Lista de Exponenciais: Equações, Inequações e Problemas

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LISTA DE EXPONENCIAIS: EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E PROBLEMAS - GABARITO
Resolver as equações (em 
):
a) 
 b) 
 c) 
d) 
 e) 
 f) 
Solução. Aplicando as propriedades das potências e utilizando alguns artifícios algébricos, temos:
a) 
. Fazendo 
 vem:
. Substituindo esses valores na expressão em “x”, temos: 
. Logo, S = {9}.
b) 
.
Fazendo 
, vem: 
. Resolvendo a equação encontramos: 
. S ={1, -2}
c) 
. S = 
d) 
. Desmembrando os expoentes em produtos de mesma base, temos:
. Calculando a soma entre parênteses, vem: 
. S = {4}
e) 
. S = 
f) 
. S = {0, 6}
2) Para que valores reais de m, a equação 
, onde 
, admite raiz real?
Solução. O numerador da fração é sempre positivo e não nulo, pois 
. 
i) A análise restringe-se ao denominador que não pode ser nulo. Temos: 
. Essa situação ocorre se x = 0, pois teríamos 
. Logo, é possível calcular “m” se “x” não for nulo.
ii) 
. 
	
	 -1 0 1
	1+m
	- - -
	+ + 
	+ + 
	+ + 
	1- m
	+ + 
	+ + 
	+ + 
	- - 
	
	- - -
	+ +
	+ + 
	- - 
Isolando os termos em “m”, vem: 
. O radicando apresenta um sinal negativo antes da fração e deve ser positivo. Logo o quociente 
. Analisando as possibilidades, verifica-se que a condição satisfaz-se se: m < -1 ou m > 1. Repare que o denominador não pode se anular, logo, m ≠ 1. A exponencial não se anula, logo m ≠ - 1.
 
3) Resolver as inequações exponenciais (em 
):
a) 
 b) 
 c) 
 
 d) 
 e) 
 f) 
Solução. Aplicando as propriedades das potências e utilizando alguns artifícios algébricos, temos:
a) 
.
b) 
.
c) 
.
d) Utilizando a representação decimal na base 10 e decompondo os números temos:
. Observando que 10 = 2.5, desmembramos cada termo 10 dessa forma e reagrupam-se as potências:
. Repare que os sinais dos expoentes mudam ao trocarmos os membros, pois os termos são divididos do lado oposto e o sinal do expoente muda. Aplicando as propriedades de potências, temos:
.
	
	 -2 0 2
	
	+ +
	- - - 
	- - - 
	+ + 
	
	- - - 
	- - - 
	+ + 
	+ + 
	
	- - -
	+ +
	- - - 
	+ + 
e) 
. Analisando os intervalos verifica-se que “t” não pode ser nulo devido ao denominador e o quociente assume valores nulos em 
. 
f) 
. Observe que o quociente não se anula, pois o numerador é maior que zero. Além disso, é positivo, o que significa que o quociente será negativo somente se o denominador o for. Temos:
 O produto será negativo entre as raízes 0 e 1. Isto é, 
4) (UF – MT) A figura mostra um esboço do gráfico da função real de variável real 
, com a e b reais, a > 0 e a ≠ 1. Calcule 
.
Solução. Observando os pontos marcados no gráfico, temos: (0, 2) e (1, 4). 
i) 
 
ii) 
. O valor pedido é 
.
5) Se f(t) = 10.2t é uma função que avalia a evolução de uma cultura de bactérias, em t horas, ao cabo de quantas horas teremos f(t) = 5120?
Solução. O exercício resume-se em igualar as informações e resolver a equação exponencial.
. Ao fim de 9 horas.
6) O gráfico representa a fórmula 
 usada para determinar o número D de miligramas de um remédio na corrente sanguínea de um indivíduo, t horas depois de lhe ter sido administrado um medicamento (
).
a) Determine o valor de K.
b) A função D(t) é crescente ou decrescente? Justifique.
c) Quanto tempo leva para que a quantidade do medicamento administrado se reduza à metade?
Solução. Observando o gráfico vemos que se t = 0, D(t) = 5.
a) 
.
b) Decrescente. O valor em t = 0 é maior que o valor após t horas.
c) 
7) A onça-pintada, também conhecida por jaguar ou jaguaretê, costuma ser encontrada em reservas florestais e matas cerradas, mas, atualmente, é um dos carnívoros brasileiros que corre perigo de extinção. Suponha que, em determinada região, a população de onças-pintadas, P(t) , daqui a t anos, será estimada pela função 
 . Faça uma estimativa da população de onças-pintadas que habitarão essa região daqui a vinte anos. Aproxime a resposta para o número inteiro mais próximo. (Utilize e = 2,7).
Solução. Basta calcular P(20). Substituindo os valores, temos:
8) (Livro: Matemática - Ciência e Aplicações) Uma imobiliária acredita que o valor v de um imóvel no litoral varia segundo a lei 
, em que t é o número de anos contados a partir de hoje. 
a) Qual é o valor atual desse imóvel?
Solução. O valor atual é considerado em t = 0. Logo, 
b) Qual é a desvalorização percentual anual desse imóvel?
Solução. Essa desvalorização será calculada entre o valor atual e o valor 1 ano depois. Ou seja, calculamos o valor para t = 1 e comparamos com o atual.
c) Quanto valerá esse imóvel daqui a 2 anos?
Solução. Basta calcular v(2), isto é o valor da função para t = 2.
. Repare que poderíamos ter calculado esse valor sabendo que estará desvalorizado em 10% em relação ao preço calculado em 1 ano. Daqui a 1 ano ele custará R$54000. A desvalorização um ano depois será de 10% de 54000 = 5400. Logo em dois anos o imóvel custará a diferença 54000 – 5400 = R$48600,00.
d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá R$35429,40? (Dado: 
) 
Solução. Pede-se encontrar “t” tal que v(t) = 35429,40.
. Simplificando os termos, vem: 
. Escrevendo os termos em frações decimais, temos: 
. Logo, daqui a 5 anos.
 COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
 2ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU
 www.professorwaltertadeu.mat.br
	
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