JP Caminha

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Números e álgebra no currículo escolar
João Pedro da Ponte 
Sociedade Portuguesa de Ciências da Educação
Secção de Educação e Matemática
XIV Encontro de Investigação em Educação Matemática
Caminha 17-19 Abril 2005
 Departamento de Educação
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Resumo
Os números e a álgebra na Matemática
Os números no currículo de Matemática
Dificuldades dos alunos na passagem da aritmética para a álgebra 
Opções para um currículo de Álgebra
Das orientações curriculares ao currículo em acção…
Idália Pesquita
Neusa Branco
Mónica Acúrcio
Sara Monteiro
Teresa Santos
Cristina Costa
Cristina Silva
Elisa Mosquito
Guida Rocha
Ana Fraga
Ana Matos
Carla Caneva
Carmén Salvado
Um agradecimento especial
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1.
Os números e a álgebra na Matemática
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Universos numéricos
Onde surgem nos programas em Portugal?
Naturais e inteiros (1º ciclo)
Racionais absolutos (1º ciclo)
Inteiros relativos (2º ciclo-6º ano)
Racionais relativos (3º ciclo-7º ano)
Reais (3º ciclo-9º ano)
Complexos (secundário-12º ano)
Como evoluem na história da Matemática?
Antiguidade / Grécia / Idade média / Idade moderna…
Pontos críticos na aprendizagem
Cálculo com números inteiros multidígito (1º ciclo)
Cálculo com racionais (2º e 3º ciclos)
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Aspectos do conceito de número…
Diferentes formas de representação do número,
Operações…
Cálculo (mental, em papel e lápis, com instrumentos como a calculadora…)
Estimação,
Algoritmos…
Propriedades da operações com números (elemento neutro, elemento absorvente, comutativa, associativa, existência de inverso…),
“Sentido do número”,
Estrutura interna do universo numérico (relação de ordem, densidade, estrutura de grupóide, grupo, anel…),
Relações entre diversos universos e estruturas numéricas…
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O que é a Álgebra?
Historicamente
Resolução de problemas
Antiguidade: Egipto, Babilónia, China, Índia...
Papiro do Amhes/Rhind
Diofanto
Resolução de equações (“algébricas”)
1º grau:
2º grau: (Brahmagupta, 598-665, al-Khwarizmi, c 800) 
3º grau: (Scipione dal Ferro, Tartaglia, Cardano, 1520s)
4º grau: (Ferrari, 1520s)
Teorema Fundamental da Álgebra (Argand, 1814/Gauss 1816)
Impossibilidade de solução geral para equações de grau superior ao 5º: (Galois, 1832)
Estudo de estruturas abstractas
grupo, espaço vectorial, anel, corpo, conjunto ordenado...
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O que é a Álgebra?
Epistemologicamente – Quais são os objectos?
Na Aritmética são números (inteiros/racionais…) e suas operações;
Na Geometria são pontos, rectas/segmentos/figuras, planos/poliedros…;
Na Análise são processos infinitos (que geram infinitésimos, infinitamente grandes, etc.);
Nas Probabilidades são acontecimentos aleatórios;
Na Estatística são colecções de objectos;
Na Álgebra são relações matemáticas abstractas (equações, estruturas definidas por operações em conjuntos…).
A álgebra envolve um raciocínio que se processa a um nível abstracto com recurso à simbolização e às operações com símbolos…
Quais são então os aspectos principais do pensamento algébrico?
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2.
Os números no currículo de Matemática
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Problemas relativamente ao papel dos números no currículo
Intuições, modelos básicos e conceitos estruturantes
Contagem / Recta-Simetria / Parte-todo…
Valor de posição.
Representações
Decimais vs. Fracções,
Recta numérica.
Algoritmos
Começa-se pelo algoritmo? Estimula-se que os alunos inventem os seus próprios algoritmos? Até que ponto?
Qual o papel da tecnologia?
Proibida? Permitida depois de se aprender pelo método tradicional? Instrumento de exploração?
Qual a actividade dos alunos?
O que predomina: exercícios, problemas, explorações, investigações...?
Modos de raciocínio
Como promover o equilíbrio entre o cálculo mental, de papel e lápis e com a calculadora…?
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Números no currículo (NCTM, 2000)
Toda a Matemática proposta do jardim de infância (Pre-K) ao 12º ano está fortemente baseada nos números
Os princípios que governam a resolução de equações em Álgebra são os mesmos que as propriedades estruturais dos números,
Na Geometria e na Medida, os atributos são descritos com números, 
Toda a área de análise de dados envolve o sentido do número (making sense of numbers) (p. 32)
Compreender os números e as operações, desenvolver o sentido do número, e ganhar fluência no cálculo aritmético forma o núcleo essencial da educação matemática nos primeiros anos.
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Objectivos de aprendizagem na área dos números (ME, 2001)
A compreensão global dos números e das operações e a sua utilização de maneira flexível para fazer julgamentos matemáticos e desenvolver estratégias úteis de manipulação dos números e das operações,
O reconhecimento e a utilização de diferentes formas de representação dos elementos dos conjuntos numéricos, assim como das propriedades das operações desses conjuntos,
A aptidão para efectuar cálculos mentalmente, com os algoritmos de papel e lápis ou usando a calculadora, bem como para decidir qual dos métodos é apropriado à situação,
No domínio dos números e do cálculo, a competência matemática que todos devem desenvolver inclui os seguintes aspectos:
Ao longo de todos aos ciclos (1º-2º-3º)
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Objectivos de aprendizagem na área dos números (ME, 2001)
A sensibilidade para a ordem de grandeza dos números, assim como a aptidão para estimar valores aproximados de resultados de operações e decidir a razoabilidade dos resultados obtidos por qualquer processo de cálculo ou por estimação,
A predisposição para procurar e explorar padrões numéricos em situações matemáticas e não matemáticas e o gosto por investigar relações numéricas, nomeadamente em problemas envolvendo divisores e múltiplos de números implicando processos organizados de contagem,
A aptidão para dar sentido a problemas numéricos e para reconhecer as operações que são necessárias à sua resolução, assim como para explicar os métodos e o raciocínio que foram usados.
No domínio dos números e do cálculo, a competência matemática que todos devem desenvolver inclui os seguintes aspectos:
Ao longo de todos aos ciclos (1º-2º-3º)
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Objectivos de aprendizagem na área dos números (NCTM, 2000)
Desde o jardim de infância ao 12º ano os alunos devem ser capazes de:
Compreender números, formas de representar números, relações entre números e sistemas numéricos,
Compreender significados de operações e como elas se relacionam umas com as outras,
Calcular fluentemente e fazer estimativas razoáveis. (p. 32)
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Compreender os números
O que eles são…
Como se representam com objectos, dígitos ou em rectas numéricas,
Como se relacionam uns com os outros,
Como fazem parte de sistemas que têm estruturas e propriedades
Como é que se usam números e operações para resolver problemas. (p. 32)
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Desenvolver o sentido do número
Capacidade de decompor números naturalmente,
Usar números particulares como referência, como 100 ou ½,
Usar as relações entre as operações aritméticas para resolver problemas,
Compreender o sistema decimal de posição,
Estimar,
Compreender os números (Make sense of numbers),
Reconhecer a grandeza relativa e absoluta dos números. (p. 32)
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Desenvolver a fluência computacional
Conhecer as tabuadas (adição, subtracção, multiplicação e divisão),
Usar métodos eficientes e rigorosos para calcular (eventualmente, combinações de estratégias mentais e de papel e lápis),
Ser capaz de explicar os seus métodos, compreender que existe sempre uma diversidade de métodos,
Ser capaz de estimar e de julgar a razoabilidade dos resultados. (p. 32)
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3.
 Dificuldades dos alunos na passagem da aritmética para a álgebra
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Cinco tipos de equações... (Usiskin, 1988)
 A = LW
 20 = 5x
 sin x = cos x tan x
 
 y = kx 
Fórmula
Equação para resolver
Identidade
Propriedade
Equação (ou função) de proporcionalidade directa (não é para resolver)
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SimbolizaçãoAritmética
Símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, +, - x, :, =, 23
Álgebra
Novos símbolos: x, y
Mudança do significado do: =
Outros símbolos: <, >, , { 
Símbolos para operações abstractas: θ, σ, ω, φ, μ, η, λ...
A simbolização é muito importante em Álgebra mas não é um exclusivo da Álgebra
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Simbolismo, sim ou não?
O valor do simbolisno
O simbolismo algébrico não tem rival no seu poder de "aglutinar as ideias concebidas operacionalmente em agregados compactos e, por isso, no seu potencial, para tornar a informação mais fácil de compreender e manipular" (Sfard e Linchevski, 1994). 
O perigo do simbolismo
Quando perdemos de vista o significado do que os símbolos representam e damos apenas atenção aos símbolos (formalismo) (Davis & Hersh, 1995).
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Significados que mudam…
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Esta dificuldade é notória quando os alunos:
 não conseguem aceitar a validade de expressões como
4 + 3 = 6 + 1
ou
3 = 3
 escrevem, enquanto raciocinam:
 2,30 + 3,20 = 5,50 - 1,50 = 4,00
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Dificuldades dos alunos
1. 39x – 4 = 35x ou 2yz – 2y = z
Os alunos continuam a ver as letras como “rótulos” para objectos concretos e aplicam-lhes as regras da aritmética.
2. Compreensão de convenções da sintaxe da álgebra:
a) 2a + a +15 = 3a + 15 mas… a + a + a x 2 não é 3a x 2
b) Se em ab, a for substituído por –a… torna-se –ab mas… se b for substituído por –b, não se torna a – b, mas a(–b). (Freudenthal, 1983)
c) Os alunos tendem a ver as expressões da esquerda para a direita e não vêem a necessidade de usar parêntesis. (Kieran, 1979)
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Mais dificuldades…
O foco da actividade algébrica e a natureza das “respostas”,
O uso da notação e da convenção algébrica,
O significado das letras e das variáveis,
Os tipos de relações e métodos usados em aritmética (Booth,1994).
Dificuldade em dar sentido a uma expressão algébrica,
Não distinguir adição aritmética (3+5) da adição algébrica (x+3),
Não ver a letra como representando um número,
Atribuir significado concreto às letras,
Pensar uma variável com o significado de um número qualquer,
Interpretações diferentes, na aritmética e na álgebra, para os símbolos + e =,
Atribuir significados distintos para algumas letras na aritmética,
Passar da linguagem natural para a algébrica (Nobre,1996).
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4.
 Opções para um currículo em álgebra
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Grandes correntes na “álgebra clássica”
Expressões e manipulação de expressões
Monómios, polinómios, fracções algébricas, radicais. 
Equações, sistemas, desigualdades
Equações numéricas e literais do 1º grau, 2º... 
Sistemas, desigualdades.
Funções (pre-calculus)
Linear, afim,
Proporcionalidade inversa,
Quadráticas,
Homográficas,
Irracionais.
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O que é o pensamento algébrico?
(Lins e Giménez, 1997)
Visão “letrista”
Versão “pobre”: Aprender a manipular os símbolos (por treino e prática),
Versão “melhorada”: Aprender a manipular correctamente os símbolos, recorrendo a apoios intuitivos (a balança...).
Álgebra como Aritmética generalizada 
A Álgebra é a Aritmética generalizada (John Mason, Carolyn Kieran).
Visão “estruturalista”
Centrar a atenção nas estruturas algébricas abstractas (Z. P. Dienes).
Álgebra como actividade
A partir do contexto (Jan de Lange, Paolo Boero),
Por actividade investigativa (Boero, Alan Bell).
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Problemas relativamente ao papel da álgebra no currículo
Qual o conceito central?
Expressão algébrica?
Equação?
Função? (Chazan & Yerushalmy, 2003). 
Estrutura algébrica?
Qual o papel das situações “reais”?
Irrelevante,
Campo de aplicação,
Ponto de partida da aprendizagem (Jan de Lange).
Qual o papel da tecnologia?
Proibida? Permitida depois de se aprender pelo método tradicional? Instrumento de exploração?
Qual a actividade dos alunos?
O que predomina: exercícios, modelações, explorações, investigações...?
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Potencialidades e problemas da tecnologia
Potencialidades
A tecnologia como a calculadora gráfica, que liga expressões e gráficos, pode dar aos alunos feedback visual que enfatiza os vários significados de equivalência,
A tecnologia realiza o trabalho mecânico e favorece a realização de explorações e investigações.
Problemas
As representações gráficas não são transparentes... Compreendê-las e usá-las pressupõe uma aprendizagem não trivial,
Tal como implementado na tecnologia como a calculadora gráfica, surge uma tensão entre o currículo usual e a tecnologia.
(Chazan & Yerushalmy, 2003) 
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Programas actuais
3º ciclo (1992) – Desaparecimento da álgebra como grande tema do currículo
Equações numéricas e literais do 1º grau,
Operações com monómios e polinómios,
Sistemas de equações do 1º grau,
Equação incompleta do 2º grau,
Função afim,
Proporcionalidade inversa,
Equação (completa) do segundo grau.
Inequações do 1º grau,
Secundário (Matemática A de 2002, com início em 2003) – A álgebra ao serviço das funções
Função quadrática (incluindo inequações do 2º grau), função módulo, funções polinomiais (3º e 4º grau),
Decomposição de polinómios em factores,
Funções racionais e com radicais.
Sucessões
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Currículo nacional (DEB-ME, 2001)
A predisposição para procurar padrões e regularidades e para formular generalizações em situações diversas, nomeadamente em contexto numérico e geométrico,
A aptidão para analisar as relações numéricas de uma situação, explicitá-las em linguagem corrente e representá-las através de diferentes processos, incluindo o uso de símbolos,
A aptidão para interpretar e construir tabelas de valores, gráficos, regras verbais e outros processos que traduzam relações entre variáveis, assim como para passar de umas formas de representação para outras,
A aptidão para concretizar em casos particulares relações entre variáveis e fórmulas para procurar soluções de equações simples,
A sensibilidade para entender e usar as noções de correspondência e de transformação em situações concretas diversas.
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NCTM 2000
Compreender padrões, relações e funções (Estudo das estruturas),
Representar e analisar situações matemáticas e estruturas, usando símbolos algébricos (Simbolização),
Usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas (Modelação),
Analisar mudança em diversas situações (Estudo da variação).
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Álgebra escolar como…
Generalização e formalização de padrões e restrições
Manipulação de formalismos guiada sintacticamente
Estruturas abstractas
Linguagem de modelação e de controlo de fenómenos
Funções e Variação
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2. “Algebrificar” a matemática escolar
 Promover hábitos de pensamento e de representação em que se procure a generalização, sempre que possível,
 Tratar os números e as operações algebricamente – prestar atenção às relações existentes (e não só aos valores numéricos em si) como objectos formais para o pensamento algébrico (Kaput & Blanton)
 Promover o estudo de padrões e regularidades, a partir do 1º ciclo.
1. Entender a álgebra de uma forma ampla, incluindo nos currículos elementos destas cinco perspectivas:
Generalização e formalização de padrões,
Manipulação de formalismos guiada sintacticamente,
Funções e variação,
Linguagem de modelação e de controlo de fenómenos,
Estruturas abstractas,
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5.
 Das orientações curriculares ao currículo em acção…
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Diversos tipos de tarefa
Acessível
		Exercício				Exploração
Fechado						 Aberto
		Problema				Investigação
Complexo
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Estratégias de gestão curricular
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NCTM (1997, p. 243)
Segundo Booth (1994) , erros que geralmente aparecem estão relacionados às ideias dos alunos sobre aspectos como: 
(1)Diferentemente da aritmética, na qual o foco é encontrar a resposta numérica particular, na álgebra é estabelecer procedimentos, relações e expressá-los numa forma simplificada.
(2) O foco está na dificuldade de interpretaçãodos símbolos pelos alunos. P.e. Os alunos têm dificuldade em aceitar como resposta a um problema uma expressão “ 2x+3y” -- 5xy erro decorrente das ideias primárias da de adição, desenvolvidas na aritmética.
(3)Os alunos têm dificuldade em utilizar letras para indicar valores. P.e. Na aritmética a letra “g” pode ser utilizada para representar ”gramas”, na álgebra a letra “g” pode representar o nº de “gramas”.
 Outra dificuldade é a ideia de variável, há uma forte tendência para considerar que as letras representam valores específicos “a+5=8” e não nº genéricos como em “a+b=b+a”
 Na aritmética os símbolos representam valores únicos, “8”, e há dificuldades decorrentes desta ideia, pois para muitos “a+b+c” nunca pode ser igual a “d+e+f”
(4) A álgebra não é isolada da aritmética, portanto é necessário que a generalização das relações e procedimentos aritméticos sejam apreendidos no contexto aritmético, para que o seu desempenho no contexto algébrico não seja afectado.
Nobre 
4- (3b+2b como 3 bananas + 2 bananas)
7- em aritmética podemos ler 3m como 3 metros e em álgebra como o triplo do número de metros