Teoria Sequências, Estruturas Lógicas, Leis de Morgan e Silogismo

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LÓGICA 
Teoria 
Prof. Eurilano Albuquerque 
 
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SEQUÊNCIAS 
O termo sequência deriva do latim ”sequentia”, que 
se pode traduzir como “continuação”. Uma 
sequência, por conseguinte, é um seguimento de 
fatos ou de elementos que mantêm uma relação 
entre si. 
Números Pares 
Um número inteiro qualquer é dito par se, ao ser 
dividido pelo número dois, resulta em um número 
inteiro. 
• 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... 
Números Ímpares 
Um número inteiro qualquer é dito ímpar se, ao ser 
dividido pelo número dois, resulta em um número 
não inteiro. 
• 1, 3, 5, 7, ... 
Progressão Aritmética (P.A.) 
É uma sequência onde a diferença de dois termos 
consecutivos é constante 
• 2, 4, 6, 8, 10, ... 
Progressão Geométrica (P.G.) 
É uma sequência onde o quociente de dois termos 
consecutivos é constante. 
• 2, 4, 8, 16, ... 
Sequências Alfabéticas 
São sequências cujos termos são letras de um 
alfabeto. No caso do alfabeto latino, temos o 
alfabeto oficial com 26 letras a, b, c, d,..., x, z. 
Para alguns exercícios que envolvem sequências 
alfabéticas, relaciona-se uma letra com a posição 
que ela ocupa, facilitando o entendimento da lei de 
formação usada. 
 
 
 
 
 
A 1 N 14 
B 2 O 15 
C 3 P 16 
D 4 Q 17 
E 5 R 18 
F 6 S 19 
G 7 T 20 
H 8 U 21 
I 9 V 22 
J 10 W 23 
K 11 X 24 
L 12 Y 25 
M 13 Z 26 
 
Fibonacci 
Uma sequência onde cada termo é obtido pela soma 
de seus dois antecessores. 
• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... 
Sequências Numéricas 
As sequências poderão apresentar uma lei de 
formação associada a uma classificação, como 
número par, ímpar ou número primo. Para 
determinação da lógica de formação de uma 
sequência numérica, observações do tipo, os 
elementos estão em ordem crescente ou 
decrescente devem ser observadas e se tornam 
importantes. 
Números Primos 
São os números que são divisíveis apenas por ele 
mesmo e a unidade. 
• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,... 
Sequências Com Figuras 
Em sequências onde aparecem figuras é importante 
notar se houver uma rotação no sentido horário ou 
anti-horário, se houver mudanças nos elementos 
associados à figura, como letras ou números. 
 
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ESTRUTURAÇÃO LÓGICA 
Proposição é toda sentença declarativa que 
representa um pensamento completo. 
Exemplos de proposições: 
• Porto Velho é a capital de RO. 
• 7<15 
• O sol é uma estrela que pertence a Via – 
Láctea 
• A capital do Amapá é Rio Branco. 
 
Não são exemplos de proposições: 
• 4  Z? 
• 18 – 4 
• João é mecânico? 
• Abra o portão. 
 
AXIOMAS 
A lógica matemática se fundamenta em dois 
princípios: 
Princípio da não contradição: 
• Uma proposição não poderá ao mesmo 
tempo ser falsa e verdadeira. 
Princípio do terceiro excluído: 
• Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, 
não existe um terceiro caso. 
O valor lógico de uma proposição poderá ser 
verdade ou falsidade, representados 
respectivamente por Vou por F. 
PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS 
Proposição simples ou atômica 
É aquela que não tem nenhuma outra proposição 
como parte integrante. São representadas pelas 
letras latinas minúsculas. 
• p: Pedro é advogado. 
• q: 7 é um número primo. 
 
Proposição composta ou molecular 
É aquela formada pela combinação de duas ou mais 
proposições ligadas por um conectivo. São 
representadas pelas letras latinas maiúsculas. 
• P: João era um apóstolo de Jesus Cristo e 
Marcos é balconista. 
• Q: 9 é um quadrado perfeito ou um número 
ímpar. 
 
CONECTIVOS 
São palavras ou símbolos usados para ligar 
proposições, criando assim novas proposições. 
 
CONECTIVOS SÍMBOLO 
não ~ 
e  
ou  
ou...ou  
se...então  
...se e somente se...  
 
TABELAS VERDADE 
Proposição simples 
P 
V 
F 
 
Proposição composta 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Observe que os valores lógicos V e F se alternam de 
dois em dois para a primeira proposição e de um 
em um para a segunda. 
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p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
Analogamente, observe que os valores lógicos V e F 
se alternam de quatro em quatro para a primeira 
proposição, de dois em dois para a segunda 
preposição e de um em um para a terceira 
preposição. 
 
Operações lógicas sobre proposições e tabelas-
verdade 
a) Negação (~) 
Valor lógico: 
V(~p) = ~V(p) 
Propriedade 
~(~)p = p 
Tabela Verdade: 
p ~p 
V F 
F V 
 
b) Conjunção () “e” 
Valor lógico: 
V(p  q) = V(p)  V(q) 
Tabela Verdade: 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Para a conjunção, observamos que o valor lógico é 
verdade (V) somente quando as proposições “p e q” 
são verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos. 
 
c) Disjunção ( ) “ou” 
Valor lógico: 
V(p  q) = V(p)  V(q) 
Tabela Verdade: 
p q p  q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Para a disjunção, observamos que o valor lógico é 
falsidade (F) somente quando as proposições “p e 
q” são falsas e verdade (V) nos demais casos. 
 
d) Disjunção Exclusiva (V) “ou...ou” 
Valor lógico: 
V(p v q)= V(p) v V(q) 
Tabela Verdade: 
p q p  q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Para a disjunção exclusiva, observamos que o valor 
lógico é falsidade (F) somente quando as 
proposições “p e q” são ambas falsas ou ambas 
verdadeiras (V), sendo verdade (V) nos demais 
casos. 
 
 
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e) Condicional () “se ... então” 
Valor lógico: 
V(p  q) = V(p)  V(q) 
Tabela Verdade: 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Na condicional, “p” é chamada de condição 
suficiente e “q” é a condição necessária. 
Para a condicional, observamos que o valor lógico é 
falso (F) somente quando a primeira proposição é 
verdade (V) e a segunda falsidade (F). 
 
f) Bicondicional ( ) “... se e somente se ...” 
Valor lógico: 
V(p  q) = V(p)  V(q) 
Tabela Verdade: 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Para a Bicondicional, podemos considerá-la uma 
condicional da esquerda para a direita e também da 
direita para a esquerda, ou ainda seguir a regra de 
que só é Verdade se os dois valores são iguais. 
 
IMPORTANTE 
O número de linhas da tabela verdade é dado por 
2n, onde n é o número de proposições. 
 
TAUTOLOGIAS 
Sentenças moleculares que são sempre verdadeiras, 
independentemente do valor lógico das 
proposições são chamadas tautológicas. 
Ex: p  ~p 
p ~p p  ~ p 
V F V 
F V V 
 
CONTRADIÇÕES 
Sentenças moleculares que são sempre falsas, 
independentemente do valor lógico das 
proposições são chamadas contradições. 
Ex: p  ~p 
p ~p p  ~ p 
V F F 
F V F 
 
Se uma sentença não é tautologia ou contradição 
então ela é uma contingência. 
 
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LEIS DE MORGAN 
Conjunto de operações para simplificar expressões 
lógicas. Foram criadas pelo matemático Augustus 
De Morgan no século 19. 
Quando trabalhamos com expressões lógicas muito 
grandes, pode ser necessário substituir uma 
expressão por uma logicamente equivalente (isto é, 
cujos elementos possam ser reordenados de tal 
forma que possam produzir o mesmo resultado 
lógico- VERDADEIRO ou FALSO). As Leis de Morgan 
permitem fazer esta substituição de forma simples. 
As Leis de Morgan pertencem à Matemática, 
Filosofia e Ciência da Computação,mas são 
utilizadas em concursos e provas em dois tipos de 
questão: determinar se uma determinada sentença 
lógica (frase ou figura) é igual a outra ou para 
reduzir uma determinada sentença lógica em uma 
forma mais simples. 
Primeira lei de Morgan 
De maneira formal: "a negação de uma conjunção 
entre duas proposições é igual a disjunção da 
negação de cada proposição" 
De maneira informal: "negar duas frases ligadas 
com e é igual a negar duas frases e ligá-las com 
ou" 
Ou logicamente: 
"não (A e B) é igual a (não A) ou (não B)". 
~(A  B)  ~A  ~B 
 
Segunda lei de Morgan 
De maneira formal: "a negação de uma disjunção 
entre duas proposições é a conjunção da 
negação de cada proposição" 
Ou, de maneira informal: negar duas frases 
ligadas por ou é igual a negar duas frases e ligá-
las por e 
Ou, de forma lógica: 
"não (A ou B) é o mesmo que (não A) e (não B)". 
~(A  B)  ~A  ~B 
 
Negação da condicional 
A estrutura lógica é dada por: 
A → B 
No qual B só é verdadeiro se A também o for. 
A negação da condicional é dada pelo uso do “e” e se 
nega apenas a segunda parte da estrutura. 
~(A → B)  A  ~B 
 
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LÓ GICA DE 
ARGUMENTAÇA Ó 
Dadas às proposições P1, P2, ..., Pn (n >1) e Q, 
simples ou compostas , chama-se argumentação 
toda afirmação de que certa sequência finita de 
proposições tem como consequência uma 
proposição final. 
As proposições iniciais P1, P2,..., Pn são as 
premissas do argumento e a proposição final Q é a 
conclusão do argumento. 
Podemos indicar um argumento de premissas P1, 
P2, ... Pn e de conclusão q da seguinte forma: 
 
P1, P2, ... Pn|----Q 
 
Poderá ser lido das seguintes formas: 
1) “Q decorre de P1, P2, ... Pn“ 
2) “Q se deduz de P1, P2, ... Pn“ 
3) “Q se infere de P1, P2, ... Pn“ 
4) “P1, P2, ... Pn acarretam Q” 
 
O símbolo |----é chamado de traço de asserção. 
Indica que a proposição Q só poderá ser deduzida a 
partir das premissas que se encontram a esquerda 
do traço. 
Podemos indicar um argumento de premissas P1, 
P2, ... , P e de conclusão Q, também da seguinte 
forma: 
 
Chamada forma padronizada. 
 
SILOGISMO 
A um argumento que consiste de duas premissas e 
uma conclusão chama-se silogismo. Podemos usar 
os termos hipótese, no lugar de premissa, e tese, no 
lugar de conclusão. 
Vejamos o seguinte argumento: 
João é médico ou professor, João não é médico logo 
João é professor. 
• P: João é médico. 
• Q: João é professor. 
• ~P: João não é médico. 
 
• João é médico ou professor, João não é 
médico 
• |---João é professor. 
• P .Q , ~P |---Q 
 
• João é médico ou professor. 
• João não é médico. 
• Logo João é professor. 
 
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VALIDADE DE UM ARGUMENTO 
Um argumento P1, P2, ... , Pn|---C diz-se válido, se, e 
somente se, a conclusão C é verdadeira todas as 
vezes que premissas P1, P2, ... , Pn são verdadeiras. 
Um argumento não válido recebe o nome de 
sofisma. 
A validade de um argumento pode se dar de duas 
formas: 
a) Validade mediante tabelas verdade 
Um argumento P1, P2, ... , Pn     C é válido, se , e 
somente se a condicional. 
(P1  P2  ... Pn )  C é tautologia. 
Ou seja, o argumento será verdade quando, na 
mesma linha das premissas e da conclusão, 
encontramos valores V. Caso contrário o argumento 
é um sofisma. 
Ex: Verificar se é válido o argumento: 
Se 13 é primo, então 13 não divide 91 
13 divide 91 
Logo, 13 não é primo 
Seja 
p: 13 é primo 
q: 13 não divide 91 
p q ~q pq ~p 
V V F V F 
V F V F F 
F V F V V 
F F V V V 
 P P C 
 
Como na 4ª linha as premissas são verdadeiras com 
a conclusão verdadeira, logo o argumento é válido. 
 
Ex: Verificar se é válido o argumento: 
Se é domingo, Maria vai à missa 
Não é domingo 
Logo, Maria não vai à missa 
Seja 
p: Hoje é domingo 
q: Maria vai à missa 
 
p q ~q pq ~p 
V V F V F 
V F V F F 
F V F V V 
F F V V V 
 C P P 
 
Como na 4ª linha as premissas são verdadeiras com 
a conclusão verdadeira, poderíamos erradamente 
pensar ser válido, mas na 3ª linha as premissas são 
verdadeiras e a conclusão falsa. Logo o argumento é 
falso, um sofisma. 
 
b) Validade mediante regras de 
inferência 
Implicações Notáveis 
Temos seis implicações notáveis, que formam 
argumentos válidos fundamentais. Esses 
argumentos formas as regras de inferência que são 
usadas para fazer deduções ou demonstrações. 
 
1) Regra da Modus Ponens (MP) 
(p  q)  p  q 
 
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2) Regra da Modus Tollens (MT) 
(p q) ~ p ~q 
 
3) Regra do Silogismo Disjuntivo (SD) 
(p  q) ~ p  q e (p  q)  ~ p  p 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Regra do Silogismo Hipotético (SH) 
(p  q)  (q  r)  (p r) 
 
 
5) Regra do Dilema Construtivo (DC) 
(p  q)  (q  r)  (p  r)  ( q  r ) 
 
6) Regra do Dilema Destrutivo (DD) 
(p  q)  (r  s)  (~q  ~s)  (~p  ~r ) 
 
 
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SILÓGISMÓ 
CATEGÓ RICÓ 
Silogismo é um argumento que consiste em duas 
premissas e uma conclusão. 
Silogismo categórico é um silogismo constituído 
por proposições categóricas. Usando os diagramas 
da teoria dos conjuntos que representam relações 
de inclusão entre conjuntos, poderemos verificar a 
validade de um silogismo ou concluir algo sobre 
proposições, que são combinações de outras 
proposições. 
As proposições categóricas podem apresentar-se de 
4 formas distintas: 
 
• Todo S é P (proposição universal 
afirmativa) 
 
 
 
 
 
 
 
• Nenhum S é P (proposição universal 
negativa) 
 
 
 
 
 
 
 
• Algum S é P (proposição particular 
afirmativa) 
 
 
 
 
 
 
• Algum S não é P (proposição particular 
negativa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
S 
 S P 
 
P S 
 
P S