Inscrição de sólidos

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COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Exercícios de Geometria Espacial. 
Inscrição de sólidos. 
 
QUESTÃO 1 
A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e 
ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem 
a. Considere o cubo de volume máximo contido em 
ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, 
como ilustra a figura ao lado. 
 
Determine a medida da aresta desse cubo em 
função de a. 
 
 
QUESTÃO 2 
As arestas de um cubo medem 1 unidade de 
comprimento. Escolhido um vértice V do cubo, 
considera-se um tetraedro VABC de modo que as 
arestas VA, VB e VC do tetraedro estejam contidas 
nas arestas do cubo (como descrito na figura) e 
tenham a mesma 
medida, , com 0 < x 
1. 
 
 
 
A) Calcule o volume do tetraedro VABC em função 
de x. 
 
B) Considere a esfera inscrita nesse cubo. 
Determine o valor de x para que o plano 
determinado pelos pontos A, B e C seja tangente a 
essa esfera. 
QUESTÃO 3 
Considerando a esfera E de raio 10 cm, π = 3,1 
e =1,7 , assinale a(s) alternativa(s) correta(s). 
 
01) Um cilindro circular reto cujo diâmetro da base e 
cuja altura têm a mesma medida, inscrito na esfera 
E, tem um volume de 500 π cm
3
. 
 
02) A medida do raio da base de um cone circular 
reto com altura de 30 cm, circunscrito à esfera E, é 
igual a 10 cm. 
 
04) A circunferência C que delimita o círculo de 
interseção da esfera E com um plano α, cuja 
distância ao centro da esfera E mede 4 cm, tem raio 
medindo 8 cm. 
 
08) Se o centro da esfera E pertence a um plano, 
então, a interseção deste com a esfera E é um 
círculo de área menor do que 300 cm
2
. 
 
16) A área da superfície da esfera E é maior do que 
a área da superfície total de um tetraedro regular, 
cuja aresta mede 30 cm. 
QUESTÃO 4 
Duas esferas de raios iguais a r são colocadas no 
interior de um tubo de ensaio sob a forma de um 
cilindro circular reto de raio da base r e altura 4r. No 
espaço vazio compreendido entre as esferas, a 
superfície lateral e as bases, superior e inferior, do 
tubo de ensaio, coloca-se um líquido. Então, o 
volume desse líquido é: 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
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QUESTÃO 5 
Sabendo que a aresta do cubo a seguir mede 6 cm, 
considere as seguintes afirmativas: 
 
 
 
1. A área do triângulo ACD é . 
2. O volume da pirâmide ABCD é 1/6 do volume do 
cubo. 
3. A altura do triângulo ABC relativa a qualquer um 
dos lados mede cm. 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 
c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
QUESTÃO 6 
Um cilindro circular reto é inscrito em um cone, de 
modo que os eixos desses dois sólidos sejam 
colineares, conforme representado na ilustração a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, 
cada um, 12 cm. 
Admita que as medidas, em centímetros, da altura e 
do raio do cilindro variem no intervalo ]0;12[ de 
modo que ele permaneça inscrito nesse cone. 
Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter 
para que sua área lateral seja máxima. 
QUESTÃO 7 
Uma caixa cúbica foi dividida em duas partes por 
um plano que contém duas diagonais de faces 
opostas da caixa. Uma das partes acomoda, sem 
folga, uma lata com a forma de um cilindro circular 
reto, conforme ilustrado a seguir. 
 
 
 
Desprezando as espessuras dos materiais utilizados 
na lata, na caixa e na divisória, calcule a razão entre 
o volume do cilindro e o da caixa. 
QUESTÃO 8 
Uma esfera de raio 1 está inscrita em um cone 
circular reto cuja base tem raio 3. Determine a altura 
desse cone. 
QUESTÃO 9 
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Uma esfera está circunscrita a um cubo cuja medida 
da aresta é 2 m. A medida do volume da região 
exterior ao cubo e interior à esfera é 
 
A) 4(π – 2) m
3 
B) 3(π + 2) m
3 
C) 4(π + 2) m
3 
D) 3(π – 2) m
3 
QUESTÃO 10 
O volume de um cubo de madeira foi diminuído em 
32 cm
3
, fazendo-se cavidades a partir de cada uma 
de suas faces até a face oposta. 
 
 
 
Com isso, obteve-se o sólido representado na 
figura. 
 
Cada cavidade tem a forma de um prisma reto de 
base quadrada de 2 cm de lado. As bases do 
prisma, contidas nas faces do cubo, têm centro no 
centro dessas faces e um lado paralelo a um dos 
lados da face. A aresta do cubo mede 
 
(A) 2 cm. 
(B) 3 cm. 
(C) 4 cm. 
(D) 6 cm. 
(E) 8 cm. 
QUESTÃO 11 
Um cilindro reto de base circular de raio r e altura h 
é inscrito numa esfera de raio 5. 
 
 
 
a) Encontre a altura do cilindro quando r = 3. 
 
b) Calcule a área total do cilindro quando r = 3. 
 
c) Escreva a área total do cilindro como função de r. 
QUESTÃO 12 
 
 
Em 1596, em sua obra Mysterium Cosmographicum, 
Johannes Kepler estabeleceu um modelo do 
cosmos onde os cinco poliedros regulares são 
colocados um dentro do outro, separados por 
esferas. A ideia de Kepler era relacionar as órbitas 
dos planetas com as razões harmônicas dos 
poliedros regulares. 
A razão harmônica de um poliedro regular é a razão 
entre o raio da esfera circunscrita e o raio da esfera 
inscrita no poliedro. A esfera circunscrita a um 
poliedro regular é aquela que contém todos os 
vértices do poliedro. A esfera inscrita, por sua vez, é 
aquela que é tangente a cada uma das faces do 
poliedro. 
 
A razão harmônica de qualquer cubo é igual a: 
 
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a) 1. 
b) 2. 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÃO 13 
A figura abaixo representa uma caixa, com a forma 
de um prisma triangular regular, contendo uma bola 
perfeitamente esférica que tangencia internamente 
as cinco faces do prisma. 
 
 
Admitindo = 3, determine o valor aproximado da 
porcentagem ocupada pelo volume da bola em 
relação ao volume da caixa. 
QUESTÃO 14 
Considere a pirâmide regular de altura cuja 
base é um quadrado de lado 3. Calcule: 
A) o volume da pirâmide. 
B) o raio da esfera circunscrita à pirâmide. 
QUESTÃO 15 
Em um recipiente com a forma de um 
paralelepípedo retângulo com 40 cm de 
comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura, 
foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, 
cada uma com volume igual a 0,5 cm
3
. Na primeira 
etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; 
na terceira, quatro; e assim sucessivamente, 
dobrando-se o número de esferas a cada etapa. 
Admita que, quando o recipiente está cheio, o 
espaço vazio entre as esferas é desprezível. 
Considerando 2
10
 = 1.000, o menor número de 
etapas necessárias para que o volume total de 
esferas seja maior do que o volume do recipiente é: 
 
a) 15 
b) 16 
c) 17 
d) 18 
QUESTÃO 16 
Qual o volume do cubo que tem todos os vértices 
em uma superfície esférica de raio 3 cm? 
 
 
 
A) 24 cm
3
 
B) 18 cm
3
 
C) 24 cm
3
 
D) 28 cm
3
 
E) 48 cm
3 
QUESTÃO 17 
Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de 
raio 5, como indica a figura a seguir. 
 
 
 
Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume 
desse cilindro seja igual a . 
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a) 
b) 3 
c) 
d) 
e) 4 
QUESTÃO 18 
Um cone circular reto está inscrito em uma esfera, 
de tal modo que suabase é um círculo máximo da 
esfera e seu vértice é um ponto da casca esférica. 
Se a medida do raio da esfera é 3 m, então a 
medida do volume do cone, em m
3
, é 
 
A) . 
B) 6π. 
C) . 
D) 9π. 
QUESTÃO 19 
Um cone circular reto está inscrito em uma esfera, 
isto é, o vértice do cone e a circunferência que 
delimita sua base estão sobre a esfera. Se a medida 
do raio da esfera é 3 m e se a medida da altura do 
cone é igual a da medida do diâmetro da esfera, 
então o volume do cone, em m
3
, é 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
QUESTÃO 20 
Uma esfera está inscrita em um cone reto com raio 
da base medindo 15cm e altura 36cm, conforme a 
ilustração a seguir. 
 
 
Considerando estas hipóteses, analise as 
afirmações a seguir. 
 
0-0) A geratriz do cone mede 40 cm. 
1-1) A tangente do ângulo agudo formado pelo eixo 
do cone e a geratriz é 5/12. 
2-2) Os triângulos ABC e AED são semelhantes. 
3-3) A esfera tem raio medindo 9 cm. 
4-4) A área da superfície da esfera mede 400π cm
2
. 
QUESTÃO 21 
Uma peça de ornamentação confeccionada com 
vidro possui a forma de um prisma regular reto, cuja 
base é um triângulo equilátero. Em seu interior, há 
uma esfera representando o globo terrestre, que 
tangencia cada face do prisma. Sabendo que o raio 
da esfera é r, qual é o volume do prisma? 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
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QUESTÃO 22 
Um cilindro reto de altura cm está inscrito num 
tetraedro regular e tem sua base em uma das faces 
do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem 3 
cm; o volume do cilindro, em cm
3
; é igual a 
 
A ( ) . 
B ( ) . 
C ( ) . 
D ( ) . 
E ( ) . 
QUESTÃO 23 
Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular 
hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da 
base mede cm. Então o raio da esfera, em 
cm, é igual a 
A) 
B) 
C) 
D) 2√3 
E) 
QUESTÃO 24 
Uma esfera é colocada no interior de um cone 
circular reto de 8 cm de altura e de 60° de ângulo de 
vértice. Os pontos de contato da esfera com a 
superfície lateral do cone definem uma 
circunferência e distam 2 cm do vértice do cone. 
O volume do cone não ocupado pela esfera, em 
cm
3
; é igual a 
 
A ( ) 
B ( ) 
C ( ) 
D ( ) 
E ( ) 
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QUESTÃO 1 
GABARITO: 
 
Considerando o sistema cartesiano com 
origem O no vértice A da pirâmide e eixos 
Ox, Oy e Oz determinados pelas arestas 
AB, AC e AD, respectivamente, tem-se que 
a face determinada pelos pontos B, C e D 
está contida no plano Π, cuja equação é: x 
+ y + z = a. 
 
Seja L a medida da aresta do cubo. Então, 
o vértice diametralmente oposto ao vértice 
A = (0,0,0) é o ponto E = (L,L,L). Sendo 
esse cubo o de volume máximo contido na 
pirâmide ABCD, o ponto E pertence ao 
plano II. 
 
 
 
Resp.: . 
 
QUESTÃO 2 
GABARITO: 
A) Considerando a face ABV do tetraedro 
como a sua base, a altura fica sendo a 
aresta VC. Como ABV é um triângulo 
retângulo com medida dos catetos igual a x 
e a medida da altura é , então 
área(ABV) = e o volume é vol(VABC) 
= . 
B) Calculemos o volume desse tetraedro 
considerando o triângulo equilátero ABC de 
lados como a base. Seja o valor 
procurado. Sendo assim, área(ABC) 
= 
O dobro da medida h da altura do tetraedro 
em relação ao vértice V será a medida da 
diagonal l do cubo menos a medida d do 
diâmetro da esfera. Pelo Teorema de 
Pitágoras, , e pelo fato de a esfera 
ser inscrita ao cubo, temos d =1. 
Logo, . 
Calculando o volume do tetraedro, 
chegamos a vol(VABC) = . 
Pelo item anterior, podemos escrever a 
igualdade 
 . 
Resolvendo essa equação, encontramos o 
valor . 
 
QUESTÃO 3 
01+02=03 
 
RESOLUÇÃO: 
01) Verdadeira 
 
 
 
Se a é o raio da base do cilindro, pelo Teorema de 
Pitágoras 
Logo, o volume do cilindro 
é: cm
3
. 
 
02) Verdadeira 
 
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Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo 
OAB, 
 
cm. 
 
Pela semelhança de triângulos: 
 
 
cm. 
 
04) Falsa 
 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras: 
 
 cm. 
 
08) Falsa 
 
A intersecção do plano com a esfera E é um círculo 
de raio de medida igual à medida do raio da esfera, 
isto é, 10 cm. Assim, a área desse círculo é π · 10
2
 
= 3,1 · 100 = 310 cm
2
. 
 
16) Falsa 
 
A área da superfície da esfera E é 4π · 10
2
 = 4 · 
3,1 · 100 = 1240 cm
2
. 
A área da superfície do tetraedro 
é 
 
QUESTÃO 4 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
O volume do referido líquido, digamos V, é 
igual ao volume do cilindro menos os 
volumes das esferas nele contidas. 
Então, . Portanto, 
a resposta correta é a da alternativa C. 
 
QUESTÃO 5 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Note que os segmentos e são 
diagonais das faces do cubo e possuem a mesma 
medida, já que as faces do objeto geométrico 
são quadrados de lado 6 cm. 
Portantoa AB = BC = AC = 6 cm. 
1. Falsa. O triângulo ABC é equilátero, portanto sua 
área é dada 
por . 
2. Verdadeira. O volume da pirâmide ABCD é dada 
por . Note 
que é o volume do cubo. Logo, o volume 
da pirâmide ABCD equivale a do volume do 
cubo. 
3. Falsa. Por ser um triângulo equilátero de lado 
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6 cm, temos que sua altura é dada 
por cm. 
 
QUESTÃO 6 
GABARITO: 
 
 
SL é máxima para h = 6 
 
QUESTÃO 7 
GABARITO: 
 
Relação entre a aresta a do cubo e o raio r 
do cilindro: 
 
Logo: 
Assim: 
 
 
QUESTÃO 8 
GABARITO: 
Considere a figura: 
 
 
 
Deseja-se descobrir o valor da altura h do cone. 
Como os triângulos ABC e ADO são semelhantes, 
temos: 
 
Portanto, o cone tem altura igual a . 
 
QUESTÃO 9 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
A medida do diâmetro D da esfera é igual à medida 
da diagonal do cubo. Portanto, D = , e o raio 
da esfera mede . 
O volume da região exterior ao cubo e interior à 
esfera é igual à subtração do volume do cubo a 
partir do volume da esfera: 
 
 
QUESTÃO 10 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Denotemos por L a aresta do cubo. 
Sabemos que o volume total retirado foi de 
32 cm3. Uma primeira cavidade, indo de 
uma face do cubo até a face oposta, tem o 
formato de um prisma reto de altura igual a 
L, a aresta do cubo, e com base quadrada 
de lado 2 cm. O volume dessa primeira 
cavidade é 4L. A seguir, foram feitas quatro 
outras cavidades, todas elas também com 
a forma de um prisma reto com base 
quadrada de lado 2 cm e com uma altura h 
tal que h + 2 + h = L, ou seja, 
 
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O volume de cada uma dessas quatro 
cavidades é 
Por outro lado, sabemos que o volume retirado foi 
de 32. Igualando com a expressão encontrada 
acima, obtemos a equação 12L – 16 = 32, cuja 
solução é L = 4. Logo, a aresta do cubo mede 4 cm. 
 
QUESTÃO 11 
GABARITO: 
a) r
2
 + = 25 ⇔ = 25 – 9, portanto h = 8. 
 
b) área = 2π r
2
 + 2π rh = 18π + 48π = 66π 
 
c) área = 2π r
2 
+ 2π rh = 2π r
2
 + 4π 
r (pois r
2
 + = 25) 
 
QUESTÃO 12 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Considerando um cubo de aresta a, podemos dizer 
que a sua diagonal mede . 
O raio da esfera circunscrita é igual à metade da 
medida da diagonal do cubo, isto é, . 
Já o raio da esferainscrita é igual à metade da 
medida da aresta, ou seja, . 
Portanto, a razão harmônica do cubo 
é . 
 
QUESTÃO 13 
GABARITO: 
 
 
Volume da bola: 
 
 
Volume interno da caixa: 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 14 
GABARITO: 
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B 
 
 
 
 
QUESTÃO 15 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
O volume VE, em cm
3
, de todas as esferas 
depositadas até a enésima etapa é: 
 
 
A expressão entre colchetes corresponde à soma 
dos n primeiros termos de uma progressão 
geométrica (P.G.) de razão 2. Então: 
 
 
Como o recipiente tem o formato de um 
paralelepípedo, o volume VR do recipiente, em cm
3
, 
equivale a: 
VR = 40 × 25 × 20 
VR = 20.000 
Como VE > VR, tem-se: 
 
 
Logo, o menor número de etapas é 16. 
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QUESTÃO 16 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Como o cubo é um poliedro regular, e está inscrito 
em uma superfície esférica, concluímos que o seu 
centro (encontro de suas diagonais) coincide com o 
centro da superfície esférica. Portanto uma de suas 
diagonais coincide com uma das do cubo. Dessa 
forma, sendo d o diâmetro da superfície esférica, r 
seu raio, a a aresta do cubo e D sua diagonal, 
temos: 
 
D = d → a × = 2 × r ⇒ a × = 6 → a 
= ⇒ a = 2 cm 
Assim, o volume V do cubo é dado por: V = a
3
 → V 
= → V = 24 cm
3 
 
QUESTÃO 17 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
A altura do cilindro é igual a 2x, então o volume do 
cilindro será: 
 
Atendendo à condição do enunciado: 
 
Pelo teorema de Pitágoras: 
 
x = 4 é uma raiz dessa equação, então, dividindo o 
polinômio x
3
 – 25x + 36 por (x – 4), temos: 
(x
2
 + 4x – 9)(x – 4) = 0 
 
Resolvendo x
2
 + 4x – 9 = 0 encontramos as outras 
duas raízes da equação: 
 (não convém por ser negativa) 
ou 
 
 
Como x deve ser o maior possível, concluímos que 
x = 4. 
 
QUESTÃO 18 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Se a base do cone é um círculo máximo da esfera, 
então o raio da base do cone coincide com o raio da 
esfera, que também coincide com a altura do cone. 
 
Assim, o cone tem raio da base igual a 3 m, e altura 
igual a 3 m. Seu volume é: 
 
 
QUESTÃO 19 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Como o raio da esfera é 3 m, seu diâmetro será de 
6 m. Assim, pela proporção dada no enunciado, a 
altura do cone será de 4 m. sso significa que a base 
do cone é um círculo distante 1 m do círculo máximo 
da esfera. 
Para encontrar o valor do raio da base do cone, 
consideremos um raio que parta do ponto A (centro 
da base do cone) e toque a esfera num ponto B. A 
distância entre o ponto B e o centro O da esfera é 
igual ao raio da esfera, 3 m. A distância entre o 
ponto A e o centro O da esfera é de 1 m, como já 
vimos. Deseja-se descobrir o valor "r" do raio da 
base do cone, que é a distância entre os pontos A e 
B. 
 
Por Pitágoras, temos: 
r
2
 + 1
2
 = 3
2 
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r
2
 + 1 = 9 
r
2
 = 8 
 
Aplicando esse valor na fórmula do volume do cone, 
temos: 
 
 
QUESTÃO 20 
FVVFV 
 
RESOLUÇÃO: 
A geratriz do cone 
mede cm. A tangente 
do ângulo agudo formado pelo eixo do cone e a 
geratriz é . Os triângulos ABC e EAD são 
retângulos com um ângulo agudo de mesma 
medida, logo são semelhantes. Se r é o raio da 
esfera, temos que e, daí, 13r = 180 – 
5r e r = = 10 cm. A área da superfície da esfera 
mede 10
2
 = cm
2
. 
 
QUESTÃO 21 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Como a esfera tangencia todas as faces do prisma, 
incluindo a inferior e a superior, então a altura do 
prisma é 2r. 
Se um triângulo equilátero é circunscrito a uma 
circunferência de raio r, esse raio é apótema do 
triângulo. 
O apótema de um triângulo equilátero vale da 
altura do triângulo. Então essa altura vale 3r. 
Pela relação ente a altura e o lado de um triângulo 
equilátero, tem-se: 
 
 
Como h = 3r, então 
Assim, calculando a área do triângulo e 
multiplicando-a pela altura do prisma, tem-se o 
volume do prisma: 
 
 
QUESTÃO 22 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Observe a figura: 
 
Como o tetraedro é regular, o segmento AE, que é a 
altura do triângulo equilátero ACD, mede AE = 
. O segmento FE mede da altura, ou 
seja, cm. 
Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 
 cm. 
Portanto, 
cm 
Pela semelhança dos triângulos AGH e AFE, 
encontramos o raio GH da base do cilindro: 
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cm. 
Logo, o volume do cilindro é: 
 
 
QUESTÃO 23 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
O apótema da base é calculado por: 
. 
O apótema da pirâmide: . 
Da semelhança de triângulos entre VOT e VPM, 
temos: 
. 
Sendo assim, o raio da circunferência é: 
 
. 
 
 
 
QUESTÃO 24 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
Sendo R o raio da base do cone e r o raio 
da esfera, ambos, em centímetros, têm-se: 
tg 30º = 
tg 30º = 
O volume do cone não ocupado pela esfera é dado 
por Vc – Ve, em que Vc é o volume do cone e Ve é 
o volume da esfera. Assim: 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
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	Questão 21
	Questão 22
	Questão 23
	Questão 24
	Questão 1
	Gabarito:
	Questão 2
	Gabarito:
	Questão 3
	01+02=03
	Resolução:
	Questão 4
	C
	Resolução:
	Questão 5
	B
	Resolução:
	Questão 6
	Gabarito:
	Questão 7
	Gabarito:
	Questão 8
	Gabarito:
	Questão 9
	A
	Resolução:
	Questão 10
	C
	Resolução:
	Questão 11
	Gabarito:
	Questão 12
	D
	Resolução:
	Questão 13
	Gabarito:
	Questão 14
	Gabarito:
	Questão 15
	B
	Resolução:
	Questão 16
	A
	Resolução:
	Questão 17
	E
	Resolução:
	Questão 18
	D
	Resolução:
	Questão 19
	A
	Resolução:
	Questão 20
	FVVFV
	Resolução:
	Questão 21
	D
	Resolução:
	Questão 22
	D
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	Questão 23
	E
	Resolução:
	Questão 24
	A
	Resolução: