Modelagem e Simulação Uerj 2010 I

Prévia do material em texto

1 
 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
INSTITUTO DE QUÍMICA – IQ 
OPERAÇÕES UNITÁRIAS E PROJETOS INDUSTRIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS 
QUI 08-09541 
 
 
 
 
 
PROFESSOR 
 
JULIO CESAR SAMPAIO DUTRA 
Modelagem, Simulação e Controle de Processos - LMSCP 
Programa de Engenharia Química COPPE – UFRJ 
e-mail: juliosdutra@yahoo.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO, 2010. 
 
2 
 
MODELAGEM E SIMULAÇÃO 
QUI 08-09541 
1) ANO 2) SEM. 
2010 I 
3) UNIDADE: 
Instituto de Química 
4) DEPARTAMENTO 
Operações e Projetos Industriais 
 
5) CÓDIGO 
QUI08 - 09541 
6) NOME DA DISCIPLINA 
Modelagem e Simulação 
( x ) obrigatória 
eletiva ( ) universal 
7) CH 
 30 
8) 
CRÉD 
 02 ( ) definida 
 ( ) restrita 
9) CURSO(S) 
 
Engenharia Química 
10) DISTRIBUIÇÃO DE CARGA HORÁRIA 
TIPO DE AULA SEMANAL SEMESTRAL 
TEÓRICA 02 30 
PRÁTICA 
LABORATÓRIO 
ESTÁGIO 
TOTAL 02 30 
11) PRÉ-REQUISITO (A): 12) CÓDIGO 
11) PRÉ-REQUISITO (B): 12) CÓDIGO 
11) CO-REQUISITO 12) CÓDIGO 
13) OBJETIVOS 
 
Introduzir os conceitos de modelagem matemática de processos da engenharia química a-
través da aplicação das leis fundamentais de conservação de massa, energia e quantidade de 
movimento e de métodos matemáticos e computacionais para a simulação e otimização de 
processos e operações da indústria química. Ao final da disciplina o aluno será capaz de for-
mular modelos matemáticos capazes de descrever o comportamento de sistemas de interesse 
para engenharia química. 
 
14) EMENTA 
 
Conceito de modelo. Equações constitutivas. Transformada de Laplace: definição, propri-
edades, transformada inversa. Sistemas de primeira ordem: modelagem de processos térmicos, 
de nível de tanque de mistura, reator químico; funções de transferência e diagrama de blocos; 
respostas a diferentes funções perturbadoras – degrau, impulso, rampa e senóide; conceito de 
ganho e de constante de tempo morto. Sistemas de segunda ordem e ordem superior: função 
de transferência; resposta à função degrau; Análise da resposta do sistema amortecido; respos-
ta da função senoidal. 
 
15) BIBLIOGRAFIA 
 
1. Seborg, D., Edgard, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control, John 
Wiley & Sons, 1995. 
 
 
3 
CRONOGRAMA 
 
 
A. AULAS 
Março/2010 111 182 253 
Abril/2010 014 085 156 22*7
 298 
Maio/2010 069 1310 2011 2712 
Junho/2010 03*13 1014 1715 2416 
Julho/2010 0117 0818 1519 
 
*FERIADOS: 
22/abril//2010 (dia entre Tiradentes e São Jorge – ainda a confirmar) 
03/junho/2010 (Corpus Christi). 
 
 
B. AVALIAÇÕES 
 
PROVA 1: 06/maio/2010 
PROVA 2: 01/julho/2010 
 
PROVA 2ª CHAMADA: 08/julho/2010 
PROVA FINAL: 15/julho/2010 
 
 
C. ANOTAÇÕES 
4 
Sumário 
1. Introdução a Modelagem e Simulação de Processos .......................................................................... 7 
1.1. Introdução......................................................................................................................................... 8 
1.2. A importância da modelagem e simulação de processos ................................................................. 8 
1.3. Conceitos básicos de modelagem e simulação ............................................................................... 10 
1.4. Classificação da natureza dos modelos .......................................................................................... 12 
1.4.1. Definição das variáveis ............................................................................................................ 13 
1.4.2. Variáveis temporais ................................................................................................................ 13 
1.4.3. Variáveis espaciais .................................................................................................................. 13 
1.4.4. Grau de certeza das variáveis e parâmetros ........................................................................... 14 
1.4.5. Baseada na linearidade ........................................................................................................... 14 
1.5. Classificação da estrutura matemática dos modelos ..................................................................... 15 
2. Leis Fundamentais e Elementos Adicionais dos Modelos de Processos ............................................ 18 
2.1. Introdução....................................................................................................................................... 19 
2.2. Princípio de Conservação de Massa ................................................................................................ 19 
2.2.1. Balanço de Massa Global (Equação da continuidade total) .................................................... 19 
2.2.2. Balanço de Massa por Componente ....................................................................................... 20 
2.3. Princípio de Conservação de Energia .............................................................................................. 20 
2.4. Princípio de Conservação de Momento .......................................................................................... 22 
2.5. Elementos Adicionais de Modelos de Processos ............................................................................. 22 
2.5.1. Equações de Transporte ......................................................................................................... 22 
2.5.2. Equações de estado ................................................................................................................ 23 
2.5.3. Cinética química ...................................................................................................................... 23 
2.5.4. Equilíbrio ................................................................................................................................. 24 
2.5.4.1. Equilíbrio químico ..................................................................................................... 24 
2.5.4.2. Equilíbrio de fase ....................................................................................................... 25 
2.5.5. Tempo morto .......................................................................................................................... 26 
3. Modelos Matemáticos Clássicos da EQ ............................................................................................ 27 
3.1. Tanque de nível ............................................................................................................................... 28 
3.2. Tanque de mistura .......................................................................................................................... 29 
3.3. Reator de tanque agitado (CSTR) isotérmico .................................................................................. 32 
3.4. Tanque de aquecimento agitado .................................................................................................... 35 
3.5. Reator de mistura perfeita (CSTR) não isotérmico .......................................................................... 38 
3.6. Reator batelada .............................................................................................................................. 42 
5 
4. Linearizaçãoe Variáveis-desvio ....................................................................................................... 46 
4.1. Linearização .................................................................................................................................... 47 
4.1.1. Introdução ............................................................................................................................... 47 
4.1.2. Desenvolvimento .................................................................................................................... 47 
4.2. Variáveis-desvio .............................................................................................................................. 48 
5. Transformadas de Laplace ............................................................................................................... 52 
5.1. Introdução....................................................................................................................................... 53 
5.2. Definição ......................................................................................................................................... 53 
5.3. Transformadas de Laplace de algumas funções básicas ................................................................ 54 
5.4. Propriedade linear das Transformadas de Laplace ......................................................................... 57 
5.5. Resolução de uma EDO Linear ........................................................................................................ 57 
5.6. Expansão em frações parciais ......................................................................................................... 58 
5.6.1. As raízes de 
( )Q Q s
 são reais e distintas. ........................................................................ 59 
5.6.2. As raízes de 
( )Q Q s
 são complexas conjugadas. ............................................................. 60 
5.6.3. As raízes de 
( )Q Q s
 são reais e repetidas. ....................................................................... 61 
5.6.4. Presença de tempo-morto ...................................................................................................... 62 
6. Função de Transferência .................................................................................................................. 63 
6.1. Introdução....................................................................................................................................... 64 
6.2. Definição ......................................................................................................................................... 64 
6.3. Desenvolvimento de uma função de transferência......................................................................... 65 
6.4. Propriedades da função de transferência ....................................................................................... 67 
6.5. Procedimento para desenvolvimento de uma função de transferência ......................................... 69 
7. Comportamento Dinâmico de Sistemas de Primeira Ordem ............................................................ 70 
7.1. Introdução....................................................................................................................................... 71 
7.2. Definição ......................................................................................................................................... 71 
7.3. Resposta transiente a uma perturbação degrau unitário............................................................... 73 
7.3.1. Sistema puramente capacitivo ou integrador ......................................................................... 73 
7.3.2. Sistema atraso de primeira ordem ......................................................................................... 73 
7.4. Algumas características de sistemas de primeira ordem ............................................................... 74 
8. Comportamento Dinâmico de Sistemas de Segunda Ordem e de Ordem Superior .......................... 76 
8.1. Introdução....................................................................................................................................... 77 
8.2. Definição ......................................................................................................................................... 77 
8.3. Resposta transiente a perturbação degrau unitário ....................................................................... 78 
8.3.1. Resposta superamortecida ou não oscilatória (
1
) .......................................................... 79 
6 
8.3.2. Resposta criticamente amortecida (
1
)............................................................................ 79 
8.3.3. Resposta subamortecida ou oscilatória (
1
) .................................................................... 80 
8.3.3.1. Sobre-elevação (overshoot) - 
BA /
 ........................................................................ 80 
8.3.3.2. Razão de declínio (decay ratio) - 
AC /
 ................................................................... 81 
8.3.3.3. Período de oscilação - 
T
 .......................................................................................... 81 
8.3.3.4. Período natural de oscilação - 
nT
 ............................................................................. 81 
8.3.3.5. Tempo de resposta (settling time) - 
rt
 ..................................................................... 81 
8.3.3.6. Tempo de ascensão (rise time) - 
at
 .......................................................................... 82 
8.3.4. Resposta oscilatória com amplitude constante (
0
) ........................................................ 82 
8.3.5. Resposta instável (
0
) ...................................................................................................... 82 
9. Sistemas Multicapacitivos ................................................................................................................ 83 
9.1. Introdução....................................................................................................................................... 84 
9.2. Sistemas em série sem interação .................................................................................................... 84 
9.3. Sistemas em série com interação ................................................................................................... 87 
10. Exercícios ....................................................................................................................................... 90 
 
7 
 
 
 
CAPÍTULO I 
 
 
1. INTRODUÇÃO A MODELAGEM 
E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS 
 
8 
1.1. Introdução 
O interesse industrial em técnicas e pacotes computacionais para a 
modelagem e simulação de processos tem crescido muito nos últimos anos, in-
fluenciado por vários fatores, tais como a redução de custos, o aumento do de-
sempenho da produção, as análises de segurança e risco, a redução de emis-
sões de componentes químicos e a reprodutibilidade de produtos de qualida-
des especificadas. Entretanto, essas ferramentas ainda não são largamente 
empregadas devido à complexidade envolvida na obtenção e na análise dos 
modelos associada ainda à falta de treinamento dos engenheiros de processo. 
Na medida em que um processo torna-se mais complexo, há uma ne-
cessidade maior de técnicas para análise dos problemas associados com o 
projeto e operação. Análises modernas desse tipo de problema envolvem al-
guma forma de modelagem matemática e isto deveria atrair engenheiros quí-
micos em favor da competitividade das plantas comerciais. 
Naturalmente,existem vários modelos matemáticos para o mesmo sis-
tema, cada um ajustado para resolver um problema particular, onde o grau de 
detalhamento requerido depende do problema a ser resolvido e da quantidade 
de dados disponíveis. Quanto mais rigorosa a descrição de um processo quí-
mico for, maior e mais difícil de tratar é o conjunto de equações resultantes. 
Embora elas possam ser resolvidas, é aconselhável ao analista usar julgamen-
tos de engenharia para reduzir as equações para um conjunto menos complexo 
que, para propósitos práticos, resultará em soluções dentro da precisão dos 
dados proporcionados. 
Para tanto, o objetivo desta disciplina é apresentar os conceitos fun-
damentais relativos à modelagem de processo de interesse à Engenharia Quí-
mica tendo em vista o desenvolvimento de equações matemáticas que descre-
vam adequadamente o comportamento destes processos. Tais equações cons-
tituem um modelo matemático do processo e a solução deste modelo (geral-
mente, por procedimentos numérico-computacionais) consiste na chamada si-
mulação do processo. 
Neste contexto, enquanto modelar implica na aplicação de métodos ci-
entíficos para caracterizar ou especificar matematicamente uma dada situação, 
simular sugere o desenvolvimento de procedimentos para solucionar as equa-
ções matemáticas encontradas e apresentar os resultados obtidos da solução. 
 
 
1.2. A importância da modelagem e simulação de processos 
Modelos matemáticos podem ser úteis em todas as fases da engenha-
ria química, desde a pesquisa e desenvolvimento até a operação da planta, 
sendo de grande importância para a compreensão do processo e visualização 
da relação causa-efeito. 
De um modo geral, a modelagem de processos permite um maior grau 
de conhecimento do processo, a otimização de sua operação a partir de dados 
econômicos, testes de condições operacionais extremas, a estimativa de efei-
9 
tos de incerteza e sensibilidade paramétrica e o projeto de estruturas de contro-
le. É usualmente muito mais barato, seguro e rápido conduzir os tipos de estu-
dos listados acima sobre um modelo matemático do que realizar testes experi-
mentais na unidade em operação. Isto não quer dizer que não se necessita de 
testes na planta, pois eles são partes vitais na confirmação da validade do mo-
delo. 
A lista abaixo apresenta as áreas de trabalho do Engenheiro químico, 
onde a modelagem desempenha um papel fundamental. 
 
Pesquisa e desenvolvimento 
Determinação de mecanismos cinéticos e parâmetros a partir dos da-
dos de reação em laboratório e em planta piloto; exploração dos efei-
tos de diferentes condições de operação para estudos de otimização; 
auxílio nos cálculos de scale-up. 
Projeto 
Exploração do dimensionamento e arranjo de equipamentos de pro-
cesso para desempenho dinâmico; estudo das interações de várias 
partes do processo; cálculo de estratégias alternativas de controle; 
simulação da partida, parada situações e procedimentos de emergên-
cia. 
Operação da planta 
Reconciliador de problemas de controle e processamento; partida da 
planta e treinamento de operadores; estudos de requerimentos e efei-
tos de projetos de expansão (remoção de gargalos do processo); oti-
mização da operação da planta. 
 
 
Para a solução desses problemas, a estratégia de abordagem dos pro-
blemas comumente envolve a seguinte sequência de etapas: 
1. Desenvolvimento de equações descritivas dos fenômenos de 
transferência que ocorrem no processo e que são geralmente re-
sultantes dos balanços das variáveis descritivas dos processos 
fundamentados nas leis básicas do transporte. Deste procedimen-
to, resulta um sistema de equações que constituem um modelo ma-
temático determinístico ou mecanicista do processo. Por outro lado, 
quando um modelo é desenvolvido por meio de informações esta-
tísticas e/ou probabilísticas dos fenômenos que ocorrem no pro-
cesso, o mesmo é denominado de modelo estocástico. É uma re-
gra recomendável começar com um modelo matemático mais sim-
ples que, em muitos casos, descreve satisfatoriamente o processo. 
Assim, algumas hipóteses ou simplificações, por exemplo, conside-
rar o comportamento de gases e de mistura de líquidos como ideal, 
devem ser admitidas no modelo inicial. 
 
10 
 
2. Desenvolvimento de códigos computacionais que, através de 
métodos numéricos, resolvam o sistema de equações do modelo 
desenvolvido. Este sistema de equações pode ser composto por: (i) 
exclusivamente equações algébricas: linear e não-linear; (ii) equa-
ções diferenciais ordinárias (EDO); (iii) equações diferenciais parci-
ais (EDP); (iv) equações de diferenças ou discretas; (v) ou siste-
mas mistos constituídos por dois ou mais tipos, assim, os chama-
dos sistemas algébrico-diferencial (EAD) são compostos por equa-
ções diferenciais (geralmente ordinárias) acoplados a equações al-
gébricas. 
3. Simulação do processo que consiste na execução dos códigos 
computacionais desenvolvidos. Os resultados obtidos podem ser 
utilizados na análise das características operacionais (estacionárias 
ou dinâmicas) do processo, na caracterização da sensibilidade do 
processo a variações nos parâmetros físico/químicos ou variáveis 
de operação, na estimação de parâmetros do modelo (por meio da 
comparação de resultados simulados com experimentais), na aná-
lise de estratégias e no projeto de controle, na otimização estacio-
nária e/ou dinâmica do processo etc. Todas estas aplicações de-
monstram o poder de tal ferramenta, principalmente em face à pro-
liferação e ao potencial de recursos computacionais disponíveis 
nos dias de hoje, constituindo-se em algo extremamente comum e 
de aplicação imediata e não mais restrita exclusivamente aos mei-
os acadêmicos. 
 
 
1.3. Conceitos básicos de modelagem e simulação 
Processo: arranjo de unidades de operação (reatores, trocadores de calor, co-
lunas de destilação, tanque, etc.) integradas entre si em uma maneira 
racional e sistemática. 
Modelo: descrição matemática de processos. 
Bases para os modelos matemáticos: leis fundamentais da física e química, 
tais como as leis de conservação de massa, energia e quantidade de 
movimento, e os conceitos de equilíbrio. 
Áreas de conhecimento básico: Escoamento de fluidos; Transferência de ca-
lor; Transferência de massa; Cinética; Termodinâmica; Controle. 
 
Para a completa descrição dos modelos, fazemos uso de diferentes en-
tidades matemáticas. Para tanto, necessitamos das seguintes definições: 
 
11 
 
Variável 
Símbolo matemático usado para descrever um sistema. 
Equação 
Expressão matemática que relaciona as diferentes variáveis. 
Parâmetro 
Constantes ou conjunto de valores que caracterizam uma propriedade 
do processo ou de seu ambiente, que podem assumir um valor co-
nhecido ou ser estimados em uma condição operacional específica. 
Essa propriedade normalmente é representada por constantes ou co-
eficientes em uma equação determinados experimentalmente. 
Especificação 
Valores que são atribuídos a diferentes variáveis a cada simulação. 
Condição inicial 
Conjunto de valores que descrevem o estado inicial do processo. 
Condição de contorno 
Conjunto de valores que definem os limites do processo por meio de 
restrições nas variáveis espaciais. 
Variáveis de entrada 
Variáveis manipuladas: são variáveis de entrada que podem ser vari-
adas manual ou automaticamente de modo a controlar o processo 
(por exemplo, vazão de alimentação de um tanque). 
Variáveis de perturbação: variáveis de entrada que não podem ser 
manipuladas (por exemplo, composição de matéria-prima). 
Variável a determinar 
Variável do processo, cujo valor é desconhecido. 
Variáveis de saída 
São variáveis que descrevem as correntes que deixam o processo, 
sendo que algumas podem ser controladas e outras não (por exem-
plo,composição, temperatura, pressão). 
Variáveis de estado 
São variáveis internas ao processo, que permitem representar o com-
portamento dinâmico do sistema. Dado um conjunto de variáveis de 
estado do sistema, é possível conhecer o comportamento futuro a 
partir do conhecimento dos valores destas variáveis no instante pre-
sente e de todas as perturbações do instante presente em diante. 
 
 
12 
 
Exemplo: 
 
1. 
 
 
2. 
 
 
 
NOTA: As variáveis de entrada são entradas manipuladas e perturbações, que 
afastam o processo do seu estado estacionário. Estas últimas variáveis são a 
principal razão para o uso de controle de processos, no intuito de se manter al-
gumas variáveis de saída em seus valores (ou trajetórias) desejados. 
 
 
1.4. Classificação da natureza dos modelos 
De forma geral, existem três tipos de modelos: 
Modelos de Fenômeno de Transporte: empregam-se princípios físico-
químicos, isto é, equações contínuas descrevendo a conservação de 
massa, momento e energia. 
Modelos de Balanço Populacional: usam-se balanços de população. E-
xemplos são distribuição de tempo de residência e outras distribuições de 
idade. 
13 
Modelos Empíricos: fazem uso de dados empíricos. Exemplos típicos de 
modelos empíricos são polinômios usados para ajustar dados empíricos 
pelo método de mínimos quadrados. 
Neste curso, somente os modelos baseados nos fenômenos de transporte 
são considerados. 
Os modelos matemáticos podem ser classificados segundo a natureza de 
suas variáveis e suas relações, como a dependência com o tempo e o espaço, 
a linearidade e o grau de certeza. A partir desse conhecimento, a busca da so-
lução numérica do modelo é guiada por sua estrutura matemática, que envolve 
desde equações algébricas a equações diferenciais parciais. A determinação 
do método numérico permite, então, o uso dos modelos nos estudos de simu-
lação de processos. 
Abaixo, segue uma lista das diferentes classificações dos modelos co-
mumente encontrados na Engenharia Química. 
 
1.4.1. Definição das variáveis 
Modelo em variáveis discretas × Modelo em variáveis contínuas 
Os modelos baseado em variáveis contínuas são aqueles em que se 
admite um conhecimento de se comportamento em todos os instantes 
de tempo ou posições espaciais do processo, ou seja, se o modelo é 
representado por 
( ) [ ( )]y t f x t
, então 
, ,t x y
. Contudo, em um sis-
tema real, as variáveis são amostradas em tempos específicos, pois o 
sistema de comunicação é digital, ou são avaliadas apenas em deter-
minados em estágios, como os pratos de uma coluna de destilação. 
Neste caso, o modelo é dado por 
( )k ky g x
 onde 
k
 representam 
os instantes de amostragem ou os estágios de um processo e 
,x y
. 
 
1.4.2. Variáveis temporais 
Modelo em estado estacionário × Modelo dinâmico 
Os termos de acúmulo dos balanços são nulos quando o modelo é es-
tacionário. Historicamente, modelos estacionários foram muito usados 
em técnicas de projeto em operações unitárias. Quando o controle de 
processos passou a ser levando em consideração, a operação transi-
ente se tornou muito importante. O projeto de plantas em estado esta-
cionário e posterior implantação de controle mostraram-se ineficiente. 
 
1.4.3. Variáveis espaciais 
Modelo de parâmetros concentrados (lumped): as variações espa-
ciais são desprezadas. As várias propriedades e variáveis dependentes 
do sistema podem ser consideradas homogêneas ao longo de todo o 
sistema. Se a resposta do sistema, isto é, a velocidade de propagação 
14 
da entrada é, para propósitos práticos, instantânea, então os parâme-
tros do elemento podem ser concentrados. 
Modelo de parâmetros distribuídos: esta abordagem representa 
mais fidedignamente os processos reais e leva em conta as variações 
pontuais ao longo do sistema. Caso essas variações sejam pequenas, 
um modelo de parâmetros concentrados pode ser empregado. 
 
1.4.4. Grau de certeza das variáveis e parâmetros 
Modelos determinísticos: as variáveis e parâmetros recebem valores 
definidos para quaisquer condições operacionais. 
Modelos estocásticos: aqui, as variáveis e parâmetros, que descre-
vem as relações de entrada/saída, não são conhecidos de forma preci-
sa ou exata. Portanto, é necessário recorrer a ferramentas estatísticas. 
Por exemplo, um parâmetro θ é definido como 
a  
 com 95 % de 
probabilidade. 
 
1.4.5. Baseada na linearidade 
Modelo linear × Modelo não linear 
Para um processo com várias variáveis de entrada e saída, considere-
mos 
y
 o vetor de variáveis de saída e 
u
 o de variáveis de entrada, o 
modelo do processo pode ser representado de forma geral por: 
( , )
d
t
dt

y
H y,u
, onde 
H
 é um operador matemático. 
Se o operador 
H
 e as condições de contorno forem lineares o modelo 
é dito linear. Caso contrário, o modelo é não linear. 
Embora a natureza apresente, em geral, comportamentos não lineares, 
os modelos lineares são muito utilizados pela facilidade do tratamento 
matemático. Deve considerar-se que um modelo linear é uma aproxi-
mação, às vezes grosseira, da realidade, e sabendo disto, os resulta-
dos obtidos na simulação de um modelo linear devem ser utilizados 
com cautela. 
 
Um operador 
( )L
 qualquer é linear quando obedece aos princípios de 
superposição e proporcionalidade. 
 
Superposição (aditividade): 
1 2 1 2( ) ( ) ( )L f f L f L f  
 
Proporcionalidade: 
( ) ( )L f L f 
 
 
 
15 
Exemplos: 
1. O operador 2
2
2
d
D
dx

 é linear, pois 
2 2 2
2 1 2 1 2
1 2 2 2 2
2 2
2 21 2
1 22 2
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
d y y d y d y
D y y
dx dx dx
d y d y
D y D y
dx dx
    
   

   
   
 
Logo, 
2 2 2
1 2 1 2( ) ( ) ( )D y y D y D y     
 
 
2. O operador 2
2 dS
dx
 
  
 
 não é linear, pois 
 
 
2 2
1 22 1 2
1 2
( ) ( )d y y d y d y
S y y
dx dx dx
              
   
2 2
1 1 2 2
2 2
2 21 1 2 2
2 2 21 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
( ) 2 ( )
d y d y d y d y
dx dx dx dx
dy dy dy dy
dx dx dx dx
dy dy
S y S y
dx dx
   
  
  
      
        
      
      
        
      
  
    
  
 
 
Logo, 
 2 2 21 2 1 2( ) ( )S y y S y S y     
. 
 
 
1.5. Classificação da estrutura matemática dos modelos 
Geralmente, a formulação matemática dos modelos de processos é fei-
ta em termos de sistemas de equações algébrico-diferenciais. Consequente-
mente, tem-se um número elevado de métodos analíticos e numéricos para a 
solução destes sistemas. 
O diagrama abaixo apresenta algumas classificações para modelos de-
terminísticos, de acordo com a estrutura matemática envolvida para a descri-
ção do processo. 
 
16 
 
 
A partir deste diagrama, podemos destacar que variações contínuas no 
espaço ou no tempo não são consideradas em modelos que empregam em 
equações algébricas, uma vez que as mesmas não apresentam derivadas. Por-
tanto, esse tipo de modelo é estacionário a parâmetros concentrados. Exem-
plos comuns são os balanços de massa no estado estacionário de processos 
descrevendo estágios de equilíbrio. 
Por outro lado, uma equação diferencial ordinária (EDO) tem uma vari-
ável independente que varia continuamente. Vale ressaltar que podem ser con-
sideradas variações no tempo ou em uma dada direção espacial. O primeiro 
caso produz modelos dinâmicos a parâmetros concentrados (por exemplo, ba-
lanço de massa transiente em um tanque de mistura); e o segundo caso leva a 
modelos estacionáriosa parâmetros distribuídos com uma dimensão (por e-
xemplo, absorvedores e reatores químicos tubulares com variação em apenas 
uma direção). 
A partir do conhecimento da estrutura matemática, o engenheiro deve 
ser capaz de determinar algum método matemático adequado para a simula-
ção do processo, isto é, a solução numérica do modelo. Alguns métodos de 
maior interesse são apresentados no diagrama abaixo de acordo com sua ca-
tegoria. 
 
17 
 
 
NOTA: A apresentação dos métodos numéricos, devido à carga horária limitada 
desta disciplina, não faz parte dos objetivos trabalhados aqui. 
18 
 
 
 
CAPÍTULO II 
 
 
2. LEIS FUNDAMENTAIS 
E ELEMENTOS ADICIONAIS 
DOS MODELOS DE PROCESSOS 
 
19 
2.1. Introdução 
Na maioria dos processos de relevância para a Engenharia Química, 
há três grandezas fundamentais: massa, energia e momento. Muitas vezes, 
essas grandezas não podem ser medidas diretamente. Nestes casos, são se-
lecionadas outras variáveis passiveis de medição e que agrupadas corretamen-
te fornecem o valor da grandeza fundamental. Massa, energia e momento po-
dem ser caracterizados por variáveis como densidade, concentração, tempera-
tura, pressão e vazão. 
Estas variáveis são denominadas variáveis de estado. As equações 
que relacionam as variáveis de estados com as diversas variáveis independen-
tes são desenvolvidas aplicando-se o princípio da conservação das grandezas 
fundamentais, sendo chamadas de equações de estado. 
Portanto, para desenvolver e utilizar os modelos matemáticos é neces-
sário que o engenheiro químico seja familiar com os fundamentos dos fenôme-
nos que regem os processos químicos. 
 
 
2.2. Princípio de Conservação de Massa 
2.2.1. Balanço de Massa Global (Equação da continuidade total) 
O princípio da conservação de massa quando aplicado a um sistema 
dinâmico estabelece que: 
 
As unidades dos termos desta equação são massa por tempo. Somen-
te uma equação da continuidade total pode ser escrita para um determinado 
sistema. O termo do lado direito da igualdade é uma derivada parcial (∂/∂t) ou 
uma derivada ordinária (d/dt) da massa dentro do sistema com respeito a vari-
ável independente, t. 
Exemplo: balanço de massa em um tanque. 
( )
i i j j
i j
d V
F F
dt
   
, 
onde 

: densidade do material no sistema; 
i
: densidade do material na cor-
rente i; 
j
: densidade do material na corrente j; 
V
: volume total do sistema; 
iF
: 
vazão volumétrica da corrente de entrada i; 
jF
: vazão volumétrica da corrente 
de saída j. 
20 
2.2.2. Balanço de Massa por Componente 
De forma diferente da massa global, os componentes químicos não são 
conservados. Se ocorrer reações químicas em um sistema, a quantidade de 
um componente individual aumentará se ele for produto de reações ou diminui-
rá se ele for reagente. Portanto, a equação da continuidade de componente pa-
ra a i-ésima espécie química estabelece que: 
 
As unidades desta equação são massa de 
i
 por unidade de tempo. As 
taxas de massa que entram e saem do sistema podem ser advectivas (devido 
ao fluxo da massa) e molecular (devido à difusão). Pode-se escrever uma e-
quação da continuidade de componente para cada componente no sistema. 
Entretanto, a equação de balanço de massa global e as equações de balanço 
de componente não são todas independentes, visto que a soma das massas 
dos componentes é igual à massa total. Portanto, um dado sistema tem somen-
te 
C
 equações da continuidade independentes, onde 
C
 é o número de com-
ponentes. 
Exemplo: balanço de massa por componente em um reator químico 
( )A
Ai i A j j
i j
d C V
C F C F rV
dt
   
, 
onde 
AC
: concentração molar do componente A no sistema; 
AiC
: concentração 
molar do componente A na corrente de entrada i; 
A jC
: concentração molar do 
componente A na corrente de saída j; 
r
: taxa de reação por unidade de volume 
para A no sistema; 
V
: volume total do sistema. 
 
 
2.3. Princípio de Conservação de Energia 
A Primeira Lei da Termodinâmica propõe este principio de modo que: 
“Embora a energia assuma diversas formas, a quantidade total 
de energia é constante e, quando desaparece em uma forma, 
ela aparece em outras formas de modo simultâneo.” 
Assim, para um sistema aberto genérico (onde pode ocorrer fluxo para 
dentro e fora do sistema), o balanço de energia tem a forma: 
21 
 
As unidades desta equação são energia por tempo. Na maioria dos sis-
temas da Engenharia Química, esta forma geral reduz-se essencialmente a um 
balanço de energia em termos de entalpias e energia interna (energia térmica). 
Exemplo: balanço de energia em um tanque de mistura sem reação. 
( )
( ) ( ) ( )i i i i i j j j j j j j i i
i j j i
d U K
F U K F U K Q w F P FP
dt
               , 
onde 
U
, 
K
, 

: energias interna, cinética e potencial no sistema; 
,i jU
, 
,i jK
, 
,i j
: energias das correntes de entrada i e de saída j; 
w
: trabalho de eixo feito 
pelo sistema; 
,i jP
: pressão das correntes i e j; 
Q
: calor trocado com as vizi-
nhanças; 
,i jF
: vazão volumétrica das correntes i e j; 
,i j
: densidade das corren-
tes i e j. 
Podemos simplificar o balanço de energia fazendo válidas algumas hi-
póteses como 
0w 
 (não há trabalho de eixo) e 
K
 e 

 são desprezíveis. 
Considerando 
V
 como o volume especifico (inversos da densidade), vem que 
( )i i i j j j j j i i
dU
FU FU Q F P FP
dt
     
 
( )
j i
i i i j j j j j i i
j i
P P dU
FU FU Q F F
dt
        
 
( ) ( )i i i i i j j j j j
dU
F U PV F U PV Q
dt
     
 
Sendo 
H U PV 
, temos que 
i i i j j j
dU
FH F H Q
dt
   
 
Em sistemas líquidos, ainda vale que 
PV U
 

 

 
dU dH
dt dt

. 
22 
2.4. Princípio de Conservação de Momento 
A Segunda lei de Newton do movimento diz que a força é igual à mas-
sa vezes a aceleração para um sistema com massa constante. 
F m a 
 
Esta é a relação básica que é usada para escrever a equação do mo-
vimento para um sistema. Em uma forma um pouco mais geral, onde a massa 
pode variar com o tempo, tem-se: 
1
( )N i
ji
j
d Mv
F
dt

, 
onde 
iv
: velocidade na direção i; 
jiF
: j-ésima força atuando na direção i. 
Isto diz que a taxa de variação de quantidade de movimento na direção 
i (massa vezes velocidade na direção i) é igual à soma líquida das forças em-
purrando na direção i. Ou em outras palavras é um balaço de forças, ou ainda, 
a conservação da quantidade de movimento, que tem a forma: 
 
 
 
2.5. Elementos Adicionais de Modelos de Processos 
2.5.1. Equações de Transporte 
Representam leis que governam as transferências de massa, energia e 
quantidade de movimento e têm a forma de fluxo (taxa de transferência por u-
nidade de área), sendo proporcional a sua força motriz (gradiente de concen-
tração, temperatura ou velocidade). A constante de proporcionalidade é uma 
propriedade física do sistema (como a difusividade, condutividade térmica ou 
viscosidade). Isto é: 
 
.
fluxo
taxa de transferência
const força motriz
área
 
  
 
 
 
Transferência de massa 
Lei de Fick 
A
A A
C
j D
x

 

 
 
23 
Transferência de calor 
Lei de Fourier 
T
T
q k
x

 

 
 
Transferência de quantidade de movimento 
Lei de Newton 
x
yx
v
y
 

 

 (fluido newtoniano) 
 
As relações de transferência ao nível macroscópico são também usa-
das, onde as forças motrizes são as diferenças de propriedadesda massa 
principal entre duas posições. A constante de proporcionalidade é um coefici-
ente global de transferência. Exemplo: transferência de massa: 
A L AJ k C 
; 
transferência de calor: 
Q U T 
. 
 
 
2.5.2. Equações de estado 
Durante a obtenção dos modelos, estas equações são necessárias pa-
ra descrever como as propriedades físicas (massa específica, calor específico, 
entalpia, etc.) variam com a temperatura, pressão e composição, isto é: 
 , ,l l T P x 
 
 , ,v v T P y 
 
 , ,h h T P x
 
 , ,H H T P y
 
 
Ocasionalmente estas relações têm que ser bastante complexas para 
descrever adequadamente o sistema. Felizmente, em muitos casos podem ser 
feitas simplificações sem sacrificar muito a precisão global. 
 
 
2.5.3. Cinética química 
Uma reação química ocorre quando moléculas de uma ou mais espé-
cies perdem sua identidade (por decomposição, combinação ou isomerização), 
assumindo uma nova forma pela mudança do número ou tipo de átomos no 
composto e/ou pela variação estrutural ou da configuração dos átomos. 
A taxa global de reação é usualmente definida como a taxa de variação 
do número de moles de qualquer um dos componentes por unidade de volume 
devido à reação química dividida pelo coeficiente estequiométrico do compo-
nente. Assim, para uma reação química qualquer, a taxa de reação é dada por 
1 j
j
j
dn
r
V dt

, 
onde 
j
 é o coeficiente estequiométrico de um componente 
j
. 
24 
Essa taxa varia com a temperatura e com as concentrações dos rea-
gentes elevadas em alguma potência, isto é, 
( ) mj i
i
r k T C 
, 
onde 
m
: ordem da reação em relação ao j-ésimo componente, que não é ne-
cessariamente igual ao seu coeficiente estequiométrico; 
0( )
aE
RTk T k e


: constan-
te cinética de Arrhenius (ou taxa específica de reação); 
0k
: fator pré-
exponencial; 
aE
: energia de ativação; 
R
: constante universal dos gases; 
T
: 
temperatura. 
Observação: a dependência exponencial da taxa de reação com a 
temperatura representa uma das mais fortes não linearidades nos sistemas da 
Engenharia Química. 
Por exemplo, para a reação 
2 1,5A B C 
 que ocorre em um volume 
V
 e é de 2ª ordem em relação ao reagente 
A
, pode-se escrever que: 
1
2
A
A
dn
r
V dt

, 
1 B
B
dn
r
V dt

, 
1
1,5
C
C
dn
r
V dt

. 
2( )A Ar k T C 
 e ainda são válidas as relações 
2 1 1,5
CA B rr r  
. 
 
 
2.5.4. Equilíbrio 
2.5.4.1. Equilíbrio químico 
A Segunda Lei da Termodinâmica é a base para as equações que des-
crevem as condições de um sistema em equilíbrio químico. Neste caso, temos 
que: 
j jdn d 
, 
onde 
jv
: coeficiente estequiométrico de um componente 
j
; 
jdn
: modificação 
infinitesimal do número de moles; 
d
: variação na coordenada de reação ou 
grau de avanço. 
Para um sistema monofásico e multicomposto, a expressão da energia 
livre de Gibbs é dada por 
j jdG SdT VdP dn   
 
 j jdG SdT VdP d     
 
Para 
T
 e 
P
 constantes e no equilíbrio, 
 
,
0j j
T P
dG
d
 

 
  
 

 

 
  0j j  
 
25 
Considerando a reação reversível em fase gasosa 
1
2
k
a b
k
A B 
, no equi-
líbrio temos que 
  0j j  
 

 
0b b a a    
 
   0 0ln ln 0b b B a a ART P RT P      
 
 0 0ln
ln
b
a
b b a aB
A
função deT
P
P RT


   

 
Definindo 
k
 como a constante de equilíbrio, 
1 2k k k
 

 0
ln
G
k
RT


. 
 
2.5.4.2. Equilíbrio de fase 
O equilíbrio de duas fases ocorre quando o potencial químico de cada 
componente e o mesmo nas duas fases: 
I II
j j 
. 
Substituindo 
jP
 na definição formal 
0 lnj j jRT P  
 por uma nova va-
riável a fim de tornar a equação com validade universal, temos que 
0 lnj j jRT f  
, sendo 
0
lim 1
j
P
j
f
x P

 e 
jf
 é definido com a fugacidade 
de um componente em uma solução. E, no equilíbrio de fases, 
I II
j jf f
. 
As relações de equilíbrio de fases mais comuns são: 
Lei de Raoult: líquidos que obedecem a essa lei são denominados ide-
ais. 
1
c
sat
j j
j
P x P


 
sat
j jsat
j j j j
Lei de Dalton Lei de Raoult
x P
y P x P y
P
  
 
sat
jP
: pressão de vapor do componente 
j
, que pode ser calculada pela 
equação de Antoine 
ln sat
B
P A
C T
 

. 
 
Volatilidade relativa: 
i i
ij
j j
y x
y x
 
 
Para uma mistura binária, 
26 
     1 1 1 1
y x x
y
y x x
      
. 
Caso as o equilíbrio líquido-vapor seja ideal, a volatilidade relativa entre 
duas substâncias em uma mistura é uma simples relação de pressões de va-
por. Assim, se tivermos 
A A
AB
B B
y x
y x
 
, então, a partir da Lei de Raoult, temos 
que 
sat
A A Ap P x
 e 
sat
B B Bp P x
, e, a partir da Lei de Dalton, 
/A Ay p P
 e 
/B By p P
. Após certa álgebra, vem que sat
A
AB sat
B
P
P
 
. 
 
 
Valores de K: muito utilizados na indústria de petróleo. 
j
j
j
y
K
x

 é uma função de 
P
, 
T
 e composição. 
 
Coeficiente de atividade:para líquidos não ideais, a lei de Raoult pode 
ser modificada para levar em consideração não linearidades. 
1
c
sat
j j j
j
P x P 


 
j
: coeficiente de atividade definido a partir de 
j j jx 
. 
Note que no caso ideal (Lei de Raoult), 
1j 
. 
 
 
2.5.5. Tempo morto 
Muitas vezes, quando uma variável de entrada de um sistema se modi-
fica, há um intervalo de tempo durante o qual nenhum efeito é observado na 
saída do processo. Esse intervalo de tempo é chamado de tempo morto (ou a-
traso por transporte ou atraso puro). Esse atraso por ser causado pelo movi-
mento de materiais líquidos e sólidos no sistema e também por atraso de leitu-
ra e transmissão de sensores instalados na planta. Por exemplo, o uso de cro-
matógrafo para medir concentrações introduz um tempo morto, que é o tempo 
de análise das amostras. 
A presença desse elemento pode tornar instável o comportamento de 
um processo controlado, sendo fator muito importante na modelagem de pro-
cessos dinâmicos. 
 
27 
 
 
 
CAPÍTULO III 
 
 
3. MODELOS MATEMÁTICOS 
CLÁSSICOS DA EQ 
 
28 
3.1. Tanque de nível 
 
iQ
, 
oQ
: vazão volumétrica; 

: densidade constante; 
h
: altura do nível de líquido; 
V
: volume de líquido; 
A
: área transversal do tanque. 
Sistema isotérmico 
 
O modelo desejado deve ser capaz de descrever as variações mássi-
cas que ocorrem no processo frente a mudanças internas e em seu entorno. 
Neste caso, como não há entrada de diferentes componentes nem ocorre dilui-
ção de uma substância, apenas a aplicação do balanço de massa global é sufi-
ciente para descrever este tipo de processo. 
 
Balanço de massa global 
  i o
d
V Q Q
dt
   
, sendo 
V
 dado por 
V Ah
 
V Ah
 e 

, que é um 
parâmetro constante. 
  i o
d
Ah Q Q
dt
   
 
Assim, o modelo fica simplesmente 
i o
dh
A Q Q
dt
 
. 
 
Com o modelo obtido acima, pode-se descrever as mudanças tempo-
rais que ocorrem no nível de líquido no tanque de área 
A
 a partir de mudanças 
em 
iQ
 e/ou 
oQ
. 
Convém destacar que há três tipos principais de tanques de nível a 
partir do modelo obtido acima: 
 Caso 1: a vazão de entrada ou saída é mantida constante.Por 
exemplo, 
oQ
 é sustentada por uma bomba 
o bombaQ Q
. Com a 
vazão de saída constante, diz-se que o tanque atua como inte-
grador. 
29 
i bomba
d
A h Q Q
dt
 
 
 Caso 2: há uma resistência distribuída ou pontual (válvula) ao 
escoamento na saída do processo, sendo a vazão 
oQ
 linear-
mente dependente de 
h
 (força motriz). Nesse caso, a expres-
são empregada é dada por 
o
v
h
Q
R

, onde 
vR
 é a constante de 
resistência característica. 
i
v
d h
A h Q
dt R
 
 
 Caso 3: uma expressão mais realista para 
oQ
 quando há esco-
amento turbulento através de uma válvula é representada por 
'
o v aQ C P P 
, onde 
'
vC
: constante da válvula, 
P
: pressão no 
fundo do tanque, 
aP
: pressão ambiente. 
Sabendo que 
aP gh P 
, temos que 
aP P gh 
. Assim, 
'
o v vQ C gh C h 
 e o modelo é dado por: 
i v
d
A h Q C h
dt
 
 
 
3.2. Tanque de mistura 
 
 
1F
, 
2F
, 
3F
: vazão volumétrica; 
1
, 
2
, 
3
: densidade nas correntes; 

: densidade dentro do tanque; 
1Ca
, 
2Ca
, 
3Ca
: concentração nas corren-
tes 
1F
, 
2F
 e 
3F
; 
Ca
: concentração dentro do tanque; 
V
: volume do tanque. 
Sistema isotérmico 
30 
 
Neste processo, duas correntes são misturadas em um tanque de mis-
tura perfeita isotérmico, produzindo uma corrente de produto. Nesse caso, ca-
da corrente de alimentação é composta pelo mesmo componente 
A
 em con-
centrações molares diferentes 
1Ca
 e 
2Ca
, cujas vazões volumétricas são 
1F
 e 
2F
 respectivamente. As variáveis 
3Ca
 e 
3F
 são propriedades da corrente de 
produto e 
Ca
a concentração dentro do tanque. 
Como esse processo apresenta a mistura de uma substância, a busca 
pelo modelo envolve o balanço de massa por componente juntamente com o 
balanço global de massa do processo. 
 
Balanço de massa global 
   1 1 2 2 3 3
d
V F F F
dt
     
 
De forma geral, sabemos que as densidades são funções do tipo
 ,i i if Ca T 
, onde 
i
 representa uma corrente ou o interior do sistema. Adi-
cionalmente, como o tanque é de mistura perfeita, temos que 
3 
 e 
3Ca Ca
. Para simplificar, vamos assumir a hipótese de que 
1 2 3     
, já 
que o tanque é isotérmico e que 
,a iC
 varia de forma suave. O modelo fica na 
seguinte forma: 
 1 2 3
dV
F F F
dt
    
 
Portanto, 
 1 2 3
dV
F F F
dt
  
. 
 
Balanço de massa para o componente 
A
 
   1 1 2 2 3 3
d
VCa Ca F Ca F Ca F
dt
   
O termo 
 
d
VCa
dt
 deve ser tratado a partir da propriedade da derivada 
do produto, uma vez que 
V
 e 
aC
 não são constantes neste exemplo. 
 
31 
Assim, 
 
d dCa dV
VCa V Ca
dt dt dt
  
Mas sabemos que 
 1 2 3
dV
F F F
dt
  
. Então, vem que 
   1 2 3
d dCa
VCa V Ca F F F
dt dt
     
 
 
Voltando á formulação inicial, 
   1 2 3 1 1 2 2 3 3
dCa
V Ca F F F Ca F Ca F Ca F
dt
       
, onde 
3Ca Ca
. 
Finalmente, 
   1 1 2 2
dCa
V F Ca Ca F Ca Ca
dt
   
 
 
Sendo assim, o modelo para o tanque de mistura isotérmico é dado pe-
lo conjunto das equações diferenciais encontradas, juntamente com suas con-
dições iniciais. Observe que a simulação dinâmica é dada pela solução simul-
tânea das duas equações. Podemos representar o modelo da seguinte forma: 
 
   
1 2 3 0
1 1 2 2 0
; (0)
(0)
dV
F F F V V
dt
dCa
V F Ca Ca F Ca Ca Ca Ca
dt

   

     

. 
 
Observe que, se no início da modelagem o volume do tanque fosse as-
sumido constante, não haveria necessidade de aplicação da propriedade da 
derivada do produto e o modelo do processo se reduziria apenas à segunda 
equação, já que 
0
dV
dt

. 
 
32 
 
3.3. Reator de tanque agitado (CSTR) isotérmico 
 
 
1F
, 
2F
, 
3F
: vazão volumétrica; 
1
, 
2
, 
3
: densidade nas correntes; 

: densidade dentro do reator; 
1Ca
, 
2Ca
, 
3Ca
: concentração nas corren-
tes 
1F
, 
2F
 e 
3F
; 
Ca
: concentração dentro do reator; 
V
: volume do reator; 
k
A B
: reação irreversível de 1ª ordem. 
Sistema isotérmico 
 
Este reator é comumente utilizado no processamento industrial e se 
constitui como um tanque agitado operado continuamente. Ele é referido como 
reator tanque agitado contínuo ou CSTR (Continuous Stirred Tank Reactor). 
Como o meio reacional é agitado, obtém um elevado grau de mistura. Isso faz 
com que o CSTR seja geralmente modelado como não possuindo variações 
espaciais em suas propriedades através do tanque, como concentração, tem-
peratura ou velocidade de reação. Dessa forma, a temperatura e a concentra-
ção são idênticas em qualquer ponto do reator e são as mesmas na corrente 
de saída. Portanto, a temperatura e a concentração na corrente de saída são 
modeladas como sendo as mesmas no interior do reator. 
Devido ao seu grau de mistura, este reator é utilizado quando se ne-
cessita de agitação intensa, especialmente, em reações em fase líquida. Quase 
que invariavelmente, os reatores de fluxo contínuo são preferíveis aos reatores 
batelada, quando a capacidade de processamento requerida é grande. Embora 
o investimento de capital necessário seja maior, os custos operacionais por u-
nidade do produto são menores para operação contínua do que batelada. 
Pode ser usado tanto isoladamente quanto combinado em série, au-
mentando a conversão química. Contudo, A conversão do reagente por unida-
de de volume do reator é a menor dentre os reatores com escoamento contí-
33 
nuo. Adicionalmente, o controle da temperatura e da qualidade dos produtos 
desse tipo de reator é relativamente fácil devido ao controle automático do pro-
cesso. 
Diferentemente do sistema da sessão anterior, que inclui apenas a mis-
tura de uma substância, o CSTR isotérmico envolve o termo de reação em seu 
modelo. Assim, a busca pelo modelo completo do processo envolve o balanço 
de massa global e o balanço de massa por componente, incorporando o termo 
de geração/consumo. Neste caso, são necessárias informações a respeito da 
reação química que processada no reator, como sua ordem e relações este-
quiométricas. 
 
Balanço de massa global 
  1 1 2 2
d
V F F
dt
   
 
Assumindo 
  1 1 2 2
d
V F F
dt
    1 2   
 e constantes, 
1 2
dV
F F
dt
 
 
Caso o volume do reator seja considerado constante também, a equa-
ção acima se anula e 
1 2F F
. Isto é, a vazão volumétrica de alimentação deve 
ser igual a de saída. 
 
Balanço de massa para o componente 
A
 
  1 1 2 2a a a
d
VC FC F C rV
dt
  
 
O termo 
rV
 se refere à reação que ocorre no CSTR e o sinal (

) indi-
ca o consumo do reagente 
A
. Como a reação é de primeira ordem, pela cinéti-
ca química, temos que 
ar kC
. Lembre que para o caso genérico, em que a 
ordem de reação em relação ao reagente 
A
 é 
n
, representamos 
 
n
ar k C
. 
No caso deste exemplo, 
1n 
. 
  1 1 2 2a a a a
d
VC FC F C VkC
dt
  
 
 
34 
Como o reator é de mistura perfeita, 
2a aC C
. 
   1 1 2a a a
d
VC FC F Vk C
dt
  
. 
Novamente, se o volume do reator não é constante, vem que: 
  aa a
dCd dV
VC V C
dt dt dt
 
 
   
   
1 2
1 1 2
a
a a
a a a
dCd
VC V C F Fdt dt
d
VC FC F Vk C
dt

  

   

 
   1 2 1 1 2
a
a a a
dC
V C F F FC F Vk C
dt
    
 
 1 1
a
a a a
dC
V F C C VkC
dt
  
. 
 
Portanto, o modelo completo é dado por 
 
1 2 0
1 1 0
; (0)
; (0)a a a a a a
dV
F F V V
dt
dC
V F C C VkC C C
dt

  

    

 
 
Caso 
V
 seja constante, o modelo pode ser reescrito, fazendo 
1 2F F F 
. Assim, 
 1
a
a a a
dC
V F C C VkC
dt
  
. 
Considerando 
F
V
 
 como o tempo de residência do sistema, 
 1
1a
a a a
dC
C C kC
dt 
  
 
1 0
1 1
; (0)a a a a a
dC
C k C C C
dt  
 
    
 
 
 
35 
3.4. Tanque de aquecimento agitado 
 
1F
, 
F
, 
cF
: vazão volumétrica; 
1T
, 
T
, 
ciT
, 
cT
: temperatura das res-
pectivas correntes indicadas pelos 
subíndices; 

: densidade constante; 
pc
: calor específico constante; 
V
: volume do tanque; 
0 
 (trabalho de eixo); 
K
, 

 desprezíveis. 
 
Este sistema representa o primeiro processo não isotérmico que iremos 
tratar aqui. O processo é bem simples e se constitui apenas de um tanque de 
nível, onde se encontra disposta uma serpentina responsável por ceder ou reti-
rar calor do meio. Neste exemplo, não ocorrem a mistura de diferentes compo-
nentes e nem alguma reação química, portanto apenas faz sentido aplicar o ba-
lanços de massa global. Posteriormente, já que o tanque é não isotérmico, de-
vemos modelar as variações de energia por meio do Princípio de Conservação 
de Energia. Como o calor é cedido ou retirado pelo fluido da serpentina, o mo-
delo do sistema deve incluir a modelagem para este fluido também. 
 
Balanço de massa global 
  1
d
V F F
dt
   
, onde 

 é constante. 
Logo, 
1
dV
F F
dt
 
. 
 
Balanço de energia para o tanque 
Sabendo que as hipóteses incluem trabalho de eixo nulo e variações 
nas energias potencial e cinética desprezíveis, o balanço pode ser simplificado 
à seguinte equação: 
1 1 1 1( ) ( )
dU
Fh T Fh T Q
dt
   
, 
36 
onde 
Q
: calor cedido ou retirado indicado pelo sinal de (

) ou (

) respectiva-
mente; 
h
: entalpia específica da corrente (função da temperatura). 
Como se trata de um sistema líquido, 
dU dH
dt dt

, onde 
H
 representa a 
entalpia total do sistema. Logo, 
1 1 1 1( ) ( )
dH
Fh T Fh T Q
dt
   
. 
Da Termodinâmica, sabemos que 
( , )H H T n
, onde é número de mo-
les, as seguintes relações: 
dH H dT H dn
dt T dt n dt
 
 
 
, 
p
H
Vc
T




 e 
~
( )
H
H T
n



, onde ~
( )H T
: entalpia parcial molar. 
No caso deste exemplo, não reação química, portanto não há variação 
do número de moles com o tempo, isto é, 
0
dn
dt

. Assim, 
p
dH dT
Vc
dt dt

. 
 
1 1 1 1( ) ( )
p
dH
Fh T Fh T Q
dt
dH dT
Vc
dt dt
 


  

 

 

 
1 1 1 1( ) ( )p
dT
Vc Fh T Fh T Q
dt
    
 
 
Se 
pc
 é constante e *T é arbitrário, temos 
1
*
*
1 1( ) ( )
T
p
T
h T h T c dT  
 

 
 * *1 1 1( ) ( ) ph T h T c T T  
 
*
*( ) ( )
T
p
T
h T h T c dT  
 

 
 * *( ) ( ) ph T h T c T T  
 
 
Logo, 
   * * * *1 1 1( ) ( )p p p
dT
Vc F h T c T T F h T c T T Q
dt
           
   
 
 
Como a densidade é constante e igual a 

 ao longo do sistema e su-
pondo 
1F F
 (veja que isto implica em volume constante no tanque), vem que 
37 
   * *1p p
dT
Vc F c T T T T Q
dt
       
 
 
 1p p
dT
Vc F c T T Q
dt
   
 
 
Portanto, o modelo para o tanque de aquecimento com volume cons-
tante é dado por 
 1
p
dT F Q
T T
dt V Vc
  
 
 
Balanço de energia para o fluido refrigerante 
Podemos fazer as seguintes hipóteses, que são validas para grande 
parte dos sistemas reais na indústria: 
1. grau de mistura perfeita na serpentina; 
2. massa da parede da serpentina é desprezível; 
3. a transferência de calor global é dada por 
( )c cQ UA T T 
, onde 
U
: 
coeficiente global de transferência de calor e 
cA
: área de troca tér-
mica; 
4. volume interno 
cV
 da serpentina e densidade 
c
 do fluido refrigeran-
te constantes. 
 
Do mesmo modo, 
( ) ( )c c c c ci c c c c
dH
F h T F h T Q
dt
   
, 
 * *,( ) ( )ci ci c p c cih T h T c T T  
 e 
 * *,( ) ( )c c c p c ch T h T c T T  
. 

 
( )c c c c ci c
dH
F h T T Q
dt
  
 
 
c c c
c c
dH dT dnH H
dt T dt n dt
 
 
 
. 
Mas se lembre de que não há reação na serpentina, 
,
c c
c c p c
dH dT
V c
dt dt

. 
 
38 
,
( )
c c
c c p c
c
c c c ci c
dH dT
V c
dt dt
dH
F h T T Q
dt





   

 

 
, ( )
c
c c p c c c c ci c
dT
V c F h T T Q
dt
   
 
 
Assim, o modelo para o fluido refrigerante é dado por 
,
( )
( )c c c cci c
c c c p c
dT F UA T T
T T
dt V V c

  
. 
 
Portanto, o modelo completo, para o caso que o volume do tanque é 
constante, é representado pelo sistema de equações diferenciais: 
 1 0
0
,
( )
; (0)
( )
( ) ; (0)
c c
p
c c c c
ci c c c
c c c p c a
UA T TdT F
T T T T
dt V Vc
dT F UA T T
T T T T
dt V V c



   


    


 
 
Repare no sinal do termo de transferência de calor. No exemplo apre-
sentado, a serpentina cede calor para o líquido no tanque, uma vez que o sinal 
de 
Q
 é positivo no modelo do tanque e negativo no modelo do fluido refrigeran-
te. Para o caso em que o líquido do tanque é resfriado, os sinais são trocados. 
 
 
3.5. Reator de mistura perfeita (CSTR) não isotérmico 
 
 
39 
Este sistema se refere a um reator de mistura perfeita não isotérmico, 
onde se processa uma reação, que necessita da remoção ou fornecimento de 
calor para garantir um desempenho adequado. 
Neste exemplo, a transferência de calor é realizada por meio de uma 
camisa ou jaqueta em torno do reator, por onde escoa um líquido refrigerante 
de vazão de entrada 
cF
 e temperatura 
ciT
. O volume 
cV
 de líquido na camisa é 
admitido constante. A densidade 

 é função das concentrações e da tempera-
tura; entretanto, muitas vezes, essa dependência é pequena e a densidade po-
de ser considerada constante à medida que a reação se processa. 
A modelagem deste sistema é uma extensão dos modelos já vistos até 
agora, envolvendo a variação do nível da mistura reacional, a variação do nú-
mero de moles dos componentes e a variação de energia no interior do reator e 
do líquido refrigerante. Para este exemplo, vamos considerar a reação k
A B 
irreversível de ordem 
n
. 
 
Balanço de massa global 
  1
d
V F F
dt
   
, onde 

 é constante. 
Logo, 
1
dV
F F
dt
 
. 
 
Balanço de massa para o componente 
A
 
  1 1a a a
d
VC FC FC rV
dt
  
, onde 
n
ar kC
 e 
0
aE
RTk k e


. 
   1
a a
a a a
dC dCd dV
VC V C V C F F
dt dt dt dt
    
 
 
 
   
1 1
1
n
a a a a
a
a a
d
VC FC FC VkC
dt
dCd
VC V C F F
dt dt

  

   

 
 
 1 1 1
na
a a a a
dC
V C F F FC FC VkC
dt
    
 
40 
 1 1
naa a a
dC
V F C C VkC
dt
  
 
Assim, 
 1 1 0
aE
na RT
a a a
dC F
C C k e C
dt V
 
   
 
 
 
 
Balanço de energia para o reator 
Supondo trabalho de eixo nulo e variações nas energias potencial e ci-
nética desprezíveis e reação em fase líquida, o balanço pode ser simplificado à 
seguinte equação: 
1 1 1 1( ) ( )
dH
Fh T Fh T Q
dt
   
 (*). 
Novamente, podemos fazer uso da relação 
 , ,a bH H T n n
, que forne-
ce 
a b
a b
dn dndH H dT H H
dt T dt n dt n dt
  
  
  
. 
Como há ocorre reação química no reator, o termo 
idn
dt
 não é nulo e se 
refere às variações temporais de todos componentes do sistema, 
A
 e 
B
. As-
sim, 
 
1 1
a na
a a a
d VCdn
FC FC VkC
dt dt
   
 e  b nb
b a
d VCdn
FC VkC
dt dt
   
. 
 
Logo, 
a b
a b
dn dndH H dT H H
dt T dt n dt n dt
  
  
  
 
~ ~
( ) ( )a bap b
dn dndH dT
Vc H T H T
dt dt dt dt
  
 
   
~ ~
1 1( ) ( )
n n
ap a a a b b a
dH dT
Vc H T FC FC VkC H T FC VkC
dt dt
       (**) 
 
41 
 
De (*) e (**), vem que 
   
~ ~
1 1( ) ( )
n n
ap a a a b b a
dT
Vc H T FC FC VkC H T FC VkC
dt
       
1 1 1 1( ) ( )Fh T Fh T Q  
 
 
Sendo, 
~
1 1 1 1 1 1 1 1 ,1 1 1 1 1 ,1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )ap a pFh T F h T c T T F C H T c T T              
 
~ ~
( ) ( ) ( )a ba bFh T F C H T C H T     
, temos que 
   
~ ~
1 1( ) ( )
n n
ap a a a b b a
dT
Vc H T FC FC VkC H T FC VkC
dt
        
1 1 1 1( ) ( )Fh T Fh T Q  
 
~ ~ ~ ~
1 1( ) ( ) ( ) ( )
n
a a ap a a a b b
dT
Vc H T FC H T FC H T VkC H T FC
dt
      
~ ~ ~ ~
1 1 1 1 ,1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
a a bb a a p a bH T VkC FC H T F c T T FC H T FC H T Q     
 
Observe que alguns termos podem ser cancelados. Assim, 
~ ~
1 1 ,1 1( ) ( ) ( )
n n
ap a b a p
dT
Vc H T VkC H T VkC F c T T Q
dt
      
~ ~
1 1 ,1 1( ) ( ) ( )
n
ap b a p
dT
Vc H T H T VkC F c T T Q
dt
        
 
 
 
Definindo ~ ~
( ) ( )ab rxH T H T H  
 (entalpia da reação), 
  1 1 ,1 1( )p rx p
dT
Vc H rV F c T T Q
dt
     
, onde 
n
ar kC
 
Se 
,1p pc c
 e 
1 
, temos o seguinte modelo para a mistura reacional: 
 
1
1( )
rx
p p
HFdT Q
T T r
dt V c V c 

   
 
 
Balanço de energia para o fluido refrigerante 
Fazendo as mesmas hipóteses da seção anterior, obtem-se o seguinte 
modelo para o fluido refrigerante: 
42 
,
( )c c ci c
c c c p c
dT F Q
T T
dt V V c  
. 
 
Portanto, o modelo completo é representado pelo sistema de equações 
diferenciais com suas condições iniciais, lembrando que a consideração do si-
nal do termo 
Q
 
de transferência de calor também é válida aqui. 
 
 
 
1 0
1
1 0
1
1 0
0
,
0
; (0)
; (0)
( ) ; (0)
( ) ; (0)
a
a
a a a a
rx
p p
c c
ci c c c
c c c p c
n
a
E
RT
dV
F F V V
dt
dC F
C C r C C
dt V
HFdT Q
T T r T T
dt V c V c
dT F Q
T T T T
dt V V c
r kC
k k e
 



  

    


     


    




 
 
 
 
3.6. Reator batelada 
 
 
Este é um tipo de reator tanque com agitação mecânica como o reator 
CSTR. Contudo, um reator batelada (Batch Reactor em inglês) não admite cor-
rentes de entrada nem de saída de reagentes ou produtos durante o proces-
samento da reação. Todos os reagentes são introduzidos no reator de uma só 
vez através de aberturas no topo. Em seguida são misturados e reagem entre 
si. Após algum tempo, os produtos obtidos também são descarregados de uma 
43 
só vez. Nesse tipo de reator, as variáveis como temperatura e concentração 
não variam com a posição dentro do reator, mas variam com o tempo. 
O reator batelada é usado para operação em pequena escala para tes-
te de novos processos, que ainda não foram completamente desenvolvidos, 
para a fabricação de produtos caros e para processos que são difíceis de con-
verter em operações contínuas. Além disso, permite que altas conversões pos-
sam ser obtidas, deixando o reagente no reator por longos períodos de tempo. 
Entretanto, também está associado a alto custo de mão de obra por batelada, 
por causa do tempo perdido durante a alimentação, o esvaziamento e a limpe-
za (o chamado “tempo morto”), que pode até inviabilizar o processo. A qualida-
de do produto é mais variável do que em reator de operação contínua. 
Um problema típico para este tipo de reator é a maximização da produ-
ção de um determinado produto, geralmente obtido a partir de reações em sé-
rie ou paralelo. Vamos demonstrar a modelagem para este caso considerando 
uma reação do tipo 1 2k k
A B C 
 de primeira ordem. 
 
 
Balanço de massa global 
Como não correntes de entrada e nem de saída, o volume do reator é 
constante. Pela equação da continuidade global, temos 
 
  0
d
V
dt
 
, onde 

 é constante. 
Logo, 
0
dV
dt

. 
 
Balanço de massa para o componente 
A
 
 a a
d
VC rV
dt
 
, onde 
1a ar k C
. 
1
a
a
dC
k C
dt
 
. 
 
44 
 
Balanço de massa para o componente 
B
 
 b a b
d
VC rV rV
dt
 
, onde 
2b br k C
. 
1 2
b
a b
dC
k C k C
dt
 
. 
 
Repare que ,
0,
a iE
RT
i ik k e


, onde 
1,2i 
. 
 
Balanço de energia para o reator 
Para o reator batelada, o balanço de energia pode ser simplificado à 
seguinte equação: 
dH
Q
dt

 (1). 
Novamente, podemos fazer uso da relação 
 , , ,a b cH H T n n n
, que 
fornece 
a b c
a b c
dn dn dndH H dT H H H
dt T dt n dt n dt n dt
   
   
   
. Assim, temos que 
 
1
aa
a a
d VCdn
Vk C rV
dt dt
    
; 
 
1 2
bb
a b a b
d VCdn
Vk C Vk C rV rV
dt dt
    
; 
 
2
cc
b b
d VCdn
Vk C rV
dt dt
  
 
 
Logo, 
a b
a b
dn dndH H dT H H
dt T dt n dt n dt
  
  
  
 
~ ~ ~
( ) ( ) ( )a b cap b c
dn dn dndH dT
Vc H T H T H T
dt dt dt dt dt
    
     
~ ~ ~
( ) ( ) ( )ap a b a b c b
dH dT
Vc H T rV H T rV rV H T rV
dt dt
      (2) 
 
45 
De (1) e (2), vem que 
     
~ ~ ~
( ) ( ) ( )ap a b a b c b
dT
Vc H T rV H T rV rV H T rV Q
dt
       
   
~ ~ ~ ~
( ) ( ) ( ) ( )ap b a b c b
dT
Vc H T H T rV H T H T rV Q
dt
             
   
 
Definindo ~ ~
( ) ( )ab raH T H T H  
 e ~ ~
( ) ( )bc rbH T H T H  
, temos: 
     p ra a rb b
dT
Vc H rV H rV Q
dt
        
   p ra a rb b
dT
Vc H rV H rV Q
dt
     
 
   ra rb
a b
p p p
H HdT Q
r r
dt c c Vc  
 
  
 
 
Balanço de energia para o fluido refrigerante 
Fazendo as mesmas hipóteses válidas para o fluido refrigerante, obtém 
o seguinte modelo: 
,
( )c c ci c
c c c p c
dT F Q
T T
dt V V c  
. 
 
Portanto, o modelo é dado pelas equações diferenciais com suas con-
dições iniciais, onde 
0V
 é constante. Observe sempre o sinal do termo 
Q
. 
   
,1
,2
0
1 0
1 2 0
0
0
,
1 0,1
2 0,2
; (0)
; (0)
; (0)
( ) ; (0)
a
a
a
a a a
b
a b b b
ra rb
a b
p p p
c c
ci c c c
c c c p c
E
RT
E
RT
V V
dC
kC C C
dt
dC
k C k C C C
dt
H HdT Q
r r T T
dt c c Vc
dT F Q
T T T T
dt V V c
k k e
k k e
  




 

   


   


 
   


    


 


 
 
46 
 
 
 
CAPÍTULO IV 
 
 
4. LINEARIZAÇÃO 
E VARIÁVEIS-DESVIO 
 
47 
4.1. Linearização 
4.1.1. Introdução 
A maioria dos sistemas químicos é descrita por equações não lineares, 
que podem ser linearizadas em torno de uma condição operacional estacioná-
ria. As equações lineares resultantes descrevem adequadamente a resposta 
dinâmica do sistema em uma região em torno do estado estacionário. A região 
de validade do modelo linearizado depende do grau de não linearidade do pro-
cesso e da magnitude. 
A técnica de linearização é muito utilizada no estudo de dinâmica de 
processos e no estudo de projeto de sistemas de controle, porque: 
 existe solução analítica para sistemas lineares; 
 a teoria de controle clássico está baseada em processos linea-
res. 
 
4.1.2. Desenvolvimento 
Vamos considerar o sistema não linear descrito por duas equações: 
 1 1 1 2,
dx
f x x
dt

 e 
 2 2 1 2,
dx
f x x
dt

 
A expansão das funções 
 1 1 2,f x x
 e 
 2 1 2,f x x
 não lineares em série de 
Taylor em torno do ponto estacionário 
 10 20,x x
 fornece: 
        
   
  
10 20 10 20
10 20 10 20 10 20
1 1
1 1 2 1 10 20 1 10 2 20
1 2, ,
2 22 2 2
1 10 2 201 1 1
1 10 2 202 2
1 2 1 2, , ,
, ,
2! 2!
x x x x
x x x x x x
f f
f x x f x x x x x x
x x
x x x xf f f
x x x x
x x x x
       
           
          
            
           
              

  
 
 
 
       
   
  
10 20 10 20
10 20 10 20 10 20
2 2
2 1 2 2 10 20 1 10 2 20
1 2, ,
2 22 2 2
1 10 2 202 2 2
1 10 2 202 2
1 2 1 2, , ,
, ,
2! 2!
x x x x
x x x x x x
f f
f x x f x x x x x x
x x
x x x xf f f
x x x x
x x x x
       
           
          
            
           
              

  
 
 
 
 
 
Dessa forma, para uma aproximação linear basta truncar a série da ex-
pansão depois da derivada parcial de primeira ordem. Assim, temos que 
       
10 20 10 20
1 1
1 1 2 1 10 20 1 10 2 20
1 2, ,
, ,
x x x x
f f
f x x f x x x x x x
x x
       
          
          
 
       
10 20 10 20
2 2
2 1 2 2 10 20 1 10 2 20
1 2, ,
, ,
x x x x
f f
f x x f x x x x x x
x x
       
          
          
 
48 
Como o sistema agora é modelado por e modelos lineares, podemos 
representá-lo em forma de uma operação matricial: 
 
 
 
 
10 20 10 20
10 20 10 20
1 1
1 2, ,1 1 2 1 10 1 10 20
2 1 2 2 20 2 10 20
2 2
1 2, ,
, ,
, ,
x x x x
x x x x
f f
x xf x x x x f x x
f x x x x f x xf f
x x
     
    
         
      
          
          
 
O erro introduzido por esta aproximação é da mesma ordem de gran-
deza do termo relativo à derivada ordinária de ordem 2 (erro de trucamento) no 
caso de um modelo unidimensional. 
 
0
22
0
2 2!
x
x xd f
erro
dx


 
A aproximação linear depende da localização do ponto estacionário, ao 
redor do qual se faz a expansão em série de Taylor do modelo não linear. Essa 
aproximação é exata apenas no próprio ponto de linearização, deteriorando-se 
quando há um afastamento deste. Para o caso de sistemas não lineares multi-
variáveis, a aproximação sofre deterioração na medida em que o ponto 
 1, , nx x
 de avaliação do modelo se afasta daqueles utilizados na lineariza-
ção 
 10 0, , nx x
. 
 
 
4.2. Variáveis-desvio 
Seja o sistema não linear 
 
dx
f x
dt

. Vamos supor que 
*x
 seja o esta-
do estacionário deste sistema, de modo que 
 
*
* 0
dx
f x
dt
 
. 
Considerando 
*x
 como o ponto de linearização, o modelo é dado por: 
   
*
* *
x
dx df
f x x x
dt dt
  
, onde 
 * 0f x 
. 
Assim, temos que 
Balanço dinâmico (BD) 
   
*
* *
x
dx df
f x x x
dt dt
  
 
Balanço estacionário (BE) 
   
*
*
* * * 0
x
dx df
f x x x
dt dt
   
 
 
Definindo a variável-desvio como 
' *x x x 
 e fazendo (BD)-(BE), ob-
temos: 
       
* *
*
* * * * *
x x
dx dx df df
f x f x x x x x
dt dt dt dt
 
         
 
 
 
 
*
*
*
x
d x x df
x x
dt dt

 
 
49 
Mas 
' *x x x 
, então 
*
'
'
x
dx df
x
dt dt

. 
Esta equação é a aproximação linear do sistema dinâmico não linear, 
descrito em termos da variável-desvio 
'x
. 
Esta variável é muito importante em controle. Frequentemente, deseja-
se manter o valor de uma variável de processo em algum estado estacionário. 
Assim, este estado é um candidato natural em torno do qual se desenvolve o 
modelo linear aproximado. Neste caso, a variável-desvio descreve diretamente 
a magnitude de deslocamento do sistema em relação ao seu nível operacional 
desejado. O modelo linearizado, descrito em termos de variáveis-desvio, é efi-
caz na descrição do comportamento dinâmico do processo próximo ao estado 
estacionário. 
 
Exemplos 
a) Considere a função que descreve a corrente de saída de um 
tanque como função de uma altura: 
( ) vF h C h
. 
A expansão em série de Taylor em torno do estado estacionário 
sh
 é dada por 
 
 
22
2
( ) ( )
2
s s
s
s s
h h
h hdF d F
F h F h h h
dh dh

    
 
Truncando a expansão na derivada de primeira ordem, temos 
que 
 
1
( )
2
s
v s v s
h
F h C h C h h
h
 
   
 
 
Finalmente, 
 
1
( )
2
v s v s
s
F h C h C h h
h
 
   
 
 
. 
Para escrever em termos de variável-desvio, basta fazer (BD)-
(BE) a partir do modelo linearizado, onde: 
(BD) 
 
1
( )
2
v s v s
s
F h C h C h h
h
 
   
 
 
 
(BE) 
 
1
( )
2
s v s v s s
s
F h C h C h h
h
 
   
 
 
 
 
     1( ) ( )
2
s v s v s v s s s
s
F h F h C h C h C h h h h
h
 
           
 
 
 
1
( ) ( )
2
s v s
s
F h F h C h h
h
 
   
 
 
 
Assim, se 
'
sh h h 
 e 
' '( ) ( ) ( )sF h F h F h 
, 
' ' '1( )
2
v
s
F h C h
h
 
  
 
 
. 
50 
b) O produto de duas variáveis dependentes 
( , )A Af C F C F
 é uma 
função não linear que também pode ser linearizada em torno de 
( , )As sC F
. 
( , )A Af C F C F
 
   
,,
( , ) ( , )
As sAs s
A As s A As s
C FA C F
f f
f C F f C F C C F F
C F
    
       
      
 
   ( , )A As s s A As As sf C F C F F C C C F F    
 
Para escrever o modelo em termo de variáveis-desvio, nova-
mente basta fazer (BD)-(BE) partir do modelo linearizado, onde: 
(BD) 
   ( , )A As s s A As As sf C F C F F C C C F F    
 
(BE) 
   ( , )As s As s s As As As s sf C F C F F C C C F F    
 
 
     
   
( , ) ( , )A As s As s As s A As As Ass
As s s s
f C F f C F C F C F F C C C C
C F F F F
        
    
 
   ( , ) ( , )A As s s A As As sf C F f C F F C C C F F    
 
Assim, se 
'
A As AC C C 
, 
'
sF F F 
 e 
' ' '( , ) ( , ) ( , )A As s Af C F f C F f C F 
, en-
tão o modelo linearizado e em termos de variáveis-desvio é dado 
por 
' ' ' '( , )A s s A Asf C F FC C F 
. 
 
c) O modelo diferencial dado abaixo representa uma reação de se-
gunda ordem em um reator CSTR é não linear. 
21 0,75a a
dC
Ca C
dt
  
 com
( 0)a asC t C 
 
Para que sejam aplicadas as técnicas clássicas de modelagem e 
controle, o mesmo deve ser linearizado. Repare que, neste caso, 
o termo não linear se refere apenas a 
2( )af C Ca
. Desta forma, 
basta encontrar o ponto estacionário 
asC
 (ou valor inicial) do 
modelo, fazer a expansão de Taylor apenas para o termo não li-
near (tendo em vista linearizar todo o modelo) e, em seguida a-
plicar o conceito de variáveis-desvio. 
 
Determinação do ponto estacionário: 
0a
dC
dt

 

 
21 0,75 0s asCa C  
 

 
2
3
asC 
 
 
Linearização do termo não linear: 
2( )af C Ca
 
51 
 ( ) ( )
a as
a
a as a as
C C
dC
f C f C C C
dt 
  
 
 
2
2
3
2 2 4 4 2
( ) 2
3 3 9 3 3as
a as a aC
f C C C C

     
          
     
 
Termo linearizado: 
4 4
( )
3 9
a af C C 
. 
 
Logo, o modelo do CSTR linearizado é dado pela substituição do 
termo não linear na equação original do problema. Assim, vem 
que: 
 1 0,75a a a
dC
f C C
dt
  
 

 
3 4 4
1
4 3 9
a
a a
dC
C C
dt
 
    
 
 

 
4
2
3
a
a
dC
C
dt
 
 com 
2
( 0)
3
aC t  
 
 
Representação do modelo em variáveis-desvio: 
(BD) 
4
2
3
a
a
dC
C
dt
 
, 
2
(0)
3
aC 
 
(BE) 
4
2
3
as
as
dC
C
dt
 
, 
2
3
asC 
 
 
Sabemos que para escrever em termos de variável-desvio, basta 
fazer (BD)-(BE) a partir do modelo linearizado. Assim, 
 2a as a as
dC dC
C C
dt dt
   
, 
2 2
(0)
3 3
a asC C  
 
 
 2a as a as
d C C
C C
dt

  
, 
(0) 0a asC C 
 
 
Definindo 
'
a a asC C C 
, o modelo em termo de varáveis-desvio é 
dado pela equação: 
'
'2a a
dC
C
dt
 
, 
' (0) 0aC 
. 
 
Repare que o fato de o modelo ser linearizado em torno de seu 
ponto estacionário faz com que a condição inicial do modelo se 
torne nula. Durante a simulação do processo, qualquer perturba-
ção que entre no sistema implica em mudanças no comporta-
mento de 
'
aC
, que, neste caso, representam a magnitude do 
desvio em relação à condição inicial. Para recompor 
aC
, basta 
fazer 
'
a a asC C C 
. 
 
 
52 
 
 
 
CAPÍTULO V 
 
 
5. TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
 
53 
5.1. Introdução 
Oliver Heaviside (matemático inglês), quando estudava processos sim-
ples para obter soluções de Equações Diferenciais, vislumbrou um método de 
Cálculo Operacional que leva ao conceito matemático da Transformada de La-
place, que é um método simples para transformar um Problema com Valores 
Iniciais (PVI), em uma equação algébrica, de modo a obter uma solução deste 
PVI de uma forma indireta, sem o cálculo de integrais e derivadas para obter a 
solução geral da Equação Diferencial. Pela utilidade deste método em Matemá-
tica, na Computação, nas Engenharias, na Física e outras ciências aplicadas, o 
método representa algo importante neste contexto. As transformadas de Lapla-
ce são muito usadas em diversas situações, porém, aqui trataremos de suas 
aplicações na resolução de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares. 
 
 
 
5.2. Definição 
Sejam 
( )f f t
 uma função real ou complexa definida para todo 
0t 
 e 
o parâmetro 
0s 
 tais que ocorre a convergência da integral imprópria: 
0 0
( ) ( ) lim ( )
M
st st
M
F s f t e dt f t e dt

 

  
   
. 
Então, a função 
( )F F s
, definida pela integral acima, recebe o nome 
de transformada de Laplace da função 
( )f f t
. 
A transformada de Laplace depende de 
s
e é representada por uma le-
tra maiúscula 
( )F F s
, enquanto que a função original que sofreu a transfor-
mação depende de 
t
 é representada por uma letra minúscula 
( )f f t
. Para 
representar a transformada de Laplace da função 
f
, é comum usar a notação: 
 ( ) = F(s)L f t
. 
Para que a transformada de Laplace exista e para que se possa recu-
perar a função 
f
 de sua transformada, é suficiente que: 
54 
 Em um número finito de subintervalos, sendo 
( )f t
 contínua no 
interior de cada intervalo, tendo para limites finitos quando 
t
, 
caminhando a partir do interior do intervalo, tendo para o ponto 
final do intervalo (isto é, a função deve ser contínua por partes 
em 
0 t 
. 
 A integral 
0
( ) stf t e dt



 deve possuir um valor finito (ser limitada). 
Por exemplo, sendo 
( ) atf t e
 com 
0a 
: 
( )
0 0
 = at at st a s tL e e e dt e dt
 
      
 
Caso 
0a s 
 ou 
s a
, a integral não é limitada. Dessa forma, a 
transformada de 
( ) atf t e
 somente é definida para 
s a
, quan-
do a integral possui valores finitos. 
 
Da definição, constata-se que a transformada de Laplace é uma trans-
formação de uma função no domínio do tempo 
t
 para o domínio de 
s
. A variá-
vel 
s
 é definida como sendo um número complexo: 
s a i 
. A transformada 
de Laplace inversa 1L transforma 
( )F s
 em 
( )f t
, mas 
( )F s
 não contém infor-
mação sobre 
( )f t
 para 
0t 
, então, 
 1( ) ( )f t L F s
 não é definida para 
0t 
. 
 
 
5.3. Transformadas de Laplace de algumas funções básicas 
a) Função exponencial: 
( ) atf t e
 para 
0a 
 e 
0t 
. 
  ( )
0 0
( ) = at st a s tL f t e e dt e dt
 
    
 
( )
0
1
 = 
( )
a s te
a s s a

 

  
. 
Logo, 
1
 = atL e
s a
   
. 
 
b) Função rampa: 
( )f t at
 para 
a
constante e 
0t 
. 
  2 = 
a
L at
s
. 
 
c) Funções trigonométricas: 
( ) ( )f t sen t
 e 
( ) cos( )g t t
 para 
0t 
. 
Vamos empregar a identidade de Euler: 
( )
2
i ie e
sen
i
 



 e 
cos( )
2
i ie e 


 
( ) ( )f t sen t
 

 
0
( ) = ( ) stL f t sen t e dt 
 
55 
   ( ) ( )
0 0
1
( ) = 
2 2
i t i t
st s i t s i te eL f t e dt e e dt
i i
           
 
 
( ) ( )
0 0
1
( ) = 
2 ( ) ( )
s i t s i te e
L f t
i s i s i
 
 
 
    
 
     
 
  2 2
1 1 1 1 2
( ) = 
2 2
i
L f t
i s i s i i s

  
   
         
 
Logo, 
  2 2( ) = L sen t s


. 
Do mesmo modo para 
( ) cos( )g t t
, obtemos que: 
  2 2cos( ) = 
s
L t
s


 
 
d) Função degrau: , 0
( )
0, 0
A t
f t
t

 

. 
Em 
0t 
, há uma descontinuidade da função degrau (isto é, 
( 0)f t 
 é indefinida). Assim, considera-se que o limite inferior 
como sendo 
0t 
 (tempo positivo infinitesimalmente pequeno). 
 
0
0
( ) = 
st
st Ae AL f t Ae dt
s s





  

. 
 ( ) = 
A
L f t
s

 
 
e) Função exponencial multiplicada pelo tempo: 
( ) atf t te
. 
2
1
 = 
( )
atL te
s a
   
 
 
f) Funçãopulso: 0, 0,
( )
, 0
t t T
f t
H t T
 
 
 
. 
 
0 0
( ) = 
T
st stL f t He dt He dt

  
 
 
0
 = 1
T
st
sTHe H e
s s

 
 
 
Logo, 
   ( ) = 1 sT
H
L f t e
s

. 
 
g) Função impulso: 
( ) ( )f t t
(Delta de Dirac). 
Esta função é um pulso com amplitude infinita e duração zero, 
com área unitária 
( ) 1H T 
. Ou seja, 
 
0
( ) lim
T
t função impulso


 
   
0
1 0
( ) = 1
0
sT
T
L t lim e
Ts
 

 
  
 
 (inderteminação!) 
56 
Aplicando L’Hopital, vem que 
 
0
( ) = 1
sT
T
se
L t lim
s



 
 
 
 
Logo, 
 ( ) = 1L t
. 
 
 
 
Tabela de algumas transformadas de Laplace 
Domínio do tempo (t) 
Domínio Complexo 
de Laplace (s) 
a
 
s
a
 
ate
 
as 
1
 
t
 
2
1
s
 
 !1n
t n
, 
,3,2,1n
 
ns
1
 
 !1
1


n
et atn
, 
,3,2,1n
 
 nas 
1
 
 atsen
 
22 as
a

 
 atcos
 
22 as
s

 
 btseneat
 
  22 bas
b

 
 bteat cos
 
  22 bas
as


 
)( cttu 
: degrau unitário em 
ctt 
 
s
e
stc 
)( cttf 
: função com tempo-morto 
dt
 
stdesF

)(
 
)( ctt 
: Delta de Dirac no tempo 
ctt 
 
stce

 
Pulso de magnitude 
H
 em 
ctt 
 
com intervalo de duração 
t
 )1(
tsst ee
s
H
c  
 
Derivada: 
)()( tf n
 ou 
)(
)( )(
n
n
dt
tfd
 
)0()0()( )1(1   nnn ffssFs 
 
 
 
57 
 
5.4. Propriedade linear das Transformadas de Laplace 
A transformada de Laplace é uma transformação linear, isto é: 
     ( ) ( ) = L ( ) L ( )L f t g t f t g t 
 
   ( ) = L ( )L f t f t 
 
Por exemplo, é fácil mostrar que: 
   2 2 = a 1L at bt c L t bL t cL         
. 
Do mesmo modo, a transformada inversa de Laplace também é uma 
transformação linear, isto é: 
     1 1 1( ) ( ) = L ( ) L ( )L F s G s F s G s   
 
   1 1( ) = L ( )L F s F s  
 
 
 
5.5. Resolução de uma EDO Linear 
Como exemplo, podemos procurar obter a solução do problema de va-
lor inicial (PVI) dado por: 
tdy y e
dt
 
 com 
(0) 5y 
. Em se aplicando a trans-
formada de Laplace a essa EDO Linear, temos que: 
tdyL y L e
dt
       
 
 
  t
dy
L L y L e
dt
       
 
 
Pela tabela de transformadas, 
( ) (0)
dy
L sY s y
dt
 
  
 
; 
  ( )L y Y s
 e 
1
1
tL e
s
    
. 
Logo, 
1
( ) (0) ( )
1
sY s y Y s
s
  

 
1
( ) 5 ( )
1
sY s Y s
s
  

 

 
 
1
1 ( ) 5
1
s Y s
s
  

 
   
2
1 5
( )
11
Y s
ss
 

. 
Agora, para voltar ao domínio do tempo usando a transformada inversa 
de Laplace. Assim, vem que 
 1( ) ( )y t L Y s
. Aplicando 1L a equação de 
( )Y s
, 
temos 
 
   
1 1
2
1 5
( )
11
L Y s L
ss
 
 
  
  
 
 
   
1 1 1
2
1 5
( )
11
L Y s L L
ss
  
   
    
     
 
Novamente, pela tabela de transformadas, temos que 
58 
 1 ( ) ( )L Y s y t 
, 
 
1
2
1
1
tL te
s
 
 
 
  
 e 
 
1 5 5
1
tL e
s
 
 
 
  
. 
Logo, 
( ) 5t ty t te e  
. 
A solução do PVI é dada por 
 ( ) 5 ty t t e 
. 
 
 
5.6. Expansão em frações parciais 
O Método das frações parciais é utilizado para decompor uma função 
racional 
( )
( )
( )
P s
F s
Q s

, que é a divisão de dois polinômios 
( )P P s
 e 
( )Q Q s
, 
ambos na variável 
s
, para obter frações mais simples, com o objetivo de facili-
tar processos de integração ou obter as transformadas inversas de Laplace. 
Para realizar tal tarefa, necessitamos de três hipóteses essenciais so-
bre os polinômios 
( )P P s
 e 
( )Q Q s
: 
1. 
( )P P s
 e 
( )Q Q s
 só possuem coeficientes reais; 
2. 
( )P P s
 e 
( )Q Q s
 não possuem fatores em comum; 
3. O grau de 
( )P P s
 é sempre menor que o grau de 
( )Q Q s
; 
4. Presença de tempo-morto. 
A expansão em frações parciais depende das raízes do polinômio 
( )Q Q s
, de modo que a natureza dessas raízes determina o método de solu-
ção do problema. Neste caso, a função racional 
( )F s
 pode ser representada 
por: 
1 2
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )n
P s P s
F s
Q s s p s p s p
 
  
, onde 
ip
 são as 
n
 raízes de 
( )Q s
. 
Desse modo, a expansão em frações parciais implica que: 
1 2
1 2 1 2
( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
n n
AA AP s
F s
s p s p s p s p s p s p
    
     
. 
Para a solução, devemos encontrar primeiramente as raízes 
ip
 e de-
pois determinarmos o valor dos coeficientes 
iA
 da expansão. Assim, a trans-
formada inversa pode ser aplicada a cada fração e fornecer a função solução 
desejada: 
 1 1 1 11 2
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
n
AA A
f t L F s L L L
s p s p s p
                 
       
 
Em seguida, apresentamos alguns exemplos e o mínimo necessário de 
teoria relacionado com cada método. 
 
59 
5.6.1. As raízes de 
( )Q Q s
 são reais e distintas. 
1 2
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )n
P s P s
F s
Q s s p s p s p
 
  
, onde 
ip 
 e 
1 2 np p p  
. 
1 2
1 2
( )
( ) ( ) ( )
n
n
AA A
F s
s p s p s p
   
  
 
 lim ( )
i
i i
s p
A s p F s

   
, 
1, 2, ,i n
 
  1 2
1 2
lim
( ) ( ) ( ) ( )i
i n
i i
s p
i n
A AA A
A s p
s p s p s p s p
  
        
      
 
     1 2
1 2
lim
( ) ( ) ( )i
i i n i
i i
s p
n
A s p A s p A s p
A A
s p s p s p
   
      
   
 
 
Exemplo 2: 2
2
( ) ( )
3 2 ( ) 5 ( )
d c t dc t
c t u t
dt dt
  
, onde 
( )u t
 é uma função de-
grau unitário aplicado no instante 
0ct 
, 
(0) 0c 
 e 
(0) 0
dc
dt

. Resposta: 
2( ) 2,5 5 2,5t tc t e e   
. 
 
2
2
( ) ( )
3 2 ( ) 5 ( )
d c t dc t
L c t L u t
dt dt
 
   
 
 
   
2
2
( ) ( )
3 2 ( ) 5 ( )
d c t dc t
L L L c t L u t
dt dt
   
     
  
 
 2
(0) 5
( ) (0) 3 ( ) (0) 2 ( )
dc
s C s sc sC s c C t
dt s
 
      
 
 
 2
5
3 2 ( )s s C s
s
  
 

 
    2
5 5
( )
1 23 2
C s
s s ss s s
 
  
 
Verificamos que as raízes do denominado de 
( )C s
 são 0, -1 e -2, ou 
seja, são reais e distintas. Podemos expandir em frações parciais agora e fazer 
o cálculo dos coeficientes 
iA
: 
  
31 25( )
1 2 1 2
AA A
C s
s s s s s s
   
   
 
 lim ( )
i
i i
s p
A s p F s

   
, onde 
1, 2 3i e
 
   
     
1
1 1
0
1
0 0
lim ( ) lim ( )
5 5
lim lim 2,5
1 2 1 2
s p s
s s
A s p C s sC s
A s
s s s s s
 
 
     


     
                  
 
60 
   
 
    
2
2 2
1
2
1 1
lim ( ) lim 1 ( )
5 5
lim 1 lim 5
1 2 2
s p s
s s
A s p C s s C s
A s
s s s s s
 
 
          


    
                   
 
   
 
    
3
3 3
2
3
2 2
lim ( ) lim 2 ( )
5 5
lim 2 lim 2,5
1 2 1
s p s
s s
A s p C s s C s
A s
s s s s s
 
 
          


     
                  
 
Logo, 
  
5 2,5 5 2,5
( )
1 2 1 2
C s
s s s s s s

   
   
. 
 1( ) ( )c t L C s
 
1 1 1 12,5 5 2,5 2,5 5 2,5( )
1 2 1 2
c t L L L L
s s s s s s
                                 
 
2( ) 2,5 5 2,5t tc t e e   
 
 
 
5.6.2. As raízes de 
( )Q Q s
 são complexas conjugadas. 
As raízes são do tipo 
1p p i 
 e 
2p p i 
, de modo que a expan-
são em frações parciais fornece: 
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )k
P s P s
F s
Q s s p i s p i s p       
 
1 2( )
( ) ( ) ( )
k
k
AA A
F s
s p i s p i s p        
 
 1 lim ( )
s p i
A s p i F s       
 e 
 2 lim ( )
s p i
A s p i F s       
 
 
   1 1 1 1 1 cos sin
p i t pt i t ptAL Ae Ae e Ae t i t
s p i
    
 
    
   
 
 
   1 2 2 2 cos sin
p i t ptAL A e A e t i t
s p i
  

 
   
   
 
 
1 kp tk
k
k
A
L A e
s p

 
 
  
 
Definindo 
1A B iC 
 e 
2A B iC 
 
 1( ) ( )f t L F s
 
     ( ) cos sin cos sin kp tpt kf t e B iC t i t B iC t i t A e             
 ( ) 2 cos 2 sin kp tpt kf t e B t C t A e      
61 
Mas sabemos que 
 1 2 3cos sin sina t a t a t     
, sendo 
2 2
3 1 2a a a 
 e 
1
2
arctan
a
a

 
  
 
. Dessa maneira, a solução é dada por: 
 2 2( ) 2 sin kp tpt kf t e B C t A e       
, onde 
arctan
B
C
    
 
. 
 
Exemplo 3: 2
2
( )( ) ( )
2 5 ( ) ( )i i
dc td c t dc t
c t c t
dt dt dt
   
, onde 
( )iC t
 é a função 
Delta de Dirac aplicado no instante 
0ct 
, 
(0) 0c 
, 
(0) 0
dc
dt

 e 
(0) 0ic 
. Res-
posta: 
( ) 2 (2 )tc t e sen t  
, onde 
º45 
. 
 
 
5.6.3. As raízes de 
( )Q Q s
 são reais e repetidas. 
Os dois métodos aplicados anteriormente para o cálculo do coeficiente 
não são adequados quando há raízes repetidas. Neste caso, o polinômio 
( )Q Q s
 tem raízes cuja multiplicidade é maior que 1. Supondo que 
( )Q Q s
 
tenha uma raiz 
p
 cuja multiplicidade seja 
1m 
, então a expansão em frações 
parciais fornece: 
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )mk k
P s P s
F s
Q s s p s p
 
 
 
1 2
1
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m k
m m m
k k
A AA AP s
F s
s p s p s p s p s p s p
      
     
 
 lim ( )
k
k k
s p
A s p F s

   
 
 1 lim ( )
m
s p
A s p F s

  
 
 
Contudo, para os outros 
 1m
 coeficientes, devemos multiplicar am-
bos os lados da equação de 
( )F s
 por 
 
m
s p
, derivar ambos os lados em re-
lação a 
s
 e depois fazer o limite 
s p
 para obter 
2A
. Aplica-se este método 
alternativo a busca de todos os outros coeficientes, de modo sucessivo até en-
contrar 
mA
. 
Uma generalização possível pode ser dada pelas equações abaixo: 
 1 lim ( )
m
s p
A s p F s

  
 
 
 2 lim ( )
m
s p
d
A s p F s
ds
  
 
 
 
2
3 2
1
lim ( )
2!
m
s p
d
A s p F s
ds
  
 
 
 
 
1
1
1
lim ( )
1 !
m
m
m ms p
d
A s p F s
m ds


  
 
 
62 
Assim, a inversão fornece: 
   
1 21 2( )
1 ! 2 !
kp tm m pt
m k
A A
f t t t A e A e
m m
 
 
      
   
 
 
Exemplo 4: 3 2
3 2
( ) ( ) ( )
3 3 ( ) 2 ( )
d c t d c t dc t
c t u t
dt dt dt
   
, onde 
( )u t
 é uma fun-
ção degrau unitário aplicado no instante 
0ct 
, 
(0) 0c 
, 
(0) 0
dc
dt

 e 2
2
(0) 0
d c
dt

. 
Resposta: 
 2( ) 2 2 2 ( )tc t e t t u t    
. 
 
 
5.6.4. Presença de tempo-morto 
Quando a transformada de Laplace apresenta tempo-morto, na técnica 
de expansão em frações surge termo 
dt se

, onde 
dt
 é o tempo-morto. Caso o 
termo apareça no denominador, não é possível fazer a inversão por expansão 
em frações parciais. Caso apareça no numerador, o seguinte procedimento po-
de ser aplicado: 
1
( )
( ) ( )
( )
d dt s t s
P s
F s e F s e
Q s
  
 
Fazemos apenas a expansão em frações parciais apenas da razão de 
polinômios: 
1 2
1
1 2
( )
( )
( )
k
k
AA AP s
F s
Q s s p s p s p
    
  
 
 11 1( ) ( )f t L F s

 
1 2
1 1 2( )
kp tp t p t
kf t Ae A e A e
    
 
Usando a translação real: 
 1 1( ) ( ) ( )d
t s
dF s F s e L f t t
  
 
 1 1( ) ( ) ( )df t L F s f t t
  
 
Logo, 
     1 2
1 2( )
d d k dp t t p t t p t t
kf t Ae A e A e
     
   
 para 
dt t
. 
 
 
Exemplo 4: 
( )
2 ( ) ( )
dc t
c t f t
dt
 
, onde 
( ) ( 1)f t u t 
 é uma função de-
grau unitário aplicado no instante 
1ct 
 e 
(0) 0c 
. Resposta: 
  2 11( ) ( 1) 1
2
t
c t u t e
 
  
. 
 
63 
 
 
 
CAPÍTULO VI 
 
 
6. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
64 
6.1. Introdução 
Vamos agora usar uma nova metodologia baseada nas chamadas fun-
ções de transferência. A função de transferência é uma função (expressão) al-
gébrica representando a relação dinâmica entre a entrada e a saída do proces-
so. Ela é definida de forma a ser independente das condições iniciais e da es-
colha particular da função perturbação e adicionalmente simplifica a análi-
se/projeto do sistema de controle. A função de transferência somente é aplica-
da a sistemas lineares, uma vez que a transformada de Laplace apenas pode 
ser empregada em equações lineares. Se o modelo em questão for não-linear, 
primeiramente, deve ser feita sua linearização por meio da expansão de Taylor 
já vista. 
 
 
6.2. Definição 
A função de transferência de um sistema linear invariante no tempo é 
definida como sendo a razão da transformada de Laplace da resposta (saída) 
do sistema pela transformada de Laplace da excitação (perturbação) do siste-
ma, considerando-se nulas todas as condições iniciais. 
Em outras palavras, se 
)(trr 
 é a resposta de um sistema devido a 
uma excitação (perturbação) 
)(tee 
, então sua função de transferência 
)(sGG 
 é dada por 
)(
)(
)(
sE
sR
sG 
 
onde 
)(sRR 
 é a transformada de Laplace da resposta do sistema e 
)(sEE 
 
é a transformada de Laplace da excitação do sistema. Reescrevendo: 
)()()( sEsGsR 
 
observamos que a transformada de Laplace da resposta do sistema é dada pe-
lo produto da função de transferência do sistema pela transformada de Laplace 
da excitação. 
Supondo que as raízes de 
)(sR
 são todas diferentes das raízes de 
)(sE
, 
pode-se definir o seguinte: 
 pólos de G(s): raízes de 
)(sE
. 
 zeros de G(s): raízes de 
)(sR
. 
 ordem do sistema: grau de 
)(sE
. 
 tipo do sistema: número de pólos da 
)(sG
 em
0s
. 
65 
Exemplo: Seja um sistema representado pela seguinte função de trans-
ferência: 
)10)(5(
)3)(2(
5015
65
)(
23
2






sss
ss
sss
ss
sG
, tem-se então que: 
 pólos: 0, -5, -10 
 zeros:-3, -2 
 tipo do sistema: 1 (apenas um pólo na origem) 
 ordem do sistema: 3 
 
 
6.3. Desenvolvimento de uma função de transferência 
Consideremos uma EDO de 1ª ordem descrevendo um tanque de a-
quecimento agitado com 
V
, 
pC
, 

 e 
F
 constantes: 
QTTCF
dt
dT
CV ipp  )(
 
Outra hipótese válida é considerar que o processo está inicialmente em 
estado estacionário, isto é, no instante inicial, temos que: 
sTT )0(
 
sii TT ,)0( 
 
sQQ )0(
 
Uma forma de eliminar a dependência do modelo com as condições i-
niciais estacionárias é subtrair o balanço estacionário (BE) do balanço dinâmico 
(BD), definindo as variáveis-desvio: 
 
BD 
QTTCF
dt
dT
CV ipp  )(
 
BE 
sssip QTTCF  )(0 ,
 
 
sssiip
s
p QQTTTTCF
dt
TTd
CV 

)]()[(
)(
,
 
 
'''
'
)( QTTCF
dt
dT
CV ipp  
 
sendo 'T , '
iT
e 
'Q
 as variáveis-desvio: 
sTTT 
'
 
0)0('  ss TTT
 
siii TTT ,
'

 
0)0( ,,
'
 sisii TTT
 
sQQQ 
'
 
0)0('  ss QQQ
 
 
Reordenando, obtemos 
p
i
CF
Q
TT
dt
dT
F
V

'
''
'

. 
66 
O termo 
F
V
 tem a dimensão de 
][TEMPO
 e é denominado comumen-
te como constante 

. Essa constante de tempo indica a velocidade de res-
posta do processo a uma mudança desejada ou a uma perturbação. 
 

 elevado indica processo lento 

 pequeno indica processo rápido 
 
O termo 
pCF
1
 é chamado de ganho estacionário 
K
 do processo. 
Aplicando o conceito de Transformadas de Laplace ao modelo linear 
descrito em termos das variáveis-desvio, temos que: 
p
i
CF
Q
TT
dt
dT
F
V

'
''
'

 
'''
'
KQTT
dt
dT
i 
 
)()()()]0()([ ''
''' sKQsTsTTssT i  
)()()()( ''
'' sKQsTsTssT i 
 
)(
1
)(
1
1
)( '
'' sQ
s
K
sT
s
sT i



 
 
)()()()()( '2
'
1
' sQsGsTsGsT i 
 
 
onde: 
i. 
1
1
)(1


s
sG

 é a função de transferência que relaciona a entrada 
)(
'
sTi
 com a saída do sistema 
)(
'
sT
; 
ii. 
1
)(2


s
K
sG

 é a função de transferência que relaciona a entrada 
)(' sQ
 com a saída do sistema 
)(
'
sT
; 
Fazendo 
0)(
'
sTi
, uma perturbação degrau em 
)(' sQ
 com amplitude 
Q
 implica em: 
)(
1
)(
1
1
)( '
'' sQ
s
K
sT
s
sT i



 
 
)(
1
)( '' sQ
s
K
sT



 
s
Q
s
K
sT



1
)('

 
)1(
)('



ss
QK
sT

 
 
 
67 
Resolvendo a equação acima por expansão em frações parciais, temos 
que: 
)
1
(
/
)1(
)('


 





ss
QK
ss
QK
sT
 


1
)
1
(
/
)( 21'





s
A
s
A
ss
QK
sT
 
QKssTA
s


)]([lim '
0
1
 
QKsTsA
s


)]()
1
[(lim '
1
2 

 

1
)('





s
QK
s
QK
sT
 
]
1
[][)]([)( 11'1'




 
s
QK
L
s
QK
LsTLtT
 
t
eQKQKtT 
1
' )(


 
)1()(
1
'
t
eQKtT 


 
 
Para encontrar o novo valor estacionário de 'T após a aplicação da 
perturbação degrau em 
'Q
, basta fazer 
t
: 
)]1([lim)]([lim
1
''
t
tt
NOVO eQKtTT 



 
QKT NOVO 
'
 
Ou seja, 
sNOVO TQKT 
 
 
 
6.4. Propriedades da função de transferência 
 O ganho estacionário (
K
) do processo pode ser calculado a partir 
da função de transferência. Fazendo-se 
0s
 em 
)(sG
, obtemos o ganho es-
tacionário caso ele exista. 
Pelo Teorema do Valor Final, implementando-se uma perturbação de-
grau unitária na variável de entrada 
x
, a mudança na saída 
y
 para 
t
 é 
dada por 
)]([lim
0
sGK
s

, sendo 
)(
)(
)(
sx
sy
sG 
. 
)]()([lim)]([lim)(lim
00
sxsGssystyK
sst 

 
)]([lim]
1
)([lim
00
sG
s
sGsK
ss 

 
)]([lim
0
sGK
s

 
 
 
68 
 A ordem do denominador (polinômio em s ) de uma função de 
transferência é igual à ordem da equação diferencial equivalente. 
xb
dt
dx
b
dt
xd
b
dt
xd
bya
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a
m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n 011
1
1011
1
1  



 
 
Vamos considerar 
x
 e 
y
 na forma de variáveis-desvio e ainda condi-
ções iniciais nulas. Dessa forma, temos que: 
01
1
1
01
1
1
)(
)(
)(
asasasna
bsbsbsb
sx
sy
sG
n
nn
m
m
m
m








 
 
 A ordem do numerador e do denominador é limitada por razões 
físicas, sendo 
mn 
. 
Suponha que um processo real possa ter 
0n
 e 
1m
: 
xb
dt
dx
bya 010 
. Este sistema responde a uma mudança do tipo degrau em 
)(tx
 como um im-
pulso. 
Funções de transferência com 
0m
 são classificadas como possuindo 
dinâmica no numerador. Por exemplo: 
1
1
)(
)(



s
s
sx
sy
b
a


 
 
 Funções de transferência possuem a propriedade de adição. 
)()()()()( 22113 sXsGsXsGsX 
 
 
 Se dois processos estão em série, então: 
)()()( 112 sXsGsX 
 
)()()( 223 sXsGsX 
 
)()()()( 1213 sXsGsGsX 
 
 
 
 
X2(s) 
X3(s) X1(s) G1(s) G2(s) 
X2(s) G2(s) 
X3(s) + 
X1(s) G1(s) 
69 
 
6.5. Procedimento para desenvolvimento de uma função de 
transferência 
 
 
70 
 
 
 
CAPÍTULO VII 
 
 
7. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE 
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 
 
71 
7.1. Introdução 
O conhecimento de processos elementares é fundamental, porque sis-
temas reais são uma combinação mais ou menos complexa desses processos 
básicos. 
Sistemas de 1ª ordem são caracterizados por sua capacidade de ar-
mazenar massa, energia ou momento, bem como pela resistência relacionada 
ao escoamento dessas três grandezas fundamentais. 
Por exemplo, a resposta dinâmica de tanques, que armazenam subs-
tâncias, pode ser modelada como sendo de 1ª ordem. A resistência desses sis-
temas está associada a componentes como bombas, válvulas e tubos, que es-
tão acoplados a entrada ou a saída da substância. 
Do mesmo modo, a resposta térmica de um sistema, que armazena 
energia térmica, pode ser modelada como um sistema de 1ª ordem. A resistên-
cia está associada, nesse caso, com a resistência à transferência de calor atra-
vés das paredes, de fluidos etc. 
 
 
7.2. Definição 
O sistema de 1ª ordem é aquele cuja saída 
)(ty
 é modelada por uma 
equação diferencial de 1ª ordem. Para o caso de um sistema linear (ou lineari-
zado), temos a seguinte forma para o modelo: 
)(01 tbfya
dt
dy
a 
 
onde 
)(tf
 representa uma função perturbadora (variável de entrada). 
I. Se 
00 a
, temos que 
)(
00
1 tf
a
b
y
dt
dy
a
a

 
Agora, podem-se definir as constantes 
0
1
a
a

, constante de tempo 
0a
b
K 
, ganho estático ou estacionário 
Portanto, 
)(tKfy
dt
dy

 
72 
Se 
)(ty
 e 
)(tf
 estão definidas em termos de variáveis-desvio em torno 
de um estado estacionário, as condições iniciais são: 
0)0( y
 e 
0)0( f
. Des-
sa forma, aplicando a transformação de Laplace, temos que 
 )(tKfLy
dt
dy
L 






 
   )(tfKLyL
dt
dy
L 





 
)()()]0()([sKFsYyssY  , 0)0( y 
1)(
)(
)(


s
K
sF
sY
sG

, FT de um sistema de 1ª ordem! 
A equação acima é a função de transferência de um sistema de 1ª or-
dem denominada na literatura comumente como retardo ou atraso de 1ª ordem, 
atraso linear ou atraso de transferência exponencial. 
 
II. Se 
00 a
, temos que 
)(1 tbf
dt
dy
a 
 
)(
1
tf
a
b
dt
dy

 
Do mesmo modo, pode-se definir a constante 
1
'
a
b
K 
, ganho estático ou estacionário 
Se 
)(ty
 e 
)(tf
 estão definidas em termos de variáveis-desvio em torno 
de um estado estacionário e 
0)0( y
 e 
0)0( f
, temos que 
 )(' tfKL
dt
dy
L 





 
)()]0()([ ' sFKyssY  , 0)0( y 
s
K
sF
sY '
)(
)(

 
Esta é a função de transferência de um sistema de 1ª ordem denomi-
nada como puramente capacitivo ou integrador. 
K
 ou 'K e  definem a “personalidade” do pro-
cesso. 
 
 
73 
7.3. Resposta transiente a uma perturbação degrau unitário 
7.3.1. Sistema puramente capacitivo ou integrador 
s
K
sF
sY '
)(
)(

 
Vamos fazer 
)(tf
 sofrer uma perturbação degrau unitário: 
s
sF
1
)( 
 
Assim, 
tKty
s
K
ss
K
sY L '
2
''
)(
1
)(
1


 
tKty ')( 
 
 
7.3.2. Sistema atraso de primeira ordem 
1)(
)(


s
K
sF
sY

 
Fazendo novamente 
)(tf
 sofrer uma perturbação degrau unitário, te-
mos que: 
)1(1
1
)(




ss
K
s
K
s
sY

 
  

11
)(




s
B
s
A
ss
K
sY
 
K
s
K
ssYA
ss














1
lim)]([lim
00
 
   K
s
K
sYsB
ss

















11
lim)(1lim
 
t
L KeKty
s
K
s
K
sY





 



 

1
)(
1
)(
1
 














 
t
eKty 
1
1)(
 
 
 
74 
7.4. Algumas características de sistemas de primeira ordem 
 
a. Tais sistemas são autorregulavéis, alcançando um novo estado 
estacionário quando da implementação da perturbação degrau. 
b. O coeficiente angular da resposta em 
0t
 é unitário, indicando 
que se a mudança inicial em 
)(ty
 fosse mantida, a resposta atin-
giria seu valor final em uma constante de tempo 

. 
c. Quanto menor o valor de 

 mais íngreme é a resposta inicial do 
sistema. Portanto, a constante de tempo 

 é a medida do tempo 
necessário para que o processo se ajuste a uma mudança em sua 
entrada. 











t
eKty 1)(
 

t
e
K
ty

1
)( 
 


t
e
td
K
ty
d 







1
)(
 
d. A resposta 
)(ty
 alcança: 63,2 % do seu valor final quando 
t
 
86,5 % do seu valor final quando 
2t
 
95 % do seu valor final quando 
3t
 
98 % do seu valor final quando 
4t
 
Assim, aproximadamente após 4 constantes de tempo, pode-se dizer 
que o sistema atingiu seu valor final. 
e. O valor último da resposta (valor do novo estado estacionário) é 
idêntico a 
K
 para uma mudança degrau unitário na entrada. Por-
tanto, essa característica explica o nome de ganho estático ou es-
tacionário para o parâmetro 
K
. 
Exemplo: Tanque de nível com resistência linear na corrente de saída. 
oi FF
dt
dh
A  
, onde 
R
h
Fo 
 
iRFh
dt
dh
AR 
 (balanço dinâmico - BD) 
sis RFh ,0 
 (balanço estacionário - BE) 
''
'
)()( iRFh
dt
dh
ARBEBD 
 
 
 
75 
Definindo 
AR
 e 
RK 
 e admitindo 
0)0(' h
, temos que 
''
'
iKFh
dt
dh

 
  )()()0()( '''' sKFsHhssH i
 
1)(
)(
'
'


s
K
sF
sH
i

 
 
 
76 
 
 
 
CAPÍTULO VIII 
 
 
8. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE 
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
E DE ORDEM SUPERIOR 
 
77 
8.1. Introdução 
Sistemas de 2ª ordem ou de ordem mais elevada surgem de diversas 
situações físicas, as quais sejam: 
 Processos multicapacitivos: são dois ou mais sistemas de 1ª or-
dem em série com fluxo de matéria ou energia; 
 Sistemas de 2ª ordem inerentes: são processos que têm inércia 
e estão sujeitos a aceleração. Tais sistemas estão associados a 
movimento de líquidos ou com a movimentação de partes soli-
das. Alguns exemplos são os modelos para o manômetro, indi-
cador de nível, válvula pneumática entre outros. 
 Um sistema e seu controlador: o sistema de controle instalado 
em uma unidade de processo introduz uma dinâmica adicional, 
que, acoplado a dinâmica da unidade, origina um comportamen-
to de 2ª ordem ou de ordem mais elevada. 
 
 
8.2. Definição 
Um sistema de 2ª ordem é aquele cuja saída 
)(ty
 é modelada por uma 
equação diferencial de 2ª ordem. Para o caso de um sistema linear (ou lineari-
zado), temos a seguinte forma para o modelo: 
)(012
2
2 tbfya
dt
dy
a
dt
yd
a 
 
onde 
)(tf
 representa uma função perturbadora (variável de entrada). 
Se 
00 a
, temos que 
)(
00
1
2
2
0
2 tf
a
b
y
dt
dy
a
a
dt
yd
a
a

 
Podemos definir as seguintes constantes 
0
22
a
a

, 

 é o período natural de oscilação do sistema 
0
12
a
a

, 

 é o fator de amortecimento 
0a
b
K 
, ganho estático ou estacionário 
 
Portanto, 
)(2
2
2
2 tKfy
dt
dy
dt
yd
 
 
78 
Se 
)(ty
 e 
)(tf
 estão definidas em termos de variáveis-desvio em torno 
de um estado estacionário, as condições iniciais são: 
0
)0(

dt
dy
, 
0)0( y
 e 
0)0( f
. Dessa forma, aplicando a transformação de Laplace, temos que 
 )(2
2
2
2 tKfLy
dt
dy
dt
yd
L 





 
 
   )(2
2
2
2 tfKLyL
dt
dy
L
dt
yd
L 










 
 
  )()()0()(2)0()0()(22 sKFsYyssY
dt
dy
sysYs 





  
12)(
)(
)(
22 

ss
K
sF
sY
sG 
, FT de um sistema de 2ª ordem! 
Polos da FT de 2ª ordem: 



 12
1

p
, 



 12
2

p
. 
 
8.3. Resposta transiente a perturbação degrau unitário 
Vamos fazer 
)(tf
 sofrer uma perturbação degrau unitário: 
 sss
K
sY
s
sF
12
)(
1
)(
22 
 
 
 
Assim, 
sss
K
sY







 








 











11
)(
22
2
 
 
Dependendo do valor de 

, podemos ter os seguintes casos: 
 
Fator de amortecimento Polos 
1p
 e 
2p
 
Tipo de resposta 
(classificação) 
1 
 Reais e distintos 
parte real negativa 
Superamortecida 
1 
 Reais e iguais 
parte real negativa 
Criticamente amortecida 
0 1 
 Complexos conjugados 
parte real negativa 
Subamortecida 
0 
 Complexos conjugados 
parte real nula 
Oscilatória 
com amplitude constante 
0 
 Complexos conjugados 
parte real positiva 
Instável 
79 
8.3.1. Resposta superamortecida ou não oscilatória (
1
) 







 








 











11
)(
22
2
sss
K
sY 







 11
)(
2
3
2
21






s
A
s
A
s
A
sY
 
KA 1, 
2122 22
2



K
A
 e 
2122 22
3



K
A
 























 









 


tsenhteKty
t





 1
1
1
cosh1)(
2
2
2 
onde 
)cos(
2
)cosh( ix
ee
x
xx



 e 
)(
2
)( ixisen
ee
xsenh
xx



 
A resposta para 
1
 é não-oscilatória e se torna mais lenta (morosa) 
na medida em que 

 aumenta. Quando comparada a resposta a uma pertur-
bação degrau em um sistema de 1ª ordem, verifica-se que o sistema responde 
inicialmente com um atraso, permanecendo a resposta mais lenta também ao 
longo do tempo. Um ponto importante a ser destacado é que as respostas su-
peramortecidas são típicas de sistemas de 1ª ordem em série. 
 
 
8.3.2. Resposta criticamente amortecida (
1
) 
2
2
)(











ss
K
sY 
2
321
2
2
)(

























s
A
s
A
s
A
ss
K
sY
 
21 
K
A 
, 
22 
K
A 
 e 
 23
K
A 
 
















t
e
t
Kty 11)(
 
 
 
80 
8.3.3. Resposta subamortecida ou oscilatória (
1
) 







 








 


isiss
K
sY









22
2
11
)( 
is
A
is
A
s
A
sY







 2
3
2
21
11
)(






 
KA 1
, 
i
KK
A
2
2
122 



 e 
i
KK
A
2
3
122 



 




















)(
1
1
1)(
2




tseneKty
t 
onde 



21

 e 







 
 



2
1 1tan
 
 
A resposta subamortecida é inicialmente mais rápida que a criticamen-
te amortecida e que a superamortecida. Apesar de a reposta subamortecida 
ser mais veloz inicialmente e alcançar seu valor final rapidamente, a mesma 
não permanece nesse valor e começa a oscilar com amplitude progressiva-
mente decrescente. Esse comportamento oscilatório torna a resposta subamor-
tecida completamente diferente das demais. Esse comportamento oscilatório 
torna-mais pronunciado com o decréscimo do fator de amortecimento 

. 
Vale ressaltar que a maior parte das respostas subamortecidas em 
uma planta química decorre da interação dos controladores com as unidades 
do processo. Os projetistas de sistemas de controle buscam fazer com que a 
resposta a um degrau no valor desejado da variável controlada se aproxime da 
resposta ao degrau de um sistema de 2ª ordem subamortecido. Valores de 

 
entre 0,4 e 0,8 (
)8,04,0 
 são frequentemente empregados em malhas de 
controle. 
O desempenho em regime transiente de um sistema com resposta su-
bamortecida é avaliado, em geral, pela resposta temporal do sistema a uma en-
trada do tipo degrau. E para avaliar o desempenho do sistema, vamos definir 
alguns termos que são comumente empregados para descreve a dinâmica de 
sistemas de 2ª ordem ou de ordem superior. 
 
 
8.3.3.1. Sobre-elevação (overshoot) - 
BA /
 
É a medida de quanto a resposta de um sistema, submetido a uma per-
turbação degrau, excede seu valor final. É definida como a razão 
BA /
. 
B
é o 
valor final da resposta (
)(ty
 quando 
t
, isto é, 
KtyB
t


)(lim
) e 
A
 é a 
quantidade máxima excedida pela resposta em relação ao seu valor final. 
81 
21 



 e
B
A 
 
 
8.3.3.2. Razão de declínio (decay ratio) - 
AC /
 
É a razão entre a altura de dois picos sucessivos acima do valor último, 
definida como 
AC /
. Vale observar que 
2)(overshoot declínio de razão 
. 
21
2




 e
A
C 
 
 
8.3.3.3. Período de oscilação - 
T
 
A frequência em radianos 

 de uma resposta subamortecida é definida 
como 



21

. Então, sendo 
T
 2
, temos que 
21
2



T
 
 
 
8.3.3.4. Período natural de oscilação - 
nT
 
Um sistema de 2ª ordem com fator de amortecimento 
0
 está livre 
de qualquer amortecimento. Sua função de transferência é dada por 
  



 isis
K
s
K
s
K
sF
sY
sG






2
2
2
2
22 11)(
)(
)(
 
Como há dois polos puramente imaginários, o sistema oscila com am-
plitude constante e frequência natural (

1n
). Novamente, como 
T
 2
, 
temos que 
2nT
 
 
 
8.3.3.5. Tempo de resposta (settling time) - 
rt
 
A resposta de um sistema subamortecido alcança seu valor final de 
forma oscilatória na medida em que 
t
. Para fins práticos, admite-se que a 
resposta atingiu seu valor final quando ela alcança uma faixa de 
%5
 de seu 
valor final e nela permanece. O tempo necessário para a resposta alcançar es-
sa situação é denominado tempo de resposta (
rt
). 
 
 
82 
8.3.3.6. Tempo de ascensão (rise time) - 
at
 
Esse termo é usado para caracterizar a velocidade de reposta de um 
sistema subamortecido. É definido como o tempo que a resposta leva para al-
cançar pela primeira vez seu valor final. Quanto menor o fator de amortecimen-
to, menor o tempo de ascensão (mais rápida é a resposta do sistema), porém 
com maior overshoot. 
 
 
8.3.4. Resposta oscilatória com amplitude constante (
0
) 
O sistema oscila com amplitude constante. 
 
 
8.3.5. Resposta instável (
0
) 
O termo exponencial cresce sem limite na medida em 
t
 (sistema 
instável). 
 
 
Para finalizar este capítulo, vale destacar que a velocidade máxima da 
resposta (coeficiente angular máximo) de sistemas de 2ª ordem não ocorre em 
0t
 (como é o caso dos sistemas de 1ª ordem). Para os de 2ª ordem, a res-
posta se inicia com inclinação nula e a velocidade máxima de resposta ocorre 
no ponto de inflexão. Vale ressaltar que 
dt
dy
 em 
0t
 vale zero para todos os 
sistemas de ordem superior a 1. 
 
83 
 
 
 
CAPÍTULO IX 
 
 
9. SISTEMAS MULTICAPACITIVOS 
84 
9.1. Introdução 
Quando massa ou energia flui através de dois sistemas de 1ª ordem 
em série, a dinâmica resultante do sistema é de 2ª ordem sem oscilação. Por 
exemplo, dois tanques em série, onde cada um é modelado como um sistema 
de 1ª ordem, constituem um sistema de 2ª ordem com ou sem interação. Dessa 
forma, costuma-se modelar processos de ordem superior pelo resultado da as-
sociação em série de processos de 1ª ordem. 
Vale ressaltar que não é necessária a existência de mais de uma uni-
dade na planta. Nesse caso, podemos citar outros exemplos de sistemas multi-
capacitivos: 
 Tanque de aquecimento com agitação no qual a vazão e tempe-
ratura da corrente de alimentação variam: o balanço de massa constitui 
um sistema de 1ª ordem, mas o balanço de energia é de 2ª ordem em 
relação à vazão e de 1ª ordem em relação à temperatura de alimenta-
ção; 
 Torre de destilação, pois cada prato acumula massa e energia, 
constituindo, segundo um modelo de parâmetros concentrados, cada 
um deles um tanque agitado; 
 Reatores de mistura perfeita (CSTR) com variação na composi-
ção e temperatura de alimentação: as duas equações diferenciais (ba-
lanço molar e de energia), constituem um sistema de equações dife-
renciais interativas. 
Processos com variáveis que interagem entre elas ou contendo reali-
mentaçãointerna de matéria ou energia (corrente de reciclo) formam os cha-
mados sistemas com interação. Esses sistemas sempre têm respostas dinâmi-
cas superamortecida, a menos que existam termos de gera-
ção/desaparecimento de matéria/energia. A presença destes termos produz 
uma variedade de respostas. Convém destacar que em um CSTR, descrito por 
balanços linearizados de massa e energia (sistema com interação), a resposta 
pode apresentar modos oscilatórios. 
 
 
9.2. Sistemas em série sem interação 
Tais sistemas são descritos pelas equações diferenciais 
)(11
1
1 tfKy
dt
dy

 
)(122
2
2 tyKy
dt
dy

 
A resolução de tais sistemas é sequencial, característica de sistemas 
em série sem interação. 
85 
 
 
As funções de transferência de cada unidade são dadas por 
1
)(
1
1
1


s
K
sG

 e 
1
)(
2
2
2


s
K
sG

 
Assim, a função de transferência global do processo pode ser encon-
trada: 
)()()()(
)(
1
)(
)(
)( 2121
2 sGsGsGsY
sFsF
sY
sG 
 
11
)(
2
2
1
1


s
K
s
K
sG

 
12
)(
''22'
'


ss
K
sG

 
21
'
21
2'  
 
1
2
2
21
21'
21
'' 

 

 
21
' KKK 
 
 
Os valores de 
1
 e 
2
 determinam o tipo de resposta dinâmica para o 
sistema. Nesse caso, se temos que: 
 
21  
: polos reais e distintos 
2
1
1
1
11

 pp
 
 
21  
: polos idênticos 
Portanto, sistema em serie sem interação sempre geram sistemas de 
2ª ordem superamortecidos ou criticamente amortecidos. 
 
 
Exemplo: Dois tanques em série sem interação 
Sejam dois tanques conforme a Figura 1, a descarga do primeiro tan-
que alimenta o segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impõe ao 
escoamento uma resistência 
1R
 e 
2R
. 
 
1º tanque 
1
1
1
1
1 )(
R
h
tq
dt
dh
A 
 
F(s) Y1(s) Y2(s) G2(s) G1(s) 
86 
(BD) 
)(111
1
11 tqRh
dt
dh
RA 
 
(BE) 
ss qRh ,11,10 
 
(BD - BE) 
)('111
'
'
1
11 tqRh
dt
dh
RA 
 
 
 
Figura 1 
 
111 RA
 e 
11 RK 
 
)()()( '11
'
1
'
11 sQKsHssH 
 
1)(
)(
1
1
'
1
'
1


s
K
sQ
sH

 
 
 
2º tanque 
2
2
2
2
2 )(
R
h
tq
dt
dh
A 
 
(BD) 
)(222
2
22 tqRh
dt
dh
RA 
 
(BE) 
ss qRh ,22,20 
 
(BD - BE) 
)('22
'
2
'
2
22 tqRh
dt
dh
RA 
 
222 RA
 e 
22 RK 
 
)()()( '22
'
2
'
22 sQKsHssH 
 
1)(
)(
2
2
'
2
'
2


s
K
sQ
sH

 
87 
?
)(
)(
'
1
'
2 
sQ
sH
, essa FT representa a variação do nível do 2º tanque 
frente a uma perturbação implementada na alimentação do 1º tan-
que. 
)(
)(
)(
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
'
1
'
1
'
2
'
2
1
'
1
1
'
1
'
2
'
2
'
1
'
2
'
2
'
2
'
1
'
2
sQ
sH
sQ
sH
RsQ
R
sH
sQ
sH
sQ
sQ
sQ
sH
sQ
sH

 
11
1
)(
)(
1
1
2
2
1
'
1
'
2


s
K
s
K
RsQ
sH

, onde 
11 RK 
 
  11)(
)(
21
2
'
1
'
2


ss
K
sQ
sH

 
  1)(
)(
21
2
21
2
'
1
'
2


ss
K
sQ
sH

 
 
 
9.3. Sistemas em série com interação 
Sejam dois tanques conforme a Figura 2. A descarga do primeiro tan-
que alimenta o segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impõe ao 
escoamento uma resistência 
1R
 e 
2R
, porém ao contrário do sistema sem inte-
ração, o nível de segundo tanque influência no nível do primeiro. 
 
Figura 2 
 
)()( 21
1
1 tqtq
dt
dh
A 
 
)()( 32
2
2 tqtq
dt
dh
A 
 
 
Admitindo resistência linear ao escoamento, temos 
88 
1
21
2 )(
R
hh
tq


 e 
2
2
3 )(
R
h
tq 
 
(BD)















01
)(
1
1
2
2
1
22
22
1121
1
11
h
R
R
h
R
R
dt
dh
RA
tqRhh
dt
dh
RA
 
(BE)













010
0
,1
1
2
,2
1
2
,11,2,1
ss
sss
h
R
R
h
R
R
qRhh
 
(BD-BE) 















01
)(
'
1
1
2'
2
1
2
'
2
22
11
'
2
'
1
'
1
11
h
R
R
h
R
R
dt
dh
RA
tqRhh
dt
dh
RA
 
 
Aplicando as transformas de Laplace com condições iniciais nulas e 
definindo 
111 RA
 e 
222 RA
, temos que 
 



















0)()(1
)()()(1
'
1
1
2'
2
1
2
2
'
11
'
2
'
11
sH
R
R
sH
R
R
s
sQRsHsHs


 
 
Resolvendo o sistema de equações lineares em relação a 
)('1 sH
 e 
)('2 sH
, vem que 
 
 
)(
1
)( '1
2121
2
21
2112'
1 sQ
sRAs
RRsR
sH


 
 
 
)(
1
)( '1
2121
2
21
2'
2 sQ
sRAs
R
sH

 
 
 
Relembrando a função de transferência para tanques sem interação, 
 
)(
1
)( '1
21
2
21
2'
2 sQ
ss
K
sH

 
, onde 
22 RK 
 
podemos verificar que nos sistemas com interação aparece o termo 
21RA
 no 
denominador. Este termo é denominado fator de interação. Quanto maior o va-
lor de 
21RA
, maior será a interação entre os tanques. 
Vale observar os polos de 
)(
)(
'
1
'
2
sQ
sH
 dados por 
89 
   
21
21
2
21212121
2,1
2
4

 

RARA
p
 
Como 
  04 21
2
2121   RA
, os polos são sempre reais e distintos, 
sendo a saída superamortecida. 
Reescrevendo a função de transferência em termos dos polos 
1p
 e 
2p
, 
vem que 
  21
21
2
'
1
'
2
)(
)(
psps
R
sQ
sH


 
Considerando que 
*
1
1
1

p
 e 
*
2
2
1

p
, podemos fazer 
  1111)(
)(
*
2
*
1
21
2
*
2
*
1
*
2
*
1
21
2
'
1
'
2
















ss
R
ss
R
sQ
sH




 
E finalmente assumindo que 
  21
, temos que 
   
   
1
4
4
21
2
21212121
21
2
21212121
1
2
*
2
*
1 


 



RARA
RARA
p
p 
 
Observa-se que o efeito da interação é mudar a razão das constantes 
de tempo efetiva para os dois tanques (um tanque se torna mais rápido e o ou-
tro mais lento). Uma vez que a resposta global de 
)(2 th
 é afetada por ambos os 
tanques, o tanque mais lento se torna a etapa determinante e a resposta global 
se torna mais lenta devido à interação. Portanto, sistemas com interação são 
mais morosos que aqueles sem interação. 
 
90 
 
 
 
CAPÍTULO X 
 
 
10. EXERCÍCIOS 
91 
1) A palavra “modeleiro” é um jargão muito utilizado entre os pesquisadores 
para se referir àqueles que trabalham com a modelagem e simulação de 
processos. Mostre sucintamente as etapas envolvidas na atividade des-
se profissional. 
 
2) Considerando o contexto da Engenharia Química, discuta sobre a impor-
tância da modelagemde processos e em que circunstâncias os modelos 
obtidos podem ser aplicados. 
 
3) Cite alguns softwares ou pacotes computacionais que são comumente 
empregados para a implementação dos métodos numéricos na solução 
dos modelos e, consequentemente, para a simulação do processo em 
estudo. 
 
4) Apresente um processo qualquer da Engenharia Química por meio de 
uma representação esquemática, elucidando suas variáveis e parâme-
tros e o tipo de modelo que seria adequado para sua descrição matemá-
tica. 
 
5) Considere as equações abaixo e as classifique quanto à linearidade. 
Caso o modelo seja linear, identifique o operador linear associado. Logo 
abaixo, há um exemplo ilustrativo para orientação. 
 
a) 2
2
2 0, ( )
d y dy
y y y x
dx dx
   
 
b) 2
0, ( )
3
dx x
x x t
dt
 
   
 
 
c) 0
, ( )a a a a a a
dC
C C kC C C t
dt
   
 
0aC
e 
k
são constantes 
d) 0
, ( )v
dh
F C h h h t
dt
  
 
0F
e 
vC
são constantes 
e) 2
2
0, ( )
d d
t
dt dt
     
 
f) 
 
2
2
2
0, ( )x
d y dy
x sen x e y y y x
dx dx
   
 
92 
 
Exemplo ilustrativo 
Seja a equação diferencial ordinária (EDO): 
2
1
2
zd P dP P
dz dz
   
, onde 

e 

 são constantes. 
Pode-se classificar a mesma como uma equação linear, uma vez que 
todos os coeficientes (1, 
1 z 
 e 

) não são funções da variável dependente 
P
 
ao mesmo tempo em que 
P
 e suas derivadas têm expoente 1 (o u 0). 
Nesse caso, o operador linear é facilmente identificado em se fazendo: 
2
2
2
d d d d
D e DD D
dz dz dz dz
 
    
 
 
Temos que: 
2
1 2 1
2
2 1( 1)
z z
z
d P dP
P D P DP P
dz dz
P D D
   
 
 

      
   
 
Fazendo agora 
2 1 1zL D D   , encontramos o operador linear asso-
ciado à EDO 2
1
2
1z
d d
L
dz dz
   
, onde é um argumento qualquer. Aplicar o 
operador a 
P
 é o mesmo que fazer: 
2
1
2
2 2
1 1
2 2
( ) 1z
z z
d d
L P P
dz dz
d P dP d P dP
P P
dz dz dz dz
  
   

 
 
     
 
       
 
Ainda sabemos que se L é linear, valem as igualdades: 
1 2 1 2
1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
L P P L P L P
L P L P 
  

 
 
A obtenção de um operador é muito importante, pois permite predizer 
sobre a estabilidade de um sistema e, no caso de EDO com coeficientes cons-
tantes, as raízes do polinômio característico do operador permitem obter a so-
lução homogênea da equação. 
 
93 
 
6) O processo abaixo representa um reator e uma coluna de destilação bi-
nária, que estão interconectados por uma corrente de reciclo de material. 
Uma reação irreversível de primeira ordem 
A B
 ocorre no reator con-
tínuo de mistura perfeita e a corrente efluente do reator, uma mistura de 
A
 e 
B
, é alimentada a uma coluna de destilação. O produto 
B
 é retira-
do pelo fundo, enquanto a espécie 
A
 não-reagida é reciclada para o 
reator por meio do topo da coluna. Considerando a operação isotérmica 
e que as frações molares dadas para cada corrente são relativas ao rea-
gente 
A
, obtenha o modelo estacionário do processo. 
 
 
Diagrama de um processo reator/separador com reciclo. 
 
7) Considere um tanque com uma saída livre por onde escoa um líquido de 
densidade constante 
3( / )Kg m
. O tanque tem uma seção transversal 
2( )A m
 e o tubo da saída apresenta uma seção transversal 
2( )a m
. O ní-
vel de líquido no tanque é 
( )h m
, a vazão de alimentação é 
3( / )u m s
 e a 
vazão de saída é 
3( / )q m s
. 
a. Obtenha o modelo do processo, aplicando a lei fundamental de 
balanço de massa global; 
b. Classifique o modelo quanto à natureza e à estrutura matemática; 
c. Encontre uma expressão que represente como a vazão 
q
 varia 
com 
u
. Dica: aplique a Equação de Bernoulli para fluidos incom-
pressíveis e considere também que a velocidade do líquido na su-
94 
perfície superior do tanque é desprezível quando comparada à ve-
locidade na saída do tubo. 
 
 
 
Diagrama de um tanque de escoamento. 
Equação de Bernoulli 2
2
v p
gh constante

  
 
 
v
 = velocidade do fluido 
g
 = aceleração da gravidade 
h
 = altura com relação a um referencial 
p
 = pressão 

 = densidade do fluido 
 
8) Para os casos abaixo, desenhe o fluxograma do processo e depois apli-
que os conceitos de balanço de massa, admitindo que a operação se 
desenvolva em regime permanente e que a massa específica do sistema 
seja constante. 
a. Tendo-se uma alimentação de um evaporador de 1000,0 kg/h de 
suco integral de fruta com 12,0% de sólidos solúveis, quanto se 
produz de suco concentrado com 40,0% de sólidos solúveis? 
Quanto de água será evaporado? 
b. Deseja-se produzir 
2 4H SO
 a 18,63% em peso a partir de 200,0 
kg/h de uma solução a 77,7% e de outra solução do ácido a 
12,43%. Qual a quantidade de solução a 18,63% obtida? 
 
9) Dois componentes A e B são transportados para um reator contínuo de 
tanque agitado (CSTR) por meio de um solvente. No CSTR, ocorre uma 
reação isotérmica de primeira ordem em A. Considerando 
que a massa específica do sistema seja constante, 
S
 seja a área trans-
A B
kr  2
95 
versal do reator e 
s vF c h
, determine as equações do modelo do pro-
cesso e o classifique quanto a sua linearidade, dependência com o tem-
po e variáveis espaciais. 
 
10) Um líquido de massa específica constante entra e sai de um tanque cô-
nico agitado pela ação da gravidade. Considerando 
s vF c h
 e 
2
3
V r h


, determine seu modelo dinâmico. 
 
 
 
 
11) Um dos motivos mais comuns para a existência de tempo-morto é o efei-
to de atraso de transporte de massa ou de sinal. Um exemplo típico po-
de ser o controle de uma propriedade de um fluido (por exemplo, a tem-
peratura) que escoa em um tubo onde a distância 
d
 entre o local de a-
tuação 
( )u t
 de um controlador e o local da medida 
( )y t
 pelo sensor é 
significativa. Que problema a existência deste tempo-morto pode acarre-
tar para o sistema? 
 
 
Exemplo de um sistema com tempo-morto. 
 
h
Fs
Fe
CAo
CBo
CA
CB
R
r
Fe
Fs
h
H
96 
12) Considere um tanque de diluição de volume 
V
 no qual duas correntes 
são alimentadas: uma corrente de uma espécie química (

) com con-
centração molar 
0C
 e vazão volumétrica 
0F
e outra de um solvente puro 
com vazão volumétrica 
S
. A concentração molar da corrente de descar-
te da espécie, cuja vazão volumétrica é 
F
, é igual à 
C
. Suponha ainda 
que as densidades das correntes e a da solução no tanque sejam cons-
tantes e aproximadamente iguais e que o tanque apresente mistura per-
feita. 
 
a. Encontre o modelo dinâmico do sistema; 
b. Determine a expressão para a concentração estacionária 
C
. 
 
 
Tanque de diluição. 
 
 
13) Considere agora que a espécie poluente 

 da questão (12), em vez de 
ser apenas diluída para descarte, é convertida em outra espécie 

 de 
menor impacto ambiental. A reação química irreversível ocorre no mes-
mo tanque da questão (2) e pode ser considerada de 2ª ordem com uma 
constante de cinética 

. Supondo as mesmas hipóteses, encontre o 
modelo dinâmico do sistema. 
 
Reação química 

 
Velocidade de consumo de 

 
2CrA 
 [mol/(tempo.volume)] 
 
14) Expresse as equaçõesde taxa de consumo para as reações químicas 
elementares: 
 
a. 
 
b. 
 
97 
 
15) Em sala de aula, foi apresentada uma modelagem genérica para um 
reator contínuo de mistura perfeita (CSTR) não isotérmico. Também foi 
dito que, em se aplicando certas hipóteses, outros sistemas não iso-
térmicos da Engenharia Química também podem se representados a 
partir do modelo dado. Dessa forma, indicando as considerações que 
julgar necessárias, obtenha um modelo simples para os sistemas abai-
xo. Dica: inicie a solução fazendo um esboço do processo e identifi-
cando as variáveis de entrada, de saída e de estado. 
 
a. Reator batelada (batch), onde se processa uma reação irreversí-
vel 

 exotérmica (
0 rH
) de 1ª ordem; 
b. Tanque de pré-aquecimento de uma corrente de óleo em uma u-
nidade de uma refinaria. 
 
16) A utilização das Transformadas de Laplace é muito útil na solução dos 
modelos matemáticos obtidos para os processos da Engenharia Quími-
ca, uma vez que simplifica a busca da solução transformando um siste-
ma de EDO em um sistema de equação algébricas em um domínio 
complexo. 



0
)()())(( dtetfsftfL st
 
Quais são as propriedades que 
)(tf
 deve apresentar para que a trans-
formação seja possível? 
 
17) Sabemos que a maioria dos sistemas químicos é descrita por modelos 
não lineares, que podem ser linearizados em torno de uma condição o-
peracional estacionária empregando a metodologia de expansão em sé-
rie de Taylor. Isso se justifica pelo fato de os modelos lineares apresen-
tarem solução analítica e a teoria de controle clássico ser baseada em 
processos lineares. Sendo assim, linearize os seguintes itens: 
 
a. Corrente de saída de um tanque como função de uma altura: 
hkhF )(
 
b. Taxa específica de reação como função da temperatura: 
RT
E
eT

 0)( 
 
 
98 
18) Já vimos em sala de aula que o modelo matemático dinâmico de um 
CSTR não-isotérmico pode ser dado pelo sistema de equações abaixo: 
 
F
VCeCC
dt
dC
A
RT
E
AiA
A 
 
)(
0, )(
1
 
p
r
p
A
RT
E
i C
H
JTT
VC
UA
CeJTT
dt
dT    )()(1 0)(0
 
 
Neste caso, linearize o modelo e apresente os resultados em forma de 
variável-desvio. Dica: para a linearização, observe que o único termo 
não-linear nas duas equações simplesmente se refere a 
AA CeTCf
RT
E )(
),(


. 
 
19) Apresente o sistema algébrico resultante da aplicação das Transforma-
das de Laplace ao sistema de EDO linear encontrado na questão anteri-
or. 
 
20) Resolva os seguintes problemas pelo método das transformadas de La-
place, empregando a expansão em frações parciais se for necessário: 
 








0
)0(
;0)0(0
)(5)(2
)(
3
)(
)
2
2
dt
dC
Ct
tutC
dt
tdC
dt
tCd
a 
onde 
)(tu
 representa uma função degrau 
unitário. 
Resposta: 
tt eetC 25,255,2)(  
 








0)0(;0
)0(
;0)0(0
)(
)(
)(5
)(
2
)(
)
2
2
i
i
i
C
dt
dC
Ct
tC
dt
tdC
tC
dt
tdC
dt
tCd
b 
onde 
)()( ttCi 
 representa uma função 
impulso ou Delta de Dirac. 
Resposta: 
º45),2(2)(  tsenetC t 








0
)0(
;0
)0(
;0)0(0
)(2)(
)(
3
)(
3
)(
)
2
2
2
2
3
3
dt
Cd
dt
dC
Ct
tutC
dt
tdC
dt
tCd
dt
tCd
c 
onde 
)(tu
 representa uma função degrau 
unitário. 
Resposta: 
]22[2)( 2   ttetC t
 






0)0(0
)()(2
)(
)
Ct
tftC
dt
tdC
d
 
onde 
)1()(  tutf
 representa uma fun-
ção degrau unitário defasada de um 
tempo morto 
1dt
. 
Resposta: 
]1)[1(
2
1
)( )1(2  tetutC
 
99 
 
21) Exercício resolvido 
O procedimento de start-up para um reator batelada inclui um passo de 
aquecimento onde a temperatura do reator é gradualmente elevada de 
T0 = 20 ºC até chegar a temperatura nominal de operação de Tf = 75 ºC. 
O perfil desejado para temperatura 
)(tT
 é mostrado na figura abaixo. 
Determine 
)(' sT
, considerando que a variável-desvio é definida por 
0
' )()( TtTtT 
. 
 
 
 
Solução 
 
A partir da figura acima, podemos escrever o seguinte sistema de equa-
ções que descreve o perfil desejado: 
 






















t
tt
tT
t
tt
tT
30;75
300;20
30
55
)(
30;75
300;20
030
)2075(
)(
 
 
Definindo 
0
' )()( TtTtT 
, onde T0 = 20 ºC, temos que: 







t
tt
tTtTtT
30;55
300;
30
55
)(20)()( ''
 
Então, aplicando a definição de Transformadas de Laplace presente na 
questão 1: 
 
t (min) 30 
T (ºC) 
7
5 
 
2
0 
0 
100 
))(()( '' tTLsT 
 


 
30
30
0
' 55
30
55
)( dtedttesT stst
 

 
)1(
30
55
)( 30
2
' se
s
sT 
 
 
Caso seja de interesse, pode-se confirmar se a expressão de 
)(' sT
 está 
correta em se fazendo inversão (
)]([)( '1' sTLtT 
) para o domínio do 
tempo. 
 
)1(
30
55
)( 30
2
' se
s
sT 
 

 
)]1(
30
55
[)( 30
2
1' se
s
LtT  
 
)]()
1
([
30
55
)(
2
30
1
2
1'
s
e
L
s
LtT
s
 
 

 
)]30()30([
30
55
)('  tutttT
 
sendo 






t
t
tu
30;1
300;0
)30(
, que sempre deve aparecer nos termos 
que têm tempo-morto. Nesse exercício, o tempo-morto é visto pelo termo 
se 30
. 
Assim, 







t
tt
tT
30;55
300;
30
55
)('
, que está correto com a formulação ini-
cial! 
 
 
22) Admita que a concentração de alimentação 
)(0 tCa
 de um reagente A pa-
ra um reator é inicialmente igual a 1 lbmol/ft3. Esta concentração é então 
aumentada de 10 % de seu valor inicial por 1 hora, em seguida cai para 
10 % de seu valor inicial por 1 hora novamente e finalmente retorna para 
seu valor original. Esquematize uma trajetória para essas mudanças em 
termos de variável-desvio e encontre 
)(0
' sC a
. 
 
23) Sucintamente, diferencie as repostas dinâmicas de sistemas de 1ª e de 
2ª ordens. 
 
24) Cite as três situações gerais das quais surgem os sistemas de 2ª ordem 
ou de ordem superior. 
 
101 
25) Para fins de controle de processos, a constante de tempo (

) dos siste-
mas de 1ª ordem desempenha um importante papel, uma vez que indica 
a velocidade de resposta destes sistemas. Do mesmo modo, resposta 
dinâmica de um sistema de 2ª ordem apresenta o tempo de resposta (
rt
) 
e o tempo de ascensão (
at
). Apresente a definição de cada uma destas 
duas propriedades importantes dos sistemas de 2ª ordem. 
 
26) Para fins de controle de processos, a constante de tempo (  ) dos siste-
mas de 1ª ordem desempenha um importante papel, uma vez que indica a 
velocidade de resposta destes sistemas. Do mesmo modo, resposta di-
nâmica de um sistema de 2ª ordem apresenta o tempo de resposta (
rt
) e 
o tempo de ascensão (
at
). Apresente a definição de cada uma destas du-
as propriedades importantes dos sistemas de 2ª ordem. 
 
27) Considere o modelo dinâmico de um reator CSTR isotérmico, onde um 
reagente A é consumido segundo uma cinética de segunda ordem. A va-
riável 
inAC ,
 representa a concentração da alimentação do processo. O 
volume 
V
 do reator, a vazão 
F
 de alimentação e oparâmetro 

 da re-
ação são mantidos constantes. 
 
  2, AAinAA CVCCF
dt
dC
V 
 
 
a) Apresente o modelo dinâmico linearizado, supondo que as condi-
ções estacionárias são dadas por 
31mV 
, 
)/(2 3 hkmolm
, 
hmF /2 3
 e 
3
, /2 mkmolC inA 
; 
b) Apresente a função de transferência que relaciona a saída 
'
AC
 
com a entrada 
'
,inAC
; 
c) Verifique a ordem do modelo e calcule o ganho estacionário deste 
sistema. 
 
28) Um processo qualquer apresenta o seguinte modelo, onde 
'x
 e 
'y
 são 
variáveis-desvio com valores iniciais das funções 
'y
 e 
'x
 e das derivadas 
nulos: 
 
'
'
'
'
2
'2
3
'3
32485 x
dt
dx
y
dt
dy
dt
yd
dt
yd

 
 
102 
Encontre a expressão (função de transferência) que relaciona a saída 
)(' sY
à entrada 
)(' sX
. Calcule os polos e zeros do sistema, bem como o 
classifique quanto à ordem e ao tipo. 
 
29) Um exemplo simples de um sistema que apresenta correntes em parale-
lo pode ser visto na figura abaixo, onde as unidades 1 e 2 estão em in-
terconectadas em paralelo e ambas, posteriormente, em série com a su-
bunidade 3. 
 
 
Supondo que as unidades sejam lineares e que suas funções de transfe-
rência sejam dadas por 
)(1 sG
, 
)(2 sG
 e 
)(3 sG
, mostre que a função de 
transferência global do sistema é representada pela equação: 
 
 3 1 2 3
( )
( ) ( ) ( )
( )
Y s
G s G s G s
U s
 
 
 
30) Considere que comportamento dinâmico de um sistema de segunda or-
dem pode ser dado representado pela função de transferência 
1325,2
4
)(
)(
2 

sssX
sY
. 
a) Calcule o ganho estacionário, a constante de tempo e o fator de amorte-
cimento do sistema. 
b) Verifique o tipo de resposta que o sistema apresenta a uma perturbação 
degrau e apresente um esboço desta resposta. 
c) Determine a resposta 
( )y t
 para uma perturbação degrau unitário aplica-
da em 
)(tX
 no instante de tempo tc= 2. Observação: veja que no materi-
al trabalhado em sala, já se encontram as respostas para os casos em 
que se aplica um degrau unitário instante de tempo igual a zero. Portan-
to, a solução deste item é facilitada pela aplicação da translação real. 
y3 
y2 
u 
y1 + 
)(1 sG
 
)(2 sG
 
)(3 sG