apostila extremos otimizacao

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Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul 
DCEEng – Departamento de Ciências Exatas e Engenharias 
Disciplina do NCEng – Núcleo Comum das Engenharias 
 
Componente Curricular: Cálculo I 
Prof(a): Raquel Taís Breunig e-mail: raquel.breunig@unijui.edu.br Apostila_02 
MÁXIMOS E MÍNIMOS E PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 
EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO 
 
 
Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial são os problemas de otimização, em 
que devemos encontrar a maneira ótima (melhor maneira) de fazer alguma coisa. Esses problemas 
podem ser reduzidos a encontrar os valores máximo ou mínimo de uma função. Vamos primeiro 
explicar exatamente o que queremos dizer por valores máximo e mínimo. 
 
 
Exemplo 01: Vemos que o ponto mais alto no gráfico da função f 
mostrado na Figura ao lado é o ponto (3, 5). 
Em outras palavras, o maior valor de f é f (3) = 5. Da mesma forma, o 
menor valor é f (6) = 2. 
 
 
 
 
 
Exemplo 02: Por exemplo, na Figura ao lado observamos que f (4) = 5 
é um valor mínimo local, pois é o menor valor de f no intervalo I. 
Intervalo J: 
 
Intervalo K: 
 
 
 
COMO AS DERIVADAS AFETAM A FORMA DE UM GRÁFICO 
 
I) O que f’ diz sobre f ? 
 
Para ver como a derivada de f pode nos dizer onde uma função é crescente 
ou decrescente, observe a figura ao lado. 
 
Entre A e B e entre C e D, as retas tangentes têm inclinação positiva e, 
portanto, f (x) > 0. 
Entre B e C, as retas tangentes têm inclinação negativa e, portanto, f (x) < 0. 
Assim, parece que f cresce quando f (x) é positiva e decresce quando f (x) é 
negativa. Para demonstrar que isso é sempre válido, vamos usar o Teorema 
do Valor Médio. 
• Em sua opinião, no que o extremo de uma função (máximo e mínimo) tem relação com derivada? 
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Máximos e mínimos 
Os máximos e mínimos são os pontos mais altos e mais baixos 
da função e ocorrem nos pontos críticos (x0) dessa função, isto 
é, os valores de x para os quais 0(x)'f = ou não existe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
II) O que f” nos diz sobre f ? 
 
 
Se (x)''f < 0 a concavidade é voltada para baixo 
Se (x)''f > 0 a concavidade é voltada para cima 
 
 
 
 
 
 
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Ponto de inflexão 
É o ponto onde a curva muda de concavidade. 
Uma curva y = f(x) tem um ponto de inflexão quando: 
 (x)''f = 0 ou não existe 
 (x)''f troca de sinal quando x passa por x0. 
 
- Teste da segunda derivada 
1. Se )(x''f 0 < 0, f(x) passa por um máximo; 
2. Se )(x''f 0 > 0, f(x) passa por um mínimo; 
3. Se )(x''f 0 = 0, o teste falha. 
Obs.: x0 é o ponto crítico determinado pela derivada primeira. 
 
Exemplos Resolvidos 
1) Verifique se a função ���� = �
���	
 cresce ou decresce para x = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dada à função 5x3x)x(f 23 +−= . Faça o esboço do gráfico ressaltando os pontos críticos, de 
inflexão e de concavidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inflexão 
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PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 
Os métodos aprendidos para encontrar valores extremos têm aplicações práticas 
em diversas situações. Na solução de tais problemas o maior desafio está frequentemente em 
converter o problema em um problema de otimização matemática, estabelecendo a função que deve 
ser maximizada ou minimizada. 
 
Exemplos Resolvidos 
1) Um fazendeiro tem 1.200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de 
um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que têm 
maior área? 
A fim de percebermos o que está acontecendo neste problema, vamos fazer uma experiência com 
alguns casos especiais. A Figura abaixo, fora de escala, mostra três maneiras possíveis de estender os 
1.200 m de cerca. 
 
 
 
 
Desejamos maximizar a área A do retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Em sua opinião, como podemos encontrar a melhor dimensão para obtermos a maior área? 
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2) Quer-se construir um cercado retangular aproveitando-se uma parede já existente. Se existe 
material suficiente para se construir 80 metros de cerca, quais as dimensões do cercado para se ter a 
maior área cercada possível? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um terreno retangular à margem de um rio deve ser cercado, com exceção do lado ao longo do rio. 
Se o custo do material for de R$ 12,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de R$ 8,00 por metro 
linear nos dois extremos, ache o terreno de maior área possível que possa ser cercado com R$ 
3.600,00 de material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por 30 cm, destacando-se 
quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados para se 
obter uma caixa de maior volume? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução de Exercícios – Lista 11 
1. Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para 
motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área 
de 5.000m2 e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. O menor comprimento 
da cerca necessária para a obra será de____________________. 
 
2. Uma área retangular com 288 m2 deve ser cercada. Em dois lados opostos será usada uma cerca 
que custa $ 1,00 o metro e nos lados restantes, uma cerca que custa $ 2,00 o metro. Encontre as 
dimensões do retângulo com o menor custo. 
 
 
 
3. Pretende-se fazer uma caixa de papelão a partir de uma lâmina retangular de 1 m de largura e 2 
metros de comprimento, recortando-se quadrados iguais em cada canto da lâmina para obtermos 
lados da caixa. Qual o comprimento dos lados dos quadrados para que o volume da caixa seja 
máximo? 
 
4. Um poço de petróleo no mar está localizado em um 
ponto W a 5 km do ponto A mais próximo de uma 
praia reta. O petróleo é bombeado de W até um ponto 
B na praia a 8 km de A da seguinte forma: de W até um 
ponto P na praia entre A e B através de uma tubulação 
colocada sob a água, e de P até B através de uma 
tubulação colocada ao longo da praia. Se o custo em 
dólares para colocar a tubulação for de $ 1.000.000/km 
sob a água e de $ 500.000/km por terra, onde deve estar 
localizado P para minimizar o custo e colocar a 
tubulação? 
 
5. Um recipiente com a forma de um paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de 
2.000 cm3. O custo da base e da tampa é o dobro do custo dos lados. Encontre as dimensões do 
recipiente de menor custo. 
OBS: Por exemplo: custo da base e tampa = x2 e área lateral=2xy. Logo a função custo, C = 2(x2)+2xy 
 
 
6. Considere as funções a seguir e em cada uma: 
a) determine os pontos críticos; b) determine os pontos de inflexão; c) analise a concavidade; 
d) faça um esboço do gráfico. 
I) 3125 xx −+ II) 1x4xx2y 23 −−−= 
 
 
Respostas: 
1) 200 2) 12 m (para o custo de $2,00) e 24 m (para o custo de $1,00) 
3) m6
33− 4) O ponto P deve estar aproximadamente 2,85 km de A. 
5) base 10 cm2 e altura 20 cm 
 
6) Conferir o gráfico no GeoGebra.