Aula7-Probabilidade (Poisson)

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(c) E. Novaes	
 1	
Universidade	
  Federal	
  de	
  Goiás	
  
Escola	
  de	
  Agronomia	
  e	
  Engenharia	
  de	
  Alimentos	
  
Engenharia	
  Florestal	
  
Disciplina: Estatística e Experimentação Florestal	
Professor: Evandro Novaes	
Probabilidade – distribuição de Poisson	
Capítulo 3	
Aula	
  de	
  hoje	
  
3.  Probabilidade	
  e	
  Distribuições	
  de	
  
Probabilidade	
  
a.  Introdução	
  à	
  Probabilidade	
  
b.  Distribuição	
  Binomial	
  
c.  Distribuição	
  de	
  Poisson	
  
(c) E. Novaes	
 2	
Introdução	
  
•  Considere	
  o	
  seguinte	
  problema:	
  
– Desenvolver	
  um	
  modelo	
  para	
  descrever	
  a	
  
probabilidade	
  do	
  número	
  de	
  acidentes	
  que	
  
ocorrem	
  em	
  um	
  cruzamento	
  perigoso	
  em	
  um	
  
período	
  de	
  tempo;	
  
•  O	
  período	
  de	
  tempo	
  pode	
  ser	
  dividido	
  em	
  n	
  
subintervalos,	
  em	
  que	
  
–  P(acidente	
  no	
  subintervalo)	
  =	
  p	
  
–  P(não	
  ocorrer	
  acidente	
  no	
  subintervalo)	
  =	
  1	
  –	
  p	
  
•  Se	
  admiTrmos	
  que	
  p	
  é	
  constante	
  e	
  que	
  os	
  subintervalos	
  
são	
  independentes	
  =>	
  Binomial	
  
Derivação	
  da	
  distribuição	
  de	
  
probabilidade	
  de	
  Poisson	
  
e-λ	
 1	
  
λ = número de eventos que ocorrem em um período de tempo 	
(c) E. Novaes	
 3	
Distribuição	
  de	
  Poisson	
  
x = 0,1, 2,3, 4...∞€ 
µ = λ
€ 
σ 2 = λ
Média	
 Variância	
em que,
λ = número de eventos (x) que ocorrem em um período de tempo (área, 
volume, peso, etc.).	
€ 
P(x) = λ
x ⋅ e−λ
x!
Exemplo1	
  
•  Com	
  frequência	
  ecologistas	
  uTlizam	
  o	
  número	
  de	
  
observação	
  de	
  uma	
  espécie	
  rara	
  para	
  esTmar	
  o	
  
tamanho	
  de	
  sua	
  população.	
  Por	
  exemplo,	
  suponha	
  
que	
  o	
  número	
  (x)	
  de	
  observações	
  de	
  baleias	
  azuis	
  
reportados	
  no	
  período	
  de	
  uma	
  semana	
  tenha	
  uma	
  
distribuição	
  de	
  Poisson	
  com	
  média	
  de	
  2,6	
  baleias	
  
vistas	
  por	
  semana.	
  
•  Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  se	
  observar	
  menos	
  de	
  2	
  
baleias	
  no	
  período	
  de	
  uma	
  semana?	
  
(c) E. Novaes	
 4	
Binomial	
  ~	
  Poisson	
  
•  Se	
  n	
  for	
  grande	
  e	
  p	
  pequeno	
  
– Binomial(np)	
  ~	
  Poisson(λ=np)	
  
Distribuição	
  de	
  Poisson	
  
•  Também	
  conhecida	
  como	
  distribuição	
  dos	
  
eventos	
  raros	
  (cuidado!);	
  
•  Derivada	
  por	
  Siméon-­‐Denis	
  Poisson	
  (1781-­‐1840)	
  
•  ÚTl	
  para	
  descrever	
  o	
  número	
  provável	
  de	
  
eventos	
  que	
  irão	
  ocorrer	
  em	
  um	
  período	
  de	
  
tempo,	
  ou	
  numa	
  dada	
  área,	
  volume,	
  etc.;	
  
–  O	
  número	
  de	
  eventos	
  pode	
  ser	
  0,	
  1,	
  2,	
  ...	
  
(c) E. Novaes	
 5	
Distribuição	
  de	
  Poisson	
  -­‐	
  exemplos	
  
•  Exemplo	
  de	
  variáveis	
  para	
  as	
  quais	
  a	
  distribuição	
  de	
  
probabilidade	
  de	
  Poisson	
  é	
  um	
  bom	
  modelo:	
  
–  Número	
  de	
  acidentes	
  por	
  mês	
  em	
  um	
  cruzamento	
  perigoso;	
  
–  Número	
  de	
  defeitos	
  encontrados	
  pela	
  equipe	
  do	
  controle	
  de	
  
qualidade;	
  
–  Partes	
  por	
  milhão	
  de	
  um	
  resíduo	
  tóxico	
  emiTdo	
  em	
  efluentes	
  
de	
  uma	
  indústria;	
  
–  Número	
  de	
  pacientes	
  admiTdos	
  na	
  emergência	
  de	
  um	
  
hospital;	
  
–  Número	
  de	
  plantas	
  que	
  sucumbiram	
  a	
  uma	
  doença	
  por	
  ha	
  de	
  
florestal;	
  
CaracterísTcas	
  da	
  distribuição	
  de	
  Poisson	
  
•  O	
  experimento	
  consiste	
  em	
  contar	
  o	
  número	
  de	
  
vezes	
  que	
  um	
  certo	
  evento	
  ocorre	
  em	
  um	
  dado	
  
período	
  de	
  tempo	
  (área,	
  volume,	
  peso,	
  etc.);	
  
•  A	
  probabilidade	
  é	
  a	
  mesma	
  para	
  os	
  diferentes	
  
unidades	
  (subintervalos)	
  de	
  tempo,	
  área	
  ou	
  volume;	
  
•  O	
  número	
  de	
  eventos	
  que	
  ocorrem	
  um	
  intervalo	
  é	
  
independente	
  do	
  número	
  que	
  ocorreu	
  em	
  outros	
  
intervalos;	
  
(c) E. Novaes	
 6	
Exemplo	
  2	
  
•  Durante	
  o	
  horário	
  comercial,	
  um	
  sistema	
  de	
  
atendimento	
  ao	
  consumidor	
  recebe	
  em	
  
média	
  5	
  telefonemas	
  por	
  minuto.	
  Encontre	
  a	
  
probabilidade	
  de	
  que	
  nenhuma	
  chamada	
  será	
  
feita	
  em	
  um	
  período	
  de	
  um	
  minuto.	
  
A concentração de UFC de uma determinada bactéria em determinado meio de 
cultura é de 0,02 UFC/μL. Em um plaqueamento de 50 μL deste meio de cultura, 
qual o número esperado de UFC?	
λ = 0,02UFC / µL
A = 50 µL
µ = λ . A
µ = 0,02 . 50 ∴ µ = 1UFC
Slides gentilmente cedido pelo Prof. Alexandre S. G. Coelho	
(c) E. Novaes	
 7	
A concentração de UFC de uma determinada bactéria em determinado meio de 
cultura é de 0,02 UFC/μL. Em um plaqueamento de 50 μL deste meio de cultura, 
qual o número esperado de UFC?	
Qual a probabilidade de que nenhuma UFC seja observada no plaqueamento?	
Qual a probabilidade de que sejam observadas mais de 3 UFC no plaqueamento?	
µ = 1UFC
Distribuição de Poisson	
P(x) = µ
x
x! e
−µ
(c) E. Novaes	
 8	
Distribuição de Poisson	
P(x = 0) = 1
0
0!e
−1
P(x = 3) = 1
3
3!e
−1
x	
 P(x)	
0	
1	
2	
3	
4	
...	
 ...	
total	
 1,00000	
P(x) = 1
x
x!e
−1µ = 1UFC
x	
 P(x)	
0	
 0,36788	
1	
 0,36788	
2	
 0,18394	
3	
 0,06131	
4	
 0,01533	
...	
 ...	
total	
 1,00000	
Distribuição de probabilidade da variável x	
(c) E. Novaes	
 9	
A concentração de UFC de uma determinada bactéria em determinado meio de 
cultura é de 0,02 UFC/μL. Em um plaqueamento de 50 μL deste meio de cultura, 
qual o número esperado de UFC?	
Qual a probabilidade de que nenhuma UFC seja observada no plaqueamento?	
Qual a probabilidade de que sejam observadas mais de 3 UFC no plaqueamento?	
µ = 1UFC
P(x = 0) = ? P(x = 0) = 0,3679
P(x > 3) = ? P(x > 3) = 1− P(x)
x=0
3
∑
P(x > 3) = 1− 0,9810 P(x > 3) = 0,0189