119 AD2 MF Mat 2007 2 gabarito

Prévia do material em texto

Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
 
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira - Rio de Janeiro / RJ – CEP: 20943-001 
Tel: (021) 2299-4565 Fax: (021) 2568-0725 
http://www.cederj.edu.br e-mail: cederj@cederj.rj.gov.br 
 
AD 2 -MF - MATEMATICA -2007/2 – Gabarito 
 
1) (1,5 pts) Um investidor aplicou 30,952.24 R$ em uma instituição financeira por três 
anos a um taxa de ano ao % 24 . Calcular o montante, sabendo-se que no primeiro ano 
os juros foram capitalizados semestralmente; no segundo ano, trimestralmente; e no 
terceiro ano, bimestralmente. 
Solução: 
A taxa de ano ao % 24, é nominal, pois seu período é diferente do período de 
capitalização que no primeiro ano da aplicação é semestral, no segundo trimestral e no 
terceiro bimestral logo, as taxas efetivas em cada caso, será proporcional à taxa dada. 
Portanto, sabendo-se bimestres 6 s trimestre4 semestres 2 ano 1 === temos então que 
a taxa efetiva em cada caso será dada por: 
bimestre. ao % 4
6
24
 e trimestreao % 6
4
24
 semestre, ao % 12
2
24
=== 
Logo o montante 1M no primeiro ano da aplicação será dado por: 
( ) 16,300.311212,0130,952.241 =⇒+×= MM . 
Esta quantia é então aplicada por mais um ano considerando a taxa de trimestreao % 6 . 
Logo nesse caso, o montante 2M será dado por: 
( ) 73,515.392406,0116,300.312 ≅⇒+×= MM . 
Finalmente esta quantia foi aplicada por mais um ano a uma taxa de bimestre ao % 4 . 
Portanto o montante 3M gerado por essa aplicação será dada por: 
( ) 00,000.503604,0173,515.393 ≅⇒+×= MM . 
Resposta: R$ 50.000,00 
 
 
 
 
 
2 
2 
2) (1,0 pt.) Três títulos cujos valores nominais são 15.000,00 R$ , 18.000,00 R$ e 
21.000,00 R$ , com vencimentos para dois, seis meses e dez meses, respectivamente, 
deverão ser substituídos por dois títulos de igual valor nominal com vencimento para 
quatro e oito meses respectivamente. Determine o valor nominal desses títulos, 
sabendo-se que a taxa de juros da operação é de % 3 ao mês, que foi adotada na 
operação a data “zero” como data de referência e levando-se em consideração o 
critério do desconto: 
 a) comercial simples; 
 b) racional simples. 
Solução: 
divida original 00,000.21 
 18.000,00 
 15.000,00 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( )meses 
proposta de 
pagamento x x 
 
No diagrama acima, as setas para cima representam o conjunto de capitais da dívida 
original e as setas para baixo o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos 
sejam equivalentes. 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas 
diferentes, são equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma 
dos seus valores nessa data for igual. 
Para isso, adotaremos conforme solicitado, a data “zero” como data focal e a taxa de 
juros simples de % 3 ao mês. 
 
a) Sabemos que no desconto comercial simples , a relação entre o valor atual cA e o 
valor nominal N é dada por ( ) ( )ni
cANniNcA
×−
=⇔×−×=
1
1 Portanto, nesse caso 
temos a seguinte equação de equivalência: 
 
 
3 
3 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⇒=⇒=⇒×−×+×−×=
=×−×+×−×+×−×
64,1
00,560.4300,560.4364,1803,01403,01
1003,0100,000.21603,0100,000.18203,0100,000.15
xxxx
 
98,560.26≅x 
 
b) Sabemos que no desconto racional simples , a relação entre o valor atual rA e o valor 
nominal N é dada por ( ) ( )ni
N
rAnirAN
×+
=⇔×+×=
1
1 . 
Portanto, nesse caso temos a seguinte equação de equivalência: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒×++×++×+=×++×+ 1003,01
00,000.21
603,01
00,000.18
203,01
00,000.15
803,01403,01
xx
 
32,810.26
699309,1
02,559.4502,559.45699309,1 ≅⇒=⇒= xxx . 
 
Resposta: 



26.810,32 R$ b)
26.560,98 R$ a)
 
 
 
 
3) ( 1,2 pts.) Uma empresa deve pagar em seis meses, um título cujo valor nominal é 
72.000,00 R$ . Contudo, prevendo problemas de caixa, propõe ao credor substituí-lo 
por dois títulos de mesmo valor nominal com vencimento para três e nove meses 
respectivamente. Determine o valor nominal desses títulos, sabendo-se que foi 
adotada na operação uma taxa de % 24 ao ano, capitalizada trimestralmente, 
considerando o critério do desconto: 
 a) comercial composto; 
 b) racional composto. 
Solução: 
 
dívida original 72.000,00 
 
 0 1 2 3 (trimestres) 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ( )meses 
nova proposta de x x 
pagamento 
 
 
4 
4 
No diagrama acima, a seta para cima representa o conjunto de capitais da dívida 
original e as setas para baixo o conjunto de capitais da nova proposta de pagamento. 
Para que não haja prejuízo para nenhuma das partes é necessário que esses conjuntos 
sejam equivalentes. 
Sabemos que dois ou mais capitais diferidos, isto é, com vencimentos em datas 
diferentes, são equivalentes, em certa data de referência (“data focal”), quando a soma 
dos seus valores nessa data for igual. 
Para isso, adotaremos conforme solicitado, a taxa de % 24 ao ano, capitalizada 
trimestralmente. 
Portanto, esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de 
capitalização que é trimestral logo, considerando a relação entre essas unidades de 
tempo, a taxa efetiva da operação é proporcional a taxa dada, isto é, 
como s trimestre4 ano 1 = , então a taxa efetiva i será dada por 
. trimestreao % 6
4
24
==i 
Sabe-se que no regime de juros compostos, a escolha da data focal não altera a 
equivalência. Pode-se assim escolher a data mais conveniente para os cálculos do 
problema. Nesse caso vamos optar pelo segundo trimestre como data focal. 
 
a) Sabemos que no desconto comercial composto, a relação entre o valor nominal N e 
o valor atual cA é dada através da equação ( ) ( )ni
cANniNcA
−
=⇔−×=
1
1 . 
Nesse caso então, tem-se a seguinte equação de equivalência: 
( ) ( ) ( ) ⇒=⇒−×=−×+− 00,000.72003830,2
0060100,000.721060110601
x,,x
,
x
 
20,931.35
003830,2
00,000.72
≅⇒= xx . 
 
b) Sabemos que no desconto racional composto, a relação entre o valor nominal N e o 
valor atual rA é dada através da equação ( ) ( )ni
N
rA
nirAN
+
=⇔+×=
1
1 . 
Nesse caso então, tem-se a seguinte equação de equivalência: 
( ) ( ) ( ) ⇒=⇒+×=++++× 00,000.72003396,2
0060100,000.7210601
10601 x,
,
x
,x 
 
 
5 
5 
97,938.35
003396,2
00,000.72
≅⇒= xx . 
Resposta: 



35.938,97 R$ b)
35.931,20 R$ a)
 
 
 
 
4) (1,2 pts.) Um automóvel foi comprado com % 30 de entrada e o restante financiado 
em vinte e quatro prestações mensais iguais e sucessivas de 2.096,81 R$ , vencendo a 
primeira trinta dias após a compra. Determine o valor à vista do automóvel, sabendo-
se que a taxa de juros compostos da operação foi de 18 % ao ano, capitalizada 
mensalmente.Solução: 
Como o comprador pagou % 30 de entrado, então foi financiado % 70 do valor do 
carro e este é portanto o valor atual P de uma série uniforme modelo básico em que os 
termos constantes R da série são iguais a 2.096,81 , o prazo n é igual a 24 meses e a 
taxa da operação é de 18 % ao ano capitalizada mensalmente. 
Portanto esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de 
capitalização que é mensal logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, 
a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada, cons, ou seja, como 
meses 12 ano 1 = , tem-se então que a taxa efetiva mensal i será dada por 
mês. ao % 5,1
12
18
==i 
 Sabemos que ( ) ( )niFVP
PRniFVPRP
 ;
 , =⇔×= , nesse caso então temos que 
( )24 %; 5,181,096.2 FVPP ×= . 
Utilizando a relação ( ) ( )
i
ni
niFVP
−+−
=
11
; ou uma tabela financeira, temos que: 
( ) ( ) ( ) 030405,2024 %; 5,1
015,0
24015,01124 %; 5,1 ≅⇒
−+−
= FVPFVP . 
Logo 00,000.42030405,2081,096.2 ≅⇒×= PP . 
Portanto, este valor corresponde a 70 % do valor do carro, logo o preço à vista do 
automóvel será dado por 00,000.60
70,0
00,000.42
= . 
Resposta: R$ 60.000,00 
 
 
6 
6 
5) (1,6 pts.) Uma empresa deve pagar quatro títulos com valores de 10.000,00 R$ , 
15.000,00 R$ , 20.000,00 R$ e 25.000,00 R$ com vencimento para daqui a três, 
seis, nove e doze meses respectivamente. Essa dívida foi contraída a uma taxa de 
juros de ano ao % 6 com capitalização trimestral. Estes pagamentos foram 
substituídos por um plano em doze prestações mensais, iguais e sucessivas, 
vencendo a primeira daqui a trinta dias. Determine o valor de cada prestação, 
sabendo-se que a taxa de juros do refinanciamento foi de ano ao % 24 capitalizada 
mensalmente. 
Solução: 
 P 
 
 25.000,00 
 20.000,00 
 15.000,00 
 10.000,00 
 
 0 1 2 3 4 5 (trimestres) 
 
Considerando o critério do desconto racional, devemos em primeiro lugar determinar o 
capital na data zero que seja equivalente aos capitais dados. 
A taxa desta operação de ano ao % 6 é nominal, pois seu período que é anual é 
diferente do período de capitalização que é trimestral logo, considerando a relação entre 
as unidades dessas taxas, a taxa efetiva trimestral da operação é proporcional a taxa 
dada,ou seja, como s trimestre4 ano 1 = , tem-se então que a taxa efetiva trimestre i será 
dada por . trimestreao % 5,1
4
6
==i 
Indicando por P o valor da dívida na data focal “zero tem-se que: 
( ) ( ) ( ) ( ) 09,093.674015,01
00,000.25
3015,0,1
00,000.20
2015,01
00,000.15
1015,01
00,000.10
≅⇒
+
+
+
+
+
+
+
= PP . 
Devemos agora distribuir esse valor numa série uniforme com doze termos mensais, 
iguais e sucessivos, ocorrendo o primeiro em trinta dias. 
 
 
 
 
7 
7 
09,093.67=P 
 
 R ...................................................... R 
 
 
 
 0 1 2 3 4..................11 12 (meses) 
A taxa desta operação de ano ao % 24 é nominal, pois seu período que é anual é 
diferente do período de capitalização que é mensal logo, considerando a relação entre as 
unidades dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada,ou 
seja, como s trimestre12 ano 1 = , tem-se então que a taxa efetiva mensal i será dada por 
mês ao % 2
12
24
==i . 
 Como ( ) ( )niFVP
PRniFVPRP
 ;
 ; =⇔×= , nesse caso então temos que 
( )12 ; % 2 
09,093.67
FVP
R = . Utilizando uma tabela financeira ou a equação 
( ) ( )
i
ni
niFVP
−+−
=
11
; temos que ( ) ( ) 575341,10
02,0
1202,1112 ;% 2 ≅
−
−
=FVP . 
 Portanto 30,344.6
10,575341
09,093.67
≅=⇒= RR 
Resposta: R$ 6.344,30 
 
 
6) (0,8 pt.) Uma empresa deseja constituir um fundo de provisão, de forma que depois 
de dois anos possua o montante de 552.454,67 R$ . Quanto deve depositar no fim de 
cada mês, numa instituição financeira que paga juros de 14,40 % ao ano, capitalizados 
mensalmente? 
Solução: 
A taxa de ano ao % 14,40 é nominal, pois seu período que é anual é diferente do 
período de capitalização que é mensal logo, considerando a relação entre as unidades 
dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada,ou seja, como 
 
 
8 
8 
meses 12 ano 1 = , tem-se então que a taxa efetiva mensal i será dada por 
mês ao % 2,1
12
40,14
==i . 
 552.454,67=S 
 
 R ......................................................... R 
 
 
 
 0 1 2 3 4................. 23 24 ( meses) 
Os depósitos constituem uma serie uniforme modelo básico com vinte e quatro termos 
mensais e iguais a R cujo o montante S é igual a 552.454,67 . 
Sabemos que ( )niFVFRS ;×= , onde ( ) ( )
i
ni
niFVF 11 ; −+= logo, nesse caso tem-se 
que: ( ) ( )24 %; 1,2 
67,454.55224 %; 1,2 67,454.552
FVF
RFVFR =⇔×= . 
 Utilizando a equação relação ( ) ( )
i
ni
niFVF 11 ; −+= , temos que: 
( ) ( ) ( ) 622734,2724 %; 1,2 
012,0
124012,0124 %; 1,2 ≅⇒−+= FVFFVF 
 Portanto 00,000.20
622734,27
67,454.552
≅⇒= RR . 
Resposta.: R$ 20.000,00 
 
 
7) (1,2 pts.) Um investidor efetua um depósito inicial de 10.000,00 R$ em uma 
instituição financeira que remunera suas contas utilizando a taxa de % 20,40 ao ano, 
capitalizada mensalmente. Após trinta dias, efetua mais quinze depósitos mensais 
iguais e sucessivos de 5.000,00 R$ cada. Determinar quanto esse aplicador terá 
acumulado quando da realização do último depósito. 
Solução: 
A taxa de ano ao % 20,40 é nominal, pois seu período que é anual é diferente do 
período de capitalização que é mensal logo, considerando a relação entre as unidades 
 
 
9 
9 
dessas taxas, a taxa efetiva mensal da operação é proporcional a taxa dada,ou seja, como 
s trimestre12 ano 1 = , tem-se então que a taxa efetiva mensal i será dada por 
mês ao % 7,1
12
% 20,40
==i . 
O depósito inicial de 10.000,00 R$ renderá ao fim de quinze meses considerando a 
taxa mensal de % 7,1 ao mês um montante M dado por 
( ) 00,877.1215017,0100,000.10 ≅⇒+×= MM . 
Por outro lado, os depósitos constituem uma serie uniforme modelo básico com quinze 
termos mensais e iguais a 00,000.5 e queremos determinar o montante S dessa série. 
 S 
 
 00,000.5 ....................................................... 00,000.5 
 
 
 
 0 1 2 3 4................. 14 15 ( meses) 
Sabemos que ( )niFVFRS ;×= , onde ( ) ( )
i
ni
niFVF 11 ; −+= logo, nesse caso tem-se 
que: ( )15 %; 1,7 00,000.5 FVFS ×= . 
 Utilizando a equação relação ( ) ( )
i
ni
niFVF 11 ; −+= , temos que: 
( ) ( ) ( ) 923459,1615 %; 1,7 
017,0
115017,0115 %; 1,7 ≅⇒−+= FVFFVF 
 Portanto 30,617.84923459,1600,000.5 ≅⇒×= SS . 
Logo ao final da operação,o investidor terá um montante dado por: 
30,494.9730,617.8400,877.12 =+ . 
Resposta.: R$ 94.494,30 
 
 
 
 
 
 
 
10 
10 
8) (1,5 pts.) Uma pessoa planeja formar um pecúlio mediante 50 depósitos mensais 
iguais, em um banco que paga 2,5 % ao mês, para que possa futuramente efetuar 20 
saques trimestrais de 1.940,07 R$ , ocorrendo o primeiro saque 3 meses após o 
último depósito. De quanto devem ser os depósitos mensais? 
Solução: 
Pode-se representar este problema através do diagrama abaixo. Nele, as setas para cima 
representam a renda uniforme referentes aos depósitos e as setas para baixo a renda 
uniforme referente aos saques. 
 
 PS = 
 
 
 R ........................................ R 
 53 56 59 62 65 110 
0 1 2 3 4 5.............50 .............. (meses) 
 1.940,07 .....................................................1.940,07 
 
Em relação aos saques, temos uma série uniforme trimestral onde 07,1940=R , 20=n 
trimestres. A taxa é a mesma que remunera os depósitos, ou seja, 2,5 % ao mês, porém a 
série que representa os saques tem o período trimestral e portanto a taxa i desta 
operação é equivalente a taxa dada, isto é, como meses, 3 trimestre1 = então temos que 
( ) ( )3025,0111 +=+ i ⇒ 07689,0=i ao trimestre ou % 689,7=i ao trimestre. 
O valor atual P desta série será dado por ( )20 %; 7,689 07,1940 FVPP ×= . 
Utilizando a equação ( ) ( )
i
ni
niFVP
−+−
=
11
 ; temos que: 
( ) ( ) ( ) 049553,1020 %; 7,689 
07689,0
2007689,01120 %; 7,689 ≅⇒
−+−
= FVPFVP . 
 Portanto 84,496.19049553,1007,940.1 ≅⇒×= PP . 
 Por outro lado, considerando os depósitos temos uma série uniforme mensal onde 
50=n e % 5,2=i ao mês. Nesta série, o montante S após o 50º depósito será 
distribuído em 20 saques trimestrais, logo o valor atual P da serie referente aos saques 
é igual ao montante S da série referente aos depósitos, isto é, 84,496.19=S . 
 
 
11 
11 
Como ( )n ;. iFVFRS ×= temos que ( )⇒×= 50 ;% 5,284,496.9 FVFR 
( )50 ;% 5,2
84,496.19
FVF
R = , onde R é o valor dos depósitos efetuados. 
 Utilizando uma tabela financeira ou a equação ( ) ( )
i
ni
niFVF 11 ; −+= , temos que: 
( ) ( ) ( ) 484349,9750 ;% 5,2
025,0
150025,0150 ;% 5,2 ≅⇒−+= FVFFVF . 
Portanto, temos que 00,200
484349,97
84,496.19
≅⇒= RR 
Resposta: R$ 200,00