Equação logarítmica

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MATEMÁTICA
Ensino Médio, 1º Ano
Equação logarítmica
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
Neide pegou um empréstimo no valor de R$ 6 000,00 e o pagou 1 ano depois, com o valor corrigido para R$ 7 609,45. Ela deseja saber agora qual foi a taxa de juros aplicada na transação, sabendo que os juros foram calculados, a cada mês, em cima do montante do mês anterior, ou seja, foram juros compostos.
Você sabia que com uma calculadora científica, ou uma boa tábua de logaritmos, e o conhecimento da fórmula de juros compostos Neide pode resolver esse problema?
Veja isso a seguir!
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
Expressões logarítmicas
Uma expressão diz-se logarítmica quando é calculável por meio de logaritmos.
Exemplos:
log 15 + log 33
log x − log y
5 ∙ log (x + 4)
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
Tábuas de logaritmos
Chamamos tábua de logaritmos a disposição ordenada dos números e seus logaritmos, desde 1 até um certo número N.
Nº
Característica
Mantissa
1
0
00000
2
0
30103
3
0
47712
4
0
60206
5
0
69897
6
0
77815
7
0
84510
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
Equação logarítmica
Denomina-se equação logarítmica àquela em que uma ou mais incógnitas estão subordinadas ao símbolo logaritmo.
Exemplos:
log 15 + log 33 = x
log x − log y = 3
5 ∙ log (x + 4) = 2
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
Equação logarítmica
Ao resolvermos uma equação desse tipo, devemos verificar as condições de existência do logaritmo.
Além dessa verificação, aplicaremos a seguinte propriedade:
loga b = loga c  b = c, com a > 0, b > 0, c > 0 e a  1
E, ainda, utilizaremos as propriedades dos logaritmos.
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
Exemplos:
 log 10x = 2
log 10 + log x = 2 (logc ab = logc a + logc b)
 1 + log x = 2 (loga an = n)
 log x = 2 − 1
 log x = 1
Então: x = 101 (definição de logaritmo)
x = 10
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
O problema de Neide
Vamos, então, resolver o problema de Neide:
C = R$ 6 000,00
t = 1 ano = 12 meses
M = R$ 7 609,45
Logo, pela fórmula de juros compostos, teremos:
7 609,45 = 6 000 ∙ (1 + i)12
(1 + i)12 = 7 609,45
 6 000
(1 + i)12 ≈ 1,26824
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
Fazendo 1 + i = x, teremos:
x12 = 1,26824
Aplicando logaritmos nos dois membros, teremos:
log x12 = log 1,26824
12 ∙ log x = log 1,26824
log x = 0,1032
 12
log x = 0,0086
Portanto:
x = 100,0086
x = 1,02
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
Como x = 1 + i, então:
1 + i = 1,02
i = 1,02 – 1 
i = 0,02
Ou seja
i = 2% ao mês
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
Atividades resolvidas
1) Resolva em R as seguintes equações:
log2 (x – 3) = 1
logx−2 (2x – 4) = 2
log (x2 – 1) = log (2x – 1)
(log3 x)2 + log3 x = 2
log2 8x + 5 = 3
 x – 4 
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
a) Condição de existência: x – 3 > 0
 x > 3
Resolvendo a equação, temos:
Log2 (x – 3) = 1
 x – 3 = 21
 x – 3 = 2
 x = 2 + 3
 x = 5
Como x = 5 satisfaz a condição de existência, temos:
S = {5}
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
b) Condições de existência: 2x – 4 > 0  2x > 4  x > 2
x – 2 > 0  x > 2 e x – 2  1  x  1 + 2  x  3
Logo, resolvendo a equação, temos:
 logx−2 (2x – 4) = 2
 (x – 2)2 = 2x – 4 
 x2 – 4x + 4 = 2x – 4 
x2 – 4x – 2x + 4 + 4 = 0
 x2 – 6x + 8 = 0
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
Daí: 
 = (− 6)² − 4 ∙ 1 ∙ 8
 = 36 − 32
 = 4
x = − (− 6)  .
 2 ∙ 1
x1 = 6 − 2 = 4 = 2
 2 2
x2 = 6 + 2 = 8 = 4
 2 2
Nesse caso, como somente x2 satisfaz as condições de existência, temos: S = {4}
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c) Condições de existência: 
x2 – 1 > 0  x < − 1 ou x > 1
2x – 1 > 0  2x > 1  x > ½
Resolvendo a equação, temos:
log (x2 – 1) = log (2x – 1)
 x2 – 1 = 2x – 1 
 x2 – 2x = 0
 x(x – 2) = 0
 x1 = 0 ou x2 – 2 = 0 → x2 = 2
Nesse caso, como somente x2 satisfaz a condição de existência, então: S = {2}
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
d) Condição de existência: x > 0
Fazendo y = log3 x, temos:
 y2 + y = 2
y2 + y – 2 = 0
Daí: 
 = 1² − 4 ∙ 1 ∙ (− 2)
 = 1 + 8
 = 9
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
y = − 1  .
 2 ∙ 1
y1 = − 1 − 3 = − 4 = − 2
 2 2
y2 = − 1 + 3 = 2 = 1
 2 2
Retornando o valor de y na igualdade y = log3 x, temos:
y1 = − 2  log3 x1 = − 2 
 x1 = 3−2 
 x1 = 1 .
 9
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
y2 = 1  log3 x2 = 1 
 x2 = 31 
 x2 = 3
Nesse caso, como x1 e x2 satisfazem a condição de existência, temos: 
S = {1/9, 3}
e) Condições de existência:
8x + 5 > 0 8x + 5 = 0 
 x – 4 x – 4 = 0 
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
Logo: x < − 5 ou x > 4
 8
Segue que:
log2 8x + 5 = 3  23 = 8x + 5  8(x – 4) = 8x + 5
 x – 4 x – 4 
 8x – 32 = 8x + 5
 8x – 8x = 5 + 32
 0 = 37 (impossível)
Portanto:
S = 
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
2) Resolva a equação log4 x + logx 4 = 2.
Condição de existência: x > 0 e x  1.
Fazendo a mudança de base, para logx 4, teremos:
log4 x + log4 4 = 2
 log4 x
log4 x + 1 = 2
 log4 x
fazendo, agora, y = log4 x, temos:
y + 1 = 2 
 y
ou seja: y2 – 2y + 1 = 0
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
Assim:
y1 = y2 = 1
Retornando o valor de y na igualdade y = log4 x, temos:
log4 x = 1
Logo:
x = 41
x = 4
Como 4 satisfaz as condições de existência, temos: 
S = {4}
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
3) Resolva as equações:
logx 36 = 2
log2 (x2 + x + 2) = 3
log2 [log3 (x – 1)] = 2
a) Condição de existência: x > 0 e x  1
Pela definição de logaritmo, temos:
x2 = 36
 x =  6
Como apenas x = 6 satisfaz a condição de existência, temos:
S = {6}
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
b) Condição de existência: x2 + x + 2 > 0
= 12 – 4 ∙ 1 ∙ 2
= 1 – 8 
= − 7
+ + + + + + + + +
Portanto: x  R.
Resolvendo a equação, temos:
 x2 + x + 2 = 23
x2 + x + 2 – 8 = 0
 x2 + x – 6 = 0
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
= 12 – 4 ∙ 1 ∙ (− 6)
= 1 + 24
= 25
x = − 1  5 
 2 ∙ 1
x’ = − 1 − 5 = − 6 = − 3
 2 2 
x” = − 1 + 5 = 4 = 2
 2 2
Como x = − 3 e x = 2 satisfazem a condição de existência, temos:
S = {− 3, 2}
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
c) Condição de existência: log3 (x – 1) > 0
 x – 1 > 1
 x > 2
Resolvendo a equação, temos:
log2 [log3 (x – 1)] = 2
 log3 (x – 1) = 22
 log3 (x – 1) = 4
 x – 1 = 34
 x – 1 = 81
 x = 82
Como x = 82 satisfaz a condição de existência, temos:
S = {82}
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
Atividades Propostas
1) Resolva, em R, as seguintes equações:
log2 (4x + 5) = log2 (2x + 11)
log3 (5x2 – 6x + 16) = log3 (4x2 + 4x – 5)
logx (2x – 3) = logx (− 4x + 8)
log(x + 2) (x2 – 2x) = log(x + 2) 3
2) Resolva, em R, as seguintes equações:
log4 (x + 3) = 2
log2x (6x2 – 13x + 15) = 2
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
3) Sejam p e q, respectivamente,
as soluções das equações: 
log2 (log3 x) = − 1 e log5 [log4 (214 + 10x)] = 1.
Qual é o valor de logp q?
4) Resolva, em R, as seguintes equações:
log2 (x – 2) + log2 x = 3
2 log7 (x + 3) = log7 (x2 + 45)
log (4x – 1) – log (x + 2) = log x
3 log5 2 + log5 (x – 1) = 0
log x + log x2 + log x3 = − 6 
Matemática, 1º Ano, Equação logarítmica
5) Aumentando um número x de 8 unidades, seu logaritmo em base 4 aumenta de meia unidade. Qual é o valor de x?
6) Resolva, em R, as equações:
log5 x = logx 5
log49 7x = logx 7
log6 x2 = logx 36
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https://www.youtube.com/watch?v=7PeNXmN3mo0
https://www.youtube.com/watch?v=v31UWHdyV74
https://www.youtube.com/watch?v=inhXy-qob3k
http://www.brasilescola.com/matematica/equacoes-logaritmicas.htm
http://www.fund198.ufba.br/expo/eq-ine.pdf
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