Aulas Tensao Axial - Resistencia dos materiais

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TENSÃO AXIAL
Resistência dos Materiais I
Prof. Francisco Diniz Bezerra
• Dimensionar e verificar a estabilidade de barras sujeitas à tração e 
compressão axiais:
• Diagrama de esforço normal;
• Diagrama tensão x deformação;
• Lei de Hooke;
• Conceito de tensão admissível e coeficiente de segurança;
• Problemas estaticamente indeterminados;
• Problemas envolvendo variação de temperatura;
• Tensões em um plano oblíquo em relação ao eixo da barra;
• Deformação lateral;
• Concentração de tensões próxima a furos;
• Energia de deformação;
• Aplicações e exercícios.
TENSÃO AXIAL
CONTEÚDO A SER APRESENTADO
Universidade de Fortaleza (UNIFOR) - Resistência dos Materiais I - Prof. Francisco Diniz Bezerra
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O ENSAIO DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar 
uma carga sem deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é 
inerente ao próprio material e deve ser determinada por métodos 
experimentais.
Ensaios (experimentos) de tração ou compressão – testes usados para 
determinar principalmente a relação entre a tensão normal média e a 
deformação normal média nos materiais de engenharia, a exemplo de 
cerâmicas, concretos, aços etc. 
Extensômetro é utilizado para medir 
o alongamento ou o encurtamento de 
um corpo de prova do material 
quando submetido à carga de tração 
ou de compressão.
Existem vários tipos: mecânico, 
ótico, de resistência elétrica. 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
O diagrama tensão-deformação é construído a partir dos dados obtidos 
em ensaios (experimentos) de tração ou compressão.
σlp = tensão no limite de 
proporcionalidade (a tensão é 
proporcional à deformação)
σE = tensão de escoamento
σrup = tensão de ruptura
σr = tensão limite de resistência
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DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
CONVENCIONAL
A tensão normal ou tensão de engenharia é obtida dividindo-se a carga 
aplicada P pela área original da seção transversal do corpo de prova. Esse 
cálculo considera que a tensão é constante na seção transversal e em toda a 
região entre os pontos de calibragem.
σ = 
�
��
Deformação nominal ou deformação de engenharia é determinada 
diretamente pela leitura da deformação no extensômetro, ou dividindo a 
variação, δ, no corpo de prova, pelo seu comprimento original, L0.
ε = 
�
��
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DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
CONVENCIONAL
Comportamento elástico – ocorre quando a tensão é proporcional à 
deformação. O limite superior da tensão para essa relação linear é 
denominado limite de proporcionalidade (σlp).
Limite de elasticidade – é alcançado quando a tensão ultrapassa 
ligeiramente o limite de proporcionalidade e o material responde de 
maneira elástica, ou seja, volta à sua forma original.
Tensão de escoamento (σE) – Ocorre quando um pequeno aumento 
na tensão acima do limite de elasticidade ocasiona o colapso do 
material, fazendo com que ele se deforme permanentemente 
(deformação plástica).
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DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
CONVENCIONAL
Endurecimento por deformação (encruamento) – Após o escoamento 
terminar, a aplicação de uma carga adicional ao corpo de prova 
resulta numa curva que cresce continuamente até atingir uma tensão 
máxima, chamada de limite de resistência (σr). Nesta fase, enquanto o 
corpo se alonga, sua seção transversal diminui.
Estricção – Ocorre quando, após atingido o limite de resistência, a 
área da seção transversal começa a diminuir em uma região 
localizada do corpo de prova, em vez de em seu todo o seu 
comprimento. Como a seção transversal nesse região está 
diminuindo continuamente, á área menor só pode suportar uma carga 
sempre decrescente. Por consequência, o diagrama tensão-
deformação tende a curvar-se para baixo até o corpo de prova 
quebrar, quando atinge a tensão de ruptura (σrup).
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DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
REAL
Ao invés de utilizar a área da seção transversal e o comprimento 
originais do corpo de prova para calcular a tensão e a deformação de 
engenharia, poderíamos utilizar á área da seção transversal e o 
comprimento reais do corpo de prova no instante em que a carga é 
medida. Os valores da tensão e da deformação calculados por essas 
medições são denominados tensão real e deformação real e a 
representação gráfica de seus valores é denominada diagrama 
tensão-deformação real.
É a aplicação de carga compressiva uniaxial em um corpo-de-prova. Nos 
ensaios de compressão, os corpos de prova são submetidos a uma força 
axial para dentro, distribuída de modo uniforme em toda seção transversal 
do corpo de prova. 
Ensaio de compressão 
ENSAIO DE COMPRESSÃO:
DEFINIÇÃO
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ENSAIO DE COMPRESSÃO
CARACTERÍSTICAS
• Um ensaio de compressão é conduzido de uma maneira semelhante à de 
um ensaio de tração, exceto pelo fato de que força é compressiva e o 
corpo de prova se contrai ao longo da direção da tensão. 
• Os ensaios de compressão são usados principalmente quando se deseja 
conhecer o comportamento de um material submetido a deformações 
grandes e permanentes ou quando o material é frágil sob tração.
• Um corpo submetido à compressão sofre uma deformação elástica e a 
seguir uma deformação plástica.
• Um problema que sempre ocorre no ensaio de compressão é o atrito 
entre o corpo de prova e as placas de ensaios. Para diminuir o atrito é 
necessário revestir a face superior e inferior do corpo de prova com 
materiais de baixo atrito.
• Outro problema deste ensaio é a flambagem, isto é, encurvamento do 
corpo de prova. Isso ocorre devido à instabilidade na compressão do 
metal dúctil.
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Nos materiais dúcteis ocorre uma deformação lateral apreciável. Essa 
deformação prossegue até o corpo-de-prova parecer um disco, sem que 
ocorra a ruptura.
As propriedades mecânicas avaliadas por meio do ensaio são: limite de 
proporcionalidade, limite de escoamento e módulo de elasticidade. 
ENSAIO DE COMPRESSÃO
EM MATERIAIS DÚCTEIS
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DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO: 
TRAÇÃO E COMPRESSÃO PARA AÇO DOCE
O aço doce tem tensão de escoamento de mesmo valor para a tração e compressão.
Na figura abaixo, inicialmente aplica-se carga de tração até que o ponto C do diagrama 
seja atingido. Após o descarregamento (ponto D), aplica-se uma carga de compressão, 
levando o material a atingir o ponto H, onde a tensão é igual a –σe. A porção DH da 
curva tensão-deformação é curvada e não está bem definido o ponto de escoamento. 
Isto é chamado de efeito Bauschinger. Como a carga de compressão é mantida, o 
material escoa ao longo de HJ. Se o carregamento é removido quando é atingido o 
ponto J, a tensão retorna a zero através da linha JK. Nota-se que a declividade de JK é 
igual ao módulo de elasticidade E.
Fonte: (BEER; JOHNSTON, 1995, p. 79)
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A única propriedade mecânica que pode ser avaliada no ensaio de 
compressão com materiais frágeis é a sua tensão limite de resistência (σr) 
à compressão.Pode ser avaliada dividindo a carga máxima pela seção 
original do corpo de prova. 
ENSAIO DE COMPRESSÃO
EM MATERIAIS FRÁGEIS
σr = 
���	
��
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DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO:
AÇO COM BAIXO TEOR DE CARBONO (MATERIAL DÚCTIL)
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DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO:
LIGA DE ALUMÍNIO (MATERIAL DÚCTIL)
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DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO:
(MATERIAL FRÁGIL TÍPICO)
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DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO:
(CONCRETO)
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LIMITE DE PROPORCIONALIDADE PARA 
DIVERSOS TIPOS DE AÇO
O limite de 
proporcionalidade para um 
tipo particular de aço 
depende da composição de 
sua liga.
No entanto, a maioria dos 
aços, desde o mais mole aço 
laminado até o mais duro 
aço-ferramenta, tem o 
mesmo módulo de 
elasticidade Eaço = 200 GPa.
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LEI DE HOOKE
O diagrama tensão-deformação para a maioria dos materiais de 
engenharia exibe uma relação linear entre tensão e deformação dentro 
da região elástica. Por consequência, um aumento na tensão provoca 
um aumento proporcional na deformação. Esse fato foi descoberto por 
Robert Hooke, em 1676, para molas, e é conhecido como LEI DE 
HOOKE.
Onde:
E = módulo de elasticidade ou módulo de Young
σ = tensão normal
ε = deformação normal
Obs: 1) o módulo de elasticidade (E) representa a inclinação da reta 
formada pelo gráfico tensão-deformação até o limite de 
proporcionalidade.
2) a unidade é a mesma da tensão (Pascal).
E = 
�
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EXERCÍCIO 1
A haste de alumínio mostrada na Figura tem seção transversal circular e está 
submetida a uma carga axial de 10 kN. Se uma parte do diagrama tensão-
deformação do material é mostrada no Gráfico abaixo, a) determinar o 
alongamento aproximado da haste quando a carga é aplicada; b) Se a carga for 
removida, qual será o alongamento permanente da haste? Suponha Eal = 70 Gpa.
EXERCÍCIO 1
RESOLUÇÃO
a) Para calcularmos a deformação da haste, devemos saber o valor da deformação específica do material (ε). 
Podemos obter o valor de ε calculando inicialmente a tensão em cada trecho e depois usando o diagrama 
tensão-deformação (σ versus ε).
σAB = 
�
= 
�
���
= 
��.��� �
�. �,��� �
= 31.830.989 N/m2 = 31,83 . 106 Pa = 31,83 MPa.
σBC = 
�
= 
�
���
= 
��.��� �
�. �,����� �
= 56.588.424 N/m2 = 56,59 . 106 Pa = 56,59 MPa.
Observando o diagrama tensão-deformação, vemos que no trecho AB o material é deformado elasticamente 
já que σAB = 31,83 MPa < σE = 40 MPa. Desta forma, vale a Lei de Hooke:
εAB = 
�
�
���
= 
 �,! .��" #�
��.��$ #�
= 0,0004547 mm/mm
Observando o diagrama tensão-deformação, vemos que no trecho BC o material é deformado plasticamente, 
já que σBC = 56,59 MPa > σE = 40 MPa. Neste caso, NÃO vale a Lei de Hooke. Pelo gráfico, para 
σBC = 56,59 MPa, εBC = 0,0450 mm/mm.
Portanto, o alongamento total da haste é:
δ = δAB + δBC = εAB.LAB + εBC.LBC = 0,0004547 . 600mm + 0,0450 . 400mm =>
δ = 18,3 mm.
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b) Quando a carga de 10kN é removida, o trecho AB da haste volta a seu 
comprimento original, já que não foi ultrapassado o limite de elasticidade. Já o 
segmento BC recupera-se parcialmente (No gráfico, ao longo de FG). Como o 
declive de FG é Eal, a recuperação da deformação elástica é:
εrec = 
σBC
���
= 
�",�$ . ��" #�
�� .��$ #�
= 0,000808 mm/mm
Portanto, o restante da deformação plástica do trecho BC é:
εOG = εBC - εrec = 0,0450 – 0,000808 => εOG = 0,0442 mm/mm.
Assim, quando a carga é retirada, a haste permanece alongada de:
δ’ = εOG . LBC = 0,0442 . 400mm = 17,7 mm.
EXERCÍCIO 1
RESOLUÇÃO (CONT.)
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
(OU TRABALHO DE DEFORMAÇÃO)
dU = P.dx => U = % �. &		'� = Trabalho de Deformação
No caso de uma deformação linear e elástica, a porção do diagrama força-
deformação referente ao problema estudado pode ser representada por uma linha 
reta de equação P = kx. Assim,
U = % (	&		'� = 
'
)
k(x1)2 => U = ')P1x1
Onde P1 é o valor da carga correspondente ao valor da deformação x1.
P1
x1
U = '
)
P1x1
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É a energia armazenada internamente em todo o volume de um corpo deformado pela 
ação de cargas externas.
Δz
Δx
Δy
σ
σ
σ = 
*�
*�
=> *� = σ.*� ⇒ *� = σ(*x.*,)
O deslocamento vertical é igual a ε.Δz.
Por definição, trabalho é determinado pelo produto entre a força e o 
deslocamento na direção da força.
Como a força aumenta uniformemente de 0 até o seu valor final ΔF 
(quando é obtido o deslocamento δ = εΔz), o trabalho realizado pela força
sobre o elemento é igual ao valor médio da força (ΔF/2) vezes o 
deslocamento εΔz. Ou seja:
ΔU = ('
)
ΔF).εΔz => ΔU = ('
)
σ. *x*,).εΔz.
O trabalho externo é equivalente ao trabalho interno ou energia de 
deformação armazenada no elemento (considerando a energia perdida 
sob a forma de calor = 0).
No SI, a unidade de medida de trabalho ou energia de deformação é igual 
a Joule (J).
δ=ε.Δz
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
(OU TRABALHO DE DEFORMAÇÃO)
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É a energia armazenada internamente em todo o volume de um corpo deformado pela 
ação de cargas externas.
Δz
Δx
Δy
σ
σ
σ = 
*�
*�
=> *� = σ.*� ⇒ *� = σ(*x.*,)
O deslocamento vertical é igual a ε.Δz.
Por definição, trabalho é determinado pelo produto entre a força e o 
deslocamento na direção da força.
Como a força aumenta uniformemente de 0 até o seu valor final ΔF 
(quando é obtido o deslocamento δ = εΔz), o trabalho realizado pela força
sobre o elemento é igual ao valor médio da força (ΔF/2) vezes o 
deslocamento εΔz. Ou seja:
ΔU = ('
)
ΔF).εΔz => ΔU = ('
)
σ. *x*,).εΔz.
O trabalho externo é equivalente ao trabalho interno ou energia de 
deformação armazenada no elemento (considerando a energia perdida 
sob a forma de calor = 0). 
δ=ε.Δz
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
(OU TRABALHO DE DEFORMAÇÃO)
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ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
(OU TRABALHO DE DEFORMAÇÃO)
Δz
Δx
Δy
σ
σ
ε.Δz
ΔU = '
)
σεΔV (J)
u = 
./
.0
= 
'
)
σε (J/m3)
Às vezes, é conveniente formular a energia de 
deformação por unidade de volume do material, 
denominada densidade de energia de deformação (ou 
trabalho específico de deformação):
Sabemos que a energia de deformação é igual ao 
trabalho realizado: ΔU = ('
)
ΔF).εΔz => ΔU = 
('
)
σ. *x*,).εΔz. Como ΔV = *x*,Δz, então:
Se o comportamento do material for linear elástico (até 
σlp), então aplica-se a lei de Hooke, σ = Eε. 
A densidade de energia de deformação em termos da 
tensão uniaxial é:
u = 
σ)
)1
ouu = 
EEEEε)
)
Módulo de resiliência (ur) – ocorre quando a tensão 
atinge o limite de proporcionalidade (σlp). Em termos 
físicos, representa a capacidade do material de 
absorver energia sem sofrer qualquer dano 
permanente:
ur = 
'
)
σ45ε45= 
(�45)
)
)1
=
EEEE((((εlp))
)
Módulo de tenacidade (ut) ou módulo de dureza – É o 
valor do trabalho de deformação específico que se 
obtém quando se atinge o ponto de ruptura (εrup, σrup). 
É igual á área total limitada pelo diagrama tensão-
deformação específica.
Casos 
particulares 
de densidade 
de energia de 
deformação
MÓDULO DE RESILIÊNCIA
O módulo de resiliência é igual à área sob o diagrama tensão-deformação 
até a tensão atingir o limite de proporcionalidade (σlp), ponto até o qual se 
pode utilizar a lei de Hooke.
σlp
εlp
ur = 
'
)
σ45ε45= 
'
)
7�45-
)
1
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MÓDULO DE TENACIDADE
O módulo de tenacidade é igual à área sob o diagrama tensão-deformação 
até o ponto de ruptura.
Módulo de 
tenacidade
Módulo de 
tenacidade
σr
σe
σrup
εrup
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É IMPORTANTE SABER QUE:
EXERCÍCIO 2
O diagrama tensão-deformação para uma liga de alumínio utilizada na fabricação de peças de 
aeronaves é mostrado na Figura. Se o corpo de prova desse material for submetido à tensão de 
tração de 600 Mpa, determine: a) a deformação permanente no corpo de prova quando a carga 
é retirada; b) o módulo de resiliência.
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EXERCÍCIO 2
SOLUÇÃO
a) No gráfico, o ponto B representa o limite de resistência. Nesse 
ponto, a deformação é 0,023 mm/mm. Quando a carga é retirada, o 
comportamento do material segue a reta BC, paralela à reta OA, 
cuja inclinação corresponde ao módulo de elasticidade. Como 
ambas têm a mesma inclinação, a deformação no ponto C pode ser 
determinada analiticamente. Assim,
E = 89�	:��
�,��;	��/��
= 75,0 GPa
Pelo triângulo CBD, temos que
ε = 
;��	:��
=9	>��
= 0,008 mm/mm
Essa deformação representa a quantidade de deformação elástica 
recuperada. Assim, a deformação permanente, εOC, é:
εOC = 0,023 mm/mm – 0,008 mm/mm = 0,0150 mm/mm
b) Cálculo do módulo de resiliência:
(ur) = ')
45�45= 
'
)
789�	?@A-7�, ��;	BB/BB) = 1,35 MJ/m3
Outra forma de calcular o módulo de resiliência é:
(ur) = ')
7
45-
)
1
= 
'
)
(789�	:��-)
=9.���	:��
) = 1,35 MJ/m3
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Solução:
Sabemos que ΔU = '
)
σεΔV
Então dU = '
)
σεdV => dU = 
'
)
σ2
1
dV => dU = 
'
)
P2
�)1
AAAAdx =>
%&/= %
'
)
P2
�1
dx
�
�
=> U = '
)
P2L
�1
EXERCÍCIO 3
Na barra abaixo, encontre a equação da energia de deformação em 
função do comprimento (L), área (A), força axial (P) e módulo de 
elasticidade (E).
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TENSÃO ADMISSÍVEL E
COEFICIENTE DE SEGURANÇA
• As estruturas devem ser projetadas para trabalhar na região elástica.
• Tensão admissível (σadm) – é a máxima tensão para a qual a peça é 
projetada.
• Observe que σadm < σE
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TENSÃO ADMISSÍVEL E
COEFICIENTE DE SEGURANÇA
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PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
O Princípio de Saint-Venant afirma que a deformação e a tensão localizadas, que ocorrem no 
interior das regiões de aplicação de carga ou nos apoios, tendem a nivelar-se a uma distância 
suficientemente afastada dessas regiões (Figuras (a) a (c)). 
Como regra geral, considera-se que a distância do apoio ou do local de aplicação da carga é 
igual à maior dimensão da seção transversal carregada.
A distribuição de tensão resultante nessas regiões será a mesma que a causada por qualquer 
outra carga estaticamente equivalente aplicada ao corpo dentre da mesma área localizada 
(Figura (c)).
EXERCÍCIO 4
A partir da definição de deformação normal específica (ε = δ/L), mostre que:
δ = 
��
�1
Sendo:
L: comprimento da barra uniforme e homogênea
P: valor da carga normal (axial)
A: área da seção transversal
E: módulo de elasticidade do material = constante)
Solução:
ε = 
D
�
=> δ = ε.L mas ε = �
1
= 
�/�
1
Então:
δ = 
��
�1
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PROBLEMAS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADOS
Na figura (a), existem duas reações axiais desconhecidas: 
• FA na extremidade A
• FB na extremidade B
No entanto, existe somente uma equação de equilíbrio de forças:
+↑ ΣFy = 0 => FA + FB – P = 0 (1)
Neste caso, a barra é denominada estaticamente indeterminada, pois 
as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as 
reações.
Para estabelecer uma equação adicional necessária à solução, há que 
considerar a geometria da deformação. Uma equação que indique as 
condições para o deslocamento é denominada condição de 
compatibilidade (ou condição cinemática).
No exemplo da figura, δA/B = δA – δB = 0 => 
����E
�1
–
�F�EF
�1
= 0 (2)
A partir das equações (1) e (2), obtemos que:
FA = P.(�EF� ) e FB = P.(
��E
�
)
Um elemento é estaticamente indeterminado se as equações de equilíbrio não forem 
suficientes para determinar as reações no elemento.
EXERCÍCIO 5
A haste de aço mostrada na figura tem diâmetro de 5 mm e está presa à
parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a
parede em B’ e a haste. Determine as reações em A e B’ se a haste for
submetida a uma força axial P = 20 kN como mostra a figura. Despreze o
tamanho do colar em C. Considere que a força P é grande o suficiente para
fazer com que a extremidade B da haste entre em contato com a parede em
B’. Adote Eaço = 200 GPa.
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EXERCÍCIO 5 (SOLUÇÃO)
a) Utilizando a equação de equilíbrio, temos:
+→ΣFx = 0 => – FA – FB + P = 0 => – FA – FB + 20(103) = 0 => FB = – FA + 20.103
b) Utilizando a condição de compatibilidade (relação carga-deslocamento), temos:
δA/B = 0,001 => 
����E
�1
–
�F�EF
�1
= 0,001 => ��(�, 8- – 7– FA + 20.103)7�, G- = (0,001).[π.(0,0025)2.(200.109)]
=> 1,2.�� = 19.926,99 => �� = 16,6.103N = 16,6 kN e FB = – 16,6.103 + 20.103 => FB = 3,4.103 N = 3,4 kN
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PROBLEMAS ENVOLVENDO
VARIAÇÃO DE TEMPERATURA
Considere a barra da figura (a), homogênea e de seção transversal uniforme, 
apoiada em uma superfície lisa horizontal. Aumentando a sua temperatura de um 
valor ΔT, observa-se experimentalmente que:
δT = α(ΔT)L, onde α = coeficiente de dilatação térmica (oC-1 ou oF-1).
Obs.: εT = 
DH
�
= αΔT, sendo εT chamada deformação térmica específica
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PROBLEMAS ENVOLVENDO
VARIAÇÃO DE TEMPERATURA
Considere agora que a barra AB da figura foi colocadaentre dois anteparos fixos. 
Neste caso, δ = 0.
Ao tentarmos calcular as reações FA e FB e a tensão σ criada pela variação da 
temperatura, verificamos que o problema é estaticamente indeterminado, pois:
+→ ΣFx =0 => FA – FB = 0 (Eq. 1)
FA FB
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PROBLEMAS ENVOLVENDO
VARIAÇÃO DE TEMPERATURA
Após o alongamento provocado pelo aumento da temperatura, para fazer a barra 
encurtar até o seu tamanho original, aplicamos uma força P.
P = FA = FB. 
Seja δ a deformação total. Assim, δ = δT – δP = 0 => α(ΔT)L – ���1 = 0 =>
P = FA = FB = AEα(ΔT). A tensão σ em cada anteparo é, então, igual a: σ = �� = Eα(ΔT)
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CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES
PRÓXIMA A FUROS
Quando a peça estrutural contém descontinuidades, como furos ou variação brusca de 
seção, podem ocorrer altos valores de tensões nesses pontos de descontinuidade.
K = fator de concentração de tensão. K é determinado graficamente e depende de r/d 
(furos) e de d/D (redução de largura com filete de rebaixo).
K = 
�á	.
�é&
=> σmáx. = K(P/A); onde A é a seção transversal menor. 
(a)
Distribuição de tensões próximas a um furo 
circular em placa sujeita à carga axial
(b)
Distribuição de tensões próximas a redução de 
barra chata sujeita à carga axial
d
t
σméd = 
�
&K
σméd = 
�
L	M)N K
t = espessura
σméd
σméd
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CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES PRÓXIMA A FUROS
Valores de K
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TENSÕES EM UM PLANO OBLÍQUO 
EM RELAÇÃO AO EIXO DA BARRA
De acordo com a figura, temos que:
F = P.cosθ V = P.senθ
Mas:
σ = 
�
�O
tttt = 
0
�O
, onde Aθ = 
A0
cosθ
Assim:
σ = 
P.cosθ
A0/cosθ
=> σ = 
P 
A0
cos2θ
tttt = 
P.senθ
A0/cosθ
=> tttt = 
P
A0
senθcosθ
Forças axiais causam ao mesmo tempo tensões normais e de cisalhamento 
em planos que não são perpendiculares ao eixo da peça.
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Uma peça é formada por duas seções coladas em forma de bico de gaita. A 
tensão de cisalhamento admissível da cola é de 2,50 MPa. Qual a máxima força de 
tração que pode ser aplicada sem comprometer a segurança da ligação?
tttt = 
F
A0
senθcosθ
F = tttt		.				A0
senθcosθ 
F = 				72,572,572,572,5				....				10101010
6666				N/mN/mN/mN/m2222----				....				71,2m71,2m71,2m71,2m				....				0,8m-0,8m-0,8m-0,8m-
sen30ocos30o 
F = 5.542.563 N
F = 5,5 MN
cm
cm
EXERCÍCIO 6
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• Para uma barra sujeita a carga axial, temos:
εx = 
	
1
• O alongamento na direção x é acompanhado de 
uma contração nas outras direções. 
• Assumindo que o material é isotrópico:
εy = εz ≠ 0
• O Coeficiente de Poisson (expresso pela letra 
grega ν (nü)) é definido como:
ν =| &XYZN��çãZ	X]5X^íY`^�	KN�a]bXN]�4
&XYZN��çãZ	X]5X^íY`^�	4Zac`Kd&`a�4
| = - �,
�	
= -
�e
�	
εy = εZ = 
f.�	
1
• Experimentalmente, verifica-se que 0 < ν < 1/2
É o valor absoluto da relação entre a deformação específica transversal 
e a deformação específica longitudinal. 
DEFORMAÇÃO LATERAL / 
COEFICIENTE DE POISSON
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