Raciocínio Lógico - Sérgio Carvalho e Weber Campos

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AULA 1: CONCEITOS INICIAIS 
 Olá, amigos! É uma alegria recebê-los para darmos início a mais este projeto. Dentro de 
algumas semanas, se Deus quiser, e contando com o esforço e a vontade de cada um, estaremos 
muito mais preparados para enfrentar o desafio de resolver uma prova de Raciocínio Lógico de 
concurso. 
 Gostaria, antes de dar início, de ratificar a presença, na feitura destas aulas, do Prof. Weber 
Campos. É um curso escrito a quatro mãos, e estou certo que todos só têm a ganhar com isso. O 
prof. Weber é profundo conhecedor da matéria, e isso se fará ver ao longo das semanas que virão. 
 Iniciemos, pois, tratando dos fundamentos da lógica. 
Fundamentos da Lógica: 
# Primeiros Conceitos: 
 O conceito mais elementar no estudo da lógica – e portanto o primeiro a ser visto – é o de 
Proposição. 
 Trata-se, tão somente, de uma sentença – algo que será declarado por meio de palavras 
ou de símbolos – e cujo conteúdo poderá considerado verdadeiro ou falso. 
 Então, se eu afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estarei diante de uma proposição, cujo 
valor lógico é verdadeiro. 
 Daí, ficou claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos referindo a um dos 
dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F). 
 E se alguém disser: “Feliz ano novo!”, será que isso é uma proposição verdadeira ou falsa? 
Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico. 
Concluímos, pois, que... 
Æ sentenças exclamativas: “Caramba!” ; “Feliz aniversário!” 
Æ sentenças interrogativas: “como é o seu nome?” ; “o jogo foi de quanto?” 
Æ sentenças imperativas: “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”. 
... não serão estudadas neste curso. Somente aquelas primeiras – sentenças declarativas – 
que podem ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas. 
 Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc). São 
outros exemplos de proposições, as seguintes: 
 p: Pedro é médico. 
 q: 5 < 8 
 r: Luíza foi ao cinema ontem à noite. 
 Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico 
(proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de p 
é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q)=F. 
 Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não! 
Jamais! E por que não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns 
princípios, muito fáceis de se entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os 
seguintes: 
Æ Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade); 
Æ Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não-
Contradição); 
Æ Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do 
Terceiro Excluído). 
 Proposições podem ser ditas simples ou compostas. 
 Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras 
proposições. Nada mais fácil de ser entendido. 
Exemplos: 
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 Æ Todo homem é mortal. 
 Æ O novo papa é alemão. 
 Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só 
sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos: 
 Æ João é médico e Pedro é dentista. 
 Æ Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo. 
 Æ Ou Luís é baiano, ou é paulista. 
 Æ Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia. 
 Æ Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria. 
 Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos 
lógicos – que poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada um deles 
a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas. 
Veremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso 
dependerá de duas coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; e 2º) do tipo de 
conectivo que as une. 
# Conectivo “e”: (conjunção) 
 Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas conjunções. 
Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “∧”. Então, se temos a sentença: 
 Æ “Marcos é médico e Maria é estudante” 
 ... poderemos representá-la apenas por: p ∧ q 
 onde: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. 
 Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da seguinte forma: uma 
conjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras. 
 Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir 
que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é 
médico e que Maria é estudante. 
 Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes 
seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultado falso também 
ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas. 
 Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma 
pequena tabela. Trata-se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento. 
 Retomemos as nossas premissas: 
p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. 
Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e 
Maria é estudante) será também verdadeira. Teremos: 
 
Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante 
p q p ∧ q 
V V V 
 
Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos: 
Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante 
p q p ∧ q 
V F F 
 
 
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Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico, 
teremos: 
Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante 
p q p ∧ q 
F V F 
 
 Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que: 
Marcos é médico Maria é estudante Marcos é médico e Maria é estudante 
p q p ∧ q 
F F F 
 
 Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora 
disso não há! Criamos, portanto, a Tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a 
tabela-verdade para uma proposição composta com a presença do conectivo “e”. Teremos: 
p q p ∧ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
 É preciso que a informação constante da terceira coluna (em destaque) fique guardada em 
nossa memória: uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partes que a 
compõem também forem verdadeiras. E falsa nos demais casos. 
 Uma maneira de assimilar bem essa informação seria pensarmos nas sentenças simples 
como promessas de um pai a um filho: “eu te darei uma bola e te darei uma bicicleta”. Ora, 
pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a promessa é para os dois presentes. Caso o pai 
não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não terá sido cumprida. Terá sido 
falsa! No entanto, a promessa será verdadeira se as duas partes forem também verdadeiras! 
 Na hora de formar uma tabela-verdade para duas proposições componentes (p e q), 
saberemos, de antemão, que essa tabela terá quatro linhas. Começaremos, então, fazendo a 
seguinte estrutura: 
p q
Daí, a coluna da primeira proposição terá sempre a seguinte disposição: dois “vês” seguidos 
de dois “efes”. Assim: 
p q 
V 
V 
F 
F 
 
 Enquanto a variação das letras (V e F) para a premissa p ocorre de duas em duas linhas, 
para a premissa q é diferente: “vês” e “efes” se alternando a cada linha, começando com um V. 
Assim: 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
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 Essa estrutura inicial é sempre assim, para tabelas-verdade de duas proposições p e q. A 
terceira coluna dependerá do conectivo que as une, e que está sendo analisado. No caso do 
conectivo “e”, ou seja, no caso da conjunção, já aprendemos a completar a nossa tabela-
verdade: 
p q p ∧ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a 
conjunção " p e q " corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q. Teremos: 
 
 p ∩ q 
 
 
 
 
 
 
 Passemos ao segundo conectivo. 
 
# Conectivo “ou”: (disjunção) 
 Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas 
pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “∨”. Portanto, se temos a 
sentença: 
 Æ “Marcos é médico ou Maria é estudante” 
 ... então a representaremos por: p ∨ q. 
 Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposição disjuntiva? Claro! Basta 
nos lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos: “eu te darei uma bola ou te darei 
uma bicicleta.” Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos 
presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai já valeu! 
Já foi verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na cara do 
menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do que cumprida. Só haverá um caso, 
todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer o presente, e não der nem 
a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção. 
 Daí, concluímos: uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem 
forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Teremos as possíveis 
situações: 
Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta 
p q p ∨ q 
V V V 
 
 Ou: 
Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta 
p q p ∨ q 
V F V 
 
Ou: 
Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta 
p q p ∨ q 
F V V 
 
p q
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Ou, finalmente: 
Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta 
p q p ∨ q 
F F F 
 
 Juntando tudo, teremos: 
P q p ∨ q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 A promessa inteira só é falsa se as duas partes forem descumpridas! 
 Observem que as duas primeiras colunas da tabela-verdade acima – as colunas do p e do 
q – são exatamente iguais às da tabela-verdade da conjunção (p e q). Muda apenas a terceira 
coluna, que agora representa um “ou”, a disjunção. 
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a 
disjunção "p ou q" corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q, 
 
 
 p ∪ q 
 
 
 
 
 
 
 
# Conectivo “ou ... ou...”: (disjunção exclusiva) 
 Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos 
que ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo: 
“Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” 
“ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” 
 A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente 
que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te 
darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma 
bola”, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te 
darei uma bicicleta”, então teremos que não será dada a bola. 
 Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte 
que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa. 
Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao 
mesmo tempo, falsas. 
Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela 
presença dos dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente 
verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é 
disjunção exclusiva. 
E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se 
obedecer à mútua exclusão das sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver uma 
das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa. 
O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “v”. E a tabela-verdade será, pois, a 
seguinte: 
 
p q
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p q ou p ou q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
# Conectivo “Se ... então...”: (condicional) 
Estamos agora falando de proposições como as que se seguem: 
Æ Se Pedro é médico, então Maria é dentista. 
Æ Se amanhecer chovendo, então não irei à praia. 
Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição. 
Convém, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença. 
Æ Se nasci em Fortaleza, então sou cearense. 
Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo 
nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado. 
Por exemplo: 
Æ Se nasci em Belém, então sou paraense. 
Æ Se nasci em Niterói, então sou fluminense. 
E assim por diante. Pronto? 
Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora, só há 
um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. 
Ou seja, se é verdade que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu 
sou cearense. 
Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou 
cearense, então este conjunto estará todo falso. 
Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente (basta isso!) 
para que se torne um resultado necessário que eu seja cearense. Mirem nessas palavras: 
suficiente e necessário. 
Æ Uma condição suficiente gera um resultado necessário. 
Percebam, pois, que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria 
ser médica”, então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional. 
Teremos: 
“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a: 
“Se Pedro for rico, então Maria é médica” 
Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: “Maria ser médica é condição necessária 
para que Pedro seja rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma: 
“Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” é igual a: 
“Se Pedro for rico, então Maria é médica” 
O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras suficiente e necessário para o 
formato da proposição condicional já foi bastante exigido em questões de concursos. 
Não podemos,
pois esquecer disso: 
Æ Uma condição suficiente gera um resultado necessário. 
Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional? 
Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condição 
suficiente, mas o resultado necessário não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for 
verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional será verdadeira. 
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A sentença condicional “Se p, então q” será representada por uma seta: pÆ q. 
Na proposição “Se p, então q” , a proposição p é denominada de antecedente, enquanto a 
proposição q é dita conseqüente. 
Teremos: 
p q p Æ q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se p, então q": 
 
Se A, B. A é condição suficiente para B. 
B, se A. B é condição necessária para A. 
Quando A, B. A somente se B. 
A implica B. Todo A é B. 
 
 
Daí, a proposição condicional: “Se chove, então faz frio” poderá também ser dita das 
seguintes maneiras: 
 
 Æ Se chove, faz frio. 
Æ Faz frio, se chove. 
Æ Quando chove, faz frio. 
Æ Chover implica fazer frio. 
Æ Chover é condição suficiente para fazer frio. 
Æ Fazer frio é condição necessária para chover. 
Æ Chove somente se faz frio. 
Æ Toda vez que chove, faz frio. 
 
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a 
proposição condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p 
está contido em q): 
p ⊂ q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
# Conectivo “... se e somente se ...”: (bicondicional) 
A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se e somente se”, separando as duas 
sentenças simples. 
Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser: 
“Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”. 
É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais: 
Æ “Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica 
alegre”. 
Ou ainda, dito de outra forma: 
Æ “Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica 
alegre”. 
São construções de mesmo sentido! 
q 
p
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Sabendo que a bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais, então a 
bicondicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem 
forem diferentes. Em suma: haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando 
antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais 
casos, a bicondicional será falsa. 
Sabendo que a frase “p se e somente se q” é representada por “p↔q”, então nossa tabela-
verdade será a seguinte: 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a 
proposição bicondicional "p se e somente se q" corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Uma proposição bicondicional "p se e somente se q" equivale à proposição 
composta: “se p então q e se q então p”, ou seja, 
 
“ p ↔ q “ é a mesma coisa que “ (p → q) e (q → p) “ 
 
São também equivalentes à bicondicional "p se e somente se q" as seguintes 
expressões: 
Æ A se e só se B. 
Æ Se A então B e se B então A. 
Æ A somente se B e B somente se A. 
Æ A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A. 
Æ B é condição necessária para A e A é condição necessária para B. 
Æ Todo A é B e todo B é A. 
Æ Todo A é B e reciprocamente. 
 
Via de regra, em questões de prova, só se vê mesmo a bicondicional no seu formato 
tradicional: “p se e somente se q”. 
 
# Partícula “não”: (negação) 
 Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição. 
 No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não 
antes da sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos: 
 Æ João é médico. Negativa: João não é médico. 
 Æ Maria é estudante. Negativa: Maria não é estudante. 
 Reparemos que, caso a sentença original já seja uma negativa (já traga a palavra não), 
então para negar a negativa, teremos que excluir a palavra não. Assim: 
 Æ João não é médico. Negativa: João é médico. 
 Æ Maria não é estudante. Negativa: Maria é estudante. 
 Pronto! Em se tratando de fazer a negação de proposições simples, já estamos craques! 
p = q 
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 O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira (¬) ou um sinal de til (~), 
antecedendo a frase. (Adotaremos o til). Assim, a tabela-verdade da negação é mais simplificada 
que as demais já vistas. Teremos: 
p ~p 
V F 
F V 
 
Podem-se empregar, também, como equivalentes de "não A", as seguintes expressões: 
Æ Não é verdade que A. 
Æ É falso que A. 
 
 Daí as seguintes frases são equivalentes: 
 Æ Lógica não é fácil. 
 Æ Não é verdade que Lógica é fácil. 
 Æ É falso que Lógica é fácil. 
 
# Negativa de uma Proposição Composta: 
 O que veremos aqui seria o suficiente para acertarmos algumas questões de concurso. Já 
sabemos negar uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta, como fica? Aí, 
dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa proposição. 
 Veremos, pois, uma a uma: 
Æ Negação de uma Proposição Conjuntiva: ~(p e q) 
 Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte: 
1) Negaremos a primeira (~p); 
2) Negaremos a segunda (~q); 
3) Trocaremos e por ou. 
E só! 
Daí, a questão dirá: “Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista”, e pedirá que 
encontremos, entre as opções de resposta, aquela frase que seja logicamente equivalente a esta 
fornecida. 
Analisemos: o começo da sentença é “não é verdade que...”. Ora, dizer que “não é verdade 
que...” é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida. 
E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção! 
Daí, como negaremos que “João é médico e Pedro é dentista”? Da forma explicada acima: 
1) Nega-se a primeira parte: (~p): “João não é médico” 
2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Pedro não é dentista” 
 3) Troca-se e por ou, e o resultado final será o seguinte: 
 Æ “João não é médico ou Pedro não é dentista”. 
 Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que: 
~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q 
 
 Como fomos chegar à essa conclusão? Ora, por meio da comparação entre as tabelas-
verdade das duas proposições acima. Vejamos como foi isso. Primeiro, trabalhemos a tabela-
verdade do ~(p ∧ q). 
 Tudo começa com aquele formato básico, que já é nosso conhecido: 
 
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p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 Daí, faremos a próxima coluna, que é a da conjunção (e). Teremos: 
p q p ∧ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
 Por fim, construiremos a coluna que é a negativa desta terceira. Ora, já sabemos que com a 
negativa, o que é verdadeiro vira falso, e o que é falso vira verdadeiro. 
Logo, teremos: 
p q (p ∧ q) ~(p ∧ q) 
V V V F 
V F F V 
F V F V 
F F F V 
 
 Guardemos, pois, essa última coluna (em destaque). Ela representa o resultado lógico da 
estrutura ~(p ∧ q). 
 Agora, construamos a tabela-verdade
da estrutura ~p v ~q, e comparemos os resultados. 
No início, teremos: 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 Faremos agora as duas colunas das duas negativas, de p e de q. Para isso, conforme já 
sabemos, quem for V virará F, e vice-versa. Teremos: 
p q ~p ~q 
V V F F 
V F F V 
F V V F 
F F V V 
 
 Agora, passemos à coluna final: ~p v ~q. Aqui nos lembraremos de como funciona uma 
disjunção. A disjunção é a estrutura do ou. Para ser verdadeira, basta que uma das sentenças 
também o seja. Daí, teremos: 
p q ~p ~q ~p ∨ ~q 
V V F F F 
V F F V V 
F V V F V 
F F V V V 
 
 Finalmente, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p ∨ ~q) com 
aquela que estava guardada da estrutura ~(p ∧ q). Teremos: 
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~(p ∧ q) ~p ∨ ~q 
F F 
V V 
V V 
V V 
 
 Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar p e q, negaremos p, 
negaremos q, e trocaremos e por ou. 
 Já sabendo disso, não perderemos tempo na prova construindo tabela-verdade para saber 
como se faz a negativa de uma conjunção! Esse exercício que fizemos acima, de comparar as 
colunas-resultado das duas tabelas, serviu apenas para explicar a origem dessa equivalência lógica. 
 Ou seja, para dizer se uma proposição é, do ponto de vista lógico, equivalente a outra, 
basta fazer uma comparação entre suas tabelas-verdade concluídas. 
 
Æ Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q) 
 Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte: 
1) Negaremos a primeira (~p); 
2) Negaremos a segunda (~q); 
3) Trocaremos ou por e. 
Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é logicamente equivalente à 
seguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro”. 
Pensemos: a frase em tela começa com um “não é verdade que...”, ou seja, o que se segue 
está sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos 
passos descritos acima, faremos: 
1) Nega-se a primeira parte: (~p): “Pedro não é dentista” 
2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Paulo não é engenheiro” 
 3) Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte: 
 Æ “Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro”. 
Na linguagem apropriada, concluiremos que: 
~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q 
 
 Se formos curiosos, poderemos fazer a comprovação – via tabelas-verdade – desta 
conclusão acima. Somos curiosos? Claro! Tomemos a primeira parte: ~(p ∨ q). Teremos, de início: 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 Depois, construindo a coluna da disjunção (p ou q), teremos: 
p q p ∨ q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 Finalmente, fazendo a negação da coluna da disjunção, teremos: 
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p q p ∨ q ~(p ∨ q) 
V V V F 
V F V F 
F V V F 
F F F V 
 
 Guardemos essa coluna resultado para o final. E passemos à segunda parte da análise: a 
estrutura ~p ∧ ~q. Teremos, a princípio, o seguinte: 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 Construindo-se as colunas das negações de p e de q, teremos: 
p Q ~p ~q 
V V F F 
V F F V 
F V V F 
F F V V 
 
 Finalmente, fazendo a conjunção ~p e ~q, teremos o seguinte resultado: 
p Q ~p ~q ~p ∧ ~q 
V V F F F 
V F F V F 
F V V F F 
F F V V V 
 
Concluindo, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p ∧ ~q) com 
aquela que estava guardada da estrutura ~(p ∨ q). Teremos 
~(p ∨ q) ~p ∧ ~q 
V V 
V V 
V V 
F F 
 
 Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar “p ou q”, negaremos p, 
negaremos q, e trocaremos ou por e. 
 
Æ Negação de uma Proposição Condicional: ~(p Æ q) 
 Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bem 
recentes. Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma: 
 1º) Mantém-se a primeira parte; e 
 2º) Nega-se a segunda. 
 Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-chuva”? 
 1º) Mantendo a primeira parte: “Chove” e 
 2º) Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”. 
 Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”. 
 
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13
 
Na linguagem lógica, teremos que: 
~(p Æ q) = p ∧ ~q 
 
 Vejamos a questão seguinte, que caiu na prova de Gestor Fazendário de Minas Gerais, 
realizada há poucos dias: 
(GEFAZ/MG-2005) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo 
está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação: 
a) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’. 
b) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’. 
c) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’. 
d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’. 
e) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’. 
 
Sol.: Vamos pensar juntos. Vejamos que a frase em análise começa com “não é verdade que...”. 
Logo, estamos lidando com uma negação! E o que se segue a esta negação? Uma proposição 
condicional, ou seja, uma sentença do tipo “Se p, então q”. 
 Daí, recordaremos aquilo que acabamos de aprender: para negar uma condicional, 
manteremos a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos: 
1) Mantendo a primeira parte: “Pedro está em Roma” e 
2) Negando a segunda parte: “Paulo não está em Paris”. 
O resultado ficou assim: “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. 
Daí, procuraremos entre as opções de resposta, alguma que diga justamente que: “É 
verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. Encontramos? Não encontramos! Só 
há duas opções de resposta que começam com “É verdade que...”, que são as letras a e e. Estão, 
pois, descartadas essas duas opções. 
Restam as letras b, c e d. Todas essas começam com “Não é verdade que...”. Ou seja, 
começam com uma negação! Daí, fica claro perceber que o que precisamos fazer agora é encontrar 
uma proposição cuja negativa resulte exatamente na frase Pedro está em Roma e Paulo não 
está em Paris, a qual havíamos chegado. 
Ou seja, a proposição Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris será o resultado 
de uma negação! 
Ora, aprendemos há pouco que negando uma disjunção (ou), chegaremos a uma conjunção 
(e), e vice-versa. Vejamos: 
~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q e ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q 
 Estamos com o segundo caso, em que o resultado é uma conjunção (e): 
~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q 
Observem que Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris corresponde ao 
resultado ~p ∧ ~q, que é a segunda parte da igualdade. 
Estamos à procura da primeira parte, que é ~(p ∨ q). 
Logo, teremos que: 
Æ o til (~) corresponde a: “Não é verdade que...” 
Æ o p corresponde a: “Pedro não está em Roma”; 
Æ o ∨ corresponde a ou; 
Æ o q corresponde a: “Paulo está em Paris”. 
E chegamos a: 
“Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”. 
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14
Esta é nossa resposta! Letra d. 
Vejamos o caminho que foi trilhado, até chegarmos à resposta: 
1º) Fizemos a negação de uma proposição condicional (se...então). O resultado deste 
primeiro passo é sempre uma conjunção (e). 
2º) Achamos a proposição equivalente à conjunção encontrada no primeiro passo. 
 
 Na seqüência, apresentaremos duas tabelas que trazem um resumo das relações
vistas até 
este momento. Vejamos: 
: 
Estrutura 
lógica 
É verdade quando É falso quando 
p ∧ q p e q são, ambos, verdade um dos dois for falso 
p ∨ q um dos dois for verdade p e q, ambos, são falsos 
p → q nos demais casos p é verdade e q é falso 
p ↔ q p e q tiverem valores lógicos iguais p e q tiverem valores lógicos diferentes 
~p p é falso p é verdade 
 
 Negativas das Proposições Compostas: 
negação de (p e q) é ~p ou ~q 
negação de (p ou q) é ~p e ~q 
negação de (p → q) é p e ~q 
negação de (p ↔ q) é [(p e ~q) ou (q e ~p)] 
 
 Encerraremos esta primeira aula com uma lista de questões de concurso, as quais 
poderemos tentar resolver somente com os conhecimentos já adquiridos. É o nosso... 
 
DEVER DE CASA 
01. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo: 
a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. 
b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. 
c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. 
d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. 
e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. 
 
02. (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é 
verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição 
necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja 
verdadeira a seguinte proposição: 
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. 
b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. 
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. 
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 
 
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03. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente 
equivalente a dizer que é verdade que: 
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. 
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. 
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. 
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. 
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 
 
04. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente 
equivalente a dizer que: 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro 
 
05. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto 
de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: 
a) pelo menos um economista não é médico 
b) nenhum economista é médico 
c) nenhum médico é economista 
d) pelo menos um médico não é economista 
e) todos os não médicos são não economistas 
 
06. (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de 
vista lógico, o mesmo que dizer que: 
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista 
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro 
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista 
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista 
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 
 
07. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o 
guarda-chuva" é: 
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva 
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva 
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva 
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 
 
08. (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa 
é solteira” é: 
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. 
b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. 
c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista; 
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira; 
e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. 
 
 Não esgotamos ainda o tópico de conceitos iniciais! Ainda há vários deles a serem explanados, o 
que será feito na próxima aula. 
 Voltaremos também a falar em Tabela-Verdade, e faremos muitos exercícios com elas! 
 Essas aulas iniciais são de fundamental importância, pois muitos destes conceitos nos 
acompanharão por todo o curso. 
 Por isso, é importante que vocês leiam e releiam tudo o que foi visto aqui hoje. Com calma, sem 
aperreios! E não esqueçam de tentar fazer as questões do dever de casa. As resoluções serão trazidas 
na próxima aula. 
 Ficamos hoje por aqui. Forte abraço a todos, e fiquem com Deus! 
Racioc�nio L�gico - S�rgio Carvalho e Weber Campos/Aula 02 - Conceitos iniciais (Continua��o).pdf
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1
AULA 2: CONCEITOS INICIAIS (Continuação) 
 Olá, amigos! 
 Retornamos hoje para dar seqüência aos Fundamentos da Lógica – conceitos iniciais – que 
demos início na aula passada. 
 Convém sabermos que estas duas primeiras aulas são, por assim dizer, os pilares do curso 
inteiro. É possível que hoje tenhamos uma aula de muitas páginas, mas faremos o máximo esforço 
para que tudo seja explicado da forma mais minuciosa possível. 
 Doravante, passaremos a ter o cuidado de numerar todas as tabelas do texto, a fim de 
facilitar futuras referências a qualquer uma delas. 
 Comecemos com duas erratas da aula um. A primeira delas foi logo na primeira página, 
quando estávamos apresentando o conceito de proposição, e citamos alguns exemplos, chamando-
as de proposições p, q e r. Pois bem, a premissa q tinha o texto: “5 < 8”. Acharam? Logo em 
seguida, dissemos que o valor lógico dessa proposição era falso (VL(q)=F)! Erramos! Obviamente 
que é verdadeiro que 5<8. Corrigiremos, trocando o sinal de ‘menor que’ pelo ‘maior que’ (>). E aí, 
sim, terá valor lógico falso a proposição “5 > 8”. 
 A segunda correção diz respeito à última tabela que apresentamos na página 12, no 
momento em que estávamos comparando as tabelas-verdade que resultam das estruturas 
~(p v q) e ~p ∧~q. Na ocasião, concluímos que: 
~(p ∨ q) ~p ∧ ~q 
V V 
V V 
V V 
F F 
 
 Ora, os resultados destas duas estruturas são, sim, iguais! Só que, na verdade, seus 
resultados são, corrigindo as tabelas acima, os seguintes: 
~(p ∨ q) ~p ∧ ~q 
F F 
F F 
F F 
V V 
 
 Correções feitas, passemos a uma breve revisão (breve mesmo!) do que vimos até aqui, e 
do que temos obrigação de saber até agora: 
 
REVISÃO DA AULA PASSADA: 
# Proposição: é toda sentença a qual poderá ser atribuído um valor lógico (verdadeiro ou falso); 
haverá proposições simples ou compostas. 
 
# As proposições compostas podem assumir diversos formatos, ou seja, diversas estruturas, 
dependendo do conectivo lógico que esteja unindo as suas proposições componentes. Assim, 
haverá proposições compostas chamadas conjunções (E), disjunções (OU), disjunções 
exclusivas (OU...OU...), condicionais (SE...ENTÃO...), e bicondicionais (...SE E SOMENTE 
SE...). 
 
# Para entendermos mais facilmente o funcionamento dos três primeiros tipos de proposições 
compostas (conjunção, disjunção e disjunção exclusiva), podemos fazer uma analogia com a 
promessa de um pai para um filho. Lembram-se? “Te darei uma bola e te darei uma bicicleta”; “te 
darei uma bola ou te darei uma bicicleta”, “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”. 
 
 
TABELA 01 
TABELA 02 
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2
# Conjunção é aquela proposição composta que assume o formato “proposição p E proposição 
q”. Uma conjunção somente será verdadeira se ambas as sentenças componentes também forem 
verdadeiras. A tabela-verdade de uma conjunção será, portanto, a seguinte: 
p q p ∧ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Recordando: a promessa do pai só terá sido cumprida se as duas partes dela forem observadas! 
 
# Disjunção é a proposição composta que assume o formato “proposição p OU proposição q”. 
Para que uma disjunção seja verdadeira, basta que uma das sentenças componentes também o 
seja. A tabela-verdade de uma disjunção será, portanto, a seguinte: 
p q p ∨ q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Recordando: basta o pai cumprir uma das partes da promessa e toda ela já terá sido cumprida! 
 
# Disjunção Exclusiva é a proposição que tem o formato “OU proposição p OU proposição q”. 
Na disjunção exclusiva, o cumprimento de uma parte da promessa exclui o cumprimento da outra 
parte. A tabela-verdade de uma disjunção exclusiva será, portanto, a seguinte: 
p q p ∨ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Recordando: a promessa do pai só é válida se ele der apenas um presente! 
 
# Condicional é a proposição composta que tem o formato “SE proposição p, ENTÃO 
proposição q”. Para o melhor entendimento deste tipo de estrutura, somente para efeitos 
didáticos, lembraremos da seguinte proposição: 
“Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”. 
 A estrutura condicional é de tal forma que “uma condição suficiente gera um resultado 
necessário”. Ora, o fato de alguém ter nascido em Fortaleza já é condição suficiente para o 
resultado necessário: ser cearense. 
 Pensando desta forma, a única maneira de tal estrutura se tornar FALSA seria no caso em 
que existe a condição suficiente, mas o resultado (que deveria ser necessário!) não se verifica! 
 Ou seja, só é falsa a condicional se a primeira proposição (condição suficiente) for 
VERDADEIRA e a segunda proposição (resultado necessário) for FALSA. A tabela-verdade de uma 
condicional será, portanto, a seguinte: 
p q p Æ q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
TABELA 03 
TABELA 04 
TABELA 05 
TABELA 06 
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3
 Como já era o esperado, a maioria das dúvidas enviadas para o nosso fórum versaram 
acerca da condicional. Uma coisa tem que ficar perfeitamente clara: o exemplo com o qual 
trabalhamos acima (“se nasci em Fortaleza então sou cearense”) foi escolhido exclusivamente para 
efeitos didáticos! Na realidade, não é preciso que exista qualquer conexão de sentido entre o 
conteúdo das proposições componentes da condicional. 
 Por exemplo, poderemos ter a seguinte sentença: 
“Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão” 
 
 Viram? O que interessa é apenas uma coisa: a primeira parte da condicional é uma 
condição suficiente para a obtenção de um resultado necessário. Este resultado necessário 
será justamente a segunda parte da condicional. 
 Voltemos a pensar na frase modelo da condicional: 
“Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”. 
 No fórum, alguém perguntou como seria possível considerar a condicional VERDADEIRA, 
sendo a primeira parte dela falsa e a segunda verdadeira (vide terceira linha tabela-verdade): 
p q p Æ q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 Ora, seria possível que eu não tenha nascido em Fortaleza, e ainda assim que eu seja 
cearense? Claro! Posso perfeitamente ter nascido em qualquer outra cidade do Ceará, que não 
Fortaleza! Certo? Ou seja, não invalida a condicional o fato de a primeira parte ser falsa e a 
segunda ser verdadeira. Ok? 
 É imprescindível que fique guardado na memória de vocês a seguinte conclusão: 
 
 
 
Esta é a informação crucial. Mesmo que a compreensão da estrutura não tenha, neste 
primeiro momento, ficado inteiramente clara para alguém, o mais importante, por hora, é guardar 
bem a conclusão acima. Ok? Ao longo das aulas, temos certeza que alguns pontos irão clareando 
mais e mais. 
 
# Bicondicional é a proposição composta do formato “proposição p SE E SOMENTE SE 
proposição q”. Nesta estrutura, as duas partes componentes estão, por assim dizer, amarradas: 
se uma for VERDADEIRA, a outra também terá que ser VERDADEIRA; se uma for FALSA, a outra 
também terá que ser FALSA. 
 Será, portanto, válida a estrutura bicondicional se esta característica se verificar: ambas as 
proposições verdadeiras, ou ambas falsas. A tabela-verdade de uma bicondicional será, portanto, a 
seguinte: 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
 
 
 
TABELA 07 
A condicional somente será FALSA quando o antecedente for VERDADEIRO e o 
conseqüente for FALSO! 
TABELA 08 
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4
# Negação de uma Proposição Simples: 
 Nada mais fácil: o que é VERDADEIRO torna-se falso, e vice-versa! 
 A tabela-verdade será, portanto, a seguinte: 
p ~p 
V F 
F V 
 
# Negação de uma Proposição Composta: 
 
Æ Negação de uma Conjunção: 
 A negativa de uma conjunção se faz assim: 
 1º) Nega-se a primeira parte; 
 2º) Nega-se a segunda parte; 
 3º) Troca-se o E por um OU. 
 
Ou seja: ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q 
 
 Assim, para negar a seguinte sentença: 
“Te darei uma bola E te darei uma bicicleta” 
 Faremos: 
“Não te darei uma bola OU não te darei uma bicicleta” 
 
Æ Negação de uma Disjunção: 
 A negativa de uma disjunção se faz assim: 
 1º) Nega-se a primeira parte; 
 2º) Nega-se a segunda parte; 
 3º) Troca-se o OU por um E. 
 
Ou seja: ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q 
 
 Assim, para negar a seguinte sentença: 
“Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta” 
 Faremos: 
“Não te darei uma bola E não te darei uma bicicleta” 
 
Æ Negação de uma Condicional: 
 A negativa de uma condicional se faz assim: 
 1º) Mantém-se a primeira parte; E 
 2º) Nega-se a segunda parte; 
 
Ou seja: ~(p → q) = p ∧ ~q 
 
TABELA 09 
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5
 Assim, para negar a seguinte sentença: 
“Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão” 
 Faremos: 
“A baleia é uma mamífero E o papa não é alemão” 
 
 Essencialmente, foi este o conteúdo de nossa primeira aula. 
 Passemos a analisar algumas questões do dever de casa que ficou para vocês fazerem. 
 
 RESOLUÇÃO DO DEVER DE CASA 
 Resolveremos ainda hoje as oito questões que ficaram pendentes! Na seqüência, faremos 
algumas delas. As demais, em páginas mais adiante. 
 Comecemos com a questão 2: 
 
02. (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é 
verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição 
necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja 
verdadeira a seguinte proposição: 
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. 
b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. 
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. 
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 
 
Sol.: Ora, aqui percebemos que há uma proposição simples no enunciado, e que precisa ser 
analisada. Qual é essa proposição? A seguinte: 
“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta” 
 Se observarmos bem, veremos que esta sentença contém duas negações. Vejamos em 
destaque:
“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta” 
 
 Também é fato que nosso cérebro trabalha mais facilmente com afirmações que com 
negações. Tiremos a prova! Vamos trocar essas expressões negativas da frase acima por 
afirmações correspondentes. Podemos, então, trocar “não é verdade” por “é mentira”. Todos 
concordam? É a mesma coisa? Claro! Trocaremos também “não dormem a sesta” por “ficam 
acordados”. Pode ser? Teremos: 
“É mentira que todos os aldeões daquela aldeia ficam acordados” 
 
 Agora interpretemos a frase acima: ora, se é mentira que todos os aldeões ficam acordados, 
significa que pelo menos um deles dorme! Concordam? É a resposta da questão, opção C! 
 Daqui, extrairemos uma lição: a palavra-chave da frase em questão é TODOS. É esta 
palavra que está sendo negada! E, conforme vimos, a negação de TODOS é PELO MENOS UM 
(=ALGUM). 
 Podemos até criar a seguinte tabela: 
 
p ~p 
TODO A é B ALGUM A não é B 
ALGUM A é B NENHUM A é B 
 
TABELA 10 
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6
 Questão semelhante já havia sido cobrada também pela Esaf. A frase em análise então era 
a seguinte: “Não é verdade que todas as pessoas daquela família não são magras”. Como 
interpretar essa frase? Do mesmo jeito: primeiramente, troquemos as partes negativas por 
afirmações correspondentes. Teríamos o seguinte: “É mentira que todas as pessoas daquela 
família são gordas”. Ora, se é mentira que todas são gordas, então é porque pelo menos uma 
delas é magra! Só isso e mais nada. 
 Adiante! 
03. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é 
logicamente equivalente a dizer que é verdade que: 
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. 
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. 
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. 
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. 
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 
 
Sol.: Esta é bem simples! Trata-se da negação (“não é verdade que...) de uma conjunção 
(E). Ora, sabemos que na hora de negar uma conjunção, teremos: ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q 
 Daí, negando a primeira parte, teremos: Pedro não é pobre. Negando a segunda parte: 
Alberto não é alto. Finalmente, trocando o E por um OU, concluiremos que: 
Não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto 
é igual a: 
Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. Æ Resposta (letra A)! 
 
 Deixemos a questão 4 para daqui a pouco. 
 
05. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do 
ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: 
a) pelo menos um economista não é médico 
b) nenhum economista é médico 
c) nenhum médico é economista 
d) pelo menos um médico não é economista 
e) todos os não médicos são não economistas 
 
Sol.: Esta questão agora se tornou muito fácil, após termos feito a questão dois. Aprendemos, 
inclusive com uma tabela apropriada, que a palavra TODOS é negada por PELO MENOS UM 
(=ALGUM). Daí, se o enunciado diz que é FALSA a sentença “Todos os economistas são médicos”, o 
que ela quer na verdade é que façamos a NEGAÇÃO desta frase! 
 Ora, se é mentira que todos os economistas são médicos, é fácil concluirmos que pelo 
menos um economista não é médico! É nossa resposta – opção A! 
 
Pulemos a sexta, por enquanto! 
 
 
07. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu 
levo o guarda-chuva" é: 
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva 
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva 
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva 
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 
 
Sol.: Esta também não traz grande dificuldade! O que a questão pede é a negação de uma 
condicional. Ora, já aprendemos como se faz isso: mantém-se a primeira parte E nega-se a 
segunda! Daí, concluiremos o seguinte: 
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7
 
"se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" 
é igual a: 
“está chovendo E eu não levo o guarda-chuva” Æ Resposta (letra E)! 
 
 Ao longo desta aula, resolveremos as questões que ficaram faltando! 
 
# TABELAS-VERDADE: 
 Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE. 
 Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de 
proposições compostas. 
 Na aula passada, vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará 
exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição 
composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso? 
 Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade 
será dado por: 
Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 Nº de proposicões 
 
 Ou seja: se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade 
terá 4 linhas, já que 22=4. 
 E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha três componentes p, 
q e r? Quantas linhas terá essa tabela-verdade? Terá 8 linhas, uma vez que 23=8. 
 E assim por diante. 
 
Æ TABELAS-VERDADES PARA p E q: 
 Trabalhando com duas proposições componentes, a estrutura inicial da tabela-verdade será 
sempre aquela que já aprendemos na aula passada. Qual seja: 
 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 E a próxima coluna (ou próximas colunas) da tabela-verdade dependerá dos conectivos que 
estarão presentes na proposição composta. 
 Já sabemos construir, pelo menos, cinco tabelas-verdade de proposições compostas! Claro! 
A tabela-verdade da conjunção, da disjunção, da disjunção exclusiva, da condicional e da 
bicondicional. 
 Com este conhecimento prévio, já estamos aptos a construir as tabelas-verdade de qualquer 
outra proposição condicional formada por duas proposições componentes (p e q). Designaremos tal 
proposição composta da seguinte forma: P(p, q). 
 Suponhamos, pois, que estamos diante da seguinte proposição composta: 
P(p, q)=~(p v ~q) 
 ...e desejamos construir a sua tabela-verdade. Como seria? O início da tabela é, conforme 
sabemos, sempre o mesmo. Teremos: 
 
TABELA 11 
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8
 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 Agora olhemos para a proposição que estamos trabalhando [~(p v ~q)] e comparemos o 
que já temos na tabela acima com o que ainda precisamos encontrar. Já temos o ~q? Ainda não! 
Então, é nosso próximo passo: construir a coluna da negação de q. Teremos: 
 
p q ~q 
V V F 
V F V 
F V F 
F F V 
 
 Seguindo adiante, construiremos agora a coluna referente ao parênteses (p v ~q). Trata-se 
pois, de uma disjunção, cujo funcionamento já é nosso conhecido (só será falsa se as duas partes 
forem falsas!). Colocaremos em destaque (sombreado) as colunas de nosso interesse para a 
formação desta disjunção. Teremos: 
p q ~q p v ~q 
V V F V 
V F V V 
F V F F 
F F V V 
 
 Ficou claro para todo mundo? Vejamos de novo: colocando as duas colunas (p e ~q) lado a 
lado, veremos que só na terceira linha ocorre a situação FALSO e FALSO, a qual torna também 
FALSA a conjunção. Vejamos: 
p ~q p v ~q 
V F V 
V V V 
F F F 
F V V 
 
 Por fim, concluindo a análise desta proposição composta, resta-nos construir a coluna que é 
a própria proposição: ~(p v ~q). Ou seja, faremos a negação da conjunção acima. Para isso, 
quem for VERDADEIRO vira FALSO e vice-versa. Teremos: 
p Q ~q
p v ~q ~(p v ~q) 
V V F V F 
V F V V F 
F V F F V 
F F V V F 
 
 É este, portanto, o resultado final da tabela-verdade para a proposição ~(p v ~q). 
 Uma coisa muito importante que deve ser dita neste momento é que, na hora de 
construirmos a tabela-verdade de uma proposição composta qualquer, teremos que seguir uma 
certa ordem de precedência dos conectivos. Ou seja, os nossos passos terão que obedecer a 
uma seqüência. 
 Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses. Só depois, 
passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, sempre obedecendo à seguinte ordem: 
 
TABELA 12 
TABELA 13 
TABELA 14 
TABELA 15 
TABELA 16 
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9
1º) Faremos as negações (~); 
 2º) Faremos as conjunções (E) ou disjunções (OU), na ordem em que aparecerem; 
 3º) Faremos a condicional (SE...ENTÃO...); 
 4º) Faremos a bicondicional (...SE E SOMENTE SE...). 
 
 Confira novamente o trabalho que fizemos acima, para construir a tabela-verdade da 
proposição [~(p v ~q)]. Vide tabelas 12 a 16 supra. Primeiro, trabalhamos o parênteses, fazendo 
logo uma negação (tabela 13). Depois, ainda dentro do parênteses, fizemos uma disjunção 
(tabela 14). E concluímos trabalhando fora do parênteses, fazendo nova negação. Observemos 
que só se passa a trabalhar fora do parênteses quando não há mais o que se fazer dentro dele. 
 Passemos a um exercício mais elaborado de tabela-verdade! Caso você queira, pode tentar 
a resolução sozinho e depois conferir o seu resultado. Vamos a ele: 
 
Æ EXERCÍCIO: Construa a tabela-verdade da seguinte proposição composta: 
P(p,q)= (p ^ ~q) v (q ^ ~p) 
 
Sol.: Observamos que há dois parênteses. Começaremos, pois, a trabalhar o primeiro deles, 
isoladamente. Nossos passos, obedecendo à ordem de precedência dos conectivos, serão os 
seguintes: 
Æ 1º Passo) A negação de q: 
p q ~q 
V V F 
V F V 
F V F 
F F V 
 
Æ 2º Passo) A conjunção: 
p q ~q p ∧ ~q 
V V F F 
V F V V 
F V F F 
F F V F 
 
 Deixemos essa coluna-resultado de molho para daqui a pouco, e passemos a trabalhar o 
segundo parênteses. Teremos: 
Æ 3º Passo) A negação de p: 
p q ~p 
V V F 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Æ 4º Passo) A conjunção: 
p q ~p q ∧ ~p 
V V F F 
V F F F 
F V V V 
F F V F 
 
TABELA 17 
TABELA 18 
TABELA 19 
TABELA 20 
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10
Æ 5º Passo) Uma vez trabalhados os dois parênteses, faremos, por fim, a disjunção que os une. 
Teremos: 
(p ∧ ~q) (q ∧ ~p) (p ∧~q) v (q ∧~p) 
F F F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 Se quiséssemos, poderíamos ter feito tudo em uma única tabela maior, da seguinte forma: 
TABELA 22 
p q ~q p ∧ ~q ~p q ∧ ~p (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p) 
V V F F F F F 
V F V V F F V 
F V F F V V V 
F F V F V F F 
 
 Pronto! Concluímos mais um problema. Já estamos craques em construir tabelas-verdades 
para proposições de duas sentenças. Mas, e se estivermos trabalhando com três proposições 
simples (p, q e r)? Como é que se faz essa tabela-verdade? 
 
Æ TABELAS-VERDADE PARA TRÊS PROPOSICOES (p, q E r): 
A primeira coisa a saber é o número de linhas que terá esta tabela-verdade. Conforme já 
aprendemos, este cálculo será dado por Nº linhas = 2 Nº de proposições. Daí, teremos que haverá oito 
linhas (23=8) numa tabela-verdade para três proposições simples. 
Vimos que, para duas proposições, a tabela-verdade se inicia sempre do mesmo jeito. O 
mesmo ocorrerá para uma de três proposições. Terá sempre o mesmo início. E será o seguinte: 
 
p q r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A coluna da proposição p será construída da seguinte forma: quatro V alternando com 
quatro F; a coluna da proposição q tem outra alternância: dois V com dois F; por fim, a coluna da 
proposição r alternará sempre um V com um F. Teremos, portanto, sempre a mesma estrutura 
inicial: 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
 Saber construir esta tabela acima é obrigação nossa! Ela corresponde, como já foi dito, à 
estrutura inicial de uma tabela-verdade para três proposições simples! 
TABELA 21 
TABELA 23 
TABELA 24 
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 Suponhamos que alguém (uma questão de prova, por exemplo!) nos peça que construamos 
a tabela-verdade da proposição composta seguinte: 
P(p,q,r)=(p ∧ ~q) Æ (q v ~r) 
 A leitura dessa proposição é a seguinte: Se p e não q, então q ou não r. 
 Vamos fazer esse exercício? Começaremos sempre com a estrutura inicial para três 
proposições. Teremos: 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
 Daí, já sabemos que existe uma ordem de precedência a ser observada, de modo que 
trabalharemos logo os parênteses da proposição acima. Começando pelo primeiro deles, faremos 
os seguintes passos: 
Æ 1º Passo) Negação de q: 
P q r ~q 
V V V F 
V V F F 
V F V V 
V F F V 
F V V F 
F V F F 
F F V V 
F F F V 
 
Æ 2º Passo) A conjunção do primeiro parênteses: (Só recordando: somente se as duas partes 
forem verdadeiras é que a conjunção (e) também o será!) 
p q r ~q p ∧ ~q 
V V V F F 
V V F F F 
V F V V V 
V F F V V 
F V V F F 
F V F F F 
F F V V F 
F F F V F 
 
Æ 3º Passo) Trabalhando agora com o segundo parênteses, faremos a negação de r: 
p q r ~r 
V V V F 
V V F V 
V F V F 
V F F V 
F V V F 
F V F V 
F F V F 
F F F V 
 
TABELA 25 
TABELA 26 
TABELA 27 
TABELA 28 
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12
Æ 4º Passo) A disjunção do segundo parênteses: 
Só recordando: basta que uma parte seja verdadeira, e a disjunção (ou) também o será! 
p q r ~r q v ~r 
V V V F V 
V V F V V 
V F V F F 
V F F V V 
F V V F V 
F V F V V 
F F V F F 
F F F V V 
 
Æ 5º Passo) Finalmente, já tendo trabalhado os dois parênteses separadamente, agora vamos 
fazer a condicional que os une: 
Só recordando: a condicional só será falsa se tivermos VERDADEIRO na primeira parte e FALSO na 
segunda! 
p ∧ ~q q v ~r (p ∧ ~q) Æ (q v ~r) 
F V V 
F V V 
V F F 
V V V 
F V V 
F V V 
F F V 
F V V 
 
 Novamente, se assim o quiséssemos, poderíamos ter feito todo o trabalho em uma só 
tabela, como se segue: 
TABELA 31 
p q r ~q p ∧ ~q ~r q ∨ ~r (p ∧ ~q) Æ (q ∨ ~r) 
V V V F F F V V 
V V F F F V V V 
V F V V V F F F 
V F F V V V V V 
F V V F F F V V 
F V F F F V V V 
F F V V F F F V 
F F F V F V V V 
 
 Pronto! Concluímos mais uma etapa! Já estamos aptos a construir qualquer tabela-verdade 
para proposições compostas de duas ou de três proposições componentes! 
 Chegou o momento de passarmos a conhecer três outros conceitos: Tautologia, Contradição 
e Contingência. 
# TAUTOLOGIA: 
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma 
Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das 
proposições p, q, r, ... que a compõem. 
Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, 
construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar 
verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso! 
 
Exemplo: A proposição (p ∧ q) → (p ∨ q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, 
independentemente dos valores lógicos de p e de q, como
se pode observar na tabela-verdade 
abaixo: 
TABELA 29 
TABELA 30 
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13
p q p ∧ q p ∨ q (p ∧ q) → (p ∨ q) 
V V V V V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F F V 
 
 Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ∧ q) → (p ∨ q), que aparece na 
última coluna, é sempre verdadeiro. 
 
 
 Passemos a outro exemplo de Tautologia: [(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p . 
 
Construamos a sua tabela-verdade para demonstrarmos que se trata de uma tautologia: 
 
TABELA 33: 
 
p q s p ∨ q p ∧ s (p ∨ q) ∧ (p ∧ s) [(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p 
V V V V V V V 
V V F V F F V 
V F V V V V V 
V F F V F F V 
F V V V F F V 
F V F V F F V 
F F V F F F V 
F F F F F F V 
 
 Demonstrado! Observemos que o valor lógico da proposição composta 
[(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p, que aparece na última coluna, é sempre verdadeiro, 
independentemente dos valores lógicos que p, q e s assumem. 
 
 
# CONTRADIÇÃO: 
 
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma 
contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, 
q, r, ... que a compõem. 
Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os resultados 
da última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição. 
 
Exemplo 1: 
A proposição "p ↔ ~p" (p se e somente se não p) é uma contradição, pois é sempre 
falsa, independentemente do valor lógico de p, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: 
 
 
p ~p p ↔ ~p 
V F F 
F V F 
 
 
Exemplo 2: 
 A proposição (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q) também é uma contradição, conforme verificaremos por 
meio da construção de sua da tabela-verdade. Vejamos: 
 
TABELA 32 
TABELA 34 
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14
p q (p ↔ ~q) (p ∧ q) (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q) 
V V F V F 
V F V F F 
F V V F F 
F F F F F 
 
 Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q), que aparece 
na última coluna de sua tabela-verdade, é sempre Falso, independentemente dos valores lógicos 
que p e q assumem. 
 
 
# CONTINGÊNCIA: 
 
Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia 
nem uma contradição. 
Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade. Se, ao 
final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V), e nem é uma 
contradição (só resultados F), então, pela via de exceção, será dita uma contingência! 
 
Exemplo: 
A proposição "p ↔ (p ∧ q)" é uma contingência, pois o seu valor lógico depende dos valores 
lógicos de p e q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: 
 
p q (p ∧ q) p ↔ (p ∧ q) 
V V V V 
V F F F 
F V F V 
F F F V 
 
 E por que essa proposição acima é uma contingência? Porque nem é uma tautologia e nem 
é uma contradição! Por isso! Vejamos agora algumas questões de concurso sobre isso. 
 
# Questões de Concurso: 
 
(TRT-9R-2004-FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o 
candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da 
proposição caracteriza: 
(A) um silogismo. 
(B) uma tautologia. 
(C) uma equivalência. 
(D) uma contingência. 
(E) uma contradição. 
 
Sol: Com a finalidade de montarmos a tabela verdade para verificar se a proposição apresentada 
no enunciado da questão é uma tautologia ou uma contradição, definiremos a seguinte proposição 
simples: 
p : o candidato A será eleito 
 
Então, a sentença “o candidato A será eleito OU não será eleito” passará ser 
representada simbolicamente como: p ∨ ~p . 
 
Construindo a tabela- verdade, teremos que: 
 
p ~p p ∨ ~p 
V F V 
F V V 
TABELA 35 
TABELA 36 
TABELA 37 
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Pronto! Matamos a charada! Como a última linha desta tabela-verdade só apresenta o valor 
lógico Verdadeiro, estamos inequivocamente diante de uma Tautologia. A alternativa correta é a 
letra B. 
Passemos a mais uma questão. 
 
(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Um exemplo de tautologia é: 
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo 
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo 
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo 
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo 
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo 
 
Sol: Para simplificar e facilitar esta resolução, assumiremos as seguintes proposições simples: 
 Æ p : João é alto. 
Æ q : Guilherme é gordo. 
 
Daí, utilizando estas definições feitas acima para as proposições p e q, as alternativas da 
questão poderão ser reescritas simbolicamente como: 
 
a) p → (p ∨ q) (=se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo) 
 
b) p → (p ∧ q) (=se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo) 
 
c) (p ∨ q) → q (=se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo) 
 
d) (p ∨ q)→(p ∧ q) (=se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo) 
 
e) (p ∨ ~p) → q (=se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo) 
 
 O que resta ser feito agora é testar as alternativas, procurando por aquela que seja uma 
Tautologia. Para isso, construiremos a tabela-verdade de cada opção de resposta. 
 
Teste da alternativa “a”: p → (p ∨ q) 
 
p q (p ∨ q) p → (p ∨ q) 
V V V V 
V F V V 
F V V V 
F F F V 
 
 Pronto! Mal começamos, e já chegamos à resposta! Observemos que a última coluna da 
tabela-verdade acima só apresentou valores lógicos verdadeiros! Com isso, concluímos: a 
proposição da opção A – Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo – é uma 
Tautologia! 
 Daí: Resposta: Letra A! 
 Só para efeitos de treino, vamos testar também a alternativa B: 
Teste da alternativa B: p → (p ∧ q) 
 
p q (p ∧ q) p → (p ∧ q) 
V V V V 
V F F V 
F V F F 
F F F V 
TABELA 38 
TABELA 39 
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 Como podemos observar na última coluna da tabela-verdade acima, o valor lógico da 
proposição p → (p ∧ q) pode ser verdadeiro ou falso. Isto nos leva a concluir, portanto, que esta 
proposição não é uma tautologia, nem uma contradição, mas, sim, a chamada contingência. 
 
 Antes de seguirmos adiante, façamos uma solução alternativa para a questão acima: 
 
 Observem que em todas as alternativas aparece o conectivo “→”, ou seja, todas as 
proposições são condicionais. Na tabela verdade do conectivo “→” só temos o valor lógico falso 
quando na proposição condicional o antecedente for verdade e o conseqüente for falso. Sabendo 
que uma tautologia sempre tem valor lógico verdade, então dentre as proposições condicionais 
apresentadas nas alternativas, aquela em que nunca ocorrer o antecedente verdade e o 
conseqüente falso será uma tautologia. 
 
 - Análise do item ‘a’: p → (p ∨ q) 
 
 Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, também o conseqüente 
será verdade, e assim a proposição nunca será falsa, logo esta proposição é uma tautologia. 
 
 A questão terminou, mas vamos analisar os restantes. 
 
 - Análise do item ‘b’: p → (p ∧ q) 
 
 Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, o conseqüente será 
verdade se q for verdade, e falso se q for falso. Assim, a proposição
pode assumir os valores 
lógicos de verdade e falso. Não é uma tautologia. 
 
 - Análise do item ‘c’: (p ∨ q) → q 
 
 O antecedente desta proposição sendo verdade, o valor lógico de q pode ser verdade ou 
falso, e daí o conseqüente que é dado por q também pode ser verdade ou falso, logo 
concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia. 
 
 - Análise do item ‘d’: (p ∨ q) → (p ∧ q) 
 
 O antecedente desta proposição sendo verdade, os valores de p e q podem ser verdade 
ou falso, e portanto o conseqüente também pode ser verdade ou falso, logo concluímos que a 
proposição desta alternativa não é uma tautologia. 
 
- Análise do item ‘e’: (p ∨ ~p) → q 
 Observem que o antecedente é sempre verdade independente do valor lógico de p, já o 
conseqüente pode assumir o valor lógico de verdade ou falso. Portanto, concluímos que a 
proposição desta alternativa não é uma tautologia. 
 Passaremos agora a tratar de um tema da maior relevância no Raciocínio Lógico, e que, 
inclusive, já foi exaustivamente exigido em questões de provas recentes de concursos. Estamos 
nos referindo à Equivalência Lógica. Ou seja, vamos aprender a identificar quando duas 
proposições compostas são equivalentes uma à outra. Vamos lá! 
 
# PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: 
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são 
equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas 
tabelas-verdade são idênticos. 
Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por 
qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. 
A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada 
simbolicamente como: p ⇔ q , ou simplesmente por p = q. 
Começaremos com a descrição de algumas equivalências lógicas básicas, as quais convém 
conhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas soluções de diversas questões. 
 
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¾ Equivalências Básicas: 
Æ 1ª) p e p = p 
Exemplo: André é inocente e inocente = André é inocente 
 
Æ 2ª) p ou p = p 
Exemplo: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema 
 
Æ 3ª) p e q = q e p 
Exemplo: o cavalo é forte e veloz = o cavalo é veloz e forte 
 
Æ 4ª) p ou q = q ou p 
Exemplo: o carro é branco ou azul = o carro é azul ou branco 
 
Æ 5ª) p ↔ q = q ↔ p 
Exemplo: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo 
 
Æ 6ª) p ↔ q = (p Æ q) e (q Æ p) 
Exemplo: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo 
 Para facilitar a nossa memorização, colocaremos essas equivalências na tabela seguinte: 
 
p e p = P 
p ou p = P 
p e q = q e p 
p ou q = q ou p 
p ↔ q = q ↔ p 
p ↔ q = (p → q) e (q → p) 
 
¾ Equivalências da Condicional: 
As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Inclusive, serão 
utilizadas para resolver algumas questões do dever de casa que ficaram pendentes. 
Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação 
entre as tabelas-verdade. Ficam como exercício para casa estas demonstrações. São as seguintes 
as equivalências da condicional: 
 
Æ 1ª) Se p, então q = Se não q, então não p. 
Exemplo: Se chove então me molho = Se não me molho então não chove 
 
Æ 2ª) Se p, então q = Não p ou q. 
Exemplo: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no concurso 
 
 
 
TABELA 40 
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 Colocando esses resultados numa tabela, para ajudar a memorização, teremos: 
 
p → q = ~q → ~p 
p → q = ~p ou q 
 
Tomemos as questões restantes do dever de casa, e as resolvamos agora: 
 
01. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo: 
a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. 
b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. 
c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. 
d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. 
e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. 
 
Sol.: Conforme aprendemos na aula passada, a estrutura condicional pode ser traduzida também 
com uso das expressões condição suficiente e condição necessária. Lembrados? Usando essa 
nomenclatura, teremos que: 
Æ a primeira parte da condicional é uma condição suficiente; e 
Æ a segunda parte da condicional é uma condição necessária. 
Daí, tomando a sentença “Se Marcos não estuda, então João não passeia”, teremos que: 
Æ Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear ou 
Æ João não passear é condição necessária Marcos não estudar. 
Ocorre que nenhum desses dois resultados possíveis acima consta entre as opções de 
resposta! Daí, resta-nos uma saída: teremos que encontrar uma condicional equivalente à esta 
da questão. Qual seria? Basta ver a primeira linha da Tabela 39 acima: p Æ q = ~q Æ ~p. 
Teremos: 
Se Marcos não estuda, então João não passeia = Se João passeia, então Marcos estuda. 
Viram o que foi feito? Fizemos as duas negativas e trocamos a ordem! 
Daí, agora analisando esta condicional equivalente, concluiremos que: 
Æ João passear é condição suficiente para Marcos estudar ou 
Æ Marcos estudar é condição necessária para João passear. Æ Resposta! (Letra E) 
 
04. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente 
equivalente a dizer que: 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro 
 
Sol.: Aqui temos uma questão mais bonita! Teremos que usar as duas equivalências da condicional 
para resolvê-la. Vejamos: o enunciado nos trouxe uma disjunção. Replicando a tabela 39, temos 
que... 
p → q = ~q → ~p 
p → q = ~p ou q 
 
TABELA 41 
TABELA 42 
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 ... a segunda linha da equivalência da condicional resulta numa disjunção! Ora, podemos 
tentar começar a desenvolver nosso raciocínio por aí. Invertendo a ordem desta segunda linha da 
tabela acima, concluímos que: ~p ou q = p Æ q. 
 Daí, chamaremos André é artista ou Bernardo não é engenheiro de ~p ou q. 
 Assim: 
 Æ André é artista = ~p e Æ Bernardo não é engenheiro = q. 
 Encontrando agora a estrutura equivalente p Æ q, teremos: 
 “Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro”. 
 Ocorre que esta sentença acima não figura entre as opções de resposta. Isso nos leva a 
concluir que teremos ainda que mexer com essa condicional, encontrando uma condicional 
equivalente a ela. Daí, usaremos a equivalência da primeira linha da tabela 
acima: p Æ q = ~qÆ~p. Teremos, pois que: 
 Æ “Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro” é o mesmo que: 
 Æ “Se Bernardo é engenheiro, então André é artista” Æ Resposta! (Letra D) 
 
06. (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do 
ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: 
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista 
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro 
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista 
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista 
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista