, con-
sequentemente, ficarem quentes. Essa é a condução de calor.
Já a convecção é comum acontecer com os gases e líquidos. Ao colo-
car água para ferver na panela, a parte que está próxima ao fogo aquece 
primeiro. Quando o líquido aquece, este sofre expansão e fica menos 
denso (densidade é a massa dividida pelo volume, porém, para ficar mais 
fácil de entender, pense que menos densidade quer dizer que está “mais 
leve”, então vai para cima) e sobe, enquanto a parte mais fria desce. O 
processo se repete até formar uma corrente de convecção, das diferen-
ças de densidade, e o calor é transferido para o líquido inteiro.
62
Título: Transferência de calor por convecção na água quente na panela
Fonte: https://static.mundoeducacao.bol.uol.com.br/
Por fim, a radiação térmica, ou irradiação, transfere calor por meio 
de ondas eletromagnéticas. Como estas ondas se propagam no vácuo, 
não é preciso que haja contato entre os corpos para a transferência de 
calor. Um corpo com maior calor transmite-o para outro com menos 
calor. Como, por exemplo, o calor do fogo de uma lareira que te aquece 
em dias frio.
https://static.mundoeducacao.bol.uol.com.br/mundoeducacao/conteudo/convec%C3%A7%C3%A3o.jpeg
63
Título: Transferência de calor por radiação ou irradiação do fogo na lareira 
Fonte: https://pt.freeimages.com/photo/roaring-fire-1365688
Transporte de calor por Condução em 
Regime Permanente 
O calor em regime permanente é aquele em que não irá mudar ao 
longo do tempo.
A quantidade de calor que atravessa um condutor, por unidade de 
tempo, se chama fluxo de calor, e calcula-se assim:
Onde:
= o fluxo de calor, em J/s;
https://pt.freeimages.com/photo/roaring-fire-1365688
64
Q = a quantidade de calor, em J;
= a variação do tempo, em s.
A lei desse processo de transmissão de calor foi determinada expe-
rimentalmente pelo matemático Jean-Baptiste Fourier.
Já a equação de calor por condução em regime permanente, ou a Lei 
de Fourier, diz que a quantidade de calor Q que atravessa uma parede, 
sob uma diferença de temperatura constante, é proporcional à área da 
seção transversal e inversamente proporcional à espessura. Ou seja, 
quanto maior a área, mais calor passa, porém, quanto maior o compri-
mento (ou espessura), menos calor vai transpassar e vice-versa:
Onde:
= o fluxo de calor, em J/s no SI (ou W, que é o Watt);
K = a condutividade térmica, referente ao coeficiente do material 
utilizado, em W/m*k (ou w/m°C);
= área, em m²;
= diferença de temperatura.
= comprimento, em m.
Nota-se que os metais possuem maior condutividade, como é mos-
trada a tabela abaixo:
65
Tabela 3 – Condutividades Térmicas dos Materiais
Substância Condutividade ( W/m.K)
Prata* 430
Cobre* 400
Ouro* 310
Alumínio* 240
Ferro* 80
Chumbo* 35
Gelo** 2
Concreto** 0,8
Vidro** 0,8
Borracha** 0,2
Madeira** 0,08
Água*** 0,6
Ar*** 0,023
Fonte: Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS
Os que tem condutividade térmica mais baixa são os chamamos de 
isolantes térmicos.
O transporte de calor é amplamente utilizado, não só na engenharia 
mecânica, através de máquinas, mas na cozinha também. Sim!
Exemplo:
O calor que transita de uma placa à outra é de 2000J. O tempo que 
isso leva é 32 minutos. Qual é o fluxo de calor obtido?
66
A irradiação solar (transferência de calor) é fundamental para manter a 
ordem do planeta, afinal, esta é a energia para fotossíntese, para o ciclo 
hidrológico, e tantas outras funções importantíssimas.
Mas, a irradiação, pode ser prejudicial, quando em contato direto excessivo 
com a pele, principalmente para pessoas de peles muito claras.
Foi falado que protetores-solares poderiam ser substâncias tóxicas, entre-
tanto, essa informação foi desmentida, afinal, ele ajuda a prevenir o câncer 
de pele causado pela grande irradiação solar a que estamos expostos!
Fonte: https://www1.folha.uol.com.br/
Um forno possui os três tipos de transferência de calor ao mesmo tempo: 
as chamas irradiam calor, o gás faz a convecção do calor para as paredes 
internas do forno, e a difusão faz o calor se espalhar pelo forno, chegando 
até o exterior.
Propriedades fundamentais na Transferência de Calor:
• Condução;
• Convecção;
• Radiação.
https://www1.folha.uol.com.br/equilibrioesaude/2019/06/medicos-rebatem-noticias-falsas-sobre-seguranca-de-protetor-solar.shtml
TRANSPORTE DE CALOR 
POR CONDUÇÃO EM 
REGIME VARIÁVEL
AULA 08
68
Na aula anterior o transporte de calor era em regime permanente, 
ou seja, não variava com o tempo. Já aqui, no regime variável, haverá 
mudanças.
A aplicação do regime variável é utilizado em uma têmpera de metal, 
que consiste na submissão de uma barra de metal em um óleo super 
aquecido, por exemplo, e ocorre com este o arrefecimento (resfriamen-
to), para depois esquentá-la novamente, porém, em outra temperatura, 
aumentando assim a resistência do material.
Título: Forja como forma de Têmpera
Fonte: https://pixabay.com/pt/photos/forjar-artesanato-quente-forma-550622/
Na cura de materiais emborrachados, por exemplo, um objeto de 
borracha é endurecido, aumentando, assim, sua resistência pela ação 
térmica. A esterilização de equipamentos cirúrgicos, de enlatados ou 
https://pixabay.com/pt/photos/forjar-artesanato-quente-forma-550622/
69
conservantes, e a pasteurização de alimentos são processos que utilizam 
o regime variável também.
Existem números adimensionais (sem unidade de medida) na con-
dução por regime variável, que são:
• Número de Biot (Bi)
• Número de Fourier (Fo)
A fórmula para o número de Biot é:
Onde:
Bi = razão entre o coeficiente de transferência convectiva de calor na 
superfície do sólido e a contundência específica do sólido;
h = possui várias denominações, como o coeficiente de filme, coe-
ficiente de transferência térmica ou coeficiente convectivo de transfe-
rência de calor;
Lc= comprimento característico, definido também como o volume 
do corpo dividido pela área da superfície do corpo (V/A).
O número de Biot é utilizado para definir o método que será usado 
na resolução de problemas de transferência de calor transiente, ou seja, 
é a razão de calor dentro do corpo e em sua superfície.
Se Bi > 0,1, então usa-se as cartas de temperatura transiente;
Se Bi < 0,1, usa-se a análise.
70
A fórmula do número de Fourier é:
Onde:
Fo = a taxa de condução de calor para a taxa de armazenamento de 
energia térmica;
= a difusividade térmica(condutividade térmica dividida pela 
densidade e capacidade específica de calor a pressão constate, ou seja, 
mede a transferência de calor de um material de um lado quente para 
o lado frio), em m²/s;
t = o tempo, em s;
L = o comprimento, em m.
Resumidamente, o número de Biot mede a relação entre a dificul-
dade de o calor passar pela condução e pela convecção, e o número 
de Fourier é um número adimensional que caracteriza a condução de 
calor. É a proporção entre a taxa de condução de calor para a taxa de 
armazenamento de energia térmica.
Métodos para resolução dos problemas do 
regime variável
A esterilização de latas em conservas por vapor é um exemplo de 
transporte de calor por regime variável, e há diversos métodos para se 
determinar o tempo que esta lata será esterilizada:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_t%C3%A9rmica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Difusividade_t%C3%A9rmica
71
Título: Latas em conserva são esterilizadas por transporte de calor em regime variável
Fonte: https://pixabay.com/
• Analítico;
• Numérico;
• Gráfico.
Analítico
Resolver as equações diferenciais parciais por meio de cálculos (mu-
dança de variáveis, etc.).
https://pixabay.com/pt/photos/lata-de-sardinha-alimentos-estanho-622683/
72
Numéricos
Neste, divide-se uma peça em várias linhas verticais e horizontais, 
separando por partes, e resolve-se ponto a ponto essa “grade”.
Gráfico
Este é o método mais simples. Por vezes, não é o mais eficaz, mas o 
mais palpável. Para este método ser utilizado, deve se seguir determi-
nadas condições:
1. Caso for uma placa, o comprimento e a largura devem ser 
intermináveis, infinitos.
Caso uma placa de metal tenha a espessura fina, todavia, compri-
mento e largura grande, é possível aproximar como uma placa infinita.
São considerados cilindros infinitos aqueles que seu comprimento é 
muito maior que seu diâmetro.
2. A segunda condição é o transporte de calor em uma só di-
reção;
• Difusividade térmica constante (mede a transferência de calor 
do lado quente para o lado frio);
• Distribuição uniforme de temperatura do corpo no tempo ini-
cial, ou seja, o corpo todo deve estar em uma temperatura só;
• Nova condição (temperatura de aquecimento ou resfriamen-
to da peça) é constante;
73
• Verificação das condições geométricas (e << H ou L; D << L).
Existem 3 gráficos para se encontrar os valores desejados, e são 
estes:
• Gráfico de Gurney-Lurie;
• Gráfico de Heisler;
• Gráfico de Gröber.
Gráfico de Gurney-Lurie
Título: Gráfico de Gurney-Lurie
Fonte: Charts for estimating temperature distributions in heating or cooling of solid shapes. Gur-
ney-Lurie, 1923
74
Neste gráfico, temos o eixo x e eixo y. No eixo x temos o número de 
Lurie, e no Y temos a variação do tempo.
Vemos 4 grupos de linhas, e cada linha é a relação entre o ponto que 
se está aquecendo e o diâmetro da placa.
Gráfico de Heisler
Título: Gráfico de Heisler
Fonte: Heat And Mass Transfer A Practical Approach – 3rd Ed. Yunus A. Cengel, 2007.
No gráfico de Heisler, o valor muda do eixo do x nessas três “curvas”. 
Onde, no gráfico temos:
tm = temperatura do centro da peça depois de algum tempo aque-
cida;
to = temperatura inicial (uniforme) da peça;
75
tf = temperatura do fluido, porque a peça é imersa e aquece (ou 
resfria).
O gráfico de Heisler apresenta um gráfico de correção (abaixo), para 
ser usado em qualquer ponto da peça (não só no centro ou na super-
fície).
Título: Gráfico de correção de Heisler
Fonte: Fundamentals of Engineering Heat and Mass Transfer. – 4rd Ed. R. C. Sachdeva, 
2010.
Gráfico de Gröber
Para estes gráficos, as suas funções são:
• Destinados a cálculos na superfície da peça;
• Destinados a cálculos no centro da peça;
• Cálculo do calor transportado da peça ou para esta.
76
Título: Gráfico de Gröber
Fonte: Heisler Charts for GATE Mechanical Engineering. H. Gröber.1961.
Então, quando usar qual gráfico?
Quando a temperatura da superfície do corpo durante o trata-
mento térmico por condução se mantém constante, usa-se Gur-
ney-Lurie. Quando não tem o valor do Ts (Temperatura da superfí-
cie), mas existe o Tf (Temperatura do Fluido), e é constante, usa-se 
Heisler ou Gröber, do gráfico da leitura mais precisa. Quando é ne-
cessário o conhecimento da temperatura, tempo etc., em pontos 
localizados no centro ou em algum ponto do centro à superfície, 
usa-se Gurney-Lurie ou Heisler. Quando se quer a quantidade de 
calor transmitida, utilizar o Gröber.
Para esses gráficos, pode-se usar também geometrias finitas 
(comprimento e espessura semelhantes).
77
O transporte de calor por condução em regime variável possui 
diversos modos, porém, seu objetivo é o mesmo. manipular ma-
teriais em diferentes temperaturas.
Exemplo:
Quando não temos a temperatura da superfície, mas existe a 
temperatura do fluido, qual é(são) o(s) gráfico(s) para resolução de 
problemas de regime permanente mais recomendável(is)?
A reposta é de Heisler ou Gröber.
A cutelaria, arte de transformar aço em faca, canivete, etc., é um exemplo 
prático do transporte de calor por condução em regime variado, afinal, 
para isso, é necessário o material se submeter à diversas temperaturas 
para esta se tornar rígida.
Sim, ser ferreiro é pura engenharia, literalmente!
Fonte: https://g1.globo.com/
Para alimentos enlatados estarem esterilizados, estes são submetidos ao 
transporte de calor por condução, em regime variado, também. Case de 
estudo
É fundamental guardar o conceito de que o transporte de calor era em 
regime permanente, ou seja, não variava com o tempo. Já no regime va-
riável, haverá mudanças.
https://g1.globo.com/economia/agronegocios/globo-rural/noticia/2019/04/28/conheca-a-cutelaria-a-arte-de-transformar-aco-em-faca-canivete-e-outras-laminas.ghtml
TRANSPORTE DE CALOR 
POR CONVECÇÃO E 
RADIAÇÃO
AULA 09
79
Transporte de calor por convecção
A convecção, como vimos anteriormente, é o transporte de calor 
através da diferença de densidades (o ar quente desce e o frio sobe, e 
formam-se as correntes de convecção), e pode ser dividida em três tipos:
• Convecção Natural (ou livre);
• Convecção Forçada;
• Convecção com Mudança de Fase.
A diferença entre convecção natural e forçada está relacionada à 
transferência de calor de forma natural, enquanto fatores externos po-
dem causar a transferência de calor na convecção forçada.
Já a convecção com mudança de fase ocorre quando, no meio da 
convecção, ocorre uma condensação, por exemplo, que é a mudança 
de fase do gás para líquido.
Imaginemos uma placa em uma temperatura T. Por dilatação térmica, 
as moléculas vão aumentar de tamanho, mas a massa será a mesma. O 
ar quente vai querer começar a subir e o ar frio a descer. Se você asso-
prar essa placa, teremos o transporte de calor por convecção forçada.
Aqui, também temos diversos coeficientes adimensionais:
80
Título: Números adimensionais do transporte de calor por convecção
Fonte: https://www.researchgate.net/
Temos, também, o escoamento no exterior de bancos de tubos. Ban-
co de tubos é um agrupamento de tubos presos por meio de placas, em 
que um fluido escoa pelo seu exterior, trocando calor.
Título: bancos de tubos
Fonte:https://edisciplinas.usp.br/
https://www.researchgate.net/figure/1-Important-dimensionless-numbers-in-multiphase-flows_tbl1_40533830
81
Nesses tubos podemos ter o formato de seus arranjos quadrangular 
ou triangular.
Título: Agrupamento de seções do tubo
Fonte: Elaborado pelo autor
A função deste tubo é a troca de calor, mudando a temperatura do 
ambiente ou do local do transporte de calor.
Transporte de calor por radiação
A radiação é muito importante para a engenharia porque não existe 
corpo que não irradie algo.
A radiação ocorre em todo lugar: desde o sol até nos fornos, em 
processos metalúrgicos, engenharia nuclear, estudos com o meio am-
biente, etc.
A radiação tem relação com o comprimento de ondas, e quanto 
maior o comprimento, menor a radiação.Existe uma classificação das 
ondas, dependendo de sua intensidade, como você pode notar abaixo:
82
Título: Espectro de radiação
Fonte: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/ondas-radio.htm
Chamamos de corpo negro quando o corpo absorve toda radiação. 
Na prática, um corpo negro perfeito não existe, porém é bom conhe-
cer o conceito. Já o corpo branco é o contrário, este não absorve nada; 
pelo contrário, reflete tudo. Corpo cinza ou cinzento reflete apenas uma 
parte.
A reflexão normal possui um ângulo de reflexão normal à superfície. 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/ondas-radio.htm
83
Já a reflexão difusa já vai para diversos lados:
Título: Reflexão normal e difusa
Fonte: Elaborado pelo autor
A radiação está presente desde o sol até nos mais ínfimos corpos, 
afinal, tudo irradia algo, e em alguns casos reflete.
Exemplo:
Todos os corpos irradiam algo e, através da irradiação, surge o con-
ceito da reflexão, ou seja, o que é irradiado para o corpo não necessa-
riamente é absorvido, como a luz. Quais os tipos de Reflexão existentes?
R: Reflexão normal (ou regular) e difusa.
84
Raios ultravioleta, a radiação solar, podem ser prejudiciais aos olhos, então, 
é bom tomar cuidado! Caso seus óculos escuros forem de baixa qualidade, 
podem prejudicar mais do que se você não utilizar, então se tem um des-
ses... é melhor repensar seus planos e adquirir um que realmente proteja 
seus olhos!
Fonte: https://liberal.com.br/
A não ser que você esteja no zero absoluto (o que é improvável), seu corpo 
também emite radiação! Seja refletido do sol ou emitindo de alguma outra 
fonte de luz. E, então, você é uma pessoa que irradia coisas boas ou não?
• A convecção, como vimos anteriormente, é o transporte de calor através 
da diferença de densidades (o ar quente desce e o frio sobe, e formam-se 
as correntes de convecção).
• No corpo negro, o corpo absorve toda radiação. Na prática, um corpo 
negro perfeito não existe. O corpo branco não absorve nada, e o cinza 
reflete parcialmente. Simples, não? Como uma camiseta preta que es-
quenta mais no calor e a branca reflete a irradiação.
https://liberal.com.br/revista-l/bem-estar/raios-ultravioletas-podem-ser-nocivos-aos-olhos-1082288/
ESTÁTICA DOS FLUIDOS E 
PRESSÃO
AULA 10
86
Um fluido deforma-se quando há uma tensão tangencial, ou seja, é 
um tipo de tensão gerada por forças aplicadas em sentidos opostos (di-
reita ou esquerda), entretanto, em direções semelhantes (praticamente 
na “mesma horizontal”) no material analisado. Além do mais, não há 
tensão de cisalhamento, portanto os fluidos em repouso e cisalhamento 
são apenas capazes de suportar tensões normais.
A hidrostática também pode ser utilizada para desenvolver prensas 
hidráulicas para indústrias ou freios de automóveis etc.
Pressão
A pressão nada mais é do que uma força aplicada sobre uma área. 
Se a área considerada for uma pequena parte, é chamado de dA, então 
a força será dFn:
Se a pressão for uniforme, ou seja, igual em toda área, então teremos:
87
Título: Pressão
Fonte: Elaborado pelo autor
Lei de Pascal
A lei de Pascal funciona da seguinte forma: a pressão aplicada em 
um ponto de um fluido em repouso é transmitida integralmente a todos 
os pontos do fluido.
Exemplo:
A figura mostra, esquematicamente, uma prensa hidráulica. Os dois 
êmbolos têm, respectivamente, as áreas = 10 cm² e = 100 cm². 
Se for aplicada uma força de 200 N no êmbolo (1), qual será a força 
transmitida em (2)?
88
Título: Êmbolo
Fonte: Brunetti – Mecânica dos Fluidos – 2ª Edição
Primeiramente precisamos encontrar a pressão no primeiro ponto 
1, através da fórmula p = F/A. Pela lei de Pascal, essa pressão será trans-
mitida no êmbolo 2 (do outro lado), então .
Esse dispositivo não só transmite uma força, mas também a aplica. 
As prensas hidráulicas, freios, etc., se baseiam nesse princípio.
Carga de Pressão 
A pressão está ligada diretamente com a altura também. Quanto 
maior a altura do objeto de estudo, maior será a pressão. Multiplicando 
o peso específico do fluido pela altura, teremos, naquele ponto, a Carga 
de Pressão.
89
As unidades de Pressão mais utilizadas são: Kgf/m²; kgf/cm²; N/m² = 
Pa (pascal); daN/cm² = br; lb/pol² = psi.
Instrumentos para medição de Pressão
A pressão atmosférica é medida pelo barômetro. Caso um tubo cheio 
de líquido, que está fechado na extremidade de baixo e aberto em cima, 
for virado dentro de uma vasilha do mesmo líquido, este descerá e per-
manecerá em equilíbrio. A pressão em um mesmo nível é a mesma, 
então P0 = Pa = Patm (atmosfera). O líquido utilizado geralmente é o 
mercúrio, seu peso específico é elevado e forma uma pequena altura h, 
então, pode ser usado um tubo de vidro curto. A pressão atmosférica é 
padrão, e corresponde a:
Título: Barômetro
Fonte: Brunetti – Mecânica dos Fluidos – 2ª Edição
90
O manômetro metálico também é utilizado para medir pressões ou depressões.
Título: Manômetro
Fonte: https://pixabay.com/
O piezômetro é outro objeto usado para medir a pressão.
Título: Piezômetro
Fonte: Brunetti – Mecânica dos Fluidos – 2ª Edição
https://pixabay.com/pt/vectors/man%C3%B4metro-medida-press%C3%A3o-medi%C3%A7%C3%B5es-40253/
91
Empuxo
Os empuxos são forças de reação que surgem em todos os lados 
quando uma determinada força é aplicada. Vamos imaginar uma gela-
tina e um tapa sendo dado nesta. Ela vai remexer em todos os lados. 
Isso é o empuxo.
Título: Empuxo
Fonte: Brunetti – Mecânica dos Fluidos – 2ª Edição
A fórmula do empuxo é:
E = P (FLUIDO DESLOCADO).
Sendo que:
P = m * g;
Onde:
P = peso;
m = massa;
g = gravidade.
Temos também a seguinte fórmula, quando se envolve um fluido e 
um objeto, como uma laranja em um copo d’água:
E = μ(FLUIDO).V(OBJETO).g
92
Onde:
μ = Densidade do fluido, em Kg/m³;
V = Volume do objeto.
E, para achar o volume, às vezes é necessário utilizar a fórmula
d = m/V.
A pressão é um conceito amplamente utilizado em Fenômenos de 
Transporte e, portanto, é muito importante.
Quando você toma injeção (com aquele êmbolo, a borracha que comprime 
o líquido), é a Lei de Pascal sendo aplicada! É a física em contato direto 
com você, literalmente!
• Guarde a fórmula básica da pressão: p = F/A
• A lei de pascal e os instrumentos para medição da pressão são muito 
importantes!
• Lei de Pascal: a pressão aplicada em um ponto de um fluido em re-
pouso é transmitida integralmente a todos os pontos do fluido.
• Instrumentos para medição de pressão: Piezômetro e o manômetro, 
por exemplo.
93
Sabe quando um time de futebol vai jogar em algum país vizinho e a pres-
são é diferente, causando mais cansaço nos jogadores? Na verdade, a pres-
são atmosférica lá é menor, e não maior como muita gente acha. Pelo 
seguinte motivo: como a pressão depende da altura, ao nível do mar, como 
vimos nessa aula, esta é de 760 mmHg, e em altitudes elevadas chega em 
torno de 159, ou seja, menor! Curioso, né? Veja o desenho abaixo para 
compreender melhor:
Fonte: Elaborado pelo autor
Fonte da notícia: http://www.ufjf.br
http://www.ufjf.br/laura_leite/projeto-de-extensao/sistema-respiratorio/a-fisiologia-da-regulacao-respiratoria-uma-partida-de-futebol-na-altitude/
VAZÃO E PERDAS DE 
CARGA
AULA 11
95
A vazão faz parte da Cinemática dos Fluidos. E de onde vem a Cine-
mática, do cinema? Não, mas a origem das palavras tem relação sim.
O cinema é a arte de reproduzir imagens que dê a impressão de mo-
vimento. Já a cinemática é o ramo da mecânica que estuda o movimento 
de corpos ou partículas, não levando em conta massas ou forças. Ou 
seja, o movimento é o que dita as regras aqui. E a vazão, justamente, vai 
ao encontro desse mesmo princípio.
Vazão
Vazão é um dos conceitos mais importantes dos Fenômenos de Trans-
portes, e consiste na quantidade de volume que se tem em um determi-
nado tempo. Ou seja:
Onde:
Q = vazão, comumente encontradas em L/s (litros por segundo) ou m³/s;
V = velocidade, em m/s;
T = tempo, em s.É como se você pegasse um cronômetro e calculasse quantos litros 
saem de uma torneira em tantos segundos. Se sair 40 litros em 20 segun-
dos, teremos: 40L/20s = 2 L/s.
Ou seja, a vazão é o volume do fluido que atravessa uma certa se-
ção por uma unidade de tempo. É importante ressaltar a conversão de 
unidades: 1 m³ equivale à 1000 litros.
96
Título: Torneira, relacionada à vazão da água
Fonte: https://pixabay.com/pt/
Na prática, a velocidade não é uniforme em toda seção, ou seja, ao 
longo da saída de água da torneira, por exemplo, a velocidade da água 
varia e, consequentemente, a quantidade de água também. Porém, para 
efeito de cálculo, geralmente é considerado como se a velocidade fosse 
uniforme.
Perdas de Carga
A perda de carga nada mais é do que o atrito que existe no escoa-
mento do fluido. Por exemplo, imagine a água que chega na sua casa, da 
rua, e vai para sua caixa d’água. Até a água chegar na caixa d’água, have-
rá um atrito aí, e a água “perde sua intensidade”. Você precisa descontar, 
no cálculo, algo por causa desse atrito, e o que é descontado é a altura.
https://pixabay.com/pt/photos/torneira-fonte-dispensador-de-%C3%A1gua-1684902/
97
Perda de carga distribuída
A perda de carga distribuída acontece ao longo dos trechos retos da 
tubulação.
A fórmula mais utilizada da perda de carga foi desenvolvida por Hen-
ry Philibert Gaspard Darcy e aprimorada por Julius Ludwig Weisbach nos 
anos de 1840.
A equação é conhecida por Darcy-Weisbach e é usada para calcular 
a perda de energia (ou perda de carga) do escoamento do fluido de um 
ponto para outro no interior de uma tubulação:
Sendo que:
Lw = perda de carga ao longo do comprimento do tubo (m);
f = fator de atrito de Darcy-Weisbach (adimensional);
L = comprimento do tubo (m);
D = diâmetro do tubo (m);
v = velocidade do fluido no tubo (m/s);
g = gravidade (9,81 m/s²).
Esta conta produz um resultado em mca (metros de coluna d’água) 
e, então, este valor deve ser dividido pelo comprimento total do tubo. 
Teremos:
J = Lw / L
J = m / m
98
E, lembra do Reynolds (tipos de escoamento)? Então, este também 
tem uma fórmula, que corresponde a:
Onde:
D = Diâmetro, em m;
v = Velocidade do fluido, em m/s;
p = Massa específica, em kg/m³;
μ = Viscosidade dinâmica, em Kg/m*s.
E aí calcula-se a fórmula da Rugosidade Relativa:
Onde o é a rugosidade das paredes do tubo, e pode ser encon-
trada na tabela “Rugosidade das paredes de tubos”, abaixo:
Título: Rugosidade das paredes de tubos
Fonte: http://www.escoladavida.eng.br/
http://www.escoladavida.eng.br/mecfluquimica/aulasfei/Tabelas_para_projeto.pdf
99
Com a “Rugosidade das paredes de tubos” em mãos, usa-se o dia-
grama de Moody abaixo para encontrar o f (Fator de atrito de Darcy-
-Weisbach), considerando a Rugosidade no eixo vertical na esquerda e 
o número de Reynolds no eixo horizontal embaixo.
 
Título: Diagrama de Moody
Fonte: Universidade Federal de Campina Grande – UFCG
Enfim, teremos todos os valores da fórmula de Darcy-Weisbach
E conseguimos calcular a perda de carga.
É possível encontrar o valor de Reynolds através da fórmula:
100
A vazão é muito usada, principalmente, na área da hidráulica.
Exemplo
Dados:
L: 150 metros, D: 50 mm, V: 3 m/s e o Fator de atrito de Darcy-Weis-
bach (f): sendo 0,040. Determine a perda de carga por metro.
Obs: Utilize g = 9,81 m/s².
A Agência Nacional de Águas – ANA – toma conta dos rios de domínio da 
União (rios nacionais), como aqueles que passam em mais de um estado 
e estão na fronteira.
Foi cogitado o aumento da vazão do Rio São Francisco através da Barra-
gem de Xingó, para que a foz do rio não seja comprometida pelo óleo, 
contaminando-a. 
Fonte: https://www.carlosbritto.com/vazao-do-rio-sao-francisco-pode-ser-
-aumentada-para-proteger-foz-contra-oleo/
https://www.carlosbritto.com/vazao-do-rio-sao-francisco-pode-ser-aumentada-para-proteger-foz-contra-oleo/
https://www.carlosbritto.com/vazao-do-rio-sao-francisco-pode-ser-aumentada-para-proteger-foz-contra-oleo/
101
Quando se está com a mangueira e você coloca o dedo na saída da água, 
encurtando a seção, muitos tem a falsa impressão de dizer que “a pressão 
aumentou”. 
Observando a fórmula abaixo da Perda de Carga de Darcy-Weisbach, é pos-
sível notar que o diâmetro está relacionado à velocidade e não à pressão, 
ou seja, quanto menor o diâmetro (você tampando quase toda a saída de 
água na mangueira) a velocidade aumentará. 
• Vazão = Volume/Tempo.
• A conversão de unidades é sempre muito importante, anote isso: 1 
m³ equivale à 1000 litros.
• A perda de carga nada mais é do que o atrito que existe no escoa-
mento do fluido.
COLUNA PIEZOMÉTRICA E 
MANÔMETRO COM TUBO 
EM U
AULA 12
103
A coluna piezométrica é um simples tubo de vidro ligado a um reser-
vatório e, com ele, é possível medir a pressão
Título: Coluna Piezométrica
Fonte: Brunetti – Mecânica dos Fluidos – 2ª Edição
Sua fórmula é:
Onde:
h = Altura necessária do Piezômetro;
= Pressão, em N/m²;
= Peso específico, em N/m³.
Exemplo:
Supõe-se que a água tenha uma pressão de 104 N/m² e um peso 
específico de 10³ N/m³, então temos:
Porém, existem 3 motivos que tornam o uso do Piezômetro limitado:
104
• Para pressões elevadas e líquidos de baixo peso específico, a 
altura exigida seria muito alta;
• Não é possível medir pressão de gases;
• Não é possível medir pressões efetivas negativas.
Como vimos na aula passada, o manômetro é um instrumento uti-
lizado para medir pressões. Existe também o manômetro em U que é 
utilizado para medir a diferença de pressão entre dois fluidos. Estes 
podem ser água, mercúrio, etc.
Neste manômetro, é corrigido o problema das pressões efetivas ne-
gativas. Se isso acontecer, a coluna de fluido da direita ficará abaixo do 
nível A-A. A presença do fluido manométrico torna possível a medida da 
pressão de gases, já que não deixa estes escaparem. Os manômetros 
podem não ter um reservatório em sua ponta, então utiliza-se o valor 
da própria pressão atm. 
• A pressão atmosférica, quando é efetiva, seu valor é zero. 
• Para se transformar a pressão de N/m² para KPa (quilopascal), 
basta dividir por 1000.
• Para se transformar Kgf/cm² em N/m², multiplica-se por 
10.000.
105
Título: Manômetro com tubo em U
Fonte: Brunetti – Mecânica dos Fluidos – 2ª Edição
Equação manométrica
Existe uma expressão a qual é possível determinar a pressão de um 
reservatório ou a diferença entre dois reservatórios. É possível calcular 
a pressão no fundo dos dois ramos pelo Teorema de Stevin e, lembre-se 
que, segundo Pascal, a pressão se transmite integralmente para todos 
os pontos do fluido.
Título: Ilustração para equação manométrica
Fonte: Brunetti – Mecânica dos Fluidos – 2ª Edição
106
Pressão no fundo do ramo esquerdo:
Pressão no fundo do ramo direito:
Sendo que:
Como o fluido está em equilíbrio, as pressões no mesmo nível devem 
ser as mesmas, então:
Assim, temos:
Se quisermos achar o , basta isolar este e teremos:
Cada peso específico está multiplicado pela altura correspondente, 
sem necessidade de adotar como referência o fundo. Então, foi criada 
uma regra básica para isso.
107
Levando em conta o novo desenho abaixo: começa-se pelo lado es-
querdo e soma-se a pressão . As pressões das colunas que estão 
descendo são somadas e as que estão subindo são subtraídas. Note o 
desenho do lado direito.
Observe que as cotas vão do começo do líquido até o final, e se tiver 
altura no meio desse caminho, não conta: Preste atenção na h4 do dese-
nho da esquerda, onde existe altura mais para cima, mas o que importa 
é a altura que começa e que termina.
Título: Ilustração para equação manométrica
Fonte: Brunetti – Mecânica dos Fluidos – 2ª Edição
Exemplo
Dois reservatórios A e B contêm água e estes possuem uma pressão 
de 5 Kgf/cm² e 3,5 Kgf/cm², respectivamente. Qual será a deflexão (altura 
h) do mercúrio no manômetro?
108
Adote:
 água = 1000 Kgf/m³.
 mercúrio = 13600 Kgf/m³.Os Manômetros são bem teóricos, mas muito utilizados em estudos.
109
O manômetro e o barômetro são comumente confundidos: enquanto um 
é mais utilizado para se medir a pressão atmosférica (barômetro), o outro 
é mais usado para medição da pressão de fluidos.
Fonte: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/manometro-barome-
tro.htm
Esse tipo de aparelho é frequentemente utilizado por profissionais de en-
genharia hidráulica. Seu princípio é simples, porém, seu uso é bem espe-
cífico.
• Na equação manométrica, da esquerda para a direita, quando o fluido 
desce, este é positivo, e quando sobe, é positivo.
• Lembre-se que a pressão está sempre relacionada à altura. Na fórmula 
apresentada multiplica-se o peso específico pela altura.
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/manometro-barometro.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/manometro-barometro.htm
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
AULA 13
111
A equação de Bernoulli vem da integração da equação de Euller em 
regime permanente ao longo de uma linha de corrente. É a equação da 
energia geral tomando diversas formas, como a equação simplificada e 
a de hipóteses simplificadoras.
Como diz Brunetti (2008), a equação de Bernoulli dificilmente vai pro-
duzir resultados compatíveis com a realidade, entretanto, é de funda-
mental importância, não só conceitualmente, mas como base da equa-
ção geral, construída para eliminar hipóteses da equação de Bernoulli e, 
assim, representar com precisão os fenômenos naturais. As hipóteses 
simplificadoras são:
• Regime Permanente;
• Sem máquina no trecho de escoamento em estudo. As má-
quinas são quaisquer dispositivos mecânicos que forneça ou 
retire energia, na forma de trabalho. O fornecimento de ener-
gia já é diferente e fica à cargo das “bombas” e as que extraem 
energia são as “turbinas”;
• Sem perdas por atrito no escoamento do fluido ou fluido ideal;
• Propriedades uniformes nas seções;
• Fluido incompressível;
• Não há trocas de calor.
Ou seja, em alguns casos nem todos os fatores são considerados, 
basta saber qual você deseja e quais fatores são necessários utilizar.
112
A equação de Bernoulli é:
Com essa equação é possível relacionar cotas, velocidades e pressões 
entre duas seções de escoamento de fluidos. E, assim, descobrindo os 
valores que a fórmula apresenta.
Tanto na primeira parte (1, antes do igual) quanto na segunda parte 
(a partícula de peso unitário), a soma delas deve ser idêntica para manter 
a energia constante nos volumes.
Z é uma cota, que será medida em unidade de comprimento (como 
metros). Logo, tanto v²/2g quanto p/ também serão medidos desse 
jeito. Cada uma das parcelas da equação significa energia por unidade 
de peso.
Temos:
Z = carga potencial;
= carga da velocidade ou carga cinética.
O termo “Carga” pode ser usado substituindo o outro termo “Energia 
por Unidade de Peso”. Sendo assim, temos:
Onde:
H = Energia total por unidade de peso em uma seção ou carga total 
na seção ou Carga na seção.
113
A equação pode ser escrita também, então:
Caso, entre duas sessões de escoamento, o fluido for incompressível, 
sem atrito, e o regime permanente, se não tiver máquina nem trocas 
de calor, então as cargas totais permanecerão constantes em qualquer 
seção, não havendo nem ganhos nem perdas de carga.
Exemplo:
A água escorre em regime permanente no Venturi da figura. 
No trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezí-
veis e as propriedades uniformes nas seções. A área (1) é 20 cm², 
enquanto a da garganta (2) é 10 cm². Um manômetro cujo fluido 
manométrico é mercúrio ( hg = 136.000 N/m³) é ligado entre as 
seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a 
vazão da água que escoa pelo Venturi ( h2o = 10.000 N/m³).
O efeito Venturi (conhecido também como tubo de Venturi) 
acontece quando, em um sistema fechado, o fluido em movimento 
constante dentro de um duto uniforme comprime-se momenta-
neamente ao encontrar uma zona de estreitamento, diminuindo 
sua pressão e consequentemente aumentando sua velocidade.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Press%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade
114
Título: Ilustração para exemplo da Equação de Bernoulli
Fonte: Brunetti – Mecânica dos Fluidos – 2ª Edição
As hipóteses impostas pelo problema enquadram perfeitamente no 
uso da equação de Bernoulli.
Já que os centros geométricos (1) e (2) tem a mesma cota z, ou seja, 
estão na mesma altura, então, escreve-se:
A2 < A1, então v2 > v1 (quanto menor a área, maior a velocidade, 
lembra?). Como a energia cinética aumenta de 1 para 2, a energia da 
pressão diminuirá para que a soma seja constante. É por isso que o 
manômetro está desnivelado da esquerda para a direita, já que p1 > 
p2. Parte-se do centro geométrico da seção 1 e despreza-se os trechos 
comuns aos dois ramos do manômetro. 
115
Utilizando-se a equação da pressão ( da equação de Bernoul-
li), temos:
Então, aplicando Bernoulli, temos:
Considerando g = 10 /s².
Para achar a vazão, é necessário utilizar a fórmula:
Já que = 20 cm² e = 10 cm², então:
116
Observe que 3 vem do mmc.
Quando um ponto está em repouso, então a Velocidade é Zero. E, 
por ele estar em repouso, sua Pressão é efetiva (zero). No outro ponto, 
quando analisado solitariamente, a Pressão Efetiva é atm, então é zero 
também. Então, tem-se:
Quando se analisa um ponto específico da equação, é possível utilizar 
a fórmula da Pressão efetiva = Pressão absoluta – Pressão atmosfera 
(considerando a Pressão atm nesse caso).
De Kgf/m² para N/m², multiplica-se por 10. O peso específico de Kgf/
m³ para N/m³ multiplica-se por 10.
A perda de carga pode ser chamada de lw e a altura manométrica 
por H, ficando assim:
117
Com a equação de Bernoulli é possível descobrir diversas grandezas.
Se você está andando em uma bicicleta, em uma rodovia, e é ultrapassado 
por um ônibus que passa pela sua esquerda em alta velocidade, você sente 
o ar se deslocando, e se sente “puxado” para o lado esquerdo (o lado do 
ônibus), podendo, perigosamente, cair para esse lado.
Isso acontece porque a velocidade do ônibus aumenta a velocidade do ar 
desse lado esquerdo, e a pressão maior do lado direito vai para a esquerda, 
dando aquele “solavanco”.
Fonte: https://fisicaevestibular.com.br/novo/mecanica/hidrodinamica/
equacao-da-continuidade-equacao-de-bernoulli/
Quando se coloca algum fluido (em forma de gás) ao lado de um ônibus 
que passou em alta velocidade na rodovia, esse é o “impulso” que é gerado, 
da Equação de Bernoulli!
https://twitter.com/fotosdefatos/status/1093633276798009350
Anote a equação de Bernoulli:
https://fisicaevestibular.com.br/novo/mecanica/hidrodinamica/equacao-da-continuidade-equacao-de-bernoulli/
https://fisicaevestibular.com.br/novo/mecanica/hidrodinamica/equacao-da-continuidade-equacao-de-bernoulli/
https://twitter.com/fotosdefatos/status/1093633276798009350
FLUIDODINÂMICA
AULA 14
119
A fluidodinâmica estuda a interação entre um fluido e um corpo 
nele imerso, quando existe neste algum movimento. Como uma garrafa 
d’água jogada no fundo do oceano, poluindo-o. Ou a própria ação do ar 
em um corpo, como um veículo. Vimos diversos conceitos da Fluidodi-
nâmica ao longo desse curso, como a vazão, por exemplo. Aqui, nessa 
aula, serão abordados outros conceitos da fluidodinâmica.
Do ponto de vista do observador, o corpo estará fixo e o fluido sem-
pre em movimento.
 
Título: Poluição oceânica – exemplo de fluidodinâmica
Fonte: https://pixabay.com/
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Ao passar pelo corpo, o fluido provocará nele uma força resultante. 
Essa força pode ser decomposta em duas componentes, que são:
• Resistência ao avanço ou força de arrasto (Fa), paralela às 
linhas de corrente ao longe;
• Força de sustentação (Fs), que representa a componente nor-
mal ou perpendicular às linhas de corrente ao longe;
Título: seção ao longe da Fluidodinâmica