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Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia RODRIGO ALVES DIAS Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF Livro texto: F´ısica 3 - Eletromagnetismo Autores: Sears e Zemansky Edic¸a˜o: 12a Editora: Pearson - Addisson and Wesley 8 de novembro de 2011 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Objetivos de Aprendizagem Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´: I Como uma corrente varia´vel em uma bobina pode induzir uma fem em outra bobina desconectada. I Como relacionar a fem induzida em um circuito a` taxa de variac¸a˜o de corrente no mesmo circuito. I Como calcular a energia armazenada em um campo magne´tico. I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor. I Por que ocorrem oscilac¸o˜es ele´tricas em circuitos que possuem tanto um indutor quanto um capacitor. I Por que as oscilac¸o˜es diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um capacitor. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Objetivos de Aprendizagem Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´: I Como uma corrente varia´vel em uma bobina pode induzir uma fem em outra bobina desconectada. I Como relacionar a fem induzida em um circuito a` taxa de variac¸a˜o de corrente no mesmo circuito. I Como calcular a energia armazenada em um campo magne´tico. I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor. I Por que ocorrem oscilac¸o˜es ele´tricas em circuitos que possuem tanto um indutor quanto um capacitor. I Por que as oscilac¸o˜es diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um capacitor. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Objetivos de Aprendizagem Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´: I Como uma corrente varia´vel em uma bobina pode induzir uma fem em outra bobina desconectada. I Como relacionar a fem induzida em um circuito a` taxa de variac¸a˜o de corrente no mesmo circuito. I Como calcular a energia armazenada em um campo magne´tico. I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor. I Por que ocorrem oscilac¸o˜es ele´tricas em circuitos que possuem tanto um indutor quanto um capacitor. I Por que as oscilac¸o˜es diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um capacitor. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Objetivos de Aprendizagem Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´: I Como uma corrente varia´vel em uma bobina pode induzir uma fem em outra bobina desconectada. I Como relacionar a fem induzida em um circuito a` taxa de variac¸a˜o de corrente no mesmo circuito. I Como calcular a energia armazenada em um campo magne´tico. I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor. I Por que ocorrem oscilac¸o˜es ele´tricas em circuitos que possuem tanto um indutor quanto um capacitor. I Por que as oscilac¸o˜es diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um capacitor. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Objetivos de Aprendizagem Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´: I Como uma corrente varia´vel em uma bobina pode induzir uma fem em outra bobina desconectada. I Como relacionar a fem induzida em um circuito a` taxa de variac¸a˜o de corrente no mesmo circuito. I Como calcular a energia armazenada em um campo magne´tico. I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor. I Por que ocorrem oscilac¸o˜es ele´tricas em circuitos que possuem tanto um indutor quanto um capacitor. I Por que as oscilac¸o˜es diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um capacitor. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Objetivos de Aprendizagem Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´: I Como uma corrente varia´vel em uma bobina pode induzir uma fem em outra bobina desconectada. I Como relacionar a fem induzida em um circuito a` taxa de variac¸a˜o de corrente no mesmo circuito. I Como calcular a energia armazenada em um campo magne´tico. I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor. I Por que ocorrem oscilac¸o˜es ele´tricas em circuitos que possuem tanto um indutor quanto um capacitor. I Por que as oscilac¸o˜es diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um capacitor. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Introduc¸a˜o 1. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem em outra bobina adjacente. 2. O acoplamento entre as duas bobinas e´ descrita pela indutaˆncia mu´tua. 3. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem na propria bobina. 4. A relac¸a˜o entre a corrente e a fem na propria bobina depende da indutaˆncia(auto-indutaˆncia). Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Introduc¸a˜o 1. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem em outra bobina adjacente. 2. O acoplamento entre as duas bobinas e´ descrita pela indutaˆncia mu´tua. 3. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem na propria bobina. 4. A relac¸a˜o entre a corrente e a fem na propria bobina depende da indutaˆncia(auto-indutaˆncia). Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Introduc¸a˜o 1. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem em outra bobina adjacente. 2. O acoplamento entre as duas bobinas e´ descrita pela indutaˆncia mu´tua. 3. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem na propria bobina. 4. A relac¸a˜o entre a corrente e a fem na propria bobina depende da indutaˆncia(auto-indutaˆncia). Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Introduc¸a˜o 1. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem em outra bobina adjacente. 2. O acoplamento entre as duas bobinas e´ descrita pela indutaˆncia mu´tua. 3. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem na propria bobina. 4. A relac¸a˜o entre a corrente e a fem na propria bobina depende da indutaˆncia(auto-indutaˆncia). Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutaˆncia Mu´tua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutaˆncia Mu´tua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magne´tico gerado por essa bobina sera´: ~B1 = µ0 N1 L I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1 ~B1 = 0 kˆ 0r > R1 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutaˆncia Mu´tua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magne´tico gerado por essa bobina sera´: ~B1 = µ0 N1 L I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1 ~B1 = 0 kˆ 0r > R1 I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de 2(Na˜o nulo dentro de R1). Φ2(1) = N2 ∫ S2 ~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutaˆncia Mu´tua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magne´tico gerado por essa bobina sera´: ~B1 = µ0 N1 L I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1 ~B1 = 0 kˆ 0r > R1 I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de 2(Na˜o nulo dentro de R1). Φ2(1) = N2 ∫ S2 ~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 ) Φ2(1) = µ0 N1N2 L (piR21 )I1 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutaˆncia Mu´tua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magne´tico gerado por essa bobina sera´: ~B1 = µ0 N1 L I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1 ~B1 = 0 kˆ 0r > R1 I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de 2(Na˜o nulo dentro de R1). Φ2(1) = N2 ∫ S2 ~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 ) Φ2(1) = µ0 N1N2 L (piR21 )I1 Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0 N1N2 L (piR21 ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutaˆncia Mu´tua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 ocampo magne´tico gerado por essa bobina sera´: ~B1 = µ0 N1 L I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1 ~B1 = 0 kˆ 0r > R1 I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de 2(Na˜o nulo dentro de R1). Φ2(1) = N2 ∫ S2 ~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 ) Φ2(1) = µ0 N1N2 L (piR21 )I1 Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0 N1N2 L (piR21 ) I Se invertermos e passarmos uma corrente I2 na bobina 2 temos que o campo magne´tico gerado por essa bobina sera´: ~B2 = µ0 N2 L I2 kˆ 0 ≤ r ≤ R2 ~B2 = 0 kˆ 0r > R2 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutaˆncia Mu´tua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magne´tico gerado por essa bobina sera´: ~B1 = µ0 N1 L I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1 ~B1 = 0 kˆ 0r > R1 I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de 2(Na˜o nulo dentro de R1). Φ2(1) = N2 ∫ S2 ~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 ) Φ2(1) = µ0 N1N2 L (piR21 )I1 Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0 N1N2 L (piR21 ) I Se invertermos e passarmos uma corrente I2 na bobina 2 temos que o campo magne´tico gerado por essa bobina sera´: ~B2 = µ0 N2 L I2 kˆ 0 ≤ r ≤ R2 ~B2 = 0 kˆ 0r > R2 Φ1(2) = N1 ∫ S1 ~B2 · kˆdS = N1B2(piR21 ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutaˆncia Mu´tua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magne´tico gerado por essa bobina sera´: ~B1 = µ0 N1 L I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1 ~B1 = 0 kˆ 0r > R1 I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de 2(Na˜o nulo dentro de R1). Φ2(1) = N2 ∫ S2 ~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 ) Φ2(1) = µ0 N1N2 L (piR21 )I1 Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0 N1N2 L (piR21 ) I Se invertermos e passarmos uma corrente I2 na bobina 2 temos que o campo magne´tico gerado por essa bobina sera´: ~B2 = µ0 N2 L I2 kˆ 0 ≤ r ≤ R2 ~B2 = 0 kˆ 0r > R2 Φ1(2) = N1 ∫ S1 ~B2 · kˆdS = N1B2(piR21 ) Φ1(2) = µ0 N1N2 L (piR21 )I2 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutaˆncia Mu´tua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magne´tico gerado por essa bobina sera´: ~B1 = µ0 N1 L I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1 ~B1 = 0 kˆ 0r > R1 I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de 2(Na˜o nulo dentro de R1). Φ2(1) = N2 ∫ S2 ~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 ) Φ2(1) = µ0 N1N2 L (piR21 )I1 Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0 N1N2 L (piR21 ) I Se invertermos e passarmos uma corrente I2 na bobina 2 temos que o campo magne´tico gerado por essa bobina sera´: ~B2 = µ0 N2 L I2 kˆ 0 ≤ r ≤ R2 ~B2 = 0 kˆ 0r > R2 Φ1(2) = N1 ∫ S1 ~B2 · kˆdS = N1B2(piR21 ) Φ1(2) = µ0 N1N2 L (piR21 )I2 Φ1(2) = L12I2 ; L12 = µ0 N1N2 L (piR21 ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutaˆncia Mu´tua I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2 voltas, uma dentro da outra. I Se passarmos uma corrente I1 na bobina 1 o campo magne´tico gerado por essa bobina sera´: ~B1 = µ0 N1 L I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1 ~B1 = 0 kˆ 0r > R1 I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de 2(Na˜o nulo dentro de R1). Φ2(1) = N2 ∫ S2 ~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 ) Φ2(1) = µ0 N1N2 L (piR21 )I1 Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0 N1N2 L (piR21 ) I Se invertermos e passarmos uma corrente I2 na bobina 2 temos que o campo magne´tico gerado por essa bobina sera´: ~B2 = µ0 N2 L I2 kˆ 0 ≤ r ≤ R2 ~B2 = 0 kˆ 0r > R2 Φ1(2) = N1 ∫ S1 ~B2 · kˆdS = N1B2(piR21 ) Φ1(2) = µ0 N1N2 L (piR21 )I2 Φ1(2) = L12I2 ; L12 = µ0 N1N2 L (piR21 ) I Veja que L12 = L21 e´ a indutaˆncia mu´tua. I No S.I. a unidade de indutaˆncia mu´tua 1Henry = Wb A . Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I A corrente I1 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I A corrente I1 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ1(1) = N1 ∫ S1 ~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I A corrente I1 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ1(1) = N1 ∫ S1 ~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 ) Φ1(1) = µ0 N21 L (piR21 )I1 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I A corrente I1 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ1(1) = N1 ∫ S1 ~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 ) Φ1(1) = µ0 N21 L (piR21 )I1 Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0 N21 L (piR21 ) I L11 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 1. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I A corrente I1 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ1(1) = N1 ∫ S1 ~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 ) Φ1(1) = µ0 N21 L (piR21 )I1 Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0 N21 L (piR21 ) I L11 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 1. I Analogamente, a corrente I2 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ2(2) = N2 ∫ S2 ~B2 · kˆdS = N2B2(piR22 ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I A corrente I1 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ1(1) = N1 ∫ S1 ~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 ) Φ1(1) = µ0 N21 L (piR21 )I1 Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0 N21 L (piR21 ) I L11 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 1. I Analogamente, a corrente I2 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ2(2) = N2 ∫ S2 ~B2 · kˆdS = N2B2(piR22 ) Φ2(2) = µ0 N22 L (piR22 )I2 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I A corrente I1 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ1(1) = N1 ∫ S1 ~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 ) Φ1(1) = µ0 N21 L (piR21 )I1 Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0 N21 L (piR21 ) I L11 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 1. I Analogamente, a corrente I2 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ2(2) = N2 ∫ S2 ~B2 · kˆdS = N2B2(piR22 ) Φ2(2) = µ0 N22 L (piR22 )I2 Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0 N22 L (piR22 ) I L22 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 2. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I A corrente I1 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ1(1) = N1 ∫ S1 ~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 ) Φ1(1) = µ0 N21 L (piR21 )I1 Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0 N21 L (piR21 ) I L11 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 1. L1L2 = µ 2 0 N21N 2 2 L2 (pi2R21R 2 2 ) I Analogamente, a corrente I2 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ2(2) = N2 ∫ S2 ~B2 · kˆdS = N2B2(piR22 ) Φ2(2) = µ0 N22 L (piR22 )I2 Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0 N22 L (piR22 ) I L22 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 2. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I A corrente I1 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ1(1) = N1 ∫ S1 ~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 ) Φ1(1) = µ0 N21 L (piR21 )I1 Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0 N21 L (piR21 ) I L11 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 1. L1L2 = µ 2 0 N21N 2 2 L2 (pi2R21R 2 2 )√ L1L2 = µ0 N1N2 L (piR1R2) = L12 R2 R1 I Analogamente, a corrente I2 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ2(2) = N2 ∫ S2 ~B2 · kˆdS = N2B2(piR22 ) Φ2(2) = µ0 N22 L (piR22 )I2 Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0 N22 L (piR22 ) I L22 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 2. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I A corrente I1 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ1(1) = N1 ∫ S1 ~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 ) Φ1(1) = µ0 N21 L (piR21 )I1 Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0 N21 L (piR21 ) I L11 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 1. L1L2 = µ 2 0 N21N 2 2 L2 (pi2R21R 2 2 )√ L1L2 = µ0 N1N2 L (piR1R2) = L12 R2R1 I Analogamente, a corrente I2 produz campo em 2 e tambe´m em 1 assim: Φ2(2) = N2 ∫ S2 ~B2 · kˆdS = N2B2(piR22 ) Φ2(2) = µ0 N22 L (piR22 )I2 Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0 N22 L (piR22 ) I L22 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 2. L12√ L1L2 = R1 R2 = K < 1 p/R1 < R2 L12√ L1L2 = R1 R2 = K = 1 p/R1 = R2 L12√ L1L2 = R1 R2 = K > 1 p/R1 > R2 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na bobina 2 enta˜o: Φ1 = L11I1 + L12I2 Φ2 = L21I1 + L22I2 I Vemos que conhecendo a auto-indutaˆncia, a indutaˆncia-mutua e as correntes sabemos qual sera´ a fem induzidas em cada bobina. I A auto-indutaˆncia e a indutaˆncia-mutua so´ depende de fatores geome´tricos, ou seja, e´ independente das correntes. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na bobina 2 enta˜o: Φ1 = L11I1 + L12I2 Φ2 = L21I1 + L22I2 ε1 = −dΦ1 dt ε2 = −dΦ2 dt I Vemos que conhecendo a auto-indutaˆncia, a indutaˆncia-mutua e as correntes sabemos qual sera´ a fem induzidas em cada bobina. I A auto-indutaˆncia e a indutaˆncia-mutua so´ depende de fatores geome´tricos, ou seja, e´ independente das correntes. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na bobina 2 enta˜o: Φ1 = L11I1 + L12I2 Φ2 = L21I1 + L22I2 ε1 = −dΦ1 dt ε2 = −dΦ2 dt ε1 = −L11 dI1 dt − L12 dI2 dt ε2 = −L21 dI1 dt − L22 dI2 dt I Vemos que conhecendo a auto-indutaˆncia, a indutaˆncia-mutua e as correntes sabemos qual sera´ a fem induzidas em cada bobina. I A auto-indutaˆncia e a indutaˆncia-mutua so´ depende de fatores geome´tricos, ou seja, e´ independente das correntes. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na bobina 2 enta˜o: Φ1 = L11I1 + L12I2 Φ2 = L21I1 + L22I2 ε1 = −dΦ1 dt ε2 = −dΦ2 dt ε1 = −L11 dI1 dt − L12 dI2 dt ε2 = −L21 dI1 dt − L22 dI2 dt I Vemos que conhecendo a auto-indutaˆncia, a indutaˆncia-mutua e as correntes sabemos qual sera´ a fem induzidas em cada bobina. I A auto-indutaˆncia e a indutaˆncia-mutua so´ depende de fatores geome´tricos, ou seja, e´ independente das correntes. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na bobina 2 enta˜o: Φ1 = L11I1 + L12I2 Φ2 = L21I1 + L22I2 ε1 = −dΦ1 dt ε2 = −dΦ2 dt ε1 = −L11 dI1 dt − L12 dI2 dt ε2 = −L21 dI1 dt − L22 dI2 dt I Vemos que conhecendo a auto-indutaˆncia, a indutaˆncia-mutua e as correntes sabemos qual sera´ a fem induzidas em cada bobina. I A auto-indutaˆncia e a indutaˆncia-mutua so´ depende de fatores geome´tricos, ou seja, e´ independente das correntes. Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia Auto-Indutaˆncia L de um Soleno´ide Toroidal Ideal I Nesse sistema, o campo magne´tico fica completamente confinado no seu nu´cleo de a´rea A. I Iremos supor que a a´rea A e´ pequena o suficiente, tal que o campo sera´ constante nesta superf´ıcie. I Da lei de ampere temos que o campo magne´tico e´ dado por: Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia Auto-Indutaˆncia L de um Soleno´ide Toroidal Ideal I Nesse sistema, o campo magne´tico fica completamente confinado no seu nu´cleo de a´rea A. I Iremos supor que a a´rea A e´ pequena o suficiente, tal que o campo sera´ constante nesta superf´ıcie. I Da lei de ampere temos que o campo magne´tico e´ dado por: Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia Auto-Indutaˆncia L de um Soleno´ide Toroidal Ideal I Nesse sistema, o campo magne´tico fica completamente confinado no seu nu´cleo de a´rea A. I Iremos supor que a a´rea A e´ pequena o suficiente, tal que o campo sera´ constante nesta superf´ıcie. I Da lei de ampere temos que o campo magne´tico e´ dado por: B = µ0Ni 2pir Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia Auto-Indutaˆncia L de um Soleno´ide Toroidal Ideal I Nesse sistema, o campo magne´tico fica completamente confinado no seu nu´cleo de a´rea A. I Iremos supor que a a´rea A e´ pequena o suficiente, tal que o campo sera´ constante nesta superf´ıcie. I Da lei de ampere temos que o campo magne´tico e´ dado por: B = µ0Ni 2pir ΦB = N ∫ ~B · ~A = NBA = µ0N 2iA 2pir Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia Auto-Indutaˆncia L de um Soleno´ide Toroidal Ideal I Nesse sistema, o campo magne´tico fica completamente confinado no seu nu´cleo de a´rea A. I Iremos supor que a a´rea A e´ pequena o suficiente, tal que o campo sera´ constante nesta superf´ıcie. I Da lei de ampere temos que o campo magne´tico e´ dado por: B = µ0Ni 2pir ΦB = N ∫ ~B · ~A = NBA = µ0N 2iA 2pir L = dΦB di Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Indutores e Auto-Indutaˆncia Auto-Indutaˆncia L de um Soleno´ide Toroidal Ideal I Nesse sistema, o campo magne´tico fica completamente confinado no seu nu´cleo de a´rea A. I Iremos supor que a a´rea A e´ pequena o suficiente, tal que o campo sera´ constante nesta superf´ıcie. I Da lei de ampere temos que o campo magne´tico e´ dado por: B = µ0Ni 2pir ΦB = N ∫ ~B · ~A = NBA = µ0N 2iA 2pir L = dΦB di L = µ0N2A 2pir Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Energia armazenada em um indutor I Vamos calcular a energia total U necessa´ria para estabelecer uma corrente final If = I em um indutor com indutaˆncia L. I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0). I A poteˆncia em um indutor sera dada por: Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Energia armazenada em um indutor I Vamos calcular a energia total U necessa´ria para estabelecer uma corrente final If = I em um indutor com indutaˆncia L. I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0). I A poteˆncia em um indutor sera dada por: P = Vab i Vab = L di dt Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Energia armazenada em um indutor I Vamos calcular a energia total U necessa´ria para estabelecer uma corrente final If = I em um indutor com indutaˆncia L. I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0). I A poteˆncia em um indutor sera dada por: P = Vab i Vab = L di dt P = Li di dt = dU dt Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Energia armazenada em um indutor I Vamos calcular a energia total U necessa´ria para estabelecer uma corrente final If = I em um indutor com indutaˆncia L. I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0). I A poteˆncia em um indutor sera dada por: P = Vab i Vab = L di dt P = Li di dt = dU dt dU = Pdt = Li di dt dt Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Energia armazenada em um indutor I Vamos calcular a energia total U necessa´ria para estabelecer uma corrente final If = I em um indutor com indutaˆncia L. I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0). I A poteˆncia em um indutor sera dada por: P = Vab i Vab = L di dt P = Li di dt = dU dt dU = Pdt = Li di dt dt dU = Lidi U = L ∫ I 0 idi U = 1 2 LI2 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Densidade de Energia Magne´tica I A energia em um indutor e´, na realidade, armazenada no campo magne´tico no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´ armazenada no campo ele´trico no interior de um capacitor. I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que: I O campo magne´tico e a energia esta˜o armazenados em um volumeV = 2pirA. I A densidade de energia magne´tica sera´ dada por: Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Densidade de Energia Magne´tica I A energia em um indutor e´, na realidade, armazenada no campo magne´tico no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´ armazenada no campo ele´trico no interior de um capacitor. I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que: I O campo magne´tico e a energia esta˜o armazenados em um volume V = 2pirA. I A densidade de energia magne´tica sera´ dada por: Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Densidade de Energia Magne´tica I A energia em um indutor e´, na realidade, armazenada no campo magne´tico no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´ armazenada no campo ele´trico no interior de um capacitor. I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que: L = µ0N2A 2pir U = 1 2 LI2 I O campo magne´tico e a energia esta˜o armazenados em um volume V = 2pirA. I A densidade de energia magne´tica sera´ dada por: Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Densidade de Energia Magne´tica I A energia em um indutor e´, na realidade, armazenada no campo magne´tico no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´ armazenada no campo ele´trico no interior de um capacitor. I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que: L = µ0N2A 2pir U = 1 2 LI2 U = 1 2 µ0N2A 2pir I2 I O campo magne´tico e a energia esta˜o armazenados em um volume V = 2pirA. I A densidade de energia magne´tica sera´ dada por: Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Densidade de Energia Magne´tica I A energia em um indutor e´, na realidade, armazenada no campo magne´tico no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´ armazenada no campo ele´trico no interior de um capacitor. I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que: L = µ0N2A 2pir U = 1 2 LI2 U = 1 2 µ0N2A 2pir I2 I O campo magne´tico e a energia esta˜o armazenados em um volume V = 2pirA. I A densidade de energia magne´tica sera´ dada por: Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Densidade de Energia Magne´tica I A energia em um indutor e´, na realidade, armazenada no campo magne´tico no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´ armazenada no campo ele´trico no interior de um capacitor. I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que: L = µ0N2A 2pir U = 1 2 LI2 U = 1 2 µ0N2A 2pir I2 I O campo magne´tico e a energia esta˜o armazenados em um volume V = 2pirA. I A densidade de energia magne´tica sera´ dada por: u = U V u = 1 2 µ0N2A 2pir I2 1 2pirA Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Densidade de Energia Magne´tica I A energia em um indutor e´, na realidade, armazenada no campo magne´tico no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´ armazenada no campo ele´trico no interior de um capacitor. I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que: L = µ0N2A 2pir U = 1 2 LI2 U = 1 2 µ0N2A 2pir I2 I O campo magne´tico e a energia esta˜o armazenados em um volume V = 2pirA. I A densidade de energia magne´tica sera´ dada por: u = U V u = 1 2 µ0N2A 2pir I2 1 2pirA u = 1 2 µ0 N2I2 (2pir)2 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Densidade de Energia Magne´tica I A energia em um indutor e´, na realidade, armazenada no campo magne´tico no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´ armazenada no campo ele´trico no interior de um capacitor. I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que: L = µ0N2A 2pir U = 1 2 LI2 U = 1 2 µ0N2A 2pir I2 I O campo magne´tico e a energia esta˜o armazenados em um volume V = 2pirA. I A densidade de energia magne´tica sera´ dada por: u = U V u = 1 2 µ0N2A 2pir I2 1 2pirA u = 1 2 µ0 N2I2 (2pir)2 B2 µ20 = N2I2 (2pir)2 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Densidade de Energia Magne´tica I A energia em um indutor e´, na realidade, armazenada no campo magne´tico no interior da bobina. I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´ armazenada no campo ele´trico no interior de um capacitor. I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que: L = µ0N2A 2pir U = 1 2 LI2 U = 1 2 µ0N2A 2pir I2 I O campo magne´tico e a energia esta˜o armazenados em um volume V = 2pirA. I A densidade de energia magne´tica sera´ dada por: u = U V u = 1 2 µ0N2A 2pir I2 1 2pirA u = 1 2 µ0 N2I2 (2pir)2 B2 µ20 = N2I2 (2pir)2 u = 1 2 B2 µ0 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia Energia do Campo Magne´tico Densidade de Energia Magne´tica e Ele´trica I A densidade de energia ele´trica e´ dada por: u = 1 2 �0E 2 I A densidade de energia magne´tica e´ dada por: u = 1 2 B2 µ0 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt u(t) = ε− Ri(t) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt u(t) = ε− Ri(t) di(t) dt = − 1 R du(t) dt Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt u(t) = ε− Ri(t) di(t) dt = − 1 R du(t) dt 0 = u(t) + L R du(t) dt Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt u(t) = ε− Ri(t) di(t) dt = − 1 R du(t) dt 0 = u(t) + L R du(t) dt du(t) u(t) = −R L dt Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt u(t) = ε− Ri(t) di(t) dt = − 1 R du(t) dt 0 = u(t) + L R du(t) dt du(t) u(t) = −R L dt∫ du(t) u(t) = − ∫ R L dt Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Fechando a chave S1 em t = 0 temos: 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt u(t) = ε− Ri(t) di(t) dt = − 1 R du(t) dt 0 = u(t) + L R du(t) dt du(t) u(t) = −R L dt∫ du(t) u(t) = − ∫ R L dt ln[u(t)] = −R L t + A1 ; τL = L R Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt u(t) = ε− Ri(t) di(t) dt = − 1 R du(t) dt 0 = u(t) + L R du(t) dt du(t) u(t) = −R L dt∫ du(t) u(t) = − ∫ R L dt ln[u(t)] = −R L t + A1 ; τL = L R u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt u(t) = ε− Ri(t) di(t) dt = − 1 R du(t) dt0 = u(t) + L R du(t) dt du(t) u(t) = −R L dt∫ du(t) u(t) = − ∫ R L dt ln[u(t)] = −R L t + A1 ; τL = L R u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t) i(t) = 1 R (ε− Ae−t/τL ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt u(t) = ε− Ri(t) di(t) dt = − 1 R du(t) dt 0 = u(t) + L R du(t) dt du(t) u(t) = −R L dt∫ du(t) u(t) = − ∫ R L dt ln[u(t)] = −R L t + A1 ; τL = L R u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t) i(t) = 1 R (ε− Ae−t/τL ) I Em t = 0 [ di(t) dt ] t=0 6= 0 e i(0) = 0, Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt u(t) = ε− Ri(t) di(t) dt = − 1 R du(t) dt 0 = u(t) + L R du(t) dt du(t) u(t) = −R L dt∫ du(t) u(t) = − ∫ R L dt ln[u(t)] = −R L t + A1 ; τL = L R u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t) i(t) = 1 R (ε− Ae−t/τL ) I Em t = 0 [ di(t) dt ] t=0 6= 0 e i(0) = 0, Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt u(t) = ε− Ri(t) di(t) dt = − 1 R du(t) dt 0 = u(t) + L R du(t) dt du(t) u(t) = −R L dt∫ du(t) u(t) = − ∫ R L dt ln[u(t)] = −R L t + A1 ; τL = L R u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t) i(t) = 1 R (ε− Ae−t/τL ) I Em t = 0 [ di(t) dt ] t=0 6= 0 e i(0) = 0, [ di(t) dt ] t=0 = ε L[ di(t) dt ] t=0 = 1 R [ dε dt + A τL e−t/τL ] t=0 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt u(t) = ε− Ri(t) di(t) dt = − 1 R du(t) dt 0 = u(t) + L R du(t) dt du(t) u(t) = −R L dt∫ du(t) u(t) = − ∫ R L dt ln[u(t)] = −R L t + A1 ; τL = L R u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t) i(t) = 1 R (ε− Ae−t/τL ) I Em t = 0 [ di(t) dt ] t=0 6= 0 e i(0) = 0, [ di(t) dt ] t=0 = ε L[ di(t) dt ] t=0 = 1 R [ dε dt + A τL e−t/τL ] t=0 ε L = A RτL Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt u(t) = ε− Ri(t) di(t) dt = − 1 R du(t) dt 0 = u(t) + L R du(t) dt du(t) u(t) = −R L dt∫ du(t) u(t) = − ∫ R L dt ln[u(t)] = −R L t + A1 ; τL = L R u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t) i(t) = 1 R (ε− Ae−t/τL ) I Em t = 0 [ di(t) dt ] t=0 6= 0 e i(0) = 0, [ di(t) dt ] t=0 = ε L[ di(t) dt ] t=0 = 1 R [ dε dt + A τL e−t/τL ] t=0 ε L = A RτL A = εRτL L = εR L L R = ε Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L 0 = ε− Ri(t)− Ldi(t) dt u(t) = ε− Ri(t) di(t) dt = − 1 R du(t) dt 0 = u(t) + L R du(t) dt du(t) u(t) = −R L dt∫ du(t) u(t) = − ∫ R L dt ln[u(t)] = −R L t + A1 ; τL = L R u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t) i(t) = 1 R (ε− Ae−t/τL ) I Em t = 0 [ di(t) dt ] t=0 6= 0 e i(0) = 0, [ di(t) dt ] t=0 = ε L[ di(t) dt ] t=0 = 1 R [ dε dt + A τL e−t/τL ] t=0 ε L = A RτL A = εRτL L = εR L L R = ε i(t) = ε R (1− e−t/τL ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Aumento da corrente em um circuito R-L I Em t = 0 [ di(t) dt ] t=0 6= 0 e i(0) = 0, [ di(t) dt ] t=0 = ε L[ di(t) dt ] t=0 = 1 R [ dε dt + A τL e−t/τL ] t=0 ε L = A RτL A = εRτL L = εR L L R = ε i(t) = ε R (1− e−t/τL ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Se S1 esta´ muito tempo fechada I (∞) = εR . Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L. I Se S1 esta´ muito tempo fechada I (∞) = εR . Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, I Considere o circuito R-L. I Se S1 esta´ muito tempo fechada I (∞) = εR . Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 = −Ri(t)− Ldi(t) dt I Considere o circuito R-L. I Se S1 esta´ muito tempo fechada I (∞) = εR . Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 = −Ri(t)− Ldi(t) dt di(t) dt = −R L i(t) I Considere o circuito R-L. I Se S1 esta´ muito tempo fechada I (∞) = εR . Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 = −Ri(t)− Ldi(t) dt di(t) dt = −R L i(t)∫ di(t) i(t) = − ∫ R L dt I Considere o circuito R-L. I Se S1 esta´ muito tempo fechada I (∞) = εR . Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 = −Ri(t)− Ldi(t) dt di(t) dt = −R L i(t)∫ di(t) i(t) = − ∫ R L dt ln[i(t)] = −R L t + A1 ; τL = L R Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 = −Ri(t)− Ldi(t) dt di(t) dt = −R L i(t)∫ di(t) i(t) = − ∫ R L dt ln[i(t)] = −R L t + A1 ; τL = L R i(t) = A exp[−t/τL] Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 = −Ri(t)− Ldi(t) dt di(t) dt = −R L i(t)∫ di(t) i(t) = − ∫ R L dt ln[i(t)] = −R L t + A1 ; τL = L R i(t) = A exp[−t/τL] i(∞) = i0 = ε R = A Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 = −Ri(t)− Ldi(t) dt di(t) dt = −R L i(t)∫ di(t) i(t) = − ∫ R L dt ln[i(t)] = −R L t + A1 ; τL = L R i(t) = A exp[−t/τL] i(∞) = i0 = ε R = A i(t) = i0 exp[−t/τL] Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no novo tempo t = 0 temos, 0 = −Ri(t)− Ldi(t) dt di(t) dt = −R L i(t)∫ di(t) i(t) = − ∫ R L dt ln[i(t)] = −R L t + A1 ; τL = L R i(t) = A exp[−t/τL] i(∞) = i0 = ε R = A i(t) = i0 exp[−t/τL] Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, 0 = −q(t) C − Ldi(t) dt Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, 0 = −q(t) C − Ldi(t) dt i(t) = dq(t) dt Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, 0 = −q(t) C − Ldi(t) dt i(t) = dq(t) dt d2q(t) dt2 = − 1 LC q(t) = −ω20q(t) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, 0 = −q(t) C − Ldi(t)dt i(t) = dq(t) dt d2q(t) dt2 = − 1 LC q(t) = −ω20q(t) q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, 0 = −q(t) C − Ldi(t) dt i(t) = dq(t) dt d2q(t) dt2 = − 1 LC q(t) = −ω20q(t) q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, 0 = −q(t) C − Ldi(t) dt i(t) = dq(t) dt d2q(t) dt2 = − 1 LC q(t) = −ω20q(t) q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, 0 = −q(t) C − Ldi(t) dt i(t) = dq(t) dt d2q(t) dt2 = − 1 LC q(t) = −ω20q(t) q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = 1√ LC Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, 0 = −q(t) C − Ldi(t) dt i(t) = dq(t) dt d2q(t) dt2 = − 1 LC q(t) = −ω20q(t) q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = 1√ LC q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, 0 = −q(t) C − Ldi(t) dt i(t) = dq(t) dt d2q(t) dt2 = − 1 LC q(t) = −ω20q(t) q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = 1√ LC q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ) i˜(t) = dq˜(t) dt = Aiω0e i(ω0t+φ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, 0 = −q(t) C − Ldi(t) dt i(t) = dq(t) dt d2q(t) dt2 = − 1 LC q(t) = −ω20q(t) q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = 1√ LC q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ) i˜(t) = dq˜(t) dt = Aiω0e i(ω0t+φ) e±iθ = cos(θ)± i sin(θ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, 0 = −q(t) C − Ldi(t) dt i(t) = dq(t) dt d2q(t) dt2 = − 1 LC q(t) = −ω20q(t) q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = 1√ LC q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ) i˜(t) = dq˜(t) dt = Aiω0e i(ω0t+φ) e±iθ = cos(θ)± i sin(θ) q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)] i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)] Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, 0 = −q(t) C − Ldi(t) dt i(t) = dq(t) dt d2q(t) dt2 = − 1 LC q(t) = −ω20q(t) q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = 1√ LC q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ) i˜(t) = dq˜(t) dt = Aiω0e i(ω0t+φ) e±iθ = cos(θ)± i sin(θ) q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)] i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)] q(t) = Re[q˜(t)] = A cos(ω0t + φ) i(t) = Re[i˜(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, 0 = −q(t) C − Ldi(t) dt i(t) = dq(t) dt d2q(t) dt2 = − 1 LC q(t) = −ω20q(t) q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = 1√ LC q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ) i˜(t) = dq˜(t) dt = Aiω0e i(ω0t+φ) e±iθ = cos(θ)± i sin(θ) q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)] i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)] q(t) = Re[q˜(t)] = A cos(ω0t + φ) i(t) = Re[i˜(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ) q(t = 0) = q0 = A cos(φ) i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito L-C O Circuito L-C I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0, 0 = −q(t) C − Ldi(t) dt i(t) = dq(t) dt d2q(t) dt2 = − 1 LC q(t) = −ω20q(t) q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = 1√ LC q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ) i˜(t) = dq˜(t) dt = Aiω0e i(ω0t+φ) e±iθ = cos(θ)± i sin(θ) q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)] i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)] q(t) = Re[q˜(t)] = A cos(ω0t + φ) i(t) = Re[i˜(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ) q(t = 0) = q0 = A cos(φ) i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ) A = √ q20 + (i0/ω0) 2 φ = arctan [ − i0 q0ω0 ] Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , 0 = −Ldi(t) dt − Ri(t)− q(t) C Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , 0 = −Ldi(t) dt − Ri(t)− q(t) C 0 = d2q(t) dt2 + R L dq(t) dt + 1 LC q(t) 0 = d2q(t) dt2 + 2γ dq(t) dt + ω20q(t) ω0 = 1√ LC ; γ = R 2L Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , 0 = −Ldi(t) dt − Ri(t)− q(t) C 0 = d2q(t) dt2 + R L dq(t) dt + 1 LC q(t) 0 = d2q(t) dt2 + 2γ dq(t) dt + ω20q(t) ω0 = 1√ LC ; γ = R 2L q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , 0 = −Ldi(t) dt − Ri(t)− q(t) C 0 = d2q(t) dt2 + R L dq(t) dt + 1 LC q(t) 0 = d2q(t) dt2 + 2γ dq(t) dt + ω20q(t) ω0 = 1√ LC ; γ = R 2L q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , 0 = −Ldi(t) dt − Ri(t)− q(t) C 0 = d2q(t) dt2 + R L dq(t) dt + 1 LC q(t) 0 = d2q(t) dt2 + 2γ dq(t) dt + ω20q(t) ω0 = 1√ LC ; γ = R 2L q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , 0 = −Ldi(t) dt − Ri(t)− q(t) C 0 = d2q(t) dt2 + R L dq(t) dt + 1 LC q(t) 0 = d2q(t) dt2 + 2γ dq(t) dt + ω20q(t) ω0 = 1√ LC ; γ = R 2L q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) 0 = λ2 + 2γλ+ ω20 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , 0 = −Ldi(t) dt − Ri(t)− q(t) C 0 = d2q(t) dt2 + R L dq(t) dt + 1 LC q(t) 0 = d2q(t) dt2 + 2γ dq(t) dt + ω20q(t) ω0 = 1√ LC ; γ = R 2L q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) 0 = λ2 + 2γλ+ ω20 λ = −γ ± √ γ2 − ω20 = −γ ± ω2 Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞)= εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , 0 = −Ldi(t) dt − Ri(t)− q(t) C 0 = d2q(t) dt2 + R L dq(t) dt + 1 LC q(t) 0 = d2q(t) dt2 + 2γ dq(t) dt + ω20q(t) ω0 = 1√ LC ; γ = R 2L q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) 0 = λ2 + 2γλ+ ω20 λ = −γ ± √ γ2 − ω20 = −γ ± ω2 ω1 = √ ω20 − γ2 1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-cr´ıtico), 2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido), 3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido). Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , 0 = −Ldi(t) dt − Ri(t)− q(t) C 0 = d2q(t) dt2 + R L dq(t) dt + 1 LC q(t) 0 = d2q(t) dt2 + 2γ dq(t) dt + ω20q(t) ω0 = 1√ LC ; γ = R 2L q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) 0 = λ2 + 2γλ+ ω20 λ = −γ ± √ γ2 − ω20 = −γ ± ω2 ω1 = √ ω20 − γ2 1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-cr´ıtico), 2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido), 3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido). Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , 0 = −Ldi(t) dt − Ri(t)− q(t) C 0 = d2q(t) dt2 + R L dq(t) dt + 1 LC q(t) 0 = d2q(t) dt2 + 2γ dq(t) dt + ω20q(t) ω0 = 1√ LC ; γ = R 2L q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) 0 = λ2 + 2γλ+ ω20 λ = −γ ± √ γ2 − ω20 = −γ ± ω2 ω1 = √ ω20 − γ2 1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-cr´ıtico), 2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido), 3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido). Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC , I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC , 0 = −Ldi(t) dt − Ri(t)− q(t) C 0 = d2q(t) dt2 + R L dq(t) dt + 1 LC q(t) 0 = d2q(t) dt2 + 2γ dq(t) dt + ω20q(t) ω0 = 1√ LC ; γ = R 2L q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ dq˜(t) dt = λqeλt d2q˜(t) dt2 = λ2qeλt = λ2q˜(t) 0 = λ2 + 2γλ+ ω20 λ = −γ ± √ γ2 − ω20 = −γ ± ω2 ω1 = √ ω20 − γ2 1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-cr´ıtico), 2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido), 3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido). Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ) i˜(t) = dq˜(t) dt = Aiω0e i(ω0t+φ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ) i˜(t) = dq˜(t) dt = Aiω0e i(ω0t+φ) e±iθ = cos(θ)± i sin(θ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ) i˜(t) = dq˜(t) dt = Aiω0e i(ω0t+φ) e±iθ = cos(θ)± i sin(θ) q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)] i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)] Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ) i˜(t) = dq˜(t) dt = Aiω0e i(ω0t+φ) e±iθ = cos(θ)± i sin(θ) q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)] i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)] q(t) = Re[q˜(t)] = A cos(ω0t + φ) i(t) = Re[i˜(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ) i˜(t) = dq˜(t) dt = Aiω0e i(ω0t+φ) e±iθ = cos(θ)± i sin(θ) q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)] i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)] q(t) = Re[q˜(t)] = A cos(ω0t + φ) i(t) = Re[i˜(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ) q(t = 0) = q0 = A cos(φ) i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ) Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia O Circuito R-L-C em se´rie O Circuito R-L-C em se´rie q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ) i˜(t) = dq˜(t) dt = Aiω0e i(ω0t+φ) e±iθ = cos(θ)± i sin(θ) q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)] i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)] q(t) = Re[q˜(t)] = A cos(ω0t + φ) i(t) = Re[i˜(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ) q(t = 0) = q0 = A cos(φ) i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ) A = √ q20 + (i0/ω0) 2 φ = arctan [ − i0 q0ω0 ] Introdução Indutância Mútua Indutores e Auto-Indutância Energia do Campo Magnético O Circuito R-L O Circuito L-C O Circuito R-L-C em série
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