Apostila de Lógica de Predicados

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LÓGICA DOS PREDICADOS 
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Lógica de Predicados 
 
 
 
 
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Lógica de Predicados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autores 
 
 
Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa1 
Magda Leyser2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Bacharel em Matemática Aplicada a Informática e Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela 
Universidade Luterana do Brasil. Professor dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e 
Licenciatura em Matemática da ULBRA. 
 
2 Mestre em Ciência da Computação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Desde 1993 é 
professora dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e Licenciatura em Matemática da ULBRA. 
Atualmente também atua como professora do curso de Licenciatura em Matemática em EAD da ULBRA 
e como professora dos cursos de Análise e Desenvolvimento de Sistemas e Gestão Financeira da Faculdade 
de Tecnologia Senac-RS. 
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Lógica de Predicados 
 
 
Introdução 
 
A Disciplina de Lógica de Predicados tem por objetivo familiarizar o aluno com 
lógica formal, de maneira a desenvolver a capacidade de argumentação 
inerente ao raciocínio lógico que permite a inferência, ou conclusão, de algo 
baseado nas afirmações e/ou fatos disponíveis. 
Destacamos que a lógica proposicional é composta de um sistema de provas e 
demonstrações, que denominamos como argumentação, que apresenta de 
maneira irrefutável a veracidade, ou não, do fato, ou do predicado do sujeito 
analisado. É importante a consideração de duas importantes características, a 
atemporalidade, isto é o que decidirmos não sofrerá alteração na 
interpretação, e a bivalência, ou seja, só temos duas alternativas de 
interpretação: verdadeiro ou falso. 
Desejamos a todos um ótimo estudo durante o desenvolvimento do conteúdo 
proposto ao longo dos capítulos desse livro. 
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Lógica de Predicados 
 
 
Sumário 
 
 
 
 
Lógica Proposicional ..................................................................... 6 
Interpretação dos Conectivos ........................................................ 19 
Equivalências Lógicas ................................................................. 37 
Implicações Lógicas .................................................................... 54 
Sistema de Dedução ................................................................... 76 
Conceitos fundamentais de Conjunto ............................................... 90 
Quantificadores: Existencial e Universal ......................................... 106 
Lógica de Predicados ................................................................. 123 
Silogismo Categórico ................................................................. 138 
Tablês Semânticos .................................................................... 155 
 
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Lógica de Predicados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lógica Proposicional 
 
 
 
 
 
 
 
 
Magda Leyser3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Mestre em Ciência da Computação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Desde 1993 é 
professora dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e Licenciatura em Matemática da ULBRA. 
Atualmente também atua como professora do curso de Licenciatura em Matemática em EAD da ULBRA 
e como professora dos cursos de Análise e Desenvolvimento de Sistemas e Gestão Financeira da Faculdade 
de Tecnologia Senac-RS. 
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Lógica de Predicados 
 
 Declarativa: Mário é engenheiro. 
 Interrogativa: Será que Márcia irá ao cinema? 
 Exclamativa: Feliz Natal! 
 Imperativas: Feche a porta. 
 
Introdução 
 
O capítulo que inicia essa disciplina tem por objetivo uma primeira aproximação 
do que é lógica. A lógica é entendida como a ciência que estuda os princípios e 
os métodos que estabelecem as condição de validade ou não validade dos 
argumentos. Em nossa vida empregamos argumentos como parte de um 
discurso falado ou escrito, onde organizamos uma ou mais sentenças 
denominadas premissas e uma sentença que denominamos conclusão. 
Neste capítulo estabeleceremos quais as sentenças podem ser usadas na lógica 
proposicional, a qual é a lógica introdutória para apresentação dos conectivos 
lógicos e suas variações em português. 
Aproveitamos para apresentar como exemplo dessa organização o início da 
teoria de Conjuntos, definição de conjuntos e a relações de pertinência entre 
elemento e conjunto. 
 
Lógica Proposicional 
 
Iniciamos nosso estudo esclarecendo que uma proposição é qualquer sentença 
declarativa que assume valor-verdade: verdadeiro ou falso. Entretanto, é 
importante recordar que sentenças (afirmações, frases) podem ser formadas 
por outros tipos de sentenças. Entretanto, nas linguagens naturais (ou 
correntes) como português nos expressamos com interrogações e exclamações, 
mas para comunicar fatos ou afirmações usamos sentenças 
declarativas(proposições). Portanto existem outros tipos de sentenças, no caso: 
 
 
Observe que das quatro sentenças acima somente a sentença declarativa temos 
possibilidade de avaliar como verdadeira ou falsa. Do ponto de vista da lógica 
não temos a preocupação de saber qual dessas situações estamos avaliando no 
momento. Mas com certeza, uma dessas alternativas deve ocorrer. As demais 
sentenças são necessárias mais informações para podemos saber o que ocorreu, 
no caso da sentença interrogativa, precisamos da resposta. Na sentença 
imperativa, há necessidade de sabermos que a ordem foi executada. Portanto, 
essas situações estarão fora do escopo de estudo da lógica proposicional. 
Podemos apresentar outros exemplos, agora esclarecido qual o tipo de sentença 
que estudaremos na lógica proposicional. 
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Lógica de Predicados 
 
 O sol é um planeta. 
 Maria é gaúcha. 
 O valor numérico de seno de 90º é igual a 1. 
 Porto Alegre é capital de Santa Catarina. 
 Existe uma cidade que é capital de Pernambuco. 
 Qualquer pessoa é gaúcha. 
 Mario, venha aqui, agora! (sentença imperativa) 
 Meu Deus, que susto! (sentença exclamativa) 
 Quantos planetas existem no sistema solar? (sentença interrogativa) 
 Qual é a capital do Maranhão? (sentença interrogativa) 
 O sol é um planeta. 
 Maria é gaúcha. 
 O valor numérico de seno de 90º é igual a 1. 
 Porto Alegre é capital de Santa Catarina. 
 Existe uma cidade que é capital de Pernambuco. 
 Qualquer pessoa é gaúcha. 
 
Exemplos de sentenças declarativas: 
 
 
Exemplos de sentenças não-declarativas: 
 
 
Observe que as sentenças que não são proposições não podemos estabelecer 
um valor-verdade para elas. Já os exemplos de sentenças que são proposições, 
mesmo tratanto de assuntos variados, tem um valor-verdade, que as vezes 
podemos não conhecer, mas ele existe. 
Também é importante destacar que as sentenças podem ter sujeito 
determinado (fechado) ou indenterminado (aberto). Nos exemplos de sentencas 
declarativas que estão acima, temos setenças declarativas de sujeito 
determinado os exemplos: 
 
 
Nos exemplos de sentencas declarativas que estão acima, temos setenças 
declarativas de sujeito indeterminado os exemplos: 
 
 
Observe que para essas proposições usamos as palavras existe e qualquer, as 
quais estudaremos no capítulo 5, essas palavras são chamadas de 
quantificadores. 
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Lógica de Predicados 
 
 A = Maria é gaúcha. 
 B= Maria é fluente em inglês. 
 C= Paulo é catarinense. 
 D= Paulo gosta de churrasco. 
 
Símbolos Proposicionais 
 
Na lógica proposicional temos por objetivo estudar as relações lógicas 
indiferente do assunto a ser tratado. Assim, para relacionarmos as proposições 
não nos preocupando com o conteúdo das proposições e seu significado, 
definiremos que cada proposição será representada por uma letra, 
normalmente letra maiúscula do alfabeto latino. 
Exemplo: Considerando os símbolos proposicionais: A, B, C,..., Z. Associamos a 
seguinte interpretação, ou seja, as seguintes sentenças declarativas fechadas 
(sujeito determinado): 
 
 
Sentença Simples e sentença composta 
 
É importante destacar nesta etapado nosso estudo que outra classificação 
importante para as sentenças além da questão de classificá-las em afirmativas, 
interrogativas, exclamativas e imperativas. É descrever se estamos usando na 
argumentação uma sentença simples ou composta. 
Dizemos que uma sentença é simples se, e somente neste caso, a sentença tem 
uma única afirmação. Por exemplo: Maria é gaúcha. 
Entretanto, chamaremos de sentença composta, quando a sentença é 
constituída de pelo menos duas sentenças declarativas. Por exemplo: Maria é 
gaúcha e Paulo é catarinense. 
Exemplo: Indique nas sentenças abaixo com A as sentenças declarativas abertas 
e F as sentenças declarativas fechadas. Depois, reveja os exemplos e associe S 
para as sentenças simples e C para as sentenças compostas. 
Alguém é filho de Pedro. (AS) 
Pedro é canoense. (FS) 
João e Paulo não são gaúchos. (FC) 
 
Pedro não está de férias, mas não viajou. (FC) 
Existe uma pessoa feliz. (AS) 
Qualquer gaúcho é gremista. (AS) 
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Lógica de Predicados 
 
 
Mario é gaúcho e gremista. (FC) 
Algum gaúcho é gremista. (AS) 
Se Maria é gaúcha então todos são gaúchos. (AC) 
Nem todos são colorados. (AS) 
Qualquer número inteiro é positivo. (AS) 
Dois é número natural e primo. (FC) 
Todas as pessoas são gaúchas e gremistas. (AC) 
 
Paulo não é gremista, entretanto João é gremista. (FC) 
 
Conectivos Proposicionais 
 
Nos exemplos de sentenças compostas, você pode observar que aparecem 
palavras e símbolos de pontuação que ligam uma sentença simples com outra 
sentença simples de maneira a organizar o que chamamos de sentido da 
sentença composta criada. As palavras que servem de ligação entre as 
sentenças são chamadas de conectivos lógicos. 
No estudo da lógica proposicional, nos limitaremos aos conectivos 
proposicionais ou sentenciais da negação, conjunção, disjunção, condicional e 
bicondicional. É importante comentar que em língua portuguesa não temos uma 
única expressão para representar esses conectivos, assim relacionaremos 
abaixo algumas alternativas para cada um deles. 
Negação, esse conetivo não relaciona duas sentenças, mas nega uma afirmação 
que a precede, dessa forma esse conetivo é denominado de conetivo unário. 
São exemplos: 
Maria não é gaúcha. 
 
Não se dá que Maria é gaúcha. 
 
Não se tem que Maria é gaúcha. 
 
Não é fato que Maria gosta de churrasco. 
 
Conjunção, esse conetivo relaciona duas sentenças, a expressão mais comum 
em língua portuguesa é e, por relacionar duas sentenças esse conetivo é 
denominado de conetivo binário. São exemplos de conjunção: 
Maria é gaúcha e Paulo é catarinense. 
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Lógica de Predicados 
 
 
Maria é gaúcha assim como Paulo é gaúcho. 
 
Porto Alegre é capital do RS mas é uma cidade muito fria. 
 
O Brasil sediará o campeonato mundial de futebol de 2014 embora seja um país 
de grande extensão territorial. 
Não só Porto Alegre é capital do RS, mas, ainda é capital do MERCOSUL. 
Maria é gaúcha e também é brasileira. 
Paulo tem cidadania italiana embora tenha nascido no Brasil. 
 
Disjunção, esse conetivo relaciona duas sentenças, relacionadas pela palavra 
ou, também por relacionar duas sentenças esse conetivo é denominado de 
conetivo binário. São exemplos: 
Maria é gaúcha ou Paulo é catarinense. 
Maria ou Paulo é gaúcho. 
Porto Alegre é capital do RS ou de SC. 
 
 
É importante, destacar neste momento, que na linguagem do cotidiano, usamos 
o ou em dois sentidos: inclusivo ou exclusivo. 
Considere o exemplo Porto Alegre é capital do RS ou SC. No senso comum que 
entendemos por Capital de um estado não se imagina que Porto Alegre seja ao 
mesmo tempo capital do Rio Grande do Sul e de Santa Catarina, trata-se de um 
uso do ou exclusivo. Mas quando dizemos que Paulo gosta de churrasco ou de 
pastel, temos a possibilidade de um ou inclusivo. Ou seja, ele gostar das duas 
opções de comida. Na lógica proposicional, estudaremos somente o ou 
inclusivo. 
Condicional, esse conetivo relaciona duas sentenças, pela seguinte expressão: 
se proposição 1 então proposição 2. Também por relacionar duas sentenças 
esse conetivo é denominado de conetivo binário. São exemplos: 
Se Maria é gaúcha então ela gosta de chimarrão. 
Dois ser par implica quatro ser par. 
Dois é par só se quatro é par. 
 
Dois é par apenas se quatro é par. 
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Lógica de Predicados 
 
 
Se Fernando é físico isso significa que ele gosta de matemática. 
Tendo-se Brasil campeão da competição então Paulo dará uma festa. 
Brasil campeão da competição apenas se Paulo dará uma festa. 
Brasil ser campeão da competição implica Paulo dar uma festa. 
Brasil ser campeão da competição acarreta Paulo dar uma festa. 
Paulo dar uma festa é consequencia de Brasil ser campeão da competição. 
 
Uma condição necessária para Brasil ser campeão da competição é Paulo dar 
uma festa. 
Uma condição suficiente para Paulo dar uma festa é o Brasil ser campeão da 
competição. 
Brasil ser campeão da competição é antecedente e Paulo dar uma festa é 
consequente. 
Bicondicional, esse conetivo relaciona duas sentenças, pela seguinte 
expressão: proposição 1 se, e somente se, proposição 2. Também por 
relacionar duas sentenças esse conetivo é denominado de conetivo binário. A 
proposição composta do bicondicional é uma abreviatura para a composição 
pela conjunção de dois condicionais, que poderemos escrever como: (Se 
proposição 1 então proposição 2) e (Se proposição 2 então proposição 1). São 
exemplos: 
Maria ganhará dinheiro se e somente se ela completar seu trabalho. 
 
O Brasil será um país menos violento se e somente se a educação tornar-se 
prioridade governamental. 
Alfabeto Proposicional 
 
A partir das ideias expostas anteriormente estamos em condições de 
estabelecer um processo de formalização onde converteremos os parágrafos 
que construímos na nossa argumentação em uma estrutura composta de 
símbolos proposicionais, conectivos lógicos e símbolos de pontuação. Esse grupo 
de símbolos forma o que chamamos de alfabeto proposicional. 
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Lógica de Predicados 
 
Símbolos lógicos: 
pontuação (separação): (,) 
conectivos:  (negação) 
 (conjunção) 
 
 (disjunção) 
 
 ( condicional) 
 
 (bicondicional) 
 
Símbolos não-lógicos: conjunto (P) de símbolos proposicionais que servem 
para representar as sentenças declarativas fechadas (proposições, construção 
em linguagem corrente do tipo sujeito determinado + verbo + complemento). 
São os nomes dados às sentenças declarativas simples. 
 
Um alfabeto proposicional (A) é composto por: 
 
 
Para evitar ambiguidade na descrição da formalização de uma sentença 
composta pelos símbolos relatados acima, é importante estabelecer uma 
pontuação adequada, tal como realizamos na aritmética para as operações 
aritméticas. Ou seja, temos as seguintes interpretações do uso dos símbolos: 
Cada parênteses aberto deve ser fechado, os parênteses internos precedem os 
parênteses mais externos. 
A ordem de prioridade dos conectivos é: 
1º negação 
2º conjunção e disjunção 
 
3º condicional e bicondicional. 
 
Exemplo: Formalize pela Lógica Proposicional, através do alfabeto A um 
alfabeto proposicional, e P um conjunto de símbolos proposicionais de A. Onde: 
A= Patricia está na praia. 
B= Patricia é alta. 
C= Patricia gosta de surfar. 
D= Pedro gosta de surfar. 
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Lógica de Predicados 
 
 
E= Pedro é magro. 
 
P= Pedro é alto. 
 
Patrícia está na praia e gosta de surfar. Formalização dessa sentença 
declarativa fechada composta é: (AC). 
Pedro é alto e magro. Formalização dessa sentença declarativa fechada 
composta é: (PE). 
Pedro é magro ou alto. Formalização é (E  P). 
Pedro não gosta de surfar. Formalização é (D). 
Se Patrícia gosta de surfar então ela está na praia. Formalização é (CA). 
 
Patrícia gosta de surfar, embora Pedro não goste de surfar. Formalização é 
(CD). 
Pedro não é magro, mas é alto. Formalização é (EP). 
 
Patrícia está na praia se e somente se gosta de surfar. Formalização é (AC). 
 
Exemplo: Traduza para linguagemsimbólica as proposições, usando letras 
maiúsculas para representar as sentenças declarativas simples. 
Dois ou quatro é número par. 
P= Dois é número par. 
Q= Quatro é número par 
Formalização: (PQ) 
Sete e quatro são números pares. 
P= Sete é número par. 
Q= Quatro é número par. 
Formalização: (PQ) 
Dois é número par, mas sete não é um número par. 
 
P= Dois é número par. 
Q= Sete é número par. 
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Lógica de Predicados 
 
 
Formalização: (PQ) 
 
Dois ou cinco é número par. 
P= Dois é número par. 
Q= Cinco é número par. 
Formalização: (PQ) 
Cinco não é número par, entretanto quatro é um número par. 
P= Cinco é número par. 
Q= Quatro é número par. 
Formalização: (PQ) 
Se oito dividido por dois tem resto igual a zero então oito é um número par. 
P= Oito divido por dois tem resto igual a zero. 
Q= Oito é número par. 
Formalização: (PQ) 
Se nove não é número par então nove é número ímpar. 
 
P= Nove é número par. 
Q= Nove é número ímpar. 
Formalização: (PQ) 
Oito é um número par se e somente se oito dividido por dois tem resto igual a 
zero. 
P= Oito é número par. 
 
Q= Oito divido por dois tem resto igual a zero. 
Formalização: (PQ) 
Cinco é número primo, portanto os divisores de cinco são um e cinco. 
 
P= Cinco é número primo. 
Q= Um é divisor de cinco. 
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Lógica de Predicados 
 
 
R= Cinco é divisor de cinco. 
Formalização: (P(QR)) 
Como nove dividido por dois não tem resto igual a zero então: nove é ímpar. 
P= Nove divido por dois tem resto igual a zero. 
Q = Nove é ímpar. 
Formalização: (P Q) 
 
 
Recapitulando 
 
Neste capítulo você foi apresentado a simbologia da lógica proposicional, onde 
delimitamos que nas argumentações em lógica proposicional somente serão 
representadas sentenças declarativas fechadas. Sendo que para generalizar 
uma argumentação podemos formalizar as sentenças compostas através de uma 
simbologia que omite o assunto tratado na argumentação. Para isso usaremos o 
que se chama de símbolos proposicionais, normalmente as letras latinas 
maiúsculas. E, as palavras que criam as sentenças compostas, os conectivos, 
serão representadas por símbolos especiais. 
No próximo capítulo apresentaremos o valor-verdade desses conectivos e a 
metodologia de construção de uma tabela-verdade. 
 
 
 
 
 
Referências bibliográficas do capítulo 
 
ALENCAR FILHO, Edgard. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Nobel, 
1971. 
SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo: 
Pioneira Thompson Learning, 2003. 
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Lógica de Predicados 
 
 
Atividades 
 
 Indique nas sentenças abaixo com P as sentenças declarativas 
(proposições), com I as sentenças interrogativas, com M as sentenças 
imperativas e com E as sentenças exclamativas. 
 ( ) Antônio é filho de Pedro. 
 ( ) Pedro é canoense. 
 ( ) Quem nesta turma é brasileiro? 
 ( ) Algum avião é vermelho. 
 ( ) Maria, feche a porta e estude! 
 ( ) Como vai, tudo bem? 
 ( ) Mario é gaúcho e gremista. 
 ( ) Ah! Boa tarde! 
 Formalize através dos símbolos de um alfabeto proposicional as 
sentenças abaixo: 
 Dois é número par, mas três é número ímpar. 
 Quatro ou sete é número par. 
 Quatro não é número par, portanto cinco é número par. 
 Se dois e quatro são números pares então oito é número par. 
 
 Considerando o apresentado neste capítulo, determine se as sentenças 
abaixo são V (verdadeira) ou F (falsas). 
 O símbolo da disjunção é um símbolo lógico denominado de conetivo 
e sua representação é . Em português é representado pela palavra 
ou. 
 O símbolo lógico denominado de conetivo do condicional é 
representado pelo símbolo . Em português é representado pela 
palavra mas. 
 A frase Maria é filha de Pedro é um exemplo de sentença imperativa 
que não pode ser usada na Lógica proposicional, pois é um exemplo 
de sentença aberta. 
 A formalização (A) é uma possibilidade na lógica proposicional 
para representar a sentença declarativa fechada: Maria não é filha 
de Pedro. 
 
 Qual das alternativas abaixo é a melhor representação pela lógica 
proposicional para a sentença declarativa composta: Maria não é 
brasileira. Mas se Maria fosse Pernambucana então Maria seria 
brasileira. Logo Maria não é pernambucana. 
 
(ABAB) 
((AB)B) 
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Lógica de Predicados 
 
 
 (A(BA) B) 
 (A(AA) A) 
(A(BA) B) 
 
 A sentença declarativa composta que melhor representa a fórmula 
(A(CB)) é: 
 Maria é gaúcha, portanto Maria gosta de chimarrão e churrasco. 
 Se Maria não é gaúcha então ela não gosta de churrasco. 
 Maria não é gaúcha logo ela não é brasileira. 
 Se Maria gosta de chocolate então ela não gosta de salgado e não tem 
receio de engordar. 
 Maria gosta de chocolate, mas tem medo de engordar. 
 
Gabarito das atividades 
 
 a) P ;b) P ;c) I ;d)P ;e) M ;f)I ;g) P ;h) E 
 Fazendo as seguintes associações para os símbolos proposicionais: 
P= Dois é número par. 
Q= Três é número ímpar. 
R= Quatro é número par. 
S= Sete é número par. 
T= Cinco é número par. 
U= Oito é número par. 
Teremos as seguintes formalizações para as sentenças declarativas 
fechadas. 
(PQ) 
(PS) 
(RT) 
((PR)U) 
 
 a)Verdade. b) Falsa. c) Falsa. d)Verdadeira.
 e. 
d. 
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Lógica de Predicados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação dos Conectivos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Magda Leyser4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 Mestre em Ciência da Computação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Desde 1993 é 
professora dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e Licenciatura em Matemática da ULBRA. 
Atualmente também atua como professora do curso de Licenciatura em Matemática em EAD da ULBRA 
e como professora dos cursos de Análise e Desenvolvimento de Sistemas e Gestão Financeira da Faculdade 
Senac-Porto Alegre. 
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Lógica de Predicados 
 
 
Introdução 
 
Agora que já conhecemos os conectivos usados na construção das sentenças 
declarativas compostas, partimos para a interpretação do seu valor-verdade. 
Primeiro definiremos o valor-verdade de cada um dos conectivos. Depois, 
estudaremos sentenças compostas que usam mais de um conetivo com o auxílio 
da construção de uma tabela-verdade, que apresenta todas as possibilidades de 
valor-verdade para os símbolos proposicionais presentes em uma formalização. 
O valor-verdade de um conetivo é obtido de forma única a partir dos possíveis 
valores-verdade da sentença declarativa simples representada pelo símbolo 
proposicional. É interessante observar que o valor-verdade das sentenças 
também pode ser chamado de interpretação, valor-lógico ou valor-booleano. A 
fim de exemplificar o valor-verdade das formalizações das sentenças 
declarativas que aprendemos a construir, vamos associar algumas possibilidades 
para a sentença declarativa simples em linguagem natural, por exemplo, a 
língua portuguesa. 
Assim, sejam P e Q símbolos proposicionais que representam uma sentença 
declarativa fechada de sujeito próprio como identificado nas tabelas a seguir. 
Para determinar o valor-verdade (V para verdadeiro) ou (F para falso) das 
proposições compostas, usaremos a apresentação no formato de tabela, 
denominado de tabela-verdade. Onde representamos as possibilidades de valor- 
verdade em cada linha e na respectiva coluna o valor-verdade do conetivo. 
Negação 
 
P Valor-verdade de P P Valor-verdade de P 
Porto Alegre é capital do 
RS. 
Verdadeiro 
Porto Alegre não é capital do 
RS. 
Falso 
Porto Alegre é capital do 
SC. 
Falso 
Porto Alegre não é capital do 
SC. 
Verdade 
Observe que a negação é um conetivo unário, pois atua sobre no mínimo uma 
sentença declarativa fechada, por esse motivo a descrição na tabela acima 
usamos somente um símbolo proposicional e tem somente duas possibilidades. 
Ou seja, o símbolo proposicional P represente uma sentença verdadeira ou 
falsa. Nas lógicas clássicas, onde a lógica proposicional se insere existem 
somente essas duas alternativas. Ou seja,não existe uma terceira alternativa 
de valor-verdade, como: não sei, talvez, mais ou menos. 
Agora para discutir o valor-verdade dos demais conectivos, conjunção, 
disjunção, condicional e bicondicional, por se tratarem de conectivos binários, 
teremos sentenças compostas formadas por duas sentenças. Assim, usaremos 
dois símbolos proposicionais, P e Q, e associaremos sentenças declarativas 
simples a esses símbolos proposicionais. 
21 
Lógica de Predicados 
 
 
Disjunção (ou) 
 
Teremos as seguintes interpretações para o conetivo da disjunção (ou) 
 
 
P 
 
Q 
Valor- 
verdade de 
P 
Valor- 
Verdade de 
Q 
 
PQ 
 
Valor-verdade de PQ 
Porto Alegre é 
capital do RS. 
Florianópolis é 
capital de SC. 
 
V 
 
V 
Porto Alegre é capital do 
RS ou Florianópolis é 
capital de SC. 
 
V 
Porto Alegre é 
capital do RS. 
Porto Alegre é 
capital do SC. 
V F 
Porto Alegre é capital do 
RS ou SC. 
V 
Porto Alegre é 
capital do SC. 
Florianópolis é 
capital do SC. 
 
F 
 
V 
Porto Alegre ou 
Florianópolis é capital de 
SC. 
 
V 
Porto Alegre é 
capital do SC. 
Porto Alegre é 
capital do 
Paraná. 
 
F 
 
F 
Porto Alegre é capital de 
SC ou Paraná. 
 
F 
Conjunção (e) 
 
Teremos as seguintes interpretações para o conetivo da conjunção (e) 
 
 
P 
 
Q 
Valor- 
verdade de 
P 
Valor- 
Verdade de 
Q 
 
PQ 
 
Valor-verdade de PQ 
Porto Alegre é 
capital do RS. 
Florianópolis é 
capital de SC. 
 
V 
 
V 
Porto Alegre é capital do 
RS e Florianópolis é 
capital de SC. 
 
V 
Porto Alegre é 
capital do RS. 
Porto Alegre é 
capital do SC. 
V F 
Porto Alegre é capital do 
RS e SC. 
F 
Porto Alegre é 
capital do SC. 
Florianópolis é 
capital do SC. 
 
F 
 
V 
Porto Alegre e 
Florianópolis são capitais 
de SC. 
 
F 
Porto Alegre é 
capital do SC. 
Porto Alegre é 
capital do 
Paraná. 
 
F 
 
F 
Porto Alegre é capital de 
SC e do Paraná. 
 
F 
Condicional (se... então...) 
 
Teremos as seguintes interpretações para o conetivo do condicional (se... 
então...) 
 
 
P 
 
Q 
Valor- 
verdade de 
P 
Valor- 
Verdade de 
Q 
 
P→Q 
 
Valor-verdade de P→Q 
Porto Alegre é 
capital do RS. 
Florianópolis é 
capital de SC. 
 
V 
 
V 
Se Porto Alegre é capital 
do RS então Florianópolis 
é capital de SC. 
 
V 
Porto Alegre é 
capital do RS. 
Porto Alegre é 
capital do SC. 
 
V 
 
F 
Se Porto Alegre é capital 
do RS então Porto Alegre 
é capital de SC. 
 
F 
Porto Alegre é 
capital do SC. 
Florianópolis é 
capital do SC. 
 
F 
 
V 
Se Porto Alegre capital 
de SC então Florianópolis 
é capital de SC. 
 
V 
Porto Alegre é 
capital do SC. 
Porto Alegre é 
capital do 
Paraná. 
 
F 
 
F 
Se Porto Alegre é capital 
de SC então Porto Alegre 
é capital do Paraná. 
 
V 
22 
Lógica de Predicados 
 
 1º pares de parênteses 
 2º negação 
 3º conjunção e disjunção 
 4º condicional e bicondicional. 
 
Bicondicional (... se e somente se...) 
 
Teremos as seguintes interpretações para o conetivo do bicondicional ( ... se e 
somente se...) 
 
 
P 
 
Q 
Valor- 
verdade de 
P 
Valor- 
Verdade de 
Q 
 
P↔Q 
 
Valor-verdade de P↔Q 
 
Porto Alegre é 
capital do RS. 
 
Florianópolis é 
capital de SC. 
 
V 
 
V 
Porto Alegre é capital do 
RS se e somente se 
Florianópolis é capital de 
SC. 
 
V 
Porto Alegre é 
capital do RS. 
Porto Alegre é 
capital do SC. 
 
V 
 
F 
Porto Alegre é capital do 
RS se e somente se Porto 
Alegre é capital de SC. 
 
F 
 
Porto Alegre é 
capital do SC. 
 
Florianópolis é 
capital do SC. 
 
F 
 
V 
Porto Alegre capital de 
SC se e somente se 
Florianópolis é capital de 
SC. 
 
F 
 
Porto Alegre é 
capital do SC. 
Porto Alegre é 
capital do 
Paraná. 
 
F 
 
F 
Porto Alegre é capital de 
SC se e somente Porto 
Alegre é capital do 
Paraná. 
 
V 
Lembre-se que comentamos no capítulo anterior sobre a ordem de prioridade 
dos conectivos, para determinar do valor-verdade das formalizações 
compostas: 
 
 
Também é usual respeitar no momento de avaliação a ordem da esquerda para 
direita quando ocorrerem conectivos de mesma precedência. 
Exemplo: Dados que os símbolos proposicionais A e B possuem valores-verdade 
Verdadeiro e os símbolos proposicionais C e D tem valor-verdade Falso, 
determine o valor-verdade das seguintes proposições compostas. 
(D) 
 
D (D) 
Falso Verdadeiro 
23 
Lógica de Predicados 
 
 
(AB) 
 
A B A (AB) 
Verdade Verdade Falso Verdade 
(BC) 
 
B C (BC) 
Verdade Falso Falso 
(BC) 
 
B C B (BC) 
Verdade Falso Falso Falso 
BC →A 
 
B C A (BC) (BC) →A 
Verdade Falso Verdade Falsa Falso 
BC ↔A 
 
B C A C BC BC ↔A 
Verdade Falso Verdade Verdade Verdade Verdade 
DA ↔C 
 
D A C D A DA DA ↔C 
Falso Verdade Falso Verdade Falso Falso Verdade 
Exemplo: Formalize as sentenças compostas abaixo e determine seu valor- 
verdade. 
 
 Dois é número ímpar ou três é número par. 
 
Formalização (DT) onde representamos os símbolos proposicionais por: 
D= Dois é número ímpar. 
24 
Lógica de Predicados 
 
 
T= Três é número par. 
 
D T (DT) 
Falso Falso Falso 
 
 
 Quatro e oito são número ímpares. 
 
Formalização (QT) onde representamos os símbolos proposicionais por: 
Q= Quatro é número ímpar. 
T= Oito é número ímpar. 
 
Q T (QT) 
Falso Falso Falso 
 Quatro é número par, logo quatro não é número primo. 
 
Formalização (Q→R) onde representamos os símbolos proposicionais por: 
Q= Quatro é número par. 
R= Quatro é número primo. 
 
Q R  R Q→ R 
Verdade Falso Verdade Verdade 
 Se doze é número par, então treze é número ímpar. 
 
Formalização (D→R) onde representamos os símbolos proposicionais por: 
D= Doze é número par. 
R= Treze é número ímpar. 
 
D R D→ R 
Verdade Verdade Verdade 
 
 
Formalize as sentenças compostas abaixo considerando o conjunto A={2,3,4,5} 
25 
Lógica de Predicados 
 
 
2 pertence ao conjunto A. 
 
Formalização (Q) onde representamos o símbolo proposicional por: 
Q= 2 pertence ao conjunto A. 
Pode-se representar essa sentença declarativa usando o símbolo de pertinência 
de conjuntos, ou seja: Q= 2A. 
 
Q 
Verdade 
 
 
 3 e 2 pertencem ao conjunto A. 
 
Formalização (RQ) onde representamos o símbolo proposicional por: 
R= 3 pertence ao conjunto A. 
Q= 2 pertence ao conjunto A. 
 
Usando o símbolo de pertinência de conjuntos, ou seja: 
R= 3A. 
Q= 2A. 
 
R Q (RQ) 
Verdade Verdade Verdade 
 6 não pertence ao conjunto A. 
 
Formalização (S) onde representamos o símbolo proposicional por: 
S= 6 pertence ao conjunto A. 
Usando o símbolo de pertinência de conjuntos, ou seja: 
S= 6A. 
S S 
Falso Verdade 
 
26 
Lógica de Predicados 
 
 
 6 não pertence ao conjunto A mas 5 pertence ao conjunto A. 
Formalização (SC) onde representamos o símbolo proposicional por: 
S= 6 pertence ao conjunto A. 
C= 5 pertence ao conjunto A. 
 
Usando o símbolo de pertinência de conjuntos, ou seja: 
S= 6A. 
C= 5A. 
 
S C S (SC) 
Falso Verdade Verdade Verdade 
 7 e 8 pertencem ao conjunto A. 
 
Formalização (SR) onde representamos o símbolo proposicional por: 
S= 7 pertence ao conjunto A. 
R= 8 pertence ao conjunto A. 
 
Usando o símbolo de pertinência de conjuntos, ou seja: 
S= 7A. 
R= 8A. 
 
S R (SR) 
Falso Falso Falso 
Tabela-verdade 
 
Para avaliarmos as formalizações compostas onde aparecem vários conectivos, 
usaremos a construção no formato de tabela como já fizemos na definição do 
valor-verdade dos conectivos. 
Entretanto, é importante relembrar que os parênteses tem prioridade sobre 
avaliação dos conectivos, sempre usados aos pares. Para exemplificar a 
dinâmica da construção da tabela-verdade de uma formalização, destacamos 
que: 
27 
Lógica de Predicados 
 
 
Na primeira linha exibimos em cada coluna os símbolos proposicionais e as 
respectivas avaliações dos conectivos conforme a presença de parênteses e 
seguindo a ordem de prioridade dos conectivos. 
Nas colunas aparece a avaliação do valor-verdade da formalizaçãoda primeira 
linha conforme o valor-verdade dos símbolos proposicionais da respectiva linha. 
O valor-verdade (valor-lógico) de uma sentença composta é determinado de 
uma forma única a partir do valor-verdade atribuído a cada uma das sentenças 
representadas pelos símbolos proposicionais A,B,C,D,..., e a partir da 
distribuição das possibilidades de valor-lógico de cada um dos símbolos 
proposicionais construímos. Essa construção é o que chamaremos de tabela- 
verdade na qual em cada coluna apresentamos o resultado da avaliação das 
possíveis combinações dos valores-verdade das proposições simples. 
Exemplo: Construir a tabela-verdade das formalizações abaixo: 
 
(PQ)(QP) 
 
Essa formalização tem dois símbolos proposicionais, portanto iniciamos a 
construção da tabela-verdade posicionando nas duas primeiras colunas os 
símbolos proposicionais P e Q. Como tanto P quanto Q podem representar 
sentenças declarativas simples que podem ser verdadeiras ou falsas teremos 4 
casos possíveis. Assim, iniciamos a tabela-verdade com 5 linhas no total, a 
primeira para os símbolos proposicionais e mais 4 linhas para as combinações 
das 4 variações de valores-verdade. 
 
P Q 
 
Verdadeiro Verdadeiro 
Verdadeiro Falso 
Falso Verdadeiro 
Falso Falso 
A quantidade de colunas a seguir, depende da quantidade de conectivos 
presentes na formalização, para tanto, usaremos a precedência dos conectivos 
conforme a presença dos parentes, para a formalização desse exemplo teremos 
mais 5 colunas para avaliar os seguintes conectivos. 
28 
Lógica de Predicados 
 
 
P Q P (PQ) Q (QP) (PQ)(QP) 
Verdadeiro Verdadeiro 
Verdadeiro Falso 
Falso Verdadeiro 
Falso Falso 
 
Agora estamos aptos a preencher as respectivas avaliações do valor-verdade do 
conetivo presente na primeira linha para cada coluna, conforme os respectivos 
valores-verdade presentes na linha. Resultando em: 
 
P Q P (PQ) Q (QP) (PQ)(QP) 
Verdadeiro Verdadeiro F V F V V 
Verdadeiro Falso F F V V F 
Falso Verdadeiro V V F F F 
Falso Falso V V V V V 
(PQ)(PR) 
 
Essa formalização tem três símbolos proposicionais, portanto iniciamos a 
construção da tabela-verdade posicionando nas duas primeiras colunas os 
símbolos proposicionais P, Q e R. Cada símbolo proposicional representa um 
valor-verdade (verdadeiro ou falso). Assim, combinando essas possibilidades 
teremos 2x2x2=23= 8 linhas de valores-lógicos distintos para P, Q e R. Iniciamos 
a tabela-verdade com 9 linhas no total, a primeira para os símbolos 
proposicionais e mais 8 linhas para as combinações dos valores-verdade. 
 
P Q R 
 
V V V 
 
V V F 
 
V F V 
 
V F F 
 
29 
Lógica de Predicados 
 
 
F V V 
 
F V F 
 
F F V 
 
F F F 
 
 
Incluímos mais 3 colunas observando a presença dos parênteses e a precedência 
dos conectivos, obtendo: 
 
P Q R (PQ) (PR) (PQ)(PR) 
V V V 
 
V V F 
 
V F V 
 
V F F 
 
F V V 
 
F V F 
 
F F V 
 
F F F 
 
Preenchendo as respectivas avaliações do valor-verdade do conetivo presente 
na primeira linha para cada coluna, conforme os respectivos valores-verdade 
presentes na linha. Resultando em: 
 
P Q R (PQ) ( P R) (PQ) ( P R) 
V V V V V V 
V V F V F F 
V F V V V V 
V F F V F F 
F V V V F F 
30 
Lógica de Predicados 
 
 
F V F V F F 
F F V F F F 
F F F F F F 
 
 
 
P P 
 
Tem-se um único símbolo proposicional, isto é P. Assim, a tabela- verdade terá 
2 linhas de valores-verdade distintos para P e mais a primeira tinha onde 
aparecerá o símbolo proposicional P e os conectivos avaliados. 
 
P 
 
Verdadeiro 
 
Falso 
 
Incluímos mais duas colunas observando a presença do conetivo da negação e o 
conetivo da conjunção. obtendo: 
 
P P PP 
Verdadeiro 
 
Falso 
 
Para completar a tabela-verdade compara-se a formalização (conetivo) da 
primeira linha com o respectivo valor-verdade de P na linha obtendo-se os 
seguintes resultados: 
 
P P PP 
Verdadeiro Falso Falso 
Falso Verdadeiro Falso 
31 
Lógica de Predicados 
 
 
Q(PR) 
 
Essa formalização tem três símbolos proposicionais, portanto iniciamos a 
construção da tabela-verdade posicionando nas duas primeiras colunas os 
símbolos proposicionais P, Q e R. Cada símbolo proposicional representa um 
valor-verdade (verdadeiro ou falso). Assim, combinando essas possibilidades 
teremos 2x2x2=23= 8 linhas de valores-lógicos distintos para P, Q e R. 
Iniciamos a tabela-verdade com 9 linhas no total, a primeira para os símbolos 
proposicionais e mais 8 linhas para as combinações dos valores-verdade. 
 
 
 
P Q R P R (PR) Q(PR) 
V V V F F F F 
V V F F V F F 
V F V F F F F 
V F F F V F F 
F V V V F F F 
F V F V V V V 
F F V V F F F 
F F F V V V F 
 
P (PR) 
 
Essa formalização tem dois símbolos proposicionais, portanto iniciamos a 
construção da tabela-verdade posicionando nas duas primeiras colunas os 
símbolos proposicionais P e R. Cada símbolo proposicional representa um valor- 
verdade (verdadeiro ou falso). Assim, combinando essas possibilidades teremos 
2x2=22= 4 linhas de valores-lógicos distintos para P e R. Iniciamos a tabela- 
verdade com 5 linhas no total, a primeira para os símbolos proposicionais e mais 
4 linhas para as combinações dos valores-verdade. 
 
P R (PR) (PR) P (PR) 
V V V F F 
V F F V V 
32 
Lógica de Predicados 
 
 
F V F V F 
F F F V F 
 
 
 
 (PQ) 
 
Essa formalização tem dois símbolos proposicionais, portanto iniciamos a 
construção da tabela-verdade posicionando nas duas primeiras colunas os 
símbolos proposicionais P e R. Cada símbolo proposicional representa um valor- 
verdade (verdadeiro ou falso). Assim, combinando essas possibilidades teremos 
2x2=22= 4 linhas de valores-lógicos distintos para P e R. Iniciamos a tabela- 
verdade com 5 linhas no total, a primeira para os símbolos proposicionais e mais 
4 linhas para as combinações dos valores-verdade. 
 
P Q Q 
(PQ) (P Q) 
V V F F V 
V F V V F 
F V F F V 
F F V F V 
 
 
Recapitulando 
 
Neste capítulo você foi apresentado a metodologia de construção da tabela- 
verdade, onde podemos de forma organizada avaliar o valor-verdade de uma 
formalização de sentenças compostas. Depois, aplicamos essa formalização na 
definição das operações entre conjuntos. 
No próximo capítulo apresentaremos uma classificação para as possíveis 
situações de avaliação de uma formalização, e a partir dessas formalizações 
especiais elaboraremos as regras de dedução de um sistema de prova ou 
argumentação. 
Finalizamos relembrando a definição das atribuições de valores-verdade dos 
conectivos na seguinte tabela: 
33 
Lógica de Predicados 
 
 
 
 
 
P Q P PQ PQ (PQ) (PQ) 
V V F V V V V 
V F F F V F F 
F V V F V V F 
F F V F F V V 
 
 
Referências bibliográficas do capítulo 
 
ALENCAR FILHO, Edgard. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Nobel, 
1971. 
SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo: 
Pioneira Thompson Learning, 2003. 
 
Atividades 
 
 Considerando a construção da tabela-verdade da fórmula. Qual das 
afirmações abaixo descreve o número correto de possibilidades para as 
possíveis atribuições das combinações de valores-verdade. 
 (SQ) (SR) S 
 2 linhas de combinações de valores-verdade pois a fórmula possui 
somente um símbolo proposicional. 
 4 linhas de combinações de valores-verdade pois a fórmula possui 
somente dois símbolos proposicionais. 
 6 linhas de combinações de valores-verdade pois a fórmula possui 
somente dois símbolos proposicionais. 
 8 linhas de combinações de valores-verdade pois a fórmula possui 
somente três símbolos proposicionais. 
 10 linhas de combinações de valores-verdade pois a fórmula possui 
somente 4 símbolos proposicionais. 
 
 Construa a tabela-verdade das fórmulas abaixo: 
 P  PP 
 C(AE)  
EC 
(AB)(BA) 
34 
Lógica de Predicados 
 
 
 (BA) BA 
 
 Transformeas proposiçõe em linguagem natural para linguagem formal, 
atenção aos parênteses. Lembre-se de colocar a proposições na forma 
afirmativa. 
 Não é verdade que, o salário é maior do que $2000 e as despesas 
menores do que 1/3 do salário. 
 Não é verdade que o salário é maior do que $2000 e as despesas 
menores do que 1/3 do salário. 
 Fritz foi ao cinema ou ao café mas acompanhado de Frida 
 x é primo se e somente se x é divisível por x e por 1. 
 
 Rescreva a as proposições em linguagem natural para 
A:Fritz vai ao cinema ; B:Frida está em casa e C:Kranz vai ao café 
 (AB)
 AB 
 AB→C
 A(BC) 
 Construa a tabela verdade da seguinte proposição: Se x≥y então x<z e 
sabendo que x≥z, temos que x<y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito das atividades 
 
 d 
 As respectivas tabelas-verdade são: 
 P  PP 
P P PP P PP 
V F V V 
F V V V 
 
35 
Lógica de Predicados 
 
 
 C(AE)  EC 
 
 
C A E A (AE) C(AE) EC C(AE) EC 
V V V F V V V V 
V V F F V V F F 
V F V V V V V V 
V F F V F V F F 
F V V F V V F F 
F V F F V V F F 
F F V V V V F F 
F F F V F F F V 
 
 (AB)(BA) 
A B (AB) (BA) (BA) (AB)(BA) 
V V V V F V 
V F F F V V 
F V V F V V 
F F V F V V 
 
(BA) BA 
A B (BA) (BA) B A BA (BA) BA 
V V V F F F F V 
V F F V V F F F 
F V F V F V F F 
F F F V V V V V 
36 
Lógica de Predicados 
 
 
 As proposições são: 
 P:salário é maior do que $2000 ; 
Q:despesas menores do que 1/3 do salário 
(P∧ Q) 
 P:salário é maior do que $2000 ; 
Q:despesas menores do que 1/3 do salário 
P∧ Q 
 P:Fritz foi ao cinema 
Q:Fritz foi ao café 
R:Fritz foi acompanhado de Frida 
(P∨ Q)∧ R 
 P:x é primo 
Q:x é divisível por x 
R:x é divisível por 1 
P↔Q∧ R 
 
 Proposições em liguagem natural 
 Nego que, Fritz vai ao cinema ou Frida está em casa. 
 Fritz não vai ao cinema e Frida não está em casa. 
 É condição para que Kranz vá ao café que, Fritz vá ao cinema e Frida 
esteja em casa. 
 Fritz vai ao cinema mas ou Frida está em casa ou Kranz vai ao café. 
Tabela verdade. A:x≥y; B:x<z 
 
A B A→B B A→BB A (A→BB )→A 
F F V V V V V 
F V V F F V V 
V F F V F F V 
V F V F F F V 
37 
Lógica de Predicados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equivalências Lógicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 Bacharel em Matemática Aplicada a Informática e Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela 
Universidade Luterana do Brasil. Professor dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e 
Licenciatura em Matemática da ULBRA. 
38 
Lógica de Predicados 
 
 
Introdução 
 
 
No capítulo anterior estudamos os operadores e as interpretações do valor 
verdade das sentenças declarativas compostas através das tabelas verdade. 
Nestes casos atribui-se os valores verdade às proposições e, de acordo com as 
operações lógicas, faz-se a interpretação. 
Estudaremos as equivalências lógicas, ou seja, proposições diferentes na sua 
composição mas que têem a mesma interpretação do valor verdade.As 
equivalências são muito úiteis para a interpretação e simplificação das 
proposições compostas. 
Equivalêncas Lógicas 
 
Como visto nos capítulos anteriores, toda proposição lógica pode ser escrita na 
forma de uma fórmula bem formada, ou wff (well formed formula). Para tal são 
utilizados os conectivos lógicos de negação (¬), conjunção (∧ ) e disjunção 
(∨ ), de maneira a organizar e definir as relações entre sujeito e predicado 
das proposições. 
Entendendo que as proposições possuem um valor verdade, que podem ser 
expressas através de tabelas verdade, verificamos que diferentes proposições 
possuem o mesmo valor verdade, ou seja, a mesma tabela verdade, deste modo 
dizemos que as proposições são equivalentes. 
Antes de verificarmos as equivalências lógicas apresentamos a classificação das 
proposições quanto a presença de verdadeiro ou falso no resultado dos valores 
verdade, pois a compreesão dessas classificações justificam as equivalências e 
inferências lógicas, tópicos a serem estudados nos próximos capítulos. 
Classificação das fórmulas 
 
A álgebra booleana é uma 6-upla (  , ¬ , ∧ ∨, ,   ,  ) para   o conjunto 
das operações ¬ , ∧ , ∨ e os valores Falso (F) e Verdadeiro (V). Considerando 
que as proposições podem assumir valores falso e verdadeiro de acordo com as 
operações, classifica-se os resultados como sendo: 
Tautologia: Para A uma proposição composta, se todos os resultados de A são 
verdadeiro então A é uma Tautologia. 
Tomamos como exemplo a operação P ∨ ¬P e verificamos que todos os 
resultados são verdadeiro que caracteriza uma tautologia. 
39 
Lógica de Predicados 
 
 
P P P ∨ P 
Verdadeiro Falso Verdadeiro 
Falso Verdadeiro Verdadeiro 
 
Contradição: Para A uma proposição composta, se todos os resultados de A são 
falso então A é uma Contradição. 
Tomamos como exemplo a operação P ∧ ¬P e verificamos que todos os 
resultados são falso que caracteriza uma contradição. 
 
P P P ∧ P 
Verdadeiro Falso Falso 
Falso Verdadeiro Falso 
 
 
Contingência: Para A uma proposição composta, se os resultados de A não são 
todos verdadeiro ou todos falso então A é uma Contingência ou uma 
indeterminação. 
Tomamos como exemplo a operação P ∧ Q e verificamos que os resultados 
são falso ou verdadeiros, dependendo dos valores de P e Q, que caracteriza 
uma contingência. 
 
P Q P ∧ Q 
Falso Falso Falso 
Falso Verdadeiro Falso 
Verdadeiro Falso Falso 
Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro 
40 
Lógica de Predicados 
 
 
Simplificação da Tautologia 
 
Uma tautologia é muito útil em simplificações se levarmos em conta a 
proposição composta P ∨ ∨ ¬P Q para a qual verificamos que todos os 
resultados da tabela verdade são verdadeiros, logo para P ∨ ¬P uma 
tautologia 
(T) e fazendo a substituição na proposição original temos que T ∨ Q também 
será uma tautologia. 
 
P P Q P ∨ P ∨ Q 
Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro 
Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro 
Verdadeiro Falso Falso Verdadeiro 
Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro 
Para a proposição composta P ∨ ¬P ∧ Q verificamos que os resultados da 
tabela verdade não são somente verdade, caracterizando uma contingência. 
Além disso, verificamos que os valores resultado equivalem exatamente aos 
valores de Q, logo para P ∨ ¬P uma tautologia (T) e fazendo a substituição 
na proposição original temos que T ∧ Q pode ser simplificado para Q. 
 
P P Q P ∨ P ∧ 
Q 
Falso Verdadeiro Falso Falso 
Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro 
Verdadeiro Falso Falso Falso 
Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro 
41 
Lógica de Predicados 
 
 
Simplificação da Contradição 
 
Analisando as mesmas operações para a contradição temos que para a 
proposição composta P ∧ ¬P ∧ Q, verificamos que todos os resultados da 
tabela verdade são falsos, logo para P ∧ ¬P uma contradição (C) e fazendo a 
substituição na proposição original temos que C ∧ Q também será uma 
contradição. 
 
P P Q P ∧ P ∧ 
Q 
Falso Verdadeiro Falso Falso 
Falso Verdadeiro Verdadeiro Falso 
Verdadeiro Falso Falso Falso 
Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso 
Para a proposição composta P ∧ ¬P ∨ Q verificamos que os resultados da 
tabela verdade não são todos falso, caracterizando uma contingência. Além 
disso, verificamos que os valores resultado equivalem exatamente aos valores 
de Q, logo para P ∧ ¬P uma contradição (C) e fazendo a substituição na 
proposição original temos que C ∨ Q pode ser simplificado para Q. 
 
P P Q P ∧ P ∨ 
Q 
Falso Verdadeiro Falso Falso 
Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro 
Verdadeiro Falso Falso Falso 
Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro 
Tais simplificações são bem úteis para a interpretação de proposições 
compostas e mais complexas. 
42 
Lógica de Predicados 
 
 
Equivalências Lógicas 
 
Consideramos duas proposições como sendo equivalentes quando as duas 
proposições possuem o mesmo valor verdade,ou seja, a mesma tabela verdade. 
Então para P   Q ( utiliza-se o símbolo   para denotar a equivalência entre 
as duas proposições. Não usamos o simbolo da igualdade = pois as proposições 
são diferentes na sua descrição apesar de terem o mesmo valor verdade) 
Considerando as proposições P → Q e ¬P ∨ Q e suas respectivas tabelas 
verdade temos: 
 
P Q P→ Q P ∨ 
Q 
F F V V 
F V F F 
V F V V 
V V V V 
Verificamos que os valores verdade das duas proposições são idênticos, deste 
modo P → Q   ¬P ∨ Q. Para justificar podemos usar a operação do 
bicondicional para verificarmos a equivalência entre as proposiçõe. Como na 
operação do bicondiciona 
 
P → Q   ¬P ∨ Q 
 
P Q P→ 
Q 
P ∨ 
Q 
 
P → Q   ¬P ∨ 
Q 
F F V V V 
F V F F V 
V F V V V 
V V V V V 
43 
Lógica de Predicados 
 
 1º avaliar os pares de parênteses, iniciando pelos mais internos; 
 2º avaliar as negações 
 3º avaliar as conjunções e disjunção 
 4º avaliar os condicionais e bicondicionais 
 
Ao realizarmos o bicondicional entre duas proposições que gera uma Tautologia 
então temos que as duas proposições são equivalentes. 
Verifique se as proposições (AB) e  (AB) são equivalentes, para isso 
realize a avaliação dos conectivos segundo sua ordem de precedência. 
 
 
Na presença de conectivos de mesma precedência sem os parênteses que 
priorize a ordem das operações, adota-se por avaliar as proposições da esquerda 
para direita. 
 
 
A 
 
B AB  (AB) (AB)    (AB) 
F F F F V 
F V F F V 
V F V V V 
V V F F V 
 
 
Propriedades de equivalência lógica 
 
Para P(r, s, t), Q(r, s, t) e R(r, s, t) proposições compostas baseadas em 
proposições atômicas ou simples r, s, t, as equivalências seguem as 
propriedades: 
Reflexiva: P(r, s, t) ⇔ P(r, s, t) ,ou seja, a proposição P equivale a P. 
 
Simétrica: Se P(r, s, t) ⇔ Q(r, s, t) então Q(r, s, t) ⇔ P(r, s, t) ou seja, 
se a proposição P equivale a Q então Q equivale a P. 
Transitiva: Se P(r, s, t) ⇔ Q(r, s, t) e Q(r, s, t) ⇔ R(r, s, t) 
então P(r, s, t) ⇔ R(r, s, t) ou seja, se a proposição P equivale a Q e Q 
equivale a R, então P equivale a R. 
Equivalências Notáveis 
44 
Lógica de Predicados 
 
 
Algumas equivalências são bem conhecida e são denominadas como 
equivalências notáveis. A seguir são apresentadas as equvalências e suas tabelas 
verdade. 
Equivalência da dupla negação (A)  A 
 
A A (A) (A)  A 
F V F V 
V F V V 
Equivalência da Idempotência 
 
Idempotente da disjunção A  A  A 
 
A A A  A A  A  A 
F F F V 
V V V V 
Idempotente da conjunção - A  A  A, construa a tabela verdade e verifique 
a tautologia. 
Equivalência da comutatividade 
 
Comutativa da disjunção apresenta o operador  entre as proposições, 
(AB)(BA). 
 
A B (AB) (BA) (AB)  (BA) 
F F F F V 
F V V V V 
V F V V V 
V V V V V 
Comutativa da conjunção apresenta o operador  entre as proposições, 
(AB)(BA), construa a tabela verdade e verifique a tautologia. 
45 
Lógica de Predicados 
 
 
Equivalência da Associatividade 
 
Associativa para disjunção apresenta o operador  entre as proposições 
((AB)C)(A(BC)). 
 
A B C (AB) ((AB)C) (BC) (A(BC)) ((AB)C)(A(BC)) 
F F F F F F F V 
F F V F V V V V 
F V F V V V V V 
F V V V V V V V 
V F F V V F V V 
V F V V V V V V 
V V F V V V V V 
V V V V V V V V 
Associativa para conjunção apresenta o operador  entre as proposições 
((AB)C)(A(BC)), construa a tabela verdade e verifique a tautologia. 
Para a associatividade é importante a observação de que ela é válida para a 
mesma operação entre as proposições. Verifique que ((AB)C)(A(BC)) 
não é uma Tautologia, logo, não é uma equivalência lógica. 
Equivalência da Identidade 
 
Indentidade da disjunção apresenta o operador  entre a proposição e a 
Tautologia e a Contradição, A  T  T; A  C  A. 
 
A T A  T A  T  T 
 
A T A  C A  C  A 
F V V V 
 
F V F V 
V V V V V V V V 
 
 
Indentidade da conjunção apresenta o operador  entre a proposição e a 
Tautologia e a Contradição, construa a tabela verdade e verifique a tautologia, 
A  T  A; A  C  C. 
46 
Lógica de Predicados 
 
 
Equivalência da Distributividade 
 
Distributiva da disjunção para a conjunção (A(BC)) ((AB)(AC)). 
 
A B C (BC) (A(BC)) (AB) (AC) ((AB)(AC)) (A(BC)) 
((AB)(AC)) 
F F F F F F F F V 
F F V V F F F F V 
F V F V F F F F V 
F V V V F F F F V 
V F F F F F F F V 
V F V V V F V V V 
V V F V V V F V V 
V V V V V V V V V 
Distributiva da conjunção para a disjunção (A(BC)) ((AB)(AC)), 
construa a tabela verdade e verifique a tautologia. 
Equivalência das Leis de De Morgan 
 
De Morgan para disjunção (AB)AB 
 
A B (AB) (AB) A B (AB) ((AB))(AB) 
F F F V V V V V 
F V V F V F F V 
V F V F F V F V 
V V V F F F F V 
De Morgan para conjunção (AB)AB, construa a tabela verdade e 
verifique a tautologia. 
47 
Lógica de Predicados 
 
 
Equivalência da Complementação 
 
Complementação da disjunção (AA)  T 
 
A A A  A T A  A  T 
F V V V V 
V F V V V 
Complementação da conjunção (A  A)  C, construa a tabela verdade e 
verifique a tautologia. 
Equivalência do Condicional (AB)(AB) 
 
A B (AB) A (AB) (AB)(AB) 
F F V V V V 
F V V V V V 
V F F F F V 
V V V F V V 
Equivalência do Bicondiconal 
 
Bicondicional para a conjunção (AB)(AB)  (BA) 
 
A B AB AB BA (AB)(AB)  (AB) 
F F V V V V 
F V F V F V 
V F F F V V 
V V V F V V 
 
 
Bicondicional para a disjunção (AB)(AB)  (AB) , construa a tabela 
verdade e verifique a tautologia. 
48 
Lógica de Predicados 
 
 
Equivalência da Contraposição (AB)(BA) 
 
A B (AB) B A (BA) (AB)(BA) 
F F V V V V V 
F V V F V V V 
V F F V F F V 
V V V F F V V 
 
 
Equivalência da Exportação Importação (AB)C  A(BC) 
 
A B C (AB) (AB)C (BC) A(BC) (AB)C 
A(BC) 
F F F F V V V V 
F F V F V V V V 
F V F F V F V V 
F V V F V V V V 
V F F F V V V V 
V F V F V V V V 
V V F V F F F V 
V V V V V V V V 
 
 
Munido das regras de equivalência, é possível realizar reescritas, simplificações 
e até mesmo provas de tautologias, contradições ou contingências. 
Podemos exemplificar a aplicação das equivalências na proposição composta 
P(QR). Para uma melhor organziação apresentamos a proposição 
reescrita e a equivalência utilizada. 
P(QR) 
 
P  (QR) Condicional 
 
P  (QR) Dupla Negação 
49 
Lógica de Predicados 
 
 
P  (Q   R) De Morgan 
 
P  (Q  R) Dupla Negação 
 
P  Q  R Associatividade 
 
Outro exemplo é o uso das equivalências para provar outras equivalências. 
Procedendo da mesma maneira reescrevemos as proposições linha a linha 
identificando as equivalências utilizadas terminando em uma tautologia ou 
pode-se reescrever uma das equivalências até que fique ‘igual’ a outra. 
Provando que a equivalênca da Exportação Importação (AB)C  A(BC) 
através das equivalências, podemos reescrever (AB)C até que ela fique igual 
a A(BC). Observe que mudamos de equivalente para igual aplicando as 
outras equivalências. 
(AB)C 
 
 (AB)  C Condicional 
 
(AB)  C De Morgan 
 
A(B  C) Associativa 
 
A( B  C) Condicional 
 
A ( B  C) Condicional 
 
Existem ooutras maneiras de se provar utilizando de outra sequencia de 
equivalências. 
(AB)C 
 
 (AB)  C Dupla Negação 
 
 (AB)  C De Morgan 
 
 (AB)  C Condicional 
 
(AB)  C Dupla Negação 
 
A(B  C) Associativa 
 
A(B  C) Condicional 
 
A (B  C) Condicional 
50 
Lógica de Predicados 
 
 
Esse método é eficaz e mais otimizado que as tabelas verdade para proposições 
compostas por mais de 5 proposições simples ou com muitas operações pois, 
considerando as combinações de valor das proposição teríamos para 5 
proposições uma tabela verdade com 25 linhas, que torna a avaliação do valor- 
verdade bem trabalhosa. 
Recapitulando 
 
Neste capítulo apresentamosas equivalências lógicas e como utiliza-las para 
comprovar equivalências de proposições compostas, assim como métodos para 
simplificar ou somente reescrever proposições. 
No próximo capítulo apresentaremos as Regras de inferência, que em conjunto 
com as equivalências são a chave para realizar argumentações e provas lógicas. 
Referências bibliográficas do capítulo 
 
ALENCAR FILHO, Edgard. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Nobel, 
1971. 
SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo: 
Pioneira Thompson Learning, 2003. 
Atividades 
 
1) Sabendo que proposições equivalentes são uma tautologia, construa as 
tabelas verdade das seguintes equivalências lógicas: 
 (Q(RS)) (QRS) 
 (P(QR))  (P(QR)) 
 (RS)  (RS) 
2) Sabendo que P(QR)  P  Q  R , comprove sua equivalência 
utilizando das equivalências estudadas e fazendo com que uma das 
proposições se torne a outra. 
3) Sabendo que (QR)  (RQ), comprove sua equivalência 
utilizando das equivalências estudadas e fazendo com que uma das 
proposições se torne a outra. 
 
4) Aplique a sequência de equivalências dadas e comprove que 
R(QR)(QR); Condicional, Dupla Negação, Distributiva, 
Complementação, Identidade, Comutação 
51 
Lógica de Predicados 
 
 
 
5) Verifique se a seguintes equivalências estão corretamente aplicadas. 
A(B↔C) 
A(B→C)  (C→B) 
A(BC)  (CB) 
((AB)(AC))  (CB) 
((AB)  (CB))((AC)  (CB)) 
((ABC)(AB B)) ((ACC)(ACB)) 
((ABC)F) (F(ACB)) 
((ABC)  (ACB)) 
 
Gabarito das atividades 
 
 As tabelas verdade das proposições 
(Q(RS))(QRS) 
Q R S (RS) (Q(RS)) R (QRS) (Q(RS))(QRS) 
F F F V V V V V 
F F V V V V V V 
F V F F F F F V 
F V V V V F V V 
V F F V V V V V 
V F V V V V V V 
V V F F V F V V 
V V V V V F V V 
 
52 
Lógica de Predicados 
 
 
(P(QR))  (P(QR)) 
P Q R QR P(QR) P (P(QR)) (P(QR))  (P(QR)) 
F F F F V V V V 
F F V F V V V V 
F V F F V V V V 
F V V V V V V V 
V F F F F F F V 
V F V F F F F V 
V V F F F F F V 
V V V V V F V V 
 
(RS)  (RS) 
R S S (RS) R (RS) (RS) (RS) (SR) 
F F V F V V F V 
F V F F V V F V 
V F V V F F V V 
V V F F F V F V 
 
 
 P(QR)  P  Q  R 
P(QR)  P  Q  R De Morgan 
P(QR)  P  Q  R Condicional 
P(QR)  P  Q  R Dupla Negação 
PQR  PQR Associativa 
 
 (QR)  (RQ) 
(QR)  (RQ) Condicional 
(RQ)  (RQ) Comutativa 
(RQ)  (RQ) Condicional 
53 
Lógica de Predicados 
 
 
 R(QR)(QR) 
R(QR)(QR) Condicional 
R(QR)(QR) Dupla Negação 
(RQ) (RR)(QR) Distributiva 
(RQ) T(QR) Completação 
(RQ)  (QR) Identidade 
(QR)  (QR) Comuntação 
 
Verdade 
54 
Lógica de Predicados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Implicações Lógicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 Bacharel em Matemática Aplicada a Informática e Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela 
Universidade Luterana do Brasil. Professor dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e 
Licenciatura em Matemática da ULBRA. 
55 
Lógica de Predicados 
 
 
Introdução 
 
No capítulo anterior estudamos as equivalências lógicas e como elas podem ser 
úteis na simplificação de proposições compostas. Verificamos que duas 
proposições lógicas são equivalentes quando, ao utilizarmos a operação do 
bicondicional entre elas, obtemos uma Tautologia, podendo ser comprovada 
por uma tabela verdade. 
Aprendemos que podemos verificar as equivalências de outras proposições 
tornando-as iguais ao reescrevermos uma delas fazendo uso das equivalências 
notáveis. 
Estudaremos nesse capítulo as deduções lógicas que associam proposições 
atômica e permitem inferir ou concluir uma proposição como verdadeira com 
base na veracidade da premissa antecedente. 
Implicação Lógica ou Consequência Lógica 
 
A definição de uma implicação lógica considera que uma proposição P implica 
logicamente uma proposição Q, se Q é verdadeira toda vez que P é verdadeira. 
A notação para a implicação lógica é dada por P ⇒ Q , onde se lê que 
P implica Q. 
Devemos observar que a implicação lógica (⇒ ) estabelece uma relação 
condicional entre P e Q de modo que para Q ser verdadeiro é condição 
necessária que P seja verdadeiro, enquanto que o conectivo lógico de 
condicional, ou simplesmente condicional, (→ ) é uma operação lógica. 
Deste modo podemos então verificar através de tabelas verdade as implicações 
lógicas a seguir: 
P ⇒ P∨ Q 
 
P Q P∨ Q 
F F F 
F V V 
V F V 
V V V 
Verifica-se que quando P é verdadeiro P∨ Q também o é, logo P verdadeiro 
implica em P∨ Q verdadeiro também. Salienta-se que isso não significa que 
P∨ Q 
56 
Lógica de Predicados 
 
 
é verdadeiro somente quando P é verdadeiro, podemos ver na segunda linha da 
tabela verdade que P∨ Q é verdadeiro mesmo com P falso, logo não temos 
uma equivalência mas uma implicação de maneira que, para P∨ Q ser 
verdadeiro é condição que P seja verdadeiro, mas não necessariamente a 
única condição. 
Veja as tabelas verdade das seguintes implicações lógicas 
 
Q ⇒ P∨ Q 
 
P Q P∨ Q 
F F F 
F V V 
V F V 
V V V 
P∧ Q ⇒ P 
 
P Q P∧ Q 
F F F 
F V F 
V F F 
V V V 
P∧ Q ⇒ Q 
 
P Q P∧ Q 
F F F 
F V F 
V F F 
V V V 
Uma maneira de verificar se as proposições são uma implicação lógica é 
substituir a implicação lógica pela operação de condicional e verificamos se a 
operação é uma Tautologia, ou seja, se ela é verdadeira sempre. Deste modo 
temos que Q ⇒ P∨ Q pode ser verIficado por Q → P∨ Q é uma tautologia 
57 
Lógica de Predicados 
 
 
Q→P∨ Q 
 
P Q P∨ Q Q→P∨
Q 
F F F V 
F V V V 
V F V V 
V V V V 
Pode-se verificar a tautologia fazendo uso das equivalências lógicas de modo 
que Q → P∨ Q  T. 
Q→P∨ Q 
 
¬Q∨ P∨ Q Condicional 
 
¬Q∨ Q∨ P Comutativa 
 
(¬Q∨ Q) ∨ P Associativa 
 
T∨ P Complementativa 
 
T Identidade 
 
Verifique as implicações lógicas P ⇒ P∨ Q ; P∧ Q ⇒ P ; P∧ Q ⇒ Q pela tabela 
verdade e também usando das equivalências lógicas, como no exemplo dado, 
mostrando que as mesmas são Tautologias. 
Propriedades de Implicação lógica 
 
Para P(r,s,t), Q(r,s,t) e R(r,s,t) proposições compostas baseadas em proposições 
atômicas ou simples r,s,t, as implicações lógicas seguem as propriedades: 
Reflexiva: P(r,s,t) ⇒ P(r,s,t) ,ou seja, a proposição P implica em P. 
 
Transitiva: Se P(r,s,t) ⇒ Q(r,s,t) ∧ Q(r,s,t) ⇒ R(r,s,t) então P(r,s,t) ⇒ 
R(r,s,t) , ou seja, se a proposição P implica em Q e Q implica em R, então P 
implica em R. 
Asssim como nas equivalências lógicas, temos implicações lógicas mais usuais 
que são bem conhecidas e que são utilizadas no processo de argumentação e 
dedução lógica. 
58 
Lógica de Predicados 
 
 
Adição 
 
A implicação P⇒ P∨ Q utilizada na apresentação do conceito de implicação 
lógica é denominada como Adição pois se considerarmos as proposições em 
linguagem natural: 
P = Sigfrid é paulista; Q = Frida é carioca 
podemos afirmar que com certeza que: 
Sigfrid é paulista logo Sigfrid é paulista ou Frida é carioca, ou seja, para P 
verdadeiro a inclusão de Q falsa ou verdadeira não afeta P⇒ P∨ Q, de modo 
que P∨ Q será verdadeiro toda vez que P for verdadeiro. 
De maneira análoga temos que Q⇒ P∨ Q também é uma implicação de Adição 
pois para Q verdadeiro a inclusão de P falsa ou verdadeira não afeta Q⇒ P∨ Q, 
de modo que P∨ Q será verdadeiro toda vez que Q for verdadeiro. Para o 
exemplo dado temos que para: 
Frida é carioca logo Sigfrid é paulista ou Frida é carioca. 
 
Simplificação 
 
Outra implicação lógica importante a é Simplificação. Esta implicação permite 
simplificar uma proposição composta, dentro de um processo dedutivo. 
Verificamos que as proposições: 
P = Sigfrid é paulista e Q = Frida é carioca 
 
Se tivermos como verdadeiro que Sigfrid é paulista e Frida é carioca logo será 
sempre verdadeque Sigfrid é paulista. De maneira análoga sempre será verdade 
que Frida é carioca. 
Logo temos que P∧ Q ⇒ Q e P∧ Q ⇒ P são implicações lógicas 
Verificando a tautologia P∧ Q → P pela tabela verdade temos: 
P Q P∧
Q 
P∧ Q → P 
F F F V 
F V F V 
V F F V 
V V V V 
59 
Lógica de Predicados 
 
 
Também podemos utilizar das equivalências lógicas de modo que: 
P∧ Q → P 
¬ (P∧ Q) ∨ P Condicional 
 
(¬P∨ ¬Q) ∨ P De Morgan 
 
P ∨ (¬P∨ ¬Q) Comutativa 
 
(P ∨ ¬P)∨ ¬Q Associativa 
 
T∨ ¬Q Complementativa 
 
T Identidade 
 
Absorção 
 
Na implicação da Absorção 
P→(P∧ Q) ⇒ P→Q 
Vemos que P de P∧ Q “desaparece”, ou seja, é absorvido pelo P que antecede 
a operação de condicional. Podemos confirmar que essa é uma implicação 
válida verificando que (P→(P∧ Q)) → (P→Q) é uma tautologia. 
Para tal verificação podemos usar a tabela verdade: 
 
P Q P∧
Q 
P→(P∧ Q
) 
P→Q (P→(P∧ Q)) → 
(P→Q) 
F F F V V V 
F V F V V V 
V F F F F V 
V V V V V V 
Também podemos utilizar das equivalências lógicas de modo que: 
(P→(P∧ Q)) → (P→Q) 
¬ (¬P∨ (P∧ Q)) ∨ (¬P∨ Q) Condicional 
 
¬ ((¬P∨ P)∧ (¬P∨ Q)) ∨ (¬P∨ Q) Distributiva 
 
¬ (T∧ (¬P∨ Q)) ∨ (¬P∨ Q) Complementativa 
 
¬ (¬P∨ Q) ∨ (¬P∨ Q) Identidade 
60 
Lógica de Predicados 
 
 
OBS: para W:(¬P∨ Q) temos que ¬(¬P∨ Q) ∨ (¬P∨ Q) é ¬W ∨ W, 
logo T Complementativa 
Se considerarmos as proposições em linguagem natural 
P = Sigfrid é paulista e Q = Sigfrid é brasileiro 
Se Sigfrid é paulista então Sigfrid é paulista e Sigfrid é brasileiro, logo Se Sigfrid 
é paulista então Sigfrid é brasileiro. 
Conjunção 
 
Considerando duas proposições dadas como verdadeiras, podemos usá-las para 
declarar uma proposição composta deste modo podemos usar a implicação 
lógica da conjunção, ou seja, para P verdadeiro e Q verdadeiro podemos inferir 
que P∧ Q é verdadeiro. 
P, Q ⇒ P∧ Q 
 
Em linguagem natural, para as proposições P = a < 3 ; Q = b < 4 podemos 
a < 3, b < 4, logo a < 3 e b < 4 
ou 
 
a < 3, b < 4, logo b < 4 e a < 3 
 
No próximo capítulo apresentaremos a aplicação das implicações lógicas e de 
que modo elas podem ser utilizadas no processo dedutivo. 
Modus Ponens - Método da afirmação 
 
O método da afirmação mais conhecido como Modus Ponens requer duas 
proposições, uma proposição composta P→Q e uma proposição P. Podemos 
avaliar para P→Q que Q será verdadeiro com a condição de P ser verdadeiro, 
e a segunda proposição P garante isso, logo temos que (P→Q) ∧ P ⇒ Q. 
Para as proposições em linguagem natural P = Sigfrid é paulista e Q = Sigfrid é 
brasileiro, temos: 
Se Sigfrid é paulista então Sigfrid é brasileiro e Sigfrid é paulista logo Sigfrid é 
brasileiro. 
Verificando a implicação lógica (P→Q) ∧ P ⇒ Q pela tabela verdade temos 
que ((P→Q) ∧ P)→Q é uma tautologia 
61 
Lógica de Predicados 
 
 
P Q P→Q (P→Q) ∧ P ((P→Q) ∧ 
P)→Q 
F F V F V 
F V V F V 
V F F F V 
V V V V V 
 
Utilizando das equivalências lógicas para comprovar a Tautologia temos que: 
((P→Q) ∧ P)→Q 
¬ ((¬P∨ Q) ∧ P) ∨ Q Condicional 
 
(¬(¬P∨ Q) ∨ ¬P) ∨ Q De Morgan 
 
¬(¬P∨ Q) ∨ (¬P ∨ Q) Associativa 
 
OBS: para W:(¬P∨ Q) temos que ¬(¬P∨ Q) ∨ (¬P∨ Q) é ¬W ∨ W, 
logo T Complementativa 
 
 
 
Podemos verificar pela tabela verdade que (P→Q) ∧ ¬P → ¬Q é uma 
indeterminação (contingência) 
 
P Q P→Q ¬P ¬Q (P→Q) ∧ 
¬P 
((P→Q) ∧ P)→ 
¬Q 
F F V V V V V 
F V V V F V F 
V F F F V V V 
V V V F F F V 
Modus Tollens - Método da negação 
 
O método da negação mais conhecido como Modus Tollens requer duas 
proposições, uma proposição composta P→Q e uma proposição ¬Q de maneira 
que (P→Q) ∧ ¬Q ⇒ ¬P. 
O método da Negação costuma ser de dificil compreensão por não ser usual na 
linguagem natural. Podemos avaliar o método da negação da seguinte maneira, 
 Observação: Caso P seja falso isso não leva a implicação de que Q 
será falso, ou seja, (P→Q) ∧ ¬P → ¬Q não é uma Tautologia !!!!! 
62 
Lógica de Predicados 
 
 
se temos a proposição P→Q verdadeira, tal que P verdadeiro é condição para Q 
verdadeiro então se temos que ¬Q verdadeiro, ou seja, Q é falso, então, com 
certeza P é falso, que é o mesmo que ¬P verdadeiro. 
Verificando a implicação lógica (P→Q) ∧ ¬Q ⇒ ¬P pela tabela verdade, 
temos que (P→Q) ∧ ¬Q →¬P é uma tautologia. 
 
P Q P→Q ¬P ¬Q (P→Q) ∧ 
¬Q 
((P→Q) ∧ P)→ 
¬Q 
F F V V V V V 
F V V V F F V 
V F F F V F V 
V V V F F F V 
Utilizando das equivalências lógicas para comprovar a Tautologia temos que: 
((P→Q) ∧ ¬Q)→ ¬P 
¬ ((¬P∨ Q) ∧ ¬Q) ∨ ¬P Condicional 
 
(¬(¬P∨ Q) ∨ ¬¬Q) ∨ ¬P De Morgan 
 
(¬(¬P∨ Q) ∨ Q) ∨ ¬P Dupla Negação 
 
¬(¬P∨ Q) ∨ (Q ∨ ¬P) Associativa 
 
¬(¬P∨ Q) ∨ (¬P∨ Q) Comutativa 
 
OBS: para W:(¬P∨ Q) temos que ¬(¬P∨ Q) ∨ (¬P∨ Q) é ¬W ∨ W, 
logo T Complementativa 
Para as proposições em linguagem natural P = Sigfrid é paulista e Q = Sigfrid é 
brasileiro, temos: 
Se Sigfrid é paulista então Sigfrid é brasileiro e Sigfrid não é brasileiro logo 
Sigfrid não é paulista. 
 
Silogismo hipotético 
 
No silogismo hipotético identificamos a propriedade transitiva de modo que se 
temos duas proposições verdadeiras e interligadas na qual o consequente da 
primeira é o antecedente da segunda podemos inferir que: 
(P→Q)∧ (Q→R) ⇒ P→R 
63 
Lógica de Predicados 
 
 
 
 
Para as proposições em linguagem natural P = a < b; Q = b < c e R = c < d 
Se a < b então b < c e se b <c então R = c < d logo se a < b então c < d. 
(P→Q)∧ (Q→R) ⇒ P→R 
Verificando a implicação lógica (P→Q)∧ (Q→R) ⇒ P→R pela tabela verdade, 
temos que (P→Q)∧ (Q→R) → (P→R) é uma tautologia. 
 
P Q R P→Q Q→R (P→Q)∧ (Q→R
) 
P→R (P→Q)∧ (Q→R) → 
(P→R) 
F F F V V V V V 
F F V V V V V V 
F V F V F F V V 
F V V V V V V V 
V F F F V F F V 
V F V F V F V V 
V V F V F F F V 
V V V V V V V V 
Utilizando das equivalências lógicas para comprovar a Tautologia temos que: 
(P→Q)∧ (Q→R) → (P→R) 
¬((¬P∨ Q)∧ (¬Q∨ R)) ∨ (¬P∨ R) Condicional 
 
((¬¬P∧ ¬Q) ∨ (¬¬Q∧ ¬R)) ∨ (¬P∨ R) De Morgan 
 
((P∧ ¬Q) ∨ (Q∧ ¬R)) ∨ (¬P∨ R) Dupla Negação 
 
(P∧ ¬Q) ∨ (Q∧ ¬R) ∨ ¬P ∨ R Associativa 
 
(P∧ ¬Q) ∨ ¬P ∨ (Q∧ ¬R) ∨ R Comutativa 
((P∨ ¬P) ∧ (¬Q∨ ¬P)) ∨ ((Q ∨ R)∧ (¬R∨ R)) Distributiva 
( T∧ (¬Q∨ ¬P)) ∨ ((Q ∨ R)∧ T) Complementativa 
 
(¬Q∨ ¬P) ∨ (Q ∨ R) Identidade 
64 
Lógica de Predicados 
 
 
(¬Q ∨ Q)∨ ¬P ∨ R Associativa 
 
T ∨ ¬P ∨ R Complementativa 
 
T Identidade 
 
 
Silogismo disjuntivo 
 
No silogismo disjuntivo temos uma proposição composta P∨ Q verdadeira. 
Sabendo para para a mesma ser verdadeira um ou as duas são verdadeiras, 
temos que a afirmação de que uma delas não é verdadeira, obrigatóriamente a 
outra deverá ser verdadeira, logo temos a seguinte implicação 
(P∨ Q) ∧ ¬P ⇒ 
Q 
Analogamente 
(P∨ Q) ∧ ¬Q ⇒ 
P 
Para as proposições em linguagem natural P = Sigfrid é santista e Q = Sigfrid é 
palmerense, temos que: 
Sigfrid é santista ou Sigfrid é palmerense. Sigfrid não é palmerense logo Sigfrid 
é santista 
(P∨ Q) ∧ ¬Q ⇒ P 
 
Verificando a implicação lógica (P∨ Q) ∧ ¬Q ⇒ P pela tabela verdade temos 
que (P∨ Q) ∧ ¬Q→P é uma tautologia 
 
P Q P∨
Q 
¬Q (P∨ Q) ∧ 
¬Q 
(P∨ Q) ∧ 
¬Q→P 
F F F V F V 
F V V F F V 
V F V V V V 
V V V F F V 
Utilizando das equivalências lógicas para comprovar a Tautologia temos que: 
(P∨ Q) ∧ ¬Q→P 
¬((P∨ Q) ∧ ¬Q) ∨ P Condicional 
65 
Lógica de Predicados 
 
 
¬(P∨ Q) ∨ ¬¬Q ∨ P De Morgan 
 
¬(P∨ Q) ∨ Q ∨ P Dupla negação 
 
¬(P∨ Q) ∨ P ∨ Q Comutativa 
 
¬(P∨ Q) ∨ (P ∨ Q) Associativa 
 
OBS: para W:(P∨ Q) temos que ¬(P∨ Q) ∨ (P∨ Q) é ¬W ∨ W, 
logo T Complementativa 
Dilema Construtivo 
 
No dilema construtivo temos duas proposições condicionais P→Q; R→S e uma 
terceira P∨ R que leva ao dilema Q∨ S. Basicamente temos o Modus Ponens 
aplicado simuntâneamente a duas proposições condicionais. 
Deste modo temos que (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (P∨ R) ⇒ 
(Q∨ S) Para as proposições em linguagem natural: 
P = x é múltiplo de 2 
Q = x é par 
R = y é impar 
S = y+1 é par 
Se x é múltiplo de 2 entãox é par; Se y é impar então y+1 é par. 
x é múltiplo de 2 ou y é impar logo x é par ou y+1 é par 
Verifica-se no exemplo dado que para verdadeira a afirmação x é múltiplo de 2 
ou y é impar, então pelo menos uma delas é verdadeira, logo uma das duas 
afirmações condicionais será atendida, que leva a pelo menos uma das 
consequencias lógicas ser verdadeira, ou seja, x é par ou y+1 é par. 
Verificando a implicação lógica (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (P∨ R) ⇒ (Q∨ S) pela 
tabela verdade temos que (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (P∨ R) → (Q∨ S) é uma 
tautologia. 
66 
Lógica de Predicados 
 
 
P Q R S P→Q R→S P∨ R (P→Q)∧ (R→S
) 
∧ (P∨ R) 
(Q∨ S
) 
(P→Q)∧ (R→S) 
∧ (P∨ R)→(Q∨ S
) 
F F F F V V F F F V 
F F F V V V F F V V 
F F V F V F V F F V 
F F V V V V V V V V 
F V F F V V F F V V 
F V F V V V F F V V 
F V V F V F V F V V 
F V V V V V V V V V 
V F F F F V V F F V 
V F F V F V V F V V 
V F V F F F V F F V 
V F V V F V V F V V 
V V F F V V V V V V 
V V F V V V V V V V 
V V V F V F V F V V 
V V V V V V V V V V 
 
Utilizando das equivalências lógicas para comprovar a Tautologia temos que: 
 
(P→Q) ∧ (R→S) ∧ (P∨ R) → (Q∨ S) 
¬((¬P∨ Q) ∧ (¬R∨ S) ∧ (P∨ R)) ∨ (Q∨ S) Condicional 
¬(¬P∨ Q) ∨ ¬(¬R∨ S) ∨ ¬(P∨ R) ∨ (Q∨ S) Condicional 
(P ∧ ¬Q) ∨ (R ∧ ¬S) ∨ (¬P ∧ ¬R) ∨ Q ∨ S De Morgan 
(P ∧ ¬Q) ∨ Q ∨ (R ∧ ¬S) ∨ S ∨ (¬P∧ ¬R) Comutativo 
((P ∨ Q) ∧ (¬Q ∨ Q)) ∨ ((R ∨ S) ∧ (¬S ∨ S)) ∨ 
(¬P∧ ¬R) 
Distributiva 
((P ∨ Q) ∧ T) ∨ ((R ∨ S) ∧ T) ∨ (¬P∧ ¬R) Complementativa 
67 
Lógica de Predicados 
 
 
(P ∨ Q) ∨ (R ∨ S) ∨ (P∧ ¬R) Identidade 
 
P ∨ Q ∨ S ∨ R ∨ (¬P∧ ¬R) Associativa 
 
P ∨ Q ∨ S ∨ ((R ∨ ¬P) ∧ (R ∨ ¬R)) Distributiva 
 
P ∨ Q ∨ S ∨ ((R ∨ ¬P) ∧ T) Complementativa 
 
P ∨ Q ∨ S ∨ (R ∨ ¬P) Identidade 
 
Q ∨ S ∨ R ∨ (P ∨ ¬P) Associativa 
 
Q ∨ S ∨ R ∨ T Complementativa 
 
T Identidade 
 
Dilema Destrutivo 
 
No dilema destrutivo temos duas proposições condicionais P→Q; R→S e uma 
terceira P∨ R que leva ao dilema Q∨ S. Basicamente temos o Modus Ponens 
aplicado simuntâneamente a duas proposições condicionais. 
Deste modo temos que (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (¬Q∨ ¬S) ⇒ 
(¬P∨ ¬R) Para as proposições em linguagem natural: 
P = x é múltiplo de 2 
Q = x é par 
R = y é impar 
S = y+1 é par 
Se x é múltiplo de 2 então x é par; Se y é impar então y+1 é par. 
x não é par ou y+1 não é par logo x não é múltiplo de 2 ou y não é impar 
Verifica-se no exemplo dado que para verdadeira a afirmação x não é par ou 
y+1 não é par, então pelo menos uma delas é verdadeira, logo uma das 
afirmações condicionais não está sendo atendida, ou seja, x não é par ou y+1 
não é par. 
Verificando a implicação lógica (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (¬Q∨ ¬S) ⇒ (¬P∨ ¬R) pela 
tabela verdade temos que (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (¬Q∨ ¬S) → (¬P∨ ¬R) é uma 
tautologia. 
68 
Lógica de Predicados 
 
 
P Q R S P→Q R→S ¬Q∨ ¬
S 
(P→Q)∧ (R→S) 
∧ (¬Q∨ ¬S) 
¬P∨ ¬
R 
(P→Q) ∧ (R→S) 
∧ 
(¬Q∨ ¬S) 
→(¬P∨ ¬R) 
F F F F V V V V V V 
F F F V V V F F V V 
F F V F V F V F F V 
F F V V V V F F F V 
F V F F V V F F V V 
F V F V V V F F V V 
F V V F V F F F F V 
F V V V V V F F F V 
V F F F F V V F F V 
V F F V F V F F F V 
V F V F F F V F F V 
V F V V F V F F F V 
V V F F V V F F F V 
V V F V V V F F F V 
V V V F V F F F F V 
V V V V V V F F F V 
 
Utilizando das equivalências lógicas para comprovar a Tautologia temos que: 
 
(P→Q) ∧ (R→S) ∧ (¬Q∨ ¬S) →(¬P∨ ¬R) 
¬((¬P∨ Q) ∧ (¬R∨ S) ∧ (¬Q∨ ¬S)) ∨ (¬P∨ ¬R) Condicional 
¬(¬P∨ Q) ∨ ¬(¬R∨ S) ∨ ¬(¬Q∨ ¬S)) ∨ (¬P∨ ¬R) Condicional 
(P ∧ ¬Q) ∨ (R ∧ ¬S) ∨ (Q ∧ S) ∨ ¬P ∨ ¬R De Morgan 
(P ∧ ¬Q) ∨ ¬P ∨ (R ∧ ¬S) ∨ ¬R ∨ (Q ∧ S) Comutativo 
((P∨ ¬P) ∧ (¬Q∨ ¬P)) ∨ ((R∨ ¬R) ∧ (¬S∨ ¬R)) ∨ (Q 
∧ S) 
Distributiva 
(T∧ (¬Q∨ ¬P)) ∨ (T ∧ (¬S∨ ¬R)) ∨ (Q ∧ S) Complementativa 
69 
Lógica de Predicados 
 
 
(¬Q∨ ¬P) ∨ (¬S∨ ¬R) ∨ (Q ∧ S) Identidade 
 
¬Q ∨ ¬P ∨ ¬S∨ ¬R ∨ (Q ∧ S) Associativa 
 
¬Q ∨ ¬P ∨ R ∨ ((¬S∨ Q) ∧ (¬S∨ S)) Distributiva 
 
¬Q ∨ ¬P ∨ ¬R ∨ ((¬S∨ Q) ∧ T) Complementativa 
 
¬Q ∨ ¬P ∨ ¬R ∨ ¬S ∨ Q Identidade 
 
¬P ∨ ¬R ∨ ¬S (¬Q ∨ Q) Associativa 
 
Q ∨ S ∨ R ∨ T Complementativa 
 
T Identidade 
 
 
Recapitulando 
 
Neste capítulo estudamos as tautologias das implicações lógicas. Essas 
tautologias, em conjunto com as tautologias das equivalências lógicas formam 
o conjunto de instrumentos para a argumentação e dedução lógica que 
estudaremos nos capítulos posterioes. 
Apresentamos um resumo das tautologias da implicações lógicas e as 
abreviaturas comumente utilizadas durante as demonstrações. Convém sempre 
referenciar a implicação lógica utilizada para auxiliar a interpretação dando 
 
AD 
Adição 
 
P ⇒ ∨ P Q 
 
Q ⇒ ∨ P Q 
SM 
Simplificação 
 
P ∧ ⇒ Q P 
 
P ∧ ⇒ Q Q 
ABS 
Absorção 
 
P → ∧ ⇒ → (P Q) P Q 
 
CJ 
Conjunção 
 
P, Q ⇒ ∧ P Q 
 
P, Q ⇒ ∧ Q P 
MP 
Modus Ponens 
 
P, P → ⇒ Q Q 
 
MT 
Modus Tollens 
 
P → ⇒ Q, ¬Q ¬P 
 
SH 
Silogismo 
Hipotético 
 
P → → ⇒ → Q, Q R P R 
 
SD 
Silogismo Disjuntivo 
 
P ∨ ⇒ Q , ¬Q P 
 
DC 
Dilema Construtivo 
 
P → → ∨ ⇒ ∨ Q, R S, P R Q S 
 
DD 
Dilema Destrutivo 
 
P → → ∨ ⇒ ∨ Q, R S, ¬Q ¬S ¬P 
¬R 
 
70 
Lógica de Predicados 
 
 
 
Referências bibliográficas do capítulo 
 
ALENCAR FILHO, Edgard. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Nobel, 
1971. 
SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo: 
Pioneira Thompson Learning, 2003. 
BARONETT, Stan. Lógica: Uma introdução voltadas para as ciências. Porto 
Alegre: Bookman, 2009. 
71 
Lógica de Predicados 
 
 
Atividades 
 
 Tabelas verdade 
 (¬A ∨ ¬B) ∧ B ∧ (¬(B ∧ C) → A) ⇒ 
B (C → (A ∨ B)) ∧ C ∧ ¬B ⇒ A 
 Verifique que seguinte implicação lógica é verdadeira utilizando as 
seguintes regras de equivalência. 
Condicional, De Morgan, De Morgan, Distributiva, Complementação, 
Identidade, Comutativa, Distributiva, Complementação, Identidade, 
Comutativa, Complementação, Identidade. 
 (¬A ∨ B)∧ (¬A → C) ∧ ¬C ⇒ B 
 
 Verifique que seguinte implicação lógica é falsa utilizando as seguintes 
regras de equivalência. 
Condicional, De Morgan, De Morgan, Distributiva, Associativa, 
Complementação, Absorvente. 
 ¬A ∧ (A→B)⇒ ¬B 
 
 Verifique se seguinte implicação lógica é verdadeira ou falsa utilizando 
tabela verdade 
(B → ¬A) ∧ B ∧ (¬A → C ) ⇒ C 
 
 Verifque a implicação lógica utilizando de regras de equivalências 
a) (A → B) ∧ (¬A → C) ∧ ¬B ⇒ C 
72 
Lógica de Predicados 
 
 
Gabarito das Atividades 
 
 Verifique que as seguintes implicações lógica são verdadeiras utilizando 
tabelas verdade. 
(¬A ∨ ¬B) ∧ B ∧ (¬(B ∧ C) → A) → B 
A B C ¬A ∨ 
¬B 
¬(B ∧ 
C) 
¬(B ∧ C) → 
A 
(¬A ∨ ¬B) ∧ B ∧ 
(¬(B ∧ C) → A) → 
B 
F F F V V F V 
F F V V V F V 
F V F V V F V 
F V V V F V V 
V F F V V V V 
V F V V V V V 
V V F F V V V 
V V V F F V V 
 
 
(C → (A ∨ B)) ∧ C ∧ ¬B→A 
A B C (A ∨ 
B) 
C→(A ∨ 
B) 
¬B (C→(A ∨ B))∧ C∧ ¬B→A 
F F F F V V V 
F F V F F V V 
F V F V V F V 
F V V V V F V 
V F F V V V V 
V F V V V V V 
V V F V V F V 
V V V V V F V 
73 
Lógica de Predicados 
 
 
 Demonstração 
(¬A ∨ B)∧ (¬A → C) ∧ ¬C → B 
¬((¬A ∨ B)∧ (A ∨ C) ∧ ¬C) ∨ B Condicional 
¬(¬A ∨ B) ∨ ¬(A ∨ C) ∨ C ∨ B De Morgan 
(A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ ¬C) ∨ C ∨ B De Morgan 
(A ∧ ¬B) ∨ ((¬A ∨ C) ∧ (¬C ∨ C)) ∨ B Distributiva 
(A ∧ ¬B) ∨ ((¬A ∨ C) ∧ T) ∨ B Complementação 
(A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∨ C) ∨ B Identidade 
(A ∧ ¬B) ∨ B ∨ (¬A ∨ C) Comutativa 
((A ∨ B) ∧ (¬B∨ B)) ∨ (¬A ∨ C) Distributiva 
((A ∨ B) ∧ T) ∨ (¬A ∨ C) Complementação 
(A ∨ B) ∨ (¬A ∨ C) Identidade 
A ∨ ¬A ∨ B ∨ C Comutativa 
T ∨ B ∨ C Complementação 
T Identidade 
 
 Demonstração 
(¬A ∧ (A→B)) →¬B 
¬(¬A ∧ (¬A ∨ B)) ∨ ¬B Condicional 
(A ∨ ¬ (¬A ∨ B)) ∨ ¬B De Morgan 
A ∨ (A ∧ ¬B) ∨ ¬B De Morgan 
(A ∨ A) ∧ (A ∨ ¬B) ∨ ¬B Distributiva 
(A ∨ A) ∧ (A ∨ ¬B ∨ ¬B) Associativa 
A ∧ (A ∨ ¬B) Complementação 
A Absorvente 
Logo não é um Tautologia