Métodos Quantitativos de Apoio á Decisão

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Métodos Quantitativos de 
Apoio à Decisão
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1.
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Métodos Quantitativos de Apoio à Decisão
Autor: Rafael Bichone
Como citar este documento: BICHONE, Rafael. Métodos Quantitativos de Apoio à Decisão. Valinhos: 
2016.
Sumário
Apresentação da Disciplina 04
Unidade 1: Estatística descritiva 05
Assista a suas aulas 15
Unidade 2: Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot 22
Assista a suas aulas 45
Unidade 3: Probabilidade 53
Assista a suas aulas 71
Unidade 4: Métodos de estimação 78
Assista a suas aulas 90
2/189
3/1893
Unidade 5: Testes de hipóteses, regressão linear e correlação 97
Assista a suas aulas 109
Unidade 6: Programação linear e linear inteira, conceito de variáveis de decisão, função-objetivo e 
restrições
116
Assista a suas aulas 129
Unidade 7: Aplicação do solver do Excel para otimizar modelos de programação linear 136
Assista a suas aulas 151
Unidade 8: Método multicritério de apoio à decisão, caso de avaliação da escolha de um fornecedor 160
Assista a suas aulas 181
Sumário
Métodos Quantitativos de Apoio à Decisão
Autor: Rafael Bichone
Como citar este documento: BICHONE, Rafael. Métodos Quantitativos de Apoio à Decisão. Valinhos: 
2016.
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Apresentação da Disciplina
A atual dinâmica dos mercados, conse-
quente da globalização, apresenta uma 
maior necessidade de avaliação de cenários, 
indicadores e correlações para melhorar os 
processos de tomadas de decisões. De out-
ro modo, a proliferação de recursos com-
putacionais, tanto em termos de hardware 
como em termos de softwares, possibilita o 
acesso a um maior número de pessoas, bem 
como a ferramentas de análise sofisticadas, 
permitindo aos gestores realizarem diver-
sas análises, com variações de premissas 
de cenários, em um curto espaço de tempo. 
Aplicações deste tipo de análise podem ser 
encontradas em diversas indústrias, como 
nas finanças, na escolha de uma posição 
de investimento, na área de logística, na 
otimização de rotas e até em suprimentos, 
na escolha de um fornecedor. Nesta disci-
plina, iremos apresentar um conjunto de 
ferramentas utilizadas por empresas para 
tomadas de decisões de negócios, basea-
das em dados estatísticos.
5/189
Unidade 1
Estatística descritiva
Objetivos
1. Apresentar aos alunos as etapas ini-
ciais de análise para descrever e resu-
mir as informações obtidas através de 
pesquisa ou observações de campo.
Unidade 1 • Estatística descritiva6/189
Introdução 
A coleta de dados como, por exemplo, numa 
pesquisa de intenção de voto para uma 
campanha eleitoral, ou mesmo a coleta de 
dados de tempos de trajeto e consumo de 
combustível de uma determinada frota de 
veículos de uma empresa são necessárias à 
correta organização e classificação dos da-
dos obtidos para, posteriormente, ser feita 
a análise.
1. Conteúdo 
Essa aula irá abranger os seguintes tópicos:
• Variáveis e suas classificações;
• amostragem.
2. Variáveis e suas classificações 
Durante uma eleição, diversos institutos de 
pesquisa coletam periodicamente a opi-
nião dos eleitores para estimar a intenção 
de voto da população e, assim, prever quais 
serão os resultados da eleição. Mas a per-
gunta é: esses institutos fazem a pesquisa 
com todos os eleitores?
É claro que não! Mesmo que a pesquisa fos-
se realizada pela internet, seria um trabalho 
enorme e demoraria muito tempo para ser 
feito. O que eles fazem, então?
Os institutos coletam a opinião de uma 
amostra da população e fazem inferências 
a partir das informações obtidas. Logica-
mente, existem técnicas corretas de infe-
rência estatística que serão demonstradas 
Unidade 1 • Estatística descritiva7/189
no decorrer deste curso.
Como descrito na introdução, após a cole-
ta das intenções de voto, os institutos de 
pesquisa precisarão usar técnicas de Esta-
tística Descritiva para organizar e resumir 
os dados obtidos. Os dados obtidos, bem 
como as características dos eleitores que 
responderam à pesquisa, são denominadas 
de Variáveis.
Portanto, variável é qualquer característi-
ca associada a uma população. E pode ser 
classificada de duas maneiras:
Unidade 1 • Estatística descritiva8/189
Figura 1 – Classificação de variáveis
Fonte: WALPOLE; MYERS (2009).
Unidade 1 • Estatística descritiva9/189
Quanto à amostra, existem duas classificações:
Quadro 1 – Classificação de amostras
Amostragem quantitativa
Probabilística
Aleatórias: inclui-se um elemento na pesquisa 
de maneira aleatória, ao acaso.
Sistemática: a probabilidade de um elemento é 
calculável e diferente de zero.
Estratificada: subdivide-se a amostra em suba-
mostras, de acordo com o interesse do pesqui-
sador.
Não probabilística
Por voluntários
Por cotas
Por escolha racional
Amostragem qualitativa Amostragem por acaso úni-
co ou com reposição
Onde cada membro da população pode ser es-
colhido mais de uma vez
Amostragem por acaso múl-
tiplo ou sem reposição
Onde cada membro da população pode ser es-
colhido apenas uma vez
Fonte: WALPOLE; MYERS (2009).
Unidade 1 • Estatística descritiva10/189
Tendo em vista o texto apresentando, quan-
do se trata de lidar com informações a ser-
em coletadas e analisadas, deve-se realizar 
um planejamento para coleta e tratamento 
das informações.
Unidade 1 • Estatística descritiva11/189
Glossário
Inferência: é uma estimativa, dedução ou conclusão.
Variável discreta: os elementos da amostra podem ser contados.
Amostra: é a parte escolhida ou obtida de uma população.
Questão
reflexão
?
para
12/189
Quais são as melhores ferramentas para se organizar as 
informações coletadas?
13/189
Considerações Finais
• Institutos de pesquisa e pesquisadores utilizam métodos de inferência es-
tatística para estimar dados de uma população baseados nos dados de uma 
amostra;
• para isso, são utilizadas técnicas de estatística descritiva;
• as informações coletadas são denominadas variáveis;
• essas variáveis podem ser classificadas em qualitativas e quantitativas;
• as amostras de informações coletadas também podem ser classificadas em 
qualitativas e quantitativas.
Unidade 1 • Estatística descritiva14/189
Referências
WALPOLE, R.; MYERS, R.H. Probabilidade e estatística. 8. ed. São Paulo: Pearson Education, 2009.
15/189
Assista a suas aulas
Aula 1 - Tema: Estatística descritiva. Bloco I
Disponível em: <http://fast.player.liquidplatform.com/
pApiv2/embed/dbd3957c747affd3be431606233e0f1d/
e69ab61dabf47e0bf5d7fbe43b84a3e7>.
Aula 1 - Tema: Estatística descritiva. Bloco II
Disponível em: <http://fast.player.liquidplatform.com/
pApiv2/embed/dbd3957c747affd3be431606233e0f1d/
cdbe75967647a97127eb576703eb44f1>.
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1. Na estatística, são denominadas variáveis:
a) tudo que muda ou sofre alteração;
b) todos os elementos de uma população;
c) todos os elementos de uma amostra;
d) qualquer característica associada a uma população;
e) tudo que pode ser inferido probabilisticamente;
Questão 1
17/189
2. As variáveis podem ser classificadas das seguintes formas:
a) prováveis e não prováveis;
b) qualitativas e quantitativas;
c) probabilística e não probabilísticas;
d) numeráveis e não numeráveis;
e) críticas e comuns;
Questão 2
18/189
3. É um exemplo de uma variável qualitativa ordinal:
a) o gênero dos entrevistados;
b) a cor dos olhos dos entrevistados;
c) a cor dos cabelos dos entrevistados;
d) a idade dos entrevistados;
e) a classe social dos entrevistados.
Questão 3
19/189
4. Um bom exemplo de uma variável contínua é:
a) o peso;
b) o número de veículos;
c) a quantidade de filhos;
d) o total de imóveis;
e) acor dos olhos.
Questão 4
20/189
5. Na amostragem por acaso único ou com reposição:
a) cada membro da população pode ser escolhido por excusão;
b) cada membro da população pode ser escolhido mais de uma vez;
c) cada membro da população pode ser escolhido uma única vez;
d) a população pode ser escolhida uma única vez;
e) não se sabe, pois é obra do acaso.
Questão 5
21/189
Gabarito
1. Resposta: D.
É uma característica referente à população, 
que pode ser classificada de acordo com a 
teoria vista na disciplina.
2. Resposta: B.
Elas podem ser de classificação qualitativa, 
como as variáveis qualitativas, ou podem ser 
contadas, como as variáveis quantitativas.
3. Resposta: E.
É uma classificação de variáveis qualitati-
vas, que se referem a características que 
não podem ser contadas, e que são estipu-
ladas por critérios.
4. Resposta: A.
É o tipo de variável que não pode ser con-
tada. Esse tipo de variável tem escala contí-
nua, pois o peso de uma pessoa pode variar 
em pequenas frações de gramas, por exem-
plo.
5. Resposta: B.
Como há reposição, ou seja, um membro da 
população é reposto mesmo que já tenha 
sido selecionado anteriormente, esse ele-
mento pode ser escolhido diversas vezes.
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Unidade 2
Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot
Objetivos
1. Apresentar aos alunos as diversas me-
didas que podem ser inferidas das va-
riáveis: a média, mediana, moda, am-
plitude, variância, desvio-padrão, o 
formato da distribuição e como cons-
truir e analisar um box-plot.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot23/189
Introdução
Após a coleta e organização de dados, o 
pesquisador passa a analisar as diversas 
maneiras de tendência que um determina-
do grupo de informações pode apresentar 
para, assim, poder começar a tirar as pri-
meiras conclusões sobre as informações 
coletadas.
1. Conteúdo 
Esta aula irá abranger os seguintes tópicos:
• Medidas de tendência central: média, 
mediana e moda;
• variação e formato: amplitude, vari-
ância e desvio-padrão e formato de 
distribuição;
• construção e análise de box-plot.
2. Medidas de tendência central 
A maioria das informações coletadas, seja 
de uma população ou de uma amostra, 
apresenta uma tendência de “seguir” um 
valor central. Essa tendência é conhecida da 
maioria das pessoas, quando se referem ao 
valor mais frequente ou quando dizem: “em 
média”, na verdade, elas estão se referindo 
às medidas de tendência central dos dados 
obtidos.
Link
Disponível em: <http://clubes.obmep.org.br/
blog/tratamento-da-informacao-medidas-
-de-tendencia-central/medidas-de-ten-
dencia-central-passando-a-limpo-as-i-
deias/>. Acesso em: 16 dez. 2016.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot24/189
2.1 A média aritmética
A média aritmética é comumente conhecida 
como média pela maioria das pessoas, e é a 
medida de tendência central mais conheci-
da. Ela é a única medida comum a todos os 
valores do conjunto de dados, e serve como 
um “ponto de equilíbrio” desse conjunto.
Para calcular a média aritmética, basta so-
mar todos os valores de um conjunto de da-
dos e dividir pela quantidade, ou contagem, 
do número de elementos desse conjunto de 
dados, como mostra a Equação 1:
(Equação 1)
Onde:
X é a média aritmética.
 é a somatória de todos os elementos 
do conjunto.
n é a quantidade de elementos do conjunto.
Exemplo 1:
Foram coletadas as idades de um conjunto 
de seis alunos: 21, 23, 19, 17, 28 e 20.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot25/189
A média de idade dessa turma é calculada da seguinte forma:
2.2 A mediana
A mediana é o valor central dos dados, que precisam estar ordenados do menor para o maior 
valor. Essa medida é exatamente a metade dos dados que estão à esquerda da mediana, ou seja, 
são menores ou iguais à mediana, e a outra metade dos dados que estão à direita da mediana é 
maior ou igual à mediana.
Para saber qual posição da mediana, deve ser usada a Equação 2:
 onde n é o número de elementos no conjunto de dados.
(Equação 2)
Para calcular a mediana, existem duas regras:
1. Caso o conjunto de dados tenha uma quantidade ímpar de valores, a mediana é fornecida 
pelo valor que se encontra no meio dos dados ordenados.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot26/189
2. Caso o conjunto de dados tenha uma quantidade par de valores, deve-se pegar os dois va-
lores centrais e calcular uma média entre ambos, como mostra o exemplo a seguir:
Exemplo 2:
No conjunto das idades dos seis alunos: 21, 23, 19, 17, 28 e 20, deve-se, primeiramente, ordená-
-los de forma crescente:
17, 19, 20, 21, 23 e 28.
Usando a Equação 2, temos que a Mediana = 
Ou seja, a mediana está entre o 3º e o 4º elementos do conjunto de dados.
Conforme a regra 2, como temos uma quantidade par de valores, pegaremos o 3º e o 4º elemen-
tos e calcularemos uma média entre ambos:
Veja que metade dos alunos tem menos do que 20,5 anos de idade e que metade tem mais do 
que 20,5 anos de idade.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot27/189
2.3 A moda
A moda nada mais é do que o valor, ou os 
valores, que apresenta(m) a maior frequên-
cia dentre os dados coletados. Dessa forma, 
um conjunto de dados pode não apresentar 
moda ou ter mais de uma moda:
• Amodal: o conjunto de dados não tem 
nenhum valor que se repete;
• Bimodal: existem 2 valores que se re-
petem na mesma frequência;
• N-modal: existem n valores que se re-
petem na mesma frequência.
Exemplo 3:
O conjunto das idades dos seis alunos: 21, 
23, 19, 17, 28 e 20 é amodal, pois não há 
nenhuma idade que se repete ou, em outros 
termos, todas as idades têm a mesma fre-
quência.
Já o conjunto: 29, 31, 35, 39, 39, 40, 43, 44, 
44 e 52 é bimodal, pois os valores 39 e 44 se 
repetem 2 vezes cada, dentro do conjunto 
de dados.
No conjunto: 150, 163, 169, 185, 76 e 169, 
a moda é o valor 169, que tem frequência 2 
ou que aparece com maior frequência.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot28/189
3. Medidas de variação e formato
A variação mede o grau de dispersão que um determinado conjunto de dados apresenta. Já o 
formato procura representar um padrão existente entre todos os dados do conjunto.
3.1 Amplitude
A amplitude de um conjunto de dados é uma medida bem simples em relação às outras e é ape-
nas a diferença entre o maior e o menor valor dos dados, conforme mostra a Equação 3:
(Equação 3)
Exemplo 4:
A amplitude do conjunto das idades dos seis alunos: 21, 23, 19, 17, 28 e 20 é calculada da se-
guinte forma:
Amplitude = 28 – 17 = 11 anos.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot29/189
3.2 Variância e desvio-padrão
A amplitude de um conjunto de dados não 
considera a forma como os valores se distri-
buem ao redor da média. Para melhor com-
preensão, podemos ter o seguinte conjunto 
de dados: 1, 99, 100. Sua amplitude é de 99, 
o que “esconde” o fato de haver um elemen-
to muito menor dentre o conjunto de dados.
Para avaliar como os dados se distribuem 
em relação à média e aos extremos, duas 
medidas são necessárias: a variância e o 
desvio-padrão.
A variância é a esperança matemática do 
quadrado do desvio de uma variável alea-
tória e é calculada pela soma, ao quadrado, 
de cada observação do conjunto subtraída 
da média aritmética do conjunto de dados, 
como mostra a Equação 4. Para se calcular 
o desvio-padrão, basta calcular a raiz qua-
drada da variância, demonstrado na Equa-
ção 5. O desvio-padrão é a dispersão, ou 
variação,da amostra em relação à média.
A variância dos dados é calculada pela soma 
das diferenças ao quadrado de cada dado 
em relação à média, dividida pelo número 
de elementos no conjunto de dados.
Entretanto, deve-se considerar se temos 
uma amostra ou uma população. Por con-
venção, adota-se que há uma amostra de 
dados quando existem menos do que 40 
elementos observados. Logo, uma popula-
ção é considerada quando possuímos mais 
do que 40 observações.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot30/189
As equações 4 e 5 demonstram os cálculos da variância:
(Equação 4)
Onde:
S2 é a notação que representa a variância.
 é a soma, ao quadrado, da diferença entre cada elemento X
i
 do conjunto de dados e 
a média aritmética X desse mesmo conjunto de dados.
n -1 é o número de elementos do conjunto de dados subtraído de uma unidade, utilizada para 
cálculos de amostras.
(Equação 5)
Onde:
S2 é a notação que representa a variância.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot31/189
 é a soma, ao quadrado, da diferença entre cada elemento X
i
 do conjunto de dados e 
a média aritmética X deste mesmo conjunto de dados.
n é o número de elementos do conjunto de dados.
O desvio-padrão será a raiz quadrada da variância, conforme mostram as Equações 6 e 7:
(Equação 6)
Onde:
S é o desvio-padrão
S2 é a notação que representa a variância
 é a soma, ao quadrado, da diferença entre cada elemento Xi do conjunto de dados 
e a média aritmética X deste mesmo conjunto de dados
n -1 é o número de elementos do conjunto de dados subtraído de uma unidade, utilizada para 
cálculos de amostras
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot32/189
(Equação 7)
Onde:
S2 é a notação que representa a variância
 é a soma, ao quadrado, da diferença entre cada elemento X
i
 do conjunto de dados 
e a média aritmética X deste mesmo conjunto de dados.
n é o número de elementos do conjunto de dados.
Exemplo 5:
Para o conjunto das idades dos seis alunos: 21, 23, 19, 17, 28 e 20, variância é calculada pela 
Equação 4, pois trata-se de uma amostra:
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot33/189
Consequentemente, o desvio-padrão é calculado conforme a Equação 6:
3.3 O formato da distribuição
O formato de distribuição está relacionado à maneira da frequência ou distribuição de dados ao 
longo da amplitude e em relação à média. Pode-se classificar a distribuição em simétrica, quan-
do a distribuição ou frequência dos dados, em relação à média, está igualmente distribuída tan-
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot34/189
to para valores menores como para valores 
maiores do que média.
Por exemplo, imagine que a média aritmé-
tica e a mediana das notas dos alunos do 
curso de Métodos Quantitativos tenha sido 
a nota 5. Como você aprendeu anterior-
mente, sabemos que a mediana é a medida 
que divide em quantidades de dados iguais 
um determinado conjunto de dados. Nesse 
exemplo, você poderia afirmar que o número 
de alunos que estão com uma média menor 
do que 5 é igual ao número de alunos que 
estão com a média maior do que 5. Nesse 
caso, teríamos uma distribuição simétrica 
das médias dos alunos.
Também se pode classificar a distribuição 
como assimétrica, que ocorre quando a dis-
tribuição de frequência dos dados, em relação 
à média, não é uniforme. Em outras palavras, 
pode haver uma frequência maior de dados 
menores do que maiores em relação à mé-
dia, ou vice-versa. Voltando ao exemplo dos 
alunos do curso de métodos quantitativos, a 
assimetria iria acontecer quando a mediana 
fosse diferente da média aritmética. Poderí-
amos afirmar que haveria uma assimétrica à 
esquerda, ou negativa, quando a média fosse 
menor do que a mediana. Isso representaria 
que haverá mais alunos com notas acima de 
5. Entretanto, caso a assimetria fosse à direi-
ta, ou positiva, e mediana seria menor do que 
a média aritmética, haveria mais alunos com 
uma nota menor do que a média 5. A Figura 
2 mostra essas classificações.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot35/189
Figura 2 – Comparação entre três conjuntos de dados em termos de formato
Fonte: Elaborada pelo autor.
No formato de distribuição negativo ou à esquerda, há uma maior frequência de dados na parte 
inferior da distribuição, formando uma cauda longa e, nesse caso, a média passa a ser maior do 
que a mediana.
Já no formato de distribuição positiva ou à direita, há uma maior frequência de dados na parte 
superior da distribuição, formando uma cauda longa, mas, nesse caso, a média passa a ser menor 
do que a mediana.
Há também a medida de curtose, que mede a concentração de valores no centro da distribuição, 
em comparação com as caudas formadas.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot36/189
3.4 Construção e análise de 
box-plot
O box-plot e as medidas que são utilizadas 
para sua construção são uma outra manei-
ra de descrever uma distribuição de dados 
numéricos. Sua construção inclui quartis, o 
resumo de cinco números e o box-plot.
Veja neste exemplo: uma pessoa mediu o 
tempo necessário para arrumar-se pela 
manhã e ir ao trabalho, obtendo os seguin-
tes dados:
• Menor tempo: 29 minutos
• 1º quartil: 35 minutos
• Mediana: 39,5 minutos
• 3º quartil: 44 minutos
• Maior tempo: 52 minutos
Pôde-se construir um box-plot e verificar 
que essa pessoa possui um tempo de pre-
paração simétrico, conforme mostra a Figu-
ra 3.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot37/189
Figura 3 – Box-plot dos tempos de preparação
Fonte: Elaborada pelo autor.
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes idênticas ou iguais. Os mais rele-
vantes são o primeiro quartil, que representa os dados correspondentes aos valores 25% mais 
baixos de uma distribuição, e o terceiro quartil, que representa os dados correspondentes aos 
valores 25% mais altos de uma distribuição.
As Fórmulas 8 e 9 demonstram as maneiras de calcular esses quartis.
 onde Q é o quartil e n é o número de elementos.
(Equação 8)
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot38/189
 onde Q é o quartil e n é o número de elementos.
(Equação 9)
Após a determinação do primeiro e terceiro quartis, pode-se proceder à análise dos cinco nú-
meros, que permite uma maneira para determinar o formato de uma distribuição.
A análise de cinco números utiliza o menor valor da distribuição, o primeiro quartil, a mediana, 
o terceiro quartil e o maior valor da distribuição.
O Quadro 2 demonstra como a relação entre esses números permite reconhecer o formato da 
distribuição.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot39/189
Quadro 2 – Tipos de distribuição
Tipo de distribuição
Comparação Assimétrica à esquerda Simétrica Assimétrica à direita
A distância do menor va-
lor da distribuição até a 
mediana versus a distân-
cia da mediana até do 
maior valor
A distância do menor va-
lor até a mediana é maior 
do que a distância da me-
diana até o maior valor
A distância do menor va-
lor até a mediana é igual 
à distância da mediana 
até o maior valor
A distância do menor va-
lor até a mediana é me-
nor do que a distância da 
mediana até o maior va-
lor
A distância do menor va-
lor da distribuição até a 
Q1 versus a distância de 
Q3 até o maior valor
A distância do menor va-
lor até Q1 é maior do que 
a distância de Q3 até o 
maior valor
A distância do menor va-
lor até Q1 é igual à dis-
tânciade Q3 até o maior 
valor
A distância do menor va-
lor até Q1 é menor do que 
a distância de Q3 até o 
maior valor
A distância de Q1 até a 
mediana versus a distân-
cia da mediana até Q3
A distância de Q1 até a 
mediana é maior do que 
a distância da mediana 
até Q3
A distância de Q1 até a 
mediana é igual à distân-
cia da mediana até Q3
A distância de Q1 até a 
mediana é menor do que 
a distância da mediana 
até Q3
Fonte: WALPOLE; MYERS (2009).
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot40/189
Sendo assim, o box-plot é a representação gráfica desses cinco números, como mostra a Figura 4:
Figura 4 – Box-plot
Fonte: Elaborada pelo autor.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot41/189
Glossário
Amostra: quando a quantidade de dados coletados é pequena em relação à população; para 
trabalhos acadêmicos, adota-se que uma amostra é quando se tem menos do que 40 observa-
ções.
Curtose: é o “achatamento” de uma distribuição de frequências em relação à curva de distri-
buição normal ou de Gauss.
Desvio-padrão: raiz-quadrada da variância.
Moda: valor ou valores mais frequentes entre os dados coletados.
Mediana: é o valor que divide os dados em duas partes.
Variância: é a medida obtida somando-se todos os quadrados de cada observação do conjunto 
em relação à sua média aritmética.
Questão
reflexão
?
para
42/189
Embora um pesquisador possa coletar desde dados de 
uma amostra até de uma população, será que existe al-
guma restrição na utilização das técnicas de estatística 
descritiva?
43/189
Considerações Finais
• As medidas de tendência que você estudou foram a média aritmética, 
moda e mediana;
• elas ajudam a verificar se os dados coletados apresentam alguma 
tendência em relação à sua média;
• quando associadas com as medidas de variação de amplitude, variân-
cia e desvio-padrão, permitem ao pesquisador entender característi-
cas de distribuição e de níveis de comportamento dos dados;
• finalmente, a visualização do formato da distribuição de frequências 
e a construção do box-plot, através da análise dos cinco números, 
mostram de forma gráfica as aferições calculadas pelas medidas de 
variação.
Unidade 2 • Medidas de posição, medidas de variação, medidas de forma e Box-Plot44/189
Referências 
WALPOLE, R.; MYERS, R. H. Probabilidade e estatística. 8. ed. São Paulo: Pearson Education, 2009.
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Assista a suas aulas
Aula 2 - Tema: Medidas e Box-plot. Bloco I
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Aula 2 - Tema: Medidas e Box-plot. Bloco II
Disponível em: <http://fast.player.liquidplatform.com/
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46/189
O departamento financeiro, a fim de levantar o consumo de itens de escri-
tório, obteve os seguintes dados: 20, 45, 28, 32, 5, 2, 90 itens consumidos 
por mês. Utilize esses dados para as questões 1 a 5:
Questões
47/189
1. A média aritmética é
a) 90
b) 28
c) 32
d) 31,71
e) 45
Questão 1
48/189
2. A moda desses dados é
Questão 2
a) 32
b) 45
c) 20
d) 90
e) Nenhuma, é uma amostra amodal
49/189
3. A mediana dessa amostra de dados é:
Questão 3
a) 28
b) 32
c) 45
d) 20
e) 90
50/189
4. O terceiro quartil é representado pelo:
Questão 4
a) número 32;
b) 6º elemento, que é o número 45;
c) 6º elemento, que é o número 2;
d) não há 3º quartil;
e) número 45.
51/189
5. A análise dos cinco números e construção do box-plot utiliza os 
seguintes números:
Questão 5
a) 2, 5, 28, 45 e 90
b) 20, 45, 32, 2 e 90
c) A média, moda, variância, desvio-padrão e amplitude
d) 31,71, amodal, 887, 29,78 e 88
e) 2, 90, 222, 7 e 15
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Gabarito
1. Resposta: D.
A soma dos dados é de 222, que, dividida 
por 7 elementos, resulta em uma média de 
31,71.
2. Resposta: E.
Todos os elementos aparecem na mesma 
frequência.
3. Resposta: A.
Deve-se ordenar os dados em ordem cres-
cente e escolher o 4º elemento.
4. Resposta: B.
Usando a fórmula Q3 = 3*(n + 1)/4, onde n = 
7, calcula-se que o 6º elemento, em ordem 
crescente, representa o Q3 que, neste caso, 
é o algarismo 45.
5. Resposta: A.
A análise dos cinco números é composta 
pelo mínimo, Q1, mediana, Q3 e máximo.
53/189
Unidade 3
Probabilidade
Objetivos
1. Apresentar aos alunos os conceitos e 
teoremas fundamentais de probabi-
lidade e o cálculo de distribuição de 
probabilidade.
Unidade 3 • Probabilidade54/189
Introdução
Conhecer os princípios de probabilidade 
permite ao aluno a passagem do campo da 
estatística descritiva para o campo da esta-
tística inferencial. Os conceitos de probabi-
lidade que você verá na primeira parte deste 
tema serão fundamentais para o estudo da 
distribuição de probabilidades.
1. Conteúdo
Esta aula irá abranger os seguintes tópicos:
• Conceitos básicos de probabilidade;
• distribuição normal de probabilidade.
2. Conceitos básicos de 
probabilidade
Como definição, probabilidade é o cálculo 
feito para estimar a chance ou possibilida-
de de um acontecimento ter um resultado 
esperado. Podemos ter como exemplos de 
cálculos de probabilidade: a chance de se 
tirar cara ou coroa no lançamento de uma 
moeda, a chance de se obter o número 4 
no lançamento de um dado, e até a chance 
de determinado papel (ação) aumentar de 
preço na Bolsa de Valores. Em todos esses 
exemplos, a probabilidade poderá ser cal-
culada entre os números 0 e 1, ou 0 e 100%: 
um evento impossível irá apresentar pro-
babilidade zero, e um evento certo de que 
irá ocorrer, apresentará probabilidade 1 ou 
100%.
Unidade 3 • Probabilidade55/189
A probabilidade de um determinado evento 
ocorrer pode ser determinada pela seguinte 
equação:
(Equação 10)
Onde:
• X é o número de maneiras que o even-
to ocorre
• T é o número total de resultados pos-
síveis
Veja este exemplo:
No lançamento de um dado não viciado, a 
probabilidade de se obter o número 3 em 
um único lançamento pode ser calculada da 
seguinte forma:
Probabilidade de ocorrência = 1/6 = 0,167 = 
16,7%
Dessa forma, X é igual a 1, pois, ao lançar-
mos um dado apenas uma vez, existe ape-
nas 1 chance de se obter o número 3. E T é 
igual a 6, pois existe um total de 6 resulta-
dos possíveis.
2.1 Probabilidade simples
A probabilidade simples corresponde à 
ocorrência de um único evento simples P(A), 
conforme você viu até agora, a exemplo do 
lançamento do dado.
Avançando um pouco, você também pode 
calcular a probabilidade de uma família ad-
quirir uma TV de alta definição utilizando o 
mesmo tipo de cálculo.
Unidade 3 • Probabilidade56/189
Em uma pesquisa realizada em um site de 
venda de aparelhos de televisão, no Natal 
do último ano foram adquiridos 300 tele-
visores de alta definição de imagem e 180 
televisores convencionais. A probabilidade 
de uma pessoa adquirir um televisor de alta 
definição pode ser calculada da seguinte 
forma:
Probabilidade de compra = 300 / (300+180) 
= 0,625 = 62,5%
Há uma chance de 62,5% das pessoas com-
prarem um televisor de alta definição.
2.2 Probabilidade combinada
Se de um lado a probabilidade simples cor-
responde à ocorrência de um único evento 
simples P(A), conforme você viu até agora, 
a probabilidade combinada corresponde à 
chance ou probabilidade de ocorrer dois ou 
mais eventos. Sendo o evento A e B inde-
pendentes tem-se a ocorrência de ambos 
eventos, a ocorrência de pelo menos um 
dos eventos, ou um dos eventos não ocorre. 
Para o primeiro caso (evento A e B) tem-se:Para o segundo caso onde ocorre pelo me-
nos um evento, tem-se: P (A ou B)=P(A)+P 
(B)-P(A e B). Para o último caso, suponha-
mos que o evento A não ocorre, tem-se: P 
(não A)=1-P (A)
Um exemplo onde se tem dois eventos inde-
pendentes é quando se deseja tirar o número 
3 e 4 no lançamento de dois dados não vicia-
Unidade 3 • Probabilidade57/189
dos. Assim, P (3 e 4) = × = 0,0278 = 2,78% 
Note que o referido evento é independente, 
pois o número 3 não pode ser simultanea-
mente o número 3 e 4.
2.3 Regra geral de adição
A regra geral para eventos independentes de 
adição é a maneira de se calcular a chance 
ou probabilidade de ocorrer ou o evento A ou 
o evento B. A regra é bem simples: calcula-
-se a probabilidade simples de ocorrência de 
cada um dos eventos de maneira separada e, 
depois, basta apenas somar essas probabi-
lidades. Por exemplo, no lançamento de um 
dado não viciado, qual é a probabilidade de 
se obter ou o número 3 ou o número 4 no pri-
meiro lançamento? Essa probabilidade pos-
sui a seguinte notação: P (A ou B).
(Equação 12)
No lançamento de um dado não viciado, a 
probabilidade de se obter ou o número 3 ou 
o número 4 no primeiro lançamento pode 
ser calculada da seguinte forma:
Probabilidade de ocorrência= 1/6 + 1/6 = 
0,333 = 33,3%
Atenção! Para eventos que têm pontos em 
comum a fórmula da adição é:
P (A ou B)=P (A)+P(B)-P(A e B)
1
6
1
6
Unidade 3 • Probabilidade58/189
2.4 Probabilidade condicional
A probabilidade condicional é a chance ou 
a probabilidade de acontecer um evento A, 
tendo ocorrido em evento B. No exemplo, é 
chance de se tirar o número 4 no segundo 
lançamento do dado tendo tirado o número 
3 no primeiro lançamento. Essa probabili-
dade possui a seguinte notação P(A | B).
(Equação 13) 
Onde:
P (A | B) é a probabilidade de acontecer A 
tendo ocorrido o evento B.
Para saber mais
No lançamento de um dado não viciado, a pro-
babilidade de se obter o número 4 no segundo 
lançamento do dado, tendo tirado o número 3 no 
primeiro lançamento, pode ser calculada da se-
guinte forma:
Unidade 3 • Probabilidade59/189
Para saber mais
 é a probabilidade de acon-
tecer A (probabilidade de se obter o número 4) ten-
do ocorrido o evento B (número 3 obtido no primei-
ro lançamento); , 
A = 1 chance em 6 possibilidades (lados do dado) 
de se obter o número 4, B = 1 chance em 6 possi-
bilidades (lados do dado) de se obter o número 3, 
resultado igual a B = 1 chance 
em 6 possibilidades (lados do dado) de se obter o 
número 3.
P (A e B) é a probabilidade de acontecerem 
os eventos A e B de forma combinada.
P (B) é a probabilidade de acontecer o even-
to B.
2.5 Distribuição normal de 
probabilidades
A distribuição normal de probabilidades, 
também conhecida como distribuição ou 
curva de Gauss, é a distribuição mais famo-
sa e utilizada na estatística.
A distribuição normal de probabilidades 
apresenta um gráfico de distribuição de 
frequências em formato de sino, conforme 
mostra a Figura 5.
Unidade 3 • Probabilidade60/189
Figura 5 – Exemplo da forma de sino de uma distribuição normal
Fonte: Elaborado pelo autor
Para que se caracterize como uma distribuição normal de probabilidades, uma distribuição de 
frequência deve apresentar as seguintes propriedades:
• Ser simétrica, ou seja, a média aritmética e a mediana devem ser iguais;
• a curva de distribuição de frequência deverá ter a forma de sino;
Unidade 3 • Probabilidade61/189
• a distribuição dos quartis deve ser igual a 1,33 vezes o desvio-padrão;
• deve possuir uma amplitude infinita.
No dia a dia, muitos eventos apresentam uma distribuição normal de probabilidades. Como 
exemplo, veja na Tabela 1 a quantidade de refrigerante contida em 10.000 garrafas de 1 litro 
abastecidas em um dia de produção na fábrica de refrigerantes.
Tabela 1 – Distribuição da quantidade de abastecimento de refrigerante
Quantidade abastecida (litros) Frequência relativa
< 1,025 0,0048
1,025 a 1,030 0,0122
1,030 a 1,035 0,0325
1,035 a 1,040 0,0695
1,040 a 1,045 0,1198
1,045 a 1,050 0,1664
1,050 a 1,055 0,1896
1,055 a 1,060 0,1664
1,060 a 1,065 0,1198
1,065 a 1,070 0,0695
1,070 a 1,075 0,0325
Unidade 3 • Probabilidade62/189
Quantidade abastecida (litros) Frequência relativa
1,075 a 1,080 0,0122
1,080 ou mais 0,0048
Total 1,0000
Fonte: WALPOLE; MYERS (2009).
Ao colocar os dados da Tabela 1 em um gráfico de colunas, a distribuição de frequências do abas-
tecimento de refrigerante apresentaria uma curva em forma de sino, conforme mostra a Figura 
5. Observe que a distribuição de frequências é simétrica, conforme comentado no Tema 2, pois 
existe uma quantidade idêntica de probabilidade tanto à esquerda como à direita da categoria 
com maior probabilidade, que está em 1.050 e 1.055.
Unidade 3 • Probabilidade63/189
Figura 6 – Curva de distribuição de frequência do abastecimento de refrigerante
Fonte: WALPOLE; MYERS (2009).
Para se calcular a probabilidade ou chance de um evento que apresenta uma distribuição normal 
de frequências, você precisará seguir algumas etapas bem simples.
Unidade 3 • Probabilidade64/189
A primeira etapa é calcular qualquer variá-
vel aleatória X para se adequar às tabelas da 
distribuição normal Z, usando o cálculo da 
Equação 14:
 onde X é a variável aleatória, µ é a 
média aritmética e σ é o desvio-padrão.
(Equação 14)
Como exemplo, considere que o tempo para 
preparo de uma refeição seja, em média, de 
15 minutos e que apresente um desvio-pa-
drão de 3 minutos. Para calcular a chance ou 
probabilidade de uma refeição demorar 17 
minutos para ficar pronta, você precisa usar 
a Equação 14 da seguinte forma:
A segunda etapa é consultar uma tabela 
de probabilidade, como a Tabela 2 a seguir, 
procurando o cruzamento do primeiro dí-
gito após a vírgula na coluna da esquerda 
com o segundo número após a vírgula na 
parte superior da tabela. No nosso exemplo, 
vamos procurar pelo número 0,6 na coluna 
da esquerda e pelo número 0,06 na linha 
superior, como mostra a Tabela 2.
Unidade 3 • Probabilidade65/189
Tabela 2 – Probabilidade acumuladas
Unidade 3 • Probabilidade66/189
Fonte: Elaborada pelo autor.
Conforme mostram os destaques na Tabela 2, o cruzamento dos números 0,6 e 0,06 resulta 
numa probabilidade de 0,2454 de ocorrência. A resposta para o problema é: há uma chance de 
24,54% (0,2454 X 100 = 24,54%) de uma refeição demorar 17 minutos para ser preparada.
Unidade 3 • Probabilidade67/189
Glossário
Curva simétrica: é a curva que apresenta o mesmo número de eventos em ambos os lados.
Curva de Gauss: é o mesmo que curva de distribuição normal, onde a média aritmética e a me-
diana são iguais e a curva tem forma de sino.
Probabilidade: chance de um determinado evento acontecer.
Questão
reflexão
?
para
68/189
Você aprendeu que muitos eventos que ocorrem no 
nosso cotidiano apresentam uma distribuição de frequ-
ência. Eventos simples, como o lançamento de um dado 
ou retirar uma determinada carta do baralho, podem ser 
estudados com as fórmulas de probabilidade? E eventos 
contínuos, como o tempo de preparo de uma refeição, 
podem ser convertidos ao modelo de distribuição nor-
mal ou de Gauss?
69/189
Considerações Finais
• O cálculo de probabilidade de ocorrência de um evento pode ser simples, 
conjunto ou dependente de um ou mais eventos;
• você deve descobrir qual é o tipo de evento (simples, condicional ou adicio-
nal) de evento, antes de calcular a probabilidade;
• já a probabilidade de um evento contínuo ocorrer é calculada de manei-
ra bem simples através das aplicações dos passos da curva de distribuição 
normal ou de Gauss.
Unidade 3 • Probabilidade70/189
Referências 
LEVINE, D.M. et al. Estatística:teoria e aplicações. 6. ed. São Paulo: LTC, 2012.
STEVENSON, W.J. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Harbra, 2001.
WALPOLE, R.; MYERS, R.H. Probabilidade e estatística. 8. ed. São Paulo: Pearson Education, 2009.
71/189
Assista a suas aulas
Aula 3 - Tema: Probabilidade. Bloco I
Disponível em: <http://fast.player.liquidplatform.com/
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937c287033968fc53b05bcce50049e4c>.
Aula 3 - Tema: Probabilidade. Bloco II
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0f74b997a4954b11cd553d45c7babb0d>.
72/189
1. No lançamento de um dado não viciado, qual é a probabilidade de se ob-
ter o número 6 em um único lançamento?
a) 0,0167
b) 33,3%
c) 100%
d) 16,7%
e) 2,7%
Questão 1
73/189
2. No lançamento de um dado não viciado, qual é a probabilidade de se ob-
ter ou 5 ou 6 em um único lançamento?
a) 0,0167
b) 33,3%
c) 100%
d) 16,7%
e) 2,7%
Questão 2
74/189
3. No lançamento de um dado não viciado, qual é a probabilidade de se obter 
o número 1 no primeiro lançamento e o número 6 no segundo lançamento?
a) 0,0167
b) 33,3%
c) 100%
d) 16,7%
e) 2,7%
Questão 3
75/189
4. A nota média dos alunos de Métodos Quantitativos é 8,67 com desvio 
padrão de 1,13. Qual é a probabilidade de um aluno obter uma média final 
igual a 9?
a) 11,41%
b) 24,54%
c) 16,7%
d) 33,3%
e) 100%
Questão 4
76/189
5. A média de altura da população de Tangamandápio é de 1,52m com des-
vio-padrão de 0,8m. Qual é a probabilidade de, ao acaso, um cidadão ter 
uma altura de 1,80m?
a) 11,41%
b) 24,54%
c) 16,7%
d) 13,68%
e) 100%
Questão 5
77/189
Gabarito
1. Resposta: D.
A chance é de 1 em 6, ou seja, basta dividir 
1 por 6.
2. Resposta: B. 
Usando a regra da adição, você deve somar a 
chance dos dois eventos. Como cada evento 
de uma chance de 16,7%, a soma deles tem 
uma chance de 33,3%.
3. Resposta: D.
Usando a regra de probabilidade condicio-
nal, você deve dividir a chance de se obter o 
número 1 e 6 (1/36) pela probabilidade de 
se obter 6 (1/6).
4. Resposta: A.
Primeiro transforme os dados para uma 
distribuição normal através da fórmula: 
(9 – 8,67) / 1,13 = 0,29. Depois, encontre o 
cruzamento dos números 0,2 com 0,09 na 
Tabela 2.
5. Resposta: D.
Primeiro transforme os dados para uma dis-
tribuição normal através da fórmula: (1,80 – 
1,52) / 0,8 = 0,35. Depois, encontre o cruza-
mento dos números 0,3 com 0,05 na Tabela 
2.
78/189
Unidade 4
Métodos de estimação
Objetivos
1. O aluno aprenderá a construir e in-
terpretar estimativas de intervalo de 
confiança para a média e a determi-
nar o tamanho da amostra necessária 
para desenvolver uma estimativa.
Unidade 4 • Métodos de estimação79/189
Introdução
Em uma grande loja de materiais de cons-
trução, você foi contratado para contro-
lar, com precisão, o sistema de estoques e 
de vendas. Uma das maneiras seria anali-
sando cada um dos registros de venda e de 
movimentação de estoque, mas imagine o 
tempo necessário para executar esta tarefa. 
Você poderia fazer uso das técnicas de infe-
rência estatística para, a partir dos dados de 
uma amostra, tirar conclusões sobre todo o 
estoque e, assim, num tempo menor, tirar 
conclusões.
1. Conteúdo 
Essa aula irá abranger os seguintes tópicos:
• Estimativas de intervalos de confian-
ça;
• determinação do tamanho da amos-
tra para desenvolvimento de estima-
tiva.
2. Estimativa pontual
Conforme você leu na introdução desta aula, 
diversas situações do cotidiano de alguns 
profissionais requerem o uso de técnicas de 
inferência estatística para a determinação 
de características de uma população, ten-
do apenas as informações de uma amostra 
desta população.
Para ficar mais claro, veja os seguintes 
exemplos:
• Avaliando apenas alguns estudantes 
de uma universidade, qual seria a pro-
Unidade 4 • Métodos de estimação80/189
porção, na universidade toda, dos alu-
nos que frequentam teatro;
• com base nos dados de alguns veícu-
los de uma empresa, como você pode 
avaliar o consumo de combustível de 
toda a frota da empresa;
• fazendo uma pesquisa com alguns 
clientes que adquiriram os produtos 
da sua empresa, qual é o grau de sa-
tisfação de todos os clientes da sua 
empresa.
Para fazer esse tipo de avaliação, você po-
derá utilizar dois métodos de estimação: 
estimação pontual e estimação intervalar.
Na estimação pontual, você poderá fazer 
a estimativa, coletando uma amostra dos 
elementos da população que tenham a ca-
racterística que você deseja avaliar, e deve-
rá utilizar a Equação 15:
(Equação 15)
Onde:
p é a estimação pontual.
X é o número de elementos na amostra que 
possuem a característica que você deseja 
avaliar.
n é o tamanho total da sua amostra.
Unidade 4 • Métodos de estimação81/189
2.1 Estimativa intervalar ou 
intervalo de confiança
Até agora você estudou que, para uma de-
terminada amostra, a estimativa pontual 
fornece apenas um único valor numérico 
como estimativa de algo que se deseja ava-
liar.
Na estatística, diz-se que as estimativas 
pontuais são variáveis aleatórias, sendo 
muito interessante. Isso porque todo tipo 
de variável aleatória possui uma distribui-
ção de probabilidade, denominada distri-
buição amostral.
Para toda distribuição amostral, você po-
derá construir intervalos de confiança, que 
irão adicionar a informação à sua amostra 
de qual é o erro dessa sua estimativa. A isso 
Para saber mais
Numa pesquisa, foram entrevistados 500 estu-
dantes de uma universidade e, dentre esses es-
tudantes, 100 deles responderam que frequenta-
ram o teatro pelo menos uma vez no último mês.
Utilizando a Equação 15:
Você pode concluir que 20% dos alunos entrevis-
tados frequentaram o teatro no último mês, mas 
ainda não há como extrapolar essa afirmação 
para a população.
Unidade 4 • Métodos de estimação82/189
dá-se o nome de estimativa intervalar, que 
pode ser calculada com a Equação 16:
(Equação 16)
Onde p é a estimação pontual e ε é o erro da 
sua estimativa, que servirá para determinar 
o intervalo de confiança. O erro de estima-
tiva pode ser calculado com a Equação 17.
(Equação 17)
Lembra-se do Z? É o cálculo que você 
aprendeu no Tema 3, para a transformação 
necessária de uma distribuição qualquer em 
uma distribuição normal.
P é a estimação pontual e n é o número de 
elementos do conjunto.
Para saber mais
O gerente de operações de uma grande empresa 
quer estimar a produção de itens que estão apre-
sentando não conformidades. Os critérios de não 
conformidade que ele poderia considerar seriam 
defeitos no produto, riscos da carcaça, produtos 
com peso excessivo, etc. Você coleta os dados de 
uma amostra aleatória (você coleta os itens sem 
tê-los separado antes por um motivo qualquer). 
Unidade 4 • Métodos de estimação83/189
Para saber mais
Essa amostra tem tamanho n = 200. Baseando-se nesses 200 itens você organiza uma planilha e verifica 
que 35 desses itens apresentam algum tipo de não conformidade. Para analisar os dados, você deseja um 
intervalo com 95% de confiança (em outras palavras, você quer ter um erro de apenas 5%).
O primeiro passo é usar a Equação 15 para a estimação pontual:
Em seguida, você precisará pesquisar qual é o valor de Zα/2 para 95%, que é 1,96. Usando a Equação 17, 
você calculará o erro estimado:
Unidade 4 • Métodos de estimação84/189
A partir da estimativa de erro, você também 
poderá determinar o tamanho da amostra 
ou, em outras palavras, o tamanho amos-
tral necessário para ser estudado para um 
determinado nível de erro, usando a Equa-
ção 18:
Para sabermais
Usando a Equação 16, você poderá calcular o in-
tervalo de confiança:
 = [0,175 – 0,05266 ; 0,175 + 
0,05266]
Você conclui que, com 95% de confiança, a pro-
porção de itens produzidos naquele dia com al-
guma não conformidade, em relação a todos os 
itens produzidos, está entre 0,1223 e 0,2276, ou 
entre 12,23% e 22,76%.
(Equação 18)
Onde:
n é o tamanho amostral ou da amostra.
Z é a transformação para a curva normal ou 
de Gauss.
ε é o erro de estimação.
p é a estimação pontual.
A Equação 18 apresenta uma dificuldade, 
que é a proporção da amostra sobre a po-
pulação (p). Para facilitar, a estatística usa a 
Equação 19, que simplifica o cálculo.
Unidade 4 • Métodos de estimação85/189
(Equação 19)
Onde:
n é o tamanho amostral ou da amostra.
Z é a transformação para a curva normal ou de Gauss.
ε é o erro de estimação.
Para saber mais
Voltando ao exemplo dos estudantes da universidade que frequentam teatro, qual seria o tamanho da 
amostra (quantos estudantes você precisaria entrevistar) para que o erro da sua estimativa fosse de ape-
nas 2% (0,02) com um intervalo de confiança de 95%?
 = 1386 estudantes.
Unidade 4 • Métodos de estimação86/189
Glossário
Aleatório: que depende do acaso, que não é forçado.
Estimativa: avaliação ou cálculo aproximado de algo.
Intervalo de confiança: é o intervalo estimado em que a média de um parâmetro de uma 
amostra tem uma dada probabilidade de ocorrer.
Questão
reflexão
?
para
87/189
Você aprendeu que muitos problemas encontrados nas em-
presas podem ser resolvidos através do uso da inferência es-
tatística. Essa técnica permite que, a partir dos dados coleta-
dos de uma amostra, você possa tirar conclusões sobre toda 
a população. O exemplo utilizado neste tema foi o controle 
de produção. Você não precisará medir todos os itens produ-
zidos, mas poderá, a partir da coleta de alguns itens (amos-
tra), tirar conclusões sobre toda a produção. No entanto, o 
que você precisará saber após coletar uma amostra para ter 
uma margem de erro mínima?
88/189
Considerações Finais
• A estimativa pontual fornece informações a respeito de uma amostra que 
possui as características que se deseja avaliar;
• Você poderá fazer inferências a partir dessa informação, calculando o erro 
de estimativa;
• A partir do erro de estimativa, você poderá calcular qual será o tamanho de 
amostra necessário para que sua margem de erro seja mínima.
Unidade 4 • Métodos de estimação89/189
Referências
WALPOLE, R.; MYERS, R. H. Probabilidade e estatística. 8. ed. São Paulo: Pearson Education, 2009.
90/189
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Aula 4 - Tema: Métodos de estimação. Bloco I
Disponível em: <http://fast.player.liquidplatform.com/
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1d/69ab5bc8d0b53f3c7b272a3d97dcbcbb>.
Aula 4 - Tema: Métodos de estimação. Bloco II
Disponível em: <http://fast.player.liquidplatform.com/
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1d/6754ab5a278abc6ff228589e92c60406>.
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1. Qual é a representatividade de embalagens azuis sendo que, de um total 
de 1000 embalagens produzidas, foram produzidas 472 embalagens azuis?
a) 33,3%
b) 4,72%
c) 42,7%
d) 47,2%
e) 4,7%
Questão 1
92/189
2. O gerente de produção de uma empresa de cosméticos quer estimar 
a produção de itens que estão apresentando não conformidades. Ele co-
leta uma amostra aleatória de tamanho n = 160. Baseando-se nesses 160 
itens, ele organiza uma planilha e verifica que 28 desses itens apresentam 
algum tipo de não conformidade. Para analisar os dados, você deseja um 
intervalo com 95% de confiança. Qual é a proporção de itens que apresen-
tam alguma não conformidade?
a) 17,5%
b) 33,3%
c) 100%
d) 16,7%
e) 2,7%
Questão 2
93/189
3. O gerente de produção de uma empresa de cosméticos quer estimar a 
produção de itens que estão apresentando não conformidades. Ele coleta 
uma amostra aleatória de tamanho n = 160. Baseando-se nesses 160 itens, 
ele organiza uma planilha e verifica que 28 desses itens apresentam algum 
tipo de não conformidade. Para analisar os dados, você deseja um intervalo 
com 95% de confiança. Qual é o erro estimado para um intervalo de con-
fiança de 95%, sabendo que Zα/2 para 95% é 1,96?
a) 0,01676
b) 0,05888
c) 0,52667
d) 5,2667
e) 7,6%
Questão 3
94/189
4. O gerente de produção de uma empresa de cosméticos quer estimar 
a produção de itens que estão apresentando não conformidades. Ele co-
leta uma amostra aleatória de tamanho n = 160. Baseando-se nesses 160 
itens, ele organiza uma planilha e verifica que 28 desses itens apresentam 
algum tipo de não conformidade. Para analisar os dados, você deseja um 
intervalo com 95% de confiança. Qual é o intervalo de itens com não con-
formidades, sendo que o gerente deseja ter uma confiança de 95%, saben-
do que Zα/2 para 95% é 1,96?
a) [0,0175 – 0,5266 ; 0,0175 + 0,5266]
b) [0,175 – 0,5266 ; 0,0175 + 0,05266]
c) [0,0175 – 0,05266 ; 0,175 + 0,5266]
d) [0,0175 – 0,5266 ; 0,175 + 0,5266]
e) [0,175 – 0,05266 ; 0,175 + 0,05266]
Questão 4
95/189
5. Para planejar um trabalho de melhoria contínua a ser realizado no pró-
ximo ano, um analista de produção quer calcular qual deverá ser o total 
de itens que ele deverá medir todos os dias para que o erro da sua estima-
tiva seja de apenas 5% (0,05) com um intervalo de confiança de 95%, sen-
do que, numa primeira amostragem, ele obteve uma proporção de 17,5%:
a) 114
b) 2454
c) 221
d) 1368
e) 22,1%
Questão 5
96/189
Gabarito
1. Resposta: D.
Apenas dívida 472 (que é a amostra) por 
1000 (que é o total de elementos do con-
junto) e multiplique por 100 para transfor-
mar em porcentagem.
2. Resposta: A.
Apenas divida 28 (que são os itens com não 
conformidades) por 160 (que é o tamanho 
na amostra) e multiplique por 100 para 
transformar em porcentagem.
3. Resposta: B.
Use a proporção p e a equação 
4. Resposta: E.
Combine os cálculos das equações’
5. Resposta: C.
Utilize a equação 18 do Tema 4.
97/189
Unidade 5
Testes de hipóteses, regressão linear e correlação
Objetivos
1. Você aprenderá a utilizar métodos de 
inferência estatística para determinar 
se uma afirmativa feita em relação a 
uma amostra é válida também para a 
população, com exemplos de aplica-
ções.
Unidade 5 • Testes de hipóteses, regressão linear e correlação98/189
Introdução
Em uma grande loja de materiais de cons-
trução, você foi contratado para ter, com 
precisão, o sistema de controle de estoques 
e de vendas. Ao fazer o teste de hipóteses, 
você precisará determinar se o peso médio 
de uma amostra de sacos de cimento é con-
dizente com o peso médio esperado de todo 
o seu estoque.
1. Conteúdo 
Esta aula irá abranger os seguintes tópicos:
• Testes de hipóteses;
• regressão linear e correlação.
2. Fundamentos para testes de 
hipóteses
Para realizar um teste de hipóteses, você 
deverá adotar a premissa de que todas as 
variáveis que envolvem o processo estão 
funcionando como sempre funcionaram. 
No exemplo de uma loja de materiais de 
construção onde se precisa medir o peso 
médio dos sacos de cimento, você deverá 
ter como premissa de que as embalagens 
terão o mesmo tamanho e que não apre-
sentarão defeitos, ou seja, que as embala-
gens da amostra são iguais às embalagens 
da população e que não há nenhuma ação 
corretiva a ser adotada.
Continuando o exemplo, imagine que você 
deverá testar a hipótese de que o peso mé-
Unidade 5 • Testes de hipóteses, regressão linear e correlação99/189
dio do saco de cimento é de 10 kg. Ao con-
siderar que o peso médio da amostra é igual 
ao peso médio da população, você testa-
rá o que se chama de hipótese nula, queé aquela que representa o que se deseja, e 
tem o símbolo de H
0
. No exemplo estudado, 
a hipótese nula é que o estoque de sacos de 
cimento está em ordem e que suas embala-
gens estão perfeitas e, logo, o peso médio da 
amostra de sacos é equivalente ao de todo 
o estoque (população), conforme mostra a 
Equação 20.
H
0
: µ = 10, onde µ é a média.
(Equação 20)
Lembrando que você só terá informações 
da amostra (afinal, você não conseguirá pe-
sar todos os sacos de cimento do estoque), 
você usará dados estatísticos da amostra 
para realizar inferências.
Uma inferência que você poderá adotar é de 
que a hipótese nula é falsa, ou seja, o peso 
médio da amostra não é igual ao da popula-
ção, ou do estoque todo.
Para isso, toda vez em que você adotar uma 
hipótese nula precisará de uma hipótese 
alternativa que deve ser verdadeira se a hi-
pótese nula for falsa. A hipótese alternati-
va recebe o símbolo H
1
, conforme mostra a 
Equação 21.
H
1
: µ ≠ 10, onde µ é a média.
(Equação 21)
Unidade 5 • Testes de hipóteses, regressão linear e correlação100/189
Para saber mais
Você foi contratado como gerente de uma grande rede de lanchonetes e precisa determinar se o tempo 
de atendimento dos pedidos mudou de um mês para outro. O tempo médio, no mês anterior, tinha sido 
de 4,5 minutos.
A hipótese nula é de que o tempo médio de todos os atendimentos (população) não se modificou, ou 
seja, é igual a 4,5 minutos. Daí a hipótese nula é:
H0: µ = 4,5
A hipótese alternativa equivale ao oposto da hipótese nula. Nesse exemplo, a hipótese alternativa é de 
que o tempo médio mudou, ou seja, é diferente de 4,5 minutos:
H
1
: µ ≠ 4,5
Para resolver seu problema, você coleta o tempo médio de atendimento de 25 pedidos durante uma hora 
de funcionamento da lanchonete. Nessa coleta, você calcula que o tempo médio foi de 5,1 minutos com 
desvio-padrão de 1,2 minuto. Conforme você aprendeu no Tema 4, você utilizará a transformação para 
uma distribuição normal, com nível de confiança de 95%.
Unidade 5 • Testes de hipóteses, regressão linear e correlação101/189
Para saber mais
Para calcular o novo tempo médio de atendimento, e verificar se houve alteração em relação ao mês an-
terior, você utilizará a transformação para a distribuição normal, conforme a Equação 22:
Adotando a notação Z = 2,50 ± 1,96 (Média ± Z da região de rejeição), você rejeita a hipótese nula. Em 
outras palavras, você verificou que existem evidências de que o tempo médio de atendimento não é mais 
de 4,5 minutos, pois o intervalo de 0,54 minutos (2,50 – 1,96) e de 4,46 minutos (2,50 + 1,96) está além 
da região de rejeição.
2.1 Regressão linear e correlação
Você aprendeu um método de inferência estatística através do teste de hipóteses, em que, atra-
vés da adoção de uma hipótese nula e uma alternativa, você pode verificar se os dados de uma 
amostra são equivalentes ao de uma população.
Unidade 5 • Testes de hipóteses, regressão linear e correlação102/189
Agora, você aprenderá como fazer previ-
sões de uma variável com base nos dados 
de outras variáveis. Na análise de regressão 
linear, a variável que desejamos projetar se 
chama variável dependente e as variáveis 
que serão utilizadas para fazer a previsão 
são chamadas de variáveis independentes.
Para saber mais
O estudo da correlação linear surgiu de uma difi-
culdade que a teoria econômica tinha, que era de 
quantificar o efeito de variáveis econômicas sobre 
outras.
Por exemplo: com a teoria da regressão linear os 
economistas puderam começar a estimar o quan-
to seriam afetadas as importações caso houves-
se um aumento na cotação do dólar em relação à 
moeda brasileira.
O modelo de regressão linear utiliza a equa-
ção de uma reta, conforme mostra a Equa-
ção 23:
(Equação 23)
Unidade 5 • Testes de hipóteses, regressão linear e correlação103/189
Para entender os termos da equação:
 = variável dependente para uma observa-
ção i
 = intercepto, ou valor mínimo, para Y
 = inclinação, ou contribuição marginal, 
para Y
 = variável independente ou explicativa
A Equação 23 também é conhecida como 
equação de regressão linear simples e for-
nece uma reta de previsão de valores para 
a variável dependente tendo como prem-
issa um valor determinado para a variável 
explicativa. Além disso, o quanto a variáv-
el explicativa afeta a variável dependente é 
determinado por .
Para saber mais
Um professor de métodos Quantitativos deseja 
prever qual será a nota que um aluno irá obter em 
sua prova tendo como base quantas horas o alu-
no se dedicou para estudar sua matéria.
Neste exemplo, a variável dependente Yi é a nota 
que o aluno obterá, e a variável explicativa X
i
 são 
as horas de estudo.
Ao colocar os dados no software Microsoft Excel, o 
professor obteve a seguinte equação de regres-
são linear: 
Yi = 1,0 + 3Xi
Unidade 5 • Testes de hipóteses, regressão linear e correlação104/189
Para saber mais
Com essa equação, o professor conseguiu determinar que:
• Se o aluno não estudar nenhuma hora, ele obterá uma nota igual a 1,0.
• Para cada hora que o aluno estuda, sua nota aumentará em 3 pontos
Não satisfeito, o professor resolveu verificar quais seriam as notas de dois alunos, que estudaram 2 horas 
e 3 horas, cada um deles.
Usando a equação de regressão linear, ele pôde prever da seguinte forma:
• Y
1
 = 1,0 + 3 * 2 = 7 para o primeiro aluno
• Y
2
 = 1,0 + 3 * 3 = 10 para o primeiro aluno
O professor concluiu que o primeiro aluno, ao estudar 2 horas, terá uma nota estimada de 7, enquanto 
que o segundo aluno, que estudou 3 horas, provavelmente obterá nota 10.
Unidade 5 • Testes de hipóteses, regressão linear e correlação105/189
Glossário
Inferência: ato ou ação de inferir, concluir ou induzir.
Estimativa: avaliação ou cálculo aproximado de algo.
Variável dependente: é aquela afetada por uma ou mais variáveis.
Variável explicativa: é aquela que afeta uma variável dependente.
Questão
reflexão
?
para
106/189
Você aprendeu que, baseando-se em uma amostra, po-
derá coletar a média e o desvio-padrão e, a partir de 
métodos de inferência estatística, fazer comparações 
e tirar conclusões para a população toda. Além disso, o 
que você pode determinar através dos métodos estatís-
ticos de correlação?
107/189
Considerações Finais
• O teste de hipóteses utiliza uma hipótese Nula e uma Hipótese Alternativa 
para fazer testes de inferência estatística;
• você poderá verificar se os dados de uma amostra estão iguais ao de uma 
população;
• há como fazer previsões numéricas utilizando o método de regressão linear.
Unidade 5 • Testes de hipóteses, regressão linear e correlação108/189
Referências
LEVINE, D. M. et al. Estatística: teoria e aplicações. 6. ed. São Paulo: LTC, 2012.
STEVENSON, W. J. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Harbra, 2001.
WALPOLE, R.; MYERS, R.H. Probabilidade e estatística. 8. ed. São Paulo: Pearson Education, 2009.
109/189
Assista a suas aulas
Aula 5 - Tema: Testes de hipóteses e regressão 
linear. Bloco I
Disponível em: <http://fast.player.liquidplatform.com/
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670845d95d9fb0225f86c35a4081c6ea>.
Aula 5 - Tema: Testes de hipóteses e regressão li-
near. Bloco II
Disponível em: <http://fast.player.liquidplatform.com/
pApiv2/embed/dbd3957c747affd3be431606233e0f1d/
b943d5304c9331449c5771e472e0eb64>.
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1. Você foi contratado como gerente de uma grande rede de material de cons-
trução e precisa determinar se o peso médio dos sacos de cimento continua 
sendo de 10 quilos. Qual é a hipótese nula e a hipótese alternativa?
a) H
0
: µ = 10 e H
1
: µ ≠ 4,5
b) H
0
: µ = 10 e H
1
: µ ≠ 10
c)H
0
: µ = 4,5 e H
1
: µ ≠ 10
d) H
0
: µ = 4,5 e H
1
: µ ≠ 4,5
e) As embalagens sofreram diversas alterações
Questão 1
111/189
2. Você foi contratado como gerente de uma grande rede de material de 
construção e precisa determinar se o peso médio dos sacos de cimento 
continua sendo de 10 quilos. Ao coletar 30 sacos de cimento, você calcu-
la que o peso médio foi de 11 quilos, com desvio-padrão de 2 quilos. Será 
que o seu estoque de sacos de cimento está com um peso médio de 10 
quilos? Adote um intervalo de confiança de 95%, sabendo que Zα/2 para 
95% é 1,96.
Questão 2
a) Sim, pois a medição ficou dentro do intervalo de confiança 2,74 - 1,96 e 2,74 + 1,96.
b) Sim, pois a medição ficou dentro do intervalo de confiança 2,74 - 2 e 2,74 + 2.
c) Não, pois a medição ficou dentro do intervalo de confiança 2,74 - 1,96 e 2,74 + 1,96.
d) Não, pois a medição ficou dentro do intervalo de confiança 2,74 - 2 e 2,74 + 2.
e) Sim, porque a média da amostra é muito próxima da média da população.
112/189
3. Um professor de Estatística deseja prever qual será a nota que um aluno 
irá obter em sua prova tendo como base quantas horas o aluno se dedicou 
para estudar sua matéria. Ao colocar os dados no software Microsoft Excel, 
o professor obteve a seguinte equação de regressão linear: Yi= 0,5 + 4Xi. Se 
um aluno não estudar, qual será sua nota estimada?
Questão 3
a) 4,5
b) 5,5
c) 1,5
d) 2,0
e) 0,5
113/189
4. Um professor de Estatística deseja prever qual será a nota que um aluno 
irá obter em sua prova tendo como base quantas horas o aluno se dedicou 
para estudar sua matéria. Ao colocar os dados no software Microsoft Excel, 
o professor obteve a seguinte equação de regressão linear: Yi= 0,5 + 2Xi. Se 
um aluno estudar 4 horas, qual será sua nota estimada?
Questão 4
a) 0,5
b) 5,0
c) 7,5
d) 8,5
e) 10
114/189
5. Um professor de Estatística deseja prever qual será a nota que um aluno 
irá obter em sua prova, tendo como base quantas horas o aluno se dedi-
cou para estudar sua matéria. Ao colocar os dados no software Microsoft 
Excel, o professor obteve a seguinte equação de regressão linear: Yi= 0,5 + 
2Xi. Quantas horas um aluno precisará estudar, no mínimo, para tirar nota 
10?
Questão 5
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
115/189
Gabarito
1. Resposta: B.
A hipótese nula é a média ser igual a 10 qui-
los, e a alternativa, diferente de 10 quilos.
2. Resposta: A.
Z = (X- µ) / (σ/√n)= (11 – 10) / (2/√30) = 
2,74. Logo, seu estoque está com a maioria 
dos sacos com peso igual de 10 quilos, pois 
o intervalo 2,74 - 1,96 e 2,74 + 1,96 está 
dentro do intervalo de confiança.
3. Resposta: E.
Colocando o valor 0 em Xi, na equação Yi= 
0,5 + 4Xi, você obterá o valor 0,5.
4. Resposta: D.
Colocando o valor 4 em Xi, na equação Yi= 
0,5 + 2Xi, você obterá o valor 8,5.
5. Resposta: D.
Colocando o valor 10 em Yi, na equação Yi= 
0,5 + 2Xi, você obterá o valor 4,75 horas.
116/189
Unidade 6
Programação linear e linear inteira, conceito de variáveis de decisão, função-objetivo e restri-
ções
Objetivos
1. Apresentar aos alunos os princípios 
de programação linear para tomada 
de decisão em situações de restrições.
Unidade 6 • Programação linear e linear inteira, conceito de variáveis de decisão, função-objetivo e restrições117/189
Introdução
Todo gestor depara-se com diversos fatores 
restritivos, sejam eles relacionados à pro-
dução de bens ou à execução de serviços, 
como: limitações de tempo, capacidade de 
investimento e capacidade instalada. Este 
tema irá apresentar uma metodologia para 
que os gestores possam realizar as suas de-
cisões, sobre o melhor uso desses recursos 
que são escassos.
1. Conteúdo 
Esta aula irá abranger os seguintes tópicos:
a) Programação linear e linear inteira;
b) conceito de variáveis de decisão, fun-
ção-objetivo e restrições.
2. Programação linear e linear 
inteira
Sabemos que, na economia, na produção 
de bens e na execução de serviços, muitos 
recursos são limitados. Mediante esse fato, 
muitos gestores são levados a escolher en-
tre a produção de um determinado item em 
detrimento de outro, ou na execução de um 
determinado serviço ao invés de outro.
Como exemplo, imagine que você trabalha 
em uma fábrica que produz dois tipos de ar-
mários de escritório, com as seguintes ca-
racterísticas:
Unidade 6 • Programação linear e linear inteira, conceito de variáveis de decisão, função-objetivo e restrições118/189
Preço de venda Custo variável Margem de Contri-
buição Unitária
Armário com 4 portas R$ 2.600,00 R$ 2.000,00 R$ 600,00
Armário com 2 portas R$ 2.400,00 R$ 2.000,00 R$ 400,00
Em cada porta dos armários, é instalada uma maçaneta, igual para os dois modelos e para todas 
as portas. O fornecedor de maçanetas acaba de informá-lo que, no próximo mês, ele só conse-
guirá lhe fornecer 800 maçanetas. Você, como gestor dessa empresa, deverá decidir qual o mo-
delo deverá ser produzido para maximizar a margem de lucro de sua empresa.
O mais comum seria fabricar o armário que fornece a maior margem de contribuição em relação 
à restrição de fornecimento. Dessa forma, você poderia fazer a seguinte conta:
• 4 portas: R$ 600 / 4 maçanetas = R$ 150,00 por maçaneta
• 2 portas: R$ 400 / 2 maçanetas = R$ 200,00 por maçaneta
A conclusão mais imediata, seria a produção do modelo de 2 portas, pois:
• 800 maçanetas / 2 maçanetas por armário = 400 armários x R$ 400 de margem de contri-
buição = lucro de R$ 160.000,00.
Unidade 6 • Programação linear e linear inteira, conceito de variáveis de decisão, função-objetivo e restrições119/189
Obviamente, se você decidisse produzir o 
modelo de 4 portas, seu faturamento seria:
• 800 maçanetas / 4 maçanetas por 
armário = 200 armários x R$ 600 de 
margem de contribuição = lucro de 
R$ 120.000,00.
Para esse tipo de tomada de decisão, você 
poderá usar a técnica de programação li-
near. Essa técnica matemática ajuda na 
determinação do melhor uso dos recursos 
limitados de uma empresa, desde que eles 
tenham uma relação linear. Como no exem-
plo anterior, há uma restrição do forneci-
mento das maçanetas, mas cada armário 
apresenta uma relação linear, ou proporcio-
nal, com este item.
São aplicações muito comuns dessa meto-
dologia:
• Escolher o mix de produtos que irá oti-
mizar o lucro da empresa em relação à 
capacidade instalada;
• escolher a melhor rota para minimizar 
o tempo e o custo de transporte;
• determinar qual será a melhor car-
teira de investimentos para otimizar 
a lucratividade do investimento de 
acordo com o nível de risco aceitável.
A metodologia ou o modelo de programa-
ção linear é composto de alguns quesitos 
essenciais para que se chegue a uma so-
lução ideal. Tais quesitos incluem: a clare-
za acerca da decisão que precisará ser to-
mada; quais são as restrições envolvidas 
Unidade 6 • Programação linear e linear inteira, conceito de variáveis de decisão, função-objetivo e restrições120/189
(lembrando que podem ser recursos físicos, 
como uma matéria-prima, ou recursos de 
tempo ou de caixa) e, finalmente, qual é a 
meta ou objetivo que você deseja otimizar 
ou minimizar.
Para compreender a decisão a ser tomada, 
faça perguntas como: quanto desejo produ-
zir, qual a melhor rota, seria melhor alocar 
os recursos financeiros no produto A ou B?
Indo além nas questões de restrição, lem-
bre-se que de elas podem estar associa-
das a fatores limitantes de fornecimento de 
matéria-prima, horas perdidas com trânsi-
to parado e até mesmo à limitação de caixa, 
ou de recursos financeiros, que sua empresa 
possui.
2.1 Conceito de variáveis de 
decisão, função-objetivo e 
restrições
Para a tomada de decisão, você pode orga-
nizar as informações da seguinte forma:
• Para a decisão,as variáveis deverão 
ser representadas por X
1
, X
2
, ... , X
n
.
• A função objetivo é que irá represen-
tar o objetivo a ser alcançado, e é re-
presentado por:
• MÁX (ou MÍN) = f (X
1
, X
2
, ... , X
n
), 
onde: MÁX = Maximizar (lucros, ca-
pacidade de produção etc.); e MÍN 
= Minimizar (custos, tempo etc.).
As restrições são representadas por 3 for-
mas possíveis:
Unidade 6 • Programação linear e linear inteira, conceito de variáveis de decisão, função-objetivo e restrições121/189
• f (X
1
, X
2
, ... , X
n
) ≤ limite
• f (X
1
, X
2
, ... , X
n
) = limite
• f (X
1
, X
2
, ... , X
n
) ≥ limite
No exemplo do gestor da fábrica de armá-
rios, a função objetivo genérica seria:
• MÁX = mc
1
 X
1
 + mc
2
 X
2
, onde:
• MÁX = Maximizar a margem de contri-
buição;
• Mc = margem de contribuição de cada 
item;
• X = quantidade a ser produzida de 
cada item.
Já a função objetivo específica do exemplo 
seria:
MÁX = 600 x X
1
 + 400 x X
2
As restrições poderiam ser representadas 
de forma genérica pela inequação:
a
1
 X1 + a
2
 X2 ≤ Restrição, onde
• “a” é a quantidade consumida de ma-
çanetas em cada tipo de armário;
• “Restrição” é a quantidade limite de 
maçanetas que podem ser fornecidas.
Dessa forma, a função de restrição do nosso 
exemplo seria:
4 x X1 + 2 x X2 ≤ 800, onde: “X1” e “X2”, 
são uma quantidade ideal de armários que, 
multiplicados pela quantidade de maçane-
tas necessárias para cada tipo de armário (4 
Unidade 6 • Programação linear e linear inteira, conceito de variáveis de decisão, função-objetivo e restrições122/189
e 2), resultem em uma quantidade total de 
maçanetas que seja menor ou igual à capa-
cidade de fornecimento de 800 maçanetas. 
Para chegar à solução ótima desse proble-
ma, existem as seguintes possibilidades de 
solução:
• Solução gráfica
• Solução matricial
• Solução computacional
A solução gráfica permite encontrar o pon-
to ótimo através do encontro das retas ge-
radas tanto pela função objetivo como pela 
equação de restrição. Veja na Figura 7 como 
ficaria a solução gráfica para o caso da fá-
brica de armários:
Unidade 6 • Programação linear e linear inteira, conceito de variáveis de decisão, função-objetivo e restrições123/189
Figura 7 – Solução gráfica
Fonte: Elaborada pelo autor.
Unidade 6 • Programação linear e linear inteira, conceito de variáveis de decisão, função-objetivo e restrições124/189
A solução matricial seria a resolução do determinante da matriz construída com os parâmetros, 
tanto da função objetivo como da função de restrição.
No próximo tema, você aprenderá o método de solução computacional, utilizando a função 
Solver do software Microsoft Excel.
Unidade 6 • Programação linear e linear inteira, conceito de variáveis de decisão, função-objetivo e restrições125/189
Glossário
Programação linear: técnica matemática ajuda na determinação do melhor uso dos recursos 
limitados de uma empresa.
Função objetivo: feita para maximizar ou minimizar uma variável desejada.
Função de restrição: equação ou inequação que representa a limitação de um determinado re-
curso.
Questão
reflexão
?
para
126/189
Você aprendeu que existem decisões de negócios que 
podem estar sujeitas a diversos tipos de restrição, como 
a capacidade de fornecimento de um determinado tipo 
de matéria-prima, da quantidade de recursos que po-
dem ser alocados para um investimento, ou até mesmo 
o tempo de transporte de uma carga até a entrega final 
ao cliente. Existem outros campos onde você possa apli-
car as restrições vistas nesta aula?
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Considerações Finais
• A programação linear permite a otimização de funções matemáticas para a 
tomada de decisão empresarial;
• para poderem ser utilizadas, as variáveis devem apresentar uma relação li-
near, ou proporcional, entre si;
• a metodologia utilizada inclui a construção de uma função objetivo e de 
pelo menos uma função de restrição.
Unidade 6 • Programação linear e linear inteira, conceito de variáveis de decisão, função-objetivo e restrições128/189
Referências
WALPOLE, R.; MYERS, R.H. Probabilidade e estatística. 8. ed. São Paulo: Pearson Education, 2009.
129/189
Assista a suas aulas
Aula 6 - Tema: Programação linear. Bloco I
Disponível em: <http://fast.player.liquidplatform.com/
pApiv2/embed/dbd3957c747affd3be431606233e0f-
1d/5bedbddb50064bf29748767399d2b82b>.
Aula 6 - Tema: Programação linear. Bloco II
Disponível em: <http://fast.player.liquidplatform.com/
pApiv2/embed/dbd3957c747affd3be431606233e0f1d/
e8bfeb86a8501cc6681a859dae8e4a26>.
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1. É uma aplicação do método de programação linear:
Questão 1
a) escolher o melhor logotipo para a empresa;
b) realizar um Kaizen de processo;
c) orçar o custo de um investimento;
d) escolher a melhor rota para minimizar o tempo ou o custo de transporte;
e) melhorar o atendimento ao consumidor.
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2. Você precisa decidir qual será a melhor rota para a entrega de um de-
terminado item a um cliente. Sua função objetivo deverá:
Questão 2
a) maximizar o retorno do investimento;
b) maximizar a satisfação do cliente;
c) minimizar tanto o tempo de viagem como o custo do transporte;
d) minimizar a satisfação do cliente;
e) desconsiderar o valor dos pedágios.
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3. Você precisa decidir qual será a melhor rota para a entrega de um deter-
minado item a um cliente. É uma restrição a ser considerada:
Questão 3
a) o tempo máximo do trajeto aceitável pelo cliente;
b) os recursos em caixa;
c) a satisfação do cliente;
d) o custo da embalagem;
e) o tipo de doca de ancoragem.
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4. Dentre as diversas formas de solução para problemas de programação 
linear, pode ser encontrada:
Questão 4
a) a solução quadrática;
b) a solução gráfica;
c) a solução integral;
d) a solução diferencial;
e) o método dos mínimos quadrados ordinários.
134/189
5. No método de solução gráfica de problemas de programação linear, a 
solução, ou ponto ótimo, é:
Questão 5
a) o ponto onde se cruzam a função objetivo e a função de restrição;
b) o ponto onde se cruzam a função objetivo e o eixo x;
c) o ponto onde se cruzam a função objetivo e o eixo y;
d) o ponto onde se cruzam a função de restrição e o eixo x;
e) o ponto onde se cruzam a função de restrição e o eixo y.
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Gabarito
1. Resposta: D.
Existem uma função objetiva e critérios cla-
ros de restrição.
2. Resposta: C.
Tanto o tempo de transporte como o custo 
são ótimos exemplos de itens a serem oti-
mizados.
3. Resposta: A.
Normalmente este tipo de restrição aparece 
em problemas de logística.
4. Resposta: B.
A solução gráfica é o encontro das funções 
objetivo e de restrição.
5. Resposta: A.
É um ponto gráfico em que as funções obje-
tivo e de restrição se cruzam.
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Unidade 7
Aplicação do solver do Excel para otimizar modelos de programação linear
Objetivos
1. Você irá aprender a resolver os pro-
blemas vistos em Programação Line-
ar, com uma função objetivo e uma ou 
mais funções restritivas, através do 
método computacional, que utilizará 
a ferramenta Solver do software Mi-
crosoft Excel.
Unidade 7 • Aplicação do solver do Excel para otimizar modelos de programação linear137/189
Introdução
Muitas vezes, durante a gestão de uma 
empresa, você precisará tomar decisões 
de maximização ou redução de variáveis e 
terá, como contrapartida, restrições de re-
cursos. O método de programação linear 
lhe permite identificar e transformar esses 
problemas em funções matemáticas. A fer-
ramenta Solver auxilia na resolução desses 
sistemas de equações através do método 
computacional.
1.