Revista do Professor de Matematica2013

1 RPM \u2212 OBMEP Apresentação Caros pr ofessores orientador es e alunos do Programa de Iniciação Científi ca \u2212 PIC da OBMEP Este é um número especial da Revista do Professor de Matemática \u2013 RP M , elaborado para utilização no PIC da OBME P a se r realizado a partir do primeiro semestre de 2014. A RP M , como seu nome diz, é uma revista dedicada ao s professores de Matemática da educação básica, a alunos e professores de cursos de licenciatura em Matemática e a todos aqueles que se interessam pela Matemática do nível médio. O tratamento dado aos temas abordados procura ser acessível e agradável, sem sacrifi car o rigor . A revista é uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemática \u2013 SBM e tem sido editada e distribuída sem interrupções desde 1982. A revi s ta pu blica cr ônica s, ar tigo s e s eçõe s , com o Pr oble ma s , O leitor pe r gunt a , Liv ros , Olhando mais de cim a , etc. No s artigos, temas interessantes de nível elementar ou avançad o sã o a pr es e n ta dos de m odo ace ss ív el ao prof e ssor e a o al un o do ensino básico ou de cursos de Licenciatura em Matemática. Uma experiência interessante em sala de aula, um problema que sus cita u ma qu es tã o pou co c onh eci d a, u ma hist ór ia qu e me r eça se r contada ou até uma nova abordagem de um assunto conhecido. Na s seções, a revista \u201cconversa\u201d com o leitor , publicando problemas e/ou soluções propostas por eles, cartas, resenhas de livros, erros encontrados em textos didáticos, etc. 2 RPM \u2212 OBMEP Para este exemplar especial, o Comitê Editorial da RPM escolheu artigos que pretendem ampliar o conhecimento dos alunos em diferentes tópicos, bem como temas que motivem discussões ou satisfaçam à curiosidade teórica e histórica de alunos interessados em Matemática . Além disso, publicamos várias propostas de atividades que podem ser aplicadas nas salas de alunos de ensino fundamental e médio. As atividades tentam despertar a curiosidade dos alunos para tópicos importantes da Matemática que são explicitados nas justi \ufb01 cativas dos procedimentos propostos. Apresentamos também uma seção Pr oblemas com: Problemas I: problemas interessantes com números primos. Problemas II: uma seleção de problemas extraídos do PISA (Programme for International Student Assessment \u2212 Programa Internacional de A valiação de Alunos). Problemas III: vinte problemas selecionados entre os publicados na seção Problemas da RPM , que abrangem a maioria dos tópicos da educação básica. As soluções dos problemas propostos estão no \ufb01 nal deste fascículo. Os artigos aqui publicados não apresentam as referências bibliográ- \ufb01 cas, citações ou agradecimentos que constam nos artigos originais da RPM . Comitê Editorial da RPM 3 RPM \u2212 OBMEP C onteúdo Atividades em sala de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 05 Um jogo aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Seis problemas não triviais equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 O menino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 O problema dos cinco discos: sorte ou sabedoria? . . . . . . . . . . . . . . . 26 Calculadora padrão: um problema interessante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Uma equação interessante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Painéis Painel I O número 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Painel II Sexta-feira 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Painel III O jogo de bilhar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Painel IV Codi \ufb01 cando e decifrando mensagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Painel V Qual a relação entre os números 102.564 e 410.256? . . . . . . . . . . . . . . . 49 Painel VI Uma demonstração visual para a fórmula do sen( A + B ) . . . . . . . . . . . . . 51 Painel VII V alores irracionais de funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Painel VIII Mágica com números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Painel IX Destreza ou esperteza? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Painel X Determinante para fatorar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Funções interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 A formiga inteligente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 A demonstração feita por Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4 RPM \u2212 OBMEP A Matemática da folha de papel A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Retângulo áureo, divisão áurea e sequência de Fibonacci . . . . . . . . . 82 Usando Geometria para somar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Problemas diversos resolvidos com Geometria Analítica . . . . . . . . 1 12 A sombra do meu abajur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 19 Ilha do tesouro. Dois problemas e duas soluções . . . . . . . . . . . . . . . 125 Qual é mesmo a de \ufb01 nição de polígono convexo? . . . . . . . . . . . . . . . 129 A solução de T artaglia para a equação do 3 o grau e a emergência dos números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Grandezas incomensuráveis e números irracionais . . . . . . . . . . . . . 153 A outra face da moeda honesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Número de regiões: um problema de contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Intuição e Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Problemas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Problemas II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Problemas III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Solução dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5 RPM \u2212 OBMEP Atividades em sala de aula Aprende-se Matemática \u201cfazendo\u201d Matemática. Apresentamos aqui dois grupos de atividades que permitem a alunos do ensino fundamental \u201cfazer\u201d Matemática. As folhas contendo as atividades foram copiadas de números da revista The Mathematics T eacher * (O professor de Matemática). No início da primeira atividade, alguns exemplos podem ser feitos coletivamente. Ao fim de cada atividade é interessante comparar os resultados obtidos pelos alunos reforçando o fato de que um mesmo problema pode ter várias soluções. O primeiro grupo de atividades trabalha as operações aritméticas com números inteiros. O segundo grupo de atividades trabalha com visualização de figuras no espaço, permitindo aos alunos descobrir padrões e fazer conjecturas. As primeiras partes podem ser aplicadas em salas do ensino fundamental e a parte final no ensino médio, explorando generalizações e suas representações algébricas. Na página 15 deste exemplar está uma solução de cada problema proposto no Primeiro grupo. * Publicação do National Council of T eachers of Mathematics \u2212 NCTM, Reston, V irginia, USA . 6 RPM \u2212 OBMEP Primeiro grupo: atividades I, II e III. I. Instruções \u2022 Em cada linha há 5 números e um sexto número, chamado \u201ctotal\u201d. \u2022 Coloque os sinais +, \u2212 , × , ÷ e parêntesis, colchetes, chaves, de modo que o resultado das contas indicadas seja o \u201ctotal\u201d. \u2022 Os 5 números devem ser usados, cada um deles uma só vez, em qualquer ordem. Exemplo: 7, 8, 1, 9, 9 total: 16. Uma solução: (9 ÷ 9) × (7 + 8 + 1) = 16. 1. 1, 5, 3, 6, 10 total: 5 2. 8, 11, 9, 1, 8 total: 2 3. 11, 10, 15, 20, 3 total: 6 4. 12, 18, 3, 11, 12 total: 8 5. 4, 16, 10, 24, 25 total: 1 6. 17, 14, 7, 17, 13 total: 7 7. 2, 9, 5, 9, 4 total: 22 8. 3, 6, 10, 5, 7 total: 2 9. 8, 6, 11, 5, 21 total: 7 10. 6, 1, 2, 2, 17 total: 8 7 RPM \u2212 OBMEP II. Instruções \u2022 T rabalhe com os números 11, 14, 3, 19 e 9. \u2022 Coloque os sinais +, \u2212 , × , ÷ e parêntesis, colchetes, chaves, para obter todos os números de 1 até 11. \u2022 Os números 1 1, 14, 3, 19 e 9 devem ser usados, cada um deles uma só vez, em qualquer ordem. 1. (1 1 + 14 \u2212 19 + 3) ÷ 9 = 1 2. 3. 4. 5. 6. 1 1 \u2212 [(19 + 9) ÷ 14 + 3] = 6 7. 8. 9. 10. 11 . [9 \u2212 (19 \u2212 14) \u2212 3] × 11 = 1 1 8 RPM \u2212 OBMEP III. Instruções \u2022 T rabalhe com os números 2, 3, 5, 7 e 1 1. (Observe que são os cinco primeiros números primos.) \u2022 Coloque os sinais +, \u2212 , × , ÷ e parêntesis, colchetes, chaves, para obter os números pedidos nos itens de 1 a 10 abaixo. \u2022 Os números 2, 3, 5, 7 e 1 1 devem ser usados, cada um deles uma só vez, em qualquer ordem. 1. Escreva (seguindo as instruções) o menor primo ímpar . 3 = [(2 × 5) + (7 \u2212 3)] \u2212 11 2. Escreva o menor número natural ímpar . 3. Escreva o menor número natural primo. 4. Escreva o menor número natural composto. 5. Qual é o maior número natural composto que você consegue escrever? 6. Qual é o maior número natural ímpar que você consegue escrever? 7. Escreva o menor número natural que você consegue achar , usando uma só vez cada uma das operações. 8. Determine e escreva o maior número natural par possível, usando uma só vez cada uma das operações. 9. Escreva um número natural usando apenas subtrações. 10. Determine e escreva o maior número primo possível obedecendo às instruções. 9 RPM \u2212 OBMEP Segundo grupo \u2212 Descobertas com cubos: atividades I, II, III e IV Descrição Um cubo grande, decomposto em cubos pequenos, é mergulhado numa lata com tinta. Pergunta-se quantas faces dos cubos pequenos ficarão pintadas. Objetivos Estudantes visualizarão figuras no espaço, construirão uma tabela, descobrirão padrões na tabela e, usando esses padrões, farão conjeturas. Diretrizes Distribuir para cada aluno folhas com as atividades ou colocá-las no quadro-negro. Sugere-se dividir a classe em grupos de dois alunos, deixando-os trabalhar juntos. Após completar a atividade I, os estudantes devem registrar seus resultados na tabela (atividade III). Certifique-se de que todos os estudantes têm os valores corretos, pois conjeturas serão feitas a partir dos dados da tabela. Poucos estudantes conseguirão completar a tabela para um cubo 10 × 10 × 10, a menos que algum padrão tenha sido identificado (atividade IV). Pergunte: \u201cExistem constantes em uma coluna? Existem múltiplos?\u201d. Sugerir aos alunos que procurem fatores comuns vai ajudá-los a reconhecer padrões. Por exemplo, 0, 6, 24, 54 e 96 são as 5 primeiras entradas em uma das colunas. Um padrão torna-se mais visível se esses números forem escritos como 0, 6 × 1, 6 × 4, 6 × 9 e 6 × 16. I. Responda às perguntas a seguir para cada um dos cubos das figuras 1, 2, 3 e 4. a) Quantos cubos pequenos há no cubo grande? Se esse cubo maior for jogado numa lata de tinta e totalmente submerso: b) Quantos cubos pequenos terão 3 faces pintadas? c) Quantos cubos pequenos terão 2 faces pintadas? d) Quantos cubos pequenos terão 1 face pintada? e) Quantos cubos pequenos terão 0 face pintada? 10 RPM \u2212 OBMEP f) Qual é a soma de suas respostas em b), c), d) e e)? II. Complete a figura 5, desenhando um cubo 6 × 6 × 6. Responda novamente às perguntas a) , b) , c) , d) , e) , e f) . III. Agora registre as informações na tabela abaixo. Considerando, em cada caso, o lado dos cubos pequenos como unidade. Comprimento do lado do cubo maior número de cubos pequenos com faces pintadas 0 1 2 3 4 número total de cubos pequenos 2 3 4 5 6

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