Apostila de Função Logarítmica (6 páginas, 43 questões)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
 
SUMÁRIO 
 
1 . DEFINIÇÃO ................................................ 1 
2 . PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS 
LOGARITMOS .................................................. 1 
2.1 Logaritmo de um produto ............................ 1 
2.2 Logaritmo de um quociente ......................... 1 
2.3 Logaritmo de uma potência ......................... 1 
2.4 Mudança de base ....................................... 1 
2.5 Outras propriedades ................................... 2 
3 . SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS ....... 2 
4 . FUNÇÃO LOGARÍTMICA ............................... 5 
4.1 Gráfico da função logarítmica ...................... 5 
4.2 A função exponencial é inversa da função 
logarítmica ..................................................... 5 
Referências ........................................................ 6 
 
 
1 . DEFINIÇÃO 
Dados os números reais x e a, com a ≠ 1, 
chamamos de logaritmo de x, na base a, o número 
real y, que deve ser o expoente de a para que a 
potência seja igual ao número x. 
 
 
y = loga x ⇔ x = a
y 
 
 
, sendo a > 0 e a ≠ 1 
 x > 0 
 y ∈ ℝ 
 
Exemplos: 
a) log3 81 = 4 ⇔ 3
4 = 81 
 
b) log1
2
32 = ‒ 5 ⇔ (
1
2
)
−5
 = 32 
 
c) log√5 5 = 2 ⇔ (√5)
2
 = 5 
 
d) log8 1 = 0 ⇔ 8
0 = 1 
 
Veja que, de acordo com as restrições im-
postas, não são definidos, por exemplo: 
log3(−81), log10 0, log0 3, log−2 8 e log1 6. 
 
Observe abaixo os nomes dos termos: 
 
 
 
 Quando a base do logaritmo for 10, pode-
mos omiti-la. Assim, log 2 é o log10 2. Aos logarit-
mos na base 10 damos o nome de logaritmos de-
cimais. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Determine: 
a) log2 128 R: 7 h) log2 √8 R: 3/2 
 
b) log√3 9 R: 4 i) log4 √32 R: 5/4 
 
c) log3 27 R: 3 j) log1
4
16 R: ‒ 2 
 
d) log5 125 R: 3 l) log2 0,25 
 
e) log 10000 R: 4 m) log7 7 R: 1 
 
f) log10 0,01 R: ‒ 2 n) log4 1 R: 0 
 
g) log2 0,5 R: ‒ 1 
 
2) Determine o valor de a nas seguintes igualda-
des: 
a) loga 25 = 2 R: 5 e) loga 36 = 2 R: 6 
 
b) loga 8 = 3 R: 2 f) loga 4 = −2 R: 1/2 
 
c) loga 81 = 4 R: 3 g) loga 1 = 0 R: a ϵ ℝ 
 
d) loga 5 = 1 R: 5 
 
3) Determine o valor de x nas igualdades: 
a) log2 x = 5 R: 32 c) log(x + 1) = 2 R: 99 
 
b) 3 = log4 x R: 64 
 
4) Se A = log2 1024 + log1/5 625, determine o valor 
de A. R: 6 
 
5) Calcule a soma log2 16 + log3 81 + log4 0,25. R: 7 
 
6) Se x = log2 2√2 e y = log0,01 10, calcule x + y. R: 1 
 
7) Calcule log2[log3 81]. R: 2 
 
2 . PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS 
LOGARITMOS 
2.1 Logaritmo de um produto 
 
 
loga(M ⋅ N) ⇔ loga M + loga N 
 
 
2.2 Logaritmo de um quociente 
 
 
loga (
M
N
) ⇔ loga M ‒ loga N 
 
 
 
2.3 Logaritmo de uma potência 
 
 loga M
N ⇔ N ⋅ loga M 
 
 
 
2.4 Mudança de base 
 
 
logb N ⇔ 
loga N
loga b
 
 
 
Exemplos: 
a) log7(2 ⋅ 5) = log7 2 + log7 5 
 
b) log 300 = log(3 ∙ 100) = log 3 + log 100 = log 3 + 2 
 
c) log5(4 ⋅ 5) = log5 4 + log5 5 = log5 4 + 1 
 
d) log5 (
2
3
) = log5 2 ‒ log5 3 
 
e) log2 (
1
8
) = log2 1 – log2 8 = 0 ‒ 3 = ‒ 3 
 
f) log (
7
10
) = log 7 – log 10 = log 7 ‒ 1 
 
g) log3 8
4 = 4 ⋅ log3 8 
 
h) log 102 = 2 ⋅ log 10 = 2 ⋅ 1 = 2 
 
i) log2 √4
3
 = log2 4
1
3 = 
1
3
 ⋅ log2 4 = 
1
3
 ⋅ 2 = 
2
3
 
 
 
2 
j) log7 5 = 
log2 5
log2 7
 (na base 2) 
 
l) log7 5 = 
log 5
log 7
 (na base 10) 
 
2.5 Outras propriedades 
1ª) No logaritmo quando a base for igual ao loga-
ritmando, o logaritmo será igual a 1, simbolica-
mente, 
 
loga a = 1 
 
 
Justificativa: loga a = y ⟹ a = a
y ⟹ 
⟹ a1 = ay ⟹ y = 1 
 
2ª) No logaritmo quando o logaritmando for igual 
a 1, o logaritmo é zero, simbolicamente, 
 
 
loga 1 = 0 
 
 
Justificativa: loga 1 = y ⟹ 1 = a
y ⟹ 
⟹ a0 = ay ⟹ y = 0 
 
3ª) Logaritmo de uma potência, se a base da po-
tência for igual a base do logaritmo, então o loga-
ritmo é o expoente da potência, simbolicamente, 
 
 
loga a
n = n 
 
 
Justificativa: loga a
n = n ∙ loga a = n ∙ 1 = n 
 
4ª) aloga N = N 
 
Justificativa: loga N = x ⟹ a
x = N 
 
 Substituindo x: aloga N = N 
 
5ª) loga x = loga y ⟺ x = y 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
8) Calcule o valor dos logaritmos: 
 
a) log7 1 R: 0 h) log2 16 R: 4 
b) log0,5 1 R: 0 i) log5 √5 R: 1/2 
c) log6 6 R: 1 j) log3 243 R: 5 
d) log5 5
4 R: 4 l) log√2 √2 R: 1 
e) log2 2
6 R: 6 m) log2 √2
5
 R: 1/5 
f) log10 10
−4 R: ‒ 4 n) 10log10 3 R: 3 
g) log 
2 R: 2 
 
9) Determine o desenvolvimento logarítmico da 
expressão: 
a) log (
a√b
c3
) b) log(x3y) c) log3 (
√x
y2
) 
R: log a + 
1
2
log b ‒ 3 log c R: 3 log x + log y R: 1
2
log3 x ‒ log3 y 
 
10) Dados 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐦 = 11 e 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐧 = 6, qual é o valor 
de 𝐥𝐨𝐠𝐚(𝐦
𝟑𝐧𝟐)? R: 45 
 
11) Dado 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐚 = 6, calcule 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛
𝟑. R: 1
2
 
 
12) Escreva na forma de um único log: 
a) log5 6 + log5 11 R: log5 66 
 
b) log7 28 – log7 4 R: log7 7 
 
c) 4 ⋅ log 3 R: log 34 
 
d) 
1
5
 ∙ log7 2 R: log7 √25 
 
e) 
log3 8
log3 5
 R: log5 8 
 
f) 
1
3
 ∙ log3 7 ‒ log3 2 R: log3 (√
7
2
) 
 
g) 1 + log5 4 R: log5 20 
 
13) Sendo 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝟐 = 20 e 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝟓 = 30, calcule o 
valor de 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝟏𝟎𝟎. R: 100 
 
14) Sabendo que x = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟓 + 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟖 – 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟒, 
calcule o valor de x. R: 1 
 
15) Se 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝐦 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟏𝟎 ‒ 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟓, calcule o valor 
de m. R: 2 
 
16) Dado a = 2 ⋅ 𝐥𝐨𝐠 𝟓 + 2 ⋅ 𝐥𝐨𝐠 𝟐, calcule o valor de 
a. R: 2 
 
17) Sabendo que 2x = 𝐥𝐨𝐠 𝟕𝟐 + 𝐥𝐨𝐠
𝟐
𝟑
 ‒ 𝐥𝐨𝐠 𝟒𝟖, qual 
é o valor de x? R: x = 0 
 
18) Calcule: 
a) log 10 R: 1 d) log 0,01 R: ‒ 2 
 
b) log 100 R: 2 e) log 0,001 R: ‒ 3 
 
c) log 1 000 000 R: 6 
 
19) Dados log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70, 
quanto vale: 
a) log 20 R: 1,3 f) log 0,00005 R: ‒ 4,3 
 
b) log 0,0002 R: ‒ 3,7 g) log 18R: 1,26 
 
c) log 30 000 R: 4,48 h) log 45R: 1,66 
 
d) log 0,3 R: ‒ 0,52 i) log 72 R: 1,86 
 
e) log 500R: 2,7 
 
20) O preço de um imóvel é dado, em função do 
tempo t, em anos, por P(t) = A ∙ (𝟏, 𝟐𝟖)𝐭 sendo A o 
preço atual. Adotando-se log 2 = 0,3, esse imóvel 
terá o seu preço duplicado em: 
 
(a) 1 ano (c) 3 anos (e) 3,5 anos 
 
(b) 2 anos (d) 2,5 anos R: (c) 
 
21) Na América Latina, a população cresce a uma 
taxa de 3 ao ano, aproximadamente. Em quan-
tos anos a população da América Latina irá dobrar, 
se a taxa de crescimento continuar a mesma? 
(dados: log 2 = 0,3 e log 1,03 = 0,012) R: 25 anos 
 
22) Resolva a equação 𝐞𝐱 ‒ 27 = 0, dados log e = 
0,43 e log 3 = 0,48. R: S = {144
43
} 
 
3 . SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIA-
NOS 
O sistema de logaritmos neperianos1, que é 
o de base e. 
Representaremos os logaritmos neperianos 
de x por ln x, que equivale à loge x, sendo 
e ≅ 2,71828182845. 
 
 
 
 
 
1 O nome neperianos deriva de John Napier (1550-1617), ma-
temático escocês, autor do primeiro trabalho publicado sobre a 
teoria dos logaritmos. 
 
3 
Exemplo: Calcular o valor de y = 𝐥𝐧 𝐞𝟑 + 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟏. 
 
 
 
 
 
 
 
R: y = 1 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
23) Resolva a equação 𝐞𝐱 ‒ 27 = 0, dado ln 3 = 
1,09. R: 3,27 
 
24) Sabendo que o número de bactérias numa 
cultura, depois de um tempo t, é dado por 
N = N0 ∙ 𝐞𝐫𝐭, em que N0 é o número inicial (quando 
t = 0) e r é a taxa de crescimento. Em quanto 
tempo o número de bactérias dobrará
se a taxa de 
crescimento contínuo é de 5 ao minuto? (dado: 
ln 2 = 0,69) R: 13,8 min 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
25)(Enem-2017) Para realizar a viagem dos 
sonhos, uma pessoa precisava realizar um em-
préstimo no valor de R$ 5000,00. Para pagar as 
prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 
mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor 
da prestação (P) é calculado em função do número 
de prestações (n) segundo a fórmula 
 
P =
5 0001,013n0,013
(1,013n − 1)
 
 
 Se necessário, utilize 0,005 como aproxi-
mação para log 1,013; 2,602 como aproximação 
para log 400; 2,525 como aproximação para 
log 335. 
 De acordo com a fórmula dada, o menor 
número de parcelas cujos valores não comprome-
tem o limite definido pela pessoa é 
 
(a) 12 (b) 14 (c) 15 (d) 16 (e) 17 
 
26)(Enem-2016) Em 2011, um terremoto de 
magnitude 9,0 na escala Richter causou um devas-
tador tsunami no Japão, provocando um alerta na 
usina nuclear de Fukushiama. Em 2013, outro ter-
remoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacu-
diu Sichuan (sudeste da China), deixando cente-
nas de mortos e milhares de feridos. A magnitude 
de um terremoto na escala Richter pode ser calcu-
lada por 
M =
2
3
log (
E
E0
), 
 
Sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terre-
moto e E0 uma constante real positiva. Considere 
que E1 e E2 representam as energias liberadas nos 
terremotos no Japão e na China, respectivamente 
Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado). 
Qual a relação entre E1 e E2? 
 
(a) E1 = E2 + 2 (d) E1 = 10
9
7 ⋅ E2 
 
(b) E1 = 102 ⋅ E2 (e) E1 = 
9
7
 ⋅ E2 
 
(c) E1 = 103 ⋅ E2 R: (c) 
 
27)(Enem-2016) Uma liga metálica sai do forno 
a uma temperatura de 3 000 °C e diminui 1% de 
sua temperatura a cada 30 min. Use 0,477 como 
aproximação para log10 3 e 1,041 como aproxima-
ção para log10 11. O tempo decorrido, em hora, 
até que a liga atinja 30 °C é mais próximo R: (d) 
 
(a) 22 (b) 50 (c) 100 (d) 200 (e) 400 
 
28)(Enem-2013) Em setembro de 1987, Goiânia 
foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no 
Brasil, quando uma amostra de césio-137, removi-
do de um aparelho de radioterapia abandonado, 
foi manipulada inadvertidamente por parte da po-
pulação. A meia-vida de um material radiativo é o 
tempo necessário para que a massa desse materi-
al se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 
de 30 anos e a quantidade restante de massa de 
um material radiativo, após t anos, é calculada 
pela expressão M(t) = A ⋅ (2,7)kt, onde A é a massa 
inicial e k é uma constante negativa. Considere 0,3 
como aproximação para log10 2. 
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma 
quantidade de massa do césio-137 se reduza a 
10% da quantidade inicial? 
 
(a) 27 (b) 36 (c) 50 (d) 54 (e) 100 
R: (e) 
29)(UFMG) Dados log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, 
calcule 𝐥𝐨𝐠 √𝐚𝟐𝐛
𝟑
 quando a = 2 e b = 3. R: aproximadamente 
0,36 
30)(MARK-SP) Dados log 4 = 0,60206 e log 6 = 
0,77815, calcule log √
6000 ∙ 0,64
216
5
. R: 0,249966 
31)(UEPA-2011) Os valores de “𝐦” para que a 
equação 𝐱𝟐 – 𝟐𝐱 + 𝐥𝐨𝐠(𝐦 − 𝟐) = 𝟎 admita raízes 
reais diferentes são dados pelo seguinte intervalo: 
 
(a) ]2; 12[ (c) [2; 12[ (e) (-∞; 12[ 
 
(b) ]2; 12] (d) [2; 12] 
 
32)(IFPA-2011) O valor da expressão 
(3 ∙ log2 16 ‒ log0,5 32)log 10
2 é: 
 
(a) 14 (b) 17 (c) 25 (d) 34 (e) 42 
R: (d) 
33)(UFRA-2004) A sexta potenciação da soma 
das raízes da equação log4(x + 1)
2 ‒ log4 10 = 
log4 10 é igual a: 
 
(a) 0 (b) 1 (c) 64 (d) 729 (e) 4096 
R: (c) 
34)(UEPA-2013) No Brasil, o advento da inter-
net com os grandes portais e os blogs não repre-
sentou uma mega ruptura em termos de espaço 
criativo das pessoas. A verdadeira ruptura chegou 
junto com as redes sociais: Orkut e youtube no 
começo, e depois twitter, e, mais recentemente, o 
facebook. Um pesquisador que investiga o com-
portamento de brasileiros nessas redes sociais 
concluiu que, ao longo de um mesmo intervalo de 
tempo, os acessos mensais (A) ao youtube e ao 
facebook ocorreram de acordo com as leis A(t) = m 
e A(t) = n∙at, respectivamente, sendo m e n intei-
 
4 
ros positivos, com m > n e a > 1. Nessas condições 
o instante t em que o número de acessos ao you-
tube coincide com o número de acessos ao face-
book é: 
(Fonte: Revista Galileu. Resolva seus problemas usando ciência. Editora Globo, Julho de 2012, Nº 
252. Texto Adaptado). 
(a) t = loga m – loga n 
 
(b) t = loga m + loga n 
 
(c) t = n loga m – m loga n 
 
(d) t = m loga m – n loga n 
 
(e) t = loga mn – n loga n R: (a) 
 
35)(UEPA-2012) Texto XIII 
 
Diversas pesquisas apontam o endividamento 
de brasileiros. O incentivo ao consumismo, me-
diado pelas diversas mídias, associado às facili-
dades de crédito consignado e ao uso desenfre-
ado de cartões são alguns dos fatores responsá-
veis por essa perspectiva de endividamento. 
(Fonte: Jornal o Globo de 4 de setembro de 2011 –Texto Adaptado) 
 
Suponha que um cartão de crédito cobre 
juros de 12 ao mês sobre o saldo devedor e que 
um usuário com dificuldades financeiras suspende 
o pagamento do seu cartão com um saldo devedor 
de R$ 660,00. Se a referida dívida não for paga, o 
tempo necessário para que o valor do saldo deve-
dor seja triplicado sobre regime de juros compos-
tos, será de: (Dados: log 3 = 0,47; log 1,12 = 0,05) 
 
(a) nove meses e nove dias 
(b) nove meses e dez dias 
(c) nove meses e onze dias 
(d) nove meses e doze dias 
(e) nove meses e treze dias R: (d) 
 
36)(UEPA-2010) Texto 7 
 
Em geral os problemas de gosto e odor em 
águas de abastecimento são de natureza com-
plexa e, sobretudo, de solução tecnológica difícil 
e onerosa tal como o processo de adsorção. Há 
muitos modelos matemáticos que procuram 
descrever a relação entre a quantidade de ad-
sorvato por unidade de adsorvente e a concen-
tração de adsorvato na água. Um desses mode-
los é o de Freundlich, que está baseado na dis-
tribuição do adsorvato entre a fase sólida (ad-
sorvente) e a fase líquida (água) no equilíbrio. 
Sua expressão pode ser dada por: log q = 
1
n
log C 
+ log K 
“q” é a quantidade de adsorvato por unidade de 
adsorvente (M.M-1); 
“C” é a concentração de adsorvato remanescen-
te em solução, no equilíbrio 
(M.L-3); 
“K” e “n” são constantes determinadas empiri-
camente. 
(Texto adaptado da ABES, vol.11 – nº 4/2006 e vol.14 – nº 1/2009) 
 
De acordo com o Texto 7, é correto afirmar que: 
 
(a) k = q ∙ Cn (d) K = 
q
√C
n 
 (b) K = nqC (e) K = q ∙ C 
 (c) K = q √C
n
 R: (d) 
 
37)(UEPA-2004) Dispondo de um capital C, uma 
pessoa deseja aplica-lo de maneira a duplicar seu 
valor. Sabendo que o montante M de um investi-
mento é calculado por meio da fórmula M = C ∙ 𝐞𝐫𝐭, 
na qual e é a base do logaritmo neperiano, calcule 
o tempo t que esse capital deverá ficar aplicado 
em uma instituição financeira que propõe juros 
compostos capitalizados continuamente a taxa r 
de 20 ao ano? (Considere: ln 2 = 0,7) 
 
(a) 2 anos (d) 3 anos e meio 
 (b) 2 anos e meio (e) 4 anos 
 (c) 3 anos R: (d) 
 
38)(UEPA-2006) 
A aquicultura e a pesca artesanal 
Em 2001, a aquicultura (criação de animais 
e plantas aquáticas) nacional produziu, aproxima-
damente, 210.000 toneladas/ano, incluindo peixes, 
moluscos e crustáceos, valor extremamente baixo 
quando comparado ao real potencial do setor. De 
acordo com as previsões feitas em 2001 pelo De-
partamento de Pesca e Aquicultura – DPA do Mi-
nistério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento, 
caso sejam mantidas as taxas atuais de cresci-
mento da aquicultura
de 15% ao ano, é possível 
que o Brasil, em poucos anos, alcance uma boa 
produção. Dessa produção, os peixes de água do-
ce – concentrados em carpas, tilápias e bagres – 
contribuem com aproximadamente 85% do total 
cultivado. Os restantes correspondem basicamente 
a camarões marinhos e mexilhões. Contudo, há 
uma tendência de aumento do consumo, princi-
palmente, através de produtos beneficia-
dos/industrializados, tais como filés e empanados. 
De todos os setores de produção animal, a aqui-
cultura é a atividade que cresce mais rapidamen-
te. Desde 1970 a aquicultura cresceu a taxas mé-
dias de 9,2 % ao ano. Em relação à pesca artesa-
nal, estima-se que existam hoje 200 mil pescado-
res artesanais no Estado do Pará, que sustentam 
as suas famílias com essa atividade. O volume 
médio mensal de produção por cada pescador é 
aproximadamente igual a 120 quilos de peixe. O 
Estado do Pará possui 100 embarcações para a 
captura de camarão, 48 barcos para a pesca da 
piramutaba e para o pargo. 
Tomando como base o ano 2001 (linhas de 
1 a 13), em quantos anos a produção da aquicul-
tura alcançará 840.000 toneladas/ano? (dados: 
log 1,15 = 0,06 e log 2 = 0,30) 
 
(a) 3 (b) 5 (c) 7 (d) 10 (e) 12 
 
39)(UFPA-2010) Em 2007, um 
negociante de arte novaiorquino 
vendeu um quadro a um perito, 
por 19.000 dólares. O perito pen-
sou tratar-se da obra hoje conhe-
cida como La Bella Principessa, de 
Leonardo Da Vinci, o que, se com-
provado, elevaria o valor da obra a 
cerca de 150 milhões de dólares. Uma das formas 
 
5 
de se verificar a autenticidade da obra adquirida 
seria atestar sua idade usando a datação por Car-
bono 14. Esse processo consiste em se estimar o 
tempo a partir da concentração relativa de Carbo-
no 14 (em relação à quantidade de Carbono 12) 
em uma amostra de algum componente orgânico 
presente na obra. Considere as seguintes afirma-
ções sobre essa verificação de autenticidade da 
obra: 
 
I. A concentração de carbono é dada por uma fun-
ção do tipo C(t) = C0 ∙ 𝐞−𝐤∙𝐭, com C0 e K constantes 
positivas; 
 
II. A meia-vida do carbono 14 é 5 700 anos, ou 
seja, a concentração se reduz à metade C(5 700) = 
𝐂𝟎
𝟐
; 
 
III. Na análise da obra de arte, verificou concen-
tração de carbono era 95,25, isto é, que 
C(𝐭)̅ = 0,9525 ∙ C0. 
 
Tendo por base as informações acima e que 
log2 0,9525 ≅ ‒ 0,0702, é correto a idade da obra (𝐭)̅ 
é, aproximadamente, 
 
(a) 200 anos (d) 500 anos 
 (b) 300 anos (e) 600 anos 
 (c) 400 anos 
 
4 . FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
Dado um número real a (a > 0 e a ≠ 1), denomi-
na-se função logarítmica de base a uma função 
f de ℝ+∗ em ℝ definida por f(x) = 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐱 ou y = 
𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐱. 
 
 
Exemplos: 
 
a) f(x) = log5 x 
 
b) y = log3 x 
 
c) f(x) = log1
4
x 
 
4.1 Gráfico da função logarítmica 
Observe a seguinte o gráfico da função lo-
garítmica 
a) y = log2 x: 
 
 
 
b) y = log1
2
x: 
 
Observações: 
 D
f
 = ℝ+
∗ , CD
f
 = ℝ e Im
f
 = ℝ; 
 O gráfico é uma figura curva, que passa pelo 
ponto (0,1); 
 O gráfico não toca no eixo do y; 
 Para a > 1 a função é crescente; 
 Para 0 < a < 1 a função é decrescente; 
 A função é sobrejetora: Im
f
 = CD
f
; 
 A função é injetora: x1 ≠ x2 ⟹ loga x1 ≠ 
loga x2; 
 A função é bijetora, logo admite função inver-
sa; 
 A função inversa da função logarítmica é a fun-
ção exponencial (Tópico 4.2). 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
40) Construa os gráficos das seguintes funções 
logarítmicas: 
a) f(x) = log3 x 
 
b) f(x) = log1
3
x 
 
c) f(x) = log2
x
2
 
 
d) f(x) = log2(x − 1) 
 
4.2 A função exponencial é inversa da 
função logarítmica 
A função exponencial é da forma y = ax; a ≠ 
1 e a > 0; y > 0 e x ∈ ℝ. Obtendo-se a função in-
versa da exponencial, portanto, se troca ordena-
damente y por x e x por y. Observe o esquema 
abaixo: 
 
y = ax ; a ≠ 1 e a > 0; y > 0 e x ∈ ℝ 
 
 
x = ay ; a ≠ 1 e a > 0; x > 0 e y ∈ ℝ 
⇕ 
 
 
y = loga x 
 
Geometricamente, 
 
Exemplo: Construa os gráficos das funções f(x) = 
𝟐𝐱 e g(x) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝐱 no mesmo plano cartesiano. 
 
Resolução: 
 
 
6 
 
 
O gráfico da função exponencial é equidis-
tante ao gráfico da função logarítmica em relação 
à função identidade (também chamada função 
bissetriz do 1º e 3º quadrantes). 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
41) Determine a inversa de cada uma das fun-
ções: 
(a) y = 3x+1 (b) y = 53x−2 
R: f −1(x) = − 1 + log3 x R: 𝑓
−1(𝑥) = 
1
3
(2 + log5 x) 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
42)(Faap-SP) Qual é a inversa da função f(x) = 
log5 x? R: f −1(x) = 5x 
 
43)(UNIR) A inversa da função 𝑓(x) = log x + 
log 3 é: 
 
(a) 𝑓−1(x) = 10x+3 (d) 𝑓−1(x) = 
10x
3
 
 
(b) 𝑓−1(x) = 10x (e) 𝑓−1(x) = 
103x
3
 
 
(c) 𝑓−1(x) = 
103x
3
 R: (d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nunca deixe que lhe digam: 
Que não vale a pena 
Acreditar no sonho que se tem 
Ou que seus planos 
Nunca vão dar certo 
Ou que você nunca 
Vai ser alguém... 
 Renato Russo 
 
 
“Você constrói a sua vitória.” 
“A perseverança alimenta a esperança.” 
 
 
Apostila atualizada em 1/7/2018 
 
 
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Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.1.