Aula10-Testes de hipóteses

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E.	
  Novaes	
  
1	
  
Universidade	
  Federal	
  de	
  Goiás	
  
Escola	
  de	
  Agronomia	
  e	
  Engenharia	
  de	
  Alimentos	
  
Engenharia	
  Florestal	
  
Disciplina: Estatística e Experimentação Florestal	
Professor: Evandro Novaes	
Testes de Hipóteses Estatísticas	
Capítulo 5	
Aula	
  de	
  hoje	
  
•  Testes	
  de	
  hipóteses	
  esta?s@cas	
  
–  Importância	
  dos	
  testes	
  de	
  hipóteses	
  nas	
  pesquisas	
  
florestais	
  
–  Definição	
  das	
  hipóteses	
  esta?s@cas	
  
–  Testes	
  de	
  média	
  
•  Test	
  t	
  
E.	
  Novaes	
  
2	
  
Paralelo	
  entre	
  a	
  inferência	
  esta?s@ta	
  	
  
e	
  o	
  método	
  cien?fico	
  
•  “Método	
  cien?fico	
  lida	
  com	
  os	
  princípios	
  e	
  procedimentos	
  
para	
  a	
  busca	
  do	
  conhecimento,	
  envolvendo	
  a	
  análise	
  e	
  
formulação	
  de	
  um	
  problema	
  e	
  das	
  hipóteses	
  associadas,	
  a	
  
coleta	
  de	
  dados	
  através	
  da	
  observação	
  ou	
  experimentação,	
  o	
  
que	
  permi@rá	
  testar	
  as	
  hipóteses	
  formuladas”	
  (Dicionário	
  
Merriam-­‐Webster).	
  
Importância	
  dos	
  testes	
  de	
  hipótese	
  
•  Em	
  pesquisa	
  florestal	
  frequentemente	
  quer-­‐se:	
  
–  Contrastar	
  populações	
  e/ou	
  tratamentos	
  para	
  responder	
  a	
  
diferentes	
  perguntas:	
  	
  
•  Implantação	
  florestal:	
  quais	
  níveis	
  de	
  fer@lizante,	
  irrigação	
  e	
  
espaçamento	
  resultam	
  no	
  maior	
  crescimento	
  volumétrico	
  de	
  
madeira?	
  
•  Melhoramento	
  florestal:	
  qual	
  clone	
  elite	
  possui	
  melhor	
  qualidade	
  
da	
  madeira?	
  
E.	
  Novaes	
  
3	
  
Importância	
  dos	
  testes	
  de	
  hipótese	
  
Produ@vidade	
  de	
  madeira	
  (m3/ha)	
  de	
  um	
  experimento	
  com	
  3	
  níveis	
  de	
  
adubação	
  nitrogenada	
  e	
  12	
  repe@ções	
  para	
  cada	
  tratamento.	
  
s	
  
Porém,	
  qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  dessas	
  diferenças	
  terem	
  
ocorrido	
  devido	
  ao	
  acaso	
  (erros	
  amostrais)?	
  
Hipótese	
  
•  Definição:	
  “é	
  uma	
  formulação	
  provisória,	
  com	
  intenções	
  de	
  
ser	
  posteriormente	
  demonstrada...	
  É	
  normalmente	
  seguida	
  de	
  
experimentação,	
  que	
  pode	
  levar	
  à	
  verificação	
  ou	
  refutação	
  
dessa	
  hipótese.”	
  
•  Portanto,	
  deve	
  ser	
  testável	
  e	
  possuir	
  alterna*vas	
  (não	
  pode	
  
ser	
  verdade	
  absoluta).	
  
•  Exemplo:	
  tem-­‐se	
  dois	
  clones	
  elite	
  de	
  eucalipto.	
  O	
  melhorista	
  
que	
  os	
  desenvolveu	
  tem	
  a	
  hipótese	
  de	
  que	
  o	
  clone2,	
  mais	
  
novo,	
  possui	
  maior	
  teor	
  de	
  celulose	
  na	
  madeira	
  que	
  o	
  mais	
  
an@go	
  (clone1).	
  
E.	
  Novaes	
  
4	
  
Hipóteses	
  esta?s@cas	
  
•  Uma	
  hipótese	
  esta?s@ca	
  é	
  uma	
  afirmação	
  sobre	
  o	
  parâmetro	
  
de	
  uma	
  ou	
  mais	
  populações.	
  Geralmente	
  é	
  classificada	
  em	
  
hipótese	
  nula	
  ou	
  alterna@va:	
  
–  Hipótese	
  nula	
  (H0):	
  estabelece	
  a	
  ausência	
  de	
  diferença	
  entre	
  os	
  
parâmetros	
  amostrados;	
  ausência	
  de	
  variação	
  sistemá@ca	
  (variação	
  é	
  
meramente	
  casual).	
  Essa	
  é	
  a	
  hipótese	
  que	
  será	
  aceita	
  a	
  não	
  ser	
  que	
  os	
  
dados	
  ofereçam	
  evidências	
  convincentes	
  do	
  contrário;	
  
•  Exemplo:	
  os	
  clones	
  1	
  e	
  2	
  possuem	
  o	
  mesma	
  proporção	
  de	
  celulose;	
  
–  Hipótese	
  alterna@va	
  (Ha):	
  contradiz	
  a	
  hipótese	
  nula.	
  Geralmente,	
  é	
  
aquela	
  que	
  o	
  pesquisador	
  quer	
  confirmar.	
  
•  Exemplo:	
  o	
  clone	
  2	
  possui	
  maior	
  teor	
  de	
  celulose	
  que	
  o	
  clone	
  1.	
  
Testando	
  as	
  hipóteses	
  esta?s@cas	
  
•  Se	
  houvesse	
  o	
  censo	
  da	
  população,	
  bastaria	
  verificar	
  
se	
  há	
  diferenças	
  entre	
  as	
  médias;	
  
•  Porém,	
  geralmente	
  não	
  se	
  consegue	
  avaliar	
  todos	
  os	
  
indivíduos	
  de	
  uma	
  população.	
  
–  Testes	
  de	
  hipótese	
  são	
  baseados	
  em	
  amostragem	
  (com	
  
erros);	
  
–  As	
  inferências	
  acerca	
  das	
  hipóteses	
  devem	
  ter	
  uma	
  medida	
  
de	
  probabilidade	
  de	
  erro	
  associadas	
  (p-­‐valor);	
  
E.	
  Novaes	
  
5	
  
Tipos	
  de	
  erros	
  
•  A	
  confiança	
  em	
  se	
  rejeitar	
  uma	
  hipótese	
  está	
  ligada	
  a	
  
probabilidade	
  de	
  erro	
  dessa	
  decisão.	
  
•  Existem	
  dois	
  @pos	
  de	
  erros:	
  
–  Falsos	
  posi@vos	
  (erro	
  @po	
  I):	
  Rejeita-­‐se	
  H0,	
  quando	
  esta	
  é	
  a	
  hipótese	
  
verdadeira.	
  A	
  probabilidade	
  desse	
  erro	
  é	
  denominada	
  α (alfa).	
  
–  Falsos	
  nega@vos	
  (erro	
  @po	
  II):	
  Não	
  rejeita-­‐se	
  H0,	
  quando	
  esta	
  é	
  a	
  
hipótese	
  falsa.	
  A	
  probabilidade	
  desse	
  erro	
  é	
  denominada	
  β (beta).	
  
Conclusão do teste 
Verdade Não se rejeita H0 Rejeita-se H0 
H0 verdadeira Decisão correta Decisão errada: erro tipo I 
1-α α 
H0 falsa Decisão errada: erro tipo II Decisão correta 
β 1-β (poder do teste) 
Teste	
  de	
  hipóteses	
  esta?s@cas	
  
•  Passo-­‐a-­‐passo	
  
1.  Definição	
  das	
  hipóteses	
  Ho	
  e	
  Ha	
  
2.  Definição	
  do	
  nível	
  crí@co	
  do	
  teste,	
  baseado	
  na	
  
probabilidade	
  aceitável	
  de	
  erro.	
  
3.  Escolha	
  do	
  teste	
  esta?s@co	
  adequado,	
  que	
  depende:	
  
•  Do	
  parâmetro	
  populacional	
  a	
  ser	
  analisado	
  
•  Do	
  tamanho	
  amostral	
  e	
  distribuição	
  dos	
  dados	
  
Amostras	
  
E.	
  Novaes	
  
6	
  
Exercício	
  1	
  
Definição	
  das	
  hipóteses	
  
convencional	
  
Produ@vidade	
  em	
  m3	
  de	
  madeira/ha!ano	
  sob	
  as	
  duas	
  tecnologias	
  de	
  adubação.	
  
alterna,va	
  
33,42	
  m3/ha!ano	
   41,46	
  m3/ha!ano	
  
€ 
µ1 =
€ 
µ2 =
€ 
H0 : µ1 = µ2
€ 
HA : µ1 ≠ µ2
E.	
  Novaes	
  
7	
  
Escolhendo	
  o	
  nível	
  crí@co	
  do	
  teste	
  
•  O	
  nível	
  crí@co	
  deve	
  ser	
  escolhido	
  de	
  forma	
  a	
  minimizar	
  os	
  dois	
  
@pos	
  de	
  erros	
  (I	
  e	
  II)	
  
•  Problema:	
  antagonismo	
  dos	
  erros.	
  
•  Escolha	
  deveria	
  também	
  levar	
  em	
  consideração	
  os	
  custos	
  de	
  erro	
  @po	
  I	
  e	
  II,	
  
que	
  são	
  diferentes	
  em	
  cada	
  experimento.	
  
•  Como	
  geralmente	
  não	
  se	
  conhece	
  a	
  distribuição	
  da	
  hipótese	
  alterna@va,	
  a	
  
escolha	
  do	
  nível	
  crí@co	
  é	
  baseada	
  no	
  erro	
  @po	
  I	
  
•  É	
  comum,	
  em	
  experimentos	
  agronômicos	
  e	
  florestais,	
  u@lizar-­‐se	
  um	
  nível	
  
crí@co	
  α	
  de	
  5%	
  a	
  1%.	
  	
  
convencional	
   alterna,va	
  
Definição	
  do	
  nível	
  crí@co	
  
R.A.	
  –	
  região	
  de	
  não	
  rejeição	
  de	
  Ho	
  
R.R.	
  –	
  região	
  de	
  rejeição	
  de	
  Ho	
  
α	
  =	
  0.01	
  
Teste	
  unilateral	
   Teste	
  bilateral	
  
Tcrí@co	
   tcrí@co	
  -­‐tcrí@co	
  
H0:	
  μ0	
  >	
  μA	
  
Ha:	
  μ0<	
  μA	
  
H0:	
  μ0	
  =	
  μA	
  
Ha:	
  μ0	
  ≠	
  μA	
  
E.	
  Novaes	
  
8	
  
Escolha	
  do	
  teste	
  esta?s@co	
  
Para	
  inferências	
  acerca	
  de	
  μ	
  
Diferença	
  entre	
  médias	
  
Magnitude	
  dos	
  erros	
  amostrais	
  
13	
  cm	
   18	
  cm	
   13	
  cm	
   15	
  cm	
  
13	
  cm	
   15	
  cm	
   13	
  cm	
   15	
  cm	
  
S	
  =	
  3	
  cm	
   S	
  =	
  3	
  cm	
  
S	
  =	
  3	
  cm	
   S	
  =	
  1	
  cm	
  
Escolha	
  do	
  teste	
  esta?s@co	
  
Para	
  inferências	
  acerca	
  de	
  μ	
  
Diferença	
  entre	
  médias	
  
Magnitude	
  dos	
  erros	
  amostrais	
  
13	
  cm	
   18	
  cm	
   13	
  cm	
   15	
  cm	
  
13	
  cm	
   15	
  cm	
   13	
  cm	
   15	
  cm	
  
S	
  =	
  3	
  cm	
   S	
  =	
  3	
  cm	
  
S	
  =	
  3	
  cm	
   S	
  =	
  1	
  cm	
  
€ 
t = y − µ
s2
n
gl = n −1
E.	
  Novaes	
  
9	
  
Exercício	
  1	
  
p-­‐valor	
  
Assumindo	
  H0	
  verdadeiro,	
  há	
  
uma	
  probabilidade	
  de	
  0,4569	
  
de	
  se	
  observar	
  uma	
  diferença	
  
tão	
  grande	
  como	
  essa	
  de	
  0,33	
  
numa	
  amostra	
  similar	
  (com	
  
esse	
  tamanho	
  e	
  esse	
  desvio	
  
padrão).	
  
p-­‐valor	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  se	
  
observar	
  diferenças	
  tão	
  extremas	
  
como	
  essa	
  (dados),	
  assumindo	
  H0	
  
como	
  verdadeira.	
  
E.	
  Novaes	
  
10	
  
Exercício	
  3	
  
✓  A média da distribuição das proporções é dada por: 	
✓  A variância da distribuição das proporções é dada por:	
Se a variável de interesse for x/n (proporção ou frequência 
de casos)	
µ = p
σ 2 = p(1− p)n
€ 
t = p0 − pAs ˆ p 
=
p0 − pA
p0(1− p0)
n
E.	
  Novaes	
  
11	
  
Testando	
  hipóteses	
  acerca	
  de	
  
duas	
  populações	
  
Variâncias	
  homogêneas	
  
Exercício	
  7	
  
E.	
  Novaes	
  
12	
  
Testando	
  diferenças	
  entre	
  duas	
  populações	
  
•  Teste	
  t	
  de	
  Student	
  (William	
  S.	
  Gosset)	
  
Pressuposições	
  do	
  teste:	
  amostras	
  são	
  independentes,	
  ob@das	
  de	
  
populações	
  com	
  distribuição	
  normal	
  e	
  variância	
  comum.	
  
€ 
t = x 1 − x 2
sc
1
n1
+
1
n2
€ 
sc2 =
(n1 −1)s12 + (n2 −1)s22
n1 + n2 − 2
€ 
gl = n1 + n2 − 2
Testando	
  hipóteses	
  acerca	
  de	
  
duas	
  populações	
  
Variâncias	
  heterogêneas	
  
E.	
  Novaes	
  
13	
  
Teste	
  F	
  de	
  homogeneidade	
  das	
  
variâncias	
  (homocedas@cidade)	
  
€ 
H0 : σ12 =σ22
HA : σ12 ≠σ22
Rejeita-­‐se	
  H0	
  se	
  Fcalc	
  >	
  Ftab	
  
€ 
Ftabα =0,05
g .l .1
g.l .2
€ 
F = s1(maior )
2
s2(menor )2
(bilateral)	
  
Distribuição	
  F	
  
E.	
  Novaes	
  
14	
  
Teste	
  t	
  
•  Variâncias	
  homogêneas	
  
•  Variâncias	
  heterogêneas	
  
€ 
t = x 1 − x 2
sc
1
n1
+
1
n2
€ 
sc2 =
(n1 −1)s12 + (n2 −1)s22
n1 + n2 − 2
€ 
gl = n1 + n2 − 2
€ 
t = y 1 − y 2
s12
n1
+
s22
n2
# 
$ 
% 
& 
' 
( 
€ 
gl =
s12
n1
+
s22
n2
" 
# 
$ 
% 
& 
' 
2
s12
n1
" 
# 
$ 
% 
& 
' 
2
n1 −1
+
s22
n2
" 
# 
$ 
% 
& 
' 
2
n2 −1
Exercício	
  6	
  
E.	
  Novaes	
  
15	
  
E	
  se	
  as	
  amostras	
  não	
  forem	
  
independentes	
  
Dados	
  pareados	
  
Exercício	
  4	
  
E.	
  Novaes	
  
16	
  
Teste	
  t	
  para	
  dados	
  pareados	
  
H0:	
  	
  
Ha:	
  	
  
€ 
d = 0
d ≠ 0
€ 
t = d − 0sd
n
€ 
gl = n −1